投资的收益和风险问题线性规划分析

投资的收益和风险问题线性规划分析

1问题的提出

市场上有n 种资产（如股票、债券、…）S i（i＝1，…，n）供投资者选择，某公司有数额为M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资. 公司财务分析人员对这n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买S i的平均收益率为r i，并预测出购买S i的风险损失率为q i.考虑到投资越分散、总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的S i中最大的一个风险来度量.

购买S i要付交易费，费率为p i，并且当购买额不超过给定值u i时，交易费按购买u i计算（不买当然无须付费）. 另外，假定同期银行存款利率是r0，且既无交易费又无风险. （r0＝5％）

已知n＝4 时的相关数据如下：

n的相关数据

试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M ，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小.

2模型的建立

模型 1.总体风险用所投资S i 中的最大一个风险来衡量，假设投资的风险水平是 k ，即要求总体风险Q(x)限制在风险 k 以内：Q(x) ≤k 则模型可转化为：

()

()()max s.t.?,,0

R x Q x k F x M x ≤≥　＝　

模型2. 假设投资的盈利水平是 h ，即要求净收益总额 R （x ）不少于 h ：R （x ）

≥h ，则模型可转化为：

()

()()min s.t.0

Q x R x h F x M x ≥≥ ＝

模型 3.要使收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型。人们总希望对那些相对重要的目标给予较大的权重. 因此，假定投资者对风险——收益的相对偏好参数为 ρ（≥0），则模型可转化为：

()()() min ?1? s.t .0

Q x R x F x M x ρρ≥（）＝

3. 模型的化简与求解

由于交易费 c i (x i )是分段函数，使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂，是一个非线性规划问题，难于求解. 但注意到总投资额 M 相当大，一旦投资资产 S i ，其投资额 x i 一般都会超过 u i ，于是交易费 c i (x i )可简化为线性

函数

().i i i i c x p x =从而，资金约束简化为

()()(1)n

n

i i i i i i F f x p x M

====+=∑∑x

净收益总额简化为

()()[()]()n

n

n

i i i i i i i i i

i i i R R x r x c x r p x =====-=-∑∑∑x

在实际进行计算时，可设 M=1，此时

101i i i y p x i n =+⋯（）（＝ ，，，）

可视作投资 S i 的比例.

以下的模型求解都是在上述两个简化条件下进行讨论的. 1）模型 1 的求解

模型1的约束条件Q(x) ≤k 即

00()max ()max()i i i i i n

i n

Q Q x q x ≤≤≤≤==x k ≤，

所以此约束条件可转化为

01i i q x k i n ≤⋯ （＝，，，）

这时模型 1可化简为如下的线性规划问题：

max ()s.t. , =1, 2,

, (1)1, 0

n

i i i

i i i n

i

i

i r p x q x k i n p x

==-≤+=≥∑∑x

具体到 n=4 的情形，按投资的收益和风险问题中表3-1给定的数据，模型为：

Max 0.05x 0+0.27x 1+0.19x 2+0.185x 3+0.185x 4

s.t. 0.025x 1≤k ，0.015x 2≤k ，0.055x 3≤k ，0.026x 4≤k ，

x 0+1.01x 1+1.02x 2+1.045x 3+1.065x 4=1，x i ≥0（i ＝0，1， (4)

利用MATLAB7.0求解模型1，以 k=0.005 为例： 输出结果是

{0.177638, {x 0 → 0.158192, x 1 → 0.2,x 2 → 0.333333, x 3 → 0.0909091,x 4 → 0.192308}}

这说明投资方案为（0.158192，0.2，0.333333，0.0909091，0.192308）时，可以获得总体风险不超过 0.005 的最大收益是 0.177638M.

当 k 取不同的值（0—0.03），风险与收益的关系见下图：

0.05

0.10.150.2

0.25

0.3

风险 a

收益

模型1风险与收益的关系图

输出结果列表如下：

模型 1 的结果

从表3.2中的计算结果可以看出，对低风险水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的S2，然后是S1和S4，总收益较低；对高风险水平，总收益较高，投资方向是选择净收益率（r i–p i）较大的S1和S2．这些与人们的经验是一致的，这里给出了定量的结果．

2）模型2 的求解

模型2 本来是极小极大规划：

0min max()

i i i n

q x ≤≤

s.t.

()n

i

i

i

i r p x

=-∑ h ≥

(1)1n

i

i

i p x

=+=∑ 0x ≥

但是，可以引进变量 x n+1= 0max()i i i n

q x ≤≤，将它改写为如下的线性规划：

1min()n x +

s.t. 10,1,2,,,i i n q x x i n +≤=⋯，

()n

i

i

i

i r p x

=-∑, h ≥

(1)1n

i

i

i p x

=+=∑, 0x ≥

具体到 n=4 的情形，按投资的收益和风险问题中表3.1给定的数据，模型为： Min x 5

s.t. 0.025x 1≤x 5，0.015x 2≤x 5，0.055x 3≤x 5，0.026x 4≤x 5，

0.05x 0+0.27x 1+0.19x 2+0.185x 3+0.185x 4≥h ，

x 0+1.01x 1+1.02x 2+1.045x 3+1.065x 4=1，x i ≥0（i ＝0，1， (5)

利用MATLAB7.0求解模型2，当 h 取不同的值（0.04—0.26），我们计算最小风险和最优决策，结果如表3所示，风险和收益的关系见图2所示