特征理论偏微分方程组

第7章 特征理论

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7.1.1 弱间断解与弱间断面
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例子
考虑弦振动方程
则
不是古典解，但它是弱间断解。
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是方程（7.1.1)的弱间断面。 上处处成立。
7.1.2 特征方程与特征曲面
设光滑曲面 可以推出它应满足的条件为下式在
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7.3.1 解的存在性和唯一性
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7.3.2
解的稳定性
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7.4
定理
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7.4.2
Cauchy 问题的化简
首先，把高阶非线性 C-K 型组 Cauchy 问题化为一个与其等价的一阶非 线性 C-K 型组的 Cauchy 问题。 其次，我们可以把一个一阶非线性 C-K 型组 Cauchy 问题化为一个与其 等价的一阶拟线性 C-K 型组的 Cauchy 问题。方法是将所有对空间变量的 微商取作新的未知函数，然后这些新的未知函数对时间变量求微商，并利用 已知方程式即得。 Cauchy问题(7.4.2)化为如下的一阶拟线性 C-K 型方程组的Cauchy问题:
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于是，C-K 定理 7.4.1可等价地叙述为
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C-K型定理的证明用的是强函数的方法，即用一个明显可解出的问题与所 考虑的问题相比较，故须要介绍强函数的概念。
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7.4.3 强函数
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7.4.4 C-K 定理的证明
（1） 唯一性（幂级数解法）。 （2） 存在性（强函数方法）。
将狭义双曲型方程化为标准型的方法： 1.
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求向量方程 2.
的解。
令，
用T 左乘（7.2.2）式得：
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3.
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7.3 双曲型方程组的Cauchy 问题
首先指出，并非对一切类型的方程组都可 以Cauchy问题，有例子表明，当特征方程 （7.2.6)有复根时，方程组（7.2.1)的Cauchy 问题的解是不稳定的。所以我们仅限于讨 论双曲型方程组的Cauchy问题。为便于理解 和叙述，这里仅讨论两个自变量的对角型 方程组的Cauchy问题。

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方程特征曲面的例子
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7.2
方程组的特征理论
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7.2.1 弱间断解与特征线
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7.2.2 狭义双曲型方程组的标准型
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附注 1 该定理断言解析解的局部存在唯一性，并没有保证整体解的存在性。 附注 2 由证明知，若方程右端及Cauchy数据是各自变量的解析函数，则在初 始平面 上任意点的领域内都存在一个解析解。再由解的唯一性知，把 这些解粘合在一起，就得到 的一个领域中的解析解。 附注 3 C-K 定理不能保证解对初始数据的连续依赖性。另外，其证明本质上 依赖与解析性假设。