高考数学数列大题训练答案版

高考数学数列大题训练

1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比

（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析：

(1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=-

∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121,

2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -=

∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2

n n n n T S -== （8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422

n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2

n n n n n T n n n n -⎧≤≤∈⎪⎪=⎨-⎪-≥∈⎪⎩**N N

2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ；

（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；

（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S

解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a

解得：,73=a 同理得.1,312==a a

（2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a

)1(211+=+-n n a a {}1+∴n a 构成以211=+a 为首项以2为公比的等比数列； 112)1(1-⋅++∴n n a a ；,21n n a =+∴

.12-=∴n n a 为所求通项公式

（3）12-=n n a Θ

123......n n S a a a a ∴=++++

123(21)(21)(21)......(21)n =-+-+-++-

123(222......2)n

n =++++-n n ---=21)21(2.221n n --=+

3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥

（1）求数列n a 的通项公式；

（2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。

解：由11335(2)n n n n S S a a n ---=-≥，12n n a a -∴=，又12a =Q ，112n n a a -=， {}n a ∴是以2为首项，12为公比的等比数列，122112()()222n n n n a ---∴=⨯== 2(21)2n n b n -=-，1012123252(21)2n n T n --∴=⨯+⨯+⨯++-⋅L L （1）

012111232(23)2(21)22

n n n T n n ---=⨯+⨯++-⋅+-⋅L L （2） （1）—（2）得01211

22(222)(21)22n n n T n ---=++++--⋅L L 即：1111112[1(2)]2(21)26(23)2212

n n n n T n n ------=+--⋅=-+⋅- ，212(23)2n n T n -∴=-+⋅

4.已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且．

（Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{n

n a 2}是等差数列； （Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S

解：（Ⅰ）622212=+=a a ，2022323=+=a a ．

（Ⅱ）),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且Θ， ∴),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥+=--且， 即),2(12

2*11N n n a a n n n n ∈≥=---且． ∴数列}2{n

n a 是首项为21211=a ，公差为1=d 的等差数列． （Ⅲ）由（Ⅱ）得

,211)1(21)1(212-=⋅-+=-+=n n d n a n n ∴n n n a 2)21(⋅-=． )2(2)2

1(2)211(2252232212)1(2)2

1(2252232211432321+⋅-+⋅--++⋅+⋅+⋅=⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n n n S n S ΛΛΘ1322)21(2221)2()1(+⋅--++++=--n n n n S Λ得 12)21(2222132-⋅--++++=+n n n Λ

12)2

1(21)21(21-⋅----=+n n n 32)23(-⋅-=n n ． ∴32)32(+⋅-=n n n S ．

5.已知数列{}n a 满足31=a ，1211-=--n n n a a a .

（1）求2a ，3a ，4a ；

（2）求证：数列11n a ⎧⎫⎨

⎬-⎩⎭是等差数列，并写出{}n a 的一个通项。 解： （1）7

9,57,35432===a a a （2）证明：由题设可知N n a a n n ∈≠≠,10且

1211-=--n n n a a a Θ

()()()()111111--=---⇒--n n n n a a a a 11

1111=---⇒-n n a a