立体几何中用传统法求空间角
空间向量的应用求空间角与距离
空间向量的应用----求空间角与距离一、考点梳理1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大题，在考察常规解题方法的同时，更多地关注向量法〔基向量法、坐标法〕在解题中的应用。
坐标法〔法向量的应用〕，以其问题〔数量关系：空间角、空间距离〕处理的简单化，而成为高考热点问题。
可以预测到，今后的高考中，还会继续表达法向量的应用价值。
2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下：1)求直线和直线所成的角假设直线AB 、CD 所成的角是α，cos α=|,cos |><CD AB ||||||CD AB CD AB •=2).利用法向量求线面角设θ为直线l 与平面α所成的角，ϕ为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之间的夹角，那么有2πϕθ=-或2πϕθ=+。
特别地0ϕ=时， 2πθ=，l α⊥；2πϕ=时，0θ=，l α⊂或l α。
计算公式为：||sin cos ||||v n v n θϕ==或||sin sin()cos (0)2||||||||v n v n v n v n v n πθϕϕ=-=-=-=<3).利用法向量求二面角设1n 、2n 分别为平面α、β的法向量，二面角l αβ--的大小为θ，向量1n 、2n 的夹角为ϕ，那么有θϕπ+=或θϕ=。
计算公式为：1212cos cos ||||n n n n θϕ=-=1212cos cos ||||n n n n θϕ==4).利用法向量求点面距离如图点P 为平面外一点，点A 为平面内的任一点，平面的法向量为n ,过点P 作平面α的垂线PO ，记∠OPA=θ，那么点P 到平面的距离θcos ||||PA PO d ==||||||||||||n PA PA n PA n PA n •=⊗•=5).法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等。
其一，这三类距离都可以转化为点面间的距离；其二，异面直线间的距离可用如下方法操作：在异面直线上各取一点A 、B ，AB 在n 上的射影长即为所求。
立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现， 也是历年来高考命题者的热点， 几乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是：0° < 90°、0°< < 90°、0° < 180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正 余弦定理）和向量法。
下面举例说明。
一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体 ABCD A i BiGD i 中，已知AB 4 , AD 3, AA 2。
E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB FB 1。
求直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，uuu uuu把EC i 与FD i 所成角看作向量 EC 与FD 的夹角，用向量法求 解。
思路二：平移线段C i E 让C i 与D i 重合。
转化为平面角，放到 三角形中，用几何法求解。
（图I ）uuu uju umr解法一：以A 为原点，ABAD'AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的•••直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值为 --- I4解法二： 延长 BA 至点 E i ,使 AE i =I ，连结 E i F 、DE i 、D i E i 、DF , 有D i C i //E i E , D i C i =E i E ,则四边形 D i E i EC i 是平行四边形。
则 E i D i //EC i 于是/ E i D i F 为直线EC i 与FD i 所成的角。
在 Rt △ BE i F 中， E i F -J E i F 2 BF 2「5 2 i 2 「‘莎。
立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。
下面举例说明。
一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。
E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。
求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。
思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。
转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。
（图1）解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设EC 1与FD 1所成的角为β，则：112222221121cos 14132(4)22EC FD EC FD β⋅===⋅++⨯-++ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为2114解法二：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。
则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。
立体几何中的向量方法1：求空间角、距离
立体几何中的向量方法——求空间角、距离1．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)求平面间夹角的大小如图所示，平面π1与π2相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R ，在平面π1上作直线l 1⊥l ，在平面π2上作直线l 2⊥l ，则l 1∩l 2＝R .我们把直线l 1和l 2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．已知平面π1和π2的法向量分别为n 1和n 2.当0≤〈n 1，n 2〉≤π2时，平面π1与π2的夹角等于〈n 1，n 2〉；当π2<〈n 1，n 2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n 1，n 2〉． 2.点面距的求法如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |.[难点正本 疑点清源]1．向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算．2．利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补．3．求点到平面距离的方法：①垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②等体积法，转化为求三棱锥的高；③等价转移法；④法向量法．1．若平面α的一个法向量为n ＝(4,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(－2，－3,3)，则l 与α所成角的正弦值为_______．答案 41133解析 ∵n·a ＝－8－3＋3＝－8，|n |＝16＋1＋1＝32， |a |＝4＋9＋9＝22，∴cos 〈n ，a 〉＝n·a|n|·|a |＝－832×22＝－41133.又l 与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝41133. 2．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于________． 答案 30°解析 由题意得直线l 与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l 与平面α所成的角为90°－60°＝30°.3．从空间一点P 向二面角α—l —β的两个面α，β分别作垂线PE ，PF ，垂足分别为E ，F ，若二面角α—l —β的大小为60°，则∠EPF 的大小为__________． 答案 60°或120°4. 如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO —A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为________．答案22a 解析 由图易知A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A ′(a,0，a )．∴F ⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0，E ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2. ∴EF ＝⎝⎛⎭⎫a －a 22＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 22＋⎝⎛⎭⎫0－a 22 ＝a 24＋a 24＝22a .5．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中点，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于________．答案 155解析 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∴F (1,0,0)，D 1(0,0,2)，O (1,1,0)，E (0,2,1)，∴FD 1→＝(－1,0,2)， OE →＝(－1,1,1)，∴cos 〈FD 1→，OE →〉＝1＋25·3＝155.题型一 求异面直线所成的角例1 如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是正方形BCC 1B 1的中心，点F 、G 分别是棱C 1D 1、AA 1的中点，设点E 1、G 1分别是点E 、G 在平面DCC 1D 1内的正投影．(1)证明：直线FG 1⊥平面FEE 1；(2)求异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值．思维启迪：本题可方便地建立空间直角坐标系，通过点的坐标得到向量坐标，然后求解． (1)证明 以D 为原点，DD 1→、DC →、DA →分别为z 轴、y 轴、x 轴的正向，12|DD 1→|为1个单位长度建立空间直角坐标系．由题设知点E 、F 、G 1、E 1的坐标分别为(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，(0,2,1)， ∴FE 1→＝(0,1，－1)，FG 1→＝(0，－1，－1)，EE 1→＝(－1,0,0)， ∴FG 1→·EE 1→＝0，FG 1→·FE 1→＝0⇒FG 1→⊥EE 1→，FG 1→⊥FE 1→， 又∵EE 1∩FE 1＝E 1.∴FG 1⊥平面FEE 1.(2)解 由题意知点A 的坐标为(2,0,0)，又由(1)可知EA →＝(1，－2，－1)，E 1G 1→＝(0，－2,0)，∴cos 〈EA →，E 1G 1→〉＝EA →·E 1G 1→|EA →|·|E 1G 1→|＝63，∴sin 〈EA →，E 1G 1→〉＝1－cos 2〈EA →，E 1G 1→〉＝33.探究提高 用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，两向量的夹角α的范围是[0，π]，所以要注意二者的区别与联系，应有cos θ＝|cos α|.如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2.E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝BF ＝1.求直线EC 1与FD 1所成的角的余弦值．解 以A 为原点，AB →、AD →、AA 1→分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有D 1(0,3,2)，E (3,0,0)，F (4,1,0)，C 1(4,3,2)，于是EC 1→＝(1,3,2)，FD 1→＝(－4,2,2)，设EC 1与FD 1所成的角为β，则：cos β＝|EC 1→·FD 1→||EC 1→|·|FD 1→|＝1×(－4)＋3×2＋2×212＋32＋22×(－4)2＋22＋22＝2114，∴直线EC 1与FD 1所成的角的余弦值为2114.题型二 求直线与平面的夹角例2 如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH是四棱锥的高，E 为AD 的中点．(1)证明：PE ⊥BC ；(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线P A 与平面PEH 夹角的正弦值．思维启迪：平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH 的法向量．(1)证明 以H 为原点，HA ，HB ，HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，线段HA 的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)，则A (1,0,0)，B (0,1,0)．设C (m,0,0)，P (0,0，n ) (m <0，n >0)，则D (0，m,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，m 2，0.可得PE →＝⎝⎛⎭⎫12，m 2，－n ，BC →＝(m ，－1,0)． 因为PE →·BC →＝m 2－m2＋0＝0，所以PE ⊥BC .(2)解 由已知条件可得m ＝－33，n ＝1，故C ⎝⎛⎭⎫－33，0，0，D ⎝⎛⎭⎫0，－33，0，E ⎝⎛⎭⎫12，－36，0，P (0,0,1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PEH 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·HE →＝0，n ·HP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －36y ＝0，z ＝0.因此可以取n ＝(1，3，0)．又P A →＝(1,0，－1)，所以|cos 〈P A →，n 〉|＝24.所以直线P A 与平面PEH 夹角的正弦值为24.探究提高 利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的投影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面的夹角．已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，且AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 夹角的大小．(1)证明 设P A ＝1，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，M (1,0，12)，N (12，0,0)，S (1，12，0)．所以CM →＝(1，－1，12)，SN →＝(－12，－12，0)．因为CM →·SN →＝－12＋12＋0＝0，所以CM ⊥SN .(2)解 设平面CMN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·CM →＝x －y ＋12z ＝0n ·CN →＝(x ，y ，z )·⎝⎛⎭⎫12，－1，0＝12x －y ＝0.∴y ＝12x ，z ＝－x ，取x ＝2，则n ＝(2,1，－2)为平面CMN 的一个法向量．∴cos 〈n ·SN →〉＝n ·SN →|n |·|SN →|＝(2，1，－2)·⎝⎛⎭⎫－12，－12，022＋1＋(－2)2·⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－122＋02＝－22.∴〈n ·SN →〉＝135°， 故SN 与平面CMN 夹角的大小为45°. 题型三 求平面间的夹角例3 (2012·广东)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .(1)证明：BD ⊥平面P AC ；(2)若P A ＝1，AD ＝2，求平面BPC 与平面PCA 夹角的正切值．思维启迪：利用图中的P A ⊥平面ABCD 、ABCD 为矩形的条件建立空间直角坐标系，转化为向量问题．(1)证明 ∵P A ⊥平面ABCD ，BD 平面ABCD ， ∴P A ⊥BD .同理由PC ⊥平面BDE 可证得PC ⊥BD . 又P A ∩PC ＝P ，∴BD ⊥平面P AC . (2)解 如图，分别以射线AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系． 由(1)知BD ⊥平面P AC ， 又AC 平面P AC ， ∴BD ⊥AC .故矩形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2. ∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)． ∴PB →＝(2,0，－1)，BC →＝(0,2,0)，BD →＝(－2,2,0)． 设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →＝0，n ·BC →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2·x ＋0·y －z ＝0，0·x ＋2·y ＋0·z ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2x ，y ＝0，取x ＝1得n ＝(1,0,2)． ∵BD ⊥平面P AC ，∴BD →＝(－2,2,0)为平面P AC 的一个法向量．cos 〈n ，BD →〉＝n ·BD →|n |·|BD →|＝－1010.设平面BPC 与平面PCA 夹角为α， ∴cos α＝1010，sin α＝1－cos 2α＝31010.∴tan α＝sin αcos α＝3，即平面BPC 与平面PCA 夹角的正切值为3.探究提高 求平面间的夹角最常用的方法就是分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到所求角的大小，但要注意平面间的夹角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π2.(2011·辽宁)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；(2)求平面QBP 与平面BPC 的夹角的余弦值．(1)证明 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，以DA 、DP 、DC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)， PQ →＝(1，－1,0)．所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0， 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC .又DQ ∩DC ＝D ，所以PQ ⊥平面DCQ .又PQ 平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)解 依题意有B (1,0,1)，CB →＝(1,0,0)，BP →＝(－1,2，－1)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·BP →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－x ＋2y －z ＝0.因此可取n ＝(0，－1，－2)．同理，设m 是平面PBQ 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BP →＝0，m ·PQ →＝0，可取m ＝(1,1,1)．所以cos 〈m ，n 〉＝－155. 故平面QBP 与平面BCP 的夹角的余弦值为－155. 题型四 求空间距离例4 在三棱锥S —ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点，如图所示. 求点B 到平面CMN 的距离．思维启迪：由平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ，BA ＝BC ，可知本题可以取AC 中点O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，用向量法求解．解 取AC 的中点O ，连接OS 、OB .∵SA ＝SC ，AB ＝BC ， ∴AC ⊥SO ，AC ⊥BO .∵平面SAC ⊥平面ABC ， 平面SAC ∩平面ABC ＝AC ， ∴SO ⊥平面ABC ，又∵BO 平面ABC ，∴SO ⊥BO .如图所示，分别以OA ，OB ，OS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则B (0,23，0)，C (－2,0,0)，S (0,0,22)，M (1，3，0)，N (0，3，2)． ∴CM →＝(3，3，0)，MN →＝(－1,0，2)，MB →＝(－1，3，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧CM →·n ＝3x ＋3y ＝0MN →·n ＝－x ＋2z ＝0，取z ＝1，则x ＝2，y ＝－6，∴n ＝(2，－6，1)．∴点B 到平面CMN 的距离d ＝|n ·MB →||n |＝423.探究提高 点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法．如本题，事实上，作BH ⊥平面CMN 于H .由BH →＝BM →＋MH →及BH →·n ＝n ·BM →， ∴|BH →·n |＝|n ·BM →|＝|BH →|·|n |，∴|BH →|＝|n ·BM →||n |，即d ＝|n ·BM →||n |.(2012·大纲全国)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A ．2B. 3C. 2D ．1答案 D解析 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,22)，E (0,2，2)，易知AC 1∥平面BDE .设n ＝(x ，y ，z )是平面BDE 的法向量．则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝2x ＋2y ＝0n ·DE →＝2y ＋2z ＝0.取y ＝1，则n ＝(－1,1，－2)为平面BDE 的一个法向量． 又DA →＝(2,0,0)，∴点A 到平面BDE 的距离是d ＝|n ·DA →||n |＝|－1×2＋0＋0|(－1)2＋12＋(－2)2＝1. 故直线AC 1到平面BED 的距离为1.典例：(12分)如图，已知在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于点E ，F 为A 1B 1的中点．(1)求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值； (2)求平面BDF 与平面AA 1B 夹角的余弦值.审题视角 (1)研究的几何体为长方体，AB ＝2，AA 1＝1. (2)所求的是异面直线所成的角和平面间的夹角． (3)可考虑用空间向量法求解． 规范解答解 (1)以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图所示)．[2分]由于AB ＝2，BD 与平面AA 1B 1B 的夹角为30°，即∠ABD ＝30°，∴AD ＝233，[3分]∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫0，233，0，F (1,0,1)．又AE ⊥BD ，故由平面几何知识得AE ＝1，从而E ⎝⎛⎭⎫12，32，0，[4分]因为AE →＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，BF →＝(－1,0,1)，∴AE →·BF →＝⎝⎛⎭⎫12，32，0·(－1,0,1)＝－12，|AE →|＝1，|BF →|＝2，[6分]设AE 与BF 所成角为θ1，则cos θ1＝|AE →·BF →||AE →||BF →|＝⎪⎪⎪⎪－121×2＝24.[8分]故异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为24. (2)设平面BDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BF →＝0n ·BD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0－2x ＋233y ＝0，∴z ＝x ，y ＝3x ，取x ＝1，得n ＝(1，3，1)．[10分] 求得平面AA 1B 的一个法向量为m ＝AD →＝⎝⎛⎭⎫0，233，0.设平面BDF 与平面AA 1B 的夹角的大小为θ2.则cos θ2＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n||m||n |＝|0＋2＋0|233×5＝155.[12分]利用向量求空间角的步骤： 第一步：建立空间直角坐标系． 第二步：确定点的坐标．第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法 向量)坐标．第四步：计算向量的夹角(或函数值)． 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角． 第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和 答题规范．温馨提醒 (1)利用向量求角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性 作用．(2)本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范． (3)将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错．方法与技巧1．若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算．(1)求两异面直线a 、b 的夹角θ，须求出它们的方向向量a ，b 的夹角，则cos θ＝ |cos 〈a ，b 〉|.(2)求直线l 与平面α的夹角θ可先求出平面α的法向量n 与直线l 的方向向量a 的夹角．则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|. (3)求平面间夹角θ，可先求出两个平面的法向量n 1，n 2所成的角，则θ＝〈n 1，n 2〉或π－〈n 1，n 2〉．2．求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段． 失误与防范1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．2．求点到平面的距离，有时利用等积法求解可能更方便．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 . 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1如图所示，则直线B 1D 和CD 1所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°答案 D解析 以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，则射线CD 1、B 1D 的方向向量分别是CD 1→＝(－1,0,1)，B 1D →＝(－1,1，－1)，cos 〈CD 1→，B 1D →〉＝1＋0－12×3＝0，∴两直线所成的角为90°.2．在空间直角坐标系Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)，已知点P (－1,3,2)，则点P 到平面OAB 的距离d 等于( )A ．4B ．2C ．3D ．1答案 B解析 P 点到平面OAB 的距离为d ＝|OP →·n||n |＝|－2－6＋2|9＝2，故选B.3 . 如图所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°答案 B解析 以D 为原点，分别以射线DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1， F ⎝⎛⎭⎫12，0，12， EF →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－12，DC →＝(0,1,0)， ∴cos 〈EF →，DC →〉＝EF →·DC →|EF →||DC →|＝－22，∴〈EF →，DC →〉＝135°，∴异面直线EF 和CD 所成的角是45°.提醒 两异面直线的方向向量的夹角与异面直线所成的角相等或互补．4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 的夹角的余弦值为( )A.12 B.23C.33D.22答案 B解析 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，D (0,1,0)， ∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12， 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2. ∴n 1＝(1,2,2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23. 即所求的角的余弦值为23.二、填空题(每小题5分，共15分)5 . 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________．答案 60°解析 以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)， 则EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)， ∴EF →·BC 1→＝2，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22×22＝12，∴EF 和BC 1所成的角为60°.6．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为________．答案 3010解析 建立坐标系如图，则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)， ∴BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)，∴cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→||AE →|＝3010. 7．设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是________．答案 233解析 如图建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)， D (0,0,0)，B (2,2,0)， ∴D 1A 1→＝(2,0,0)， DA 1→＝(2,0,2)，DB →＝(2,2,0)，设平面A 1BD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝2x ＋2z ＝0n ·DB →＝2x ＋2y ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)，∴点D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233.三、解答题(共22分)8．(10分)如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，P A 与平面ABD 所成的角为60°，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B ，P 的坐标； (2)求异面直线P A 与BC 所成的角的余弦值． 解 (1)建立如图空间直角坐标系，∵∠ADC ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2， ∴A (2,0,0)，C (0,1,0)，B (2,4,0)．由PD ⊥平面ABCD ，得∠P AD 为P A 与平面ABCD 所成的角， ∴∠P AD ＝60°.在Rt △P AD 中，由AD ＝2，得PD ＝23，∴P (0,0,23)．(2)∵P A →＝(2,0，－23)，BC →＝(－2，－3,0)，∴cos 〈P A →，BC →〉＝2×(－2)＋0×(－3)＋(－23)×0413＝－1313，∴P A 与BC 所成的角的余弦值为1313. 9．(12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)求平面PBD 与平面ABD 的夹角的大小． (1)证明 如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,3)， ∴AP →＝(0,0,3)，AC →＝(23，6,0)，BD →＝(－23，2,0)． ∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC . 又∵P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥面P AC .(2)解 设平面ABD 的法向量为m ＝(0,0,1)， 设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BD →＝0，n ·BP →＝0.∵BP →＝(－23，0,3)， ∴⎩⎨⎧－23x ＋2y ＝0，－23x ＋3z ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，z ＝233x . 令x ＝3，则n ＝(3，3,2)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝12.∴平面PBD 与平面BDA 夹角的大小为60°.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉的值为( )A.19 B.495 C.295 D.23答案 B解析 设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，可知CM →＝(2，－2,1)，D 1N →＝(2,2，－1)，cos 〈CM →，D 1N →〉＝－19，sin 〈CM →，D 1N →〉＝459.2．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 的夹角的正弦值为( )A.22B.155C.64D.63答案 C解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝2，则C 1(3，1,0)、A (0,0,2)，AC 1→＝(3，1，－2)，平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，所以AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为|AC 1→·n ||AC 1→||n |＝38＝64.故选C.3.如图，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1PD 1B＝λ.当∠APC为钝角时，则λ的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎭⎫0，13B.⎝⎛⎭⎫0，12C.⎝⎛⎭⎫12，1D.⎝⎛⎭⎫13，1 答案 D解析 由题设可知，以DA →、DC →、DD 1→为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)． 由D 1B →＝(1,1，－1)得D 1P →＝λD 1B →＝(λ，λ，－λ)，所以P A →＝PD 1→＋D 1A →＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)， PC →＝PD 1→＋D 1C →＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1) ＝(－λ，1－λ，λ－1)．显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＝cos 〈P A →，PC →〉＝P A →·PC →|P A →||PC →|<0，这等价于P A →·PC →<0， 即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)<0，得13<λ<1.因此，λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1. 二、填空题(每小题5分，共15分)4．(2012·陕西)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1所成的角的余弦值为________．答案55解析 不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.可得O (0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)， ∴BC →1＝(0,2，－1)，AB →1＝(－2,2,1)，∴cos 〈BC →1，AB →1〉＝BC →1·AB →1|BC →1||AB →1|＝4－15×9＝15＝55>0.∴BC →1与AB →1的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.5．(2012·大纲全国)三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为________．答案 66解析 连接A 1B 交AB 1于点O ，取A 1C 1的中点D ，连接B 1D 、DO .∵O 、D 分别为A 1B 、A 1C 1的中点，∴OD ∥BC 1，∴∠DOB 1或其补角即为异面直线AB 1与BC 1所成的角．设各棱长为a ，则DB 1＝32a .∵∠A 1AB ＝60°，∴OB 1＝AO ＝32a .又∵BC 1→＝BB 1→＋BC →＝AA 1→＋AC →－AB →， ∴BC 1→2＝(AA 1→＋AC →－AB →)2 ＝AA 1→2＋2AA 1→·AC →＋AC →2－2AA 1→·AB →－2AC →·AB →＋AB →2 ＝a 2＋2a 2cos 60°＋a 2－2a 2cos 60°－2a 2cos 60°＋a 2 ＝2a 2，∴|BC 1→|＝2a .∴OD ＝12BC 1＝22a .在△DOB 1中，由余弦定理得cos ∠DOB 1＝⎝⎛⎭⎫32a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2－⎝⎛⎭⎫32a 22·32a ·22a ＝66，∴AB 1与BC 1所成角的余弦值为66.6．在四面体P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设P A ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为________．答案 33a解析 根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，则P (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (0,0，a )．过点P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于点H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的 距离．∵P A ＝PB ＝PC ，∴H 为△ABC 的外心． 又∵△ABC 为正三角形，∴H 为△ABC 的重心，可得H 点的坐标为⎝⎛⎭⎫a 3，a 3，a 3. ∴PH ＝⎝⎛⎭⎫a 3－02＋⎝⎛⎭⎫a 3－02＋⎝⎛⎭⎫a 3－02＝33a .∴点P 到平面ABC 的距离为33a . 三、解答题7．(13分)(2012·北京)如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6.D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图(2)．(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由． (1)证明 ∵AC ⊥BC ，DE ∥BC ，∴DE ⊥AC . ∴DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，∴DE ⊥平面A 1DC ， 又A 1C 平面A 1DC ，∴DE ⊥A 1C . 又∵A 1C ⊥CD ，∴A 1C ⊥平面BCDE .(2)解 如图所示，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C －xyz则A 1(0,0,23)，D (0,2,0)，M (0,1，3)，B (3,0,0)，E (2,2,0)．设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1B →＝0， n ·BE →＝0. 又A 1B →＝(3,0，－23)，BE →＝(－1,2,0)，∴⎩⎨⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝3，∴n ＝(2,1，3)． 设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ. ∵CM →＝(0,1，3)，∴sin θ＝|cos 〈n ，CM →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·CM →|n |·|CM →|＝48×4＝22. ∴CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4.(3)解 线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．理由如下： 假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p ∈[0,3]． 设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)，则m ·A 1D →＝0，m ·DP →＝0. 又A 1D →＝(0,2，－23)，DP →＝(p ，－2,0)，∴⎩⎨⎧2y ′－23z ′＝0，px ′－2y ′＝0.令x ′＝2，则y ′＝p ，z ′＝p 3，∴m ＝⎝⎛⎭⎫2，p ，p 3. 平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0， 即4＋p ＋p ＝0.解得p ＝－2，与p ∈[0,3]矛盾．∴线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．。
第8节 立体几何中的向量方法(二)——求空间角
令 x＝3，则 n＝(3，－ 3，3)为平面 DEF 的一个法向量.
设直线 AC 与平面 DEF 所成角为 θ，
→ |AC· n| |－6－6| 21 → 则 sin θ＝|cos〈AC，n〉|＝ ＝ ＝ ， → 7 4 21 |AC|· |n|
21 所以 AC 与平面 DEF 所成角的正弦值为 . 7
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考点二 用空间向量求线面角
[例 2] (2018· 洛阳二模)已知三棱锥 A - BCD，AD⊥平面 BCD，BD⊥CD，AD＝ BD＝2，CD＝2 3 ，E，F 分别是 AC，BC 的中点，P 为线段 BC 上一点，且 CP ＝2PB. (1)求证：AP⊥DE；(2)求直线 AC 与平面 DEF 所成角的正弦值.
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考点二 用空间向量求线面角
利用向量法求线面角的方法： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向 量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐 角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
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取 BC 的中点 Q，连接 PQ，MQ，
图(2)
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考点一 用空间向量求异面直线所成的角
[例 1] (1)(一题多解)(2017· 全国Ⅱ卷)已知直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，∠ABC＝ 120° ，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为( ) 3 15 10 3 A. B. C. D. 2 5 5 3
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考点一 用空间向量求异面直线所成的角
立体几何空间角 专题
PCDBA立体几何空间角 专题空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
异面直线所成的角的范围：090θ<≤（一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。
【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则PC与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。
CE BD==PE==∴由余弦定理得222c o s 26PC CE PE PCE PC CE +-∠==-⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63（二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC 中点。
求异面直线1AB 与1BC A 1C 1【答案】125直线与平面所成角的范围：090θ≤≤方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上，的角的大小。
【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。
AB BC CA ==，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=，所以PAD ∆为等边三角形。
不妨设2PA =，则1,4OD OP AB===CD OC ∴===在RtOCP ∆中，tan 13OP OCP OC∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。
空间角的求法
空间角的求法一、异面直线所成角的求法 平移法常见三种平移方法：直接平移；中位线平移（尤其是图中出现了中点）；补形平移法。
“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
（1）直接平移法例1 如图，PA ⊥矩形ABCD ，已知PA=AB=8，BC=10，求AD 与PC 所成角的正切值。
（524）（2）中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。
例2 设S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值。
（510）（3）补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以利于找出平行线。
例3在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1CC 的中点，求直线AC 与ED 1所成角的余弦值。
（510）BMA NCS二、线面角的三种求法1.直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1四面体ABCS 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M 为AB 的中点，求：（1）BC 与平面SAB 所成的角；（60°） （2）SC 与平面ABC 所成的角。
（77）（“垂线”是相对的，SC 是面SAB 的垂线，又是面ABC 的斜线。
作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
）2.利用公式lh=θsin ：其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，l 是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
巧用三射线定理求解空间角度问题
巧用“三射线定理”求解空间角度问题立体几何试卷中常遇有空间角度计算问题：求异面直线所成的角、求直线与平面所成的角、求平面与平面所成的角等，这是学生们普遍感觉较为困难的一类问题．这类问题有两种常用的求解方法：一是通过作图，找出并证明问题所涉及到的对应角，然后利用平面几何知识或三角函数知识求出这一角度的值；二是通过建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算去求角．本文不打算在这两种固定不变的思路上做文章，而是意图通过介绍一个定理，利用数道例题，来给出用于求解空间角度问题的另外一种手段，以期能帮助激发同学们的求异与创新思维．1．三射线定理及其证明从空间一点P 任意引三条不共面的射线PA 、PB 、PC ，设∠BPC α=，∠CPA β=，∠APB γ=，且二面角A —PC —B 为θ，则cos cos cos sin sin cos γαβαβθ=+．..(1)二面角C PB A --为ϕ，则 .cos sin sin cos cos cos ϕγαγαβ+= (2)二面角C AP B --为δ，则δγβγβαcos sin sin cos cos cos +=…(3) 证明(1)式：如图1，已知PA 、PB 、PC 是这样的三条射 线，不妨设BC ⊥PC 于C ，AC ⊥PC ，则∠ACB 即为二面角A —PC —B 的平面角， ∴∠ACB θ=，设PA a =，PB b =，PC c =，AC m =，BC n =，AB p =，在Rt ∆BPC 中，有cos c b α=，sin n bα=，同理在Rt ∆CPA 中，有cos c a β=，sin maβ=，而在∆APB 中，有222cos 2a b p ab γ+-=，在∆ACB 中，有222cos 2m n p mnθ+-=，∴222cos cos sin sin cos 2c c n m m n p b a b a mn αβαβθ+-+=⋅+⋅⋅22222c m n p ab ab +-=+22222c m n p ab++-=， 而22222c a m b n =-=-，∴222222c a b m n =+--，代入上式即得图1PABCa cbmnpα γ θ222cos cos sin sin cos cos 2a b p abαβαβθγ+-+==，证毕．中学数学教材没有直接介绍三射线定理，而仅仅介绍了三射线定理的特例：如图2，已知AP 是平面M 的斜线，P 是斜足，AC 垂直于平面M ，C 为垂足，设PB 是平面M 内的任意一条直线，且BC ⊥PB ，垂足为B ，若PB 与PC 所成的角为α，PA 与PC 所成的角为β，而PA 与PB 所成的角为γ，则有cos cos cos γαβ=．此时的三射线还是PA 、PB 、PC ，但是附加有条件平面PAC ⊥平面PBC ，∴二面角A —PC —B 的大小2πθ=，将cos cos02πθ==代入三射线定理即得cos cos cos γαβ=．为叙述方便起见，在下文中，我们将把由三条射线两两形成的三个角都称之为做对应于的某条射线的“面角”．如图1中的∠BPC 我们将其称之为对应于射线PA 的一个“面角”；图2中的∠APB 我们将其称为对应于射线PC 的一个“面角”等．因此，三射线定理也被称为三面角的余弦定理，常被记为cos cos cos cos sin sin γαβθαβ-=的形式。
立体几何中空间角的求法
立体几何中空间角的求法立体几何是高中数学的核心内容之一，在高考中占有很大的比重。
考查的知识点、题型等相对稳定，但对学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力要求较高，而且在2010年高考立体几何试题对转化与化归思想、数形结合思想、割补思想等数学思想的考查也体现的淋漓尽致，而高考对立体几何中空间角的考查一直是热点内容，更成为必考内容，空间角是立体几何中一个重要概念，它是空间图形的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故在历届高考试题中频繁出现，求解方法也多种多样，本文就是空间角常用的方法--传统法与空间向量法。
一、异面直线所成的角θ∈[ 0°，90°]（1）传统方法：平移转化法或补形法，使之成为两相交直线所成的角，放入三角形中利用余弦定理计算，若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求。
（2）空间向量法：设异面直线ab与cd所成的角为θ，则cos θ = cos〈，〉参考例题：例1，如图在四棱锥o-abcd中，底面abcd是边长为1的菱形，∠abc= ，oa⊥面abcd，oa=2，m为oa的中点，则异面直线ab与md所成角的大小为（）a. b. c. d. π解析：（法1）∵cd∥ab ∴∠mdc为异面直线ab与md所成的角（或其补角）在△abc中，ab=1，∠abc= ，bc=1 ，∴ac2=2-又oa⊥面abcd ∴rt△amc中，am2=1，∴mc2=3-又cd=1 md=∴在△mdc中，cos∠mdc= = ∴∠mdc=（法2）作ap⊥cd于p，分别以ab、ap、ao所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系。
则a（0，0，0）， b（1，0，0）， d（- ，，0），o（0，0，2）， m（0，0，1）设ab与md所成的角为θ，又 =（1，0，0） =（ - ，，-1）∴cosθ= = ∴θ=二、直线与平面所成的角θ∈[ 0°，90°]（1）传统方法：先找到（或作出）过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的角，然后放入直角三角形中求解。
高中数学空间向量与立体几何立体几何中的向量方法利用空间向量求空间角空间距离问题数学.doc
3.2.3 利用空间向量求空间角、空间距离问题1．空间角及向量求法(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．( )(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．( )答案 (1)× (2)√ (3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________．(2)(教材改编P 111A 组T 11)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是C 1C 的中点，O 是底面ABCD 的中点，P 是A 1B 1上的任意点，则直线BM 与OP 所成的角为________．(3)已知平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为________．答案 (1)45°或135° (2)π2 (3)103解析 (2)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2 ，则O (1,1,0)，P (2，x,2)，B (2,2,0)，M (0,2,1)，则OP→＝(1，x －1,2)，BM →＝(－2,0,1)．所以OP →·BM →＝0，所以直线BM 与OP 所成角为π2. 探究1 利用空间向量求线线角例1 如图1，已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高分别为1和2，AB ＝4.求异面直线AQ 与PB 所成角的余弦值．[解] 由题设知，ABCD 是正方形，连接AC ，BD ，交于点O ，则AC ⊥BD .连接PQ ，则PQ 过点O .由正四棱锥的性质知PQ ⊥平面ABCD ，故以O 为坐标原点，以直线CA，DB，QP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图2)，则P(0,0,1)，A(22，0,0)，Q(0,0，－2)，B(0,22，0)，∴AQ→＝(－22，0，－2)，PB→＝(0,22，－1)．于是cos〈AQ→，PB→〉＝AQ→·PB→|AQ→||PB→|＝39，∴异面直线AQ与PB所成角的余弦值为3 9 .拓展提升两异面直线所成角的求法(1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解．(2)取定基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧．在由公式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|求向量a、b的夹角时，关键是求出a·b及|a|与|b|，一般是把a、b用一组基底表示出来，再求有关的量．(3)用坐标法求异面直线的夹角的方法①建立恰当的空间直角坐标系；②找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角；④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角．【跟踪训练1】如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，∠VDC ＝θ.当θ＝π3时，求异面直线AC 与VD 所成角的余弦值．解 由于AC ＝BC ＝2，D 是AB 的中点，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，D (1,1,0)．当θ＝π3时，在Rt △VCD 中，CD ＝2，故有V (0,0，6)．所以AC →＝(－2,0,0)，VD →＝(1,1，－6)．所以cos 〈AC →，VD →〉＝AC →·VD→|AC →||VD →|＝－22×22＝－24.所以异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为24.探究2 利用空间向量求线面角例2 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．[解] 建立如下图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0，a,0)，A 1(0,0, 2a )，C 1⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32a ，a2， 2a ， 取A 1B 1的中点M ，则M ⎝⎛⎭⎪⎫0，a2，2a ，连接AM ，MC 1，有MC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32a ，0，0， AB →＝(0，a,0)，AA1→＝(0,0，2a )．∴MC 1→·AB →＝0，MC 1→·AA 1→＝0， ∴MC 1→⊥AB →，MC1→⊥AA 1→， 即MC 1⊥AB ，MC 1⊥AA 1，又AB ∩AA 1＝A ， ∴MC 1⊥平面ABB 1A 1 .∴∠C 1AM 是AC 1与侧面A 1ABB 1所成的角．由于AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32a ，a 2，2a ，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，2a ，∴AC 1→·AM →＝0＋a 24＋2a 2＝9a 24，|AC 1→|＝3a 24＋a 24＋2a 2＝3a ， |AM →|＝a 24＋2a 2＝32a ， ∴cos 〈AC1→，AM →〉＝9a 243a ×3a 2＝32. ∴〈AC 1→，AM →〉＝30°，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°. [解法探究] 此题有没有其他解法？解 与原解建立相同的空间直角坐标系，则AB →＝(0，a,0)，AA1→＝(0,0，2a )，AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32a ，a 2，2a . 设侧面ABB 1A 1的法向量n ＝(λ，x ，y )，∴n ·AB →＝0且n ·AA1→＝0.∴ax ＝0且2ay ＝0.∴x ＝y ＝0.故n ＝(λ，0,0)．∵AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32a ，a 2，2a ， ∴cos 〈AC 1→，n 〉＝n ·AC1→|n ||AC 1→|＝－λ2|λ|.∴|cos 〈AC 1→，n 〉|＝12. ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.[条件探究] 此题中增加条件“E ，F ，G 为AB ，AA 1，A 1C 1的中点”，求B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1(0，a ，2a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，0，22a ，G ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－34a ，a 4，2a ， 于是B 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－a ，－22a ，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－a 2，22a ， EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34a ，－a 4，2a . 设平面GEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 2y ＋22az ＝0，－34ax －a 4y ＋2az ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2z ，x ＝6z ，令z ＝1，得x ＝6，y ＝2，所以平面GEF 的一个法向量为n ＝(6，2，1)， 所以|cos 〈B 1F →，n 〉|＝|n ·B 1F →||n ||B 1F →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2a －22a 9×a 2＋a 22＝33. 所以B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为33.拓展提升求直线与平面的夹角的方法与步骤思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：(1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量AB →； (3)求平面的法向量n ；(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝|n ·AB→||n ||AB→|.【跟踪训练2】 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．解 (1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN .由N 为PC 的中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .(2)取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，且AE ＝AB 2－BE 2＝AB2－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝ 5.以A 为坐标原点，AE →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .由题意知，P (0,0,4)，M (0,2,0)，C (5，2,0)，N ⎝⎛⎭⎪⎪⎫52，1，2， PM →＝(0,2，－4)，PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，1，－2，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，1，2. 设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎨⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0,2,1)．于是|cos 〈n ，AN →〉|＝|n ·AN →||n ||AN →|＝8525，则直线AN 与平面PMN所成角的正弦值为8525.探究3 利用空间向量求二面角例3 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D －AF －E 与二面角C －BE －F 都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角E－BC－A的余弦值．[解] (1)证明：由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，所以AF⊥平面EFDC.又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.(2)过D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，GF→的方向为x轴正方向，|GF→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知∠DFE为二面角D－AF－E的平面角，故∠DFE＝60°，则DF＝2，DG＝3，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，3)．由已知，AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，所以AB∥平面EFDC.又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF.由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF为二面角C－BE －F的平面角，∠CEF＝60°.从而可得C(－2,0，3)．连接AC，则EC→＝(1,0，3)，EB→＝(0,4,0)，AC→＝(－3，－4，3)，AB→＝(－4,0,0)．设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，则⎩⎨⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0，所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎨⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0，同理可取m ＝(0，3，4)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919.故二面角E －BC －A 的余弦值为－21919.拓展提升二面角的向量求法(1)若AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个半平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB →与CD →的夹角(如图①)．(2)利用坐标法求二面角的步骤设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图②.用坐标法的解题步骤如下：①建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系． ②求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n 1，n 2.③计算：求n1与n2所成锐角θ，cosθ＝|n1·n2| |n1||n2|.④定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.【跟踪训练3】若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC ＝2，求二面角A－PB－C的余弦值．解 解法一：如下图所示，取PB 的中点D ，连接CD .∵PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB .∴作AE ⊥PB 于E ，那么二面角A －PB －C 的大小就等于异面直线DC 与EA 所成的角θ的大小．∵PD ＝1，PE ＝PA 2PB ＝12，∴DE ＝PD －PE ＝12，又∵AE ＝AP ·AB PB ＝32，CD ＝1，AC ＝1，AC →＝AE →＋ED →＋DC →，且AE →⊥ED →，ED →⊥DC→，∴|AC →|2＝|AE →|2＋|ED →|2＋|DC →|2＋2|AE →|·|DC →|·cos(π－θ)， 即1＝34＋14＋1－2×32×1×cos θ，解得cos θ＝33.故二面角A －PB －C 的余弦值为33.解法二：由解法一可知，向量DC →与EA →的夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小，如图，建立空间直角坐标系Cxyz ，则A (1,0,0)，B (0，2，0)，C (0,0,0)，P (1,0,1)，D 为PB的中点，D ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，22，12. ∵PE EB ＝AP 2AB 2＝13，即E 分PB →的比为13，∴E ⎝⎛⎭⎪⎪⎫34，24，34，EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－24，－34， DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－22，－12，|EA →|＝32，|DC →|＝1，EA →·DC →＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－24×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12.∴cos 〈EA →，DC →〉＝EA →·DC →|EA →||DC →|＝33. 故二面角A －PB －C 的余弦值为33.解法三：如右图所示，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，AP →＝(0,0,1)，AB →＝(2，1,0)，CB →＝(2，0,0)，CP →＝(0，－1,1)，设平面PAB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·AP →＝0，m ·AB →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ·0，0，1＝0，x ，y ，z ·2，1，0＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，z ＝0，令x ＝1，则m ＝(1，－2，0)，设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则⎩⎨⎧n ·CB →＝0，n ·CP →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′，y ′，z ′·2，0，0＝0，x ′，y ′，z ′·0，－1，1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝0，y ′＝z ′.令y ′＝－1，则n ＝(0，－1，－1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝33.∴二面角A －PB －C 的余弦值为33.探究4 利用空间向量求距离例4 已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离．[解] 解法一：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，P (0，0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0.设DH ⊥平面PEF ，垂足为H ，则DH →＝xDE →＋yDF →＋zDP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y ，12x ＋y ，z ·(x ＋y ＋z ＝1)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1，PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－1.∴DH →·PE →＝x ＋12y ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋y －z ＝54x ＋y －z ＝0.同理，DH →·PF →＝x ＋54y －z ＝0，又x ＋y ＋z ＝1，∴可解得x ＝y ＝417，z ＝917.∴DH →＝317(2,2,3)．∴|DH →|＝31717.因此，点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)设AH ′⊥平面PEF ，垂足为H ′，则AH ′→∥DH →，设AH ′→＝λ(2,2,3)＝(2λ，2λ，3λ)(λ≠0)，则EH ′→＝EA →＋AH ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0＋(2λ，2λ，3λ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ，2λ－12，3λ.∴AH ′→·EH ′→＝4λ2＋4λ2－λ＋9λ2＝0，即λ＝117.∴AH ′→＝117(2,2,3)，|AH ′→|＝1717， 又AC ∥平面PEF ，∴AC 到平面PEF 的距离为1717.解法二：(1)由解法一建立的空间直角坐标系知EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，设平面PEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋12y ＝0，x ＋12y －z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，z ＝32x ，令x ＝2，则n ＝(2,2,3)， ∴点D 到平面PEF 的距离d ＝|DE →·n ||n |＝|2＋1|4＋4＋9＝31717.(2)∵AC ∥EF ，∴直线AC 到平面PEF 的距离也即是点A 到平面PEF 的距离．又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴点A 到平面PEF 的距离为 d ＝|AE →·n ||n |＝117＝1717.拓展提升1.向量法求点到直线的距离的两种思路(1)将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题，即利用待定系数法求出垂足的坐标，然后求出向量的模，这是求各种距离的通法．(2)直接套用点线距公式求解，其步骤为直线的方向向量a →所求点到直线上一点的向量PP ′→及其在直线的方向向量a 上的投影→代入公式．注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 2．点面距、线面距、面面距的求解方法线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．点面距的求解步骤：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； (3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．【跟踪训练4】 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离．解 如图，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)，∴EF →＝(1，－2,1)，EG →＝(2，－1，－1)，GA →＝(0，－1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的法向量，则⎩⎨⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋z ＝0，2x －y －z ＝0，∴x ＝y ＝z ，可取n ＝(1,1,1)， ∴d ＝|GA →·n ||n |＝13＝33，即点A 到平面EFG 的距离为33.探究5 与空间有关的探索性问题例5 如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所成的平面互相垂直，BE ∥CF ，∠BCF ＝∠CEF ＝90°，AD ＝3，EF ＝2.(1)求证：AE ∥平面DCF ；(2)当AB 的长为何值时，二面角A －EF －C 的大小为60°？[解] 如图，以点C 为坐标原点，以CB ，CF 和CD 所在直线分别作为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz .设AB ＝a ，BE ＝b ，CF ＝c ，则C (0,0,0)，A (3，0，a )，B (3，0,0)，E (3，b,0)，F (0，c,0)．(1)证明：AE →＝(0，b ，－a )，CB →＝(3，0,0)，BE →＝(0，b,0)，∴CB →·AE →＝0，CB →·BE →＝0， 从而CB ⊥AE ，CB ⊥BE . 又AE ∩BE ＝E ， ∴CB ⊥平面ABE . ∵CB ⊥平面DCF ，∴平面ABE ∥平面DCF .又AE ⊂平面ABE ， 故AE ∥平面DCF .(2)∵EF →＝(－3，c －b,0)，CE →＝(3，b,0)， 且EF →·CE →＝0，|EF→|＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＋b c －b ＝0，3＋c －b2＝2，解得b ＝3，c ＝4.∴E (3，3,0)，F (0,4,0)．设n ＝(1，y ，z )与平面AEF 垂直， 则n ·AE →＝0，n ·EF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1，y ，z ·0，3，－a ＝0，1，y ，z ·－3，1，0＝0，解得n ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，3，33a.又∵BA ⊥平面BEFC ，BA →＝(0,0，a )，∴|cos 〈n ，BA →〉|＝|n ·BA →||n ||BA →|＝334a 2＋27＝12， 解得a ＝92或a ＝－92(舍去)．∴当AB ＝92时，二面角A －EF －C 的大小为60°.拓展提升利用向量解决存在性问题的方法策略求解存在性问题的基本策略是：首先，假定题中的数学对象存在；其次，构建空间直角坐标系；再次，利用空间向量法把存在性问题转化为求参数是否有解问题；最后，解方程，下结论．利用上述思维策略，可使此类存在性难题变为常规问题．【跟踪训练5】 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝12AB ，点E 是棱AB 上一点，且AEEB＝λ. (1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)是否存在λ，使得二面角D 1－EC －D 的平面角为π4？并说明理由．解 (1)证明：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,2,1)，C 1(0,2,1)，D 1(0,0,1)．因为AEEB ＝λ，所以E ⎝⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，0， 于是D 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，－1，A 1D →＝(－1,0，－1)，所以D 1E →·A 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，－1·(－1,0，－1)＝－1＋0＋1＝0，故D 1E ⊥A 1D .(2)因为DD 1⊥平面ABCD ，所以平面DEC 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，设平面D 1EC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，又CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ－2，0，CD 1→＝(0，－2,1)， 则⎩⎨⎧n 1·CE →＝0，n 1·CD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ－2，0＝0，n 1·0，－2，1＝0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ·21＋λ＝0，－2y ＋z ＝0，取y ＝1，则n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，1，2. 因为二面角D 1－EC －D 的平面角为π4，所以22＝|n ·n 1||n ||n 1|，即22＝21＋4＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋λ2，解得λ＝233－1. 故存在λ＝233－1，使得二面角D 1－EC －D 的平面角为π4.1.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线，把立体几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及相应的距离和夹角等问题.(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. 2.利用法向量求直线AB 与平面α所成的角θ的步骤 (1)求平面α的法向量n .(2)利用公式sin θ＝|cos 〈AB →，n 〉|＝|AB →·n ||AB →||n |，注意直线和平面所成角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.3.利用法向量求二面角的余弦值的步骤 (1)求两平面的法向量.(2)求两法向量的夹角的余弦值.(3)由图判断所求的二面角是锐角、直角，还是钝角，从而下结论.在用法向量求二面角的大小时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.4.点面距的求解步骤(1)求出该平面的一个法向量.(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量. (3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.1．若两异面直线l 1与l 2的方向向量分别为a ＝(0,4，－3)，b ＝(1,2,0)，则直线l 1与l 2的夹角的余弦值为( )A.32B.8525C.4315D.33答案 B解析 设l 1，l 2的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝0×1＋4×2＋－3×05×5＝8525.2．直角△ABC 的两条直角边BC ＝3，AC ＝4，PC ⊥平面ABC ，PC ＝95，则点P 到斜边AB 的距离是( )A ．5B ．3C ．3 2 D.125答案 B解析 以C 为坐标原点，CA ，CB ，CP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (4,0,0)，B (0,3,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，95，所以AB →＝(－4,3,0)，AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，0，95， 所以AP →在AB →上的投影长为|AP →·AB →||AB →|＝165，所以点P 到AB 的距离为d ＝|AP →|2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝16＋8125－25625＝3.故选B.3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，O 是正方形中心，则折起后，∠EOF 的大小为( )A ．(0°，90°)B ．90°C ．120°D ．(60°，120°)答案 C解析 OE →＝12(OA →＋OD →)，OF →＝12(OB →＋OC →)，∴OE →·OF →＝14(OA →·OB →＋OA →·OC →＋OD →·OB →＋OD →·OC →)＝－14|OA →|2.又|OE →|＝|OF →|＝22|OA →|，∴cos 〈OE →，OF →〉＝－14|OA →|212|OA →|2＝－12.∴∠EOF ＝120°.故选C. 4．平面α的法向量n 1＝(1,0，－1)，平面β的法向量n 2＝(0，－1,1)，则平面α与β所成二面角的大小为________．答案π3或2π3解析 设二面角的大小为θ，则cos 〈n 1，n 2〉＝1×0＋0×－1＋－1×12·2＝－12，所以cos θ＝12或－12，∴θ＝π3或2π3.5．如图，在长方体AC 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，点E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1、平面BCC 1B 1的中心．以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．试用向量方法解决下列问题：(1)求异面直线AF 和BE 所成的角；(2)求直线AF 和平面BEC 所成角的正弦值．解 (1)由题意得A (2,0,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，2，22，B (2,2,0)，E (1，1，2)，C (0,2,0)．∴AF →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，2，22，BE →＝(－1，－1，2)， ∴AF →·BE →＝1－2＋1＝0.∴直线AF 和BE 所成的角为90°.(2)设平面BEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，又BC→＝(－2,0,0)，BE →＝(－1，－1，2)，则n ·BC →＝－2x ＝0，n ·BE →＝－x －y ＋2z ＝0，∴x ＝0，取z ＝1，则y ＝2，∴平面BEC 的一个法向量为n ＝(0，2，1)．∴cos 〈AF →，n 〉＝AF →·n|AF →||n |＝522222×3＝53333.设直线AF 和平面BEC 所成的角为θ，则sin θ＝53333，即直线AF 和平面BEC 所成角的正弦值为53333.。
第2讲 立体几何中的空间角问题
(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.
解 方法一 如图(2)，过点O作OH⊥BD，交直线BD于点H，连接CH.
由ABC－DEF为三棱台，得DF∥CO，
所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角.
由BC⊥平面BDO，得OH⊥BC，又BC∩BD＝B，
故OH⊥平面DBC，
所以∠OCH为直线CO与平面DBC所成角.
(2)(2021·温州模拟)如图，点M，N分别是正四面体ABCD的棱AB，CD上 的点，设BM＝x，直线MN与直线BC所成的角为θ，则 A.当ND＝2CN时，θ随着x的增大而增大 B.当ND＝2CN时，θ随着x的增大而减小 C.当CN＝2ND时，θ随着x的增大而减小
√D.当CN＝2ND时，θ随着x的增大而增大
又∵AA1∥B1B，∴BB1⊥BM. 又BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BMC， ∴BB1⊥平面BMC， 又CM⊂平面BMC，∴BB1⊥CM.
(2)求直线BM与平面CB1M所成角的正弦值.
解 方法一 作BG⊥MB1于点G，连接CG. 由(1)知BC⊥平面AA1B1B，得到BC⊥MB1， 又BC∩BG＝B，BC，BG⊂平面BCG，
MN＝ x2－3x＋7，
所以在△MNE 中，cos θ＝2
4－x x2－3x＋7
＝12 1＋x2－9－3x5＋x 7(x∈[0,3])，
令 f(x)＝x2－9－3x5＋x 7，
则 f′(x)＝5xx22－－31x8＋x－782<0，
所以f(x)在定义域内单调递减，即x增大，f(x)减小，即cos θ减小，从而θ 增大，故D正确，C错误.
所以在△FNM中， cos θ＝2 x25－－3xx＋7＝21
1＋x21－8－3x7＋x 7(x∈[0,3])，
立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离讲义
立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离讲义一、知识梳理1．两条异面直线所成角的求法设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则 l 1与l 2所成的角θ a 与b 的夹角β 范围]2,0(π[0，π] 求法cos θ＝|a ·b ||a ||b | cos β＝a ·b |a ||b | 2.直线与平面所成角的求法设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与n 的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝|a ·n ||a ||n |. 3．求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．注意：利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点A (x 1，y 1，z 1)，点B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.(2)点到平面的距离如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为|BO →|＝|AB →·n ||n |. 二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( )(4)两异面直线夹角的范围是]2,0(π，直线与平面所成角的范围是]2,0[π，二面角的范围是[0，π]．( ) (5)若二面角α－a －β的两个半平面α，β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－a －β的大小是π－θ.( ) 题组二 教材改编2．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°3．如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为______．题组三：易错自纠4．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25C.3010D.225．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为__ __．6．过正方形ABCD 的顶点A 作线段P A ⊥平面ABCD ，若AB ＝P A ，则平面ABP 与平面CDP 所成的角为______．二、典型例题题型一：求异面直线所成的角典例 如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．思维升华：用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．跟踪训练如图所示，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.(1)求证：BD⊥平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值的大小．题型二：求直线与平面所成的角典例如图，四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC＝4，M为线段AD 上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面P AB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．思维升华：利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．跟踪训练如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．题型三：求二面角典例 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值．思维升华：利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．跟踪训练 (2017·天津)如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2.(1)求证：MN ∥平面BDE ；(2)求二面角C -EM -N 的正弦值；(3)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长． 题型四：求空间距离(供选用)典例 如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝23，求点A 到平面MBC 的距离．思维升华：求点面距一般有以下三种方法：(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．(2)等体积法．(3)向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．跟踪训练 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，P A ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 的中点．(1)求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值；(2)求B 点到平面PCD 的距离；(3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q －AC －D 的余弦值为63若存在，求出PQ QD的值；若不存在，请说明理由．注意：利用空间向量求解空间角典例 (12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F －AB －P 的余弦值．四、反馈练习1．在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，AC 与B 1D 所成角的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π22.如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长为3，底面边长A 1C 1＝B 1C 1＝1，且∠A 1C 1B 1＝90°，D 点在棱AA 1上且AD ＝2DA 1，P 点在棱C 1C 上，则PD →·PB 1→的最小值为( )A.52 B ．－14 C.14 D ．－523．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.224.已知六面体ABC —A 1B 1C 1是各棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，则直线CC 1与平面AB 1D 所成的角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．30°5．设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是( )A.32B.22C.223D.2336．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°7．如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是____________．8．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则直线CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为________．9．已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF与平面ABC 所成的锐二面角的正切值为________．10．设二面角α—CD —β的大小为45°，A 点在平面α内，B 点在CD 上，且∠ABC ＝45°，则AB 与平面β所成角的大小为________．11．已知三棱锥A —BCD ，AD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，AD ＝BD ＝2，CD ＝23，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，P 为线段BC 上一点，且CP ＝2PB .(1)求证：AP ⊥DE ；(2)求直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值．12.如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，∠ADC ＝90°，AD ∥BC ，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，点E 在AD 上，且AE ＝2ED .(1)已知点F 在BC 上，且CF ＝2FB ，求证：平面PEF ⊥平面P AC ；(2)当二面角A —PB —E 的余弦值为多少时，直线PC 与平面P AB 所成的角为45°？13已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32B.155C.105D.3314．已知三棱锥S —ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ＝2，Q 是三棱锥S —ABC 外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为________．15．已知三棱锥P —ABC 的所有顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，AC 为球O 的直径．当三棱锥P —ABC 的体积最大时，二面角P —AB —C 的大小为θ，则sin θ等于( )A.23B.53C.63D.7316．如图，已知正四面体D —ABC (所有棱长均相等的三棱锥)，P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP＝PB ，BQ QC ＝CR RA＝2，分别记二面角D —PR —Q ，D —PQ —R ，D —QR —P 的平面角为α，β，γ，则( )A ．γ＜α＜βB ．α＜γ＜βC ．α＜β＜γD ．β＜γ＜α。
高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法
高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法立体几何是数学中的一个分支，其重点研究的是三维空间中点、线、面和体之间的关系。
在立体几何中，空间角和空间距离是非常关键的概念。
本文将详细探讨高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法。
一、空间角的概念与计算方法1. 空间角的概念空间角指的是由两个非共面向量所张成的角度，在立体几何中具有重要的意义。
空间角的大小是依据两个向量的夹角计算得来的。
2. 空间角的计算方法在计算空间角时，我们首先需要求出两个向量的点积。
设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则它们的点积为a*b=a1b1+a2b2+a3b3。
接下来，我们可以利用余弦定理来计算角度，即cosθ=(a*b)/(|a||b|)，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长，θ表示向量a和向量b之间的夹角。
二、空间距离的概念与计算方法1. 空间距离的概念空间距离指的是三维空间中两个点之间的距离，也是立体几何中经常涉及到的一个概念。
2. 空间距离的计算方法我们可以借助勾股定理来计算空间距离。
设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，它们之间的距离为d，则d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。
三、空间角和空间距离的应用空间角和空间距离在立体几何中的应用非常广泛，例如在计算棱台的侧面积、计算四面体内切圆半径、求解圆锥截面面积等问题中，我们都需要用到空间角和空间距离的知识。
比如，在计算棱台的侧面积时，我们需要首先求出两条棱所在的平面之间的空间角，然后根据棱长和计算出的角度，就可以快速计算出棱台的侧面积。
在计算四面体内切圆半径时，我们需要先计算出四面体各面的法线向量，然后根据法线向量计算面上的角度，最后用勾股定理求出四面体内切圆的半径。
在求解圆锥截面面积时，我们需要用到空间角和空间距离的知识，以找出圆锥截面的边界和计算截面的面积。
高考数学专题—立体几何(空间向量求空间角与空间距离)
高考数学专题——立体几何（空间向量求角与距离）一、空间向量常考形式与计算方法设直线l,m 的方向向量分别为l ⃗,m ⃗⃗⃗⃗，平面α,β的法向量分别为n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗. （1）线线角：（正负问题）：用向量算取绝对值（因为线线角只能是锐角）直线l,m 所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：cos θ=l⃗⋅m ⃗⃗⃗⃗|l⃗|⋅|m ⃗⃗⃗⃗|； （2）线面角：正常考你正弦值，因为算出来的是角的余角的余弦值 非正常考你余弦值，需要再算一步。
直线l 与平面α所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：sin θ=|l ⃗⋅n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗||l⃗|⋅|n ⃗⃗|； (3)二面角：同进同出为补角；一进一出为原角。
注意：考试从图中观察，若为钝角就取负值，若为锐角就取正值。
平面α,β所成的二面角为θ，则0≤θ≤π，如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝⟨AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗,CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩．如图②③，n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|n⃗⃗1⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n⃗⃗1|⋅|n2⃗⃗⃗⃗⃗⃗||，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． (4)空间距离额计算：通常包含点到平面距离，异面直线间距离。
二、空间向量基本步骤空间向量求余弦值或正弦值四步法（1）建系：三垂直，尽量多点在轴上；左右下建系，建成墙角系；锥体顶点在轴上；对称面建系。
一定要注明怎样建成的坐标系（2）写点坐标（3）写向量：向量最好在面上或者轴上（可简化计算量） （4）法向量的简化计算直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线l ⊥α，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作，有无数多个，任意两个都是共线向量.平面法向量的求法：设平面的法向量为α⃗=(x,y,z ).在平面内找出（或求出）两个不共线的向量a ⃗=(x 1,y 1,z 1)，b ⃗⃗=(x 2,y 2,z 2)，根据定义建立方程组，得到{α⃗×a ⃗=0α⃗×b ⃗⃗=0，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.三、空间向量求距离向量方法求异面直线距离：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。
空间角的求法
空间角的求法一、异面直线所成角的求法平移法常见三种平移方法：直接平移；中位线平移（尤其是图中出现了中点）；补形平移法。
“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
（1）直接平移法4J2例1如图，PA_矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的正切值。
（）5（2 ）中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。
例2设S是正三角形ABC所在平面外的一点，SA = SB= SC,且.ASB = . BSC = . CSA =—,2M、N分别是AB和SC的中点，求异面直线SM与BN所成的角的余弦值。
（）5（3 ）补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以利于找出平行线。
例3在正方体ABC^ A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求直线AC与ED i所成角的余弦值。
、线面角的三种求法1. 直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1四面体 ABCS 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，/ SBA=45，/ SBC=60 , M 为AB 的中点，求:质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的 垂线。
）h U2. 利用公式si =:其中。
是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，I 是斜线段的长，其中求l 出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂 线段的长。
例2长方体ABCD-A i B i C i D i 中AB=3 , BC=2 ,A I A= 4，求AB 与面AB i C i D 所成的角的正弦值。
巧用空间向量的坐标运算求空间角
② 将两条异面直线用向量或坐标表示
出来， 利用向量的夹 Ｐ
角公式求解．
【例 １】如 图 ， 在 Ｅ
Ｄ
Ｃ
四 棱 锥 Ｐ－ ＡＢＣＤ 中 ，
底 面 ＡＢＣＤ 为 矩 形 ， Ａ
Ｂ
侧 棱 ＰＡ⊥底 面 ＡＢＣＤ， ＡＢ ＝ " ３ ， ＢＣ ＝ １，
ＰＡ ＝ ２， Ｅ 为 ＰＤ 的 中 点 ． 求 直 线 ＡＣ 与 ＰＢ
线和平面的法线用向量或坐标表示出来；
③ 利用向量的夹角公式求解．
【例 ２】正 三 棱 柱 ＡＢＣ－ Ａ１Ｂ１Ｃ１ 的 底 面
边长为 ａ， 侧棱长为 !２ ａ， ＡＢ１ 所成的角．
解： 如图， 以点
Ａ 为 坐 标 原 点 Ｏ， 以 ｚ ＡＢ 所 在 直 线 为 Ｏｙ Ａ１ 轴， 以 ＡＡ１ 所在直线 为 Ｏｚ 轴， 以经过原点
度问题时需要很强的技巧性， 一旦思路受阻
就只能放弃． 新课程增加的空间向量利用代
数的方法， 为解决这些问题提供了通用方
法． 求空间角是立体几何中研究的重要问
题 ， 传 统 的“ 形 到 形 ”综 合 推 理 方 法 是 找 到
角， 再通过解三角形求得． 这种方法需要对
图形进行平移和投影等转化， 且不同的问题
（ ２） 求异面直线 ＡＤ 与 ＢＣ１ 所成角的大
小．
Ｄ１
Ａ１
Ｃ１
Ｂ１ Ｄ
Ａ
Ｅ
Ｃ
Ｂ
参考答案
１． Ｂ
２．
ａｒｃ
ｃｏｓ
&３ ９
．
３． （ １） 二 面 角 Ａ１－ ＢＤ － Ｃ１ 的 大 小 为 ９０°．
（ ２） 异面直线 ＡＤ 与 ＢＣ１ 所成角的大小
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-立体几何中的传统法求空间角
知识点：
一．异面直线所成角：平移法
二．线面角
1.定义法：此法中最难的是找到平面的垂线.1.）求证面垂线，2）.图形中是否有
面面垂直的结构，找到交线，作交线的垂线即可。
2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA
三．求二面角的方法
1、直接用定义找，暂不做任何辅助线；
2、三垂线法找二面角的平面角.
例一：如图,在正方体错误!未找到引用源。
中,错误!未找到引
用源。
、错误!未找到引用源。
分别是错误!未找到引用源。
、
错误!未找到引用源。
的中点,则异面直线错误!未找到引用
源。
与错误!未找到引用源。
所成的角的大小是
______90______.
考向二线面角
例二、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩
形，AD⊥PD，BC=1，
PC=23，PD=CD=2.
（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；
（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。
N
M
B1
A1
C1 D1
B
D C A
练
习
：
如图
，
在
三棱锥
P ABC
-中，
PA ⊥底面
,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=，
点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC
（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值；
（Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC .
又90BCA ︒
∠=，∴AC ⊥BC .
∴BC ⊥平面PAC .
（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，
∴1
2
DE BC =
， 又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E .
∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA=A B ， ∴△ABP 为等腰直角三角形，∴2
AD AB =
， ∴在Rt △ABC 中，60ABC ︒
∠=，∴1
2
BC AB =
. ∴在Rt △ADE 中，2
sin 24
DE BC DAE AD AD ∠=
==，
考向三： 二面角问题 在图中做出下面例题中二面角
例三：.定义法（2011广东理18）
如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60︒，2PA PD ==,PB=2,
E,F 分别是BC,PC 的中点．
（1） 证明：AD ⊥平面DEF;
（2） 求二面角P-AD-B 的余弦值． 法一：（1）证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD 。
因PA=PD ，有PG AD ⊥，在ABD ∆中，1,60AB AD DAB ==∠=︒，有ABD ∆为
等边三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥⋂=，所以AD ⊥平面
PBG ,.AD PB AD GB ⇒⊥⊥
又PB//EF ，得AD EF ⊥，而DE//GB 得AD ⊥DE ，又FE DE E ⋂=，所以AD ⊥
平面DEF 。
（2）,PG AD BG AD ⊥⊥，
PGB ∴∠为二面角P —AD —B 的平面角，
在
2227,4Rt PAG PG PA AG ∆=-=
中
在
3Rt ABG ∆⋅︒中,BG=AB sin60
2
2
2
734
21
44cos 2773
2PG BG PB PGB PG BG +-+-∴∠===-
⋅⋅⋅
法二：（1）取AD 中点为G ，因为,.PA PD PG AD =⊥
又,60,AB AD DAB ABD =∠=︒∆为等边三角形，因此，BG AD ⊥，从而AD ⊥平
面PBG 。
延长BG 到O 且使得PO ⊥OB ，又PO ⊂平面PBG ，PO ⊥AD ，,AD OB G ⋂= 所以PO ⊥平面ABCD 。
以O 为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB ，OP 分别为x 轴，z 轴，平行于
AD 的直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系。
设11
(0,0,),(,0,0),(,,0),(,,0).
22P m G n A n D n -则
3||||sin 602GB AB =︒=
333131(((,0),(,).2222n m B n C n E n F ∴+
+++
由于
33(0,1,0),(
,0,0),()22n m
AD DE FE ===+-
得0,0,,,AD DE AD FE AD DE AD FE DE FE E ⋅=⋅=⊥⊥⋂=
AD ∴⊥平面DEF 。
（2）
13
(,,),()
22PA n m PB n m =--=+-
22221332,()2,1,42m n n m m n ++
=++===解之得
取平面ABD 的法向量1(0,0,1),
n =-
设平面PAD 的法向量
2(,,)
n a b c = 由
22330,0,0,0,2222b b PA n a c PD n a c ⋅=--=⋅=+-=得
由
取
23n =
123
212cos ,77
14n n ∴<>=
=-⋅
2、三垂线定理法
例四．(广东省惠州市2013届高三第三次调研理)（本小题满分14分）如图，在长方体
1111
ABCD A B C D -中，
11
AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动．
（1）证明：
11D E A D
⊥；
（2）当E 点为AB 的中点时，求点E 到平面
1
ACD 的距离；
（3）AE 等于何值时，二面角1D EC D
--的大小为
4π
？
18．（本小题满分14分） （1）证明：如图，连接
1D B
，依题意有：在长方形
11
A ADD 中，
11
AD AA ==，
1111111111111A ADD A D AD A D AD B AB A ADD AB A D A D D E
D E AD B AD AB A ⇒
⊥⎫
⇒⊥⎫
⎪⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪=⎭
四边形平面又平面平面．……… 4分
∴点E 到平面1
ACD 的距离为1
3． ………………………………………………… 8分 （3）解：过D 作DF EC ⊥交EC 于F ，连接1D F ．由三垂线定理可知，1DFD ∠为二面
角
1D EC D
--的平面角．
∴
14DFD π
∠=
，
12D DF π
∠=
，111D D DF =⇒=． ……………………… 10分
1sin 26DF DCF DCF DC π∠=
=⇒∠=，∴3BCF π
∠=．…………………… 12分
∴
tan
33
BE
BE BC π
=
⇒=23AE AB BE =-=-．
故23AE =-时，二面角1D EC D
--的平面角为4π
．…………………………… 14分
练习. 如图，在四面体A BCD -中，2,2,1AB AD BD DC ====,且BD DC ⊥，二
面角A BD C --大小为60．
(1)求证：平面ABC ⊥平面BCD ；
(2)求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值．
17．解：(1)在四面体A BCD -中，取BD BC 、中点分别为 M N 、，连接MN ，则//MN DC BD DC ⊥,则MN BD ⊥ 又2AD AB ==
则AM BD ⊥
AMN ∴∠中，1
1,2
AM MN == 60AMN ∠=,
可知90ANM ∠=
又BD ⊥面AMN ,则BD AN ⊥
AN ∴和两相交直线BD 及MN 均垂直，从而AN ⊥面BDC
又面ABC 经过直线AN ，故面ABC ⊥面BCD …………………………(6分)
(2)由(1)可知平面ABC ⊥平面BDC
过D 向BC 作垂线于足H ，从而DH ⊥面ABC
过Rt BDC 中，2,1BD DC ==，则5
DH = 于是DC 与平面ABC 所成角即DCH ∠ 25
sin 5
DCH ∴∠=
= 因此直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值为25
5
.…………………………(12分)。