九年级数学切线
九年级数学圆的切线
求证:直线AB是⊙O的切线 B
问：直线AB与圆有没有明确的公共点
C
O
A
辅助线：连接OB
只需再证：AB ⊥ OB
例2.如图A是⊙O外的一点,AO的延长线交
⊙O于C直线AB经过⊙O上一点B,且AB=BC,∠C=30°,
求证:直线AB是⊙O的切线 B
根据作图直线l是切线满足两个条件 1.经过半径的外端
O
D
l
几何语言
OD是⊙O的半径
OD⊥l于D
2.与半径垂直
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线
l是⊙O的切线
例1、已知⊙O圆心O到直线l的距离d等于⊙O的半径r
求证：直线l是⊙O的切线
问：圆与直线l有没有明确共同点
O.
辅助线： OA ⊥l
只需证OA是⊙O的半径
A
l
例1、已知⊙O圆心O到直线l的距离d等于⊙O的半径r 求证：直线l是⊙O的切线
证明：过点O作OA ⊥l，A为垂足。
O.
OA=d=r
点A在⊙O上
A
l
OA是⊙O的半径 l是⊙O的切线
定理：当圆心到直线的距离等于圆的半径时，该直 线是这个圆的切线。
一 判断题
于C直线AB经过⊙O上一点B,且AB=BC,∠C=30°, 求证:直线AB是⊙O的切线
B
证明：连接OBCO NhomakorabeaA
∠C=30° ° AB=BC
∠BOA=60 ∠A= ∠C=30 °
∠OBA=90 ° OB是半径
直线AB是⊙O的切线
练习二
1如图，AB是⊙O的直径，AT=AB，∠ABT=45º。
九年级数学切线知识点
九年级数学切线知识点数学是一门充满挑战和智慧的学科，而数学的学习过程中，我们常常会遇到各种各样的概念和知识点。
在九年级数学中，切线是一个很重要的概念，它与曲线的性质和函数的导数密切相关。
本文将从几何和数学的角度，深入探讨九年级数学中的切线知识点。
一、什么是切线切线是几何学中的一个重要概念，它是与曲线相切，并且只与曲线在切点相交的一条直线。
在数学中，我们通常把切线定义为对应曲线在该点处的斜率的直线。
换句话说，切线是曲线上某一点的附近逼近曲线的线段。
二、切线的性质切线有一些重要的性质，首先是切线与曲线的切点。
在切点处，切线与曲线相切。
其次，切线的斜率与曲线在切点处的斜率相等，这被称为切线的斜率性质。
另外，切线上的任意一点到曲线的距离都是0，这表明切线是曲线上所有点中离该点最近的直线。
三、如何确定切线在数学中，我们通常通过求导数来确定曲线上的切线。
导数是函数在某一点处的变化率，也是切线的斜率。
如果我们要确定曲线上某一点的切线，我们需要求该函数在该点的导数。
具体的求导过程可以通过极限的思想来解释。
通过求导数，我们可以得到切线的斜率，并且知道切点的坐标，从而确定切线的方程。
四、常见曲线的切线切线知识点在九年级数学中的应用广泛，特别是在几何和函数领域。
我们先来看一些常见曲线的切线知识点。
1. 直线的切线：直线是最简单的曲线，它在任意一点的切线都是其本身。
因为直线在任意一点的斜率都是常数，所以切线的斜率也是常数。
2. 圆的切线：对于圆，切线是与圆相切且只与圆在切点处相交的直线。
在圆的切线性质中，切线的斜率等于与切线垂直的半径的斜率的相反数。
3. 抛物线的切线：抛物线是一个常见的曲线模型，它的切线与曲线在切点处相切。
抛物线切线的斜率是对应点处的函数导数。
4. 指数函数和对数函数的切线：指数函数和对数函数是一类具有特殊性质的函数，它们的切线与曲线在切点处相切。
同时，指数函数和对数函数的导数具有特殊的性质，可以通过计算导数来得到切线的斜率。
九年级数学切线长定理
A
1
O
M
2
B
证明：
∵PA、PB是⊙o的两条切线，
关键是作辅助 ∴OA⊥AP，OB⊥BP 线~ 根据你的直观判断，猜想图中 PA是否等于PB？∠1与∠2又 又OA=OB，OP=OP， 有什么关系？
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL） ∴PA=PB，∠1=∠2
⌒
P
A
O
P
B
• 切线长定理：
•
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。
； https:///1/ ； https:///2/ ； https:///3/ ； https:///4/
； https:///5/；
道："屠将你呀の人撤回去吧,等白重炙出关了,俺让他交出神剑与你呀,如何?" "桀桀！你呀の承诺没有任何效用,那个不咋大的畜生不出来,俺就让整个炽火大陆替他殉葬！"屠继续笑一声,而后冷冷传音过来,言语中の寒意将下方数百条大船数万人同时感觉如坠冰窟. "你呀…"九大 人气の浑身一阵颤抖,怒道："你呀这样做炽火大陆迟早会被你呀毁灭,到时候炽火大陆都没人了,你呀这个领主还有用吗?" "桀桀,俺花费数百万神石购买了炽火位面,俺想怎么玩就怎么玩,想让它毁灭就毁灭.再说了全部灭绝又如何,不出数万年,这个位面又会繁衍出数亿人,所以这多 俺来说,没有什么损失！" 神主屠轻飘飘の一句传音,将九大人和在场の无数人以及时刻关注着这里の大陆神级强者,全部一震. 所以人第一时候感觉到只有两种心情,悲哀,愤怒！ 做为位面の领主,可以随意掌控位面の所有人生死.就算毁灭了一些文明,他也可以等待数万年,等待下 一些文明の诞生.他才是炽火位面の神,而炽火位面の所有人包括神级强者都
数学九年级切线知识点
数学九年级切线知识点在数学的学习中，切线是一个重要的概念，广泛应用于几何和微积分等领域。
本文将介绍九年级学生需要了解的切线知识点，帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
1. 切线的定义在几何中，切线是指与曲线仅有一个交点并且在该交点处与曲线相切的直线。
切线与曲线在切点处有相同的斜率。
对于抛物线、圆等常见曲线，可以通过求解切线与曲线的交点坐标和斜率来确定切线方程。
2. 切线与曲线的关系切线是曲线在某一点的局部性质，切线方程的斜率代表了曲线在对应点的斜率。
当曲线是直线时，切线与曲线重合；当曲线是曲线段或者曲线的一部分时，切线只与曲线在切点处相切。
3. 求解切线的方法求解切线可以通过不同的方法进行。
对于直线和圆等简单曲线，可以通过求解切点坐标和斜率来确定切线方程。
对于复杂曲线，可以通过导数的概念来求解切线。
导数代表了曲线的斜率，因此可以通过求解导数函数在对应点的值来确定切线的斜率，再结合切点坐标来确定切线方程。
4. 切线的性质切线有以下一些重要性质：- 切线与曲线在交点处相切，切点是切线与曲线的唯一交点。
- 切线与曲线在切点处具有相同的斜率。
- 切线的斜率可以通过对应点处曲线的导数来确定。
- 曲线的切线可以通过切点和切线的斜率来唯一确定。
5. 切线的应用切线在数学中有广泛的应用，特别是在几何和微积分中。
以下是一些常见的应用场景：- 切线可以用于求解曲线在某一点的斜率，进而求解曲线的性质和特征。
- 切线可以用于确定函数图像的开口方向和凹凸区间。
- 切线可以用于近似计算函数在某一点的函数值，特别是在微积分的切线近似和微分中。
- 切线可以用于求解曲线与直线的交点坐标。
总结：切线是数学中的重要概念，九年级学生需要了解切线的定义、性质、求解方法以及应用场景。
掌握切线的知识可以帮助学生更好地理解几何和微积分等学科内容，提升数学解题能力。
通过练习和实际应用，学生可以逐渐掌握切线的概念并灵活运用于解决问题。
九年级数学切线长定理
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它
们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两
条切线的夹角。
B
。
O
1 2
P
A
几何语言:
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠1=∠2
切线长定理的基本图形的研究
A
PA、PB是⊙O的两条切线，
A、B为切点，直线OP交⊙O E 于点D、E，交AB于C。
N
∴AL=AP， LB=MB, D
NC=MC， DN=DP O
P ∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
AL
C M B
例2、如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、 BC是切线，点A、E、B为切点， (1)求证：OD ⊥ OC (2)若BC=9，AD=4， 求OB的长.
O CD
P
B （1）写出图中所有的垂直关系
（2）写出图中与∠OAC相等的角
（3）写出图中所有的全等三角形
（4）写出图中所有的相似三角形 （5）写出图中所有的等腰三角形
例1 、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O
分别相切于点L、M、N、P，求证： AD+BC=AB+CD
由切线长定理得：
（3）连结圆心和圆外一点（角平分线）
小 结：
1.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的
切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹
角。 B
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
E
。
OC
D
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
数学人教版九年级上册切线的概念·切线的判断
小结
判定直线与圆相切有哪些常用方法？
(1)如果已知直线经过圆上某一点,则作过这点的半 注意 径为辅助线,再证所作半径与这条直线垂直。简记为： 连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中未指明直线与圆的公共点,则过 圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半 径长。简记为：作垂直,证半径。
练习1.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长 线上,BD=OB,点C在⊙上,∠CAB=30°, 求证:DC是⊙O的切线.
D
B
2:如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的 平分线交BC于D，E为AB上一点， DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径画 圆．求证：（1）AC是⊙D的切线； （2）AB+EB=AC．
反馈练习
1.如图,AB是⊙O的直径,AD是弦,E是⊙O外 一点,EF⊥AB于F,交AD于点C,且CE=ED, A 求证:DE为⊙O的切线.
例1.已知：直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,
CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连结OC ∵ OA＝OB CA＝CB ∴ AB⊥OC ∵ 直线AB经过半径OC的外端 ∴ AB是⊙O的切线
O
A
C
B
练习1.如图:AB是⊙O的直径,∠B=450,AT=BA． 求证:AT是⊙O的切线.
即经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线根据位置关系oorrllaaoorrllaaoorrllaa利用判定定理时要注意直线须具备以下两个条件利用判定定理时要注意直线须具备以下两个条件缺一不可缺一不可11直线经过半径的外端直线经过半径的外端
复习引入
(1)直线和圆有哪几种位置关系? (2)如何判定直线和圆的位置关系呢? (两种方法)
A O
人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)
三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个 三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习 第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为
初中数学九年级上册《切线的概念、切线的判定和性质》PPT课件(共12张PPT)
直线和⊙O相离
d＞r (没有公共点)
直线和⊙O相切
d = r (一个公共点)
直线和⊙O相交
d＜r (两个公共点)
第2页，共12页。
如图在⊙O中经过半径OA的外端点A 做直线l⊥OA,则圆心O到直线 l 的距离 是多少？
直线 l 和⊙O有什么位置关系?
o
A
l
这时圆心O到直线 l 的距离就是⊙O的半径．
·O
∵ l2切⊙O于B，OB是半径
∴ l2⊥OB.
又∵ AB为直径，
l2
B
∴ l1∥ l2 .
第8页，共12页。
知识拓展
▪ 例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB
的延长线上，且∠DCB= ∠A．
▪ （1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相 切，请说明理由．
▪ （2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．
1.如图 AB是⊙O的直径,∠ABT=45°AT=AB,
求证AT 是⊙O的切线. 证明: ∵ AT=AB,∠ABT = 45°，
∴ ∠ATB = ∠ABT=45 °.
∴ ∠TAB = 180°－∠ATB－∠ABT
B
= 90°.
∴ TA⊥OA.
·O
又∵ OA是⊙O的半径 ∴ AT是⊙O的切线.
T
A
第6页，共12页。
▪ 归纳小结
▪ 本节课应掌握： ▪ 1．直线和圆相交、割线、直线和圆相切，切线、切点、直线和圆
相离等概念． ▪ 2．设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d则有： ▪ 直线L和⊙O相交d<r
▪ 直线L和⊙O相切d=r
▪ 直线L和⊙O相离d>r
人教版九年级数学上册2切线长定理
证明：由切线长定理得
D
∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，
O
DN=DP
P
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
AL
即 AB+CD=AD+BC
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
C M B
练一练
1．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则 ∠BOC的度数为（ ） A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】C 【详解】 解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B， ⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上， ∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝4， ∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝20． 故选：C．
课后回顾
课后回顾
01
02
03
【答案】C 【详解】 ∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点， ∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°． 故选C．
练一练
2．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点， 分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．则△PEF的周长为（ ） A．10 B．15 C．20 D．25
知识回顾
圆的切线的判定定理和性质定理各是什么？
判定定理： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。
问题1：如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
连接OP，以OP为直径作圆，与⊙O 交于A、B两点。 连接PA、PB， 则PA、PB即为⊙O切线。
A
O
九年级数学切线的概念判定性质
且AD:DC=2:1.已知∠C=450, A
∠ADB=600.求AB是
D
△BCD的外接圆的切线.
B O
C
6.如图,在△ABC
B
中,∠C=900,⊙O切
AB于D,切BC于E,
D
切AC于F,求∠EDF E O
的度数.
CF A
7.如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O 于B,⊙O的弦AD//OC.
⑴求证:DC是⊙O的切线;
⑴若BC=√3,CD=1,求⊙O的半径; A
⑵若取BE的中点F,连DF.
求证:DF是⊙O的切线.
DO
⑶过点D作DG⊥BC于
M
G,OE与DG交于M,试 C
EGF B
判断DM与GM是否相等,并说明理由.
； 门口地垫
sub95rvs
那么辛苦。这还能打贼，不简单呢！”“这么说，那贼没有得手吧！”“哪里啊！那贼不但抢走了老梁头家积攒下来的所有银 子，而且他老俩口都伤得很重呢，老婆子到现在还没有醒过来。听说送这兄妹三个回来的两个酒店伙计也被打了呢。”“这贼 可真够可恨的。唉，这老梁头俩口子，本来就够可怜的了。”“唉，这就叫‘屋漏偏遭连阴雨’啊，他们的命太苦嘞！”“我 说，这兄妹仨每天都在老梁头家的小饭店吃早点呢，今儿个可不现成了。你看，这都快到酒店的饭点儿了，他们还睡不 醒。”“你现在就去做点儿简单的带菜面汤吧。再等一等，如果他们还不醒，就叫一叫吧，不能误了酒店的事情。唉，这兄妹 仨……”耿正听到这里，心里涌上了一阵感激之情，眼眶里就有些发热了。心想：人与人之间的差距怎么就这么大呢？那个残 忍的窃贼，这俩善良的老人……又回想昨儿晚上在“盛元酒店”里发生的一切，耿正的心里感慨万千……妹妹那慷慨无畏的言 词和如泣如述的演唱……想着想着，耳边似乎又听到了一阵阵雷鸣般的掌声和欢呼声……妹妹一个女娃儿家的，多不容易，也 多有才情啊……妹妹还说了，都是被逼出来的……哼，那帮恶人，居然把我们逼得没有了退路！一会儿，又想到通情达理的酒 店老板、仗义的老者、还有善良的客人门……看来这世上还是好人多啊！再细细看着还在身边酣睡的弟弟，耿正的眼泪不由地 噗噜噜落下来……爹啊，你还活着吗？你在哪里啊？你要是在我们的身边，我们就不会遭遇昨儿晚上那个几乎就过不去了的坎 儿啊！爹啊，如果你还活着，就一定记着，咱们是要到景德镇的啊！我们已经来了，而且可以立足了，你可一定要来这里找我 们啊！爹啊，在那场突如其来的可怕洪水中，你还有可能逃生吗？如果你已经不在人世了，你被卷到了哪里？可有人为你收尸？ 作为你的长子，我连你的尸骨也找不到……将来回去了可怎么向娘交代哇！耿正的眼泪犹如决堤的洪水，噎得他有些喘不上气 来……忽然听到套间里妹妹似乎在起床下地，耿正赶快用力咬住嘴唇强忍悲痛，擦干眼泪轻轻翻过身去装睡。听到妹妹轻轻地 拉开门，又轻轻地从外面拉上。听声音是去茅房了。身后弟弟睡醒了，轻轻推一推他，小声说：“哥哥，醒醒！”耿正赶快眨 眨眼，调节一下面部肌肉，慢慢地转身睡正了伸着懒腰说：“哥醒了有一会儿了，怕弄醒你呢，才没敢动啊！”耿直奇怪地问： “那你就不怕我们起晚了耽误事儿？”耿正说：“你忘记了吗？咱们今儿个不用去酒店演唱了！”耿直怔了一下，高兴地说： “是啊，我怎么忘记了呢！太好了，我们再也不用去酒店演唱了！”耿正转过身来看着弟弟那高兴的样子，说：“这么高兴啊！ 你不是很喜欢说唱吗？”耿直认真地说：“哥哥，我是很喜欢说唱呢，但
初中数学九年级《切线的判定》
(1)
(2)
(3) 地平线
做一做，画一个⊙O及半径OA，过⊙O的 半径OA的外端点A画一条直线L，且垂直 于这条半径OA，如图(1)所示，这条直线L 是⊙O的切线吗？
o
L
A
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线.
）。
4、逻辑排除法 例5、顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形一定是（ ） A、正方形 B、矩形 C、菱形 D、平行四边形
三、数形结合法
由已知条件作出相应的图形，再由图形的直观性得出正确 的结论。
例6.直线y=-x-2 和y=x+3 的交点在第（ ）象限。
O
E （2）试问CD与⊙O有什么位置关系，并说 明理由。
（1）解：过点O作OE⊥CD，E为垂足
B
C
∵∠C=∠D=90,OE⊥CD
（2）CD与⊙O相切
∴AD//OE//BC 又∵OA=OB
理由：∵AB=6cm，OE=3cm ∴OE=1/2AB
∴DE=CE
又 ∵ AB 为 ⊙ O 的 直 径 ， OE⊥CD
二、排除法：
排除法根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下
惟一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选 项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。排除法是解选 择题的间接方法，也是选择题的常用方法。
已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同 一坐标系内的大致图象是（ ）
下面举例再回顾一下解数学选择题的几种常用方 法，供大家复习时参考，希望对同学们有所启发和帮 助。
一、直接法：
直接根据选择题的题设，通过计算、推理、判断得出正确选项
九年级数学切线的性质
人教版九年级数学课件《切线的判定和性质》
见切点，连半径，得垂直.
切线的其他重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
人教版数学九年级上册
例2
典例解析
人教版数学九年级上册
例4：如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交
于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.
人教版数学九年级上册
2.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA 与☉O的位置关系是 相切 .
3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，
∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP
的度数为（ C）
A．40° B．35° C．30° D．45°
(1)求证：△ACB≌△APO；
A
(2)若AP＝ 3 ，求⊙O的半径．
C
O
B
P
解析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°，
由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即
AC=
A(2P)由；已这知样条就件凑可齐得了△角A边OP角为，直可角证三得角△形AC，B因≌△此AP可O以；通过
A
D C
P
O
PA
O
B
第2题
第3题
达标检测
人教版数学九年级上册
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
解：连接OB，则∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r. 在Rt△OBP中， OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2. 解得 r=3， 即⊙O的半径为3.
九年级数学第三章切线长定理
切线长定理【学习目标】1.了解切线长定义,掌握切线长定理；2.了解圆外切四边形定义及性质；3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点进阶：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点进阶：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.要点二、圆外切四边形的性质1.圆外切四边形四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形.2.圆外切四边形性质圆外切四边形的两组对边之和相等.【典型例题】类型一、切线长定理例1．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA=6，求△PCD的周长．（2）若∠P=50°求∠DOC．例2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.举一反三：【变式】已知：如图，⊙O为ABC∆的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF∠，过点A作AD BF⊥于点D.求证：DA为⊙O的切线.OFDCBA3421OFDCBA例3．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（）A.12B.24C.8D.6类型二、圆外切四边形例4.已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．举一反三：【变式】在圆外切四边形ABCD中，AB:BC:CD:AD只可能是（）.A.2:3:4:5B.3:4:6:5C.5:4:1:3D.3:4:2:5【巩固练习】 一、选择题1. 下列说法中，不正确的是 ( )A ．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B ．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C ．垂直于半径的直线是圆的切线D ．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（ ） A.21（a ＋b ＋c ）r B.2（a ＋b ＋c ） C.31（a ＋b ＋c ）r D.（a ＋b ＋c ）r3.如图，点P 在⊙O 外，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，∠P=50°，则∠AOB 等于（ ）A ．150°B ．130°C ．155°D ．135°4. 如图所示，⊙O 的外切梯形ABCD 中，如果AD ∥BC ，那么∠DOC 的度数为( ) A.70° B.90° C.60° D.45°第4题图 第5题图5．如图，PA 、PB 分别是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠BAC=35°，∠P 的度数为（ ）A.35°B.45°C.65°D.70°6．已知如图所示，等边△ABC 的边长为2cm ，下列以A 为圆心的各圆中， 半径是3cm 的圆是( )二、填空题7．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为点D 、E 、F ，若∠DEF=52o，则∠A 的度为________．第7题图 第8题图 第9题图8．如图，一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________．9．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC 为____________度．10．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且 60=∠AEB ，则=∠P ____度．第10题图 第11题图11．如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P 的度数为 .12.已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1，AB是⊙O的弦，AB=，连接PB，则PB= ．三、解答题13．已知，如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，P是BC上任意一点，过点P 作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N，设AO=d，BO=r．求证：△AMN的周长是一个定值，并求出这个定值．14. 已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．(1)若∠P=40°，求∠COD；(2)若PA=10cm，求△PCD的周长．15.如图，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点E，F，G，连接OE，OF．AO的延长线交BC于点D，AC=6，CD=2．（1）求证：四边形OECF为正方形；（2）求⊙O的半径；（3）求AB的长．。
人教版数学九年级上册24.2.2切线的判定与性质课件(共24张PPT)
知识回顾
直线与圆相切的判定： 1.利用定义判定：直线和圆只有一
个公共点时，直线与圆相切. 2.利用直线与圆心距离判定：当圆
心与直线的距离等于该圆的半径时，直 线与圆相切.
O
l
O d=r
l
新知探究
知识点1 切线的判定
思考：如图，在⊙O中，经过半径OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA. （1）圆心O到直线 l 的距离是多少？
l
∴OA⊥l
ห้องสมุดไป่ตู้ 反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相 C 矛盾；
A MD
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂直，证半径.
随堂练习
1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为31°，
d l
A
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于
O
这条半径的直线是圆的切线.
l
A
已 知 ： 直 线 AB 经 过 ⊙ O 上 的 点 C ， 并 且 OA=OB ，
CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC.
切线的概念、切线的判定和性质-人教版九年级数学上册教案
切线的概念、切线的判定和性质-人教版九年级数学上册教案一、切线的概念1. 切线的定义在圆上取一点P，连接P与圆心O，若通过点P的直线与圆相交于点P，则这条直线称为该圆在点P处的切线。
2. 切线的性质切线只与圆相交于切点，且垂直于半径。
二、切线的判定1. 判定方法1在圆上任取一点P，连接P与圆心O。
若连接P与圆心O的线段与已知直线L 垂直，则L与圆的交点就是切点，而L即为此点处的切线。
2. 判定方法2在圆上任取一点P，连接P与圆心O。
作过点P并与已知直线L平行的直线，与圆相交于点Q。
再连接点Q与圆心O，则Q与L的交点即为圆在点P处的切点，L即为点P处的切线。
三、切线性质的应用1. 切线定理若一条直线与圆相交于点A、B，则与这条直线垂直的切线分别过点A、B。
2. 判定定理在圆上任取两点P、Q，以这两点为端点连一条线段，若该线段平分圆周角，则它的延长线必过圆的圆心。
3. 弦割定理两条互相垂直的弦互相垂直。
4. 弦长定理两条互相垂直的弦所对圆周的两段弧相等。
5. 弧上点角定理圆周上一点的任意两个角所对的弧长相等。
四、练习题1.已知圆O，半径为3.4cm，P为圆上一点，PA为一条直线，且PA=8.1cm。
求PA的垂线与OP的夹角。
2.已知圆的直径是20cm，D,E,F,G均在圆上。
若DE⊥FG，DE=12cm，FG=9cm，求DG的长。
3.已知圆心角ACB的弧度是20度，线段AB上一点D是圆上的一点，求角ADC的角度。
五、课堂小结1.切线的定义和性质。
2.切线判定方法和定理。
3.切线性质的应用。
4.练习题的解答。
六、作业1.完成课堂练习题。
2.独立思考，将切线定理、判定定理、弦割定理、弦长定理和弧上点角定理的证明写出来。
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