特征理论偏微分方程组
用特征曲线法求解线性偏微分方程
相 应 地 ，（３）式 的 解 记 为 ：
U (t ) = u ( x (t , ξ ,η ), y (t , ξ ,η ), z (t , ξ ,η )) （６）
不相交。 在整个区域 D 内， 所有的特征曲线 “平行” 地布满 D 。 此时方程（１）的未知函数的 v 一阶偏导数线性组合在各特征曲线 γ 上只随 换 t 的变化而变化，从而可转化为对 t 的导数。 句 话 说 ， 将 ( x, y , z , u ) 所 在 区 域 ( D, u ) ⊂ R4 沿 v v 曲面 (γ , u ) （即 (ξ ,η ) 取定）剪开，在曲面 (γ , u ) 内未知函数是参数 t 的一元函数。 方程（１）在此 曲面上就是一常微分方程。
5x − 2 y − 2( x7+ y ) x+ y )e − 1) + C1 ( ，其 7 7 中 C1 为 任 意 的 一 阶 连 续 可 导 函 数 。 再用特征曲线法解方程： v = 7e
− x+ y 7
于 是 ， 原 方 程 变 为 U t + L3U = G (t ) ， 其 中 U = u(x(t,ω), y(t,ω)) ， L3 = l3(x(t,ω), y(t,ω)) ，
学 术 论 坛
２０１０ ＮＯ．０４ ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
科技资讯
用特征曲线法求解线性偏微分方程
王建鹏 １ 林毅 ２ 李祯 ３ （ １ ． 河海大学常州校区数理部 江苏常州 ２ １ ３ ０ ２ ２ ； ２ ．常州机电职业技术学院基础部 江苏常州 ２ １ ３ １ ６ ４ ； ３ ． 陕西省杨凌区西北农林科技大学理学院应用数学系 陕西杨凌 ７ １ ２ １ ０ ０ ） 摘 要 ： 特征曲线法是一种求解线性偏微分方程的基本方法． 但由于与几何背景相联系， 不易理解掌握． 本文总结了用特征曲线求解一 阶线性偏微分方程的思想方法，在此基础上，给出特征曲线法在一类二阶常系数线性偏微分方程求解问题上的推广。 关键词：偏微分方程 变量替换 特征曲线 方向导数 曲纹坐标 中图分类号：Ｏ１７２ 文献标识码：Ａ 文章编号 ：１６７２－３７９１（２０１０）０２（ａ）－０２１７－０２
特征理论在偏微分方程中的应用
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安 徽 农 业 大学 学 报 ，２０ ，２ （ ） ∞ ～ ２ ６ ０ ２ ９ ２ ：２ ０
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特征 理 论在 偏 微 分 方 程 中 的应 用
汪 光 辉
（ 肥 工业 大 学理 学 院 ，合 肥 ２ ０ ０ ） 合 ３０ ９
摘
要 ：本 文 从 几何 的观 点 辅 用特 枉 巍 法讨 论 了一 价 巍性 齐 班 、拟 践 性 越 蕊 奎 非 线 性 倍 微 分 方 程 解 的 求
浩 ， 并 给 出 了 应 用 实 倒
ห้องสมุดไป่ตู้
偏微分方程基础与求解方法
偏微分方程基础与求解方法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中重要的一个分支，它描述了自然和物理现象中的变化规律。
本文将介绍偏微分方程的基础知识以及一些常见的求解方法。
一、偏微分方程简介偏微分方程是包含未知函数的偏导数的方程。
它在数学物理、工程学、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
偏微分方程可以分为线性和非线性两大类，其中线性偏微分方程具有特殊的重要性。
二、偏微分方程的分类根据方程中出现的未知函数的阶数、方程中出现的偏导数阶数以及方程的性质，偏微分方程可分为以下几类：1. 一阶偏微分方程：包含一阶导数的方程，如线性传热方程、波动方程等。
2. 二阶偏微分方程：包含二阶导数的方程，如拉普拉斯方程、扩散方程等。
3. 高阶偏微分方程：包含高于二阶导数的方程，如Schrodinger方程、Navier-Stokes方程等。
4. 椭圆型方程：二阶方程中的主对角项系数为常数，如拉普拉斯方程。
5. 抛物型方程：二阶方程中的主对角项系数只与一个自变量有关，如扩散方程。
6. 双曲型方程：二阶方程中的主对角项系数只与两个自变量有关，如波动方程。
三、常见的偏微分方程求解方法1. 分离变量法：适用于满足边界条件的简单情况，可将多变量的偏微分方程转化为多个单变量的常微分方程，从而解得原偏微分方程的解。
2. 特征线法：适用于一阶偏微分方程和某些二阶偏微分方程的求解，通过引入新的变量将原方程转化为常微分方程。
3. 变换法：通过适当的变换将原偏微分方程转化为常微分方程，再进行求解。
4. 矩阵法：适用于线性偏微分方程组的求解，将偏微分方程组转化为矩阵形式，利用线性代数的方法求解。
5. 数值方法：对于复杂的偏微分方程，往往无法找到解析解，可以通过数值方法进行近似求解，如有限差分法、有限元法、谱方法等。
四、偏微分方程的应用偏微分方程在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
例如：1. 物理学：波动方程用于描述声波、光波等传播过程；热传导方程用于描述物体内部的温度分布。
偏微分方程的分类与求解方法
偏微分方程的分类与求解方法引言：偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中重要的研究对象之一，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本文将探讨偏微分方程的分类与求解方法，以加深对这一领域的理解。
一、偏微分方程的分类偏微分方程可以根据方程中未知函数的个数、阶数以及系数的性质进行分类。
常见的分类包括：1. 偏微分方程的个数：- 单一偏微分方程：方程中只包含一个未知函数，如波动方程、热传导方程等；- 耦合偏微分方程：方程中包含多个未知函数，它们相互耦合，如Navier-Stokes方程、Maxwell方程等。
2. 偏微分方程的阶数：- 一阶偏微分方程：方程中包含一阶导数，如线性传热方程；- 二阶偏微分方程：方程中包含二阶导数，如波动方程、扩散方程等；- 更高阶的偏微分方程：方程中包含更高阶的导数，如椭圆型方程、双曲型方程等。
3. 偏微分方程的系数性质：- 线性偏微分方程：方程中的未知函数及其导数出现的系数是线性的，如线性传热方程；- 非线性偏微分方程：方程中的未知函数及其导数出现的系数是非线性的，如Burgers方程、Navier-Stokes方程等。
二、偏微分方程的求解方法解偏微分方程是数学中的重要课题，有许多不同的求解方法。
下面介绍几种常见的方法：1. 分离变量法：分离变量法是一种常用的求解偏微分方程的方法，适用于一些特殊的方程。
它的基本思想是将多元函数表示为各个变量的乘积，然后将方程分离为多个常微分方程，再通过求解常微分方程得到最终的解。
2. 特征线法：特征线法适用于一些特殊的偏微分方程，如一阶线性偏微分方程、双曲型方程等。
它的基本思想是通过引入新的变量，将偏微分方程转化为常微分方程，然后通过求解常微分方程得到原方程的解。
3. 变换法：变换法是一种通过变换将原方程转化为更简单的形式，从而求解的方法。
常见的变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等。
这些变换可以将原方程转化为代数方程或常微分方程，进而求解得到解析解。
偏微分方程的基本理论与解法
偏微分方程的基本理论与解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中非常重要的一个分支。
它描述了自然界中各种物理现象和工程问题中的变化和传播过程。
本文将介绍偏微分方程的基本理论和一些常见的解法。
一、偏微分方程的定义与分类偏微分方程是包含多个未知函数及其偏导数的方程。
它的一般形式可以表示为F(x1, x2, ..., xn, u, ∂u/∂x1, ∂u/∂x2, ..., ∂u/∂xn) = 0，其中u是未知函数，而∂u/∂xi表示对变量xi的偏导数。
根据方程中涉及的未知函数的个数以及偏导数的阶数，偏微分方程可以分为以下几类：1. 一阶偏微分方程：方程中包含一阶偏导数。
2. 二阶偏微分方程：方程中包含二阶偏导数。
3. 高阶偏微分方程：方程中包含高于二阶的偏导数。
4. 线性偏微分方程：方程中的未知函数及其偏导数之间的关系是线性的。
5. 非线性偏微分方程：方程中的未知函数及其偏导数之间的关系是非线性的。
二、偏微分方程的基本理论1. 解的存在性和唯一性：对于一些特定类型的偏微分方程，可以证明在一定的条件下，方程存在唯一的解。
这对于物理和工程问题的建模和求解非常重要。
2. 奇性理论：奇性现象是指当某些参数取特定值时，偏微分方程的解会发生突变。
奇性理论研究了这些特殊情况下方程解的行为。
3. 变分原理：变分原理是一种通过极小化能量泛函来求解偏微分方程的方法。
它是最优控制、计算物理等领域中的重要工具。
三、常见的偏微分方程解法1. 分离变量法：这是一种常见的求解线性偏微分方程的方法。
通过假设解可分离变量的形式，将方程转化为一系列常微分方程。
2. 特征线法：特征线法适用于一些特殊的偏微分方程，通过引入一组参数，将方程转化为关于参数的常微分方程组。
3. 变换法：变换法通过引入适当的变换，将原方程转化为简单形式的偏微分方程，进而求解。
总结：本文简单介绍了偏微分方程的基本理论与解法。
特征值及其在偏微分方程中的应用
第３７卷 第５期２０１８年５月绵阳师范学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｉａｎｙａｎｇＴｅａｃｈｅｒｓ＇ＣｏｌｌｅｇｅＶｏｌ．３７ Ｎｏ．５Ｍａｙ．，２０１８收稿日期：２０１７－１２－０５作者简介：徐循（１９８６－），女，湖北宜城人，讲师，硕士，研究方向：偏微分方程ＤＯＩ：１０．１６２７６／ｊ．ｃｎｋｉ．ｃｎ５１－１６７０／ｇ．２０１８．０５．００１特征值及其在偏微分方程中的应用徐 循（湖北工业大学工程技术学院公共课部，湖北武汉 ４３００６８）摘 要：本文应用特征值及特征函数解决了一类二阶自共轭椭圆偏微分方程的边值问题 先求出算子Ａ的特征向量｛φｋ｝∞ｋ＝１，然后在空间Ｗ１，２０（Ω）上的规范正交系｛φｋ｝ｍｋ＝１构成的有限维子空间中构造出方程的近似解，并通过能量估计定理将近似解取极限得到弱解，最后证明弱解的存在唯一性，从而得出弱解即是方程的通解关键词：Ｗ１，２０（Ω）；近似解；能量估计；弱解中图分类号：Ｏ１７５ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７２ ６１２Ｘ（２０１８）０５ ０００１ ０３０ 引言偏微分方程边值问题的求解在当今的数学、物理及其在工业、航空等各方面的应用上都具有极其重要的意义，而一般来说它的求解都是复杂又繁琐的，本文要求解问题如下：Ａｕ＝ｆ 在Ω中ｕ＝０ 在Ω{上其中 Ａｕ＝－ ｎｉ，ｊ＝１Ｄｉ［ａｉｊ（ｘ）Ｄｊｕ］＋ｃ（ｘ）ｕ，（１）这里假定 ａｉｊ（ｘ）＝ａｊｉ（ｘ）∈Ｃ１（Ω—）， ｉ，ｊ＝１，２，…，ｎ，（２）ｃ（ｘ）∈ｃ（Ω—），ｃ（ｘ） ０， 在Ω中，（３）满足一致椭圆型条件 ｎｉ，ｊ＝１ａｉｊ（ｘ）ξｉξｊ ｜ξ｜２， ｘ∈Ω—，ξ∈Ｒｎ，α＞０．（４）１ 算子Ａ的特征值１．１ 空间ＨＡ与Ｗ１，２０（Ω）的相关定义ＨＡ是Ｃ２０（Ω）关于范数‖ｕ‖２Ａ＝［ｕ，ｕ］＝∫Ω［ ｎｉ，ｊ＝１ａｉｊ（ｘ）ＤｉｕＤｊｕ＋ｃ（ｘ）ｕ２］ｄｘ的完备化空间，Ｗ１，２０（Ω）是Ｃ２０（Ω）关于范数‖ｕ‖２１，２＝∫Ω｜Ｄｕ｜２ｄｘ的完备化空间．按照变分法的常规思想，可以证明空间ＨＡ与Ｗ１，２０（Ω）的等价性，只需在Ｗ１，２０（Ω）中寻找方程的广义解．１．２ 算子Ａ的特征值，特征函数的求取１．２．１ 寻找算子Ａ最小特征值ｕ∈Ｗ１，２０（Ω），由条件（２）～（４）及Ｆｉｅｄｒｉｃｈｓ不等式，得出Ｑ（ｕ）＝Ａ（ｕ，ｕ）＝∫Ω［ ｎｉ，ｊ＝１ａｉｊ（ｘ）ＤｉｕＤｊｕ＋ｃ（ｘ）ｕ２］ｄｘ α∫Ω｜Ｄｕ｜２ｄｘ＝α‖ｕ‖２１，２ｃ‖ｕ‖２２，ｃ＞０．（６）由此可知Ｊ（ｕ）＝Ｑ（ｕ）‖ｕ‖２２ｃ＞０， ０≠ｕ∈Ｗ１，２０（Ω）．（７）此式说明，泛函Ｊ（ｕ）有正的下界．因此，如果定义λ１＝ｉｎｆ０≠ｕ∈Ｗ１，２０（Ω）Ｊ（ｕ）ｉｎｆ０≠ｕ∈Ｗ１，２０（Ω）Ｑ（ｕ）‖ｕ‖２２＝ｉｎｆｕ∈Ｗ１，２０（Ω）‖ｕ‖２＝１Ｑ（ｕ），（８）则λ ｃ＞０，且λ１是算子Ａ的最小特征值．１．２．２ 求出算子Ａ的所有特征值假设已经得到算子Ａ的ｍ－１个特征值λ１，…λｍ－１（ｍ ２），且λ１ λ２ … λｍ－１，对应于λ１，λ２…λｍ－１的特征函数为ｕ１，ｕ２，…，ｕｍ－１，且‖ｕｋ‖２＝１，ｋ＝１，２，…ｍ－１．该函数组的线性组合成Ｌ２（Ω）的一个线性子空间，记为Ｖｍ－１＝ｓｐａｎ｛ｕ１，…ｕｍ－１｝，以Ｖ⊥ｍ－１表示Ｖｍ－１在Ｌ２（Ω）中的正交补空间．根据泛函Ｊ（ｕ）的有界性（７），可以求出算子Ａ的第ｍ个特征值λｍ＝ｉｎｆ０≠ｕ∈Ｗ１，２０（Ω）∩Ｖ⊥ｍ－１Ｊ（ｕ）ｉｎｆ０≠ｕ∈Ｗ１，２０（Ω）∩Ｖ⊥ｍ－１‖ｕ‖２＝１Ｑ（ｕ）由于Ｗ１，２０（Ω）是无限维空间，按照（８）得出算子Ａ的特征值的无限序列０＜λ１ λ２ … λｍ …，及其相应的特征函数序列ｕ１，ｕ２，…ｕｍ，…．２ 应用特征函数解决开篇提出的椭圆方程的边值问题以下是在有限维空间中构造近似解，并通过能量估计定理的保证将近似解取极限得到弱解，最后证明了弱解的存在唯一性的思路来源于Ｌａｗｒｅｎｃｅ．Ｃ．Ｅｖａｎｓ编著的ＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ（第３４９～３５８页）［１］．设｛φｋ｝∞ｋ＝１是Ｗ１，２０（Ω）中的规范正交系，（φｉ，φｊ）＝０，ｉ≠ｊ现在就是想办法构造近似解ｕｍ，使其在｛φｋ｝ｍｋ＝１构成的有限维子空间上是方程的解令ｕｍ＝ ｍｋ＝１ａｋφｋ， （ ）并希望［ｕｍ，φｉ］＝Ａ（ｕｍ，φｉ）＝（ｆ，φｉ）． （ ）定理２．１ （近似解的建立） ｍ，存在具有形式（ ）的ｕｍ，满足（ ）．证明：假设存在ｕｍ，使［ｕｍ，φｉ］＝（ｆ，φｉ）．则 ｍｋ＝１ａｋ［φｉ，φｋ］＝（ｆ，φｉ） ｉ＝１，２，…，ｍ．由于系数行列式是非零的，故线性方程组有唯一一组解ａ１，ａ２，…ａｍ，并且 ｍｋ＝１ａｋ［φｉ，φｋ］＝ａ１［φｉ，φ１］＋…＋ａｉ［φｉ，φｉ］＋…＋ａｍ［φｉ，φｍ］＝ａｉ［φｉ，φｉ］＝ａｉ，所以ａｉ＝（ｆ，φｉ），近似解 ｕｍ＝ ｍｋ＝１ａｋφｋ＝ ｍｋ＝１（ｆ，φｋ）φｋ．参照Ｌａｗｒｅｎｃｅ．Ｃ．Ｅｖａｎｓ编著的ＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ（第３４９～３５８页），现在需要证明相应的能量估绵阳师范学院学报（自然科学版） 计，从而才能将定理２．１求出的近似解ｕｍ＝ ｍｋ＝１（ｆ，φｋ）φｋ取极限ｍ∞，得出方程的弱解 定理２．２ （能量估计）存在系数Ｃ，使得‖ｕｍ‖２１，２ Ｃ‖ｆ‖２２证明：由Ｆｉｅｄｒｉｃｈｓ不等式［２］｜（ｆ，ｕｍ）｜ ‖ｆ‖２·‖ｕｍ‖２ε２‖ｕｍ‖２２＋１２ε‖ｆ‖２２ ε＞０ εＣ１‖ｕｍ‖２１，２＋１２ε‖ｆ‖２２ Ｃ１＞０另一方面， ‖ｕｍ‖２Ａ＝［ｕｍ，ｕｍ］ Ｃ２‖ｕｍ‖２１，２， Ｃ２＞０．综合可得， （Ｃ２－εＣ１）‖ｕｍ‖２１，２ １２ε‖ｆ‖２２，只要取适当的ε，使Ｃ２－εＣ１＞０即可满足‖ｕｍ‖２１，２１２ε（Ｃ２－εＣ１）‖ｆ‖２２， 令Ｃ＝１２ε（Ｃ２－εＣ１）即可．现在需要证明弱解的存在唯一性，才能说明弱解即是通解引理２．１［３］自反的Ｂａｎａｃｈ空间的有界序列有弱收敛子列．定理２．３（弱解的存在性）方程存在一个弱解．证明：｛ｕｍ｝∞ｍ＝１在Ｗ１，２０（Ω）中有界，则存在子序列｛ｕｍｌ｝ ｛ｕｍ｝，使ｕｍｌ→ 弱ｕ在Ｗ１，２０（Ω）中，固定Ｎ，令ｖ＝ Ｎｋ＝１ａｋφｋ，则［ｕｍ，ｖ］＝（ｆ，ｖ），取ｍ＝ｍｌ，有［ｕｍｌ，ｖ］＝（ｆ，ｖ），取弱极限，得到 ［ｕ，ｖ］＝（ｆ，ｖ）．故 ｖ∈Ｗ１，２０（Ω），有［ｕ，ｖ］＝（ｆ，ｖ）（ ）．定理３．４ 弱解的唯一性．证明：只须证当ｆ≡０时，ｕ≡０即可．在（ ）式中，令ｖ＝ｕ，得到［ｕ，ｕ］＝［ｆ，ｕ］＝［０，ｕ］＝０，则ｕ≡０在Ω中，又ｕ＝０在 Ω上，故证得ｕ≡０，弱解的唯一性得证．３ 结论本文求解了偏微分方程边值问题Ａｕ＝ｆ 在Ω中ｕ＝０ 在Ω{中在空间Ｗ１，２０（Ω）上的通解即ｕ＝ ∞ｋ＝１（ｆ，φｋ）φｋ，其中｛φｋ｝∞ｋ＝１是算子Ａ的特征向量，也是Ｗ１，２０（Ω）的规范正交系 参考文献：［１］ ＬａｗｒｅｎｃｅＣ．Ｅｖａｎｓ．ＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．ＧｒａｄｕａｔｅＳｔｕｄｉｅｓｉｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，１９．ＮｅｗＹｏｒｋ：ＡｍｅｒｉｃａｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙ，Ｐｒｏｖｉｎｃｅ，ＲＩ，１９９８：３４９－３５８．［２］ 陈恕行．偏微分方程概论［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８１：１７．［３］ 陆文端．微分方程中的变分方法［Ｍ］．四川：四川大学出版社，１９９６：６５．（下转第２７页） 徐 循：特征值及其在偏微分方程中的应用ＴｈｅｓｔｕｄｙｏｆｔｈｅｔａｒｇｅｔｓｙｓｔｅｍｏｆｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇａｂｉｌｉｔｙｏｆｈｉｇｈｓｃｈｏｏｌｐｈｙｓｉｃｓｓｐｅｃｉａｌｔｙｍｉｄｄｌｅｓｃｈｏｏｌＬＩＵＧｕｏｙｕｅ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓ，ＭｉａｎｙａｎｇＴｅａｃｈｅｒ＇ｓＣｏｌｌｅｇｅ，Ｍｉａｎｙａｎｇ，Ｓｉｃｈｕａｎ ６２１０００）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈｔｈｅｇｕｉｄａｎｃｅｏｆｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｔｈｅｏｒｙａｎｄｍｅｔｈｏｄｏｆｓｙｓｔｅｍｔｈｅｏｒｙａｎｄｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｉｎｇｔｒｅｎｄａｎｄｔｅａｃｈｉｎｇｐｒａｃｔｉｃｅｏｆｐｈｙｓｉｃｓｉｎｍｉｄｄｌｅｓｃｈｏｏｌ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏａｓｅｒｉｅｓｏｆｑｕｅｓｔｉｏｎｎａｉｒｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ，ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅａｎａｌｙｚｅｓｔｈｅｂａｓｉｃｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｅｒｓ＇ｔｅａｃｈｉｎｇａｂｉｌｉｔｉｅｓｉｎｍｉｄｄｌｅｓｃｈｏｏｌａｎｄｐｕｔｓｆｏｒｗａｒｄａｓｅｔｏｆｉｎｄｅｘｓｙｓｔｅｍｏｆｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇａｂｉｌｉｔｉｅｓｉｎｍｉｄｄｌｅｓｃｈｏｏｌ．Ｉｔｃｏｎｔａｉｎｓｉｎｄｅｘｏｆｆｉｖｅｃａｔｅｇｏｒｉｅｓａｎｄｔｗｅｎｔｙ－ｅｉｇｈｔｓｅｃｏｎｄａ ｒｙｉｎｄｉｃａｔｏｒｓｗｈｉｃｈａｒｅｒｅｆｅｒｓｔｏｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇｃｏｇｎｉｔｉｖｅａｂｉｌｉｔｙ，ｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇｄｅｓｉｇｎａｂｉｌｉｔｙ，ｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇｏｒｇａｎｉｚａｔｉｏｎａｎｄｉｍｐｌｅｍｅｎｔｉｎｇａｂｉｌｉｔｙ，ｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇｑｕａｌｉｔｙｅｖａｌｕａｔｉｏｎａｎｄｓｕｐｐｏｒｔａｂｉｌｉｔｙ，ｐｈｙｓｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇｑｕａｌｉｔｙｅｖａｌｕａｔｉｏｎａｎｄｓｕｐｐｏｒｔａｂｉｌｉｔｙ．Ａｌｌｏｆｔｈｅｍａｒｅｄｉｒｅｃｔｌｙｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｔｏｄｅｖｅｌｏｐｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓ＇ｍｉｄｄｌｅｓｃｈｏｏｌｐｈｙｓｉｃａｌｔｅａｃｈｉｎｇａｂｉｌｉｔｙｉｎｎｏｒｍａｌｕｎｉｖｅｒｓｉｔｉｅｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｂａｃｈｅｌｏｒｄｅｇｒｅｅｏｆｎｏｒｍａｌｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ｐｈｙｓｉｃｓｓｐｅｃｉａｌｔｙ，ｐｈｙｓｉｃｓｏｆｍｉｄｄｌｅｓｃｈｏｏｌ，ｔｅａｃｈｉｎｇａｂｉｌｉ ｔｙ，ｔｒａｉｎｉｎｇｏｂｊｅｃｔｉｖｅｓ（责任编辑：陈桂芳）（上接第３页）ＥｉｇｅｎｖａｌｕｅａｎｄｉｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎＸＵＸｕｎ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＧｅｎｅｒａｌＣｏｕｒｓｅ，ＨｕｂｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＣｏｌｌｅｇｅ，Ｗｕｈａｎ，Ｈｕｂｅｉ ４３００６８）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｉｌｌａｐｐｌｙｔｈｅｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓａｎｄｅｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆａｃｌａｓｓｏｆｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒｓｅｌｆ－ｃｏｎｊｕｇａｔｅｅｌｌｉｐｔｉｃｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｆｉｒｓｔ，ｉｔｗｉｌｌｆｉｇｕｒｅｏｕｔｔｈｅｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒｓ｛φｋ｝∞ｋ＝１ｏｆｔｈｅｏｐｅｒａｔｏｒＡ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｉｎｔｈｅｆｉｎｉｔｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｓｕｂｓｐａｃｅｆｏｒｍｅｄｂｙｔｈｅｃａｎｏｎｉｃａｌｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｓｙｓｔｅｍ｛φｋ｝∞ｋ＝１ｏｆｔｈｅｓｐａｃｅｏｆＷ１，２０（Ω）．Ａｎｄｔｈｅｎｉｔｗｉｌｌｏｂｔａｉｎｔｈｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎｂｙｔｈｅｅｎｅｒｇｙｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｅｍ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎａｒｅｐｒｏｖｅｄ．Ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌｙ，ｉｔｗｉｌｌｇｅｔｔｈｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｔｈａｔｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｔｈｅｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｈｅｓｐａｃｅｏｆＷ１，２０（Ω），ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎ，ｅｎｅｒｇｙｅｓｔｉｍａｔｅ，ｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎ（责任编辑：陈 英） 刘国跃：高师本科物理专业中学物理教学能力培养目标体系的研究。
《偏微分方程教程》第三章 特征理论与方程的分类
对二阶线性常系数方程作了比较详细的讨论, 但对变系数方程(2.1)
同样是成立的. 这里要特别指出的是, 对变系数方程来说, 它的类
型与点的位置有关, 即可能在区域的某一部分点为这种类型而在另
一部分点上为另一种类型.
18
例如特里谷来(Tricomi)方程
u yy yuxx 0
(2.13)
就是如此, 其判别式 y ,对于 y 0 它是双曲型的; 对于
2 x
x x
2 x
2xy x y y x
2 x y
2 y
y y J 3 0
2 y
知 A(), B(), C() 不同时为零．
利用判别式的符号在可逆自变量变换下的不变性这一性质, 我 们来对方程(2.1)进行分类．
9
定义3.1 设 R2是一个区域,(x0 y0 ) (i) 若 (x0 y0 ) 0 ,则称方程(2.1)在点 (x0 y0 ) 处为双曲型 偏微分方程, 若在 内的每一点处, 方程(2.1)都是双曲型的,则 称(2.1)在 内为双曲型偏微分方程;
设在点 P(x0 y0 )的邻域内, 这时(2.1)的特征方程可写为
dy b dy b （2.2）
dx
a dx
a
其中 b2 ac 通常称为方程(2.1)的判别式，作自变量变换
4
(x y) (x y)
(2.3)
则方程(2.1)变为如下形式:
A 2u 2B 2u C 2u F (2.4)
2
2
在自变量变换(2.3)下,方程(2.1)的判别式 与(2.4)的判别式
B2 AC 之间有如下关系:
数学中的偏微分方程组
数学中的偏微分方程组偏微分方程组是数学领域中的一大研究方向，它描述了一组关于函数和其偏导数的方程。
在许多实际问题中，偏微分方程组可以被用来模拟自然现象的行为，比如机械构件的运动，电磁场的传播，甚至气候变化等。
因此，偏微分方程组的理论研究和应用具有重要的科学意义和现实意义。
一、偏微分方程组的概念偏微分方程组（Partial Differential Equation, PDE）是指依据一个或多个自变量，描述未知函数及其各个偏导数之间关系的方程式。
它通常包括一个或多个未知函数，在多个自变量的情况下，称为偏微分方程组。
偏微分方程组可以通过区分函数变量之间的依存关系来将情况处理得更加复杂。
如果函数只有一个变量，方程只有一阶偏微分方程。
如果有两个自变量，则方程有牛顿型和伦琴型两种分类。
进一步地，当有三个甚至更多个自变量时，则需要处理的方程便是偏微分方程组。
二、偏微分方程组的类型偏微分方程组可以由一组多项式和常见的函数组成，其中一些非线性，或者由一些非多项式成分组成，例如矢量场。
所以，在数学中，偏微分方程组通常被分为几个部分，包括偏微分方程的线性性，方程中包含的类型和形式，以及方程的解。
线性性是指方程中各项的线性组合中未知变量的阶数。
如果方程是线性的，则有关系的一下项具有线性加性结构和标量乘法结构。
因此，线性方程的一个主要特征是可以通过线性组合来得到解析的方法。
此外，非线性偏微分方程组也是重要的研究领域。
这种方程解析性很弱，需要找到一些近似数值方法，并且在研究中使用许多特殊的数学工具。
三、偏微分方程的经典问题在偏微分方程组研究中，经典问题是求解边值问题。
边值问题是指，在特定区域内定义的微分方程组，需要确定函数的值或者其导数在区域边界内的值。
因此，解边值问题就是找到能够满足方程和边界条件的函数，这个过程称为参数化问题。
然而，找到这个解并不总是容易的。
以三维空间中的拉普拉斯方程为例，它描述的是静态电势。
这个方程只有在特殊条件下，才能够找到闭合解。
计算流体力学基础_P2_偏微分方程的性质讲解
?
?u ?y
(2)
? ?x
?u ??? v
? ?? ?
?
?b ???
/a 1
c
/
a? 0??
? ?y
?u
?? ?
v
? ?? ?
?
? ?? ?
d 0
/
a
? ?? ?
转化为一阶偏微方程组
矩阵
?? 0
b2
?
4ac
? ?
?
0
??? 0
?b / a c / a ?
A ? ??? 1
0
? ?
? I ? A ? 0 ? a?2 ? b? ? c ? 0
?t
?x
? ? diag(?1, ? 2 ,......? m )
令： V ? SU 有
?V ? Λ ?V ? 0 ?t ?x
即：
?v j ?t
?
?j
?v j ?x
?
0
m个方程完全解耦， 可独立求解
有m 条特征线：
x ? ? jt ? 0
m个特征相容关系式： vj G ? const.
如果矩阵A能够（相似变换）对角化，则原方程是 双曲型的
第四章 偏微分方程的性质
Behavior of Partial Differential Equations
Slide 1
超音速钝体绕流问题的解决
Slide 2
偏微方程的分类及特征
1. 一阶偏微分方程
? （常用）特例：常系数线性单波方程
?u ? c ?u ? 0 ?t ?x
初值： u(x,0) ? ? (x)
?
a(x,
y)
? ?
偏微分 方程组
偏微分方程组引言偏微分方程组是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、金融等领域。
本文将介绍偏微分方程组的基本概念和解法，以及其在实际问题中的应用。
一、偏微分方程组的定义和分类偏微分方程组是包含多个未知函数及其偏导数的方程组。
其一般形式可以表示为：F(u1,u2,...,u n;∂u1∂x,∂u2∂x,...,∂u n∂x;∂u1∂y,∂u2∂y,...,∂u n∂y;...;∂n u1∂x n,∂n u2∂x n,...,∂n u n∂x n;...)=0其中u1,u2,...,u n是未知函数，x,y,...是自变量，∂u i∂x ,∂u i∂y,...,∂u i∂x n是偏导数。
常见的偏微分方程组包括椭圆型、双曲型和抛物型方程组。
具体分类和性质如下：1. 椭圆型方程组椭圆型方程组满足以下条件：在每个点上，所有特征值的实部都是非负的。
椭圆型方程组的特点是解的正则性较好，在边界上的条件较容易给出。
常见的椭圆型方程组有拉普拉斯方程、泊松方程等。
2. 双曲型方程组双曲型方程组满足以下条件：在每个点上，存在至少一个特征值的实部是正的，至少一个特征值的实部是负的。
双曲型方程组的特点是解的传播速度有限，存在波动解。
常见的双曲型方程组有波动方程、传热方程等。
3. 抛物型方程组抛物型方程组满足以下条件：在每个点上，所有特征值的实部都是非负的且至少有一个特征值的实部是为零。
抛物型方程组的特点是解的传播速度无穷大，并且存在各种稳定解。
常见的抛物型方程组有热传导方程、扩散方程等。
二、偏微分方程组的解法解偏微分方程组是一个复杂的问题，常用的解法有以下几种：1. 变量分离法变量分离法是一种基本的解偏微分方程组的方法。
通过假设解可以表示为各个变量的乘积形式，然后将方程组代入，并使得每个变量对应的方程都成立。
最终得到的解是原偏微分方程组的解。
2. 特征线法特征线法适用于特殊的偏微分方程组，其中每个方程可以写成特定形式。
该方法的基本思想是将偏微分方程组转化为常微分方程组，并通过求解常微分方程组得到原偏微分方程组的解。
高中数学备课教案解偏微分方程组的稳定性与相分析
高中数学备课教案解偏微分方程组的稳定性与相分析在高中数学备课中，解偏微分方程组的稳定性与相分析是一个重要的主题，它关系到数学学科的发展和实际应用问题的解决。
本文将从偏微分方程组和它的稳定性开始论述，并介绍相分析的概念和定理，并结合具体的例子进行分析，最后总结该主题的教学方法。
一、偏微分方程组偏微分方程组是用来描述物理过程的方程组。
它由一个或多个未知函数及其偏导数、独立变量和参数组成。
解偏微分方程组是数学中一个重要的分支，涉及到分析、计算和数值模拟等方面。
1.稳定性偏微分方程组的稳定性是指当初始状态稍有扰动时，系统能否在某种意义下趋向于一种稳定的状态。
通常来说，我们需要探究的是解的长时间行为，即当时间趋于正无穷时该解是否能趋于稳定。
2.相分析相图是利用解的定性行为、在平面上绘制出相轨迹的方法。
在相图中，轨迹表示不同状态下的解，如何求解方程组的稳定性就可以借助相图进行。
相图的绘制时，通过微分方程组局部解的性质，可大致了解方程组的行为规律。
二、相分析的基本概念和定理1.相平面相平面是用来描述方程组状态的图形，其中横轴代表x，纵轴代表y，相轨表示物理状态的不同变化。
2.相量相轨即描述物理状态随时间变化的路径，而相量就是相轨上的切向量，这种相量也叫做特征向量，它们可以表明方程组状态的变化方向。
3.稳定性对于一个线性时不变系统，在某个方向上的解在经过扰动之后，如果初始状态与其扰动状态始终是可以趋于零步长的，则该解在该方向上是稳定的。
同理，如果沿着某方向的解在经过扰动之后随着时间趋近于无穷，那么这个解在该方向上就是不稳定的。
三、具体案例分析假设我们有一个二阶线性微分方程，其方程如下所示：$$y''+p(t)y'+q(t)y=0$$其中$p(t)$和$q(t)$是已知函数。
将该方程转化为一个二阶微分方程组，其形式为：$$\begin{cases}y'=z\\z'=-p(t)z-q(t)y\end{cases}$$经过对该方程的变形，可以得到一个矩阵形式的方程，如下所示：$$\begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix}'=\begin{pmatrix}0 & 1\\-q(t) & -p(t)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix}$$然后，我们可以通过求解特征值与特征向量，在平面上绘制出相轨迹和相量。
偏微分方程知识点总结
偏微分方程知识点总结1. 什么是偏微分方程？偏微分方程是描述多个自变量和它们的偏导数之间关系的方程。
它在数学和物理学中起着重要的作用，并被广泛应用于各个领域。
2. 偏微分方程的分类偏微分方程可以分为几个主要的类型，包括：- 椭圆型方程：以拉普拉斯方程为代表，通常用于描述稳定的分布或调和情况。
- 抛物型方程：以热方程和扩散方程为代表，通常用于描述物质传导或扩散过程。
- 双曲型方程：以波动方程为代表，通常用于描述波动或振动的传播过程。
3. 常见的偏微分方程以下是几个常见的偏微分方程：- 热方程（Heat Equation）：用于描述温度在空间和时间中的传导过程。
- 波动方程（Wave Equation）：用于描述波动的传播过程，如声波、光波等。
- 扩散方程（Diffusion Equation）：用于描述物质在空间中的扩散过程。
- 广义拉普拉斯方程（Generalized Laplace Equation）：用于描述稳定的分布情况，例如电势分布。
4. 解偏微分方程的方法解偏微分方程的方法有多种，常见的方法包括：- 分离变量法：将方程中的未知函数表示为多个独立变量的乘积形式，从而将偏微分方程转化为一组常微分方程。
- 特征线法：根据偏微分方程的特征曲线，将方程转化为常微分方程，并通过求解常微分方程得到解析解。
- 有限差分法：将偏微分方程中的偏导数用差商近似表示，将区域离散化为一个个小区域，利用差分方程逐步逼近解析解。
- 有限元法：将区域划分为有限个子区域，通过对子区域进行逼近，得到整个区域的近似解。
5. 偏微分方程在实际应用中的重要性偏微分方程在各个领域中都有着广泛的应用，如：- 物理学：用于描述波动、传热、扩散等物理现象。
- 工程学：用于解决结构强度、热传导、流体力学等工程问题。
- 经济学：用于建立经济模型，描述经济增长、分配等问题。
- 生物学：用于研究生物传输、生物过程等生命科学问题。
以上是我对偏微分方程的知识点进行的简要总结，请您参考。
偏微分方程的数学特性
• 浅水波方程（Kdv方程）
u u 3u 3 , const 抛物—双曲型 t x x u u 3u u 3 const 抛物—双曲型 t x x
对于同样的流动控制方程，甚至方程本身是同一 的，却会在不同的流动区域展现出完全不同的解。
流体力学控制方程： 积分型、微分型； 研究这些方程的数值求解方法之前，非常有必要 检查一些偏微分方程本身的一些数学特性； 任何有效数值求解必须体现出其遵循了这些控制 方程的一般数学特性。
1. 简 介
3. 不同类型方程的一般特性：区域 R 求解拟 线性偏微分方程（组），所 谓任意一点P的：
y 区域R
P
依赖区：R中一些点的集 合，为了唯一地确定P点 的值，那些点上的值必须 完全给定。
x
影响区：R中一些点的集 合，当P点值变化时，那 些点上的值也随之变化。
拟线性系统（quasilinear partial differential equation）： 最高阶偏导数均是线性的，即不存在最高阶偏导数的 乘方或指数形式，只存在最高阶偏导数本身与一个系 数的乘积，该系数是因变量本身的函数，这样的方程 组被称为拟线性系统。
黏性流动：
无黏流动：
2. 拟线性偏微分方程的分类
模型方程及其数学物理性质扩散方程的数学物理性质模型方程及其数学物理性质三种不同模型方程当初值分布为一个三角形时其解的不同数学物理性质示意图对流方程扩散方程对流扩散方程扰动传播特性三角形初值的幅值和形状保持不变传播速度有限对流方程三角形初值的幅值越来越小形状发生变化且局部扰动会影响全流场扩散方程三角形初值的幅值越来越小形状会发生变化但传播速度却是有限的对流扩散方程许多方程可被清晰地定义成双曲型抛物型或椭圆型另外如非定常的纳维斯托克斯方程具有混合特性
偏微分方程(组)完全对称分类微分特征列集算法
偏微分方程(组)完全对称分类微分特征列集算法完全对称分类微分特征列集（Completely Symmetric Classification Differential Feature Collection，CSCDFC）算法是一种偏微分方程(组)最优化算法，可以用来优化机器学习、人工智能和其他相关数据挖掘应用的数据处理过程。
它的基本理念是利用微分分析来进行数据处理，在最短的时间内获得最佳结果。
一、什么是完全对称分类微分特征列集算法？完全对称分类微分特征列集算法是一种基于偏微分方程组的最优化算法，采用了完全对称分类的技术来处理大量的特征列集。
主要的思想是根据训练集中的特征列建立一个合适的偏微分方程组，通过对这些方程求解而优化模型，使其达到最优效果。
二、完全对称分类微分特征列集算法的优势1、可以处理大规模数据：它可以解决大规模数据应用，例如深度学习，可以解决很大规模的特征列集。
2、在实时处理方面具有优势：它可以让计算机实时处理大量的数据，这样任何机器学习和数据挖掘的项目便可获得高性能。
3、不需要特殊的计算资源：它可以在不需要特殊的计算资源的情况下实现最佳效果，只需要有一台轻便的电脑即可运行。
4、预测结果的准确性较高：它采用的是完全对称分类的原理，可以有效抑制训练误差并带来更准确的结果。
三、完全对称分类微分特征列集算法的应用1、在机器学习中可以有效提升模型性能：完全对称分类微分特征列集算法可以为机器学习模型提供更准确的结果，这将极大地帮助优化机器学习算法性能。
2、可以应用于各种监督学习算法：该算法可以用于多种监督学习算法，包括逻辑斯蒂回归、贝叶斯分类、支持向量机等。
3、可以应用于自然语言处理：它可以用于解决自然语言处理（NLP）领域中的情感分析、文本分类和文本摘要等任务。
4、也可以应用于推荐系统：可以用于最优化推荐系统，在使用完全对称分类微分特征时可以获得更好的结果。
四、完全对称分类微分特征列集算法的缺点1、收敛速度较慢：完全对称分类微分特征列集算法的收敛速度较慢，这可能会影响其效率。
偏微分方程的解析方法
偏微分方程的解析方法偏微分方程（partial differential equations，简称PDEs）是数学领域中重要的研究对象，它涵盖了多个科学领域和工程应用中的问题。
解析方法是其中一种求解偏微分方程的重要工具，本文将介绍偏微分方程的解析方法及其应用。
一、偏微分方程的基本概念偏微分方程是含有多个未知函数的方程，其数学模型常常用来描述物理现象、自然规律和工程问题。
常见的偏微分方程包括波动方程、热传导方程、扩散方程等。
二、解析方法的概述解析方法是指使用数学分析和函数理论等工具，通过求解偏微分方程的导数关系，寻找其解的方法。
对于一些简单的偏微分方程，解析方法可以得到精确的解析解。
三、分离变量法分离变量法是解析方法中常用的一种。
其基本思想是假设待求解函数可以表示为各个变量的乘积形式，通过将待求解方程中涉及多个变量的项分离并令其等于不同常量，得到一系列常微分方程。
进一步对这些常微分方程求解，得到原偏微分方程的解析解。
四、特征线法特征线法是解析方法的另一种重要工具。
它通过引入一组特征曲线，将偏微分方程转化为常微分方程的形式，从而求解原偏微分方程。
在特定的物理问题中，特征线法具有很高的适用性和解决效果。
五、变换方法变换方法是一种通过对偏微分方程进行合适的变量变换，将其转化为更简单的形式以便求解的方法。
常见的变换方法包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等，它们能够将原方程转化为代数方程或常微分方程，进而得到解析解。
六、应用领域解析方法在多个科学领域和工程应用中都有重要的作用。
以物理学为例，解析方法可以用来研究电磁场、流体力学、量子力学等问题。
在工程领域，解析方法可以用于求解热传导、结构力学等方程，从而优化设计和改进工艺。
七、数值方法的补充解析方法虽然能够得到精确的解析解，但对于一些复杂的偏微分方程，其求解过程可能非常繁琐甚至无法求解。
此时，数值方法的应用就变得尤为重要。
数值方法通过离散化空间和时间，将偏微分方程转化为代数方程组，通过计算机模拟得到近似解。
偏微分方程与特征线
偏微分方程与特征线1函数空间的矢量场给定一个矢量场i x i v ∂=)(x v ，就在空间定义了曲线簇。
比如，经过0x 点的积分曲线就可以描述为下列常微分方程的初值问题)(x i i v x = ，n i ,...,1= 0)0(x x =这些积分曲线就构成了曲线簇。
如果形式地写出这个曲线来就是xvt x t v t v vt t xt x t x x t x )exp(...)!3!21(...!3!2)(332232=++++=++++= 此处x 是0时刻位置，v 是作用于x 的微分算符。
这些曲线，将空间点分成了类，也就是说每条曲线上的点属于一类。
曲线集合的维数是n-1维。
矢量场的可积性那么给定两个矢量场，就会产生两簇曲线，这两簇曲线能否组成面簇呢？我们先 看看从一点出发的曲线是否在一个曲面上的条件：从x 点出发的依此沿两簇直线运动的点若能回到来，就可以认为可以组成面。
即x x vd uc vb ua =)exp()exp()exp()(exp如果a,b,c,d 都是1级以上的小量，这个表达式有二级以上的精度，就可以找到这样的a,b,c,d,使得方程精确满足。
按照各级展开，有 一级0a 1111=+=+d b c二级v d b u c a vu uv b a )()()(222211+++=-…由此，得到条件v u vu uv v u βα+=-=],[这就是两个矢量能够构成2维子空间（曲面）的条件，著名的Frobenius 定理。
n 个矢量积分形成n 维积分只空间的条件是，任意两个矢量的对易可以写成这n 个矢量组合。
可以按照下图进行直观理解给定m 个矢量场，他们线性组合能够形成新的矢量场。
组成的矢量场空间一般称为分布。
},{是任意函数i ii i a v a ∑=∆这个分布中任意两个矢量场对易仍然在这个分布之内，这样满足Frobenius 定理的分布称为闭分布，∆⊆∆∆],[他们积分可以给出m 维积分子流形。
偏微分方程的解析解
偏微分方程的解析解介绍偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是一类涉及多个变量和它们的偏导数的方程。
在数学和物理学等领域中，偏微分方程广泛应用于描述自然界中的各种现象和过程。
解析解是指通过数学的推导和求解，得到的能够精确描述方程解的解析表达式。
本文将深入探讨偏微分方程的解析解的研究方法和应用领域。
偏微分方程的分类偏微分方程可以分为多个不同类型，常见的分类方法包括： 1. 椭圆型偏微分方程（elliptic PDEs）：这类方程中的二阶导数的系数满足某些条件，广泛应用于静电学、热传导等问题的建模。
2. 抛物型偏微分方程（parabolic PDEs）：这类方程常用于描述扩散过程、热传导过程等，它们的解析解在某些情况下可以直接求得。
3. 双曲型偏微分方程（hyperbolic PDEs）：这类方程常用于描述波动方程、传播过程等，求解方法相对较为复杂。
求解偏微分方程的方法针对不同类型的偏微分方程，可以采用不同的方法进行求解。
在此我们介绍几种常见的方法：分离变量法分离变量法是求解一类分离变量形式的偏微分方程的常用方法。
这种方法的基本思想是将多元函数表示为几个单变量函数的乘积形式，通过将原方程分离变量，分别对各个变量进行求解，再通过叠加得到原方程的解析解。
特征线法特征线法适用于一类具有常系数的线性偏微分方程。
通过构造特征线方程，将原偏微分方程转化为常微分方程，然后通过求解常微分方程来得到原方程的解析解。
特征线法在求解一些双曲型偏微分方程时常用。
变换法是通过对原方程进行一定的变换，将复杂的偏微分方程转化为简单的形式，进而求解得到解析解。
常见的变换方法包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等。
变换法在一些特殊的偏微分方程求解问题中有重要应用。
数值方法对于一些复杂的偏微分方程，往往难以得到解析解。
此时，可以利用数值方法近似求解。
常见的数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
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附注 1 该定理断言解析解的局部存在唯一性，并没有保证整体解的存在性。 附注 2 由证明知，若方程右端及Cauchy数据是各自变量的解析函数，则在初 始平面 上任意点的领域内都存在一个解析解。再由解的唯一性知，把 这些解粘合在一起，就得到 的一个领域中的解析解。 附注 3 C-K 定理不能保证解对初始数据的连续依赖性。另外，其证明本质上 依赖与解析性假设。
将狭义双曲型方程化为标准型的方法： 1.
求向量方程 2.
的解。
令，
用T 左乘（7.2.2）式得：
第7章 特征理论
偏微分方程组
3.
第7章 特征理论
偏微分方程组
7.3 双曲型方程组的Cauchy 问题
首先指出，并非对一切类型的方程组都可 以Cauchy问题，有例子表明，当特征方程 （7.2.6)有复根时，方程组（7.2.1)的Cauchy 问题的解是不稳定的。所以我们仅限于讨 论双曲型方程组的Cauchy问题。为便于理解 和叙述，这里仅讨论两个自变量的对角型 方程组的Cauchy问题。
偏微分方程组
方程特征曲面的例子
第7章 特征理论
偏微分方程组
7.2
方程组的特征理论
第7章 特征理论
偏微分方程组
7.2.1 弱间断解与特征线
第7章 特征理论
偏微分方程组
第7章 特征理论
偏微分方程组
第7章 特征理论
偏微分方程组
7.2.2 狭义双曲型方程组的标准型
第7章 特征理论
偏微分方程组
第7章 特征理论
偏微分方程组
7.1.1 弱间断解与弱间断面
第7章 特征理论
偏微分方程组
例子
考虑弦振动方程
则
不是古典解，但它是弱间断解。
第7章 特征理论
偏微分方程组
是方程（7.1.1)的弱间断面。 上处处成立。
7.1.2 特征方程与特征曲面
设光滑曲面 可以推出它应满足的条件为下式在
第7章 特征理论
第7章 特征理论
偏微分方程组
7.3.1 解的存在性和唯一性
第7章 特征理论
偏微分方程组
第7章 特征理论
偏微分方程组
7.3.2
解的稳定性
第7章 特征理论
偏微分方程组
7.4
定理
第7章 特征理论
偏微分方程组
第7章 特征理论
偏微分方程组
7.4.2
Cauchy 问题的化简
首先，把高阶非线性 C-K 型组 Cauchy 问题化为一个与其等价的一阶非 线性 C-K 型组的 Cauchy 问题。 其次，我们可以把一个一阶非线性 C-K 型组 Cauchy 问题化为一个与其 等价的一阶拟线性 C-K 型组的 Cauchy 问题。方法是将所有对空间变量的 微商取作新的未知函数，然后这些新的未知函数对时间变量求微商，并利用 已知方程式即得。 Cauchy问题(7.4.2)化为如下的一阶拟线性 C-K 型方程组的Cauchy问题:
第7章 特征理论
于是，C-K 定理 7.4.1可等价地叙述为
偏微分方程组
C-K型定理的证明用的是强函数的方法，即用一个明显可解出的问题与所 考虑的问题相比较，故须要介绍强函数的概念。
第7章 特征理论
偏微分方程组
7.4.3 强函数
第7章 特征理论
偏微分方程组
7.4.4 C-K 定理的证明
（1） 唯一性（幂级数解法）。 （2） 存在性（强函数方法）。