高中数学专题——二项分布
7.4.1二项分布PPT课件(人教版)
二、素养训练
1．某一批花生种子，如果每 1 粒发芽的概率都为45，那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的 概率是( )
12 A.125
48 B.125
16 C.125
96 D.125
解析 播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率为 C23452×1－45＝14285.
答案 B
2．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第 X 次首次测到正
解析 设出现正面向上的次数为 X，则 X～B5，12，故 P(X＝3)＝C351231－122＝156.
答案
5 16
3．某人射击一次击中目标的概率为0.6, 经过3次射击， 此人至少有两次击中目标的概 率为__________． 解析 设击中目标的次数为X，则X～B(3，0.6)． 故 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C230.62(1－0.6)＋C330.63＝0.648.
好发生 k 次的概率 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.
(√)
[微训练]
1．已知 X～B6，13，则 P(X＝4)＝__________．
解析 P(X＝4)＝C461341－132＝22403.
答案
20 243
2．连续掷一枚硬币5次， 恰好有3次出现正面向上的概率是__________．
1．n重伯努利实验的概念 只包含__两__个可能结果的实验叫做伯努利实验，将一个伯努利实验独立地重 复进行n次所组成的随机实验称为n重伯努利实验．
2．n重伯努利实验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利实验重复做n次； (2)各次实验的结果相互独立．
3．二项散布 一般地，在n重伯努利实验中，设每次实验中事件A产生的概率为p(0<p<1)， 用X表示事件A产生的次数，则X的散布列为： P(X＝k)＝___C_nk_p_k_(1_－__p_)_n－_k____，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的散布列具有上式的情势，则称随机变量X服从二项散布，记作 __X__～__B_(_n_，__p_) ______． 4 ． 一 般 地 ， 可 以 证 明 ： 如 果 X ～ B(n ， p) ， 那 么 E(X) ＝ np ， D(X) ＝ ___n_p_(1_－__p_)_______．
二项分布教学课件ppt
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
x
(0.2+0.8)3 二项分布示意图
构成成-败型实验序列的n次实验中，事件A出现 的次数X的概率分布为：
P X CnX X 1 nX
其中X=0，1，2…，n。 n，π是二项分布的两个参数 。
对于任何二项分布，总有
中国福利彩票
发行量1500万元，特等奖100个，金额5万元； 每张彩票面值2元，中奖概率1/75000。
投入金额 未中概率 中奖概率
100元 1000元 1万元 10万元 100万元 0.99933 0.99336 0.93551 0.51341 0.00127 0.00067 0.00664 0.06449 0.48659 0.99873
例4-2 临床上用针灸治疗某型头疼，有效的概率为60% 现以该疗法治疗3例，其中2例有效的概率是多大？
B(X;n,π)或B(n,π)。
二项分布的概率函数
• 任意一次试验中，只有事件A发生和不发生
两种结果，发生的概率分别是: 和1－
• 若在相同的条件下，进行n次独立重复试验，
用X表示这n次试验中事件A发生的次数，那 么X服从二项分布，记做 XB(n,) 或 B(X;n,π) 。
举例 设实验白鼠共3只，要求它们同种属、同 性别、体重相近，且他们有相同的死亡概率， 即事件“白鼠用药后死亡”为A，相应死亡概率 为π。记事件“白鼠用药后不死亡”为 ，相 应不死亡概率为1-π。设实验后3只白鼠中死亡 的白鼠数为X，则X的可能取值为0，1，2和3，
例 实验白鼠3只，白鼠用药后死亡的死亡概率 π=0.6，则3只白鼠中死亡鼠数X的总体均数为
二项分布应用举例
二项分布及其应用知识归纳1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做 ，用符号 来表示，其公式为P (B |A )＝ .在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝ . (2)条件概率具有性质：① ；②如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ＋C |A )＝ ． 2．相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝ ， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝ ．(3)若A 与B 相互独立，则 ， ， 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则 ． 3．二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为 (p 为事件A 发生的概率)，若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为 ．自我检测1．(2011·辽宁高考，5)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18 B.14 C.25D.12解析：条件概率P (B |A )＝P AB P A P (A )＝C 23＋1C 25＝410＝25，P (AB )＝1C 25＝110，∴P (B |A )＝11025＝14.2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238 C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582解：事件{ξ＝12}表示第12次取到红球，前11次取到9个红球，故P (ξ＝12)＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389·⎝ ⎛⎭⎪⎫582·38.3．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23 D.34解析：∵甲、乙两队决赛时每队赢的概率相等，∴每场比赛甲、乙赢的概率均为12.记甲获冠军为事件A ，则P (A )＝12＋12×12＝344．(2010·福建高考，13)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．解析：由题设分两种情况：(1)第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4. (2)第1、2个错误，第3、4个正确，由互斥事件的概率公式得P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6. ∴P ＝P 1＋P 2＝0.128. 5．(2011·上海高考，12)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率是________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．解析：设事件A 为“至少有2位同学在同一月份出生”，则A 的对立事件A 为“所有人出生月份均不相同”，则P (A )＝1－P (A )＝1－A 912129＝1－12×11×10×9×8×7×6×5×4129≈1－0.015 5＝0.984 5≈0.985.题型讲解例1.(2011·湖南高考，15)如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________； (2)P (B |A )＝________.[解析] ∵P (A )＝S 正方形S 圆＝22π＝2π. P (B |A )＝P AB P A ＝S △EOH S 正方形＝14.[规律方法]……………►►条件概率的求法：(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P ABP A.这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n ABn A.练习1．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．解析：(1)①P (A )＝26＝13. ②∵两个骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．∴P (B )＝1036＝518. ③当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P (AB )＝536. (2)由(1)知P (B |A )＝P ABP A ＝53613＝512.例2.(2012·重庆高考，18)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率． 解析] 设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)．(1)记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1 B 1 A 2B 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)P (B 3) ＝23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1327. (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (D )＝P (A 1 B 1 A 2B 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2A 3) ＝P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427. [规律方法]……………►►(1)相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生；(2)求用“至少”表述的事件的概率时，先求其对立事件的概率往往比较简单．练习2．(2011·山东高考，18改编)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘．已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列．解析：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F .则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DE F )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知D E F、D E F、D E F是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(D E F)＋P(D E F)＋P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15. 由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：例3.(2010·四川高考，17改编)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率，(2)求中奖人数Ｘ的分布列．[解析] (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么P (A )＝P (B )＝P (C )＝16.P (A ·B ·C )＝P (A )P (B )P (C )＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝25216.甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是25216. (2)X 的可能取值为0,1,2,3. P (Ｘ＝k )＝C k 3 ⎛⎪⎫16k ⎛⎪⎫563－k，k ＝0,1,2,3.所以中奖人数X 的分布列为[规律方法]………………►►(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的．②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．练习3．(2012·四川高考，17)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．解析：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C －)＝1－110·p ＝4950.解得p ＝15.(2)设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D ， 那么P (D )＝C 23110·(1－110)2＋(1－110)3＝9721000＝243250. 故系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243250.例4.(2013·苏州模拟)一个袋中装有黑球、白球和红球共n (n ∈N *)个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25.现从袋中任意摸出2个球．(1)若n ＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布列；(2)当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？[解析] (1)设袋中黑球的个数为x 个，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A ，则P (A )＝x15＝25.∴x ＝6. 设袋中白球的个数为y 个，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B ，则P (B )＝1－C 215－yC 215＝47，∴y 2－29y ＋120＝0，∴y ＝5或y ＝24(舍)．∴红球的个数为15－6－5＝4(个) ∴随机变量ξ的取值为0,1,2ξ 0 1 2P1122 44105 235(2)设袋中有黑球z 个，则z ＝25n (n ＝5,10,15，…)．设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C ，则P (C )＝1－C 235nC 2n ＝1625＋625×1n －1，当n ＝5时，P (C )最大，最大值为710.强化训练1．抛掷甲、乙两枚骰子，若事件A ：“甲骰子的点数小于3”，事件B ：“甲、乙两枚骰子的点数之和等于6”，则P (B |A )的值等于( )A.13B.118C.16D.19 解析：由题意知P (A )＝1236＝13，P (AB )＝236＝118，∴P (B |A )＝P ABP A ＝11813＝16.2．(2010·辽宁高考)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512 C.14 D.16解析：设事件A ：“一个实习生加工一等品”，事件B ：“另一个实习生加工一等品”，由于A 、B 相互独立，则恰有一个一等品的概率P ＝P (A ∩B )＋P (A ∩B ) ＝P (A )＝P (B )＋P (A )P (B )＝23×14＋13×34＝512.3．(2011·湖北高考)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576解析：A 1、A 2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A 1、A 2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.4．位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125 B ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125 C ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫123 D ．C 25C 35(12)5解析：质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123，故选B.5．如果ξ～B (15，14)，则使P (ξ＝k )取最大值的k 值为( )A ．3B ．4C ．5D ．3或4解析：(特殊值法)∵P (ξ＝3)＝C 315⎝ ⎛⎭⎪⎫143⎝ ⎛⎭⎪⎫3412， P (ξ＝4)＝C 415⎝ ⎛⎭⎪⎫144⎝ ⎛⎭⎪⎫3411，P (ξ＝5)＝C 515⎝ ⎛⎭⎪⎫145⎝ ⎛⎭⎪⎫3410从而易知P (ξ＝3)＝P (ξ＝4)>P (ξ＝5)．6．(2012·重庆高考，15)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节间接法，分两，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答解析：使用间接法，分两类：①某两节文化课之间间隔2节艺术课方法数为C 23·A 22·C 12·C 13·A 33＝216种．②某2节文化课之间间隔3节艺术课方法数为：C 12·A 33·A 33＝72种，故所求事件概率为P ＝1－216＋72A 66＝1－25＝35. 7．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋18解：小球落入A 袋左侧的概率为12×12×12＝18，同理落入右侧的概率为18，∴P＝34. 8．(2010·安徽高考，15)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． 解析：对①，P (B )＝C 15C 110×C 15C 111＋C 15C 110×C 14C 111＝922；②，P (B |A 1)＝C 15C 111＝511；③，由P (A 1)＝12，P (B )＝922，P (A 1·B )＝522知P (A 1·B )≠P (A 1)·P (B )．故事件B 与事件A 1不是相互独立事件；④，从甲罐中只取一球，若取出红球就不可能是其他，故两两互斥； ⑤，由①可算得． 答案：②④9．(2011·大纲卷，18)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X 的期望．解析：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种； D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；(1)P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，C ＝A ＋B ，P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.8. (2)D ＝C ，P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2，X ～B (100,0.2)，即X 服从二项分布，所以期望EX ＝100×0.2＝20.10．(2011·天津高考，16)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)． (1)求在1次游戏中；(ⅰ)摸出3个白球的概率；(ⅱ)获奖的概率； (2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望EX .解析：(1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，则P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3.又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－7102＝9100，P (X ＝1)＝C 12710⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＝2150，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7102＝49100. 所以X 的分布列是X 的数学期望EX ＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75. 11．(2012·山东高考，19)现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX . 解析：(1)记该射手命中“甲”、“乙”靶分别为事件A ，B . 由已知P (A )＝34，P (B )＝23.记“该射手恰好命中一次”为事件C ，因为每次射击结果相互独立，∴P (C )＝P (A B B )＋P (A B B )＋P (A B B )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＋2×14×23×13＝736.(2)由已知，X 的可能取值有：0,1,2,3,4,5，P (X ＝0)＝P (A B B )＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝136；P (X ＝1)＝P (A B B )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝112；P (X ＝2)＝P (A B B )＋P (A B B )＝2×14×23×13＝19；P (X ＝3)＝P (AB B )＋P (A B B )＝2×34×13×23＝13； P (X ＝4)＝P (A BB )＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝19； P (X ＝5)＝P (ABB )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝13， ∴X 的分布列如下：∴EX ＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
高中数学-概率与统计专题
概率与统计专题一：二项分布一、必备秘籍一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (01p <<)，用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为()(1)k k n k n P X k C p p -==-（0,1,2,k n =）如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布（binomial distribution ），记作(,)X B n p 。
二、例题讲解1．（2021·全国高三其他模拟）羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为34，乙选手在每回合中得分的概率为14．（1）在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合比赛甲获胜的概率；（2）在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X，求X的分布列及数学期望()E X．2．（2021·青铜峡市高级中学高三开学考试（理））设甲､乙两位同学上学期间，.假定甲､乙两位同学到校情况互不影响，且任每天7：30之前到校的概率均为23一同学每天到校情况相互独立.（1）用X表示甲同学上学期间的每周五天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多3天”为事件M，求事件M发生的概率. 3．（2020·全国高三专题练习（理））一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1.3（1）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列、期望、方差；（2）设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.实战练习1．（2021·湖北武汉·）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世，那么在本次运动会上：界纪录的概率都是23（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X ，求X 的分布列及期望．2．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高三开学考试）某医院为筛查某病毒，需要检验血液是不是阳性，现有)(n n N *∈份血液样本，为了优化检验方法，现在做了以下两种检验方式：实验一：逐份检验，则需要检验n 次.实验二：混合检验，将其中m （n *∈N 且2m ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这m 份血液样本全为阴性，因而这m 份血液样本只要检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这m 份血液样本究竟哪几份为阳性，就要对这m 份血液样本再逐份检验，此时这m 份血液样本的检验次数总共为1m +.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为)(01p p <<.现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记釆用逐份检验方式，需要检验的这k 份样本的总次数为1ξ，釆用混合检验方式，需要检验的这k 份样本的总次数为2ξ.（1）若每份样本检验结果是阳性的概率为15P =，以该样本的阳性概率估计全市的血液阳性概率，从全市人民中随机抽取3名市民，（血液不混合）记抽取到的这3名市民血液成阳性的市民个数为X ，求X 的分布列及数学期望（2）若每份样本检验结果是阳性的概率为1p =总次数2ξ的期望值比逐份检验的总次数1ξ的期望值更少，求k 的最大值.（ln 4 1.386≈，ln5 1.609≈，ln 6 1.792≈）3．（2021·全国高三其他模拟（理））新冠疫情这特殊的时期，规定居民出行或出席公共场合均需佩戴口罩，现将A 地区居民20000人一周的口罩使用量统计如表所示，其中1个人一周的口罩使用为6个以及6个上的有14000人.（1）求m 、n 的值；（2）用样本估计总体，将频率视为概率，若从A 地区的所有居民中随机抽取4人，记一周使用口罩数量（单位：个）在范围[)6,8的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.4．（2021·新沂市第一中学高三其他模拟）市教育部门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该市某校200名高中学生的课外体育锻炼平均每天锻炼的时间进行了调查，数据如下表：将学生日均课外体育锻炼时间在[40,60]内的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关；（2）从上述课外体育不达标的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男生的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；（3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有高中学生中抽取4名学生，求其中恰好有2名学生课外体育达标的概率. 5．（2021·陕西汉中·高三月考（理））树木根部半径与树木的高度呈正相关，即树木根部越粗，树木的高度也就越高.某块山地上种植了A树木，某农科所为了研究A树木的根部半径与树木的高度之间的关系，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取6棵A树木，调查得到A树木根部半径x(单位：米)与A树木高度y(单位：米)的相关数据如表所示：（1）求y关于x的线性回归方程；（2）对（1）中得到的回归方程进行残差分析，若某A树木的残差为零，则认为该树木“长势标准”，以此频率来估计概率，则在此片树木中随机抽取80棵，记这80棵树木中“长势标准”的树木数量为X，求随机变量X的数学期望与方差.参考公式：回归直线方程为y bx a=+，其中()()()1122211,n ni i i ii in ni ii ix y nxy x x y yb a y bxx nx x x====---===---∑∑∑∑6．（2021·四川成都·双流中学高三三模（理））从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图.（1）求a 的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高（假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180cm 以上的概率.若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X 表示身高在180cm 以上的男生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X .7．（2021·安徽安庆一中高三三模（理））安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%､选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%､选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是23，择餐厅乙就餐的概率是13，记某同学第n 天选择甲餐厅就餐的概率为n P . （1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X ，求X 的分布列，并求E (X )；（2）请写出1n P +与(*)n P n N ∈的递推关系；（3）求数列{}n P 的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.8．（2021·湖北恩施·高三其他模拟）目前某市居民使用天然气实行阶梯价格制度，从该市随机抽取10户调查同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：（1）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；（2）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市居民中抽取10户，其中恰有k 户年用气量不超过228立方米的概率为()P k ，求使()P k 取到最大值时，k 的值.概率与统计专题二： 超几何分布一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品．从N 件产品中随机抽取n 件(不放回），用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为2,r其中n ，N ，M N *∈，M N ≤，n N ≤，max{0,}m n N M =-+，min{,}r n M =，则称随机变量X 服从超几何分布．1.公式 C C ()C kn k M N M n NP X k --== 中个字母的含义N —总体中的个体总数M —总体中的特殊个体总数(如次品总数)n —样本容量k —样本中的特殊个体数(如次品数)注意：(1)“由较明显的两部分组成”:如“男生、女生”，“正品、次品”；(2) 不放回抽样；(3) 注意分布列的表达式中，各个字母的含义及随机变量的取值范围。
高二数学选择性必修件二项分布
假设检验的基本思想
通过构造一个与原假设相对立的备择假设，然后根据样本信息来 判断原假设是否成立。
假设检验的步骤
明确原假设和备择假设，选择合适的检验统计量，确定显著性水平 ，计算检验统计量的值，根据统计量值做出决策。
假设检验中的两类错误
第一类错误是原假设为真时拒绝原假设，第二类错误是原假设为假 时接受原假设。
间或空间内的发生次数。在实际应用中，可以根据问题的具体背景和条
件选择合适的概率模型。
05
CATALOGUE
二项分布参数估计方法
最大似然估计法
原理
最大似然估计法是一种基于概率 的估计方法，它认为在已知样本 的情况下，选择使得样本出现概
率最大的参数作为估计值。
步骤
首先，根据二项分布的概率质量函 数构造似然函数；然后，对似然函 数取对数并求导，令导数为0解得 参数的最大似然估计值。
最大似然估计法是基于频率学派的观点，认为参数是固 定的未知常数，通过最大化样本出现的概率来求解参数 ；
优缺点分析
贝叶斯估计法能够充分利用先验信息，对于小样本数据 也能得到较好的估计结果，但计算相对复杂，且对先验 分布的选择有一定主观性。
06
CATALOGUE
二项分布假设检验问题探讨
假设检验基本原理介绍
04
CATALOGUE
二项分布与泊松分布关系
泊松分布定义及公式
泊松分布定义
泊松分布是一种离散型概率分布，用 于描述在给定时间间隔或空间内，某 一事件发生的次数的概率分布。
泊松分布公式
P(X=k) = λ^k * e^(-λ) / k!，其中λ 是单位时间（或单位面积）内随机事 件的平均发生率，k是事件发生的次数 。
高中数学二项分布知识点
高中数学二项分布知识点
高中数学中，二项分布是离散概率分布的一种重要形式，它描述了在
一系列独立的随机试验中，成功的次数的概率分布。
下面是关于高中数学
二项分布的知识点：
1.二项分布的定义：
二项分布指的是在进行了n次独立的、相同的试验中，成功的次数X
服从二项分布的概率分布，记作X~B(n,p)，其中n表示试验次数，p表示
每次试验成功的概率。
2.二项系数：
在二项分布中，成功的次数为k的概率为P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-
p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数，计算公式为C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)。
3.二项分布的期望和方差：
二项分布的期望为E(X) = np，方差为Var(X) = np(1-p)。
4.二项分布的性质：
(1) 二项系数的和为1，即Σ[P(X=k), k=0 to n] = 1
(2)二项分布是离散分布，且概率密度函数的图形呈现出左偏的形态。
(3)当n很大时，二项分布可以近似地用正态分布来表示。
5.二项分布的应用：
(1)在质量检验中，二项分布可以用来计算生产批次中合格品的数量。
(2)在医学研究中，二项分布可以用来计算罹患其中一种疾病的患者数量。
(3)在市场调查中，二项分布可以用来计算顾客购买其中一种产品的概率。
(4)在投资分析中，二项分布可以用来计算只股票在未来一段时间内上涨或下跌的概率。
二项分布知识点
二项分布知识点对于很多人来说，二项分布可能是一个比较陌生的概念。
但实际上，它是概率论中非常重要的一种概率分布，常常被应用于实际问题的解决中。
一、二项分布的定义二项分布（Binomial distribution）是一种离散型概率分布，它描述的是独立重复试验中成功次数的概率分布。
其中，“独立”指的是每次试验不会受到前一次试验结果的影响，“重复”指的是试验可以进行多次，“成功”指的是每次试验成功的概率。
二项分布的数学表达式为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功的次数为k的概率，n表示试验次数，p 表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示从n次试验中选取k次成功的组合数。
二、二项分布的性质1. 期望值与方差二项分布的期望值与方差分别为：E(X) = npVar(X) = np(1-p)其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
2. 大数定理大数定理是概率论中的一条基本定理，用于描述随机事件的平均值会随着实验次数的增加而趋于稳定。
在二项分布中，当试验次数n越大，成功概率p越小时，二项分布越趋近于正态分布。
3. 中心极限定理中心极限定理是概率论中的另一条重要定理，用于描述当随机事件独立重复多次时，这些事件的和的分布趋近于正态分布。
在二项分布中，当试验次数n越大时，二项分布的形状趋近于正态分布。
三、二项分布的应用二项分布常常应用于实际生活中的问题中，例如：1. 产品合格率问题假设一个工厂制造的产品合格率为90%，每生产100个产品取样检验，成功率不变，求生产的100个产品中至少有95%产品合格的概率。
解：由于每个产品是否合格是一个二项分布，因此可以使用二项分布来求解。
令X为合格的数量，n=100，p=0.9，由于要求至少95%的合格率，因此可以计算X≥95的概率：P(X≥95) = 1 - P(X<95) = 1 - Σ i=0…94 (100 i) * 0.9^i * 0.1^(100-i) ≈ 0.021因此，生产的100个产品中至少有95%产品合格的概率为2.1%左右。
高考专题复习 二项分布(解析版)
（3）由题意，得 ～
，从而
：
； 所以 的分布列为
X
0
1
P
： .
2
3
故
：
.
考向三 超几何分布与二项分布区分
【例 3】某地区为调查新生婴儿健康状况，随机抽取 6 名 8 个月龄婴儿称量体重（单位：千克），称量结果 分别为 6，8，9，9，9.5，10.已知 8 个月龄婴儿体重超过 7.2 千克，不超过 9.8 千克为“标准体重”，否 则为“不标准体重”.
(1)根据样本估计总体思想，将频率视为概率，若从该地区全部 8 个月龄婴儿中任取 3 名进行称重，则至少 有 2 名婴儿为“标准体重”的概率是多少？
(2)从抽取的 6 名婴儿中，随机选取 4 名，设 X 表示抽到的“标准体重”人数，求 X 的分布列和数学期望.
【答案】(1) P( A) 20 (2)见解析 27
（Ⅰ）用该实验来估测小球落入 4 号容器的概率，若估测结果的误差小于 ，则称该实验是成功的.试问：
该兴趣小组进行的实验是否成功？（误差
）
（Ⅱ）再取 3 个小球进行试验，设其中落入 4 号容器的小球个数为 ，求 的分布列与数学期望.（计算时采 用概率的理论值）
【答案】（Ⅰ）是成功的；（Ⅱ）详见解析.
(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过 100 km/h 的人中随机抽取 2 人，求这 2 人恰好有 1 名男性驾 驶员和 1 名女性驾驶员的概率；
(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车平均车速超过 100
km/h 且为男性驾驶员的车辆为 X，求 X 的概率分布．
a
考向二 二项分布
【例 2】为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得 到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 40 人， 不超过 100 km/h 的有 15 人；在 45 名女性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 20 人，不超过 100 km/h 的有 25 人．
高中二项分布归纳总结
高中二项分布归纳总结
哎呀，二项分布这东西，一开始我真是觉得头都大啦！就好像在黑暗中找路，完全摸不着头脑。
你想想啊，咱们抛硬币，正面朝上或者反面朝上，这是不是很简单？但二项分布就把这种简单的事儿变得复杂起来。
比如说，咱们抛10 次硬币，想知道出现5 次正面朝上的概率是多少。
这时候二项分布就派上用场啦！它能帮咱们算出来。
二项分布里有个n ，还有个p 。
n 就好比咱们抛硬币的次数，p 呢，就是每次抛硬币正面朝上的概率。
那怎么算呢？就好像搭积木一样，一块一块地来。
先确定n 和p ，然后根据公式去算。
老师在讲台上讲得唾沫横飞，我在下面听得云里雾里。
我就想：“这到底是啥呀？怎么这么难理解！”
我旁边的同学也直挠头，小声跟我说：“这也太难了，感觉比登天还难！”
后来，老师举了好多例子，比如抽奖，有多少个奖，每次抽奖中奖的概率是多少，要算抽多少次能中几个奖的概率。
慢慢地，我好像有点开窍了。
原来二项分布就是在算这种类似的事情呀！
再后来，做练习题的时候，一开始我还是错得一塌糊涂。
我就着急呀，“怎么还是不会呢？” 但是我没放弃，不停地问老师，问同学。
终于，我能做出一些题目啦！这感觉，就像在黑暗中走了好久，突然看到了一丝光亮。
你说，学习新知识不就像爬山嘛，一开始觉得山好高好难爬，但是只要坚持，一步一步往上走，总会爬到山顶，看到美丽的风景！
所以啊，我觉得二项分布虽然一开始很难，但只要我们用心学，多练习，就一定能掌握它！。
知识讲解_高考总复习：二项分布与正态分布(基础)
高考总复习：二项分布与正态分布【考纲要求】一、二项分布及其应用1、了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2、理解n次独立重复试验的模型及二项分布；3、能解决一些简单的实际问题。
二、正态分布利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
【知识网络】【考点梳理】考点一、条件概率1．条件概率的定义设A、B为两个事件，且P（A）＞0，称P（B|A）=P（AB）/P（A）为在事件A发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
要点诠释：条件概率不一定等于非条件概率。
若A，B相互独立，则P（B|A）=P（B）。
2．条件概率的性质①0≤P（B|A）≤1；②如果B、C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）。
考点二、独立重复试验及其概率公式1．事件的相互独立性设A、B为两个事件，如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立。
2.判断相互独立事件的方法(1)利用定义:事件A、B相互独立，则P(AB)=P(A)·P(B)；反之亦然。
(2)利用性质:A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B , A 与B 也都相互独立. (3)具体模型①有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的.②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验. 要点诠释：要明确“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的含义。
已知两个事件A 、B ，则A 、B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； A 、B 都发生的事件为AB ； A 、B 都不发生的事件为AB ；A 、B 恰有一个发生的事件为AB ∪AB ；A 、B 中至多有一个发生的事件为AB ∪AB ∪AB 。
3．独立重复试验 （1）独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，即若用(1,2,,)i A i n =表示第i 次试验结果，则123123()()()()()n n P A A A A P A A A A =（2）独立重复试验的概率公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：()(1)k k n k n n P k C P p -=-。
二项分布-高考数学知识点
二项分布-高考数学知识点
知识点总结
1.二项分布的定义二项分布即重复n次的伯努力试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验
2.超几何分布在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，则P(X=k) 此时我们称随机变量X服从超几何分布1）超几何分布的模型是不放回抽样2）超几何分布中的参数是M,N,n 上述超几何分布记作X~H(n，M，N)。
高中 数学 选修 二项分布及其应用
二项分布及其应用【知识要点】1、条件概率的定义和性质（1）定义：一般地，设A,B 为两个事件，且 ，称)()()(A P AB P A B P =为在 的条件下， 的条件，)(A B P 读作A 发生的条件下B 发生的概率。
（2）性质：①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即 ②如果B 和C 是两个互斥事件，则2、事件的相互独立性设A ，B 为两个事件，如果 ，则称事件A 与事件B 相互独立。
如果事件A 与B ，那么A 与-B ,-A 与B ，-A 与-B 也都3、n 次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n 次试验成为 。
4、二项分布若设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为()__________,P X k ==其中k 的取值为_________.此时随机就是X 服从二项分布，记为 ，并称P 为成功概率。
【典型例题】1、甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%求：甲市为雨天，乙市也为雨天的概率 乙市为雨天，甲市也为雨天的概率2、加工某种零件需经过三道工序。
设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87，且各道工序互不影响。
(1) 求该种零件的合格率；(2) 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。
3、某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）： （1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率4、从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加计算机理论测试，每位同学通过测试的概率为0.7，试求：（Ⅰ）选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；（Ⅱ）选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率； （Ⅲ）设选出的三位同学中男同学的人数为ξ，求ξ的概率分布.【巩固练习】1、一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为 （ ） A.41004901C C - B.4100390110490010C C C C C + C.4100110C C D.4100390110C C C .2、已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( ) A.310 B.29 C.78 D.793、国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ) A.5960 B.35 C.12 D.1604、如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率 都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为 ( )A.18B.14C.12D.1165、位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 （ )A ．(12)3B ．25C (12)5 C ．35C (12)3D ．25C 35C (12)56、甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 （ ）A. 0．216B.0．36C.0．432D.0．648 7、已知随机变量服从二项分布，，则(等于 ( )A.B. C.D.8、设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第次首次测到正品，则等于 ( )A. B. C. D.9、设随机变量的概率分布列为，则的值为 （ ）A B C D10、甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为，乙投中的概率为，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为，若甲先投，则等于（ ）A.B.C.D.二. 填空题1、设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________________．2、有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．3、某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击4次，至少击中3次的概率是________．4、三人独立地破译一个密码，它们能译出的概率分别为、、，则能够将此密码译出的概率为________．三. 解答题1、甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．2、一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被该考生正确做出的概率都是34.(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；(2)若该考生至少正确作出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．3、某单位有6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立） （1）求至少3人同时上网的概率；（2）至少几个人同时上网的概率小于0.3。
二项分布与超几何分布新教材人教高中数学选择性必修第三册课件全文
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
所以X的分布列为
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟 超几何分布的求解步骤(1)辨模型:结合实际情境分析所求概率分布问题是否能转化为超几何分布模型.(2)算概率:可以直接借助公式P(X=k)= 求解,也可以利用排列、组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数M,N,n,k的含义.(3)列分布列:把求得的概率值通过表格表示出来.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
所以X的分布列为
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究 1.在本例条件下,若记取到白球的个数为随机变量η,求随机变量η的分布列.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次,每次抽取1个球”,其他条件不变,结果又如何?
激趣诱思
知识点拨
微练习设10件产品中有3件次品、7件正品,现从中抽取5件,求抽得次品件数ξ的分布列.
解:由题意知ξ服从参数N=10,M=3,n=5的超几何分布.ξ的可能取值为0,1,2,3,则
激趣诱思
知识点拨
故随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
n重伯努利试验概率的求法例1甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 ,假设每次射击是否击中目标,相互之间没有影响.(结果需用分数作答)(1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;(2)若两人各射击2次,求甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
高中数学二项分布公式
高中数学二项分布公式二项分布是概率论中的一种离散型概率分布，常用于描述在重复n次独立实验中，成功事件发生的次数的概率情况。
该分布的概率质量函数可以使用二项分布公式来计算。
二项分布公式是一个计算二项分布概率的公式，表达为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)是成功事件发生k次的概率；n是独立实验的次数；k 是成功事件发生的次数；C(n,k)是组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合方式数；p是单次独立实验中成功事件发生的概率；(1-p)是单次独立实验中失败事件发生的概率。
下面将从推导二项分布公式的过程、使用公式计算概率、二项分布的特性等方面，详细介绍和阐述二项分布公式。
1.二项分布公式的推导二项分布的概率质量函数可以使用二项分布公式计算得到。
其推导思路如下：首先，考虑在n次独立实验中，成功事件发生的次数为k，失败事件发生的次数为n-k，由乘法原理可知，成功和失败交替出现的次序共有(n!)/(k!(n-k)!)种可能。
其次，针对每一种可能，成功事件发生的概率为p^k，失败事件发生的概率为(1-p)^(n-k)。
所以，成功事件发生k次的概率为(C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k))。
2.使用二项分布公式计算概率二项分布公式可以用于计算成功事件发生k次的概率。
具体操作如下：首先，确定n、k、p的值，分别表示独立实验的次数、成功事件发生的次数、单次实验中成功事件发生的概率。
然后，代入二项分布公式，计算C(n,k)，p^k，(1-p)^(n-k)并进行相乘运算，从而得到P(X=k)的值，即成功事件发生k次的概率。
3.二项分布的特性除了可以通过二项分布公式计算概率外，二项分布还具有一些特性-成功事件发生的次数k可以是0到n之间的任意整数，即二项分布的支撑集合为{0,1,2,...,n}。
-成功事件发生的概率随着k的增加呈现出单调递减的趋势，即k越大，发生k次成功的概率越小。
新课程新教材高中数学选择性必修3：二项分布
均值和方差分别为
n
n
D( X ) ( X k E( X ))2 pk X k 2 pk E( X )2
E( X ) 0 (1 p)2 1 2 p(1 p) 2 p2 2 p ， k0
k 0
D( X ) 02 (1 p)2 12 2 p(1 p) 22 p2 (2 p)2 2 p(1 p) 。
3、定义二项分布的：一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生 的概率为 p(0 p 1) ，用 X 表示事件 A 发生的次数，则 X 的分布列为
P( X k) Ckn pk (1 p)nk，k 0，1，…，n.
如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X 服从二项分布 （binominal distribution），记作 X B(n, p) 。
（1）当 n 1时， X 服从两点分布，分布列为 P(X 0) 1 p ， P(X 1) p ，
均值和方差分别为 E( X ) p ， D(X ) p(1 p) 。
（2）当 n 2 时， X 分布列为
P(X 0) (1 p)2 ， P(X 1) 2 p(1 p) ， P( X 2) p2 ，
则 X B(3, 0.6) 。甲最终获胜的概率为
p1
P(X
2) P(X
3)
C
2 3
0.6
2
0.4
C
3 3
0.6
3
0.648
。
追问 1 若 3 局 2 胜制，实际比赛中如果谁先赢 2 局就不再比第3 局，这与
二项分布计算中设赛满 3 局矛盾吗？
情形一 情形二 情形三
第1 局 甲赢 甲赢 甲输
第2局 甲赢 甲输 甲赢
它们只包含两个可能结果，要么“发生”要么“不发生”。 1、定义伯努利试验：只包含两种可能结果的试验。
高中二项分布讲义
高中二项分布讲义
二项分布是一种离散型的概率分布，指在一次实验中，成功和失败两种结果的概率分布。
其中，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
在n次试验中，成功的次数X服从二项分布B(n,p)。
二. 二项分布的性质
1. 期望值：E(X) = np
2. 方差：Var(X) = np(1-p)
3. 概率计算公式：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
其中，C(n,k)为组合数，表示从n个元素中选出k个元素的组合数。
三. 二项分布的应用
1. 生产质量控制：判定一个产量是否符合质量要求，可以用二项分布计算出在一定数量的检验中，质量合格的概率。
2. 投资决策：计算在一定次数的投资中，获利或亏损的概率，以便做出合理的投资决策。
3. 舆论调查：用统计方法进行舆论调查时，采用二项分布来计算出一定样本量中正面或负面反应的概率。
四. 二项分布的注意事项
1. 二项分布只适用于单次试验中只有两种结果的情况，且两种结果的概率相等。
2. 二项分布的应用需要根据实际情况进行适当的参数选择，如样本量、成功概率等。
3. 在计算中应注意组合数的计算方法，以免出现错误。
五. 结语
二项分布是一种十分重要的概率分布，具有广泛的应用。
在实际应用中，我们需要深入了解其概念、性质和应用方法，并且注意一些细节，以保证计算结果的正确性。
【高中数学】二项分布及其应用
2 0.0025
四、几何分布 1. 定义： 在独立重复试验中，某事件 A 第一次发生时所作的试验次数 ξ 也是一个取值为正整数的随机变量。“ξ =k”表示在第 k
次独立重复试验时事件 A 第一次发生。如果把第 k 次实验时事件 A 发生记为 Ak，p( Ak)=p，事件 A 不发生记为 Ak ，
P( Ak )=q (q=1-p)，那么：
P( k) Cnk pk qnk （其中 k=0,1, ... ,n，q=1-p ）
于是可得随机变量 ξ 的概率分布如下：
(ab) C a C a b C a b C b 由于 Cnk pk qnk 恰好是二项展开式
n
0 n
n
1 n1 1
n
r nr r
n
nn
n 中的第 k+1 项，
所以，称这样的随机变量 ξ 服从二项分布，记作 ξ～B(n,p)，其中 n,p 为参数，并记：
下概率不变，则为相互独立. (2)互斥事件是指不可能同时发生的两个事件. 相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响. (3)如果 A、B 是相互独立事件，则 A 的补集与 B 的补集、A 与 B 的补集、A 的补集与 B 也都相互独立.
2. 相互独立事件同时发生的概率公式
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。则有： P( A • B) P( A) • P(B)
第2页
Cnk pk qnk B(k; n, p)
4. 解题步骤 例 3. 某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%。现从一批产品中任意地连续取出 2 件，写出其中次品数 ξ 的概率 分布。 解：依题意，随机变量 ξ～B(2，5%)
因此，次品数 ξ 的概率分布是： ξ p
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二项分布【知识网络】1、条件概率的概念、公式、性质，并能运用它们计算事件的概率；2、两个事件相互独立的概念，判断两个事件是否是相互独立事件；3、理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
【典型例题】 例1：（1）将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于 （ ）A 、9160B 、21C 、185D 、21691答案：A 。
解析：1515519115460()60(),()3,(|)666666216666216()91P AB P B P AB P A B P B =+⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯=∴==。
（2）某人射击命中目标的概率为0.6,每次射击互不影响,连续射击3次,至少有2次命中目标的概率为 ( )A.12584B. 12581C. 12536D. 12527答案：B 。
解析：12581)53(52)53(333225=+⋅C C 。
（3）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率是71，现在甲、乙两人从袋中轮流摸出1球，甲先取，乙后取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球每一次被取到的机会是等可能的，那么甲取到白球的概率是 （ ）A 、73B 、356C 、351D 、3522答案：D 。
解析：设白球有n 个，2271,3,7nC n C==∴P 甲=34334321227765765435+⨯⨯+⨯⨯⨯=。
（4）某气象站天气预报准确率是80%，5次预报中至少有4次准确的概率是______(精确到0.01) 。
答案：0.74。
解析：74.08.02.08.0)(555445≈⋅+⨯⨯=C C A P 。
（5）在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是 。
答案：95。
解析：设“第一次摸到红球”为事件A ，“第二次摸到红球”为事件B ，则665(),()10109P A P AB ⨯==⨯，∴(|)()/()5/9P A B P AB P A ==。
例2：甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为()1212,P P P P >，已知该题被甲或乙解出的概率为0.8，甲乙两人同时解出该题的概率为0.3，求: （1）12, P P ;（2）解出该题的人数X 的分布列及EX .答案：解：（1）设甲乙两人解出该数学题分别为事件A 和B ，则12(),()P A P P B P ==，所以()()()()0.80.3P A B P A B P A B P A B ⎧⋅+⋅+⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()12211212110.80.3P P P P P P P P ⎧-⋅+-⋅+⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩解之得120.6,0.5P P ==（2）(0)0.40.50.2P X ==⨯=，(1)0.60.50.40.50.5P X ==⨯+⨯=，(2)0.60.50.3P X ==⨯=所以00.20.510.32 1.1EX =⨯+⨯+⨯=。
例3：高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为31，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.（Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实 验至少有3次发芽成功的概率；（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发 芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数最多 不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列和数学期望． 答案：解（Ⅰ）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发牙成功 设5次试验中发芽成功的次数为随机变量X ，则P （X=3）=33251240()()33243C ⋅= 4451210(4)()33243P X C ==⋅=555121(5)()33243P X C ==⋅=所以至少有3次发芽成功的概率)5()4()3(=+=+==X P X P X P P4010151243243243243=++=（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，51(1)3P ξ==212(2)339P ξ==⋅= 2214(3)()3327P ξ==⋅=3218(4)()3381P ξ==⋅= 4216(5)()1381P ξ==⋅=所以ξ的分布列为ξ的数字期望812118116581842743922311=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE例4：设飞机A 有两个发动机，飞机B 有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，飞机就能安全飞行。
现设各发动机发生故障的概率p 是 t 的函数1t p e λ-=-，其中t 为发动机启动后所经历的时间，λ为正常数，试论证飞机A 与飞机B 哪一个更安全(这里不考虑其他故障)。
答案：解：设飞机A 能安全飞行的概率为1P ，飞机B 能安全飞行的概率为2P ，则22221211)1()1(p p C p p C P -=-+-=43434443342341)1(41)1(1p p p p p p C p p C P +-=---=---=)1)(31(3)1)(13()143(43223223412--=--=+-=+-=-p p p p p p p p p p p p P P又 tep λ--=1 所以)32()1(3212-⋅⋅-=----t t t e e e P P λλλ 当23ln1λ>t 时，320<<-t e λ，012<-P P ，12P P <； 当23ln1λ=t 时，32=-t e λ，012=-P P ，12P P =； 当23ln1λ<t 时，32>-t e λ，012>-P P ，12P P >；故当23ln1λ>t 时，飞机A 安全；当23ln 1λ=t 时，飞机A 与飞机B 一样安全；当23ln1λ<t 时，飞机B 安全。
【课内练习】1．在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是8165，则事件A 在一次试验中出现的概率是 （ ）A 、31B 、52C 、65D 、32答案：A 。
解析：设A 发生概率为P ，46511(1),813P P --==。
2．把一枚硬币抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现反面”，则)(A B P 等于 （ ）A .21B .41C .31D . 1答案：A 。
解析：()111(),(),(|)24()2P AB P A P AB P B A P A ====。
3．甲、乙两人独立解同一个问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有一人解决这个问题的概率是 （ ） A 、21p p B 、)1()1(1221p p p p -+- C 、211p p - D 、)1)(1(121p p ---答案：B 。
解析：恰好有一人解决这个问题是指甲解决且乙未解决，与乙解决且甲未解决这两个互斥事件有一个发生。
4．一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，用X 表示取球的次数，则==)12(X P 。
答案：1022118385⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C 。
解析：==)12(X P 1022118385⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C 。
5．抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下, 则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为 。
答案：21。
解析：设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为A,第二次掷得向上一面点数是偶数的事件为B,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为213618369)()()(===A P AB P A B P 。
6．已知每个人的血清中含有乙型肝炎病毒的概率为3‰，混合100人的血清，则混合血清中有乙型肝炎病毒的概率约为 。
(参考数据：0.996100≈0.6698，0.997100≈0.7405，0.998100≈0.8186)答案：0.2595。
解析：P=1－()100003.01-≈0.2595。
7．一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0到9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，则（1）任意按一位数字，不超过2次就按对的概率为 ；（2）如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过两次就按对的概率为 。
答案：12;55。
解析：（1）1911101095P ⨯=+=⨯，（2）14125545P ⨯=+=⨯。
8．设随机变量X —B(2,P)，Y —B(3,P ），若7(1)16P X ≥=,则P （Y=2）= .答案:964.解析：27(1)1(0)1(1)16P X P X P =≥=-==--，解得14P =， 故223139(2)()4464P Y C ==⋅⋅=。
9．一高考考生咨询中心有A 、B 、C 三条咨询热线。
已知某一时刻热线A 、B 占线的概率均为0.5，热线C 占线的概率为0.4，各热线是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ条热线占线，试求随机变量ξ的分布列和它的期望。
答案：解：随机变量ξ可能取的值为0，1，2依题意，得P(ξ=0)=0.15， P(ξ=1)=0.4，P(ξ=2)=0.35，P(ξ=3)=0.1 ∴ξ的分布列如下表：∴它的期望为E ξ=0⨯0.15+11.0335.024.0⨯+⨯+⨯=1.4。
10．某校要组建明星篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A 级的可作为入围选手，选拔过程中每人投篮5次，若投中3次则确定为B 级，若投中4次及以上则可确定为A 级，已知某班同学阿明每次投篮投中的概率是0.5. （1）求阿明投篮4次才被确定为B 级的概率；（2）设阿明投篮投中次数为X ，求X 的分布列及期望；（3）若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率.答案：解：（1）阿明投篮4次才被确定为B 级的概率1632121)21(223=⨯⨯=C P .（21(5,)25()2E X =（3）若连续两次投篮不中则停止投篮，阿明不能入围这一事件有如下几种情况：①5次投中3次，有24C 种投球方式，其概率为163)21()3(524==C P ； ②投中2次，分别是中中否否、中否中否否、否中中否否、否中否中否，概率是325)21(3)21()2(54=⨯+=P ；③投中1次分别有中否否、否中否否，概率为163)21()21()1(43=+=P ； ④投中0次只有否否一种，概率为41)21()0(2==P ； 所以阿明不能入围这一事件的概率是3225)0()1()2()3(=+++=P P P P P 。