算术平均数与几何均数.

合集下载

2022届高考数学一轮复习课件-第六章第3讲算术平均数与几何平均数广东版

(3)a>0，则 a＋1a≥2. (4)a2＋2 b2≥a＋2 b2.
3.最值定理设 x，y>0，则 x＋y≥2 xy. (1)若积 xy＝P(定值)，则和 x＋y 有最小值 2 P. (2)若和 x＋y＝S(定值)，则积 xy 有最大值S22. 即积定和最小，和定积最大.
题组一走出误区
1.(多选题)下列命题不正确的是( ) A.“x>0 且 y>0”是“xy＋yx≥2”的充要条件 B.若 x>0，则 x3＋x12的最小值为 2 x C.不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab有相同的成立条件 D.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项
第3讲算术平均数与几何平均数
课标要求
考情分析
全国卷基本上没有考过基本不等式，
1.探索并了解基本不等式而其他省份屡见不鲜，复习应注意：
的证明过程.
(1)平时突出对基本不等式取等号的
2.会用基本不等式解决简条件及运算能力的强化训练；
单的最大(小)值问题
(2)训练过程中注意对等价转化、分
类讨论及逻辑推理能力的培养
(8)ab＋a1b≥147；证明：∵ab≤14，f(x)＝x＋1x在区间(0,1)上单调递减， ∴ab＋a1b≥4＋14＝147.
(9)a＋1ab＋1b≥245；
证明：a＋1ab＋1b＝ab＋a1b＋ab＋ba≥147＋2 2＝245，当且仅当 a＝b＝12时，等号成立.
ba·ab＝147＋
(10) 2a＋1＋ 2b＋1≤2 2.
证明：∵
a＋1a2＋2 b＋1b2≥a＋1a＋2 b＋1b≥52(平方平
均数不小于算术平均数)，∴a＋1a2＋b＋1b2≥225.
(6)1＋1a1＋1b≥9; 证明：1＋1a1＋1b＝a1b＋1a＋1b＋1≥9∵1a＋1b≥ 4，ab≤14，a1b≥4.

定量资料统计描述——集中趋势与离散程度

度量单位不同资料之间离散度的比较；均数相差悬殊的资料之间离散度的比较。
【例4-11】
某研究收集了100例7岁男孩的身高和体重的资料，身高均数为 123.10cm，标准差为4.71cm；体重均数为22.92kg，标准差为 2.26kg，比较这100例7岁男孩的身高和体重的变异度。
身高 CV
4.71 100 % 3.83 %
M X n1
当n为奇数时，
() 2
，位置居中的观察值
当n为偶数时，
M
(X n ()
X n )/ ( 1)
2 ，计算出位次居中的两个观察值的均数
2
2
例:7名病人患某病的潜伏期分别为2,3,4,5,6,9,16天，求其中位数。
本例n=7,为奇数
M X 71 X 4 5(天 ) () 2
例:8名患者食物中毒的潜伏期分别为1,2,2,3,5,8,15,24小时，求其中位数。
本例n=8,为偶数
M
1
2
X 8
() 2
X 8
( 1) 2
1 2
X
4
X5
1 3 5 4(小时)
2
(二) 中位数的应用
中位数可用于各种分布的资料，在正态分布资料中，中位数等于均数，在对数正态分布资料中，中位数等于几何均数。
中位数不受极端值的影响，因此，实际工作中主要用于不对称分布类型的资料、两端无确切值(>100)或分布不明确的资料。
患者编号：1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 117 118 119 120 住院天数：1 2 2 2 3 3 4 4 5 ... 40 40 42 45
n=120，120*5%=6，为整数：
P5

3教育统计学第三章

2.频数分布表计算法
用下列公式计算：
X1 f1 X 2 f 2 X f1 f 2
X k fk 1 X i fi fk n
（3.2）
X1 , X 2 ,
i i
, X k 为第一组到第K组的组中值
X f 各组组中值与频数乘积之和 f n 为频数总和
i
例2：P26
总和
50
3915
解：将表中数据代入公式（3.2），得
fXc 3915 X 78.3 N 50
说明：利用次数分布求得的算术平均数是一个近似值。因为我们先假设组内的数据是均
匀分布的，利用各组中值分别代表各组数据，
这显然与实际不符，把这一误差叫分组误差
(P26)。
三、算数平均数的应用及其优缺点
1.加权平均数应 2.离差、相关计算用 3.统计推断
1.易受极端值的影响 2.数据模糊不清、缺不失时无法计算足 3.数据不同质时无法计算。
第四节加权平均数、几何平均数、调和平均数
一、加权平均数
加权平均数的概念加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平均数，用 X W 或 X t 表示。加权平均数的应用
3、算术平均数的缺点
（1）易受两极端数值的影响；（2）有个别数据模糊不清时，无法计算
算术平均数的适用条件是：一组数据中所有数据都比较准确、可靠；无两极端数值的影响。
第二节中位数
一、中位数的概念及适用条件
1. 概念中位数是位于一组有序数据中间位置的量数。也称中数，用Md表示。它是将一组有序数据的个数分为相等两部分的那个数据，它可能是原始数据中的一个，也可能是通过计算得到的一个数。
总和

生物统计名词解释

生物统计名词解释一、田间试验1.田间试验：是指在田间土壤、自然气候等环境条件下栽培作物，并进行与作物有关的各种科学研究的试验。

4.准确性：也称准确度，指某一试验指标或性状的观测值与该实验指标或性状观测值总体平均数接近的程度（实验的系统误差影响准确性大小）。

5.精确性：也称精确度，指同一试验指标或性状的重复观测值彼此接近程度（实验的随机误差影响精确性大小）。

6.试验指标：用来衡量实验结果好坏或处理效应高低、在试验中具有测定的性状或观测的项目称为试验指标。

7.试验因素：试验中人为控制的、影响试验指标的原因或条件称为试验因素。

8.试验水平：对试验因素所设定的质的不同状态或量的不同级别称为试验水平，简称水平。

9.试验处理：事先设计好的实施在试验单位上的具体项目称为实验处理简称处理。

10.实验小区：实施一个实验处理的一小块长方形土地称为实验小区，简称小区。

11.试验单位：实施试验处理的材料单位称为试验单位，亦称试验单元。

12.总体与个体：根据研究目的确定的研究对象的全体称为总体，其中的一个研究对象称为个体。

13.样本：从总体中抽取的一部分个体组成的集合。

14.样本容量：样本所包含的个体数目，常记为n。

15.试验误差：由于受到试验因素以外各种内在的、外在的非试验因素的影响使观测值与试验处理观测值总体平均数之间产生的差异，简称误差。

16.系统误差：在一定试验条件下，由某种原因所引起的使观测值发生方向性的误差，又称偏性。

17.随机误差：由多种偶然的、无法控制的因素引起的误差。

21.边际效应：指小区两边或两端植株的生长环境与小区中间植株的生长环境不一致而表现出的差异。

22.小区形状：指小区长宽比例。

（小区形状一般为长方形，狭长小区使各小区更紧密相邻，减少了小区之间的土壤差异）23.区组：将一个重复全部小区安排与土壤非礼等环境条件相对均匀一致的小块土地上，成为一个区组（田间试验一般设置3-4次重复，即设置3-4个区组。

计量资料的统计指标

小结
z 同质的资料计算平均数才有意义 z 根据资料分布的特征选用适当的平均数
{ 均数：正态分布、单峰对称分布的资料 { 几何均数：等比资料、滴度资料、正偏态资料，呈对数正态分布资料 { 中位数：理论上可用于任何分布资料，但当资料适合计算均数或几何均数时，不宜用中位数。（偏态分布、分布不明资料、有不确定值的资料）
频数分布和频率分布性质
１１０名７岁男孩身高频数表
组段 106109112115118121124127130133-136 频数 2 6 13 21 24 17 15 9 2 1 累计频数 2 8 21 42 66 83 98 107 109 110 频率 1.82 5.45 11.82 19.09 21.82 15.45 13.64 8.18 1.82 0.91 累计频率 1.82 7.27 19.09 38.18 60 75.45 89.09 97.27 99.09 100
组
段 (1) 124 ～ 128 ～ 132 ～ 136 ～ 140 ～ 144 ～ 148 ～ 152 ～ 156 ～ 160 ～
频
数 (2) 1 2
累计频数 (3) 1 3 13 35 72 98 113 117 119 120
累计频率 (4) 0.83 2.50 10.83 29.17 60.00 81.67 94.17 97.50 99.17 100.00
频率密度图性质(n→∞)
•现(n≠110),假定在该地区随机抽了ｎ个７岁男孩并且n→∞，则各个组段的频率→各自的概率 •身高为各个组段的概率＝各个组段的直方条面积 •各个组段的面积（概率）之和为１
频率密度图性质概率)为0.064 [118,121)的直方条面积(概率)为0.073 则身高在[115,121)的概率为 [115,121)的直方条面积= 0.064+0.073= 0.137

算术平均数调和平均数几何平均数PPT课件

第一节集中趋势指标概述
类型
统计平均数
静态平均数动态平均数
数值平均数位置平均数
算术平均数调和平均数几何平均数众数
分位数
第二节数值平均数
➢ 本节重点算术平均数、调和平均数的概念、性质
及其计算方法 ➢ 本节难点
众数、中位数、数值平均数等度量方法的选择问题
第二节数值平均数
一、算术平均数基本公式
x x 1 f1 f x 2 f2 f ...... x n fn f (x ff)
第二节数值平均数
（四）需要注意的几个问题
⒊简单算术平均数是加权算术平均数
的特例。
若 f f ...... f f ,则有：
1
2
n
x
x1 f
1
x2f
......
2
xn
f
n
f f ...... f
⑤了解计算平均数和离中趋势指标应注意的问题。
2
学习重点
平均数和标志变异指标的概念
众数、中位数、数值平均数和标准差的特点及其计算方法
3
学习难点
众数、中位数、数值平均数（算术平均数、调和平均数、几何平均数）等度量方法的选择问题
第一节集中趋势指标概述
本节重点
平均数的概念
本节难点
平均数的特点、分类
第五章离中趋势和集中趋势的度量
第一节集中趋势指标概述第二节数值平均数第三节位置平均数第四节离中趋势的度量第五节偏度与峰度（选讲）
1
学习目的和要求
①明确平均数和标志变异指标的概念和作用
②熟练掌握数值平均数和标准差计算方法
③了解众数、中位数的概念、特点及其计算方法

部分习题

第一部分集中量数一、简答题1. 简述算术平均数的使用特点答：算术平均数是所有观察值的综合除以总频数所得之商，简称为平均数或均数。

计算公式： NX X i∑=式中，N 为数据个数；X i 为每一个数据；∑为相加求和。

（1）算术平均数的优点是：①反应灵敏； ② 严密确定，简明易懂，计算方便；③ 适合代数运算；④ 受抽样变动的影响较小。

（2）除此之外，算术平均数还有几个特殊的优点：①只知一组观测值的总和及总频数就可以求出算术平均数。

②用加权法可以求出几个平均数的总平均数。

③用样本数据推断总体集中量时，算术平均数最接近于总体集中量的真值，它是总体平均数的最好估计值。

④在计算方差、标准差、相关系数以及进行统计推断时，都要用到它。

（3）算术平均数的缺点：①易受两极端数值（极大或极小）的影响。

②一组数据中某个数值的大小不够确切时就无法计算其算术平均数。

2. 算术平均数和几何平均数分别适用于什么情形？答：（1）算术平均数 ①算术平均数的概念算术平均数是所有观测值的总和除以总频数所得之商，简称为平均数或均数。

②算术平均数的优点 a. 一般优点第一，反应灵敏；第二，严密确定，简明简明易懂，计算方便；第三，适合代数运算；第四，受抽样变动的影响较小。

b. 特殊优点第一，只知一组观测值的总和及总频数就可以求出算术平均数；第二，用加权法可以求出几个平均数的总平均数；第三，用样本数据推断总体集中量时，算术平均数最接近于总体集中量的真值，它是总体平均数的最好估计值；第四，在计算方差、标准差、相关系数以及进行统计推断时，都要用到它。

③缺点a. 易受两极端数值（极大或极小）的影响；b. 一组数据中某个数值的大小不够确切时就无法计算其算术平均数。

④ 适用情况第一，数据必须是同质的，即同一种测量工具所测量的某一特质；第二，数据取值必须明确；第三，数据离散不能太大。

（2）几何平均数 ① 几何平均数的概念几何平均数是指一种由n 个正数之乘积的n 次根表示的平均数。

定量资料的统计描述

例：求下表中血清铁含量的5％、 95％位数
从表2-2可判断出5％位于“10～”这个组段：
px = L +
i n( x%
fx
f
)
L
= 10 + 21(20×5% 4 =)10.67
6
该组血清铁资料的5％位数为10.67 （μmol/L）。
从表2-2可判断出95％位于“24～”这个组段：
px = L +
n为奇数时： M = X n + 1
2
n为偶数时：M =
1 2
X
+
n 2
X n+ 1 2
式中X*表示将n例数据按升序排列后的第i个数据。
上式中n为一组观察值的总个数，
n +1
n
n +1
2
2
2
均为下标，表示有序数列中观察值的位次。
例：某药厂观察9只小鼠口服高山红景天醇提物（RSAE）后在乏氧条件下的生存时间（分钟）如下：
一般设10~15个组段，每个组段的起点称“下限”，终点称“上限”；第一组段含最小值，最末组段含最大值。
(4) 列表
频数分布的类型：
对称分布—集中位置在正中、左右两侧频数分布大体对称
偏态分布
正偏峰分布－集中位置偏向数值小的一侧
负偏峰分布－集中位置偏向数值大的一侧
定量变量的特征数
= 119.75
52例慢性肝炎患者的HBsAg滴度的平均水平为1:119.75。
3. 中位数（median, M）
将一组观察值从小到大按顺序排列，位次居中的观察值就称中位数。用M表示。
中位数适用于任何一种分布的定量资料，一般多用于描述偏态分布或数据一端无界资料的集中趋势。

6.2 算术平均数与几何平均数

6.2 算术平均数与几何均数
一、基础知识
+ 1、算术平均数：如果 a , b ∈ R ，那么、算术平均数：
术平均数。术平均数。
a , b ∈ R + ，那么 2、几何平均数：如果、几何平均数：
a+b 2
叫做这两个正数的算叫做这两个正数的几
何平均数。何平均数。
ab
3、定理：如果 a , b ∈ R + 那么 a 2 + b 2 ≥ 2 ab （当且仅当、定理：当且仅当a=b时取，时取 “=”号）号 4、推论： 4、推论：如果 a , b ∈ R + ，那么 a + b ≥ ab （当且仅当a=b时取当且仅当a=b时取 2 “=”号）号 5、基本不等式：若 a , b ∈ R + ，则、基本不等式：当且仅当a=b时取“=”号时取“ 号当且仅当时取
2
ห้องสมุดไป่ตู้+ a
的最小值.
结论：满足一正、二定、三相等和定积最大，结论：满足一正、二定、三相等和定积最大，积定和最小
三、总结 1、根据不等式的特征能灵活选用基本不等式、 2、多次用基本不等式必须保持取“=”的一致性、多次用基本不等式必须保持取“ 的一致性 3、用基本不等式时务必注意一正、二定、三相等、用基本不等式时务必注意一正、二定、这三个条件。这三个条件。作业：作业：
a 2 + b2 a + b 2 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 + a b
二、例题选讲
（一）、利用基本不等式证明不等式
设实数x、满足例1 设实数、y满足
1 求证: 求证: log a ( a + a ) < log a 2 + 8

医学统计学重点简答题

一、平均水平常用的统计指标及其适用范围？常用统计指标包括算术均数,几何均数,中位数。

算术均数适用于对称分布，特别是正态分布的数据；几何均数适用于经对数变换后频数分布对称或呈等比级数的数据；中位数主要适用于三种情形：①非正态分布资料（对数正态分布除外）。

②频数分布的一端或两端无确切数据的资料。

③总体分布不清楚的资料。

二、应用相对数的注意事项1.计算相对数时应有足够的观察单位数。

例数太少会使相对数波动较大，这种情况下最好用绝对数表示。

2.正确计算合计率。

计算观察单位不等的几个率的合计率（平均率）时，不能将几个率直接相加求其平均率，而应分别将分子分母合计，再求出合计率。

3不能以构成比代替率。

构成比说明事物内部各部分所占的比重，不能说明某现象发生的频率或强度。

4.注意资料的可比性。

在比较相对数时，除了要比较的因素外，其余的因素应尽可能相同或相近。

5.样本率或构成比的比较应做假设检验。

由于样本率或构成比也存在抽样误差，比较两个或多个率或构成比时，不能凭样本率或构成比的差别作出结论，而必须进行差别的假设检验。

三、正常值范围与置信区间的区别四、标准误与标准差的区别与联系。

区别点标准误标准差含义样本均数的标准差，描述样本均数的抽样误差，即样本均数与总体均数的接近程度。

描述个体间的变异程度计算公式1k)xx(s2x--=∑---1n)xx(s2--=∑-用途总体均数的区间估计医学参考值范围估计相似点性质相似，都是用来说明变异程度五、简述四格表卡方检验统计方法的选择条件六、行×列表资料χ²检验的注意事项1.行×列表资料中各格的理论频数T均不应小于1，并且1≤ T＜5的格子数不宜超过格子总数的1/5，否则可能产生偏性。

处理的方法有三种：①增大样本含量，使理论频数增大；②根据专业知识，删去理论频数太小的行或列或将理论频数太小的行或列与性质相近的邻行或邻列合并。

③改用双向无序R×C表的Fisher确切概率法。

试验统计方法第四版答案详解

试验统计方法第四版答案详解《生物统计附实验设计》（课后习题答案）第一章绪论一、名词解释1、总体：根据研究目的确定的研究对象的全体称为总体。

2、个体：总体中的一个研究单位称为个体。

3、样本：总体的一部分称为样本。

4、样本含量：样本中所包含的个体数目称为样本含量（容量）或大小。

5、随机样本：从总体中随机抽取的样本称为随机样本，而随机抽取是指总体中的每一个个体都有同等的机会被抽取组成样本。

6、参数：由总体计算的特征数叫参数。

7、统计量：由样本计算的特征数叫统计量。

8、随机误差：也叫抽样误差，是由于许多无法控制的内在和外在的偶然因素所造成，带有偶然性质，影响试验的精确性。

9、系统误差：也叫片面误差，是由于一些能控制但未加控制的因素造成的，其影响试验的准确性。

10、准确性：也叫准确度，指在调查或试验中某一试验指标或性状的观测值与真值接近的程度。

11、精确性：也叫精确度，指调查或试验研究中同一试验指标或性状的重复观测值彼此接近的程度。

二、简答题1、什么是生物统计？它在畜牧、水产科学研究中有何作用？答：（1）生物统计是数理统计的原理和方法在生物科学研究中的应用，是一门应用数学。

（2）生物统计在畜牧、水产科学研究中的作用主要体现在两个方面：一是提供试验或调查设计的方法，二是提供整理、分析资料的方法。

2、统计分析的两个特点是什么？答：统计分析的两个特点是：①通过样本来推断总体。

②有很大的可靠性但也有一定的错误率。

3、如何提高试验的准确性与精确性？答：在调查或试验中应严格按照调查或试验计划进行，准确地进行观察记载，力求避免认为差错，特别要注意试验条件的一致性，即除所研究的各个处理外，供试畜禽的初始条件如品种、性别、年龄、健康状况、饲养条件、管理措施等尽量控制一致，并通过合理的调查或试验设计，努力提高试验的准确性和精确性。

4、如何控制、降低随机误差，避免系统误差？答：随机误差是由于一些无法控制的偶然因素造成的，难以消除，只能尽量控制和降低；主要是试验动物的初始条件、饲养条件、管理措施等在试验中要力求一致，尽量降低差异。

高考数学百大经典例题算术平均数与几何平均数

典型例题一例1 已知R c b a ∈,,，求证.222ca bc ab c b a ++≥++ 证明：∵ ab b a 222≥+， bc c b 222≥+，ca a c 222≥+，三式相加，得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，即.222ca bc ab c b a ++≥++说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握．典型例题二例2 已知c b a 、、是互不相等的正数，求证：abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ 证明：∵0222>>+a bc c b ，， ∴abc c b a 2)(22>+同理可得：abc b a c abc c a b 2)(2)(2222>+>+，．三个同向不等式相加，得abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ ①说明：此题中c b a 、、互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立．特别地，b a =，c b ≠时，所得不等式①仍不取等号．典型例题三例3 求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式ab b a 222≥+，并能由)(2c b a ++这一特征，思索如何将ab b a 222≥+进行变形，进行创造”．证明：∵ab b a 222≥+，两边同加22b a +得222)()(2b a b a +≥+．即2)(222b a b a +≥+．∴)(222122b a b a b a +≥+≥+．同理可得：)(2222c b c b +≥+，)(2222a c a c +≥+．三式相加即得)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．典型例题四例4 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是．解：∵+∈R b a ,， ∴323+≥++=ab b a ab ，令ab y =，得0322≥--y y ，∴3≥y ，或1-≤y （舍去）．∴92≥=ab y ，∴ ab 的取值范围是[).,9+∞说明：本题的常见错误有二．一是没有舍去1-≤y ；二是忘了还原，得出[)+∞∈,3ab ．前者和后者的问题根源都是对ab 的理解，前者忽视了.0≥ab 后者错误地将2y 视为ab ．因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之．典型例题五例5 （1）求41622++=x x y 的最大值．（2）求函数1422++=x x y 的最小值，并求出取得最小值时的x 值．（3）若0,0>>y x ，且2=+y x ，求22y x +的最小值．解：（1）41622++=x x y 13163)1(162222+++=+++=x x x x .3326=≤即y 的最大值为.3当且仅当13122+=+x x 时，即22=x 2±=x 时，取得此最大值．（2）1141142222-+++=++=x x x x y 3142=-⋅≥ ∴ y 的最小值为3，当且仅当11422+=+x x ，即4)1(22=+x ，212=+x ，1±=x 时取得此最小值．（3）∴ xy y x 222≥+ ∴222)()(2y x y x +≥+即2)(222y x y x +≥+∵2=+y x ∴222≥+y x 即22y x +的最小值为2．当且仅当4==y x 时取得此最小值．说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件．典型例题六例6 求函数xx y 321--=的最值．分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件．如：0≠x ，应分别对0,0<>x x 两种情况讨论，如果忽视+∈R x 的条件，就会发生如下错误：∵ 6213221)32(1321-=⋅-≤+-=--=xx x x x x y ，.621max -=y 解：当0>x 时，03,02>>x x ，又632=⋅xx ，当且仅当x x 32=，即26=x 时，函数x x 32+有最小值.62 ∴ .621max -=y 当0<x 时，03,02>->-x x ，又6)3()2(=-⋅-xx ，当且仅当x x 32-=-，即26+=x 时，函数)32(x x +-最小值.62 ∴ .621min +=y典型例题七例7 求函数91022++=x x y 的最值．分析：291991)9(2222≥+++=+++=x x x x y ．但等号成立时82-=x ，这是矛盾的！于是我们运用函数xx y 1+=在1≥x 时单调递增这一性质，求函数)3(1≥+=t tt y 的最值．解：设392≥+=x t ，∴t t x x y 191022+=++=．当3≥t 时，函数tt y 1+=递增．故原函数的最小值为310313=+，无最大值．典型例题八例8 求函数4522++=x x y 的最小值．分析：用换元法，设242≥+=x t ，原函数变形为)2(1≥+=t tt y ，再利用函数)2(1≥+=t tt y 的单调性可得结果．或用函数方程思想求解．解：解法一：设242≥+=x t ，故).2(14522≥+=++=t t t x x y212121212121121)()11()(2t t t t t t t t t t y y t t --=-+-=-≥>，设．由202121><-t t t t ，，得：0121>-t t ，故：21y y <． ∴函数)2(1≥+=t t t y 为增函数，从而25212=+≥y ．解法二：设242≥=+t x ，知)2(1≥+=t tt y ，可得关于t 的二次方程012=+-yt t ，由根与系数的关系，得：121=t t ．又2≥t ，故有一个根大于或等于2，设函数1)(2+-=yt t t f ，则0)2(≤f ，即0124≤+-y ，故25≥y ．说明：本题易出现如下错解：2414452222≥+++=++=x x x x y ．要知道，41422+=+x x 无实数解，即2≠y ，所以原函数的最小值不是2．错误原因是忽视了等号成立的条件．当a 、b 为常数，且ab 为定值，b a ≠时，ab ba >+2，不能直接求最大（小）值，可以利用恒等变形ab b a b a 4)(2+-=+，当b a -之差最小时，再求原函数的最大（小）值．典型例题九例9 ,4,0,0=+>>b a b a 求2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值．分析：此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值．解：由,4=+b a ，得.2162)(222ab ab b a b a -=-+=+ 又,222ab b a ≥+得ab ab 2216≥-，即4≤ab ．21111222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a .225244444422=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ab 故2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值是225．说明：本题易出现如下错解：8441212112222=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a ，故2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值是8．错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有1=a 和1=b ，但在4=+b a 的条件下，这两个式子不会同时取等号（31==b a 时，）．排除错误的办法是看都取等号时，与题设是否有矛盾．典型例题十例10 已知：+∈R c b a ,,，求证：c b a cab b ac a bc ++≥++．分析：根据题设，可想到利用重要不等式进行证明．证明：.2,222c bac a bc c ab abc b ac a bc ≥+=≥+即同理：a cab b ac b c ab a bc 2,2≥+≥+ ).(22c b a c ab b ac a bc ++≥⎪⎭⎫⎝⎛++∴.c b a cab b ac a bc ++≥++∴说明：证明本题易出现的思维障碍是：(1)想利用三元重要不等式解决问题；(2)不会利用重要不等式ab ba ≥+2的变式；(3)不熟练证明轮换对称不等式的常用方法．因此，在证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式．另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性．典型例题十一例11设R e d c b a ∈、、、、，且8=++++e d c b a ，1622222=++++e d c b a ，求e 的最大值．分析：如何将22b a +与b a +用不等式的形式联系起来，是本题获解的关键．算术平均数与几何平均数定理ab b a 222≥+两边同加22b a +之后得222)(21b a b a +≥+．解：由222)(21b a b a +≥+，则有 ,)(41])()[(212222222d c b a d c b a d c b a +++≥+++≥+++.5160)8(411622≤≤⇒-≥-∴e e e.51656＝时，当最大值e d c b a ====说明：常有以下错解：abcd cd ab d c b a e 4)(21622222≥+≥+++=-， 448abcd d c b a e ≥+++=-．故abcd e abcd e ≥-≥-4222)48(,4)16(．两式相除且开方得516014)8(1622≤≤⇒≥--e e e ．错因是两不等式相除，如211,12>>，相除则有22>．不等式222)(21b a b a +≥+是解决从“和”到“积”的形式．从“和”到“积”怎么办呢？有以下变形：222)(21b a b a +≥+或)(21222b a b a +≥+．典型例题十二例12 已知：0>y x ＞，且：1=xy ，求证：2222≥-+yx y x ，并且求等号成立的条件．分析：由已知条件+∈R y x ，，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有y x -，无法利用xy y x 2≥+，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现)(1)(y x y x -+-型，再行论证．证明：,1.0,0=>-∴>>xy y x y x 又yx xyy x y x y x -+-=-+∴2)(222 yx y x -+-=2)( .22)(2)(2=-⋅-≥y x y x等号成立，当且仅当)(2)(y x y x -=-时．.4,2,2)(222=+=-=-∴y x y x y x ,6)(,12=+∴=y x xy.6=+∴y x由以上得226,226-=+=y x 即当226,226-=+=y x 时等号成立．说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式．典型例题十三例13 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值．分析：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xxy ，故)300(2302<<+-=x x x x xy ，令xx x t +-=2302．利用判别式法可求得t （即xy ）的最大值，但因为x 有范围300<<x 的限制，还必须综合韦达定理展开讨论．仅用判别式是不够的，因而有一定的麻烦，下面转用基本不等式求解．解法一：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xxy ． xx x x x x xy +-+++-=+-=264)2(34)2(23022⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=264)2(34x x 注意到16264)2(2264)2(=+⋅+≥+++x x x x ．可得，18≤xy ．当且仅当2642+=+x x ，即6=x 时等号成立，代入302=++xy y x 中得3=y ，故xy 的最大值为18．解法二：+∈R y x , ，xy xy y x ⋅=≥+∴22222，代入302=++xy y x 中得：3022≤+⋅xy xy 解此不等式得180≤≤xy ．下面解法见解法一，下略．说明：解法一的变形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二则是抓住了问题的本质，所以解得更为简捷．典型例题十四例14 若+∈R c b a 、、，且1=++c b a ，求证：8111111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-c b a ．分析：不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“2”连乘而来，而abca cb a a a 2111≥+=-=-．证明：acb a a a +=-=-111，又0>a ，0>b ，0>c ， a bc a c b 2≥+∴，即a bca a 21≥-．同理b ca b 211≥-，cab c 211≥-， 8111111≥⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴c b a ．当且仅当31===c b a 时，等号成立．说明：本题巧妙利用1=++c b a 的条件，同时要注意此不等式是关于c b a 、、的轮换式．典型例题十五例15 设+∈R c b a 、、，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：本题的难点在于222222a c c b b a +++、、不易处理，如能找出22b a +与b a +之间的关系，问题可得到解决，注意到：b a b a b a b a ab b a +≥+⇒+≥+⇒≥+)(2)()(222222222，则容易得到证明．证明：2222222)(2)(22b a ab b a b a ab b a +≥++≥+∴≥+，，于是．)(222222b a b a b a +=+≥+ 同理：)(2222c b c b +≥+，)(2222a c a c +≥+．三式相加即得：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．说明：注意观察所给不等式的结构，此不等式是关于c b a 、、的轮换式．因此只需抓住一个根号进行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性．典型例题十六例16 已知：+∈R b a 、（其中+R 表示正实数）求证：．ba ab b a b a b a 112222222+≥≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+≥+ 分析：要证明的这一串不等式非常重要，222b a +称为平方根，2b a +称为算术平均数，ab 称为几何平均数，ba 112+称为调和平均数．证明：()．0412222222≥-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+b a b a b a ．222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b a b a +∈R b a 、∴2222ba b a +≥+，当且仅当“b a =”时等号成立．．0)(412222≥-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+b a b a b a ∴222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≥+b a b a ，等号成立条件是“b a =” ，0)(41222≥-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ab b a ∴ab b a ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22，等号成立条件是“b a =”．ba abab b a b a ab ab ba ab +-+=+-=+-2)(2112 ．0)()2(2≥+-=+-+=ba b a ab b a ab b a ab∴ba ab 112+≥，等号成立条件是“b a =”．说明：本题可以作为均值不等式推论，熟记以上结论有利于处理某些复杂不等式的证明问题．本例证明过程说明，不等式性质中的比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法．典型例题十七例17 设实数1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 满足021>a a ，2111b c a ≥，2222b c a ≥，求证2212121)())((b b c c a a +≥++．分析：由条件可得到1a ，2a ，1c ， 2c 同号．为方便，不妨都设为正．将求证式子的左边展开后可看出有交叉项21c a 和12c a 无法利用条件，但使用均值不等式变成乘积后，重新搭配，可利用条件求证．证明：同号．2121,,0a a a a ∴>同理，由22222111b c a b c a ≥≥，知1a 与1c 同号，2a 与2c 同号∴1a ，1c ，2a ，2c 同号．不妨都设为正． 122122112121))((c a c a c a c a c c a a +++=++∴122122212c a c a b b ⋅++≥221122212c a c a b b ⋅++= 222122212b b b b ⋅++≥ ||2212221b b b b ++=221212221)(2b b b b b b +=++≥，即2212121)())((b b c c a a +≥++．说明：本题是根据题意分析得1a ，1c ，2a ，2c 同号，然后利用均值不等式变形得证．换一个角度，由条件的特点我们还会联想到使用二次方程根的判别式，可能会有另一类证法．实际上，由条件可知1a ，1c ，2a ，2c 为同号，不妨设同为正．又∵2111b c a ≥，2222b c a ≥，∴211144b c a ≥，222244b c a ≥．不等式021121≥++c x b x a ，022222≥++c x b x a 对任意实数x 恒成立（根据二次三项式恒为正的充要条件），两式相加得0)()(2)(2121221≥+++++c c x b b x a a ，它对任意实数x 恒成立．同上可得：2212121)())((b b c c a a +≥++．典型例题十八例18 如下图所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈4间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱笆围成，篱笆总长为36m ．问每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？分析：可先设出羊圈的长和宽分别为x ，y ，即求xy 的最大值．注意条件3664=+y x 的利用．解：设每间羊圈的长、宽分别为x ，y ，则有3664=+y x ，即1832=+y x ．设xy S = ,623223218xy y x y x =⋅≥+=227,227≤≤∴S xy 即上式当且仅当y x 32=时取“＝”．此时⎩⎨⎧===,1832,32y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧==∴.3,29y x ∴羊圈长、宽分别为29m ，3m 时面积最大．说明：(1)首先应设出变量（此处是长和宽），将题中条件数学化（即建立数学模型）才能利用数学知识求解；(2)注意在条件1832=+y x 之下求积xy 的最大值的方法：直接用不等式y x y x 3223218⋅≥+=，即可出现积xy ．当然，也可用“减少变量”的方法：22218261)218(261)218(31)218(31⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅≤-⋅⋅=-⋅==→-=x x x x x x xy S x y ，当且仅当x x 2182-=时取“=”．典型例题十九例19 某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/m 2，房屋侧面的造价为800 元/m 2，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：这是一个求函数最小值的问题，关键的问题是设未知数，建立函数关系．从已知条件看，矩形地面面积为12m 2，但长和宽不知道，故考虑设宽为x m ，则长为x 12m ，再设总造价为y ．由题意就可以建立函数关系了．解：设矩形地面的正面宽为x m ，则长为x12m ；设房屋的总造价为y ．根据题意，可得： 5800280012312003+⨯⋅⋅+⋅=xx y 5800576003600++=xx 580016236005800)16(3600+⋅⨯≥++=xx x x )(34600580028800元=+= 当xx 16=，即4=x 时，y 有最小值34600元．因此，当矩形地面宽为4m 时，房屋的总造价最低，最低总造价是34600元．说明：本题是函数最小值的应用题，这类题在我们的日常生活中经常遇到，有求最小值的问题，也有求最大值的问题，这类题都是利用函数式搭桥，用均值不等式解决，解决的关键是等号是否成立，因此，在解这类题时，要注意验证等号的成立．典型例题二十例20 某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m 长造价40元，两侧墙砌砖，每1m 长造价45元，顶部每1m 2造价20元．计算：(1)仓库底面积Ｓ的最大允许值是多少？(2)为使Ｓ达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？分析：用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意翻译数量关系．解：设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有xy S =.由题意得(*).32002045240=+⨯+xy y x应用算术平均数与几何平均数定理，得 ,201202012020904023200S S xyxy xyy x +=+=+⋅≥,1606≤+∴S S 即：.0)10)(10(≤--S S,010,016≤-∴>+S S从而：.100≤S因此S 的最大允许值是2100m ，取得此最大值的条件是y x 9040=，而100=xy ，由此求得15=x ，即铁栅的长应是m 15．说明：本题也可将xS y =代入（*）式，导出关于x 的二次方程，利用判别式法求解．典型例题二十一例21 甲、乙两地相距km s ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过km/h c ，已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度km/h v 的平方成正比，且比例系数为b ；固定部分为a 元．（1）把全程运输成本y 元表示为速度km/h v 的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：这是1997年的全国高考试题，主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题．解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为h vs ，全程运输成本为 )(2bv va s v s bv v s a y +=⋅+⋅=．故所求函数为)(bv ba s y +=，定义域为)0(c v ，∈．（2）由于vb a s 、、、都为正数，故有bv ba s bv v as ⋅⋅≥+2)(，即ab s bv vas 2)(≥+．当且仅当bv v a =，即ba v =时上式中等号成立．若cb a ≤时，则ba v =时，全程运输成本y 最小；当c b a ≤，易证c v <<0，函数)()(bv v a s v f y +==单调递减，即c v =时，)(m i n bc ca s y +=．综上可知，为使全程运输成本y 最小，在c b a ≤时，行驶速度应为b av =；在c b a ≤时，行驶速度应为c v =．。

平均数计算中的几种误解

㊀㊀㊀㊀㊀㊀平均数计算中的几种误解平均数计算中的几种误解Һ黄发胜㊀（甘肃省甘谷县六峰初级中学，甘肃㊀天水㊀７４１２００）㊀㊀ʌ摘要ɔ平均数计算是中小学数学中最常见㊁最基本的计算，是每个学生都必须牢固掌握的计算，但在实际教学中，学生在解有关平均数的计算题时却常常出现错误．本文收集了一些常见错误题型，详细分析了错误原因，并形成理论知识，定义了三种平均数，给出了计算公式，以便于师生应用推广．ʌ关键词ɔ平均数；计算；误解平均数是统计中的一个重要概念．在现行数学教材中，统计学知识在小学教材中零散出现，到初中数学中才系统地呈现．作为统计学中最基础的平均数，其定义及计算也是逐渐扩展的．小学数学里所讲的平均数一般是指算术平均数，也就是一组数据的和除以这组数据的个数所得的商．在统计中，算术平均数通常反映一组数据的集中趋势，它是描述数据集中程度的一个统计量，用来反映一组数据的重心．平均数有直观㊁简明的特点，可以反映出一组数据最直观的分布情况，所以在日常生活中使用广泛，如平均成绩㊁平均质量㊁平均身高等．在小学数学中，把两个数的和除以２后所得的数叫作这两个数的平均数，这一定义一直延续到初三．在初三统计初步一章中，把两个数ｘ１，ｘ２的平均数定义为ｘ－＝１２（ｘ１＋ｘ２），推广后得到ｎ个数ｘ１，ｘ２，ｘ３，，ｘｎ的平均数为ｘ－＝１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋＋ｘｎ）．简而言之，小学到初中，求平均数的方法是：几个数的平均数等于这几个数的和再除以几．然而正是这种传统的习惯求法，导致学生不具体分析问题，机械地乱套公式，这不利于培养学生解决问题的能力．下面我们通过几个例子分析学生在平均数计算中常出现的错误及产生错误的原因．一㊁计算平均数的实例例１㊀某乡镇企业的产值，去年比前年增长２０％，今年又比去年增长３０％，问：这两年的平均增长率是多少？例２㊀有一不等臂天平，把某一物体置于左盘，称得质量为１千克；把此物体置于右盘，称得质量为０．８１千克，求此物体的实际质量．例３㊀某同学骑自行车从家去县城，去时速度为１０千米／时，返回时速度为２０千米／时，求此同学往返的平均速度．二㊁平均数计算中常见的误解上面三例都是平均数计算问题，例２虽没提出计算平均质量，但根据有关物理知识可知，也是求平均数问题．受传统平均数概念的影响，学生出现了下面解法．例１㊀平均增长率ｘ－＝１２ˑ（２０％＋３０％）＝２５％．例２㊀实际质量ｍ＝１２ˑ（１＋０．８１）＝０．９０５（千克）．例３㊀平均速度ｖ＝１２ˑ（１０＋２０）＝１５（千米／时）．三㊁上面三例的正确解法及推广对待任何问题都要具体分析，抓住问题的主要矛盾．这一原理反映在数学上就是要弄清题意，抓住问题涉及的定理或定义，从而找到解决问题的方法．下面我们把提出的问题加以讨论，得出一般性的结论．１．若去年的增长率为ａ，今年的增长率为ｂ，设这两年的平均增长率为ｘ．把前年的产值看作１，则去年产值为１＋ａ，今年的产值为（１＋ａ）（１＋ｂ）．又因为年平均增长率为ｘ，故今年产值为（１＋ｘ）２．于是有方程：（１＋ｘ）２＝（１＋ａ）（１＋ｂ）ｘ＝（１＋ａ）（１＋ｂ）－１．于是我们得到此类问题的公式为：ｘ＝（１＋ａ）（１＋ｂ）－１（ａȡ０，ｂȡ０）．（１）再推广一下：若所提问题是负增长问题，即逐次递减类问题，上面公式又变为：ｘ＝１－（１－ａ）（１－ｂ）（０ɤａ，ｂɤ１）．（２）２．当物体置于左盘时，测得的质量设为ｍ１，置于右盘时，测得的质量设为ｍ２，物体真实质量设为ｍ．设天平的左臂长为Ｌ１，右臂长为Ｌ２，根据杠杆平衡原理：当物体置于左盘时有：ｍｇＬ１＝ｍ１ｇＬ２，㊀①当物体置于右盘时有：ｍ２ｇＬ１＝ｍｇＬ２，㊀②①ː②，得ｍｍ２＝ｍ１ｍ，即有ｍ＝ｍ１ｍ２．于是得到第二类问题的解决公式为：ｍ＝ｍ１ｍ２．（３）３．把去县城的速度记为ｖ１千米／时，返回家的速度记为ｖ２千米／时，平均速度记作ｖ千米／时．设从家到县城的路程为ｓ千米，则去县城的时间ｔ１＝ｓｖ１，返回时的时间ｔ２＝ｓｖ２，由平均速度计算公式：平均速度＝总路程／总时间，可得：㊀㊀㊀㊀㊀ｖ＝２ｓｔ１＋ｔ２＝２ｓｓｖ１＋ｓｖ２＝２１ｖ１＋１ｖ２，于是得到第三类问题的一般性公式为：ｖ＝２１ｖ１＋１ｖ２（４）四㊁几种常见的平均数及其计算公式设有两个数ｘ１，ｘ２我们把ｘ－＝１２（ｘ１＋ｘ２）叫作ｘ１，ｘ２的算术平均数，把ｘ＝ｘ１ｘ２叫作ｘ１，ｘ２的几何平均数，把ｘᶄ＝２１ｘ１＋１ｘ２叫作ｘ１，ｘ２的调和平均数．推而广之，设有几个数ｘ１，ｘ２，ｘ３，，ｘｎ，这ｎ个数的算术平均数㊁几何平均数㊁调和平均数依次用下面公式来定义：ｘ－＝１ｎ（ｘ１＋ｘ２＋＋ｘｎ），ｘ＝ｎｘ１ｘ２ｘｎ，ｘᶄ＝ｎ１ｘ１＋１ｘ２＋＋１ｘｎ．五㊁平均数计算中的错误辨析１．例１中，错误解法为：ｘ－＝２０％＋３０％２＝２５％，现在分析一下产生错误的原因：①两次增长的百分率不能简单地相加，由于增长前后每年的基数不同，即今年比前年的增长率不是２０％＋３０％＝５０％，而是（１＋２０％）（１＋３０％）－１＝５６％．②平均增长率也不能用增长率除以２计算，即５０％ː２＝２５％是错误的，且５６％ː２＝２８％也是错误的，由公式（１）知：１＋ｘ是１＋ａ与１＋ｂ的几何平均数，而几何平均数根本不需除以２，故正确解为：ｘ＝（１＋２０％）（１＋３０％）－１ʈ２４．９％．③囿于习惯算法，误把几何平均数问题当成算术平均数问题，因而出现理论性错误．２．例２中，错误解法为ｍ＝１＋０．８１２＝０．９０５（千克），产生错误的原因有以下几点：①没有抓住问题的关键杠杆平衡原理，是产生错误的根本原因．②对物理课本中的论述多次测量取平均值，这样可减小误差，使测量结果更接近真实值没有理解透彻，而错误地把两次测得的值的平均值当成真实值．③本题求的是几何平均值，正确的结果是ｍ＝ｍ１ｍ２＝０．９（千克），即使算术平均数也巧合为０．９千克，理论上仍是错误的．３．例３中求平均速度出现错误的原因是：①对平均速度概念不理解是产生错误的根本原因．平均速度＝总路程／总时间，而不等于来去速度的算术平均值．②对平均片面的㊁习惯的理解是产生错误的另一个原因，根据公式（４），本题的平均速度ｖ是ｖ１与ｖ２的调和平均数，即ｖ＝２１１０＋１２０＝４０３（千米／时），难怪ｖ＝１０＋２０２＝１５（千米／时）错了．从上面分析的结果看，产生误解的一个重要原因是：没有对具体问题进行具体分析，囿于习惯定式，思维狭隘，乱套公式．因此，我们在教学中要更加注重培养学生分析问题和解决问题的能力，适当扩展学生的知识面，如引入几何平均数㊁调和平均数的概念，这样学生就不会把平均数简单理解为算术平均数，既可防止平均数计算中出现类似错误，又能培养学生解决实际问题的能力，推动素质教育的发展．六㊁平均数计算中出现误区的原因分析１．在平均数概念界定上的误区现在仍然有不少学生认为平均数就是算术平均数，把平均数计算程序化㊁机械化．造成这个局面的原因既有教师教的原因，如没有把概念讲透或没有对比不同类型的平均数计算，也有学生不认真学习的原因，如对概念理解粗糙．２．相关学科知识重点的理解偏移虽然平均数计算已经不是教学中的难点，但如果学生对各学科中相应知识的理解不够，如物理学中的平均速度㊁平均质量，统计学中的增长率问题等，他们仍然会把理解的重点放在算术平均数的概念上，把相应学科中的概念理解偏了，比如平均速度是指在一段时间内通过的总距离除以总时间，而不能理解成几个速度的平均值．３．对平均数的求法只顾算法，没有方法关于平均数的求法，大多数学生死套公式，不做具体分析，大部分教师在课堂上只讲解题模式，为后面的平均数应用题服务．这就造成一个学习理解的误区，学生只是想如何套用老师讲的解题模型，而不是探究怎样得出解决这个问题的方法，因此常常出现一些错误解法．七㊁平均数计算拓展练习１．某厂１月份产值为１２万元，２月份比１月份增长１０％，３月份又比２月份增长１４％，求每月的平均增长率．２．有一个杠杆（支点固定），当从左端下压撬起一重物时，用１００牛的力，从右端下压撬起同一重物时，用９００牛的力，问：这一物体的质量是多少？３．某市举报中心的信件处理员每天都要处理一定量的信件，已知处理员小李第一天处理信件的速度为６封／时，第二天处理的速度为１２封／时，问：小李这两天平均的处理速度是多少？４．十一长假期间，小李一家从天水出发到兰州去旅游，前一半路上的速度为４０千米／时，后一半路上的速度为６０千米／时，试问：整段路上的平均速度是多少？５．如果一个正方形与一个矩形的面积相等，那么正方形的边长是矩形长与宽的什么平均数？。

10.4基本不等式

2 2
三、总结 1、根据不等式的特征能灵活选用基本不等式 2、多次用基本不等式必须保持取“=”的一致性 3、用基本不等式时务必注意一正、二定、三相等这三个条件。
【例2】若正数a , b 满足ab=a+b+3，则a b的取值范围是， a+b的取值范围是________
( ab )2 2 ab 3 0 1)ab 3 a b 2 ab
ab 3即 ab 9 :
( a b) 2)a b 3 ab 4 2 (a b) 4(a b) 12 0 a b 6
2、当 x∈R 时，下列各函数中最小值为 2 的有 ①y＝x －2x＋4
2
+
② y＝
x 3
2
x 2
2
1 ③ y＝x＋ x
9 ④ y＝－x 4 4x
3、下列函数中，最小值为 4 的有
4 4 ① y x ② y sin x (0 x ) x sin x x x ③ y e 4e ④ y log 3 x 4 log x 3( x 1)
【例1】求下列函数的最值：
1 1) y x ( x 0) x 3 2) y 1 2 x ( x 0) x 2
x 3x 1 3) y ( x 1) x 1
x2 2x 2 4) y ( x 1) 2x 2
｝
2
aa=b时取“=”号）
ab ，那么 ab （当且仅当 2
二、例题选讲题型1、利用基本不等式比较大小例1、(教案诊断1) 若 1 ab a b 1, P lg a lg b , Q lg a lg b , R lg ， 2 2 试比较P，Q，R的大小。

平均数二：数值平均数

体标准差σ。
35
二、标准差的计算方法（一）直接法对于未分组或小样本资料，可直接利用（3—11）或（3-12）式来计算标准差。
36
【例3.9】计算10只辽宁绒山羊产绒量： 450， 450， 500， 500， 500，550， 550， 550， 600， 600，650（g）的标准差。
3
2
24
应用平均指标的原则 1．必须是同质的量方可平均； 2．总平均数与组平均数结合分析； 3．根据具体条件选择平均方法； 4．平均数与典型值和分配数列结合分析； 5．集中趋势与离散趋势结合分析。
25
第二节标准差
一、标准差的意义用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统计量。
【例3.2】将100头长白母猪的仔猪一月窝重（单位：kg）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。
5
要点解释
权数
权数（Weighted），是分布数列中的频数或频率。
对求平均数具有权衡轻重的作用，是影响平均数变
动的两个因素之一（另一因素是变量值）。
例
(1) x =5
(2) x =5
(3) x =4.75
X 频数频率(%) X 频数频率(%) X 频数频率(%)
4 10 25.0 4 20 25.0 4 20 50.0
5 20 50.0 5 40 50.0 5 10 25.0 6 10 25.0 6 20 25.0 6 10 25.0
合计 40 100.0 合计 80 100.0 合计 80 100.0
体的平均数为：

张敏强《教育与心理统计学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-常用统计参数【圣才出品】

第2章常用统计参数【学习目标】1．了解各种集中量数、差异量数和地位量数的概念、性质和作用，理解各种量数的适用条件及特点。

2．识记相关、散点图及相关系数的概念与彼此之间的关系。

3．掌握各种量数的计算方法，并能够熟练使用各种量数对测量数据的数据特征进行描述。

4．掌握各种常见相关分析方法的适用条件及计算方法。

2.1复习笔记一组变量的次数分布，一般至少有以下两个方面的基本特征：中心位置：用以度量一组数据的集中趋势，描述它们的中心位于何处，故对其数量化描述称为位置度量数或集中量数。

离散性：反映一组数据的分散程度，即次数分布的离散程度。

对其数量化描述称为次数分布变异特性的度量或差异量数。

中心位置相同的次数分布，其离散程度不一定相同。

对任何一个已知的次数分布，均可以计算出反映上述统计特征的量数。

在教育与心理统计中，总体统计特征的量数称为参数，用希腊字母表示，如μ，σ2，ρ等；样本统计特征的量数称为统计量，用英文字母表示，如X，S2，r等。

一、集中量数集中量数是指描述数据集中趋势的统计量，包括算术平均数、加权平均数、几何平均数、中数，等等，其作用都是用于度量次数分布的集中趋势。

（一）算术平均数算术平均数（简称平均数、均数）是用以度量连续变量次数分布集中趋势的最常用的集中量数。

1．总体平均数与样本平均数（1）总体平均数如果一个总体X 包含N 个元素，x i 是这个总体中的第i 个元素，则称x i 为第i 次观测值，那么对x 来讲，该总体的算术平均数被定义为：11=Nii x N μ=∑式中：μ——总体算术平均数；N——总体容量；i x ——第i 次观测值。

（2）样本平均数当无法对总体进行全面观测时，对于样本X ，其算术平均数被定义为:11n i i X x n =∑式中：X ——样本平均数；n ——样本容量。

2．加权平均数若已知各组平均数和各组人数，要求总的平均数时，则要用加权平均数的方法，其计算公式为:式中：——总平均数（或加权平均数）；12,,,k n n n …——各组人数；12,k ,X X X …，——各组平均数；12t k n n n n =+++…——总人数。

医学统计学课后答案

第二章1.答：在统计学中用来描述集中趋势的指标体系是平均数，包括算术均数，几何均数，中位数。

均数反映了一组观察值的平均水平，适用于单峰对称或近似单峰对称分布资料的平均水平的描述。

几何均数：有些医学资料，如抗体的滴度，细菌计数等，其频数分布呈明显偏态，各观察值之间呈倍数变化(等比关系)，此时不宜用算术均数描述其集中位置，而应该使用几何均数（geometric mean ）。

几何均数一般用G 表示，适用于各变量值之间成倍数关系，分布呈偏态，但经过对数变换后成单峰对称分布的资料。

中位数和百分位数：中位数（median ）就是将一组观察值按升序或降序排列，位次居中的数，常用M 表示。

理论上数据集中有一半数比中位数小，另一半比中位数大。

中位数既适用于资料呈偏态分布或不规则分布时集中位置的描述，也适用于开口资料的描述。

所谓“开口”资料，是指数据的一端或者两端有不确定值。

百分位数（percentile ）是一种位置指标，以P X 表示，一个百分位数P X 将全部观察值分为两个部分，理论上有X ％的观察值比P X 小，有（100-X ）％观察值比P X 大。

故百分位数是一个界值，也是分布数列的一百等份分割值。

显然，中位数即是P 50分位数。

即中位数是一特定的百分位数。

常用于制定偏态分布资料的正常值范围。

2.答：常用来描述数据离散程度的指标有：极差、四分位数间距、标准差、方差、及变异系数，尤以方差和标准差最为常用。

极差（range ，记为R ），又称全距，是指一组数据中最大值与最小值之差。

极差大，说明资料的离散程度大。

用极差反映离散程度的大小，简单明了，故得到广泛采用，如用以说明传染病、食物中毒等的最短、最长潜伏期等。

其缺点是：1.不灵敏； 2.不稳定。

四分位数间距（inter-quartile range ）就是上四分位数与下四分位数之差，即：Q ＝Q U －Q L ,其间包含了全部观察值的一半。

所以四分位数间距又可看成中间一半观察值的极差。

卫生统计学第三章平均数与标准差

(二)分组资料的均数计算法：频数表法 P20例3-2，步骤： 1、分组和编制频数分布表frequency distribution table
– 1)找出观察值中最大值、最小值和极差range – 2)按极差大小决定组段数、组段和组距class interval：8～15组，常用极差的1/10取整作组距，组段下限和上限low limit and upper limit应界限分明，无交叉，从下限开始不包括上限，第一组段包括最小，最后组段包括最大观察值 – 3)列表划记tallying：见P20表3-2。频数表可绘成直方图histogram
3、简捷法short-cut method 1)在频数表的基础上，以与最大频数相对应的组中值为假定均数x0, assumed origin 2)列出简捷法计算均数用表，
– d为各组组中值减去假定均数后除以组距i，假定均数对应d为0，向上依次为-1，-2，… 向下依次为1，2，…
3)将各行f值与d值相乘得df，再求∑df 4)求均数 41 df
4、质量控制：为了控制实验中的检测误差，常以均数加减2个标准差作为上、下警戒值，以均数加减3个标准差作为上、下控制值。 5、标准正态分布 x 标准化变换： u

若x服从正态分布N(μ ,σ )，由则u服从均数为0，标准差为1的正态分布，称为标准正态分布。u(外文资料用z表示)称为标准正态离差the standardized deviate (or z-value) 可以借助标准正态表估计任意(x1,x2)范围内的频数比例(附表3－1，标准正态分布表)
3、正常值(参考值reference value)范围：医学上常把绝大多数(90%,95%,99%)正常人的某指标值范围称为该指标的正常值范围。资料近似正态或经变量变换后符合正态分布时可用上述面积规律来估计95％正常值范围，偏态资料可用百分位数法。正常人并非完全健康的人，而是指排除了影响所研究指标的疾病和有关因素的同质人群。按实际需要确定上下限或仅上限或仅下限。双侧：1.64,1.96,2.58;单侧：1.28, 1.64, 2.33

统计学平均指标

A. 简单几何平均数
G n x1 x2 xn n xi
式中：G为几何平均数; 为n 变量值的个数；为xi第个变i 量值。
【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95﹪、92﹪、 90﹪、85﹪、80﹪，求整个流水生产线产品的平均合格率。
分析：
设经过第一道工序生产出A个单位，则第一道工序的合格品为A×0.95；第二道工序的合格品为（A×0.95）×0.92；
成绩（分）
x
60 100 合计
人数（人）
f
甲班乙班丙班
39
1
20
1
39
20
40
40
40
思考题:依据下例,分析说明算术平均数的影响因素
成绩（分）
x
60 100
人数（人）
f
甲班乙班丙班
39
1
20
1
39
20
平均成绩（分） 61
99
80
加权算术平均数的计算方法归纳
变量数列中各组标志值出现的次数权数（频率），反映了各组的标志值对
…… 第五道工序的合格品为（A×0.95×0.92×0.90×0.85）×0.80；
因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品，故该流水线总的合格品应为
A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；则该流水线产品总的合格率为：
总合格品总产品
A
0.95 0.92 0.90 0.85 0.80 A
x1 f1 x2 f2 xm fm f1 f2 fm
xi fi
i 1 m
fi
i 1
式中：
m
为X算术平均数; 为第fi 组的i次数；为组数X；i 为第i组的标志值或组中值。

体育统计学参考公式

体育统计学参考公式体育中常用的连加求和运算：为了避免符号过于复杂，今后凡在求和范围可以看清的条件下，通常将∑号上下标省略不写，简记为：中位数：几何平均数：算术平均数：全距（极差，两极差）：R ＝最大值（X max ）－最小值（X min ）总体方差的计算公式：总体标准差的计算公式：样本方差的计算公式：样本标准差的计算公式：N X N X X X Ni i N ==+++121 N X N X X X X N i i N ∑==+++=121 nni i x x x x +++=∑= 211n n i ni i y x y x y x y x +++=∑= 22111∑=+++=ni n ix x x x 1222212 ()22121n n i i x x x x +++=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑= ∑i x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+N N N 12221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+为偶数时当为奇数时当N X X N X Md N N N1222121=-n 1i i xx 绝对差∑=-=n 1i i x x 绝对差n 1i i =n x x n 1i i ∑=-=平均差N X N i i =-122)N X X N i i ∑=-=122)(σN X Ni i =-12)N X X N i i ∑=-=12)(σ1221=-n i i n 1)(1221--=∑=-n x x S n i i n 121=-ni i n 1)(121--=∑=-n x x S n i i n正态分布函数的一些性质：1. 概率密度函数在x 的上方，即f (x )>02. 正态曲线的最高点在均值μ，它也是分布的中位数和众数3. 正态分布是一簇分布，每一特定正态分布通过均值μ和标准差σ来区分。

μ决定曲线的位置，称为位置参数；σ决定曲线的形状，称为形状参数。

4. 曲线f (x )相对于均值μ对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交5. 正态曲线下的总面积等于1，即概率值等于16. 随机变量的概率由曲线下的面积给出任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布：标准正态分布表的使用：1. 先将一个一般正态分布转换为标准正态分布2. 计算概率时，查标准正态概率分布表3. 对于负的 x ，可由Φ (-x )1=- Φ (x )得到4. 对于标准正态分布，即X ~N (0,12)，有P (a ≤ X ≤b ) = Φ (b ) -Φ (a ) P (|X| ≤a ) = 2Φ (a ) -1 5. 对于一般正态分布，即X ~N (μ , σ2)，有：标准化的例子A （5，102）12.01052.6=-=-=σμx U x μ=5σ=10一般正态分布6.2σ=1u标准正态分布μ=00.12.0478P (5 ≤X ≤6.2)标准化的例子B （5，102）5σ = 102.97.1X一般正态分布21.01051.7 21.1059.221=-=-=-=-=-=σμσμx U x U 0σ = 1-.21Z.21.1664.0832.0832标准正态分布P (2.9 ≤X ≤7.1)正态分布理论在体育中的应用：一：应用正态分布理论制定考核标准制定考核标准的步骤： 1：制作正态曲线的分布草图。