二次函数中考压轴题

二次函数与图像

1、如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x 轴交于A B 、两点，D 为抛物线的顶点，O 为坐标原点．若

OA OB OA OB <、（）的长分别是方程2

430x x -+=的两根，且45DAB ∠=°．

（1）求抛物线对应的二次函数解析式；

（2）过点A 作AC AD ⊥交抛物线于点C ，求点C 的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点A 任作直线l 交线段CD 于点P ，求C D 、到直线l 的距离分别为12d d 、，试求12d d +的最大值．

2、如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．

（1）求A 、B 、C 三点的坐标．

（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．

（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA

相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．

3、已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴交于不同的两点

A （x 1，0）和

B （x 2，0），与y 轴的正半轴交于点

C 。如果21x x 、 是方程062=--x x 的两个根（21x x <），且△ABC 的面积为

2

15

。 （1）求此抛物线的解析式； （2）求直线AC 和BC 的解析式；

（3）如果P 是线段AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合），过点P 作直线m y =（m 为常数），与直线BC 交于点Q ，则在x 轴上是否存在点R ，使得以PQ 为一腰的△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由。

4．如图，抛物线y= –12

x 2

+bx +c 与x 轴分别相交于点A （–2，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ，顶点为点P . （1）求抛物线的解析式；

（2）动点M 、N 从点O 同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB 、OC 上向点B 、C 方向运动，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点F ，交抛物线于点H . ①当四边形OMHN 为矩形时，求点H 的坐标；

②是否存在这样的点F ，使△PFB 为直角三角形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由。

H

F P C y

5、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．（1）求a的值及点A，B的坐标；

（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；

（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

6、如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A （1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若△AOB 沿AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，且不与点C 重合），△AOB 在平移过程中与△COD 重叠部分面积记为S ．试探究S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

二次函数与图像答案

解：（1）解方程2

430x x -+=得 13x x ==或，而OA OB <，

则点A 的坐标为(10)-，，点

B 的坐标为(30)，．

过点D 作1DD x ⊥轴于1D ，则1D 为AB 的中点．

1D ∴的坐标为(10)，．

又因为11452DAB AD DD ∠=∴==°，．

D ∴的坐标为(12)-，

． 令抛物线对应的二次函数解析式为2

(1)2y a x =--． 抛物线过点(10)A -，， 则042a =-，得1

2

a =．

故抛物线对应的二次函数解析式为21(1)22y x =--．

（或写成213

22

y x x =--） （2）

90CA AD DAC ⊥∠=，°．

又

14545DAB CAD ∠=∴∠=°，°．

令点C 的坐标为()m n ，，则有1m n +=．

点C 在抛物线上，21

(1)22

n m ∴=

--．

化简得2

450m m --=．解得51m m ==-，（舍去）． 故点C 的坐标为(56)，．

（3）由（2）知62AC =，而22AD =，

2245DC AD AC ∴=+=． 过A 作AM CD ⊥．

11

22

AC AD DC AM ⨯=⨯， 65

545

AM ∴=

=． ADC APD APC S S S =+△△△，

12111

222

AC AD AP d AP d ∴⨯⨯=⨯+⨯．

12242424d d AP AM +=

==≤ 即此时12d d +

的最大值为

2、解：（1）令0y =，得2

10x -= 解得1x =±

令0x =，得1y =-

∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)-

（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45

∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45 过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则∆A P E 为等腰

直角三角形，令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +

∵点P 在抛物线2

1y x =-上 ∴2

11a a +=-

解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴P E =3

∴四边形ACB P 的面积S =

12AB •O C +1

2AB •P E =11

2123422

⨯⨯+⨯⨯= (3) 假设存在

∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC

∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC

在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A

P= 设M 点的横坐标为m ，则M 2

(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <-