立体几何中用传统法求空间角

-立体几何中的传统法求空间角

知识点：

一．异面直线所成角：平移法

二．线面角

1.定义法：此法中最难的是找到平面的垂线.1.）求证面垂线，2）.图形中是否有

面面垂直的结构，找到交线，作交线的垂线即可。

2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA

三．求二面角的方法

1、直接用定义找，暂不做任何辅助线；

2、三垂线法找二面角的平面角.

例一：如图,在正方体错误!未找到引用源。中,错误!未找到引

用源。、错误!未找到引用源。分别是错误!未找到引用源。、

错误!未找到引用源。的中点,则异面直线错误!未找到引用

源。与错误!未找到引用源。所成的角的大小是

______90______.

考向二线面角

例二、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩

形，AD⊥PD，BC=1，

PC=23，PD=CD=2.

（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；

（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。

N

M

B1

A1

C1 D1

B

D C A

练

习

：

如图

，

在

三棱锥

P ABC

-中，

PA ⊥底面

,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=，

点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC

（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值；

（Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC .

又90BCA ︒

∠=，∴AC ⊥BC .

∴BC ⊥平面PAC .

（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，

∴1

2

DE BC =

， 又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E .

∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA=A B ， ∴△ABP 为等腰直角三角形，∴2

AD AB =

， ∴在Rt △ABC 中，60ABC ︒

∠=，∴1

2

BC AB =

. ∴在Rt △ADE 中，2

sin 24

DE BC DAE AD AD ∠=

==，

考向三： 二面角问题 在图中做出下面例题中二面角

例三：.定义法（2011广东理18）

如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60︒，2PA PD ==,PB=2,

E,F 分别是BC,PC 的中点．

（1） 证明：AD ⊥平面DEF;

（2） 求二面角P-AD-B 的余弦值． 法一：（1）证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD 。

因PA=PD ，有PG AD ⊥，在ABD ∆中，1,60AB AD DAB ==∠=︒，有ABD ∆为

等边三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥⋂=，所以AD ⊥平面

PBG ,.AD PB AD GB ⇒⊥⊥

又PB//EF ，得AD EF ⊥，而DE//GB 得AD ⊥DE ，又FE DE E ⋂=，所以AD ⊥

平面DEF 。

（2）,PG AD BG AD ⊥⊥，

PGB ∴∠为二面角P —AD —B 的平面角，

在

2227,4Rt PAG PG PA AG ∆=-=

中

在

3Rt ABG ∆⋅︒中,BG=AB sin60

2

2

2

734

21

44cos 2773

2PG BG PB PGB PG BG +-+-∴∠===-

⋅⋅⋅

法二：（1）取AD 中点为G ，因为,.PA PD PG AD =⊥

又,60,AB AD DAB ABD =∠=︒∆为等边三角形，因此，BG AD ⊥，从而AD ⊥平

面PBG 。 延长BG 到O 且使得PO ⊥OB ，又PO ⊂平面PBG ，PO ⊥AD ，,AD OB G ⋂= 所以PO ⊥平面ABCD 。

以O 为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB ，OP 分别为x 轴，z 轴，平行于

AD 的直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系。

设11

(0,0,),(,0,0),(,,0),(,,0).

22P m G n A n D n -则

3||||sin 602GB AB =︒=

333131(((,0),(,).2222n m B n C n E n F ∴+

+++

由于

33(0,1,0),(

,0,0),()22n m

AD DE FE ===+-

得0,0,,,AD DE AD FE AD DE AD FE DE FE E ⋅=⋅=⊥⊥⋂=

AD ∴⊥平面DEF 。

（2）

13

(,,),()

22PA n m PB n m =--=+-

22221332,()2,1,42m n n m m n ++

=++===解之得

取平面ABD 的法向量1(0,0,1),

n =-

设平面PAD 的法向量

2(,,)

n a b c = 由

22330,0,0,0,2222b b PA n a c PD n a c ⋅=--=⋅=+-=得

由

取

23n =

123

212cos ,77

14n n ∴<>=

=-⋅