高等流体力学—理想不可压缩流体无旋运动
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流体力学：第5章 势流理论-上
dW u iv dz
z x iy
dW u2 v2 v V dz
5.2.1 复势与复速度（复平面）
3)复速度的环路积分与速度环量和流量的关系：
l
dw dz dw d id l iQl l l dz
dw l Re l dz
y x
V0
m
2 a
均匀流和源叠加可模拟绕弹形物体的流动。调整源强m和速度V0， 改变流线的形状。
5.4.1 均匀流和点源的叠加 流场中压力分布
p ( p0 1 2 1 v0 ) V 2 2 2
压力系数
V 2 p p0 cp 1 v2 1 2 0 v0 2
y
V V0e
i
u V0 cos , v V0 sin
o
平板
V0
u d x v d y V0 x cos V0 y sin
v d x u d y V0 x sin V0 y cos
x
W ( z) V0 z cos iV0 z sin V0 ze i
( R )
v
p
F
奇点叠加法；保角变换法（平面流）。 数值解：复杂边界问题。
CFD — Computational Fluid Dynamics
5.2 复势（complex potential ）
借助复变函数数学工具解平面势流问题。
平面势流:φ和ψ都是调和函数， 2 0, 2 0，且满足
5-4
W ( z ) (1 i ) z
补充题:已知复势为:
z 1) w ( z ) (1 i ) ln z4
z x iy
dW u2 v2 v V dz
5.2.1 复势与复速度（复平面）
3)复速度的环路积分与速度环量和流量的关系：
l
dw dz dw d id l iQl l l dz
dw l Re l dz
y x
V0
m
2 a
均匀流和源叠加可模拟绕弹形物体的流动。调整源强m和速度V0， 改变流线的形状。
5.4.1 均匀流和点源的叠加 流场中压力分布
p ( p0 1 2 1 v0 ) V 2 2 2
压力系数
V 2 p p0 cp 1 v2 1 2 0 v0 2
y
V V0e
i
u V0 cos , v V0 sin
o
平板
V0
u d x v d y V0 x cos V0 y sin
v d x u d y V0 x sin V0 y cos
x
W ( z) V0 z cos iV0 z sin V0 ze i
( R )
v
p
F
奇点叠加法；保角变换法（平面流）。 数值解：复杂边界问题。
CFD — Computational Fluid Dynamics
5.2 复势（complex potential ）
借助复变函数数学工具解平面势流问题。
平面势流:φ和ψ都是调和函数， 2 0, 2 0，且满足
5-4
W ( z ) (1 i ) z
补充题:已知复势为:
z 1) w ( z ) (1 i ) ln z4
不可压缩粘性流体动力学基础_OK
uz y
u y z
zx
xz
1 ux 2 z
uz x
（7—3）
14
江汉大学化环学院
流体力学与流体机械
综上所述，可写出表示流体微团运动的基本形式如下：
表示平移的平移速度：u x、u、y u。z
表示线变形的线变形速度（又称线变率）：
x
u x x
y
u y y
z
u z y
表示角变形的角变形速度（又称角变率）：
一、流体微团（Material Elements of Fluid） 流体微团是由大量的流体质点所组成的一个微小质团，它
具有微小的体积，是研究流体运动的一个基本单元。
4
江汉大学化环学院
流体力学与流体机械
流体微团的尺度在微观上足够大，大到能包含大量的 分子，使得在统计平均后能得到其物理量的确定值，质 点的尺度在宏观上又足够小，远小于所研究问题的特征 尺度，使得其平均物理量可看成是均匀的；而且可以把 流体微团看成是几何上的一个点。
dx dy dz
x y z
21
江汉大学化环学院
流体力学与流体机械
在给定瞬时，在漩涡场中任取一个不是涡线的封闭曲线， 通过这条曲线上每一点作一根涡线，这些涡线就构成一个管 状曲面，称为涡管（Vortex Tube）；涡管中充满着作旋涡运 动的流体，称为涡束，或称为元涡（Vortex Filament）。 涡通量（Vortex Flux）或旋涡强度（Intensity of Vorticity），以 J表示。元涡的涡通量为微元涡的断面积和速度涡量（简称涡 量）的乘积，即
y
ux d yd t y
D
C
C
uy
u y y
dy
高等流体力学
概念第一章绪论连续介质：但流体力学研究的是流体的宏观运动，不以分子作为流动的基本单元，而是以流体质点为基本单元，把流场看做是由无数流体质点组成的连续体。
流体质点：流场中一个体积很小并可以忽略其几何尺寸，但与分子相比，这个体积可容纳足够多的分子数目的流体元，有一个稳定的平均特性，即满足大数定律理想流体：忽略流体黏性的流体，即μ=0.可压缩流体与不可压缩流体：简单地讲，密度为常数的流体为不可压缩流体，如水、石油及低速流动的气体。
反之，密度不为常数的流体为可压缩流体。
牛顿流体与非牛顿流体：根据流体流动时切应力与流速梯度之间的关系，即牛顿内摩擦定律。
凡是符合牛顿内摩擦定律的成为牛顿流体，如水、空气、石油等。
否则为非牛顿流体，如污泥、泥石流、生物流体、高分子溶液等动力粘度与运动粘度：动力粘度又成为动力黏度系数，动力黏度是流体固有的属性。
运动粘度又称为运动粘性系数，运动黏性系数则取决于流体的运动状态体积力与表面力：体积力亦称质量力，是一种非接触力，即外立场对流体的作用，且外立场作用于流体每一质点上，如重力、惯性力、离心力。
表面力是一种表面接触力，指流体与流体之间或流体与物体之间的相互作用，主要指压力、切应力、阻力等定常流与非定常流：又称恒定流与非恒定流。
若流场中流体质点的所有运动要素均不随时间变化，则这种流动称为定常流；反之只要有一个运动要素随时间变化则为非定常流大气层分为5层：对流层、同温层、中间层、电离层及外逸层第二章流体运动学描述流体质点的位置、速度及加速度的两种方法，即拉格朗日法和欧拉法质点导数：亦称随体导数，表示流体质点的物理量对时间的变化率，亦即跟随流体质点求导数那布拉P9流体质点的运动轨迹称为迹线流线：此曲线上任一点的切线方向就是该点流速方向依照一定次序经过流场中某一固定点的各个质点连线称为脉线，也叫序线。
流体线：在流场中任意指定的一段线，该段线在运动过程中始终保持由原来那些规定的质点所组成。
理想不可压缩流体的平面势流及旋涡运动
同心圆。当 ，
故源点是奇点，
不讨论。
流函数ψ
由
0
积分
ψ＝const 为流线，即θ=const，流线是 半射线。等φ线与等ψ线正交。
3.点源的压力分布 在源上任取一点与无穷远处写能量方程
将 ， 代入
p
有
P与r成抛物线正比。r
p;r p
r r0
三、点涡
点涡：无限长的直 线涡束所形成的平 面流动。除涡线本 身有旋外涡线外的 流体绕涡线做等速 圆周运动且无旋。
α
L
将矢量 、 分别 表示：
故对封闭周线 L的环量为：
环量是一个标量，它的正负取决 于速度方与线积分的方向。
当速度方向与线积分方向同向时取正， 反向时取负。若是封闭周线，逆时针 为正，顺时针为负。
例：不可压缩流体平面流动的
速度分布为
，
求绕圆
的速度环量。
解：
积分路径在圆上，有
四、斯托克斯定理 斯托克斯定理：任意面积A上的旋
由高数知识可知，柯西—黎曼条件是使 成为某一个函数
全微分的充要条件，即
而当 t 为参变量，
的全微分为
比较两 式有：
柱坐标
把
称为速度势函数简称势函数
无论流体是否可压缩，是否定常 流只要满足无旋条件 ，总有势函数存 在。故理想流体无旋流也称势流。
用势函数表示速度矢量：
2、势函数的性质
1）流线与等势面垂直
3）流函数ψ与势函数φ的关系：
对不可压平面势流，流函数和势函数同时 存在，它们之间关系是
a:
b: 等φ线与等ψ线垂直
前已证明，流线与等势面垂直，
而
的线是流线故等φ
线与等ψ线垂直。
流体力学第七章不可压缩流体动力学基础
第七章不可压缩流体动力学基础在询面的章节中，我们学习了理想流体和粘性流体的流动分析，按照水力学的 观点，求得平均量。
但是，很多问题需要求得更加详细的信息，如流速、压强等 流动参数在二个或三个坐标轴方向上的分布情况。
本章的容介绍流体运动的基本 规律、基本方程、定解条件和解决流体问题的基本方法。
第一节流体微团的运动分析运动方式：①移动或单纯的位移（平移）②旋转③线性变形④角变形。
位移 和旋转可以完全比拟于刚体运动，至于线性变形和脚变形有时统称为变形运动则 是基于液体的易流动性而特有的运动形式，在刚体是没有的。
在直角坐标系中取微小立方体进行研究。
(b)谥.A n(d)一. 平移：如果图（a ）所示的基体各角点的质点速度向量完全相同时，则构成(c)A B(a)A了液体基体的单纯位移，其移动速度为心、®、“,。
基体在运动中可能沿直线也 可能沿曲线运动，但其方位与形状都和原来一样（立方基体各边的长度保持不 变）。
二、 线变形：从图（b ）中可以看出，由于沿y 轴的速度分量，B 点和C 点都比 A 点和D 点大了竺如 而比就代表〃y = l 时液体基体运动时，在单位时间沿勿dyy 轴方向的伸长率。
du x °"、. du : dxdydz三、 角变形（角变形速度）—BIA ■ dp -------------------------------- Jda-0 = dp + 00 =J"些+些k dz. dx四、旋转（旋转角速度）1O = —0 =—21勿du vdx—dx角变形:血 A那么，代入欧拉加速度表达式，得：du r du Tdu r八 八5=说=古叫 云+"卑+"0+-叭巴加、6仇 du Ya v = ----- = — + u v ---------- + U.0, +ii t a ）. -iLCoydt dt dy “'2 …加.du diL q 。
工程流体力学第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动讲解
式的连续性方程
x
vx
y
v y
z
vz
t
0
或
(v) 0
t
连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控
制体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常
流动。
在定常流动中，由于 0 t
x
0
对于不可压缩流体 vr 1 v vz vr 0
r r z r
式中 r 为极径； 为极角
球坐标系中的表示式为:
1 (vrr 2 ) 1 (v sin ) 1 v 0
t r 2 r
r sin
r sin
在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分： 分别为与O点相同的平移速度（平移运动）；绕O点转动在A点 引起的速度（旋转运动）；由于变形（包括线变形和角变形） 在A点引起的速度（变形运动）。
第三节 有旋流动和无旋流动
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两 类：有旋流动和无旋流动。
vx y
2 x
2 y
2 z
前面在流体微团的分析中，已给出E点的速度为 :
vxE
vx
vx x
dx
vx y
dy
vx z
dz
v yE
vy
vy x
dx
vy y
dy
vy z
dz
vzE
x
vx
y
v y
z
vz
t
0
或
(v) 0
t
连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控
制体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常
流动。
在定常流动中，由于 0 t
x
0
对于不可压缩流体 vr 1 v vz vr 0
r r z r
式中 r 为极径； 为极角
球坐标系中的表示式为:
1 (vrr 2 ) 1 (v sin ) 1 v 0
t r 2 r
r sin
r sin
在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分： 分别为与O点相同的平移速度（平移运动）；绕O点转动在A点 引起的速度（旋转运动）；由于变形（包括线变形和角变形） 在A点引起的速度（变形运动）。
第三节 有旋流动和无旋流动
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两 类：有旋流动和无旋流动。
vx y
2 x
2 y
2 z
前面在流体微团的分析中，已给出E点的速度为 :
vxE
vx
vx x
dx
vx y
dy
vx z
dz
v yE
vy
vy x
dx
vy y
dy
vy z
dz
vzE
高等流体力学复习总结
w(z) i bi ln(rei ) bi(ln r i ) b bi ln r
iQ
cdw
dw
c dz dz
ib
c z dz
dw
c
dw dz
c dz
ib c rei d
rei
ib c rei
ei dr irei d
ib dr bd
cr
2b
2b Q 0
第三章 流体力学基本方程组
divv 0
t
连续性方程ຫໍສະໝຸດ dv F divPdt
运动方程
dU dt
P: S div(kgradT)
q
能量方程
P pI 2 S 1 I v
3
p f (T,V )
本构方程 状态方程
粘性不可压缩均质流体
理想不可压缩均质流体
(2) P200 第9题（1）；P201 第13题（1） 粘性不可压缩均质流体定常、运动方程在二维直角坐标系 中的形式
第五章 流体静力学
(u) (v) (w) 0
t x y w
du dt
Fx
pxx x
pxy y
pxz z
dv dt
Fy
pxy x
p y y y
p y z z
dw dt
Fz
pxz x
pzy y
pzz z
直角坐标系中的形式
pxx
p
2
u x
2 3
u x
v y
w z
pyy
p
2
v y
2 3
w(z) i a ln(rei ) a ln r i
a ln r
a
等势线族 流线族
w(z) a ln z a是实数
iQ
cdw
dw
c dz dz
ib
c z dz
dw
c
dw dz
c dz
ib c rei d
rei
ib c rei
ei dr irei d
ib dr bd
cr
2b
2b Q 0
第三章 流体力学基本方程组
divv 0
t
连续性方程ຫໍສະໝຸດ dv F divPdt
运动方程
dU dt
P: S div(kgradT)
q
能量方程
P pI 2 S 1 I v
3
p f (T,V )
本构方程 状态方程
粘性不可压缩均质流体
理想不可压缩均质流体
(2) P200 第9题（1）；P201 第13题（1） 粘性不可压缩均质流体定常、运动方程在二维直角坐标系 中的形式
第五章 流体静力学
(u) (v) (w) 0
t x y w
du dt
Fx
pxx x
pxy y
pxz z
dv dt
Fy
pxy x
p y y y
p y z z
dw dt
Fz
pxz x
pzy y
pzz z
直角坐标系中的形式
pxx
p
2
u x
2 3
u x
v y
w z
pyy
p
2
v y
2 3
w(z) i a ln(rei ) a ln r i
a ln r
a
等势线族 流线族
w(z) a ln z a是实数
流体力学chap.5理想不可压缩流体平面无旋运动
x
2
， （7）势函数与流函数满足： x y y x
y
2
0
势流叠加原理
称之为Chauchy-Riemann条件
7
3）流速势函数的计算
由势函数可确定流速
u ，= 或ux , u y u x y
微分
由流速可确定势函数 u
(x , y , z ) 0 ，或 2 0
•无旋运动 (Irrotational Flow）
判断流体运动在该点是否有旋必须看流体微团是不是在自转,而不是看它 有没有绕中心作圆周运动,这就是局部和整体性的差别.
A B
D C A B D C 点涡运动速度场为
13
5.2.2 平面势流的叠加初步 势流叠加原理：将基本流动叠加可得到较复杂的流动 基本的含义： 简单，奇点（数学上是Laplace方程的基本解）
③流函数满足Poisson方程
2 2 2 2 x y
⑤ （4－27）
与 +c 代表同一流场
5
2）流速势函数
1 u y u x )0 无旋 z ( 2 x y u y x u x y
d u x dx u y dy 为某一函数φ的全微分
Ψ+dΨ
d
d = u y dx ux dy
ux y u y x
y
dq=dΨ
ds
dx
ψ
dy - u ydx x
u xdy
4
流函数
具有如下性质：
const
y
l uy
u
ux
s
①同一流线
②流函数沿l方向的方向导数为l 顺时针时针旋转900方向的流速， 特别是当l为与流线垂直时明显有：
2
， （7）势函数与流函数满足： x y y x
y
2
0
势流叠加原理
称之为Chauchy-Riemann条件
7
3）流速势函数的计算
由势函数可确定流速
u ，= 或ux , u y u x y
微分
由流速可确定势函数 u
(x , y , z ) 0 ，或 2 0
•无旋运动 (Irrotational Flow）
判断流体运动在该点是否有旋必须看流体微团是不是在自转,而不是看它 有没有绕中心作圆周运动,这就是局部和整体性的差别.
A B
D C A B D C 点涡运动速度场为
13
5.2.2 平面势流的叠加初步 势流叠加原理：将基本流动叠加可得到较复杂的流动 基本的含义： 简单，奇点（数学上是Laplace方程的基本解）
③流函数满足Poisson方程
2 2 2 2 x y
⑤ （4－27）
与 +c 代表同一流场
5
2）流速势函数
1 u y u x )0 无旋 z ( 2 x y u y x u x y
d u x dx u y dy 为某一函数φ的全微分
Ψ+dΨ
d
d = u y dx ux dy
ux y u y x
y
dq=dΨ
ds
dx
ψ
dy - u ydx x
u xdy
4
流函数
具有如下性质：
const
y
l uy
u
ux
s
①同一流线
②流函数沿l方向的方向导数为l 顺时针时针旋转900方向的流速， 特别是当l为与流线垂直时明显有：
《高等流体力学》第6章 不可压理想流体平面无旋流动
(
( ) ( ) ( ) ( )
( )
)
其中：
∂Ω + v ⋅∇ Ω = 0 ∂t
( )
v ⋅∇ Ω= ∇ψ × k ⋅∇Ω k= ( ∇Ω × ∇ψ ) k k = ∇Ω × ∇ψ 2 Ω = −∇ ψ 再由： ∂ 2 2 可得： ∇ + ∇ ∇ ψ k ψ ) × ∇ψ = 0 ( ) ( ∂t
ϕ 和 ψ 构成一个复势，满足柯西-黎曼条件且可导。
二、等势线与等流线的正交性
v×v = ∇ϕ × ∇ψ × k = ∇ϕ ⋅ k ∇ψ − ( ∇ϕ ⋅∇ψ ) k = 0
(
) (
)
( ∇ϕ ⋅∇ψ ) k = 0 故：
对平面问题为0
即： ∇ϕ ⋅∇ψ = 0 可见等势线与等流线正交。
n
τ ×n = k
τ
∂ψ = 0 n ⋅ v = n ⋅ ∇ψ × k = ∇ψ k × n = −∇ψτ = − ∂l
(
)
(
)
故可提出无分离边界条件：
(ψ )b = const
§6-3 不可压理想流体平面无旋流动的速度 势与流函数的关系
一、柯西-黎曼条件 速度与势函数、流函数的关系：
( )
( )
引入流函数来满足连续性方程：
= ∇ ⋅V ∇ ⋅ ρV 1 ∂h2V1 ∂hV 1 2 流 = + 0 ∂q2 h1h2 ∂q1 函
拉格朗日 流函数
∂ψ ∂ψ = h2V1 , = −hV 1 2 ∂q2 ∂q1 ∂ψ ∂ψ = h2 ρV1 , = − h1 ρV2 ∂q2 ∂q1
《高等流体力学》第6章 不可压理想流体平面无旋流动
两者平行
ψ = const ，上式变为一个泊松方程，即沿 沿流线， 流线有 Ω =const ，沿流线的涡量为常数。 三、不可压理想流体平面无旋流动的流函数方程 2 Ω = −∇ ψ= 0 无旋时： 0 对定常与非定常都适用 故流函数方程： ∇ 2ψ =
四、流函数的物面边界条件 对应流函数方程，物面边界 条件也应以流函数的形式表 示出来。 物面上：
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
2、等流函数线就是流线。 v × dr = 0 流线方程：
∇ψ × k × dr = v × dr = ( dr ⋅∇ψ ) ⋅ k − dr ⋅ k ⋅∇ψ = dψ k
故沿流线方向 dψ = 0 ，即 ψ = const 3、两点的流函数值之差等于过此两点连线的流量。
( )
(
)
这就是理想的不可压流体（或正压流体）质量力有 势条件下平面流动的流函数方程。
二、不可压理想流体定常平面流动的流函数方程
∂ 2 ∇ ψ ) k + ∇ ( ∇ 2ψ ) × ∇ψ = 0 ( ∂t
∇ ( ∇ 2ψ ) = − f ′ (ψ ) ∇ψ = −∇ 令： f (ψ ) 则： ∇ 2ψ = − f (ψ ) + const 无意义，可取0
x
4、流函数可以是多值函数。 过内边界L0的总流量不为零（如 水下爆炸、水下气泡运动等） = dl ×1 L域内无源无汇，视 dA 0 则沿封闭曲线积分： ∫ L ( n ⋅V ) dl =
L1
L0 P0
P
n ⋅ V dl = mQ0 于是： ∫ L1 n ⋅V dl = ∫ L0 P P 故 ψ P −ψ P0 = ∫ n ⋅V dl + ∫ n ⋅V dl = mQ0 + ∫ n ⋅V dl
高等流体力学—理想不可压缩流体无旋运动
N N N N0 N0 N0
N与N0分别为流场中任意两点
20
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线MM0的流量等于这两点处流函数的差值：
Q vn ds u cos(n, x) v cos(n, y)ds
N N N0 N0
cos(n, x)ds dy cos(n, y)ds dx
ui vj i j x y u v x y
13
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
若平面无旋运动速度分布v已知，则势函数为：
M
(M ) (M 0 ) udx vdy
M0
M与M0分别为流场中任意两点 速度势函数 满足下列性质： 1) 速度势函数可允许相关一任意常数，而不影响流体的运动；
u iv
i V u iv V e 定义复速度：
V 是复速度的模， 是复速度的幅角
dw 其共轭复速度u iv V V e i dz
25
四、复位势与复速度
当已知共轭复速度，可求得复函数：
w( z) w( z0 ) V dz
z0
z
复位势的性质 1) 复函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
M与M0分别为流 场中任意两点
dx dy M 0 x y
M
M0
vdx udy
M0
M
18
流函数 满足下列性质： 1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
2) ( x, y) 常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合： 根据定义，流线方程为：
v(r, t0 ) v1 (r )
p(r, t0 ) p1 (r )
N与N0分别为流场中任意两点
20
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线MM0的流量等于这两点处流函数的差值：
Q vn ds u cos(n, x) v cos(n, y)ds
N N N0 N0
cos(n, x)ds dy cos(n, y)ds dx
ui vj i j x y u v x y
13
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
若平面无旋运动速度分布v已知，则势函数为：
M
(M ) (M 0 ) udx vdy
M0
M与M0分别为流场中任意两点 速度势函数 满足下列性质： 1) 速度势函数可允许相关一任意常数，而不影响流体的运动；
u iv
i V u iv V e 定义复速度：
V 是复速度的模， 是复速度的幅角
dw 其共轭复速度u iv V V e i dz
25
四、复位势与复速度
当已知共轭复速度，可求得复函数：
w( z) w( z0 ) V dz
z0
z
复位势的性质 1) 复函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
M与M0分别为流 场中任意两点
dx dy M 0 x y
M
M0
vdx udy
M0
M
18
流函数 满足下列性质： 1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
2) ( x, y) 常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合： 根据定义，流线方程为：
v(r, t0 ) v1 (r )
p(r, t0 ) p1 (r )
《高等流体力学》习题集与基本知识
《高等流体力学》复习题一、 基本概念1． 什么是理想流体？正压流体，不可压缩流体？ [答]：教材P57当流体物质的粘度较小，同时其内部运动的相对速度也不大，所产生的粘性应力比起其它类型的力来说可以忽略不计时，可把流体近似地看为是无粘性的，这样无粘性的流体称为理想流体。
内部任一点的压力只是密度的函数的流体，称为正压流体。
流体的体积或密度的相对变化量很小时，一般可以看成是不可压缩的，这种流体就被称为不可压缩流体。
2． 什么是定常场；均匀场；并用数学形式表达。
[答]：如果一个场不随时间的变化而变化，则这个场就被称为定常场。
其数学表达式为：)(r ϕϕ=如果一个场不随空间的变化而变化，即场中不显含空间坐标变量r ，则这个场就被称为均匀场。
其数学表达式为：)(t ϕϕ=3． 理想流体运动时有无切应力？粘性流体静止时有无切应力？静止时无切应力是否无粘性？为什么？ [答]：理想流体运动时无切应力。
粘性流体静止时无切应力。
但是，静止时无切应力，而有粘性。
因为，粘性是流体的固有特性。
4． 流体有势运动指的是什么？什么是速度势函数？无旋运动与有势运动有何关系？ [答]：教材P119-123如果流体运动是无旋的，则称此流体运动为有势运动。
对于无旋流动来说，其速度场V 总可以由某个速度标量函数（场）),(t r φ的速度梯度来表示，即φ∇=V ，则这个标量函数（场）),(t r φ称为速度场V 的速度势函数。
无旋运动与有势运动的关系：势流运动与无旋运动是等价的，即有势运动是无旋的，无旋运动的速度场等同于某个势函数的梯度场。
5． 什么是流函数？存在流函数的流体具有什么特性？（什么样的流体具有流函数？） [答]：6． 平面流动中用复变位势描述的流体具有哪些条件（性质）？ [答]：教材P126-127理想不可压缩流体的平面无旋运动，可用复变位势描述。
7． 什么是第一粘性系数和第二粘性系数？在什么条件下可以不考虑第二粘性系数？Stokes 假设的基本事实依据是什么？ [答]：教材P89第一粘性系数μ：反映了剪切变形对应力张量的贡献，因此称为剪切变形粘性系数； 第二粘性系数μ’：反映了体变形对应力张量的贡献，因而称为体变形粘性系数。
高等流体力学》 不可压理想流体平面无旋流动
∂ϕ=
∂r
V=r
1 ∂ψ= r ∂θ
1 −
a2 r2
cosθ
∂ϕ ∂θ
=rVθ
=−r ∂ψ
∂r
=−
r
+
a2 r
sin θ
= ∴ϕ
∫
∂ϕ
∂r
dr
+
∂ϕ ∂θ
dθ
+
const
∫ =
1−
a2 r2
cosθ
dr
−
r
+
a2 r
sin θ
dθ
+
const
∫=d
r
+
a2 r
∫∴
z =a
a2 z2
dz
=
2π
i
Res
(0)
a2 z2
=
0
∴Γ += iQ
0 ⇔=Γ
0= , Q
0
（3）无穷远处的来流速度V∞ 的复速度为：
V∞e−iα =
lim d χ =
z →∞ dz
lim
z →∞
1
−
a2 z2
=
1
用α代表无穷远处来流的夹角（攻角）：
V=∞ 1;=α 0 ⇔ V= ∞ i
dz ∂x ∂x 共轭复速度
= V u2 + v2
α
=
arctan
v u
二、解的可叠加性
任意两个或两个以上的解析函数的线性组合仍然
是解析函数。（ϕ 和ψ 都是解析的，故W(z)也解析。
奇点叠加法：利用简单的复势进行线性组合来获
得解的方法。（因为简单复势往往带有奇点）
例：不可压平面无旋流动的流函数：
高等流体力学--无粘性不可压缩流体的无旋运动 ppt课件
ppt课件
5
第一节 无粘性不可压缩流体无旋运动方程组
不可压缩的假设：
❖ 在自然界通常的条件下，流体(液体和气体)的运 动速度较低，压缩性的影响可以忽略。
❖ 可把液体和低速气体近似作为不可压缩流体。
无旋的假设：
❖ 涡保持性定理指出，在一定条件下(体力有势、 正压、无粘性)，如果在流体中初始时刻没有涡 量的话，以后就永远不能具有涡量。
关于速度势函数的说明：
• 速度势满足拉普拉斯方程的条件： 2 0 (1) 流动无旋；(2) 流体不可压。
• 对于粘性不可压缩流体，如果运动无旋，则也 存在速度势函数，且同样满足拉普拉斯方程， 但边界条件要发生变化。(什么变化？)
• 速度势满足拉普拉斯方程与流动是否定常无关； 对于非定常流动，时间 t 在方程中以参数的形 式出现。
• 在原基本方程组中，速度与压强耦合，引 入速度势函数后，基本方程组转化为只需 求解速度势就可以了，成为一个纯数学问 题；在求得速度势和流动速度后，代入运 动方程即可求解压强。
ppt课件
9
第一节 无粘性不可压缩流体无旋运动方程组
二、速度势函数
压强的求解：
正压
体力势
函数
对于正压和体力有势流体，当流动无旋时， 存在拉格朗日积分：
rotv 0
v x, y, z,t
divv 0
v
2 0
代入不可压 流体连续性
方程
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拉普拉斯方 程
8
第一节 无粘性不可压缩流体无旋运动方程组
2 0
v
引入速度势函数的意义：
二、速度势函数
Dv Dt
Fb
1
流体力学课件不可压缩流体
称为曲线 s上的速度环量。并规定积分沿s逆时针方向绕 行为 s 的正方向。
12
1.斯托克斯定理
式中，s为流场中任意封闭曲线；A是曲线s所围成的曲面；； 是曲面A的外法线单位向量。 上式称为斯托克斯定理。定理给出了速度环量和涡通量之间 的关系：沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过以该曲线为边 界的曲面A的涡通量。即
7
第7章 不可压缩流体动力学 涡量是空间坐标和时间的矢性函数：所以，它也构 成一个向量场，称为涡量场。 涡量连续性方程为：
8
第7章 不可压缩流体动力学
在涡量场中可以画出表征某一瞬时流体质点的旋转角速度 向量方向的曲线，称为涡线。在给定的瞬时，涡线上各点的 角速度向量在该点处与涡线相切。沿涡线取一微小线段ds， 由于涡线与角速度向量的方向一致，所以，ds沿三个坐标轴 方向的分量dx、dy、dz必然和角速度向量的三个分量ωx、 ωy 、ωz 成正比，即
11
第7章 不可压缩流体动力学
对于有旋流动，其流动空间既是速度场，又是涡量场。涡量 场中的涡线，涡管，涡通量等概念分别与流速场中的流线， 流管，流量等概念相对应，而涡线方程和涡管的涡通量方程 则分别与流线方程和元流连续性方程相对应。 通常，涡通量是利用速度环量这个概念来计算的。在流场中 任取一封闭曲线s，则流速沿曲线s的积分
u x dx dt u x x exx dx dt x
2
第7章 不可压缩流体动力学 则流体微团的线变形速度为
3
类似的研究分析，可以得到流体微团旋转角速度分量为：
因而角速度矢量为： 角速度大小为： 角速度矢量的为沿微团的旋转方向按右手定则确定。
4
第7章 不可压缩流体动力学 类似的研究分析，可以得到流体微团角变形速度为：
第四章(2)§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动(势流理论)
V d 在复平面上的沿两点 z0 及 z 间任意曲线上的复积分 dz
的实部为两点z0 及 z 间的曲线上的速度环量 ，虚部为过两点z0 及 z 间曲线 的速度通量或流量。
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论） §4-3-3 理想流体平面流动基本理论 ◆ 理想 + 不可压缩流体 + 无旋运动 — 复位势性质
y 0 y 0
i
V u x iu y V e
i
2 2 —复速度 V u x uy
uy tan ( ) ux
1
o ω - 平面
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论） §4-3-3 理想流体平面流动基本理论 ◆ 理想 + 不可压缩流体 + 无旋运动
• 以速度势函数Φ作为求解对象。这时控制方程为拉普拉斯方程。在固壁边界C 上应满足Vn=0。在无限远满足▽Φ=V∞，即为下列定解问题：
0 n 0 C V
拉普拉斯方程 黎曼问题
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论） §4-3-3 理想流体平面流动基本理论
第四章 理想流体力学专题
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论）
理想不可压缩流体有势流动 ——用于实际流动的计算和模拟 —— 泵内流 场计算常用势流理论数字模拟计算 —— 除了固壁边界邻近处的附面层外 —— 运 用势流理论 —— 可以得到很好的近似和满意的精度。
§4-3-1 势流运动的基本方程 d ◆ 连续性方程 V 0 dt
M
0
M M Q M V ndl M uxdy uy dx M dy ( )dx
0
0
第四章不可压缩流体有旋流动及二维无旋流动
各点的速度分量如图4-2所示。由于微团上各点的 速度不同，经过时间 ，dt势必发生不同的运动， 微团的位置和形状都将发生变化，现分析如下。
2021/7/21
工程流体力学
1．平移运动
由图 4-2 可知，微团上 A、B、C、D 各点的速度 分量中均有u 和v 两项，在经过 dt 时间后，矩形微团 ABCD 向右、向上分别移动u dt 、v dt 距离，即平移到 新位置，形状不变，如图 4-3( a )所示。式(4-4)中 的第一项即为该流体微团平移运动的运动速度。
u y
2 x
2 y
2 z
(4-6)
写成矢量形式为xiyFra bibliotek jzk
1 2
(V )
（4-7）
上述即为式(4-3)及其物理含义。式(4-4)中的第五、第六项所表示的便
是由该旋转运动所引起的速度变化。
2021/7/21
工程流体力学
综上所述，在一般情况下，流体微团的运动总是可
以分解成：整体平移运动、旋转运动、线变形运动及角变 形运动，与此相对应的是平移速度、旋转角速度、线变形 速率和剪切变形速率。
x
x
d tgd u dydt dy u dt
y
y
2021/7/21
工程流体力学
通常把两正交微元流体边的夹角在单位时间内的变化量定义为角变形
速度，而把该夹 角变化的平均值在单位时间内的变化量(角变形速度的平
均值)定义为剪切变形速率。则在 xy 平面上，将流体微团的剪切变形速率记
为 ( )，因此有 xy xy yx
工程流体力学
流体由于具有易变形的特性（易流动性），因此流体 的运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多。在流体运 动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。由流 体的微流 0团动运，动无分旋析流可动知是，指有旋的流流动动0是。指流体微团旋转角速度
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工程流体力学
1．平移运动
由图 4-2 可知，微团上 A、B、C、D 各点的速度 分量中均有u 和v 两项，在经过 dt 时间后，矩形微团 ABCD 向右、向上分别移动u dt 、v dt 距离，即平移到 新位置，形状不变，如图 4-3( a )所示。式(4-4)中 的第一项即为该流体微团平移运动的运动速度。
u y
2 x
2 y
2 z
(4-6)
写成矢量形式为xiyFra bibliotek jzk
1 2
(V )
（4-7）
上述即为式(4-3)及其物理含义。式(4-4)中的第五、第六项所表示的便
是由该旋转运动所引起的速度变化。
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工程流体力学
综上所述，在一般情况下，流体微团的运动总是可
以分解成：整体平移运动、旋转运动、线变形运动及角变 形运动，与此相对应的是平移速度、旋转角速度、线变形 速率和剪切变形速率。
x
x
d tgd u dydt dy u dt
y
y
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工程流体力学
通常把两正交微元流体边的夹角在单位时间内的变化量定义为角变形
速度，而把该夹 角变化的平均值在单位时间内的变化量(角变形速度的平
均值)定义为剪切变形速率。则在 xy 平面上，将流体微团的剪切变形速率记
为 ( )，因此有 xy xy yx
工程流体力学
流体由于具有易变形的特性（易流动性），因此流体 的运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多。在流体运 动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。由流 体的微流 0团动运，动无分旋析流可动知是，指有旋的流流动动0是。指流体微团旋转角速度
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势函数与流函数间的关系：哥西－黎曼条件
流线和等势线正交 0 x x y y
24
四、复位势与复速度
构造一个复函数：
w( z ) i
z x iy
虚部－流 函数
实部－速 度势函数
dW ( z ) W ( z ) i dz x x
u iv
i V u iv V e 定义复速度：
V 是复速度的模， 是复速度的幅角
dw 其共轭复速度u iv V V e i dz
25
四、复位势与复速度
当已知共轭复速度，可求得复函数：
w( z) w( z0 ) V dz
z0
z
复位势的性质 1) 复函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
运动方程 本构方程
dv 2 F p 2div ( S ) v dt 3
dv F p v v μ为常数 dt 3
4
第一节 引言
二、基本方程组
v 0
dv F p dt
P pI
初始条件：t=0时 边界条件：
2) w(z)=常数等价于流函数和速度势分别等于常数，它们分别代表
等势线和流线，且二者正交：
3) 共轭复速度沿封闭回线C的积分，其实数部分为沿该封闭回线 的速度环量，而虚数部分则为通过封闭回线C的流量。 4) 在无源无涡的单连通区域内，w(z)是单值函数。
26
dw iQ d id dw dz c c c dz
d (M ) (M 0 )
M0 M
M与M0分别为流场中任意两点 4) 若研究的流动区域是单连通区域，则由于封闭回线的速度
环量
v dr grad dr 0
因此速度势函数是单值函数。
15
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
单连通区域：如果区域内任两点都可用区域内的一条曲线连接，
v u z x y
v u z x y
12
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
二、速度势函数 对平面无旋运动：w=0
0 z
0
v u z 0 速度分量满足 x y 的关系
v ( x, y, t ) 存在势函数 ( x, y, t ) 满足：
v(r, t0 ) v1 (r )
p(r, t0 ) p1 (r )
方程组求解的困难: (1) 惯性项非线性；(2) 速度v与压力p相互关 联，需要联立求解
5
若运动无旋，则： rotv
0
存在势函数，满足：
v grad 0
代入连续性方程，得：
0
拉普拉斯方程：线性的二 阶偏微分方程
则这样的区域是连通的。如果在连通的区域内任一封闭曲线可
以不出边界的连续收缩到一点，则此连通区域称为单连通区域
球体内部－单连通
圆环内部－双连通
16
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
平面运动时，不可压缩流体的连续性方程为：
u v v 0 x y
u x
2 2
v y
第七章 理想不可压缩流体无旋运动
1
第一节 引言
一、不可压缩理想流体无旋运动模型 1）理想：粘性力<< 惯性力的区域，忽略粘性力作用，简化方程 例如绕流问题中边界层以外区域的流动。不脱体绕流流动在 研究压力场和速度场时可不计边界层，近似看成理想流体绕流 物体流动。
2
第一节 引言
一、不可压缩理想流体无旋运动模型 2）不可压缩： 液体，通常情况下。 气体，低速绕流运动（流速<< 声速），
2 2 2 2 2 0 2 x y z
6
若流体是理想不可压缩的，外力有势，且运动无旋，则运动方程
可以积分求解，得到拉格朗日积分方程：
V 2 p gz f (t ) t 2 p 0 ( ) 0 Laplace 方程和 满足的边界条件 该流动 的 V
dx dy u v
vdx udy 0
v x
u y
dx dy 0 x y
d 0
( x, y) 常数是流线
19
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线NN0的流量等于这两点处流函数的差值：
Q v nds vn ds u cos(n, x) v cos(n, y)ds
a ln r
a
等势线族 流线族
29
w( z ) a ln z
a是实数
i
w( z) i a ln(re ) a ln r i
dw a iQ dw dz dz c c dz cz
z re
i
a a i i i iQ i d re e e dr rie i d c re cr a dr aid aid 2ai cr c Q 2a 0
0 z
9
绕无限翼展的流动(平面流动)
10
绕有限翼展的流动(三维流动)
11
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
二、速度势函数 对平面运动：w=0
0 z
i rotv x u
j y v
k z 0
w v x 0 y z
u w y 0 z x
7
对理想不可压缩流体无旋运动，方程组和初始、边
界条件为：
0 域，忽略粘性力作用 2 2 ( ) 0 Laplace 方程和 满足的边界条件 该流动 的 V V p 2(t ) gz f V p ( ) Bernoulli方程 : V c t 压力场p t 2 t 2
N N N N0 N0 N0
N与N0分别为流场中任意两点
20
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线MM0的流量等于这两点处流函数的差值：
Q vn ds u cos(n, x) v cos(n, y)ds
N N N0 N0
cos(n, x)ds dy cos(n, y)ds dx
M与M0分别为流 场中任意两点
dx dy M 0 x y
M
M0
vdx udy
M0
M
18
流函数 满足下列性质： 1) 流函数可允许相差一任意常数，而不影响流体的运动；
2) ( x, y) 常数是流线，它的切线方向和速度矢量的方向重合： 根据定义，流线方程为：
2) ( x, y ) 常数是等势线，它的法线方向和速度矢量的方向重
合：
14
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 沿曲线MM0的速度环量等于这两点处势函数的差值：
M M M
v dr udx vdy dx dy M0 M0 M 0 x y
Q vn ds vdx udy d ( N ) ( N0 )
N0 N0 N0
21
N
N
N
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
3) 通过曲线MM0的流量等于这两点处流函数的差值：
Q vn ds vdx udy d ( N ) ( N0 )
30
w( z ) a ln z
a是实数
i
w( z) i a ln(re ) a ln r i
Q a 2 Q w( z ) ln z 2
点源 若点源不在坐标原点而在z0点，则复位势为： 点汇
第三节 理想不可压缩流体平面无旋运动 －基本流动形态及数学表达
一一对应 平面无旋运动 复位势（解析函数）
基本流动的组合
基本解析函数的叠加
27
一、线性函数－均匀流
w( z ) az
a是复数
w( z) i (a1 ia2 )(x iy) (a1 x a2 y) i(a2 x a1 y)
ui vj i j x y u v x y
13
第二节 理想不可压缩流体平面无旋运动
若平面无旋运动速度分布v已知，则势函数为：
M
(M ) (M 0 ) udx vdy
M0
M与M0分别为流场中任意两点 速度势函数 满足下列性质： 1) 速度势函数可允许相关一任意常数，而不影响流体的运动；
u y
2 0 2 x y
流函数满足二维坐标系下的拉普拉斯方程
23
四、复位势与复速度
对理想不可压缩流体平面无旋运动，考虑速度势函数与流函数：
u y
u x
v y
v x
x y x y
2 0 2 x y
速度势函数满足二维坐标系下的拉普拉斯方程
17
三、流函数 由连续性方程：
u v v 0 x y
v x
M
( x, y, t ) 满足： 存在一个函数，
u y
称为流函数
(M ) (M 0 ) d
2
2 V p ( ) Bernoulli方程 : V c t 压力场p v grad t 2 静止固壁 0 n ( )关于 及p的边界条件 自由表面 p p , 0 无穷远 V , p p 初始条件：t t0 , V0 (r ), p p0 (r )