最短路径问题 优秀教案

教学设计

复习引入（5分钟）

新课

问题导入（3分钟）一．复习引入

1.两点之间，什么最短？

2.点到直线的距离？

问题：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上

求一点P，使得PA+PB最小。

（连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。）

二、探究

如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、

B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用

的输气管线最短？

像这样我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线

段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，

垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现

实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数

学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”。

问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛

名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，

求教一个百思不得其解的问题：

看图：从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后

到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全最短？

回答

问题

学生

思考

学生思

考，并

在草稿

纸上画

图，看

是否可

以确定

最短路

线。

学生在

老师的

引导下

思考。

引入

课题

由浅

入

深，

让学

生先

理解

两点

在直

线两

侧情

况中

的最

短路

径问

题。

引出问题（3分钟）

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知

识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问

题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？

（将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．）

你能用自己的语言说明这个问题的意思，

并把它抽象为数学问题吗？

（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；

（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与

A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地

到饮马地点，再回到B 地的路程之和；

（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为

最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，

上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，

AC 与CB 的和最小（如图）．

你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条

件的点B′吗？

师讲解做法：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直

线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的

和最小？

学生在

老师的

引导

下，尝

试用轴

对称来

试试，

看是否

是最短

距离。

引导

学生

剖析

问题

B

A

l

C

解决问题（15分钟）

学生上黑板上作图（5分钟）作法：

（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；

（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．

问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？

证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），

连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，

BC =B′C，BC′=B′C′．

∴AC +BC = AC +B′C =AB′，

AC′+BC′ =AC′+B′C′．

问：证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任

取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′

+BC′？这里的“C′”的作用是什么？答：若直线

l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距

离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．

学生

在下

边作

图

培养

学生

动手

能力

学生做练习（6分钟）三．运用新知

练习1：

问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民

区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B

到它的距离之和最短．

练习2 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的

Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，

请画出旅游船的最短路径。

基本思路：

由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ

为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线

尝试

用学

过的

知识

解决

新问

题

检验

学生

学习

的程

度

BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”

变式训练：如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使

PM+MN+NP最短．

思路：做P点关于直线ox的对称点P′，P点关于直线oy的对称点P2,连接P′P2，与ox和oy的交点M, N为所求。