姿态动力学大作业

反作用飞轮控制

一、（1）建立航天器姿态动力学方程和飞轮控制规律 如图1-1中，

图1-1 反作用飞轮系统

设三飞轮的质心重合与星体质心O 。三飞轮的轴向转动惯量分别为z y x J J J ,,。其横向转动惯量设已包含在星体惯量章量c I 内。星体角速度ω，飞轮相对于星体的角 速度记为：

[

]

T

z y x

ΩΩΩ=Ω

星体与飞轮的总动量矩h 为：

()

ωωωωωωh h I I I I h b c +=Ω+⋅=Ω+⋅+⋅= （1-1）

式中，

Ω

⋅=⋅=+=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ωωωωωI h I h I I I J J J I I I I I b c z y x

z y x

00

00

0000

易知，I 即星体与飞轮对点O 的总惯量章量，b h 即飞轮无转动时总动量矩，ωh 即飞轮转动时的相对动量矩。由动量矩定理得

e b b L h h h h h =⨯++⨯+=•

•

•

ωωωω

⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Ω⋅Ω⋅Ω⋅-=-=+=⨯+⨯+•

•

•

•

•

z z y

y x

x c e c b b J J J h L L L h h h ωωωω （1-2）

式中，e L 为外力矩，c L 为飞轮转轴上电机的控制力矩。式（1-2）就是装有反作用飞轮的刚性航天器动力学方程的矢量形式。

如定义星体轨道坐标系如图1-2所示，

图1-2 轨道坐标系

r r r z y ox 的角速度 r ω为

j n r -=ω

即轨道角速度。当为圆轨道时，则有

3

2R

n μ

=

式中μ为地球引力常数，R 为地球半径。如记ψθϕ,,分别为星体滚转角、俯仰角与偏航角、且设ψθϕ,,和•

•

•

ψθϕ,,均为小量。

当航天器相对于轨道坐标系按321旋转时角度旋转矩阵为：

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡

-++--=ϕθϕ

ψϕθψϕψϕθψϕθϕ

ψϕθψϕψϕθψθθψθψcos cos sin cos cos sin sin sin sin cos sin cos sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos cos B

按321旋转时产生的角速度为：

⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-=⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡-⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=•

••

••

••

••ϕθθϕψθϕψϕθθψϕϕθϕϕ

ϕϕψθθθθ

ϕϕϕϕ

ωsin cos cos cos sin cos sin 0000cos sin 0sin cos 000

100cos 0sin 010sin 0cos cos sin 0sin cos 0001

c

由ψθϕ,,和•

•

•

ψθϕ,,均为小量，则,1cos ,1cos ,1cos ≈≈≈ψθϕ

ψψθθϕϕ≈≈≈sin ,sin ,sin ，忽略掉二阶及二阶以上小量得：

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡---=111

ϕ

θ

ϕψ

θψ

B ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=••

•ψθϕωc

则，

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-•⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ϕψϕ

θ

ϕψθψ

ωωωωn n n n rz ry rx r 00111

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--=+=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=•••ϕψθψϕωωωωωωn n n c r z y x （1-3） 又由，

()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-++-+-+-=⨯+•

•••••

•••ψϕψθϕψϕω22n I I n I I I I I n I I n I I I I h h x y y z x x y z y y z x x b b （1-4）

⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω⎪⎭⎫

⎝⎛-Ω-⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω=⨯•••

•••n J n J n J n J n J n J h x x y y z z x x y y z

z θψϕψϕϕψϕψθωω （1-5）

再考虑到引力梯度矩g L 的表示式为：

()()⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅=03222θϕn I I n I I n L z x z y g （1-6）

（1-4）、（1-5）、（1-6）式代入（1-2）式得：

()()()()()⎪⎪

⎪⎪⎩⎪⎪⎪

⎪⎨

⎧Ω⋅-=Ω⋅-=Ω⋅-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω+-+-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω-⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ω+-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω+-+-+-•

••••••••••••••

••z

z c

z y y c y x

x c x c z e z x x y y x y y z x x

c

y e y z z x x z x y

c

x e x y y z z z y y z x x

J L J L J L L L n J n J n I I n I I I I L L n J n J n I I I L L n J n J n I I n I I I I θψϕψϕψψϕϕψθθϕψθϕψϕ22234 （1-7） 式（1-7）即装有反作用飞轮的刚性航天器对地球定向的线性化动力学方程。式中e L 为不含引力梯度矩的外力矩。 如进一步假设：

（1）惯量椭球近似为正球体，即

I I I I z y x =≈≈

（2）飞轮的轴向转动惯量远小于星体的主惯量，即

1,,<

J I J I J z

y x 则式（1-7）可进一步简化为：