海伦公式
海伦公式证明过程
海伦公式证明过程海伦公式是三角形中的唯一能精确计算面积的方法，它表明了三角形的面积与三条边长之积的关系：面积S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2。
要证明海伦公式，首先需要证明三角形的底面积与三角形的边长之积的关系：1. 使用勾股定理，假设三角形有三条边a、b、c，则a2+b2=c2。
2. 以三角形的底面积T为中心，在三角形中画出三个半圆，每个半圆的半径分别为a、b、c，这样可以得到三个圆，每个圆的面积分别为Πa2,Πb2，Πc2。
3. 将三个圆的面积相加，即得到了三角形的底面积T：T=Πa2+Πb2+Πc2。
4. 由于三角形的底面积T=Πa2+Πb2+Πc2，则可以把T表示为三角形的边长之积的形式：T=(a*b*c)/π。
5. 现在，已经证明了三角形的底面积T与三角形的边长之积的关系。
6. 按照正确的构造法，绘制出围绕三角形的极角形（三角形的内心角被划分成三等份），其面积为三角形的面积（S）。
7. 关于极角形面积的几何公式为：S=ρ2（α+β+γ-π）/2，其中ρ为外接圆的半径，α+β+γ是三角形三个内角的和。
8. 把ρ表示为半周长s的1/2，即ρ=s/2，则极角形面积可表示为：S= (s/2)2（α+β+γ-π）/2。
9. 将极角形面积S=(s/2)2（α+β+γ-π）/2式子代入开始定义的三角形底面积T=(a*b*c)/π，可以得到：S= (s/2)2（α+β+γ-π）/2=(a*b*c)/π10. 将上面的式子扩充：S= (s/2)2（α+β+γ-π）/2=(a*b*c)/π=((a+b+c)/2)2（α+β+γ-π）/211. 化简得：S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，即得到海伦公式。
由以上的证明过程可以看出，海伦公式是三角形中面积与三角形的边长之积的关系的准确表达。
海伦公式的应用
海伦公式的应用海伦公式是解决三角形面积的一种常用方法，可以用于计算任意形状的三角形的面积。
该公式由古希腊数学家海伦提出，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍海伦公式的具体应用及其在实际问题中的重要性。
海伦公式的表达式如下：s = (a + b + c) / 2其中，s为三角形三边长a、b、c的半周长。
利用海伦公式，可以计算任意三角形的面积，表达式如下：面积= √(s × (s-a) × (s-b) × (s-c))这个公式可以非常方便地应用于各种三角形问题。
下面将介绍一些实际问题中海伦公式的应用。
1. 计算三角形的面积最直接的应用就是计算三角形的面积。
通过已知的三边长，可以先计算出半周长s，然后利用海伦公式求得面积。
这在建筑设计、地理测量等领域特别常见。
例如，在一块地块的测量中，需要知道一块不规则地块的面积，可以通过分割成多个三角形，分别计算每个三角形的面积，然后相加，最终得到整个地块的面积。
2. 判断三角形的形状海伦公式还可以用于判断三角形的形状。
根据公式，如果一个三角形的面积为0，则表示该三角形是一条直线，也就是三点共线。
如果面积为正数，则表示该三角形是一个普通的三角形。
如果面积为负数，则表示该三角形是一个内部有缺口的三角形。
利用这一特点，可以通过海伦公式来判断三个点是否共线、是否构成一个三角形。
3. 设计图片处理算法在计算机图形学中，海伦公式经常被用于设计图片处理算法。
例如，计算机生成的三角形构成的立体模型，可以通过海伦公式来计算其表面积，从而进行贴图、光照等处理操作。
海伦公式的高效性和灵活性使得它成为计算机图形学中的重要工具。
4. 优化传感器网络布局在无线传感器网络中，传感器的部署位置对网络的性能具有重要影响。
利用海伦公式，可以计算传感器之间的距离，进而确定最优的传感器布局，以最大限度地覆盖目标区域，并减少能量消耗。
这在动态目标跟踪、环境监测等应用中非常实用。
几何知识-海伦公式
b: 4
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亚历山大里亚的希罗
此公式是由希腊工程师和数学家亚历山大里亚的希罗（或海伦）（公元 10年 – 70年）发现的。
他有很多发明，其中一个是汽转球，是有文献记载以来的第一部蒸汽机，但当时的人拿它当玩具！
角
在上面的计算器中我也用了 余弦定理 来计算角度（以得到完整的答案）。公式是：
自己来试试：
Heron's Formula
Find a Triangle's Area from its Sides
Classic Heron's Formula: s = (a+b+c)/2 = 6 Area = √( s(s-a)(s-b)(s-c) ) Area = 6
a: 3
53.1301°
c: 5
Area ith less rounding error: Sides in Descending Order: 5,4,3 Area = √((a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c)))/4 Area = 6
90°
36.8699°
其中 "C" 是边 "c" 的对角。
海伦公式
用已知三边求三角形面积
如果已知三角形三边的长度，便可以用有二千年历史的公式来求三角形的面积。 这个公式叫 "海伦公式"，由亚历山大里亚的希罗发现（如下）
只需要两步：
一、求 "s"（周长的一半）： 二、 求面积：
例子：每边长度为 5 的三角形的面积是多大？
一、s = (5+5+5)/2 = 7.5 二、A = √(7.5 × 2.5 × 2.5 × 2.5) = √(117.1875) = 10.825……
海伦公式
海伦公式
• 海伦公式： [1] S=√p(p-a)(p-b)(p-c) • 假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的 面积S可由以下公式求得： • S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
证明过程
公式简史
• 古希腊的数学发 • 阿基米德 • 展到亚历山大里亚时期，数学的应用得到了很大的发展，其突出的一点 就是三角术的发展，在解三角形的过程中，其中一个比较难的问题是如 何利用三角形的三边直接求出三角形面积。 • 这个公式是由古希腊数学家阿基米德得出的，但人们常常以古希腊的数 学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式，因为这个公式最早出现 在海里的著作《测地术》中，并在海伦的著作《测量仪器》和《度量数》 中给出证明。 [1] [5] • 中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它 与海伦公式形式上有所不同，但它完全与海伦公式等价，它填补了中国 数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平。
海伦公式
（海伦公式）已知三角形三条边长，求面积海伦公式：S=（△）=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p是三角形的周长的一半p=(a+b+c)/2.～～～～以下转自百度百科～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明（1）：与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
三角形求面积海伦公式
三角形求面积海伦公式三角形的面积可以通过海伦公式来计算。
海伦公式是由古希腊数学家海伦提出的，用于计算任意三角形的面积。
这个公式可以通过三角形的三条边的长度来求解，具体的公式如下所示：S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))其中S表示三角形的面积，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，p表示三角形的半周长，即p = (a + b + c) / 2。
海伦公式的推导过程相对复杂，但是使用起来非常简便。
下面我们将通过一个实例来演示如何使用海伦公式求解三角形的面积。
假设有一个三角形ABC，已知它的三条边的长度分别为a = 5、b = 12、c = 13，我们要求解这个三角形的面积。
我们可以计算出这个三角形的半周长p：p = (a + b + c) / 2 = (5 + 12 + 13) / 2 = 30 / 2 = 15接下来，我们带入海伦公式，计算出三角形的面积S：S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) = √(15 * (15 - 5) * (15 - 12) * (15 - 13)) = √(15 * 10 * 3 * 2) = √(900) = 30所以，三角形ABC的面积为30平方单位。
海伦公式的优点是适用于任意形状的三角形，不需要知道顶点的高度或角度，只需要知道三条边的长度即可。
这使得海伦公式在实际应用中非常方便。
除了使用海伦公式之外，我们还可以通过其他方法来计算三角形的面积。
例如，对于已知顶点坐标的三角形，可以使用向量叉积的方法来计算面积。
此外，如果已知三角形的底边和高，也可以直接使用底边乘以高的一半来计算面积。
总结起来，海伦公式是一种非常实用的方法，可以用来计算任意三角形的面积。
通过海伦公式，我们无需知道三角形的高度或角度，只需要知道三条边的长度即可。
这种简便性使得海伦公式在数学和实际应用中得到广泛的应用。
无论是在建筑设计、地理测量还是其他领域，海伦公式都是一个非常重要的工具。
证明海伦公式(二)
证明海伦公式(二)证明海伦公式什么是海伦公式？海伦公式是用来计算三角形面积的公式，其公式表达式为：面积 = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))其中，s 为半周长，a、b、c为三角形的三边。
列举相关公式在证明海伦公式的过程中，需要用到以下几个相关公式：1. 正弦定理正弦定理是描述三角形内角和三条边之间关系的公式，其公式表达式为：a / sin(A) =b / sin(B) =c / sin(C)其中，a、b、c为三角形的三边，A、B、C为对应的内角。
2. 周长公式周长公式是计算三角形周长的公式，其公式表达式为：周长 = a + b + c其中，a、b、c为三角形的三边。
3. 半周长公式半周长公式是计算三角形半周长的公式，其公式表达式为：s = (a + b + c) / 2其中，a、b、c为三角形的三边，s为半周长。
证明海伦公式海伦公式的证明可以分为以下几个步骤：1.根据正弦定理，将海伦公式中的三边 a、b、c 表达为半周长 s 和正弦函数的比值形式。
2.将 a、b、c 代入海伦公式，并进行展开和化简。
3.利用三角恒等式，将海伦公式中的正弦函数的比值形式展开，然后进行化简。
4.化简后得到的表达式将包含 (s - a)、(s - b)、(s- c) 的乘积。
5.利用周长公式将 s - a、s - b、s - c 替换为 b +c - a、c + a - b、a + b - c。
6.继续展开和化简，最终得到海伦公式的表达式。
举例解释说明假设有一个三角形，其中三边分别为 a = 3，b = 4，c = 5。
1.计算半周长：s = (3 + 4 + 5) / 2 = 62.利用海伦公式计算面积：面积 = sqrt(6 * (6 - 3) * (6 - 4) * (6 -5)) = sqrt(6 * 3 * 2 * 1) = sqrt(36) = 6因此，该三角形的面积为 6。
海伦公式多边形面积
海伦公式多边形面积
海伦公式（Heron's formula）通常用于计算三角形的面积，而不是多边形的面积。
海伦公式基于三角形的三边长度来计算面积，公式如下：
如果三角形的三边长度分别为 a, b, c，且 s 是半周长（即 (a + b + c) / 2），则三角形的面积 A 可以通过以下公式计算：
A = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))
对于多边形，通常使用其他方法来计算面积。
例如，对于简单多边形（即顶点不交叉的多边形），可以通过将多边形划分为多个三角形，然后计算每个三角形的面积，并将这些面积相加来得到多边形的总面积。
对于复杂多边形（如自相交多边形），计算面积可能需要更复杂的算法，如基于向量或几何变换的方法。
海伦公式-
海伦公式-
海伦公式是一个三角形面积的计算公式。
它是由古希腊数学家海伦（Haelen）在公元前三世纪提出的。
海伦公式可以通过一个三角形三边长度来计算其面积。
公式如下：
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
其中，S是三角形面积，a,b,c是三角形三边长度，p是三角形半周长，即p = (a + b + c) / 2。
海伦公式是通过三角形半周长来计算面积的，因此称之为海伦公式。
请注意，使用海伦公式前，需要确保输入的三边长度是符合三角形不等式的，即a + b > c, b + c > a, c + a > b.
海伦公式是通过三角形三边长度来计算三角形面积的，因此它可以用来计算任意三角形的面积。
在使用海伦公式时，需要注意的是三角形三边长度都必须是大于零的实数，并且要符合三角形不等式的要求，即a + b > c, b + c > a, c + a > b.
此外，海伦公式的计算过程中需要使用平方根运算，如果使用计算器进行计算，请确保计算器具有平方根运算功能。
总之,海伦公式是一个简单而有效的三角形面积计算
公式，可以被广泛应用于数学、几何、工程等领域。
海伦公式在中考中的运用
海伦公式在中考中的运用
海伦公式是用来计算三角形面积的公式，它可以在中考中被用来
求解各种求面积的问题。
海伦公式的表达式为：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中S表示三角形的面积，a、b、c分别表示三角形的三条边，p 表示三角形的半周长，即p=(a+b+c)/2。
在中考中，海伦公式可以被应用于各种求三角形面积的题目，如
计算等腰三角形、直角三角形、等边三角形、不规则三角形等的面积。
学生可以通过海伦公式来快速准确地计算三角形的面积，从而解决各
种相关问题。
除了在中考中用来计算三角形的面积外，海伦公式还可以被应用
于其他一些有关三角形的问题，如判断三角形的形状、性质，以及解
决与三角形相关的实际问题等。
总之，海伦公式在中考中的运用范围广泛，对于解决各种三角形
面积相关的问题起着重要的作用。
因此，在复习数学时，学生需要充
分理解和掌握海伦公式的运用方法，以便顺利解决相关问题。
海伦公式及婆罗摩笈多公式
海伦公式及婆罗摩笈多公式一、海伦公式：⊿ABC 三边分别为a ，b ，c ，半周长2c b a p ++=，则三角形面积 ))()((c p b p a p p S ABC ---=∆证明：由余弦定理得 C ab b a c cos 2222-+= 22222222222)2()2(16)2()2(121cos 121sin 21abc b a ab ab ab c b a ab C ab C ab S -+-=-+-=-==16)2)(2(16)()2(22222222222c b a ab c b a ab c b a ab -+++--=-+-= )2)(2)(2)(2(16)))(()((2222c b a c c b a b c b a a c b a c b a b a c ++-++-++-++=-+--=))()((c p b p a p p ---=二、婆罗摩笈多公式：可表为两个完全平方数和的两数之积仍可表为两完全平方数和。
即222222)()())((bd ac bd ac d c b a ++-=++说明：欧拉在研究此公式时，意识到公式博大精深的含义，通过推导，得出：两个可表为四平方的数之积仍可用四个整数的平方和表示，为证明自然数可表为四个整数的平方和找到了重大的突破口。
三、婆罗摩笈多公式：圆内接四边形ABCD 的边分别为a ，b ，c ，d ，半周长2d c b a p +++=,则四边形面积))()()((d p c p b p a p S ABCD ----=证明：内接四边形ABCD 知A+C=180oC cd ab A cd C ab S S S ABD BCD ABCD sin )(21sin 21sin 21+=+=+=∆∆ 由余弦定理得 C ab b a BD cos 2222-+=A cd d c BD cos 2222-+==C cd d c cos 222++C ab b a cos 222-+=C cd d c cos 222++)(2cos 2222cd ab d c b a C +--+= 222222))(2(1)(21cos 1)(21sin )(21cd ab d c b a cd ab C cd ab C cd ab S ABCD +--+-+=-+=+=16)()22())(2()2()422(2222222222222d c b a cd ab cd ab d c b a cd ab cd ab --+-+=+--++-+=))()()((d p c p b p a p ----=。
三角形的海伦公式
三角形的海伦公式三角形是几何学中最基本的图形之一，由三条边所围成。
求解三角形的面积是几何学的重要问题之一，而海伦公式就是一种常用的方法。
海伦公式是由古希腊数学家海伦提出的，用于求解已知三角形三边长度的情况下的面积。
该公式的形式可表示为：S = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]其中，S代表三角形的面积，a、b、c分别代表三角形的三边长度，s为半周长，即s = (a + b + c)/2。
海伦公式的用途非常广泛，不仅可以用于求解普通三角形的面积，还可以应用于特殊情况的计算，例如等边三角形和直角三角形。
下面通过几个例子来说明海伦公式的使用方法。
例一：已知一个三角形的边长分别为a = 3 cm，b = 4 cm，c = 5 cm，求其面积S。
首先计算半周长s：s = (a + b + c)/2 = (3 + 4 + 5)/2 = 12/2 = 6 cm然后代入海伦公式进行计算：S = √[6(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5)] = √[6 * 3 * 2 * 1] = √[36] = 6 cm²所以，该三角形的面积为6平方厘米。
例二：已知一个等边三角形的边长为a = 6 cm，求其面积S。
由于等边三角形的三边长度相等，可以省略半周长的计算，直接代入海伦公式进行计算：S = √[s(s - a)(s - a)(s - a)] = √[3(3 - 6)(3 - 6)(3 - 6)] = √[3 * (-3) * (-3) * (-3)] = √[27] = 3√3 cm²所以，该等边三角形的面积为3√3平方厘米。
例三：已知一个直角三角形的两条直角边长度分别为a = 3 cm，b = 4 cm，求其面积S。
同样进行半周长的计算：s = (a + b + c)/2 = (3 + 4 + 5)/2 = 12/2 = 6 cm代入海伦公式进行计算：S = √[6(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5)] = √[6 * 3 * 2 * 1] = √[36] = 6 cm²所以，该直角三角形的面积为6平方厘米。
海伦公式
海伦公式用已知三边求三角形面积如果已知三角形三边的长度，便可以用有二千年历史的公式来求三角形的面积。
这个公式叫"海伦公式"，由亚历山大里亚的希罗发现（如下）只需要两步：一、求"s"（周长的一半）：二、求面积：例子：每边长度为5 的三角形的面积是多大？一、s = (5+5+5)/2 = 7.5二、A = √(7.5 × 2.5 × 2.5 × 2.5) = √(117.1875) =10.825……海伦公式（Heron's formula或Hero's formula），又译希罗公式[1]、希伦公式、海龙公式，亦称“海伦-秦九韶公式”。
此公式是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica》中找到其证明，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
亦有认为早于阿基米德已经懂得这条公式，而由于《Metrica》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作。
[2]假设有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由以下公式求得：中国南宋末年数学家秦九韶发现或知道等价的公式，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。
“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。
”若以大斜记为a，中斜记为b，小斜记为c，秦九韶的方法相当于下面的一般公式：像中国古代的数学家一样，他的方法没有证明。
根据现代数学家吴文俊的研究，秦九韶公式可由出入相补原理得出。
一些中国学者将这个公式称为秦九韶公式。
由于任何n边的多边形都可以分区成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
用海伦公式计算三角形面积
计算三角形面积的海伦公式
海伦公式：s=sqrt(p*(p-a)(p-b)(p-c))
假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：s=sqrt(p*(p-a)(p-b)(p-c))
而公式里的p为半周长（周长的一半）：p=1/2(a+b+c)
扩展资料：
一般来讲仅用四边长无法表达某个四边形面积（某些特例除外），必须添加某些条件，比如角、对角线等。
海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便的求出面积。
比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
海伦公式坐标求三角形面积
海伦公式坐标求三角形面积
海伦公式是求三角形面积的一种常用方法。
其公式为：S=√
[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中S表示三角形的面积，a、b、c分别表示三角形的三边长度，p表示半周长，即p=(a+b+c)/2。
要使用海伦公式求三角形面积，需要先确定三角形的三个顶点的坐标。
假设三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则可以按照以下步骤进行计算：
1. 计算三边长度a、b、c。
可以使用勾股定理或距离公式求出。
2. 计算半周长p=(a+b+c)/2。
3. 根据海伦公式，计算三角形面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]。
4. 输出结果。
使用海伦公式求三角形面积时，需要注意的是，三个顶点的坐标必须按照同一方向排列，否则会得到负面积。
此外，如果三条边的长度无法构成一个三角形，计算结果将为0。
- 1 -。
海伦公式求内切圆半径
海伦公式求内切圆半径
海伦公式是一种通过三角形的三边长度来求解其面积的公式，其
具体公式如下：
$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
其中，$a,b,c$ 为三角形的三边长度，$p$ 为三角形的半周长，
即 $p = \dfrac{a+b+c}{2}$。
对于一个内切圆来说，其半径可以通过三角形的三边长度来求解。
首先我们需要知道以下性质：
内切圆的半径 $r$ 等于三角形面积 $S$ 与半周长 $p$ 的比值，
即 $r = \dfrac{S}{p}$。
因此，我们可以将海伦公式中求得的三角形面积代入，得到内切
圆半径 $r$ 的公式如下：
$$r = \dfrac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p} =
\dfrac{\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}$$
其中，$a,b,c$ 是三角形的三边长度，$p$ 是半周长，$r$ 是内
切圆半径。
需要注意的是，该公式只适用于三角形存在内切圆的情况，即三
条边能够完全包围内切圆。
如果三角形不存在内切圆，则此公式无法
求解。
三角形海伦面积公式证明
三角形海伦面积公式证明海伦公式是用来计算任意三角形面积的公式，它得名于古希腊数学家海伦（Heron）。
公式的完整表达式为：海伦公式：设三角形的三边长度分别为a、b、c，则其面积S可通过以下公式计算：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，s是半周长，定义为s=(a+b+c)/2。
为了证明这个公式，我们可以运用三角形面积公式和勾股定理。
下面是证明的过程：证明：设三角形的三边长度分别为a、b、c，将其对应的顶点标记为A、B、C。
首先，我们假设三角形是一个锐角三角形（对于直角和钝角三角形的证明过程类似）。
根据三角形面积公式，可以用三角形的底边和高表示面积。
我们可以假设底边是边a，那么将底边上的点记为P，垂直于底边的高记为h。
因此，三角形的面积可以表示为：S = （1/2）*a*h。
根据勾股定理，我们可以得到以下关系：b² = (a-h)² + c²c² = (a-h)² + b²将上面两个式子联立，并合并整理得到：b² + c² = 2a² - 2ah + h² ➡️ 2ah = 2a² - b² - c² + h²然后，我们将右边的式子代入到面积公式中：S = (1/2) * a * h= (1/4) * a * (2a² - b² - c² + h²)= (1/4) * (2a³ - ab² - ac² + ah²)根据勾股定理中的关系式b² + c² = 2a² - 2ah + h²，我们得到h² = 2a² - b² - c²，代入上面的式子中可以继续简化得到：S = (1/4) * (2a³ - ab² - ac² + ah²)= (1/4) * (2a³ - ab² - ac² + a(2a² - b² - c²))= (1/4) * (2a³ - ab² - ac² + 2a³ - ab² - ac²)= (1/4) * (4a³ - 2ab² - 2ac²)= (1/4) * 2a (a² - b² - c² + 2ab + 2ac)= 1/2 * a (a + b)(a + c) - a²(b + c) + 1/4 * a(b + c)(b + c - a)= 1/4 * (a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c)由于三角形是个锐角三角形，所以(a + b + c) > 2c，(a + b - c) > 0，(a - b + c) > 0，(-a + b + c) > 0。
海伦公式秒杀题目
海伦公式：一什么是海伦公式
海伦公式（Heron's Formula）是古希腊数学家海伦（Heron）提出的一种求三角形面积的公式。
它是一个简单的公式，可以用来计算三角形的面积，而不需要求出三角形的任何内角。
二、海伦公式的原理
海伦公式是基于三角形外接圆的原理推导出来的。
当三角形的三条边确定时，它的外接圆也就确定了，因此三角形的面积也就可以通过外接圆的半径来计算。
三、海伦公式的公式
海伦公式的公式如下：
S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
其中，S表示三角形的面积，p表示三角形的半周长，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度。
四、海伦公式的应用
海伦公式是一个简单的公式，可以用来计算三角形的面积，而不需要求出三角形的任何内角。
它可以用来解决很多三角形面积计算问题，如求三角形的面积、求多边形的面积等。
此外，它还可以用来计算圆形面积，因为圆形面积也可以用外接圆的半径来计算。
三角形体积海伦公式
三角形体积海伦公式
三角形的面积可以通过海伦公式来计算。
海伦公式是根据三角形的三条边的长度来计算其面积的公式。
公式如下：
面积= √(s(s-a)(s-b)(s-c))
其中，s是半周长，即s = (a + b + c) / 2，a、b、c分别是三角形的三条边的长度。
海伦公式可以应用于任意形状的三角形，无论是等边三角形、等腰三角形还是一般三角形，都适用。
通过海伦公式，我们可以计算出三角形的面积，从而了解其体积。
然而，需要注意的是，体积是三维空间中的概念，而三角形是二维图形，没有体积这一概念。
所以，海伦公式通常用于计算三角形的面积，而不是体积。
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海伦公式我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2 ——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
编辑本段证明过程证明（1）与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。
所以他们想到了三角形的三条边。
如果这样做求三角形的面积也就方便多了。
但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。
“术”即方法。
三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。
相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。
以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 当P=1时，△2=q, △=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 因式分解得△^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得：S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a. 根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。
如下题：已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积这里用海伦公式的推广S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）代入解得s=8√ 3证明（3）在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c O为其内切圆圆心，r 为其内切圆半径，p为其半周长有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 ∴r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 =ptanA/2tanB/2tanC/2 =r ∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3 ∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2) =p(p-a)(p-b)(p-c) ∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)证明（4）通过正弦定理:和余弦定理的结合证明(具体可以参考证明方法1)编辑本段推广关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△ABC 中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c)/2,则S△ABC =1/2 aha =1/2 ab×sinC = r p = 2R^2sinAsinBsinC = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△abc中，a、b、c分别为角a、b、c的对边，ha为a 边上的高，r、r分别为△abc外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则s △abc = aha= ab×sinc = r p = 2r2sinasinbsinc = = 其中，s△abc = 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、海伦公式的变形s= = ①= ②= ③= ④= ⑤二、海伦公式的证明证一勾股定理分析：先从三角形最基本的计算公式s△abc = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥bc，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴s△abc =aha= a×= 此时s△abc为变形④，故得证。
证二：斯氏定理分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△abc边bc上任取一点d，若bd=u，dc=v,ad=t.则t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ha 2 = t 2 = －∴s△abc = aha = a ×= 此时为s△abc的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理分析：由变形②s = 可知，运用余弦定理c2 = a2 + b2 －2abcosc 对其进行证明。
证明：要证明s = 则要证s = = = ab×sinc 此时s = ab×sinc为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式分析：考虑运用s△abc =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠a+∠b+∠c =180○那么tg ·tg + tg ·tg + tg ·tg = 1 证明：如图，tg = ①tg = ②tg = ③根据恒等式，得：+ + = ①②③代入，得：∴r2(x+y+z) = xyz ④如图可知：a+b－c = (x+z)+(x+y)－(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入④，得：r 2 ·= 两边同乘以，得：r 2 ·= 两边开方，得：r ·= 左边r ·= r·p= s△abc 右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = ×y ①同理r = ×z ②r = ×x ③①×②×③,得：r3 = ×xyz编辑本段海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、海伦公式的证明证一：勾股定理如右图勾股定理证明海伦公式。
证二：斯氏定理如右图。
证三：余弦定理斯氏定理证明海伦公式分析：由变形②S = 可知，运用余弦定理c^2 = a^2 + b^2 －2abcosC 对其进行证明。
证明：要证明S = 则要证S = ab×sinC 此时S = (ab ×sinC)/2为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式恒等式证明(1)恒等式证明(2)证五：半角定理∵由证一，x = = －c = p－c y = = －a = p－a z = = －b = p－b ∴r3 = ∴r = ∴S△ABC = r·p = 故得证。
二、海伦公式的推广由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。
由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形= 现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长DA，CB交于点E。
设EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180°∠2+∠3 =180°∴∠1 =∠3 ∴△EAB≌△ECD ∴= = = 解得：e = ① f = ②由于S四边形ABCD = S△EAB 将①，②跟b = 代入公式变形④，得到：∴S四边形ABCD = 所以，海伦公式的推广得证。
编辑本段例题：C语言版：如图四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2. 求：四边形可能为等腰梯形。
解：设BC = x 由海伦公式的推广，得：(4－x)(2+x)2 =27 x4－12x2－16x+27 = 0 x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0 (x－1)(x3+x2－11x－27) = 0 x = 1或x3+x2－11x－27 = 0 当x = 1时，AD = BC = 1 ∴四边形可能为等腰梯形。