寿险精算 第四讲 生存年金

m 1 2m
(2.5.27)
《寿险精算数学》
• 先根据恒等式
0|
--02趸缴纯保费-生存年金
近似公式的推导
ax ax 0
1|
ax ax 1
k m
•
引出线性插值近似计算式：
k | m
ax ax
•
故
( a xm )
1 ( 0| ax 1 | ax 2 | ax m1| ax ) m m m m 1 1 2 m 1 [ ax ( ax ) ( ax ) ( ax )] m m m m 1 2 (m 1) =ax 2m m 1 =ax 2m
1 v 1 d 1 i） （
ln(1 i)
i (m) 1 1 i m
m
d (m) 1 m
m
1 d
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
( 1 d (m) axm) Ax
m
(2.5.24)
m m
m
j km
j km
px k px j pxk
m
m m m m m
px 1 qxk j k px j pxk 1 qxk j
m m
k px j | 1 qxk
A
( m) x
[v
k 0

k 1
k px v
j 0
m1
j 1 1 m

类似于上一节的公式，有
1 2 ( Y aKm)S , S m , m ,, mm1 , K 0,1,, n 1,
1 vK S 1 vn (m) ( ( axm ) E (aKm )S ) E ( ( m ) ) an ( m ) d d 1 ( m ) (1 Axm ) (3.2.23) d
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
延期初付生存年金
险种
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延期m年初付 终身生存年金
延期m年初付 n年定期生存年金
精算 现值
m
ax a x a x:m m Ex ax m 1 ( Ax:m Ax ) d
mn
ax ax:m n ax:m m Ex ax m:n 1 ( Ax:m Ax:m n ) d
离散生存年金定义： – 在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支 付一次年金的保险。 1.按年付生存年金 按年付生存年金是以年为时间间隔，每年支付一次金融的生存 年金。 设年龄为x 岁的生存者在每个年度初领取年金额为1个单位 的终身生存年金（即期初付），其精算现值 ax用现时支付法为：
N x m N x m n Dx
a m x:n
N x m1 N x m n1 Dx
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
2. 每年分m次支付的生存年金
(1)期初付终身生存年金
基本公式：
ax
m
k 1 m v k px k 0 m m
死亡均匀分布条件下的计算公式
• 由式(2.5.25),得到
( axm) (m)ax (m)
id ( m) ( m ) ( m ) i d
i(m) i ( m) ( m ) ( m ) i d
•
近似公式（实际操作公式）
( a xm ) a x
终身生存年金
ax
定期生存年金
Nx Dx
ax ax:n
N x 1 Dx
ax:n
延期终身生存年金
N N xn x Dx N xm Dx
N x 1 N x n1 Dx N x m1 Dx
a m x
延期定期生存年金
a m x
a m x:n
k n

•
延期m年的n年定期生存年金
m|n
ax
k n m 1 k m

v k k px ax:m n ax:m m Ex ax m:n
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
等额生存年金计算换算公式
险种 初付 末付
等额生存年金计算换算公式
1 vn an d
故有
1 dax Ax (2.5.7)
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
期末付终身生存年金
ax v k
k 1 k
px
期初付生存年金与期末付生存年金的关系
ax ax 1 1 Ax ax ax 1 1 d 1 d Ax 1 [1 (1 i ) Ax ] d i
j | 1 qx k ]
m m
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
• 在UDD （即年龄内死亡均匀分布）假设下，有
t x
q tqx
m m m m m
j | 1 qx k j 1 qx k j qx k ( ) qx k ( ) qx k
t
Ex (3) n Ex t Ex n t Ex t Ex n
1 n t E x t
年龄
n
x
x+t
n t
x+n 1 S
Ex
1
Ext
现时值
t
Ex
1
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金精算现值计算方法
• • • • • 计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法 现时支付法计算步骤：未来连续支付的现时值之和 求出时刻t 给付年金的数额 计算t 时给付额的精算现值 对现值按可能的给付时间进行求和（或积分）
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
期初付生存年金及其精算现值
• 终身生存年金

ax v k k px
k 0
•
定期生存年金
ax:n v
k 0 n1 k k
px n Ex
k 0
n1
•
延期n年的终身生存年金
n|
ax v k k px ax ax:n n Ex axn
v K 1 , K 0,1, , n 1 zK n ,K n v 1 z K 1 E[ z K ] 1 Ax:n 1) ax:n E[Y ] E d d d 2 Ax:n Ax2:n 1 v K 1 1 2) Var[Y ] Var d 2 Var[ z K ] d2 d
Ex Ax:1 vn n px n n
精算折现因子 精算累积因子
Ex Ax:1 vn n px n n
1 s n Ex
《寿险精算数学》
相关公式及意义
--02趸缴纯保费-生存年金
(1) lx n Ex (1 i ) n lx n (2) S l 1 1 n (1 i ) n x v n px lx n n Ex
ax E (Y ) v k | qx = v j k | qx
j k 0 j 0 j 0 k j

k


= v
j 0

j

k j

qx v j j px k|
j 0

《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金计算换算公式
Dx v lx
关系式
故:
再由
1 dax Ax
(2.5.7)
得到:
( dax Ax d ( m ) axm) Axm d a 1 ( axm) ( m)x ( m) ( Ax Axm ) d d
(2.5.25)
在尾龄服从死亡均匀分布条件下,有
Axm
k 0
n 1
总额支付方法
aK 1 , K 0,1, , n 1 Y an , K n ax E[Y ] ak 1 k qx an n px
k 0 n 1
《寿险精算数学》 相关公式
--02趸缴纯保费-生存年金
• 若用总额支付法，则期初付年金为1个单位的终身生存年金支 付的现值 K Y aK 1 v j
j 0
•
于是，有
ax E[aK 1 ] ak 1 Pr( K k ) ak 1 k qx
k 0 k 0


•
交换求各顺序，则式(2.5.3)可转化为
j m 1 m j m 1 m qx k
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
A
( m) x
[v
k 0
k 1

k 1
k px v
j 0
m 1 j 0
j 1 1 m
m 1
j 1 1 m
j | 1 qx k ]
m m
[v
k 0
k p x (v
x
N x Dx k
k 0

ax
Nx Dx
(2.5.4)
相关公式
zK v K 1 , K 0,1, 2,} 1 zK 1 E[ zK ] 1 Ax 1) ax E[Y ] E d d d 2 1 v K 1 1 Ax ( Ax ) 2 2) Var[Y ] Var Var[ zK ] d d2 d2
1 qx k )] m
j 1 1 m
[v
k 0

k 1
k px qx k (v
j 0
m 1
1 )] m

1 m
i i
(m)
1 1 m
Ax
v
1 m
2 1 m
v
v
1 m
0

i i (m)
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
《寿险精算数学》 §2.5 生存年金
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金的概念 生存年金是指在已知某人生存的条件下，按预先约定的金额以连续 方式或以一定的周期进行一系列给付的保险，且每次年金给付必须 以年金受领人生存为条件。 生存年金可分为：定期生存年金和终身生存年金、即期生存年金 和延期生存年金、期初生存年金和期末生存年金，等等。 2.5.1 精算现值的计算方法 在生存年金中，n年期生存保险的期望现值（即趸缴纯保费）称 为精算现值。在生存年金中，保额为1单位的n 年期生存保险的精算 现值E(Z) 用符号n E x 表示，即：
2 Ax Ax Var[ ax ] Var[ax 1] d2 2
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
期初付定期生存年金
• 当期支付方法
ax:n
•
1 k Ex v k p x lx k 0 k 0
k
n 1
n 1
v k lx k
• • • • •
总额支付法计算步骤：年金在死亡或到期而结束时的总值 先求出在未来寿命期限内所有可能年金给付额的现值， 将现值与相应的死亡概率或概率密度相乘 把第二步得到的结果按所有可能的死亡时间进行求和（或积分） 两种方法是等价的
《寿险精算数学》
•
--02趸缴纯保费-生存年金
2.5.2 离散型生存年金
1 k ax k Ex v k px v lx k lx k 0 k 0 k 0
k
• • •
(2.5.1)
• •
上式右边表明：该群体中生存到x+k岁的 ，每人获得1元的金 额。 lx k
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金计算方法
i i
(m)
Ax
( anm )
i i
( m)
an
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
( Axm) v k 0 j 0
m 1
k
j 1 m
k j | 1 qx v
m m
m1
k jm1
k 0 j 0
k j px 1 qx k j