河南理工弹性力学-简支梁受均布荷载(一)
简支梁受均布载荷作用,试写出剪力和弯矩方程
一、简支梁的基本概念简支梁是一种常见的结构形式，其特点是两端固定支撑，中间无任何支撑，形成一个简单的横跨结构。
在工程建设中，简支梁常被用于桥梁、楼板等结构的设计与施工中。
当梁承受均布载荷时，其上产生的剪力和弯矩是设计和分析的重要参数。
二、受力分析的基本原理1. 剪力的定义和计算公式在简支梁上，当均布载荷作用时，梁体上的任意一截面上都受到来自上部和下部梁体的相互作用力。
剪力的大小可以通过以下公式计算：V = wL/2 - 信信其中，V代表该截面上的剪力，w代表均布载荷的大小，L代表梁的长度，x代表距离截面起点的距离。
2. 弯矩的定义和计算公式同样，在简支梁上，距离梁的任意一截面上也存在着弯矩。
弯矩的计算公式如下：M = wLx/2 - w*x^2/2其中，M代表该截面上的弯矩，w代表均布载荷的大小，L代表梁的长度，x代表距离截面起点的距离。
三、剪力和弯矩方程的推导1. 剪力方程的推导根据前文所述的剪力的计算公式，可以推导出简支梁受均布载荷作用时的剪力方程。
假设梁的起点为原点，横向为x轴方向，竖向为y轴方向，由上述公式可知，剪力V与距离x的关系为线性关系，斜率为wL/2，截距为0。
简支梁受均布载荷作用时的剪力方程为：V = wL/2 - 信信2. 弯矩方程的推导同样地，根据前文所述的弯矩的计算公式，可以推导出简支梁受均布载荷作用时的弯矩方程。
假设梁的起点为原点，横向为x轴方向，竖向为y轴方向，通过弯矩的计算公式可得知，弯矩M与距离x的关系为二次函数关系，并且开口向下。
简支梁受均布载荷作用时的弯矩方程为：M = wLx/2 - w*x^2/2四、结论与应用在工程设计中，通过以上剪力和弯矩方程的推导，可以为简支梁的设计、分析提供依据。
在实际工程中，根据预设的载荷情况和结构参数，可以通过计算得到不同截面处的剪力和弯矩，从而根据这些受力情况，进行梁的截面选取、钢筋布置、构造设计等工作。
剪力和弯矩方程的推导及其应用具有重要的实际意义和价值。
均布荷载作用下的简支梁结构有限元分析1
哈工程有限元大作业均布荷载作用下简支梁结构分析院（系）名称：船舶工程学院专业名称：港口航道与海岸工程学生姓名：白天华学号：2008012103摘要本文利用ANSYS软件中的BEAM系列单元建立简支梁有限元模型，对其进行静力分析与模态分析，得出梁的结构变形，分析梁的受力情况。
并用有限元刚度矩阵知识求解简支梁端点处得位移和旋度。
在此基础上，利用经典力学对以上所得的结果进行梁的有关计算，并将结果与有限元刚度矩阵和ANSYS软件所得结果进行比较。
通过比较得出不同方法在简支梁求解过程中自己的优势和缺点。
1.问题求解1.1问题描述钢制实心梁的截面尺寸为10mm×10mm(如图1所示)，弹性模量为200GPa，均布荷载的大小及方向如图1所示。
图11.2利用力学方法求解运用力学方法将上述结构求解，易得A、B支座反力相等为500N，该简支梁的计算简图、弯矩图以及剪力图如下图所示1000N/m图2简支梁计算简图图3简支梁弯矩图支座反力500N图4简支梁剪力图1.3利用ANSYS软件建立模型与求解通过关键点创建实体模型，然后定义材料及单元属性，然后划分网格，建立有限元模型。
具体步骤包括：添加标题、定义关键点、定义直线、选择单元，定义实常数、定义材料属性、设定网格尺寸、划分网格、施加荷载求解（选择分析类型、定义约束、施加荷载）查看分析结果。
图5简支梁变形前后的情况图6简支梁应力图图7简支梁剪力图2计算结果对比2.1简支梁内力分析结果比较节点应力有下面公式计算求得：ᵟ=MyIz有限元计算所得结果与力学的计算结果对比如下表所示：单位(N/㎡)ANSYS 模态结果 结构力学计算结果2.2简支梁竖向位移分析结果比较（1）结构力学计算求得的简支梁最大位移由下面图乘法求得：x实际荷载作用下梁弯矩表达式：M(x)=500x-500x 2单位荷载作用下梁弯矩表达式：Mp= (1-a)x (0<x<a) a(1-x) (a<x<1)则在梁上任意点的竖向位移f ：f=500 x2−x3 (1−a)EIa 0dx +500 a x −x2 (1−x)EI1adx=0.25a 4-0.5a 3+0.25a(0,0.1, 0.2 ……)分别代入分段点的a 的数值得各点的位移如下表：（2）有限元计算所得简支梁y 方向位移如下图8所示：图8 2.3端点旋度分析结果比较（1）利用结构力学图乘法求得端点处得旋度旋度：Ф=1EI （23L×18qL2）×0.5=qL24EI（2）利用有限元刚度矩阵求得端点位移与旋度为：假设梁的两端固定，并计算等价的节点荷载用以表示均匀变化的荷载力M1 -M2R2-1/2qL 12 6L -12 6L v1-1/12qL2 6L 4L2-6L 2L2Ө1-1/2qL =EI/L3-12L -6L 12 -6L v2 (a)1/12qL2 6L 2L2-6L 4L2 Ө2方程（a）是固定的精确模型，因为如果从中解出的所有位移和旋度，它们的计算值都将为零。
计算力学 河南理工大学工程力学
自强不息奋发向上计算力学上机报告实验一一、实验名称简单杆件单元的位移轴力分析，本实验模型如下：A=300mm2实验要求求得C点竖向位移和杆AC和杆BC的轴力。
二、实验目的通过这个简单的杆件体系了解Ansys工程软件，熟悉有限元求解步骤，为进一步学习有限元奠定基础。
三、实验分析及Ansys命令本实验选择link1杆单元，每个杆件为一个单元。
图中所示，三根杆件互相铰接，A点固定铰支座，B点滑动铰支座，C点受竖向5kN集中力。
Ansys命令流如下：/PREP7 !进入前处理器ET,1,LINK1 !单元类型R,1,0.0003 !定义实常数，即截面面积MP,EX,1,200E9 !定义材料属性MP,PRXY,1,0.3K,1,0,0 !定义关键点和线K,2,3,0K,3,1,1L,1,2L,2,3L,3,1LSEL,S,,,1 !划分网格，赋予材料属性LESIZE,ALL,,,1MA T,1REAL,1LMESH,1LSEL,S,,,2LESIZE,ALL,,,1MA T,1REAL,1LMESH,2LSEL,S,,,3LESIZE,ALL,,,1MA T,1REAL,1LMESH,3D,1,UX,0 !定义荷载和边界条件D,1,UY,0D,2,UY,0F,3,FY,-5000ALLSEL,ALL/SOLU !求解ANTYPE,0SOLVE/POST1 !后处理PLNSOL, U,Y, 0,1.0 !显示Y方向位移!------显示线单元轴力------ETABLE,BAR_I,SMISC, 1ETABLE,BAR_J,SMISC, 1PLLS,BAR_I,BAR_J,0.5,1 !画出轴力图FINISH !结束四、实验结果截图结构的竖向位移云图结构的轴力云图五、结果分析由Ansys导出结构变形数值如下：NODE UX UY UZ USUM1 0.0000 0.0000 0.0000 0.00002 0.16667E-03 0.0000 0.0000 0.16667E-033 0.16225E-03-0.31939E-03 0.0000 0.35824E-03MAXIMUM ABSOLUTE VALUESNODE 2 3 0 3VALUE 0.16667E-03-0.31939E-03 0.0000 0.35824E-03有以上结果可知C点竖向位移为0.319mm，与结构力学计算器算出的3.2mm基本无差别，这表明Ansys的计算精度还是很让人信服的。
弹性力学9-位移分量的求出、简支梁均布荷载
其中有三个关于 y 的待定函数：f（y）， f（y1） ， f（y2）。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
(3)由相容方程求应力函数
将上步所得应力函数的一般形式代入无体力情况下的相 容方程，整理后有
1 4 f ( y ) 2 4 f1 ( y ) 4 f 2 ( y) 2 f ( y) x x 2 0 4 4 4 2 2 y y y y
代入第三式，并整理可得
v
M
2 EI
y f 2 ( x)
2
df1 ( y ) df 2 ( x) M x dy dx EI
第二章 平面问题的基本理论 3.3 位移分量的求出
（2 ）位移分量
df1 ( y ) df 2 ( x) M x dy dx EI
等式左右两边分别为 y 和 x 的函数，要想对于所有的 y 和 x 均成立，只可能两边都等于同一常数w：
M
l
1、形变分量与位移分量
M
x
1
h
（1）形变分量 将上节所求应力分量代入物理方程 y (2-8) 1 x ( x y ) E M x y 1 I y ( y x ) E y xy 0 2(1 ) xy xy E
M x y EI M y y EI xy 0
（c）几何方程积分计算位移表达式 （d）利用位移边界条件，确定常数。
第二章 平面问题的基本理论 本节内容 3.4 简支梁受均布荷载
内容要点： 用半逆解法求解梁的平面问题；体会理解半逆解法的 解题过程。
第二章 平面问题的基本理论 3.4 简支梁受均布荷载
半逆解法步骤回顾：
(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、 受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学 得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式； (2)按式(2-24)，由应力推出应力函数 的一般形式（ 含待定函数项）；
简支梁受均布载荷 弹性力学
修正。
q
y h
4
y2 h2
3 5
（2） y 为梁各层纤维间的挤压应力，材力中
（3） xy
不考虑。 与材力中相同。
15
谢谢大家
§3-4 弹性力学 简支梁受均布载荷 主讲人：ccz
简支梁受均布载荷 -- 应力函数的确定
(1) 分析：
1
q
x —— 主要由弯矩引起；
ql
h/2
ql
xy—— 主要由剪力引起；
h/2 z
x
y——由 q 引起（挤压应力）。
y
ly l
又∵ q =常数，图示坐标系和几何对称，∴ y 不随 x 变化。
0
d
4 f1( y) dy4
0
d
4 f2( dy4
y)
2
d
2 f (y) dy2
0
对前两 f ( y) Ay3 By 2 Cy D
个方程 积分：
f1( y) Ey3 Fy2 Gy
(c) 此处略去了f1(y)中的常数项
对第三个方程得： d 4 f2 ( y) 2 d 2 f ( y) 12 Ay 4B
M
2 h
x
h2
ydy 0
x l
Q
2
h xy 2
dy ql
x l
10
对称条件与边界条件的应用 1
q
ql
ql
h/2
h/2 z
x
h
N
2
h x
dy 0
xl
2
h
M
2
h x
ydy 0
xl
2
h
Q
河南理工弹性力学-节楔形体受重力和液体压力
半逆解法的求解步骤
根据弹性体的边界形状 和受力情况
假定部分或全部应力 分量的函数形式
反推应力函数的函数 形式 由相容方程求解应力 函数 考察边界条件
根据应力分量与应力函数之 间的关系式
求出全部应力分量的 具体表达式
确定待定常数
本讲结束！
y 应力分量变为：
x y xy 2gy
6ax 2by 2bx
1gy
b
3.5 楔形体受重力和液体压力
（2）右边斜边界的边界条件 O
fy 0
2g
x
x y tan ; 面力： f x 边界线方程：
l
x x y tan
1g
m
xy x y tan
0
2gy
n
2
l
xy x y tan
针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况， 假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函 数的函数形式，然后代入相容方程，求出含有待定常数的应力 函数的表达式，再根据应力分量与应力函数之间的关系，求出 其余的应力分量，并考察这些应力分量是否满足全部的应力边 界条件（对于多连体，还需满足位移单值条件）。如果所有的 条件都能满足，自然就得出正确的解答；如果某一方面的条件 不能满足，就要另作假设，重新进行求解。
2 g
2
cot 2
将系数a，b代入到(b)式中
3.5 楔形体受重力和液体压力
应力分量变为： x 2 gy 3 2 g cot 2 g cot x g cot 1g y y 1 2 2 2 gx cot 2 xy yx
1g
2
O
河南理工材料力学试题2
河南理工大学材料力学试题（一）解答材料力学试题（一）解答一、填空题（每小题5分，共10分）1、如图，若弹簧在Q作用下的静位移，在Q自由下落冲击时的最大动位移，则弹簧所受的最大冲击力为：3Q。
2、在其它条件相同的情况下，用内直径为d的空心轴代替直径d的实心轴，若要使轴的刚度不变（单位长度的扭转角相同），则空心轴的外径D＝。
二、选择题（每小题5分，共10分）1、图示正方形截面杆承受弯扭组合变形，在进行强度计算时，其任一截面的危险点位置有四种答案：(A)截面形心；（B）竖边中点A点；（C）横边中点B；（D）横截面的角点D点。
正确答案是： C2、若压杆在两个方向上的约束情况相同；且。
那么该正压杆的合理截面应满足的条件有四种答案：（A）（B）（C）（D）。
正确答案是： D三、计算题（共80分）1、（15分）图示拐轴受铅垂载荷P作用。
试按第三强度理论确定AB轴的直径d。
已知：P=20KN,。
解：AB梁受力如图：AB梁内力如图：危险点在A截面的上下两点由圆轴弯扭组合第三强度理论的强度条件：2、图示矩形截面钢梁，A端是固定铰支座，B端为弹簧支承。
在该梁的中点C处受到的重量为P＝40N的重物，自高度h＝60mm处自由落下冲击到梁上。
已知弹簧刚度K＝25.32N/mm,钢的E＝210GPa，求梁内最大冲击应力（不计梁的自重）。
（15分）解：（1）求、。
将重力P按静载方式沿铅垂方向加在梁中心C处，点C的挠度为、静应力为，惯性矩由挠度公式得，根据弯曲应力公式得，其中，代入得，（2）动荷因数K d（3）梁内最大冲击应力3、（10分）图中的1、2杆材料相同，均为园截面压杆，若使两杆在大柔度时的临界应力相等，试求两杆的直径之比d1/d2,以及临界力之比。
并指出哪根杆的稳定性较好。
解：由即：；又： ；4、（15分）等截面钢架如图所示，各杆段的抗弯刚度EI 相同。
试求钢架横截面上的最大弯矩， 并说明发生在何处。
解：一次超静定问题，解除多余约束B 。
有限元例子2-简支梁受均布荷载
1)．二维承压地下水水流模型算例假设承压含水层区域是一边长为a 的正方形，东西边界为定水头边界，水头为H 1，南北边界为隔水边界，区域中心有一抽水井以流量Q 抽水，承压含水层的导水系数为T 。
稳定流定解问题如下：T H x T HyQ x x y y x y G ∂∂∂∂δ2222000+---=∈(,)(,) (1)H x y H x y H AD BC (,)|(,)|==1 (2)∂∂∂∂H n H nBC AB ||==0 (3) 非稳定流定解问题如下：T H x T H y Q x x y y SH tx y G t ∂∂∂∂δ∂∂2222000+---=∈>(,)(,), (4)H x y H (,,)01= (5) H x y t H x y t H AD BC (,,)|(,,)|==1 (6)∂∂∂∂H n H n ||==0 (7) 此两个定解问题的解析解由Chan ，Mullineux 和Reed(1976)给出 稳定流解为：H x y H Q T x x y y m m m m m (,,)(,,)s i n h (){c o s h [(||)]∞=---=∞∑1001a a a σαααα +-+c o s h [(())]}αm y y a 0 (8)非稳定流解为：H x y t H x y Q T T t S x x m mm m (,,)(,,)e x p (/)(,,)=∞+-=∞∑222210a αασα+-=∞=∞∑∑42221100Q T Tr t S r x x C y y m n m nn m m n a exp(/)(,,)(,,),,σαβ (9) 其中：(,)x y 00—抽水井的坐标； ｍ，ｎ—整数变量； απm m =/a βπn n =/ar m n m n ,=+αβ22σααα(,,)sin()sin()m m m x x x x 00= C y y y y n n n (,,)cos()cos()βββ00=在计算时，正方形的边长ａ为1200m ，计算剖分图见图1，T 的单位为[m day 2/]，S 为无量纲变量，H 的单位为[m]，Q 的单位为[m day 3/]，确定性模型计算时H 11000=.m ，Q=1000.0m day 3/。
简支梁均布荷载跨中弯矩
简支梁均布荷载跨中弯矩简支梁是一种常见的结构形式，它在建筑和桥梁工程中广泛应用。
在梁的设计中，了解和计算梁的跨中弯矩是非常重要的，因为它直接影响到梁的承载能力和结构安全性。
下面是相关参考内容，帮助你了解简支梁均布荷载跨中弯矩计算的基本原理和方法。
一、梁的基本知识1. 梁的定义：梁是一种直线形变中的挠曲构件，常用于在两个或多个支点上支承和跨越空间中的载荷。
2. 梁的分类：根据支座条件和荷载情况，梁可分为简支梁、悬臂梁、嵌入梁等。
3. 梁的受力分析：梁在荷载作用下，会受到弯矩、剪力和轴力等力的作用。
二、简支梁均布荷载的基本原理1. 简支梁：简支梁是最基本和最常见的梁形式，两端支座完全阻止了平移和旋转。
简支梁在等距离分布的均布荷载作用下的弯矩分布规律较为简单，易于计算。
2. 跨中弯矩：在简支梁的跨中位置，弯矩取最大值，称为跨中弯矩，用M_max表示。
3. 基本公式：简支梁均布荷载跨中的弯矩可以通过以下公式进行计算：M_max = (wL^2) / 8三、简支梁均布荷载跨中弯矩计算步骤1. 确定梁的几何尺寸：梁的几何尺寸包括梁的长度L和截面形状等。
2. 确定荷载情况：确定均布荷载w的值。
3. 计算跨中弯矩：根据上述基本公式，将梁的长度L和均布荷载w代入公式，计算得到跨中弯矩M_max的值。
4. 结果分析：根据计算结果，判断梁的承载能力是否满足设计要求。
四、注意事项和工程实例1. 这是简支梁均布荷载跨中弯矩的理论计算方法，实际工程中还需考虑其他因素和设计规范要求。
2. 梁的材料和截面形状会对弯矩产生影响，因此在计算之前需要确定梁的材料力学性能和截面特征。
3. 以下是一个工程实例：长度为10m的简支梁，在跨中均布荷载为20kN/m的情况下，计算跨中弯矩。
M_max = (20kN/m * 10m^2) / 8 = 250kNm综上所述，简支梁均布荷载跨中弯矩的计算可以通过基本公式进行。
了解和掌握这一计算方法对于梁结构设计和安全评估非常重要。
均布荷载简支梁弯矩计算公式
均布荷载简支梁弯矩计算公式
（实用版）
目录
1.均布荷载简支梁的概念
2.均布荷载简支梁弯矩计算公式的推导
3.均布荷载简支梁弯矩计算的实例
正文
一、均布荷载简支梁的概念
均布荷载简支梁是一种结构力学模型，它是指在梁的两端固定，梁上承受的荷载均匀分布在一定的长度上。
这种模型常用于研究梁的弯曲变形和弯矩分布等问题。
二、均布荷载简支梁弯矩计算公式的推导
均布荷载简支梁弯矩计算公式的推导过程如下：
首先，我们假设均布荷载简支梁的长度为 L，梁上的均布荷载为 q，梁的截面惯性矩为 I。
当梁在均布荷载作用下发生弯曲时，梁的中性轴位于梁的几何中心线上。
在这个过程中，梁上每个部分都会产生一个弯矩 M。
根据力学原理，弯矩 M 可以表示为：M = ql/8I，其中 l 为梁的跨度。
这就是均布荷载简支梁弯矩计算公式的推导过程。
三、均布荷载简支梁弯矩计算的实例
假设我们有一个均布荷载简支梁，其长度为 4m，梁上的均布荷载为8kN/m，梁的截面惯性矩为 0.5m。
第1页共1页。
均布荷载简支梁跨中弯矩计算公式
均布荷载简支梁跨中弯矩计算公式均布荷载简支梁跨中弯矩计算公式，这可是个在力学领域相当重要的知识点呢！咱们先来说说啥是均布荷载。
想象一下，有一根长长的梁，上面的力就像均匀撒下来的沙子一样，每个地方受到的力都差不多，这就是均布荷载。
那简支梁又是啥呢？简单来说，就是梁的两端就像被简单地支起来，能自由转动但不能移动。
有了这些基础，咱们就来看看均布荷载简支梁跨中弯矩的计算公式。
公式是：M = ql²/8 。
这里的“M”就是跨中弯矩，“q”代表均布荷载的大小，“l”则是梁的跨度。
为了让您更好地理解这个公式，我给您讲个我之前遇到的事儿。
有一次，我去一个建筑工地，看到工人们正在搭建一个临时的栈桥。
那栈桥就是用钢梁搭建的，很明显就是简支梁的结构。
我就好奇地和一位老师傅聊起来，问他怎么确保这个栈桥能承受住各种重量。
老师傅就指着那钢梁说：“这可都得靠咱们学的这些公式啊，就像这个均布荷载简支梁跨中弯矩的公式，算好了才能保证安全。
”然后他还详细给我解释，假如这个栈桥的跨度是 10 米，上面的均布荷载是每米 500 牛，那按照公式 M = 500×10²/8 ，就能算出跨中弯矩是 62500 牛·米。
通过这个计算，就能知道选用多粗的钢梁，多厚的钢板才能保证栈桥稳稳当当，不会出问题。
在实际工程中，这个公式的应用那可太广泛了。
比如说桥梁设计，要让大桥能承受住来来往往的车辆和人群；还有房屋的大梁，得保证房子能经得住风吹雨打。
总之，均布荷载简支梁跨中弯矩计算公式虽然看起来简单，但是作用可大着呢！只要我们能灵活运用，就能在各种工程和实际问题中发挥大作用，确保结构的安全和稳定。
不知道我这么讲，您是不是对这个公式有了更清楚的认识呢？希望您在遇到相关问题时，能想起这个公式，并用它解决难题！。
弹性力学-第3章 4 简支梁受均布荷载
1 2
f ( y)x2
f1yx
f2y
（2）Φ必须满足相容方程，据此求待定函数
4
4 4
2
0
x 4
x 2y 2 y 4
代入应力函数后得到：
d 4 f y x2 d 4 f1y x d 4 f2 y 2 d 2 f y 0
2dy 4
dy 4
dy 4
dy 2
方程为x的二次方程(最多只有两个根)，要求全梁 范围内无论x取何值均成立(无数个根)，只有x的各 次幂的系数均为零：
A y 5 B y 4 Hy3 Ky 2 10 6
（b）
（3）根据（2—23）求出应力分量{；
x
2 y 2
x2 2
(6 Ay
2B)
x(6Ey
2F)
2 Ay 3 2By 2 6Hy 2K
（c）
y
2 x 2
Ay 3
By 2
Cy
D
（d）
xy
2
xy
x
3Ay 2
2By
c
L(3Ay2 c) (3Ey2 2Fy G) dy qL
2
以上两个等式两端相加得到：
h
2 h
(3Ey2
2Fy G)
dy
0
2
E
h
3
Gh
0
2
结合前页等式和上式得到：
E h 3 Gh 0 2
h2 (3E G) 0
4
E0 G0
注意：两端的y方向应力是共线的，所以只有合矢量积分条件
§3-4 简支梁受均布荷载
q
h
qL
0
2
x
h 2
qL
L
第14讲简支梁受均布载荷作用
§6.8 简支梁受均布载荷作用学习思路:简支梁作用均匀分布力问题是又一个经典弹性力学平面问题解。
采用应力解法的关键是确定应力函数，首先根据边界条件，确定应力函数的基本形式。
将待定的应力函数代入双调和方程得到多项式表达的函数形式。
对于待定系数的确定，需要再次应用面力边界条件。
应该注意的是简支梁是几何对称结构，对称载荷作用时应力分量也是对称的。
对称条件的应用将简化问题的求解难度。
学习要点：1. 简支梁及其边界条件；2. 应力函数分析；3. 应力函数；4. 待定系数确定；5. 端面边界条件简化；6. 简支梁应力分析。
试考察一个承受均匀分布载荷的简支梁q，其跨度为l，横截面高度为h（h ＜＜l＝，单位厚度。
并且设其自重可以忽略不计。
由于简支梁是外力静定的，两端的支座反力是已知的。
因此在求解时，不妨将支座看作外力已知的边界，于是可写出下列边界条件:上述条件中，上下表面的边界条件是主要的，必须精确满足。
至于两端的边界条件可以根据圣维南原理放松为合力满足。
采用半逆解法求解。
首先对应力状态做一个基本分析，由材料力学分析可知：弯曲正应力主要是由弯矩引起的；弯曲切应力主要由剪力引起的；而挤压应力应由分布载荷引起的。
根据上述分析，因此假设挤压应力不随坐标x而改变，即 y为坐标y的函数，因此根据应力函数与应力分量的关系式，可得将上式对x积分，可得其中f (y)，g(y)，h(y)均为任意待定函数。
对于上述应力函数还需要考察其是否满足变形协调方程，代入变形协调方程，则上式为关于x的二次方程。
对于变形协调方程，要求在弹性体的任意点满足。
因此要求所有的x均满足，所以这个二次方程的系数和自由项都必须为零。
即上述公式的前两式要求这里应力函数的线性项已经略去。
而第三式则要求即其中线性项已被忽略不计。
将上述各式代入应力函数公式，则将上述应力函数代入应力分量表达式，可得上述应力分量已经满足平衡微分方程和变形协调方程，现在的问题是根据面力边界条件确定待定系数。
弹性力学-第3章 4 简支梁受均布荷载
注意到材力的表达方式：
I 1 h3, S* h2 y2
12
82
M q (L2 x2 ),Q qL 2
应力分量：
x
M I
y
q
y h
4
y2 h2
3 5
y
q 2
1
y h
(1
2 y )2 h
xy
QS * I
（3—6）
5）通过几何方程、物理方程及两端位移约束条件，
可确定位移分量 u |xL 0 v |x L 0
结论
q
h
上、下边界(主要边界)的边界条件：
0
2
h
x
y y h 0 y y h q
2
2
2
L
L
y
由于q沿x轴不变化，与x无关，故可假设
y f ( y) 也与x无关
则 y
2
x 2
f ( y)
x
f ( y)x
f1 y
1 2
f ( y)x2
f1 yx
f2 y
（a）
其中：f ( y), f1y, f2 y 为待定函数
A y 5 B y 4 Hy3 Ky 2 10 6
（b）
（3）根据（2—23）求出应力分量{；
x
2 y 2
x2 2
(6 Ay
2B)
x(6Ey
2F)
2 Ay 3 2By 2 6Hy 2K
（c）
y
2 x 2
Ay 3
By 2
Cy
D
（d）
xy
2
xy
x
3Ay 2
2By
c
x
s
m xy
河南理工大学弹性力学往年试题
河南理⼯⼤学弹性⼒学往年试题河南理⼯⼤学弹性⼒学往年试题⼀、单项选择题（按题意将正确答案的编号填在括弧中，每⼩题2分，共10分）1、弹性⼒学建⽴的基本⽅程多是偏微分⽅程，还必须结合（ C ）求解这些微分⽅程，以求得具体问题的应⼒、应变、位移。
A．相容⽅程 B．近似⽅法 C．边界条件 D．附加假定2、根据圣维南原理，作⽤在物体⼀⼩部分边界上的⼒系可以⽤（ B ）的⼒系代替，则仅在近处应⼒分布有改变，⽽在远处所受的影响可以不计。
A．⼏何上等效 B．静⼒上等效 C．平衡D．任意3、弹性⼒学平⾯问题的求解中，平⾯应⼒问题与平⾯应变问题的三类基本⽅程不完全相同，其⽐较关系为（ B ）。
A．平衡⽅程、⼏何⽅程、物理⽅程完全相同B．平衡⽅程、⼏何⽅程相同，物理⽅程不同C．平衡⽅程、物理⽅程相同，⼏何⽅程不同D．平衡⽅程相同，物理⽅程、⼏何⽅程不同4、不计体⼒，在极坐标中按应⼒求解平⾯问题时，应⼒函数必须满⾜（ A ）①区域内的相容⽅程；②边界上的应⼒边界条件；③满⾜变分⽅程；④如果为多连体，考虑多连体中的位移单值条件。
A. ①②④B. ②③④C. ①②③D.①②③④⼆、简答题（四⼩题，共35分）1、材料各向同性的含义是什么？“各向同性”在弹性⼒学物理⽅程中的表现是什么？（5分）答：材料的各向同性假定物体的物理性质在各个⽅向上均相同。
因此，物体的弹性常数不随⽅向⽽变化。
在弹性⼒学物理⽅程中，由于材料的各向同性，三个弹性常数，包括弹性模量E，切变模量G和泊松系数（泊松⽐）µ都不随⽅向⽽改变（在各个⽅向上相同）。
2、位移法求解的条件是什么？怎样判断⼀组位移分量是否为某⼀问题的真实位移？（5分）答：按位移法求解时，u，v必须满⾜求解域内的平衡微分⽅程，位移边界条件和应⼒边界条件。
平衡微分⽅程、位移边界条件和（⽤位移表⽰的）应⼒边界条件既是求解的条件，也是校核u，v是否正确的条件。
3、试述弹性⼒学研究⽅法的特点，并⽐较材料⼒学与弹性⼒学在研究内容、⽅法等⽅⾯的异同。
不同模量简支梁均布荷载下的弹性力学解
1 不同模量简支梁均布荷载下的弹性 力学解
利用平截面假设，文献[5]得到了纯弯曲梁的应 力以及受拉受压区的截面高度，在此基础上文献[7] 利用剪应力对中性轴的位置无贡献这一结论得到 了横力弯曲梁的正应力、剪应力以及中性轴的位 置。本文放弃平截面假设，但同时假定剪应力对中 性轴位置无影响。 1.1 应力分量
采用半逆解法，假设 σ y = f ( y) [8]，得到 ϕ =
x2 2
f ( y) + xf1( y) +
f2(y) 。同时假定：在拉压区内
的应力函数要满足的相容方程与同模量情况一致，
故由 ∇4ϕ = 0 得到 ϕ 含待定常数的表达式，求得相
应的应力分量并且利用对称性可得受拉区和受压
区的应力分量为：
(12)
3A+h12 + 2B+h1 + C + = 0
(13)
− A−h23 + B−h22 − C −h2 + D− = −q
(14)
3A−h22 − 2B−h2 + C − = 0
(15)
将式(1)和式(2)代入式(5)和式(6)，有：
∫0 −h2
⎡l2
⎢ ⎣
2
(6 A−
y
+
2B− )
−
2A− y3
不同模量简支梁均布荷载下的弹性力学解利用平截面假设文献5得到了纯弯曲梁的应力以及受拉受压区的截面高度在此基础上文献7利用剪应力对中性轴的位置无贡献这一结论得到了横力弯曲梁的正应力剪应力以及中性轴的位置
第 24 卷第 10 期 Vol.24 No.10
工程力学
2007 年 10 月 Oct. 2007
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3.1 矩形梁的纯弯曲 3.2 位移分量的求出 3.3 简支梁受均布荷载（1） 3.4 简支梁受均布荷载（2） 3.5 楔形体受重力和液体压力
第三章 平面问题的直角坐标解答
第3讲 简支梁受均布荷载（1）
3.3 简支梁受均布荷载（1）
要点 —— 用半逆解法求解梁、长板类平面问题。 1. 假设应力分量的函数形式
xy
x y
（f ） （ g） （h） q o ql x l
求积分常数。 为简便，先分析对称性。
1 h/2 h/2
ql z y l
由 q 对称、结构对称：
x , y —— 关于 x的偶函数
xy
—— 关于x的奇函数
y
6Ey 2F =0 3Ey2 2Fy G=0
E F G 0
( 4)
A 5 B 4 3 2 (d) f ( y ) y y Hy Ky 积分得： 2 10 6 2 x 将 f ( y ), f1 ( y ), f 2 ( y ) 的表达式代入 f ( y) xf1 ( y) f 2 ( y)
2
x2 ( Ay 3 By 2 Cy D) x( Ey 3 Fy 2 Gy ) 2
本讲结束！
A 5 B 4 ( y y Hy 3 Ky 2 ) 10 6
(e)
式中含有9个待定常数。
3.3 简支梁受均布荷载（1）
2
4. 由应力函数求解应力分量
x
y2
,
2
2 y
x2 .
x2 3 2 6 Ay 2 B x 6 Ey 2 F 2 Ay 2 By 6Hy 2K x 2 3 2 y Ay By Cy D 2 2 x 3 Ay 2 By C 3 Ey 2Fy G xy
By 2 Fy 2
Cy Gy
D
(c)
此处，f1(y)中的常数项在 中成为x的 一次项 ，不影响应力分量，略去。
3.3 简支梁受均布荷载（1）
f 2 ( 4) ( y) 2 f ( 2) ( y) 0
对第三个方程得： f 2 ( y) 2 f ( 2) ( y) 12 Ay 4B
3.3 简支梁受均布荷载（1）
5. 本讲小结
采用半逆解法求解受均布荷载的简支梁，得到 了含有部分积分常数的应力分量表达式。
x2 3 2 x 2 6 Ay 2B 2 Ay 2By 6Hy 2K 3 2 y Ay By Cy D 2 xy x 3Ay 2By C
1
q
分析：
x xy y
—— 主要由弯矩引起； —— 主要由剪力引起；
h/2 h/2
ql z y l
o l
ql x
y
—— 由荷载 q 引起（挤压应力）。
又∵ q =常数，且 q不随x变化，∴ y不随 x变化。 即：
y f ( y)
3.3 简支梁受均布荷载（1）
2. 根据应力分量导出应力函数的表达式
3. 由相容方程求解应力函数
（将式（b）带入相容方程 4 0 ）
1 d 4 f y 2 d 4 f1 y d 4 f2 y d 2 f y x x 2 0 4 4 4 2 2 dy dy dy dy
3.3 简支梁受均布荷载（1）
1 d 4 f y 2 d 4 f1 y d 4 f2 y d 2 f y x x 2 0 4 4 4 2 2 dy dy dy dy
2 y 2 f ( y) x
xf ( y ) f1 ( y ) 积分得： x 2 x f ( y) xf1 ( y) f 2 ( y) 2
f ( y), f1 ( y), f 2 ( y)
(a) (b)
4 4 4
—— 任意的待定函数
x4 2 x2 y2 y4 0
关于 x 的二次方程，且要求 －l≤ x ≤ l 内方程均成立。
必有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：
f
( 4)
( y) 0
f
( 4) 1
( y) 0
f 2 ( y) 2 f ( 2) ( y) 0
( 4)
对前两个方程积分：
f (y) ห้องสมุดไป่ตู้y 3 f1(y) Ey 3
x2 f ( y) xf1 ( y) f 2 ( y) 2