寿险精算 第四讲 生存年金
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保险精算学生存年金精算现值
显 然 ， m a x a m－ １ x
m
ax
a
－
x
a
x：m
（给出实际解释）
在概率的角度下，上述结论如何得到？是什么样？
一些公式
1.n ax vn n pxaxn n Exaxn
2.a x:n
a x:n
1 n Ex
3.a x:nm
a x:m
vm m pxaxm:n
4.ax
a x:n
n
ax
and
0
Y
a K 1
a n
amn
a n
0K n n K mn
K mn
mn1
nm ax E Y
a a
k 1
n
k qx
a mn
a n
nm px.
k n
期末付延期n年，定期m年生存年金给付精算现值的结论是什么
样的？
4、延期终身生存年金
用 n ax表 示 某 x岁 人 投 保 一 延 期 n年 进 入 年 金 给 付 ， 每 年 末 给 付
M x v N x N x1
Dx
Dx Dx
Ax vax ax 1 dax 即1 dax Ax
实 际 意 义 是 ?从 概 率 的 角 度 怎 么 证 ？
经 过 变 换 ： Ax 1 dax 实际意义是？
类似地,有
1 da A1
x:n
x:n
d
n ax
A1 x:n
Ax
A va a
x:n
x:n
x:n 1
期末生命年金的现值。
a x:n
n t 1
t Ex
1 Dx
n
Dxt
t 1
保险精算课件 第4章生存年金
推导：对终身寿险和终身生存年金，有
Ax E(vK1)
axE (aK 1)E (1d vK 1)1 dA x
即 1dax Ax
公式二：
1iaxiAxAx
解释：x岁时的1单位元等于(x)死亡年末的1元
赔付现值 A x ，加上(x)存活期每年 i 元的利息
现值 i a x 和死亡年年末i元利息的现值 i A x 。
例：对于(30)的从60岁起每月500元的生存 年金，预定利率为6%。根据附表1，计算 保单的趸缴净保费。
例：某保单提供从60 岁起每月给付500元的生存 年金，如果被保险人在60岁前死亡，则在死亡年 末给付10000元。设预定利率为6%，如果某人购 买了这种保单，根据附表2的资料，求这一生存年 金的精算现值。
1da A
x:n
x:n
1a A
x:n
x:n
ax vax Ax
a va A1
x:n
x:n
x:n
例：年龄为35岁的人，购买按连续方式给付 年金额为2000元的生存年金，利率i=6%， 试求死亡均匀分布假设下终身生存年金的精 算现值（已知 A35 0.11156）.
提示：利用公式 1ax Ax
2. 某年龄为40岁的人以1万元纯保费购买了 30年纯生存保险，试以附表1计算，他在70 岁可以领取的保险金额。
5.2 年付一次的生存年金精算现值
期初、期末支付的
终身生存年金 定期生存年金 延期终身生存年金 延期定期生存年金
1.终身生存年金
• (x)的每年1单位元期初付终身生存年金精算现值
ax kEx vkk px
n1
n1
a x:n
kEx
保险精算第四讲
1 zt
2.2 定期年金
（2）Var (Y ) Var (
)
1
2
Var ( zt )
2.3 延期年金
3 离散生存年金
Var (aT )
1
2 2 [ A ( A ) ] 2 x:n x:n
4每年h次支付年金 5计算基数公式
例4.4（例4.3续）
1 生存年金简介 2 连续生存年金
2.1 终身年金
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
2.2 定期年金
2.3 延期年金
计算：30年定期生存年金精 算现值及方差
3 离散生存年金
a30:30
4每年h次支付年金 5计算基数公式
例4. 4答案
a30:30 1 e 0.05t 1 1 e 0.0530 40 at fT (t )dt a30 30 p30 dt 13.01 0.05 70 70 0 0
3 离散生存年金
4每年h次支付年金 5计算基数公式
例4.2答案
1 e （3）Pr(aT ax ) Pr( 0.06 ln 0.4 Pr(T ) 0.06
ln 0.4 0.06 0.06T
1 生存年金简介 2 连续生存年金
10)
2.1 终身年金
2.2 定期年金
lim
N j 0
xk
j N
v
1 N
k 1
k
t v dt x t
x ax 0
t v dt x t
ax v t t px dt
0
2.2 定期年金
（2）Var (Y ) Var (
)
1
2
Var ( zt )
2.3 延期年金
3 离散生存年金
Var (aT )
1
2 2 [ A ( A ) ] 2 x:n x:n
4每年h次支付年金 5计算基数公式
例4.4（例4.3续）
1 生存年金简介 2 连续生存年金
2.1 终身年金
在De Moivre假定下，
100, 0.05, x 30
2.2 定期年金
2.3 延期年金
计算：30年定期生存年金精 算现值及方差
3 离散生存年金
a30:30
4每年h次支付年金 5计算基数公式
例4. 4答案
a30:30 1 e 0.05t 1 1 e 0.0530 40 at fT (t )dt a30 30 p30 dt 13.01 0.05 70 70 0 0
3 离散生存年金
4每年h次支付年金 5计算基数公式
例4.2答案
1 e （3）Pr(aT ax ) Pr( 0.06 ln 0.4 Pr(T ) 0.06
ln 0.4 0.06 0.06T
1 生存年金简介 2 连续生存年金
10)
2.1 终身年金
2.2 定期年金
lim
N j 0
xk
j N
v
1 N
k 1
k
t v dt x t
x ax 0
t v dt x t
ax v t t px dt
0
寿险精算_卓志_生存年金
Sx ( Ia) x ，Sx Nx Nx1 Nx2 ... Dx S x S x n nN x n ( Ia) x:n Dx
Sx Sxn ( I n a) x Dx S x 1 ( Ia) x Dx S x 1 S x n1 nN x n1 ( Ia) x:n Dx S x 1 S x n 1 ( I n a) x Dx
ax
( m)
1 (1 v m
1 m
2．延付n年的终身生存年金：
n
1 m
px v
2 m
2 m
px ...)
ax
( m)
n Ex a
(m) x
( m) xn (m) x
3．n年定期生存年金：
a
( m) x:n
a
na
1． a x:n
2． a x 3．
n
0
n
2
2.n年定期生存年金：
2 2
ax:n 1 vpx v
px ... v
n 1
N x N xn n 1 px Dx
3．延付n年的终身生存年金：
4．延付n年的m年定期生存年金：
N xn a n x Dx
N xn N xnm a nm x Dx
本章主要介绍生存年金的基本概 念，基本计算原理和不同条件下 的生存年金的计算方法。
一、（x）在n年期满生存所得的1单位的精 算现值
n
Ex v
n n
px
二、转换函数
Dx v lx
x
寿险精算学4
p x dt
2
2
e
0 . 06 t
e
t
dt
0
e
0 . 06 t
e
0 . 04 t
dt 10
0
（ 2） Var [ a ]
T
1
[ Ax ( Ax ) ] 2 1 [ e
0 0 . 12 t
0 . 06 1 0 . 06
2
0 . 04 e 0 . 04 0 . 10
期初支付终身生存年金的概念
x 1
ax
x 1
k
Ex
v
k 1
k
px
1 lx
x 1
v
k 1
lxk
k 0
k 0
k 0
期初支付终身生存年金的计算
1
lx a x
k 0
2
v lxk
k
lx a x
k 0
3
v lxk
（1）新产品的趸缴净保费 （2）现值变量的方差 （3）当死亡赔付定为多大时，该产品赔付现值的方 差最小？
解4.2
例4.3
在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假 定下，求 （1） a
x
（2）a 的标准差 T
（3）a T 超过 a x 的概率。
例4.3答案
（1） a x v
0 t t
2
延付连续生存年金
定义: 种类
m
ax
延付M年终身连续生存年金 延付M年终身定期生存年金
适用领域
保险精算课程四(生存保险现值)
第五章 精算现值的计算
5.1 生存年金的精算现值
• 5.1.1保险商品的定价特点：
(1)保费的确定在成本发生之前,是对未来发 生的成本加以预测和估算. Chebyshev大数 法则.
(2)政府主管部门对保险产品的定价要比一般 商品严格。
（3）保险费的支付与给付金额是对价的。
（4）保险费率的差异性、定价的歧视性(增加 年龄,加大死亡率以多收保险费)。
m|
a
(k x
)
a(k)
m| x
lxm
a(k) xm
lx
vm
Dxm Dx
[axm
k 1] 2k
Dxm Dx
lxm vxm lx vx
Dxm Dx
axm
lxm vm lx
axm
a m|
(k) x
m| ax
k 1 2k
Dxm Dx
• 4. 延期终身生存年金（期初付）：
m| ax(k ) m| ax
获得的款项是：
Sx:n|
Dx
Dx1
Dx2 Dxn
Dxn1
Nx Nxn Dxn
• 例子1：现年36岁的人，每年初支付的金额为15元，他获
得的4年期的生存年金的终值是多少？ S36:4|
15
15
15
15
15
36
37
38
39
40
则他40岁时获得的金额为：
15 S36:4|
15
N36 N40 D40
1
1
x
x 1
ax:n| lx1 v lx2 v 2 lxn v n
a x:n |
l x 1
v lx2
v2 lxn lx
5.1 生存年金的精算现值
• 5.1.1保险商品的定价特点：
(1)保费的确定在成本发生之前,是对未来发 生的成本加以预测和估算. Chebyshev大数 法则.
(2)政府主管部门对保险产品的定价要比一般 商品严格。
（3）保险费的支付与给付金额是对价的。
（4）保险费率的差异性、定价的歧视性(增加 年龄,加大死亡率以多收保险费)。
m|
a
(k x
)
a(k)
m| x
lxm
a(k) xm
lx
vm
Dxm Dx
[axm
k 1] 2k
Dxm Dx
lxm vxm lx vx
Dxm Dx
axm
lxm vm lx
axm
a m|
(k) x
m| ax
k 1 2k
Dxm Dx
• 4. 延期终身生存年金（期初付）：
m| ax(k ) m| ax
获得的款项是：
Sx:n|
Dx
Dx1
Dx2 Dxn
Dxn1
Nx Nxn Dxn
• 例子1：现年36岁的人，每年初支付的金额为15元，他获
得的4年期的生存年金的终值是多少？ S36:4|
15
15
15
15
15
36
37
38
39
40
则他40岁时获得的金额为：
15 S36:4|
15
N36 N40 D40
1
1
x
x 1
ax:n| lx1 v lx2 v 2 lxn v n
a x:n |
l x 1
v lx2
v2 lxn lx
生存年金的精算现值
资产配置优化
通过对生存年金精算现值的计算和分析，投资者可以 优化资产配置，降低投资风险并提高投资收益。
风险与收益平衡
生存年金精算现值有助于投资者在追求收益的同时， 合理控制风险，实现风险与收益的平衡。
07
总结与展望
研究结论
生存年金精算现值模型的有效性
通过实证研究，验证了所提出的生存年金精算现值模型的有效性和准确性，该模型能够较好地预测和评估生存年金的 未来现金流和现值。
精算现值概念
精算现值是一种用于评估保险产品（如生存 年金）未来支付责任的现值的技术。
它考虑了多种因素，如被保险人的预期寿命 、死亡率、利率和费用等，以确定保险公司 为履行未来支付责任所需的当前资金。
精算现值可以帮助保险公司更准确地定价和 评估风险，从而确保公司的稳健运营和客户 的权益保障。
03
生存年金精算现值计算方法
精算符号的定义
定义一系列精算符号，表示生存年金的各种参数和变量。
精算等式的建立
根据生存年金的定义和性质，建立包含精算符号的精算等式。
精算等式的求解
通过代数运算或数值计算，求解精算等式，得出精算现值。
数值解法
数值模型的建立
根据生存年金的实际情况，建立合适的数值 模型。
参数的确定
利用计算机程序或专业软件，进行数值计算 ，得出精算现值。
进一步研究方向
未来研究可以进一步探讨生存年金精 算现值模型在不同人群和不同地区的 应用效果，以及在不同经济环境和政 策背景下的适用性和有效性。同时， 可以进一步研究如何将生存年金精算 现值模型与其他相关模型进行融合和 优化，以提供更全面、准确的评估和 预测结果。
感谢您的观看
THANKS
研究不足与展望
通过对生存年金精算现值的计算和分析，投资者可以 优化资产配置，降低投资风险并提高投资收益。
风险与收益平衡
生存年金精算现值有助于投资者在追求收益的同时， 合理控制风险，实现风险与收益的平衡。
07
总结与展望
研究结论
生存年金精算现值模型的有效性
通过实证研究，验证了所提出的生存年金精算现值模型的有效性和准确性，该模型能够较好地预测和评估生存年金的 未来现金流和现值。
精算现值概念
精算现值是一种用于评估保险产品（如生存 年金）未来支付责任的现值的技术。
它考虑了多种因素，如被保险人的预期寿命 、死亡率、利率和费用等，以确定保险公司 为履行未来支付责任所需的当前资金。
精算现值可以帮助保险公司更准确地定价和 评估风险，从而确保公司的稳健运营和客户 的权益保障。
03
生存年金精算现值计算方法
精算符号的定义
定义一系列精算符号，表示生存年金的各种参数和变量。
精算等式的建立
根据生存年金的定义和性质，建立包含精算符号的精算等式。
精算等式的求解
通过代数运算或数值计算，求解精算等式，得出精算现值。
数值解法
数值模型的建立
根据生存年金的实际情况，建立合适的数值 模型。
参数的确定
利用计算机程序或专业软件，进行数值计算 ，得出精算现值。
进一步研究方向
未来研究可以进一步探讨生存年金精 算现值模型在不同人群和不同地区的 应用效果，以及在不同经济环境和政 策背景下的适用性和有效性。同时， 可以进一步研究如何将生存年金精算 现值模型与其他相关模型进行融合和 优化，以提供更全面、准确的评估和 预测结果。
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THANKS
研究不足与展望
保险精算-生存年金（1）
第四章 生存年金生存年金就是以约定的人仍然生存作为给付条件的年金，它与确定年金相对；前者除了考虑利率因素外，还必须考虑生存概率，而后者与生死无关，只考虑利息率的作用，给付的数额与给付的次数事先确定。
生存年金在整个人寿保险、社会养老保险中占有极其重要的地位，如投保人（或被保险人）分期交纳的保险费形成一种生存年金，劳动者从退休之日起每月或每年领取的养老金也形成一种生存年金。
生存年金有如下一些分类方式。
按给付期限是否有具体的规定，可分为：按是否期初期末给付，可分为：按各次给付数额是否相等，可分为：按签约后是否立即开始给付期，可分为：按与约定生死相关的人的数目多少，可分为：按给付频率来划分，可分为多年给付一次的生存年金、每年给付一次的生存年金、每年给付多次的生存年金、连续给付的生存年金。
前三者属于离散型生存年金，最后一种年金又称为连续生存年金。
连续生存年金完全按生存时间长短进行给付，而离散型生存年金，无论期初给付还是期末给付都存在一定的局限性，需要进行调整，从而演变为比例期初生存年金与完全期末生存年金，留在最后一节讨论。
本章主要以这种划分作为其逻辑体系加以研究。
本章的主要内容就是求生存年金的精算现值与精算终值。
与生存年金相关的概念就是年金保险。
所谓年金保险就是以生存年金方式提供保险金的保险。
显然，年金保险的实质就是生存年金，因而本章关于生存年金的结论，适合于年金保险。
第一节 多年给付一次的生存年金本节在考虑多年给付一次的年金时，为了简化起见，仅考虑n 年期满生存时给付一次的精算现值，那么多年给付一次的年金的精算现值也就是各次给付的精算现值之和，这一定义也适合于更一般的生存年金。
一、投保人缴纳的趸缴纯保费设n x E 为x 岁的人购买n 年期保额为1的纯生存保险所缴纳的趸缴纯保险费。
运用团体法，假设依据生命表活过x 岁的x l 人都参加了这种纯生存保险，那么依收支平衡原则可得1n x n x x n l E l v +=⋅⋅ （4.1.1）或(1)1n x n x x n l E i l ++=⋅ （4.1.2） 解之得nn x n x E v p ==x nxD D + （4.1.3）二、保险人给付保险金现值的期望值设1:x nY 表示保险人对参加保额为1的n 年期纯生存保险所给付的现值，显然它是一个随机变量，其分布律为1:()n n x x nP Y v p == 1:(0)n x x nP Y q == 由此可得1:()nn x x nE Y v p ==n x E 上式表示，保险人平均给付的现值等于保险人收支的保险费，这也体现保险双方权利义务对等与公平性。
四章生存年金趸缴纯保费MicrosoftPppt课件
获得保险金额为1元的生存给付，则： 期初付生存年金现值：
Y a k 1
生存年金精算现值为：
,E(Y )
a k 1
k
qx
a k
1
(k
px
k
1
px
)
ka0 1
(0 px
px
k
)
0
a
2
(
px
2px )
a 3
(
2
px
3
px
)
vk
k 1
lxk lx
1 Dx
v xk lxk
k 1
1 Dx
Dxk
k 1
N x1 Dx
2、n年定期生存年金
。 a x:n
n
vk k px
k 1
n k 1
vxklxk vxlx
1
Dx
n
Dxk
k 1
N x1 N xn1 Dx
第一节 连续型生存年金的纯保费
一、趸缴纯保费的计算 二、寿险与年金的关系 三、y的方差 四、生存年金的精算积累值
一、趸缴纯保费的计算
1、终身生存年金 设(x)投保年金额为1元的终身生存年金，年
金在被保险人生存时，按连续方式支付。如 果用符号Y表示生存年金给付现值，则：
Y a T 1 vT
k 0
Sx Dx
n1
(Ia) x:n
(k 1)v k k px
。
k 0
。
1 n1
Dx
Y a k 1
生存年金精算现值为：
,E(Y )
a k 1
k
qx
a k
1
(k
px
k
1
px
)
ka0 1
(0 px
px
k
)
0
a
2
(
px
2px )
a 3
(
2
px
3
px
)
vk
k 1
lxk lx
1 Dx
v xk lxk
k 1
1 Dx
Dxk
k 1
N x1 Dx
2、n年定期生存年金
。 a x:n
n
vk k px
k 1
n k 1
vxklxk vxlx
1
Dx
n
Dxk
k 1
N x1 N xn1 Dx
第一节 连续型生存年金的纯保费
一、趸缴纯保费的计算 二、寿险与年金的关系 三、y的方差 四、生存年金的精算积累值
一、趸缴纯保费的计算
1、终身生存年金 设(x)投保年金额为1元的终身生存年金，年
金在被保险人生存时，按连续方式支付。如 果用符号Y表示生存年金给付现值，则：
Y a T 1 vT
k 0
Sx Dx
n1
(Ia) x:n
(k 1)v k k px
。
k 0
。
1 n1
Dx
保险精算 第4章 年金精算现值
d
38
Actuarial Science
期末付年金的精算现值
保险精算
39
期末付年金的精算现值
终身生存年金：
a x v k k p x a x 1 k 1 1 Ax 1 d 1 d Ax d 1 i [1(1i)Ax]
1iax(1i)Ax
A
x
解
P
a T
ax
1vT
P
15.38
1e0.05T
P
0.05
15.38Pe0.05T0.231
P 0.05 T 1.4653 PT29.31 29.310.015e0.015tdt 0.3557 0
21
2a )(a )2
x:n
x:n
27
Actuarial Science
年金的精算累积值
保险精算
28
年金的精算累积值
s x :n
1a E x:n
nx
1 a (1i)n lx a
vn n p x x:n
l x:n xn
lxnsx:n(1i)nlxax:n
29
Actuarial Science
以两个或两个以上的被保险人作为年金受领 人，并且以其生命作为年金给付条件
6
生存年金的种类
定额年金： 每次按固定数额给付的年金
给付年金的
额度
变额年金：
年金支付额是变动的，依据是各时期物价上 涨情况或股票投资收益状况
7
生存年金的种类
即付年金：
在保险合同订立后就立即开始按期给付的 年金
给付开始的
日期
延付年金：
保险精算 第4章2 人寿保险的精算现值
k 0 n 1
例6
55岁的男性投保5年期的定期保险，保险金额为 1000元，保险金在死亡年末给付，按中国人寿保险 业 经验生命表 （2000-2003年）非养老业务男表和利率 6%计算趸缴纯保费。 4 d 55k 1 k 1 1000 v 解：A55: 5| l k 0
55
vd55 v d 56 v d 57 v d 58 v d 59 1000 l55
2 3 4 5
26.981485(元)
注：
令n 1, 在符号Ax1: n|中， Ax1: 1| 在人寿保险中又称为自然保费， 或记作符号 c x
根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄的预 定死亡率计算出来的该年度的死亡纯保费。 1 dx cx vqx 1 i lx “均衡保费制”
n年定期寿险的趸缴纯保费
基本函数关系 记 K ( x) [T ] k 为被保险人的取整余命，则
保险金给付在签单时的现值随机变量为
v , Z bK vK 0,
K 1
K 0,1,, n 1 其他
A1 x:n 表示其趸缴纯保费。
则
E ( Z ) v k p x q xk
T v , T n 0, T n 其中Z1 , Z2 n 0, T n v , T n
Z1 Z 2 0
1 Var(Z ) Var(Z1 ) Var(Z2 ) A1 A x：n| x：n|
延期m年的n年期两全保险
定义 保险人对被保险人在投保m年后的n年期内发生保险 责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保 险人再生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金 的保险。 假定(x)投保延期m年的n年期两全保险，保额1元。 基本函数关系 0, t m 0 , t m bt t 1, t m z b v v , m t m n
例6
55岁的男性投保5年期的定期保险，保险金额为 1000元，保险金在死亡年末给付，按中国人寿保险 业 经验生命表 （2000-2003年）非养老业务男表和利率 6%计算趸缴纯保费。 4 d 55k 1 k 1 1000 v 解：A55: 5| l k 0
55
vd55 v d 56 v d 57 v d 58 v d 59 1000 l55
2 3 4 5
26.981485(元)
注：
令n 1, 在符号Ax1: n|中， Ax1: 1| 在人寿保险中又称为自然保费， 或记作符号 c x
根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄的预 定死亡率计算出来的该年度的死亡纯保费。 1 dx cx vqx 1 i lx “均衡保费制”
n年定期寿险的趸缴纯保费
基本函数关系 记 K ( x) [T ] k 为被保险人的取整余命，则
保险金给付在签单时的现值随机变量为
v , Z bK vK 0,
K 1
K 0,1,, n 1 其他
A1 x:n 表示其趸缴纯保费。
则
E ( Z ) v k p x q xk
T v , T n 0, T n 其中Z1 , Z2 n 0, T n v , T n
Z1 Z 2 0
1 Var(Z ) Var(Z1 ) Var(Z2 ) A1 A x：n| x：n|
延期m年的n年期两全保险
定义 保险人对被保险人在投保m年后的n年期内发生保险 责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保 险人再生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金 的保险。 假定(x)投保延期m年的n年期两全保险，保额1元。 基本函数关系 0, t m 0 , t m bt t 1, t m z b v v , m t m n
保险精算课件 第4章生存年金
m E x axm
延期m年期初付 n年定期生存年金
m n1
m n a x
k Ex
km
a a x : mn x : m
m Ex
a xm : n
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11
延期期末付生存年金
险种
精算 现值
延期m年期末 终身生存年金
m a x
kEx
k m 1
ax
a x :m
m E x a xm
延期m年期末付 n年定期生存年金
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15
例：某30岁的人购买了从60岁起的生存年金， 契约规定，在被保险人60岁～69岁时每年的 给付额为6000元，70岁～79岁每年的给付额 为7000元，80岁以后每年的给付额为8000元。 用精算符号表示该保单的趸缴净保费。
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16
例：某30岁的人投保养老年金保险，保险契约 规定，如果被保险人存活到60岁，则确定给付 10年年金，若被保险人在60～69岁间死亡， 由其指定的受益人继续领取，直到领满10年为 止；如果被保险人在70岁仍然存活，则从70
2. 某年龄为40岁的人以1万元纯保费购买了 30年纯生存保险，试以附表1计算，他在70 岁可以领取的保险金额。
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5
5.2 年付一次的生存年金精算现值
期初、期末支付的
终身生存年金 定期生存年金 延期终身生存年金 延期定期生存年金
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6
1.终身生存年金
• (x)的每年1单位元期初付终身生存年金精算现值
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25Байду номын сангаас
推导：对终身寿险和终身生存年金，有
Ax E(vK1)
寿险精算第四讲生存年金
(m)
i(m) i i(m)d (m)
• 近似公式（实际操作公式）
a(m) x
ax
m 1 2m
(2.5.27)
《寿险精算数学》 --02趸缴纯保费-生存年金
近似公式的推导
• 先根据恒等式
0| ax ax 0
1| ax ax 1
• 引出线性插值近似计算式：
k
k | ax
m
ax
m
•故
a(m) x
《寿险精算数学》 --02趸缴纯保费-生存年金
n
(Da) x:n
(n k 1)v k k px
k 1
nN x1 S x2 S xn2 Dx
《寿险精算数学》 --02趸缴纯保费-生存年金
2.5.3 连续型生存年金
• 连续生存年金的定义 – 在保障时期那，以被保险人存活为条件，连续支 付年金的保险
a n
《寿险精算数学》 --02趸缴纯保费-生存年金
A v q (m) x
m1 k0 j0
k
j1 m
k
j m
|
1 m
v p q m1
k
j 1 m
x k0 j0
k
j m
x1
m
x
k
j m
p k
j m
x
k
px j m
pxk
p q p p q k
j m
x1
m
xk
j m
k
xj
险种
初付
末付
等额生存年金计算换算公式
终身生存年金
ax
Nx Dx
定期生存年金 延期终身生存年金
a N x N xn
x:n
保险精算学4-生存年金
第一节 生存年金概述
广电日生尊贵人生年金保险
投保范围：18周岁至55周岁 缴费方式：趸交、年交(10年、20年和至55周岁、至60周岁) 保险期间：保至75周岁或80周岁 保险责任：
【生存年金】 若本合同有效，且被保险人仍生存，则自本合同约定的生存年金始领年龄（六十周岁
或五十五周岁）后的首个保险单周年日起，本公司在每个保险单周年日给付生存年金直至 本合同终止。生存年金首年度给付金额为基本保险金额的百分之十二，以后逐年按首年度 给付金额的百分之五递增。 【身故保险金、高残保险金】
指数化年金
指数化方法定期调整年金给付数额，如每年按固定比例调 整，或每年按消费价格指数调整。……抵减通货膨胀影响
联合生存年金
一张保单上同时承保两个或两个以上有相互联系的年金领 取人。如夫妻关系的联合生存年金。
第二节 生存年金的精算现值
一、计算原理与方法
生存年金的精算现值又称为生存年金的趸缴纯 保费，即一次缴清的纯保费。它是以预定的利 率和生存率为基础，根据未来给付支出所计算 的投保时的年金现值(数学期望值)。
若本合同有效，且被保险人生存至本合同满期日，本公司按本合同的基本保险金额给
一、相关概念
1、定义
以被保险人的生存为条件，保险人按合同约 定的金额、方式、期限，有规律并定期向被 保险人给付保险金的保险类型。
属于人寿保险的一种，我国长期以来将年金 统称为养老金。
2、分类
期初付年金/期末付年金 连续年金/离散年金 定期年金/终身年金 非延期年金/延期年金
支付期数
• 生存年金支付期数不确定（与受领人是否生存有关）
三、用途
被保险人保费交付常使用生存年金的方式 （年缴）
某些场合保险人保险理赔的保险金采用生 存年金的方式，特别在：
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《寿险精算数学》 §2.5 生存年金
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金的概念 生存年金是指在已知某人生存的条件下，按预先约定的金额以连续 方式或以一定的周期进行一系列给付的保险，且每次年金给付必须 以年金受领人生存为条件。 生存年金可分为：定期生存年金和终身生存年金、即期生存年金 和延期生存年金、期初生存年金和期末生存年金，等等。 2.5.1 精算现值的计算方法 在生存年金中，n年期生存保险的期望现值（即趸缴纯保费）称 为精算现值。在生存年金中，保额为1单位的n 年期生存保险的精算 现值E(Z) 用符号n E x 表示，即：
2 Ax Ax Var[ ax ] Var[ax 1] d2 2
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
期初付定期生存年金
• 当期支付方法
ax:n
•
1 k Ex v k p x lx k 0 k 0
k
n 1
n 1
v k lx k
t
Ex (3) n Ex t Ex n t Ex t Ex n
1 n t E x t
年龄
n
x
x+t
n t
x+n 1 S
Ex
1
Ext
现时值
t
Ex
1
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金精算现值计算方法
• • • • • 计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法 现时支付法计算步骤：未来连续支付的现时值之和 求出时刻t 给付年金的数额 计算t 时给付额的精算现值 对现值按可能的给付时间进行求和（或积分）
关系式
故:
再由
1 dax Ax
(2.5.7)
得到:
( dax Ax d ( m ) axm) Axm d a 1 ( axm) ( m)x ( m) ( Ax Axm ) d d
(2.5.25)
在尾龄服从死亡均匀分布条件下,有
Axm
离散生存年金定义： – 在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支 付一次年金的保险。 1.按年付生存年金 按年付生存年金是以年为时间间隔，每年支付一次金融的生存 年金。 设年龄为x 岁的生存者在每个年度初领取年金额为1个单位 的终身生存年金（即期初付），其精算现值 ax用现时支付法为：
终身生存年金
ax
定期生存年金
Nx Dx
ax ax:n
N x 1 Dx
ax:n
延期终身生存年金
N N xn x Dx N xm Dx
N x 1 N x n1 Dx N x m1 Dx
a m x
延期定期生存年金
a m x
a m x:n
1 vn an d
故有
1 dax Ax (2.5.7)
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
期末付终身生存年金
ax v k
k 1 k
px
期初付生存年金与期末付生存年金的关系
ax ax 1 1 Ax ax ax 1 1 d 1 d Ax 1 [1 (1 i ) Ax ] d i
j | 1 qx k ]
m m
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
• 在UDD （即年龄内死亡均匀分布）假设下，有
t x
q tqx
m m m m m
j | 1 qx k j 1 qx k j qx k ( ) qx k ( ) qx k
i i
(m)
Ax
( anm )
i i
( m)
an
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
( Axm) v k 0 j 0
m 1
k
j 1 m
k j | 1 qx v
m m
m1
k jm1
k 0 j 0
k j px 1 qx k j
v K 1 , K 0,1, , n 1 zK n ,K n v 1 z K 1 E[ z K ] 1 Ax:n 1) ax:n E[Y ] E d d d 2 Ax:n Ax2:n 1 v K 1 1 2) Var[Y ] Var d 2 Var[ z K ] d2 d
m m
m
j km
j km
px k px j pxk
m
m m m m m
px 1 qxk j k px j pxk 1 qxk j
m m
k px j | 1 qxk
A
( m) x
[v
k 0
k 1
k px v
j 0
m1
j 1 1 m
x
N x Dx k
k 0
ax
Nx Dx
(2.5.4)
相关公式
zK v K 1 , K 0,1, 2,} 1 zK 1 E[ zK ] 1 Ax 1) ax E[Y ] E d d d 2 1 v K 1 1 Ax ( Ax ) 2 2) Var[Y ] Var Var[ zK ] d d2 d2
1 qx k )] m
j 1 1 m
[v
k 0
k 1
k px qx k (v
j 0
m 1
1 )] m
1 m
i i
(m)
1 1 m
Ax
v
1 m
2 1 m
v
v
1 m
0
i i (m)
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
j m 1 m j m 1 m qx k
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
A
( m) x
[v
k 0
k 1
k 1
k px v
j 0
m 1 j 0
j 1 1 m
m 1
j 1 1 m
j | 1 qx k ]
m m
[v
k 0
k p x (v
• 若用总额支付法，则期初付年金为1个单位的终身生存年金支 付的现值 K Y aK 1 v j
j 0
•
于是，有
ax E[aK 1 ] ak 1 Pr( K k ) ak 1 k qx
k 0 k 0
•
交换求各顺序，则式(2.5.3)可转化为
ax E (Y ) v k | qx = v j k | qx
j k 0 j 0 j 0 k j
k
= v
j 0
j
k j
qx v j j px k|
j 0
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金计算换算公式
Dx v lx
类似于上一节的公式，有
1 2 ( Y aKm)S , S m , m ,, mm1 , K 0,1,, n 1,
1 vK S 1 vn (m) ( ( axm ) E (aKm )S ) E ( ( m ) ) an ( m ) d d 1 ( m ) (1 Axm ) (3.2.23) d
N x m N x m n Dx
a m x:n
N x m1 N x m n1 Dx
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
2. 每年分m次支付的生存年金
(1)期初付终身生存年金
基本公式：
ax
m
k 1 m v k px k 0 m m
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
延期初付生存年金
险种
延期m年初付 终身生存年金
延期m年初付 n年定期生存年金
精算 现值
m
ax a x a x:m m Ex ax m 1 ( Ax:m Ax ) d
mn
ax ax:m n ax:m m Ex ax m:n 1 ( Ax:m Ax:m n ) d
1 k ax k Ex v k px v lx k lx k 0 k 0 k 0
k
• • •
(2.5.1)
• •
上式右边表明：该群体中生存到x+k岁的 ，每人获得1元的金 额。 lx k
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金计算方法
m 1 2m
(2.5.27)
《寿险精算数学》
• 先根据恒等式
0|
--02趸缴纯保费-生存年金
近似公式的推导
ax ax 0
1|
ax ax 1
k m
•
引出线性插值近似计算式：
k | m
ax ax
•
故
( a xm )
1 ( 0| ax 1 | ax 2 | ax m1| ax ) m m m m 1 1 2 m 1 [ ax ( ax ) ( ax ) ( ax )] m m m m 1 2 (m 1) =ax 2m m 1 =ax 2m
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金的概念 生存年金是指在已知某人生存的条件下，按预先约定的金额以连续 方式或以一定的周期进行一系列给付的保险，且每次年金给付必须 以年金受领人生存为条件。 生存年金可分为：定期生存年金和终身生存年金、即期生存年金 和延期生存年金、期初生存年金和期末生存年金，等等。 2.5.1 精算现值的计算方法 在生存年金中，n年期生存保险的期望现值（即趸缴纯保费）称 为精算现值。在生存年金中，保额为1单位的n 年期生存保险的精算 现值E(Z) 用符号n E x 表示，即：
2 Ax Ax Var[ ax ] Var[ax 1] d2 2
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
期初付定期生存年金
• 当期支付方法
ax:n
•
1 k Ex v k p x lx k 0 k 0
k
n 1
n 1
v k lx k
t
Ex (3) n Ex t Ex n t Ex t Ex n
1 n t E x t
年龄
n
x
x+t
n t
x+n 1 S
Ex
1
Ext
现时值
t
Ex
1
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金精算现值计算方法
• • • • • 计算方法主要有两种：现时支付法、总额支付法 现时支付法计算步骤：未来连续支付的现时值之和 求出时刻t 给付年金的数额 计算t 时给付额的精算现值 对现值按可能的给付时间进行求和（或积分）
关系式
故:
再由
1 dax Ax
(2.5.7)
得到:
( dax Ax d ( m ) axm) Axm d a 1 ( axm) ( m)x ( m) ( Ax Axm ) d d
(2.5.25)
在尾龄服从死亡均匀分布条件下,有
Axm
离散生存年金定义： – 在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支 付一次年金的保险。 1.按年付生存年金 按年付生存年金是以年为时间间隔，每年支付一次金融的生存 年金。 设年龄为x 岁的生存者在每个年度初领取年金额为1个单位 的终身生存年金（即期初付），其精算现值 ax用现时支付法为：
终身生存年金
ax
定期生存年金
Nx Dx
ax ax:n
N x 1 Dx
ax:n
延期终身生存年金
N N xn x Dx N xm Dx
N x 1 N x n1 Dx N x m1 Dx
a m x
延期定期生存年金
a m x
a m x:n
1 vn an d
故有
1 dax Ax (2.5.7)
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
期末付终身生存年金
ax v k
k 1 k
px
期初付生存年金与期末付生存年金的关系
ax ax 1 1 Ax ax ax 1 1 d 1 d Ax 1 [1 (1 i ) Ax ] d i
j | 1 qx k ]
m m
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
• 在UDD （即年龄内死亡均匀分布）假设下，有
t x
q tqx
m m m m m
j | 1 qx k j 1 qx k j qx k ( ) qx k ( ) qx k
i i
(m)
Ax
( anm )
i i
( m)
an
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
( Axm) v k 0 j 0
m 1
k
j 1 m
k j | 1 qx v
m m
m1
k jm1
k 0 j 0
k j px 1 qx k j
v K 1 , K 0,1, , n 1 zK n ,K n v 1 z K 1 E[ z K ] 1 Ax:n 1) ax:n E[Y ] E d d d 2 Ax:n Ax2:n 1 v K 1 1 2) Var[Y ] Var d 2 Var[ z K ] d2 d
m m
m
j km
j km
px k px j pxk
m
m m m m m
px 1 qxk j k px j pxk 1 qxk j
m m
k px j | 1 qxk
A
( m) x
[v
k 0
k 1
k px v
j 0
m1
j 1 1 m
x
N x Dx k
k 0
ax
Nx Dx
(2.5.4)
相关公式
zK v K 1 , K 0,1, 2,} 1 zK 1 E[ zK ] 1 Ax 1) ax E[Y ] E d d d 2 1 v K 1 1 Ax ( Ax ) 2 2) Var[Y ] Var Var[ zK ] d d2 d2
1 qx k )] m
j 1 1 m
[v
k 0
k 1
k px qx k (v
j 0
m 1
1 )] m
1 m
i i
(m)
1 1 m
Ax
v
1 m
2 1 m
v
v
1 m
0
i i (m)
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
j m 1 m j m 1 m qx k
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
A
( m) x
[v
k 0
k 1
k 1
k px v
j 0
m 1 j 0
j 1 1 m
m 1
j 1 1 m
j | 1 qx k ]
m m
[v
k 0
k p x (v
• 若用总额支付法，则期初付年金为1个单位的终身生存年金支 付的现值 K Y aK 1 v j
j 0
•
于是，有
ax E[aK 1 ] ak 1 Pr( K k ) ak 1 k qx
k 0 k 0
•
交换求各顺序，则式(2.5.3)可转化为
ax E (Y ) v k | qx = v j k | qx
j k 0 j 0 j 0 k j
k
= v
j 0
j
k j
qx v j j px k|
j 0
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金计算换算公式
Dx v lx
类似于上一节的公式，有
1 2 ( Y aKm)S , S m , m ,, mm1 , K 0,1,, n 1,
1 vK S 1 vn (m) ( ( axm ) E (aKm )S ) E ( ( m ) ) an ( m ) d d 1 ( m ) (1 Axm ) (3.2.23) d
N x m N x m n Dx
a m x:n
N x m1 N x m n1 Dx
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
2. 每年分m次支付的生存年金
(1)期初付终身生存年金
基本公式：
ax
m
k 1 m v k px k 0 m m
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
延期初付生存年金
险种
延期m年初付 终身生存年金
延期m年初付 n年定期生存年金
精算 现值
m
ax a x a x:m m Ex ax m 1 ( Ax:m Ax ) d
mn
ax ax:m n ax:m m Ex ax m:n 1 ( Ax:m Ax:m n ) d
1 k ax k Ex v k px v lx k lx k 0 k 0 k 0
k
• • •
(2.5.1)
• •
上式右边表明：该群体中生存到x+k岁的 ，每人获得1元的金 额。 lx k
《寿险精算数学》
--02趸缴纯保费-生存年金
生存年金计算方法
m 1 2m
(2.5.27)
《寿险精算数学》
• 先根据恒等式
0|
--02趸缴纯保费-生存年金
近似公式的推导
ax ax 0
1|
ax ax 1
k m
•
引出线性插值近似计算式：
k | m
ax ax
•
故
( a xm )
1 ( 0| ax 1 | ax 2 | ax m1| ax ) m m m m 1 1 2 m 1 [ ax ( ax ) ( ax ) ( ax )] m m m m 1 2 (m 1) =ax 2m m 1 =ax 2m