二维形式的柯西不等式大全
二维柯西不等式
变式3:
若2x 3 y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1, acur urbd ur ur (4)柯西不等式的向量形式 .
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论. 若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了.
例3 : 求函数y x 1 10 x的最大值.
变式1 :求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
变式 2:已知 4 x2 9 y2 =36,求 x 2 y 的最大值.
3.若2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值,并求最小值点.
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量ar a,b,
r
ur r
c, d , 与 之间的夹角为 .
y
O
x
(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
设r
r
, 为平面上的两个向量, 则
ur ur ur ur
二维形式的柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2
你能证 明吗？
当且仅当ad =bc时,等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式: (1) a2 b2 c2 d 2 ac bd (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
| g || || |
其中等号当且仅当两个向量共线时成立.
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式讲义含解析新人教A选修4_5_
一二维形式的柯西不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d为非负实数)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．[注意] 柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.3．二维形式的三角不等式(1)定理3：x21＋y21＋x22＋y22≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2(x1，y1，x2，y2∈R)．当且仅当三点P1，P2与O共线，并且P1，P2点在原点O异侧时，等号成立．(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有(x1－x3)2＋(y1－y3)2＋(x2－x3)2＋(y2－y3)2≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2.事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立．[例1] 已知θ为锐角，a ，b ∈R ＋，求证：a2cos2θ＋b2sin2θ≥(a ＋b )2.[思路点拨] 可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1＝sin 2θ＋cos 2θ”，然后用柯西不等式证明．[证明] ∵a2cos2θ＋b2sin2θ＝⎝⎛⎭⎪⎫a2cos2θ＋b2sin2θ(cos 2θ＋sin 2θ)≥⎝⎛⎭⎪⎫a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ2＝(a ＋b )2，∴(a ＋b )2≤a2cos2θ＋b2sin2θ.利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造成柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数．求证：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a1b1＋a2b2≥(a 1＋a 2)2.证明：∵(a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎪⎫a1b1＋a2b2＝[(a1b1)2＋(a2b2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a1b12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a2b22 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a1b1·a1b1＋a2b2·a2b22＝(a 1＋a 2)2. ∴原不等式成立． 2．设a ，b ，c 为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥ 2(a ＋b ＋c )． 证明：由柯西不等式，得 a2＋b2·12＋12≥a ＋b ， 即2·a2＋b2≥a ＋b . 同理：2·b2＋c2≥b ＋c ， 2·a2＋c2≥a ＋c ， 将上面三个同向不等式相加得：2()a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥2(a ＋b ＋c ) ∴ a2＋b2＋ b2＋c2＋a2＋c2≥ 2(a ＋b ＋c )． 3．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2.求证：a22－a ＋b22－b ≥2.证明：根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫a22－a ＋b22－b＝[(2－a)2＋(2－b)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a ·a2－a ＋2－b ·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4.∴a22－a ＋b22－b ≥4(2－a)＋(2－b)＝2. ∴原不等式成立.[例2] 求函数y ＝3sin α＋4cos α的最大值．[思路点拨] 函数的解析式是两部分的和，若能化为ac ＋bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值．[解] 由柯西不等式得(3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin 2α＋cos 2α)＝25， ∴3sin α＋4cos α≤5.当且仅当sin α3＝cos α4>0即sin α＝35，cos α＝45时取等号，即函数的最大值为5.利用柯西不等式求最值的注意点(1)变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以利用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．4．已知2x 2＋y 2＝1，求2x ＋y 的最大值．解：∵2x ＋y ＝2×2x ＋1×y ≤(2)2＋12×(2x)2＋y2＝3×2x2＋y2＝3，当且仅当x ＝y ＝33时取等号． ∴2x ＋y 的最大值为 3.5．求函数y ＝x2－2x ＋3＋x2－6x ＋14的最小值． 解：y ＝(x －1)2＋2＋(3－x)2＋5，y 2＝(x －1)2＋2＋(3－x )2＋5＋2×[(x －1)2＋2][(3－x)2＋5]≥(x －1)2＋2＋(3－x )2＋5＋2×[(x －1)(3－x )＋10]＝[(x －1)＋(3－x )]2＋(7＋210)＝11＋210.当且仅当x －13－x ＝25，即x ＝32＋52＋5时等号成立．此时y min ＝11＋210＝10＋1.1．已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的大小关系是( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥QD ．P ＞Q解析：选A 设m ＝(a x ，b y )，n ＝(a ，b)， 则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m ||n |＝(ax)2＋(by)2·(a)2＋(b)2＝ax2＋by2·a ＋b ＝ ax2＋by2， ∴(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2，即P ≤Q .2．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( ) A ．[－25，2 5 ] B ．[－210，210 ]C ．[－10，10 ]D ．(－5，5)解析：选A (a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2， ∵a 2＋b 2＝10， ∴(a －b )2≤20. ∴－25≤a －b ≤2 5.3．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65 C.2536D.3625解析：选B (2x 2＋3y 2)[(3)2＋(2)2]≥(6x ＋6y )2＝[6(x ＋y )]2＝6， 当且仅当x ＝35，y ＝25时取等号，即2x 2＋3y 2≥65.故2x 2＋3y 2的最小值为65.4．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C ．3D ．5解析：选B 根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x)2＝5，当且仅当x ＝265时取等号．5．设xy >0，则⎝⎛⎭⎪⎫x2＋4y2⎝ ⎛⎭⎪⎫y2＋1x2的最小值为________．解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋y2≥x ·1x ＋2y ·y 2＝9，当且仅当xy ＝2时取等号． 答案：96．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为________，此时b ＝________. 解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b |≤|a |·|b |， ∴|a ·b |≤(－2)2＋12＋22×6＝18， 当且仅当存在实数k ， 使a ＝kb 时，等号成立． ∴－18≤a ·b ≤18， ∴a ·b 的最小值为－18， 此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)． 答案：－18 (4，－2，－4)7．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________． 解析：由柯西不等式得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝(3x 2＋2y 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12≤6×116＝11，当且仅当x ＝411，y ＝311时取等号，故P ＝2x ＋y 的最大值为11. 答案：118．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝2.求证：1x ＋1y ≥2.证明：1x ＋1y ＝12(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝12[ (x)2＋(y)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2 ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫x · 1x ＋y ·1y 2＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xy＝y x ，x ＋y ＝2时等号成立，此时x ＝1，y ＝1.所以1x ＋1y≥2.9．若x 2＋4y 2＝5，求x ＋y 的最大值及此时x ，y 的值． 解：由柯西不等式得[x 2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122≥(x ＋y )2，即(x ＋y )2≤5×54＝254，x ＋y ≤52.当且仅当x 1＝2y12，即x ＝4y 时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4y2＝5，x ＝4y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－12(舍去)．∴x ＋y 的最大值为52，此时x ＝2，y ＝12.10．求函数f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin2x 的最大值，并求出相应的x 的值． 解：设m ＝(3,4)，n ＝(cos x ，1＋sin2x)， 则f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin2x ＝|m ·n |≤|m |·|n |＝cos2x ＋1＋sin2x ·32＋42 ＝52，当且仅当m ∥n 时，上式取“＝”．此时，3 1＋sin2x－4cos x＝0.解得sin x＝75，cos x＝325.故当sin x＝75，cos x＝325时．f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x取最大值5 2.。
柯西不等式
1 x1
x1
x2
2
2
1 x2
x2
2
xn
2
1 xn
xn
2
1 n 1
) x2
2
证明 : ( n 1 ) (
1 x1
1 x2
1 xn x1
2
(1 x 1 1 x 2 1 x n ) ( xn 1 xn
2
1 x1
2 2 2 2 2 2
(1 a 1 1 a 2 1 a n )
2 2 2
2
n(a1 a 2 a n ) (a1 a 2 a n )
1 n (a1 a 2 a n ) a1 a 2 a n
2 2 2 2
2
x 1 y1 2 ( x 1 x 2 y1 y 2 ) x 2 y 2 x 1 2 x1 x 2 x 2 y1 2 y1 y 2 y 2 (x 1 x 2 ) ( y 1 y 2 )
x 1 y1
2 2
2
2
2
2
2
2
2
x2 y2
构造二次函数 f ( x ) ( a 1 a 2 a n ) x 2 ( a 1 b1 a 2 b 2 a n b n ) x
2 2 2 2
( b1 b 2 b n )
2 2 2
又 f ( x ) ( a 1 x b1 ) ( a 2 x b 2 ) ( a n x b n ) 0
1 x
4 y
(完整版)柯西不等式
柯西不等式1☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义; 2. 会证明二维柯西不等式及向量形式 ☻知识情景：1. 定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.当0,0a b >>时，由222a b ab +≥⇒基本不等式：2. 如果,,,a b c d R ∈, 那么222a b ab +≥，222c d cd +≥⇒2222()()a b c d ++≥ 另一方面，有22222()2ac bd a c b d abcd +=++≥问题：2222()()a b c d ++2()ac bd + ???☻新知建构：1. 柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd +++.当且仅当 时, 等号成立.此即二维形式的柯西不等式.证法10.（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd =++当且仅当 时, 等号成立. 证法20.（构造法） 分析：22222()()()ac bd a b c d +++⇐22222[2()]4()()0ac bd a b c d +-++而22222[2()]4()()ac bd a b c d +-++的结构特征 那么， 证：设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，∵ 22()()()f x ax c bx d =-+- 0 恒成立.∴ . 得证.证法30.（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =， 则||m =，||n =.∵ m n ⋅=，且><⋅⋅=⋅n m n m n m ,cos ||||，有||||||n m n m ⋅⋅.∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式：变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+ 或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，；变式30. 若1122,,,x y x y R ∈，几何意义:3. 二维柯西不等式的应用： 4422332 ,()()()1a b a b a b a b ++≥+已知为实数,证明例*11,,b 1,42a b R a a b∈+=+≥设求证例3y =求函数例例4 22231,49,x y x y +=+若求的最小值并求最小值点.{222222222:(49)(11)(23)1,149.22131,23.12341231611149,(,)246x y x y x y x y x y x x y x y y x y ++≥+=∴+≥⋅=⋅=⎧=⎪=⎨+==⎪⎩∴+解由柯西不等式当且仅当即时取等号由得的最小值为最小值点为选修4-5练习221.,,10,( )a b R a b a b ∈+=-若且则的取值范围是A.⎡⎣.B ⎡-⎣.C ⎡⎣.D ⎡⎣.222.1,23( )x y x y +=+已知那么的最小值是 562536A. . . .63625B C D3.______y =函数224,,326,2______x y x y P x y +≤=+设实数满足则的最大值是22115.1,()()______a b a b a b+=+++若则的最小值是1．A 2、B 3．3 4． 5．2526、 求函数y =7、已知321x y +=，求22x y +的最小值.8、若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 9、已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值. 10、若>b >，求证：ca cb b a -≥-+-411.11、 已知点()000,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()220A +B ≠ 用柯西不等式推导点到直线的距离公式12、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
第三讲柯西不等式的基本方法与排序不等式(柯西不等式的一般形式)
作业:P41
2、 4、 5、 6
问题:已知A、B都是锐角, 且cosA+cosB-cos(A+B)=
2 3
,
求A、B的值
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或
bi≠0(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,
等号成立.
a1 a 2 = = b1 b2
an = bb
问题：已知a1 ,a 2 , a n ∈ R +，求证 n 1 1 + + a1 a 2 a1 + a 2 + ≤ 1 n + an + an
使得ai=kbi(i=1 ,2 ,3 , … ,n)时,等号成立.
注:简记;积和方不大于方和积
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
定理:设a1,a2 ,a3 , … ,an ,b1 ,b2 ,b3 , …,bn 是实数,则
2 2 2 2 2 3 2 2 (a1 +a2 +a + +a )(b + b + b + + b ) (a b +a b + +a b ) 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 2 n n
当且仅当bi=0(i=1 ,2 ,3 , …,n)或存在一个数k
+a
3.1二维形式的柯西不等式 课件人教版选修4-5
| m n || m | | n |
ac bd a b c d
2 2 2 2
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || | | |
设α,β是两个向量,则 当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
观 察
y
P1(x1,y1)
(a b) (c d ) ( ac bd ) (a, b, c, d为非负实数）。
2
向量形式： m (a, b), n (c, d )
m n | m | | n | cos m n ac bd | m | | n | a b
2 2 2
c d | m n || m | | n | | cos || m | | n |
y P1(x1,y1) 0
0
P2(x2,y2) x
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
定理３（二维形式的三角不等式） 设 x , y , x , y R ，那么 1 2 1 2
1 1 4 a b
注意应用公式： 1 1 ( a b )( ) 4 a b
练习：
1.已知2x 3 y 6,
2 2
求证x 2 y 11 2.已知a b 1,
2 2
求证|a cos b sin | 1
作业
第37页,第1,5,6题
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
二维形式的柯西不等式课件
柯西不等式与 排序不等式
一 二维形式的 柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）: 若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
你能证明吗？
推论
a2 b2 c2 d 2 ac bd a2 b2 c2 d 2 ac | Байду номын сангаас bd (a b) (c d) ( ac bd )2 (a,b, c, d为非负实数）。
D. 5, 5
2.已知x y 1, 那么2x2 3 y2的最小值是( B )
5
6
25
A.
B.
C.
6
5
36
36 D.
25
3.函数y 2 1 x 2x 1的最大值为__3____
4.设实数x, y满足3x2 2 y2 6,则P 2x y的最大
值 是 ___1_1__
5. 求函数 y 2 1 x 2x 1 的最大值.
定理３（二维形式的三角不等式）
设
x1,
y, 1
x
,
2
y 2
R
，那么
x12 y12 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
练习1
1.若a, b R, 且a2 b2 10,则a b的取值范围是(A )
A. - 2 5,2 5
B. 2 10,2 10
C. 10, 10
定理2: （柯西不等式的向量形式）
| || || |
设α,β是两个向量,则
当且仅当β是零向量,或存在实数k, 使α=kβ时,等号成立.
观y 察
0
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1)
柯西不等式习题
柯西不等式教学题库大全一、 二维形式的柯西不等式2 2 2 2 2(a +b)(c + d )^(ac+bd) (a,b,c,d^R,当且仅当ad = be 时,等号成立 .)二、 二维形式的柯西不等式的变式(I) Ua?+/ c 2 +d 2 兰 ac +bd (a , b, c,∈ R ,当且仅当 ad = be 时,等号成立 .)(2)y ∣a 2 +b 2 +d ?兰 ac + bd (a , b , c, ∈ R ,当且仅当 ad = bc 时，等号成立.)(3)(a ■ b)(c ■ d) _ (ac ∙ ∙. bd )2(a , b , c , d _ 0 ,当且仅当 ad = bc 时，等号成立 .)二、二维形式的柯西不等式的向量形式借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如说吧，对 a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。
基本方法 (1)巧拆常数：例3、若a > b > c 求证: (4)添项:ab C 3 例 4: a, b,c 二 R 求证：b+cc+aa+b2【1】、设a~=(—2,1,2), b =6 ,贝U a ∙b 之最小值为 __________ ；此时b = ___________ 。
答案：一18； (4,—2 —)解析：a∙b兰 a ∣b /. a b ≤18 二 一18 兰 a b 兰 18a b 之最小值为-18，此时b = -2a = (4,—2,—4)【2】 设 a = (1，0，- 2)， b = (x ，y ，z)，若 x 2 y 2 Z = 16，则 a b 的最大值为 ［解］a= (1，0，- 2)，b = (x ，y ，Z) / a ∙b= X - 2z由柯西不等式［12 ■ 0 ■ (- 2)2］(x 2 ■ y 2 ■ z 2) - (X 0 - 2z)2=■ 5 16 - (X - 2z)2 =- 4.5_ X 一 4、5=■ - 4 I 5 _ a . b 一 4 5 ， 故a . b 的最大值为4衣-K. —K.［3］空间二向量a = (1,2, 3)，b =(x, y, z)，已知b = 56 ,则(1) a b 的最大值为多少？ (2)此时b = ?Ans : (1) 28: (2) (2,4,6)或存在实数 k ,使〉=k :时,等号成立.)例1：设a 、b 、C 为正数且各不相等。
柯西不等式记忆方法
柯西不等式记忆方法
柯西不等式的记忆方法有多种，其中一种比较形象的方法是“双手记忆法”。
伸出你的左手和右手，把左手的每个手指看作a的系数，右手手指看作b的系数。
然后，将左手手指与对应的右手手指重叠，大拇指、食指等都是重叠的，分别代表了a和b的系数。
由于两只手合并起来了，所以整体要乘以二次方。
此外，柯西不等式的记忆还可以通过代数形式来记忆：
1. 二维形式：设a和b为实数，有(a^2+b^2)(x^2+y^2)≥(ax+by)^2，
当且仅当ad=bc时取等号。
2. 多维形式：假设A、B分别是实m×n矩阵和n×p矩阵，那么不等式
AX≤BX对一切非零向量X成立当且仅当矩阵A和B是合同的。
此外，还有构造法证明、记忆技巧等其他方法。
建议根据自己的学习习惯选择合适的方法进行记忆。
二维形式的柯西不等式课件
又 x∈
π
0,
2
,所以 sin x=
7
5
7
.
5
故当 sin x= 时,函数 f(x)取最大值为 5 2.
(2)证明：因为 2 + 1 + 3 + 2 = 2 · +
2
3
+ ,所以设 m=( 2, 3),n=
1
2
+ , +
1
2
2
=1,则
x
+2y
的最小值为
2
1
1
1
1
+
≥x·
+
2y·
=1+ 2,
2 2
+
即 x2+2y2 的最小值为 2+1.
正解 x2+2y2=(x2+2y2)
1 2
2· =(1+
2
2
1
2
+
1
2
1
2
1
1
= ,且 2 + 2 =1,即
≥ · +
2)2=3+2 2,当且仅当
x2= 2+1,y 2= +1 时,等号成立,即 x2+2y2 的最小值为 3+2 2.
2
3
1
+
2
3·
,
所以 2 + 1 + 3 + 2=m·n.
由柯西不等式的向量形式可得|m·n|≤|m||n|,则 2 + 1 +
二维形式的柯西不等式
变形，使之出现
条件中的表达式或表达式的倍数
例3.设x 0, y 0,且x y 2, x2 y2 的最小值。 2x 2 y
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a,b,c,d 都 是实数 ,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. ⑵若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
11
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习：P36 第1，3，4
课外思考:
已知 a 1 b2 b 1 a2 1, 求证： a2 b2 1 .
证明：由柯西不等式，得
a 1 b2 b 1 a2 ≤ a2 1 a2 b2 1 b2 1
这两个结论也是非常有用的.
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.2 5 变式 1.已知 4 x2 9 y2 36 ,求 x 2 y 的最大值.2 5 变式 2.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 y2 的最小值. 2 变式 3.已知 3x 2 y 6 ,求 x2 2 y2 的最小值. 36
3y 3y
得 1
x y
1 4 1 6
二维形式的柯西不等式CP
2
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a x1 x2 b x1 x2
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
设f ( x) x , p, q 0,且p q 1,求证： pf ( x1 ) qf ( x2 ) f ( px1 qx2 )
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1
ab
a
又a b 1,
∴1 1≥4 ab
b 1 )2 4 b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
当且仅当 b 1 b2 时，上式取等号，
1 a2
a
ab 1 a2 1 b2 ,
a2b2 1 a2 1 b2 ,
于是 a2 b2 1 。 注：这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
分析：我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆，9=1 1 12 ，
x2 x3
x3
L
xn1 xn
xn
xn x1
x1
x1 x2 L xn 2 ,
于是
x12 x2
x22 x3
L
x2 n1 xn
xn2 x1
≥
x1
x2 L
xn
.
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题.
思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
一 二维形式的 柯西不等式
定理1（二维形式的柯西不等式）: 若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
柯西不等式及应用
柯西不等式及应用一、二维形式的柯西不等式：22222()()()a b c d ac bd ++≥+(,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；二、二维形式的柯西不等式的变式：bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；2(3)()()a b c d ++≥(,,,0)a b c d ≥，当且仅当ad bc =时取等号；三、n 维形式的柯西不等式：设,(1,2,3,)i i a b i n = 为实数，则22212()n a a a +++ 22212()n b b b +++ 21122()n n a b a b a b ≥+++ ，当且仅当0(1,2,3,)i b i n == 或存在一个实数k ，使得(1,2,3,)i i a kb i n == 时等号成立。
四、二维形式的柯西不等式的向量形式：αβαβ⋅≤ ，当且仅当0β= 或存在实数k ，使k αβ= 时取等号；五、基本方法：利用柯西不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，观察是否符合柯西不等式形式或有相似之处，将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方、换序等方法的处理.六、应用：1、证明恒等式：已知0,1a b ≤≤且1，求证：221a b +=.2、解方程（组）：12(1)x x =++.3、求最值（范围）:若实数x ，y ，z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值.4、证明不等式:已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明： 2223333a b c a b c ++++≥.六、巩固练习：1.已知22223102x y z ++=，则32x y z ++的最小值为 .2. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=，则a 的最大值为 ，最小值为 .3．在实数集内方程组22294862439x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的解为 . 4.设❒ABC 之三边长x ，y ，z 满足20x y z -+=及320x y z +-=，则❒ABC 的最大角的大小是 .5.设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a ⋅之最小值为 ,此时=b .6.设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若22216x y z ++=，则a b ⋅ 的最大值为 .7.空间二向量(1,2,3)a = ，(,,)b x y z =，已知b = a b ⋅ 的最大值为 ,此时b = .8.设a 、b 、c 为正数，则4936()()a b c a b c++++的最小值为 .9.设x ，y ，z ∈ R ，且满足2225x y z ++=，则23x y z ++之最大值为 ，此时(x ，y ，z) = .10.设,,x y z R ∈，22225x y z ++=，则22x y z -+的最大值为 ，最小值为 .11.设622 , , ,=--∈z y x z y x R ，则222z y x ++之最小值为 .12.,,x y z R ∈，226x y z --=，则222x y z ++的最小值为 ，此时x = ，y = ，z = .13.设,,x y z R ∈，2280x y z +++=，则222(1)(2)(3)x y z -+++-之最小值为 .14.设,,x y z R ∈，若332=+-z y x ，则222)1(z y x +-+之最小值为 ，又此时=y15.设,,a b c R +∈且a + b + c = 9，则cb a 1694++之最小值为 . 16.设,,a bc R +∈，且232=++c b a ，则c b a 321++之最小值为 ，此时=a . 17.空间中一向量a 与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为,,αβγ，则γβα222sin 9sin 4sin 1++的最小值为 .18.空间中一向量a 的方向角分别为,,αβγ，则22292516sin sin sin αβγ++的最小值为 . 19.设,,x y z R ∈，若4)2()1(222=+++-z y x ，则z y x 23--之范围为 ；又z y x 23--取最小值时，=x20.设,,x y z R ∈且14)3(5)2(16)1(222=-+++-z y x ，则x y z ++之最大值为 ，最小值为 .21.求2sin sin cos cos θθϕθϕ-的最大值与最小值.22.设a 、b 、c 为正数且各不相等。
二维形式的柯西不等式证明
二维形式的柯西不等式证明柯西不等式是数学中基本的不等式之一，在计算机科学、物理学、统计学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍柯西不等式的二维形式，并给出其证明过程。
柯西不等式的二维形式表述如下：设a1, a2, b1, b2为任意实数，则有：(a1^2+a2^2)×(b1^2+b2^2)≥(a1b1+a2b2)^2其中，等号当且仅当a1b2=a2b1时成立。
下面是柯西不等式的证明过程：首先，我们将(b1, b2)视为一个向量b，(a1, a2)视为一个向量a，则柯西不等式的二维形式可以写成：|a|×|b|×cosθ≥a·b其中，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模，θ表示向量a和向量b之间的夹角，a·b表示向量a和向量b的点积。
接下来，我们将a向量和b向量分别写成坐标形式：a=(a1, a2), b=(b1, b2)则有：|a|×|b|×cosθ=√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ而a·b=a1b1+a2b2因此，柯西不等式的二维形式可以重新写成：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥a1b1+a2b2接下来，我们考虑将右侧的a1b1和a2b2变形，即：(a1b1+a2b2)^2-(a1b2-a2b1)^2这个变形的原理是差平方公式。
然后，我们将这个式子带回到柯西不等式的二维形式中，得到：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥(a1b1+a2b2)^2-(a1b2-a2b1)^2由于(a1b2-a2b1)^2≥0，因此右侧的式子比柯西不等式的右侧更小或相等。
因此，我们得到了柯西不等式的二维形式：√(a1^2+a2^2)×√(b1^2+b2^2)×cosθ≥a1b1+a2b2其中，等号当且仅当a1b2=a2b1时成立。
二维形式的柯西不等式大全
一、复习引入
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式.
如均值不等式:
a1 a2 n
an ≥ n a1a2
an (ai R , i 1, 2 ,
, n) .
本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.
探究一
由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设a,b, c, d都是实数,则比较 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2大小
联想
二维形式的柯西不等式
• 定理1:(二维形式的柯西不等式) 若a,b, c, d都是实数,则(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2 当且仅当ad bc时,等号成立. 证明思路1：(代数证法)
4.若2x 3y 1,求4x2 9 y2的最小值 ,并求最小值点 .
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3 y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3 y 1,即2x 3 y时取等号.
由22
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
(x12 y12 ) (x22 y22 ) ≥ (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
y
P1 (x1 , y1 )
y
证明: (a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 (ac bd)2 (ad bc)2 (ac bd)2
二维形式的柯西不等式
造的,但怎样构造要仔细体
会.(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,(a2+b2)(d2+c2)≥(ad+bc)2,谁与谁组合、
联系,要有一定的认识.
2.柯西不等式取等号的条件
剖析:柯西不等式取等号的条件不易记住,我们可以多方面联系
来记忆,如(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,取等号的条件是“ad=bc”,有点
第三讲 柯西不等式与排序
不等式
一 二维形式的柯
西不等式
学习目标：
1.认识柯西不等式的几种不同形式,理解其几何意义.
2.通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题.
1.对柯西不等式的理解
剖析:柯西不等式的几种形式,都涉及对不等式的理解与记忆,因
此,二维形式的柯西不等式可以理解为四个有顺序的数来对应的一
错等号成立的条件.
题型一
题型二
题型三
正解:构造两组实数 , , , .
∵x,y,a,b∈R+, + = 1,
∴x+y=[( ) +( ) ]·
2
当且仅当 ∶
即 =
2
=
∶
时,等号成立.
∴(x+y)min=( + )2.
,
2
+
2
≥ ( + )2.
(3a+b)2=(a·3+b·1)2≤(a2+b2)(32+12)=10×10=100,即(3a+b)2≤100,
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⑵ 若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .
另外由这两个结论，你和以前学过的什么知识 会有联想.
根据二维形式的柯西不 等式, 容易得出
a 2 b2 c2 d 2
a
2
b 2 c 2 d 2
变式 2.已知 3 x 2 y 6 , 求 x 2 y 2 的最小值. 变式 3.已知 3 x 2 y 6 , 求 x 2 2 y 2 的最小值.
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习
课堂练习 1: 已知 a,b R ， a+b=1, x1 , x2 R ,
证
明
根据柯西不等式，有 (a4+b4)(a2+b2)≥(a2a+b2b)2=(a3+b3)2
反思 在证明不等式时，联系经典不等式， 既可以启发证明思路，又可以简化运算.
例1 已知 a, b 为实数 , 证明
a
4
b
4
a
2
b a b
2 3
3 2
.
分析 虽然 可以作乘法展 开上式的两边 , 然而再比较 它们, 但是如果 注意到这个 不等式的形式与柯西不等 式的一致性 , 就可以避免繁 杂的计算.
证明：因为2x 2 3 y 2 6, 1 4 所以 x 2 y 2 x 3 y 11. 2 3
2 2
因此x 2 y 11.
求特定函数的极值问题
函数 y＝5 x－1＋ 10－2x的最大值为____________． 【思路分析】 将其配凑成柯西不等式的形式， 然后用它求解， 但要注意等号成立的条件．
2 2 3
3 2
.
随堂练习
1.求函数y 3 x 5 4 6 x的最大值.
解：函数定义域为 5， 6，且y 0. y 3 x 5 4 6 x
3
2
4
2
x 5 6 x 5.
2.已知2 x2 3 y2 6, 求证x 2 y 11.
设 (a, b), (c, d ),则 a 2 b 2 , c 2 d 2 ,
ac bd, 利用 ,两边平方后得证.
运用这个定理, 我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b 证明:由于 a , b R ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a b)( ) ≥ ( a b ) 4 a b a b 又 a b 1, 1 1 ∴ ≥4 a b
本例说明 , 在证明 不等式时, 联系经 典不等式, 既可以 启发证明思路, 又 可以简化运算 .所 以, 经典不等式是 数学研究的有力 工具 .
例1中哪4 个数分 别对应柯西不等 式①中的a, b, c, d ?
证明 根据柯西不等式, 有 a 4 b4 a 2 b2
a
2
a b b a b
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都 是实数 , 则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a, b, c, d 都 是实数 , 则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 这两个结论也是非常有用的.
y
P 1 ( x1 , y1 )
y
P 1 ( x1 , y1 )
| y1 - y2 |
O
P2 ( , y2 )
x
这个图中有什么 不等关系?
P 2 ( x2 , y2 )
O
| x1 - x2 |
x
例1 已知a,b为实数。 试证(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3) 分析 虽然可以作乘法展开上式的两 边，然后在比较它们的大小。但如 果注意到不等式的形式与柯西不等 式的一致性，既可以避免繁杂了。
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a
2
x1 x2 b x1 x2
2
= a b x1 x2 x1 x2 .得证 作业:课本 P 习题 3.1 第 1、 3、 7、 8 题
37
用柯西不等式证明不等式
a、b 为非负数，a＋b＝1，x1，x2∈R＋. 求证：(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2 【思路分析】 不等号左边为两个二项式积，a、b 为非负数，
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
( x12 y12 ) ( x22 y22 ) ≥ ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
– 证明思路1：(代数证法)
证明 : (a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) a 2 c 2 b 2 d 2 a 2 d 2 b 2 c 2 (ac bd ) 2 (ad bc ) 2 (ac bd ) 2
– 证明思路2：(构造向量法)
什么时候“=”成立？
补充例题:
2
y)
2
a x
2
b y
2
( x y )min ( a
若 2 x 3 y 1, 求 4 x 2 9 y 2的最小值, 并求最小值点.
解 : 由柯西不等式(4 x 2 9 y 2 )(12 12 ) ( 2 x 3 y )2 1, 1 2 2 4x 9 y . 2 当且仅当2 x 1 3 y 1, 即2 x 3 y时取等号. x 2 x 3 y 由 得 2 x 3 y 1 y
ac bd 2
| ac bd |,
a2 b2 c2 d 2 | a |2 | b |2 | c |2 | d |2 | a || c | | b || d || ac | | bd |.
所以, 对于任何实数 a, b, c, d ,以下不等式成立:
a b c d | ac bd | ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论 .若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了 . 证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 = ax1 bx2 ax2 bx1 由柯西不等式可知
2 2
变式引申:
1 4 1 6
1 1 1 4 x 9 y 的最小值为 , 最小值点为( , ) 2 4 6
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4 x 2 9 y 2 36 , 求 x 2 y 的最大值.
变式 1.已知 4 x 2 9 y 2 36 , 求 x 2 y 的最大值.
【解析】
函数定义域为[1,5]，且 y>0.
∴y＝5· x－1＋ 2· 5－x ≤ 52＋2· x－12＋ 5－x2＝6 3 当且仅当 2· x－1＝5· 5－x， 127 即：x＝ 27 时，函数取最大值 6 3. 【答案】 6 3
已知 a2＋2b2＝6，则 a＋b 的取值范围是____________． 1 2 1 2 【解析】 ∵(a ＋2b )[1 ＋( ) ]≥(1· a＋ 2b· ) ＝(a＋b)2 2 2
你能简明地写出这个定理的证明？
运用这个定理, 我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 思考:设 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b
思考解答
变形
二维形式的柯西不等式 • 定理1:(二维形式的柯西不等式 )
若a, b, c, d都是实数, 则(a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 当且仅当ad bc时, 等号成立.
思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a 2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系 ,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a, b, c, d 为任意实数.
(a b )(c d )
2 2 2 2
联
想
发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式) 2 2 2 2 2 若 a, b, c, d 都是 实数 , 则 (a b )(c d ) ≥ (ac bd ) . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
二维形式的柯西不等式
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式. 如均值不等式: a1 a2 an ≥ n a1a2 an (ai R , i 1, 2, , n) . n 本节, 我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.
a b 例1 已知x, y, a, b R , 且 1, 求x y的最小值 . x y a b 解 : x , y , a , b R , 1, x y
x y ( x) ( ( a 当且仅当 x b )2 b y y b )2 a x ,即 x y a 时取等号. b
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数 , 则 ( x12 y12 )( x22 y22 ) ≥( x1 x2 y1 y2 )2 . 当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.