程序设计方法——贪心算法PPT教学课件

2020/12/12
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输入数据保证最后可以达到每堆石子的个 数相等
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解题思路
本题模型与均分纸牌很相似
均分纸牌：一条直线 石子移动：环
参考上一题的方法，尝试从任何一堆纸牌 出发，求得当前的最小移动的石子数
从不同的石子堆出发最小移动石子数一样么？ 如何得到全局最优解
枚举每个出发点，从中找一个移动石子数目最小的。
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解题思路
确定最终每堆纸牌上的纸牌数目 从一个端点出发沿着一个方向移动纸牌，
每次移动后确保当前这堆纸牌上的数目是 最终每堆纸牌数目
注意：可以移动负数
最优方案，证明？
代码略
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问题3：石子移动
有N堆石子排成一个圈，第i堆石子有ai个石 子。每堆石子均可被移动到相邻的堆，请 问要使得所有堆石子的个数均相等，最少 需要移动多少个石子。
《程序设计实践》
程序设计方法之 贪心法
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贪心法
概念：贪心法（ Greedy algorithm），又 称贪心算法，是一种在每一步选择中都采 取在当前状态下最好或最优（即最有利） 的选择，从而希望导致结果是最好或最优 的算法
每一步上都要保证能获得局部最优解，但由此 产生的全局解有时不一定是最优的
int main() {
int n, heap[MAXHEAP], tmpHeap[MAXHEAP]; // minMoves表示最小移动的牌数，初始化为最大整数 int nTotal = 0, nAverage = 0, minMoves = 0x7FFFFFFF, nMoves; int i, j;
cin >> n;
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参考代码（续)
//读入数据，并得到最终每堆石子的数量nAverage; for (i = 0; i < n; i++) {
cin >> heap[i]; nTotal += heap[i]; } nAverage = nTotal / n;
int now, next; //当前的石子堆now，now右边的石子堆next int nStart = 0; //记录得到最少移动牌数的方案中起点位置
引理1:
若n是正整数，则用25美分、10美分、5美分和 1美分等尽可能少的硬币找出的n美分零钱中， 至多有2个10美分、至多有1个5美分、至多有4 个1美分硬币，而不能有2个10美分和1个5美分 硬币。用10美分、5美分和1美分硬币找出的零 钱不能超过24美分。
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贪心法证明(续)
这两种方式中有同样多的25美分硬币，所以在这两种方式中 10美分、5美分和1美分硬币的总值一定相等，并且这些硬 币的总值不超过24美分
10美分硬币的个数一定相等，因为贪心算法使用尽可能多的 10美分硬币。而根据引理1，当使用尽可能少的硬币找零钱 时，至多使用1个5分硬币和4个1分硬币，所以在找零钱的 最优方式中也使用尽可能多的10美分硬币。类似地，5美分 硬币的个数相等；最终，1美分的个数相等。
一般说来，时间复杂度较低，算法实现也比较 容易
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问题1：找零钱
找零钱找给顾客。手头有quarters ($0.25), dimes ($0.10), nickels ($0.05) and pennies ($0.01)，将 钱找给顾客，但是需要你找给顾客的钱币数量最 少。
现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆上纸牌 数都一样多。
例如 N=4，4 堆纸牌数分别为： ① 9 ② 8 ③ 17 ④ 6 移动3次可达到目的： 从 ③ 取 4 张牌放到 ④ （9 8 13 10） -> 从 ③ 取 3 张牌放到 ② （9 11 10 10）-> 从 ② 取 1 张牌放到①（10 10 10 10）。
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找零钱问题（续）
找零钱找给顾客。手头有quarters ($0.25), dimes ($0.10), nickels ($0.05) and pennies ($0.01)，将钱 找给顾客，但是需要你找给顾客的钱币数量最少。
如果缺少nickels($0.05)的硬币，如何找给 顾客，才能使钱币数量最少？
如果要找给顾客0.3元钱，最优方案? 贪心法方案：0.25 +0.01 * 5 0.1 * 3
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问题2：均分纸牌
均分纸牌(1040) 有 N 堆纸牌，编号分别为 1，2，…, N。每堆上有若干张，但
纸牌总数必为 N 的倍数。可以在任一堆上取若于张纸牌，然后移 动。
移牌规则为：在编号为 1 堆上取的纸牌，只能移到编号为 2 的 堆上；在编号为 N 的堆上取的纸牌，只能移到编号为 N-1 的堆上； 其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。
解法：
枚举法：枚举所有可能，从中找出钱币数量最少的方 案
贪心法：尽可能的先找quarters，然后是dimes, nickels, pennies
这样找出的钱币的个数一定最少么？？？？
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贪心法证明：
方便起见上述硬币表示为25美分，10美分， 5美分，1美分，待找钱为n美分。
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参考代码
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <memory.h> #include <cmath> #include <iostream>
using namespace std; #define MAXHEAP 1100
反证法：
假设存在正整数n，使得有办法将25美分、10美分、5美分 和1美分硬币用少于贪心算法所求出的硬币去找n美分零钱。
首先，在这种找n美分零钱的最优方式中使用25美分硬币的 个数q′，一定等于贪心算法所用25美分硬币的个数。
为了说明这一点，注意贪心算法使用尽可能多的25美分硬币，所 以q′≤q。但是q′也不能小于q。假如q′小于q，需要在这种最优方式 中用10美分、5美分和1美分硬币至少找出25美分零钱。而根据引 理1，这是不可能的。