多元相关与回归分析优秀课件
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第三节：多元线性相关与回归分析
第三节 多元线性相关与回归分析一、标准的多元线性回归模型上一节介绍的一元线性回归分析所反映的是１个因变量与１个自变量之间的关系。
但是，在现实中，某一现象的变动常受多种现象变动的影响。
例如，消费除了受本期收入水平的影响外，还会受以往消费和收入水平的影响；一个工业企业利润额的大小除了与总产值多少有关外，还与成本、价格等有关。
这就是说，影响因变量的自变量通常不是一个，而是多个。
在许多场合，仅仅考虑单个变量是不够的，还需要就一个因变量与多个自变量的联系来进行考察，才能获得比较满意的结果。
这就产生了测定与分析多因素之间相关关系的问题。
研究在线性相关条件下，两个和两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析，表现这一数量关系的数学公式，称为多元线性回归模型。
多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型相类似，只是在计算上比较麻烦一些而已。
限于本书的篇幅和程度，本节对于多元回归分析中与一元回归分析相类似的内容，仅给出必要的结论，不作进一步的论证。
只对某些多元回归分析所特有的问题作比较详细的说明。
多元线性回归模型总体回归函数的一般形式如下：t kt k t t u X X Y ++⋯++=βββ221 (7.51)上式假定因变量Y 与(k-1)个自变量之间的回归关系可以用线性函数来近似反映.式中，Y t 是变量Y 的第ｔ个观测值；X jt 是第j 个自变量X j 的第ｔ个观测值(j=1,2,……，k)；u t 是随机误差项；β1，β2，… ，βk 是总体回归系数。
βj 表示在其他自变量保持不变的情况下，自变量X j 变动一个单位所引起的因变量Y 平均变动的数额，因而又叫做偏回归系数。
该式中，总体回归系数是未知的，必须利用有关的样本观测值来进行估计。
假设已给出了ｎ个观测值，同时1ˆβ，2ˆβ…，k βˆ为总体回归系数的估计，则多元线性回归模型的样本回归函数如下：t kt k t t e X X Y ++⋯++=βββˆˆˆ221 (7.52)(t ＝1,2,…,n)式中，e t 是Y t 与其估计t Y ˆ之间的离差，即残差。
第10章 相关与回归分析_PPT幻灯片
直线相关
相关 ---- 变量间的互依关系
直 线 相 关 (linear correlation) ： 简 单 相 关 (simple correlation)，用于双变量正态分布资料。
图10-2 相关系数示意图
散点呈椭圆形分布，
X、Y 同时增减---正相关
（positive correlation)；
2. 计算检验统计量
0.8012
t
4.017
1 (0.8012 )2
11 2
n 2 11 2
3. 确定 P 值下结论（根据 t 值或查附表 11 r 界值表）
t＝4.017>t0.05（9）=3.69,按 ＝0.05 水准拒绝 Ho，…
五、总体相关系数的区间估计（了解）
必须先对 r 作 z 变换
170
47
173
42
160
44
155
41
173
47
188
50
178
47
183
46
180
49
165
43
166
44
பைடு நூலகம்
1891
500
Xy 7990 7266 7040 6355 8131 9400 8366 8418 8820 7095 3174 86185
x2 28900 29929 25600 24025 29929 35344 3684 33489 32400 27225 28561 326081
变量间关系问题：年龄~身高、肺活量~体重、药物剂 量与动物死亡率等。
两种关系：
依存关系：应变量(dependent variable) Y 随自变量 (independent variable) X变化而变化。
第9章相关与回归分析ppt课件
9.1 相关关系
散点图的作用就是通过两个数值型变量之间在二维平面的直角坐标中 的分布图形，粗略地把握变量之间相关关系的基本态势。例如变量之间 的线性特征越显著，说明其相关关系越强，反之则越弱；两个变量之间 的数值呈同方向变化为正相关，否则为负相关。
借助散点图还可以概略地区分和识别变量之间的非线性相关的具体类 型，为回归分析确定回归方程的具体形式提供依据，这也是散点图的重 要功能。例如，通过散点图展示的图形特征，初步地分辨出相关关系是 直线，还是二次曲线、三次曲线、指数曲线、对数曲线、S曲线等。所 以，散点图不仅是相关分析，也是回归分析中经常使用的最简便的基本 分析工具。
2019年12月6日/*
《统计学教程》
第9章 相关与回归分析
9.2 一元线性回归
关于随机误差，线性回归理论模型具有以下三项假定。
（1） 0均值。剩余变动为不可观测的随机误差，其数学期望为0。
（2）方差齐性。对于所有的自变量x，随机误差的方差相同。
（3）独立性。各项随机误差之间，以及各项随机误差与对应的自变量 之间均不相关，即有
2019年12月6日/*
《统计学教程》
第9章 相关与回归分析
9.1 相关关系
相关系数的取值范围为 1r1。
当相关系数的取值为正时，说明变量和变量的数值变化是同方向的， 即为正相关；若相关系数的取值为负，则说明变量和变量的数值变化是 反方向的，即为负相关。
相关系数的正负取值取决于Lxy的正负。
E y01x
（9.9）
一元线性回归方程在直角坐标系中为一条直线，所以也称为直线回归 方程。
2019年12月6日/*
《统计学教程》
第9章 相关与回归分析
9.2 一元线性回归
多元线性回归分析课件优秀课件
根着据自s变y.x量1x2的…x增p大加小而判减断少方，程但优当劣增时加的一优些点无：统一计般学随 意义的自变量后，剩余标准差反而增大。 根据复相关系数R来判断，但只反映密切程度，不 反应方向
根据sy.x1x2…xp大小判断方程优劣时的优点： 一般随着自变量的增加而减少，但当增加 一些无统计学意义的自变量后，剩余标准 差反而增大。
(normality) 4.方差齐性(homogeneity or equal variance)
简称为LINE
PAN.sav数据库是某地29名13岁男童的体重x (kg) 和肺 活量y(L)资料，试建立体重与肺活量的直线回归方程。
SPSS程序：Analyze Regression Linear，打开对 话框，把肺活量y放入应变量栏中，体重x放入自变 量栏中。
2
1.538 15.642
Res idual 2.557
26
.098
T otal 5.634
28
a.Predictors: (Constant), 身 高 , 体 重
b.Dependent Variable: 肺 活 量
Sig. .000a
衡量回归方程的标准
建立回归方程时要求：既要尽可能提高拟合 的精度，又要尽可能使模型简单。 常用的衡量方程“优劣”的标准有：
1、决定系数（R2）； 2、复相关系数R 3、调整决定系数（R2adj）； 4、剩余标准差（sy.x1x2…xp）。 5、赤池信息准则（AIC） 6、Cp统计量
根据R2大小判断方程优劣时的缺点是：变量最多 的方程最好，即使所增加的变量无统计学意义。
根学意据意义R义的2a的 变dj 变 量大量 进小进 入判入方断方程方程，程，优R2劣aRd2j时反adj的而增优减加点少；：。当当无有统统计计学
根据sy.x1x2…xp大小判断方程优劣时的优点： 一般随着自变量的增加而减少，但当增加 一些无统计学意义的自变量后，剩余标准 差反而增大。
(normality) 4.方差齐性(homogeneity or equal variance)
简称为LINE
PAN.sav数据库是某地29名13岁男童的体重x (kg) 和肺 活量y(L)资料，试建立体重与肺活量的直线回归方程。
SPSS程序：Analyze Regression Linear，打开对 话框，把肺活量y放入应变量栏中，体重x放入自变 量栏中。
2
1.538 15.642
Res idual 2.557
26
.098
T otal 5.634
28
a.Predictors: (Constant), 身 高 , 体 重
b.Dependent Variable: 肺 活 量
Sig. .000a
衡量回归方程的标准
建立回归方程时要求：既要尽可能提高拟合 的精度，又要尽可能使模型简单。 常用的衡量方程“优劣”的标准有：
1、决定系数（R2）； 2、复相关系数R 3、调整决定系数（R2adj）； 4、剩余标准差（sy.x1x2…xp）。 5、赤池信息准则（AIC） 6、Cp统计量
根据R2大小判断方程优劣时的缺点是：变量最多 的方程最好，即使所增加的变量无统计学意义。
根学意据意义R义的2a的 变dj 变 量大量 进小进 入判入方断方程方程，程，优R2劣aRd2j时反adj的而增优减加点少；：。当当无有统统计计学
第四讲多元回归分析(共72张PPT)
第四讲多元回归分析?多元线性回归分析逐步回归分析?逐步回归分析定性指标的相关分析?多对多的回归分析第一节多元线性回归分析?回归分析概论?回归分析的功能及涵义?回归分析的研究思路和步骤?回归分析的内容体系?多元线性回归模型?模型中参数的估计?回归方程以及回归系数的显著性检验?回归模型的变量子集合的选择回归变量的选择回归分析概论?回归分析的功能及涵义?回归分析是研究一个变量即应变量或多个变量对于一个或多个其他变量即解释变量的依存关系并用数学模型加以模拟目的在于根据已知的或在多次重复抽样中固定的解释变量之值估计预测因变量的总体平均值
引入或剔除变量的依据
• 依据是偏回归平方和 逐步回归分析是按照各自变量对因
变量作用显著程度大小来决定其是否引 入还是剔除。用于衡量各自变量对因变 量作用大小的量是它们对因变量的“贡 献”，即偏回归平方和。
逐步回归方程的矩阵变换计算法
计算量大，且由于某个因子的引入使变得不显著的其他因子仍然留在方程中。 “逐步引入法”（原理、局限性） 建立“最优”回归方程的方法 属于多元统计分析方法之一。 利用回归方程进行预测。 对回归方程、参数估计值进行显著性检验。 从一个因子开始，逐个引入回归方程，因子引入后概不剔除。 回归分析的研究思路和步骤 回归分析方法又称因素分析方法、经济计量模型方法。 利用回归方程进行预测。
回归模型的变量子集合的选择（回 归变量的选择）
第二节 逐步回归分析
• 逐步回归分析的原理 • 引入或剔除变量的依据 • 逐步回归方程的矩阵变换计算法 • 具体实例以及计算步骤 • 计算机软件应用举例
逐步回归分析的原理
“最优”回归方程的选择
所谓“最优”的含义：回归方程中包含所有对y影响比较显著 的变量，而不包括对y影响不显著的变量的回归方程。 必要性：用于预测、控制
引入或剔除变量的依据
• 依据是偏回归平方和 逐步回归分析是按照各自变量对因
变量作用显著程度大小来决定其是否引 入还是剔除。用于衡量各自变量对因变 量作用大小的量是它们对因变量的“贡 献”，即偏回归平方和。
逐步回归方程的矩阵变换计算法
计算量大，且由于某个因子的引入使变得不显著的其他因子仍然留在方程中。 “逐步引入法”（原理、局限性） 建立“最优”回归方程的方法 属于多元统计分析方法之一。 利用回归方程进行预测。 对回归方程、参数估计值进行显著性检验。 从一个因子开始，逐个引入回归方程，因子引入后概不剔除。 回归分析的研究思路和步骤 回归分析方法又称因素分析方法、经济计量模型方法。 利用回归方程进行预测。
回归模型的变量子集合的选择（回 归变量的选择）
第二节 逐步回归分析
• 逐步回归分析的原理 • 引入或剔除变量的依据 • 逐步回归方程的矩阵变换计算法 • 具体实例以及计算步骤 • 计算机软件应用举例
逐步回归分析的原理
“最优”回归方程的选择
所谓“最优”的含义：回归方程中包含所有对y影响比较显著 的变量，而不包括对y影响不显著的变量的回归方程。 必要性：用于预测、控制
相关分析与回归分析 PPT
距离相关分析通过计算广义距离 度量样品或变量间得相似程度。
2022/9/20
26
距离相关分析一般不单独使用, 而就是作为聚类分析、因子分析等得 预处理过程。
距离相关分析根据统计量得不同, 分为不相似性测度和相似性测度。对 于不相似性测度,通过计算距离来表 示,距离越大,相似性越弱;对于相似性 测度,通过计算 Pearson 相关系
数据得采集也就是建立回归模型 得重要一环。
大多数建模竞赛题目会提供相关 数据,但这些数据可能包含了一些无 用得信息,个别数据缺失甚至失真。
在建模前,需要对数据进行适当
2022/9/20
45
处理。比如标准化,剔除个别过大或 过小得“野值”,用插值方法补齐空 缺数据等。 (3) 回归模型形式得确定
收集、处理好数据后,首先要确 定适当得数学模型来描述这些变量间 得统计关系。
显然,样品间得相关系数都接近
于1,很难辨别出其相似程度。
2022/9/20
31
例4 5名考官给10名应聘者得面
试分数如下,请问各考官评分得一致
性如何？哪位考官得可信度较小？各
应聘者分数得差异就是否明显？
解 若第1问改为:请问不同考官
对应聘者面试分数得影响就是否显著,
则勉强可用方差分析。因为考官给10
相关分析与回归分析
一、引 言
2022/9/20
2
在很多研究领域中,往往需要研
究事物间得关系。如收入与受教育程
度,子女身高与父母身高,商品销售额
与广告费用支出,农作物产量与施肥
量,上述两者间有关系吗？如果有关
系,又就是怎么样得关系呢？如何来
度量这种关系得强弱？
解决上述问题得统计方法就是相
2022/9/20
26
距离相关分析一般不单独使用, 而就是作为聚类分析、因子分析等得 预处理过程。
距离相关分析根据统计量得不同, 分为不相似性测度和相似性测度。对 于不相似性测度,通过计算距离来表 示,距离越大,相似性越弱;对于相似性 测度,通过计算 Pearson 相关系
数据得采集也就是建立回归模型 得重要一环。
大多数建模竞赛题目会提供相关 数据,但这些数据可能包含了一些无 用得信息,个别数据缺失甚至失真。
在建模前,需要对数据进行适当
2022/9/20
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处理。比如标准化,剔除个别过大或 过小得“野值”,用插值方法补齐空 缺数据等。 (3) 回归模型形式得确定
收集、处理好数据后,首先要确 定适当得数学模型来描述这些变量间 得统计关系。
显然,样品间得相关系数都接近
于1,很难辨别出其相似程度。
2022/9/20
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例4 5名考官给10名应聘者得面
试分数如下,请问各考官评分得一致
性如何？哪位考官得可信度较小？各
应聘者分数得差异就是否明显？
解 若第1问改为:请问不同考官
对应聘者面试分数得影响就是否显著,
则勉强可用方差分析。因为考官给10
相关分析与回归分析
一、引 言
2022/9/20
2
在很多研究领域中,往往需要研
究事物间得关系。如收入与受教育程
度,子女身高与父母身高,商品销售额
与广告费用支出,农作物产量与施肥
量,上述两者间有关系吗？如果有关
系,又就是怎么样得关系呢？如何来
度量这种关系得强弱？
解决上述问题得统计方法就是相
《多元线性回归分析》PPT课件
的线性关系而使因变量Y 变异减小的部分；
SS回归 b1l1Y b2l2Y bmlmY biliy
SS剩余 表示剩余平方和，说明除自变量外，其它随机因素
对 Y 变异的影响。 SS剩余 SS总 SS回归
整理ppt
14
各变量的离差矩阵
b1 0.1424 ， b2 0.3515 ， b3 0.2706 ， b4 0.6382
Y 的误差平方和Q (Y Yˆ)2 为最小值
的一组回归系数b1 ,b2 ,bm 值。
求回归系数 b1 ,b2 ,bm 的方法
是求解正规方程组（normal equations）：
b1l11 b2l12 bml1m l1y
b1l21
b2l22
bml2m
l2y
b1lm1 b2lm2 bmlmm lmy
整理ppt
28
2.决定系数
决定系数（coefficient of determination）表示回归平 方和占总平方和的比例，反映各自变量对因变量回 归贡献的大小，用 R2 表示。 R2 SS回归
SS总
R2 无单位，取值在 0~1 之间。值越大，说明回归平 方和在总平方和中所占的比重越大，剩余平方和所占 比例越小，回归效果越好。
partial
regression
coefficient）。标准偏回归系数
b
' i
与
注 意
偏回归系数之间的关系为：
b
' i
=
bi
lii l yy
= bi
si sy
标准偏回归系数绝对值的大小，可用以衡量自变量对
因变量贡献的大小，即说明各自变量在多元回归方程
中的重要性。
多元回归及相关(统计学课件)
医学统计学第七章多元线性回归与相关上海交通大学医学院生物统计学教研室张莉娜医学研究统计分析方法生命现象多样性相关性复杂性随机性多元统计分析方法多元回归分析判别分析聚类分析Logistic 回归Cox 回归……事物间的相互联系往往是多方面的，在很多情况下对应变量y 发生影响的自变量往往不止一个。
如:➢人的体重与身高、胸围➢体表面积与身高、体重➢血压值与年龄、性别、劳动强度、饮食习惯、吸烟状况、家族史➢糖尿病人的血糖与胰岛素、糖化血红蛋白、血清总胆固醇、甘油三脂➢……➢多元线性回归的目的就是用一个多元线性回归方程表示多个自变量和1个应变量间的关系。
m m i i x b x b x b x b b y+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=22110ˆ：截距i b : (样本)偏回归系数偏回归系数表示其他自变量固定的情况下，x i 改变一个单位，y 平均改变b 个单位。
0b εββββα+++++++=m m i i x x x x y ΛΛ2211),0(~2σεN i b多元回归分析数据格式P126编号身高(cm)x1体重(kg)x2肺活量(L)y1135.132.0 1.75 3163.646.2 2.75 5156.237.1 2.75 7167.841.5 2.75 9145.033.0 2.50 11165.549.5 3.00 13153.341.0 2.75 15160.547.2 2.25 17147.640.5 2.00 19155.144.7 2.75 21143.031.5 1.75 23160.840.4 2.75 25158.237.5 2.00 27144.534.7 2.25问题：➢身高、体重与肺活量有无线性关系？➢用身高和体重预测肺活量有多高的精度？➢单独用身高、或体重是否也能达到同样效果？➢身高的贡献大，还是体重的贡献大？➢当x 1=150，x 2=30时，=1.8073，表示对所有身高为150cm ，体重为30kg 的13岁男童，估计平均肺活量为1.8073(L)。
第九章 相关与回归分析 《统计学原理》PPT课件
［公式9—4］
r xy n • xy
x y
［公式9—5］
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第三节 回归分析的一般问题
一、回归分析的概念与特点
(一)回归分析的概念
现象之间的相关关系，虽然不是严格 的函数关系，但现象之间的一般关系值， 可以通过函数关系的近似表达式来反映， 这种表达式根据相关现象的实际对应资料， 运用数学的方法来建立，这类数学方法称 回归分析。
单相关是指两个变量间的相关关系，如 自变量x和因变量y的关系。
复相关是指多个自变量与因变量间的相关 关系。
(二)相关关系从表现形态上划分，可分为 直线相关和曲线相关
直线相关是指两个变量的对应取值在坐标 图中大致呈一条直线。
曲线相关是指两个变量的对应取值在坐 标图中大致呈一条曲线，如抛物线、指数曲线、 双曲线等。
0.578
a y b x 80 0.578 185 3.844
n
n7
7
yˆ 3.844 0.578x
二、估计标准误差 (一)估计标准误差的概念与计算 估计标准误差是用来说明回归直线方程 代表性大小的统计分析指标。其计算公式为：
Syx
y yˆ 2
n
［公式9—8］
实践中，在已知直线回归方程的情况下， 通常用下面的简便公式计算估计标准误差：
［例９—２］ 根据相关系数的简捷公式计算有：
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
7 218018580
0.978
7 5003 1852 7 954 802
再求回归直线方程：
yˆ a bx
b
n xy x y
n x2 x2
7 2180 18580 7 50031852
11第十一章多元回归分析-PPT课件
整理之，得正规方程组：
b X b XX ...b XX XY 1 2 1 2 m 1 m 1 1
2 2 b XX b X ...b X XY 1 1 2 2 2 m 2X m 2
...
2 b XX b X X ... b X X Y 1 1 m 2 2 m m m m
第十一章
多元回归
本章介绍多元回归的最基本知识，运用多元 回归进行多项式回归分析的一般步骤，回 归方程的显著性检验
矩阵的复习：
什么叫矩阵
方阵
对称阵 单位阵 行列式 矩阵的运算 矩阵的求逆
在许多情况下，影响一个变量的因素往往有许多个， 因此，仅用简单回归进行预测其结果不够理想， 因此应当研究一个依变量和多个自变量的关系
XX X XX
2
. . . . . . . . .
X Y XX XY XX
1 m 2
m
2 X m
m
. . . XY m
2
这一形式可以简写为： b A1Y 由于系数矩阵是一个对称的方阵，且一般满秩，因 此可求逆，有解，且是唯一解
i i i i
SP xi x j
SP xi y
Y 2 y y y2
2
y
n
2
SSy
用矩阵形式表示之：
2 X 1 XX 1 2 . . . XX 1 m
XX X XX
2 1
1 2 2 2
. . . . . . . . .
2
代入Q式：
2
ˆ Qy y y y b x b x . . . b x b x b x . . . b x 1 1 2 2 m m 1 1 2 2 m m
多元回归和多元相关分析PPT讲稿
相互独立且服从相同的分布N（0，σ2 ）
5
现在您浏览的位置是第五页，共三十页。
• 样本多元回归方程为：
yˆ a b x b x b x
11
22
mm
a y b x b x b x
11
22
mm
yˆ y b (x x ) b (x x ) b (x x )
11 1
22 2
mm m
多元回归和多元相关分析课件
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第一节：多元回归分析
一、多元线性回归模型
多元线性回归：是指具有两个或两个以上自变量，
且各自变量均为一次项的回归。
• 多元回归跟一元回归在很多方面是相同的，只
是多元回归方法更复杂些，计算量相当大，一 般通过计算机程序来完成计算。
2
现在您浏览的位置是第二页，共三十页。
• t检验和F检验结果是完全一样的（F=t2）,实际
应用时可任选一种。
16
现在您浏览的位置是第十六页，共三十页。
（1）t检验
• 偏回归系数bi的标准误为：
Sbi S y /12...m cii
• bi i 符 合 df=n-(m+1) 的 t 分 布 ， 故 在
H0S:βbii=0的假设下，由 t 可bi知bi抽自βi的
系数的假设检验相类似，检验的假设为
H0:ρij=0,HA:tρij≠0 rij .
• 其t值为：
1 ri2j.
nM
•
（13.39）
• 它服从自由度为n-M的t分布。若|t|>tα为显著，
• 对同一资料，多元相关与多元回归的假设检验
只需要进行一种。
• 由于在df1=m,df2=n=m-1一定时，给定显著水
5
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• 样本多元回归方程为：
yˆ a b x b x b x
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22
mm
a y b x b x b x
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yˆ y b (x x ) b (x x ) b (x x )
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多元回归和多元相关分析课件
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第一节：多元回归分析
一、多元线性回归模型
多元线性回归：是指具有两个或两个以上自变量，
且各自变量均为一次项的回归。
• 多元回归跟一元回归在很多方面是相同的，只
是多元回归方法更复杂些，计算量相当大，一 般通过计算机程序来完成计算。
2
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• t检验和F检验结果是完全一样的（F=t2）,实际
应用时可任选一种。
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（1）t检验
• 偏回归系数bi的标准误为：
Sbi S y /12...m cii
• bi i 符 合 df=n-(m+1) 的 t 分 布 ， 故 在
H0S:βbii=0的假设下，由 t 可bi知bi抽自βi的
系数的假设检验相类似，检验的假设为
H0:ρij=0,HA:tρij≠0 rij .
• 其t值为：
1 ri2j.
nM
•
（13.39）
• 它服从自由度为n-M的t分布。若|t|>tα为显著，
• 对同一资料，多元相关与多元回归的假设检验
只需要进行一种。
• 由于在df1=m,df2=n=m-1一定时，给定显著水
统计学第7章相关与回归分析PPT课件
预测GDP增长
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。
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多元回归模型与回归方程
多元回归模型
(multiple regression model)
1. 一个因变量与两个及两个以上自变量的回归
2. 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1 ， x2 ，…， xk 和误差项 的方程，称为多元回归模型
3. 涉及 k 个自变量的多元回归模型可表示为
y b0 b1x1 b2 x2 bk xk
§bˆ0 , bˆ1 , bˆ2 ,, bˆk 是b0 , b1 , b2 ,, bk 的估计值
§ yˆ 是 y 的估计值
参数的最小二乘估计
参数的最小二乘法
1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和 达到最小来求得 bˆ0 , bˆ1 , bˆ2 ,, bˆk 。即
n
n
Q(bˆ0 , bˆ1, bˆ2 ,, bˆk ) ( yi yˆi )2 ei2 最小
2. 也被称为总体的显著性检验 3. 检 验 方 法 是 将 回 归 均 方 (MSR) 同 残 差 均 方
(MSE)加以比较，应用 F 检验来分析二者之 间的差别是否显著
– 如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性 关系
– 如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性 关系
线性关系检验
1. 提出假设
多元相关与回归分 析
学习目标
1. 回归模型、回归方程、估计的回归方程 2. 回归方程的拟合优度 3. 回归方程的显著性检验 4. 利用回归方程进行估计和预测 5. 非线性回归 6. 用 SPSS 进行回归分析
10.1 多元线性回归模型
10.1.1 多元回归模型与回归方程 10.1.2 估计的多元回归方程 10.1.3 参数的最小二乘估计
k-1找出临界值F 4. 作出决策：若F>F ，拒绝H0
回归系数检验和推断
回归系数检验和推断
回归系数检验的必要性
回归方程显著，并不意味着每个解释变量对因 变量Y的影响都重要,因此需要进行检验：
回归方程显著
每个回归系数 都显著
回归系数的检验(步骤)
1. 提出假设
– H0： bi = 0 (自变量 xi 与 因变量 y 没有线性关系) – H1： bi 0 (自变量 xi 与 因变量 y有线性关系)
估计标准误差 Se
1. 对误差项的标准差 的一个估计值 2. 衡量多元回归方程的拟合优度 3. 计算公式为
n
Se
yi yˆi 2
i1
nk 1
SSE nk 1
MSE
12.3 显著性检验
12.3.1 线性关系检验 12.3.2 回归系数检验和推断
线性关系检验
线性关系检验
1. 检验因变量与所有自变量之间的线性关系是 否显著
§ b0 ，b1，b2 ，，bk是参数 § 是被称为误差项的随机变量 § y 是x1,，x2 ， ，xk 的线性函数加上误差项 § 包含在y里面但不能被k归模型
(基本假定)
1. 误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即
E()=0 2. 对于自变量x1，x2，…，xk的所有值，的
• 更常用的指标是“修正后的Ra2”。
修正多重判定系数
(adjusted multiple coefficient of
determination)
1. 用样本量n和自变量的个数k去修正R2得到 2. 计算公式为
Ra2
1
1 R2
n 1 n k 1
3. 避免增加自变量而高估 R2 4. 意义与 R2类似 5. 数值小于R2
§b1，b2，，bk称为偏回归系数 §bi 表示假定其他变量不变，当 xi 每
变动一个单位时，y 的平均变动值
二元回归方程的直观解释
二元线性回归模型
回归面
y
y b0 b1x1 b2x2
(观察到的y)
} b0
i
x2
(x1,x2)
x1
E( y) b0 b1x1 b2x2
估计的多元回归方程
估计的多元回归的方程 (estimated multiple regression
equation)
1. 用样本统计量 bˆ0 , bˆ1 , bˆ2 ,, bˆk 估计回归方程
中的 参数 b0 , b1 , b2 ,, bk 时得到的方程
2. 由最小二乘法求得
3. 一般形式为
yˆ bˆ0 bˆ1x1 bˆ2x2 bˆk xk
1
SSE SST
i1
3. 因变量取值的变差中，能被估计的多元回归方程 所解释的比例
修正的判定系数
• 在样本容量一定的条件下，不断向模型中 增加自变量，即使新增的变量与Y不相关， 模型的R2也可能上升，至少不会下降。
• 在实际应用中，研究人员更欢迎简单的模 型，这样的模型更简单和易于解释。如果 根据R2来选择模型，显然会倾向于复杂的 模型。
i1
i1
2. 求解各回归参数的标准方程如下
Q
b
0
b0 bˆ0
0
Q
b
i
bi bˆi
0
(i 1，2，，k)
参数的最小二乘法
(例题分析)
【例】一家大型商业银行在多个地区设有分 行，为弄清楚不良贷款形成的原因，抽取 了该银行所属的25家分行2002年的有关业 务数据。试建立不良贷款y与贷款余额x1、 累计应收贷款x2、贷款项目个数x3和固定资 产投资额x4的线性回归方程，并解释各回 归系数的含义
方差 2都相同
3. 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量， 即ε~N(0,2)，且相互独立
多元回归方程
(multiple regression equation)
1. 描述因变量 y 的平均值或期望值如何依赖 于自变量 x1， x2 ，…，xk的方程
2. 多元线性回归方程的形式为
E( y ) = b0+ b1 x1 + b2 x2 +…+ bk xk
10.2 回归方程的拟合优度
10.2.1 多重判定系数 10.2.2 估计标准误差
多重判定系数
多重判定系数 (multiple coefficient of determination)
1. 回归平方和占总平方和的比例 2. 计算公式为
n
R2
i1 n
yˆi yi
y 2 y 2
SSR SST
– H0：b1b2bk=0 线性关系不显著 – H1：b1，b2， bk至少有一个不等于0
2. 计算检验统计量F
n
F SSR k SSE (n k 1)
n
yˆi y2 k
i 1
~ F(k , n k 1)
yi yˆ2 (n k 1)
i 1
3. 确定显著性水平和分子自由度k、分母自由度n-