人教版数学必修四：2.2.3向量的数乘(1)学案(教师版)

课题： §2.2.3 向量的数乘（1） 总第____课时 班级_______________

姓名_______________ 【学习目标】

（1）理解向量数乘的定义；

（2）掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算。

【学习重点难点】

重点：实数与向量的积的定义及其运算律，

难点：应用数乘进行运算。

【学习过程】

一、自主学习与交流反馈：

质点从点O 出发做匀速直线运动,若经过1s 的位移对应的向量用表示,那么在同方

向上经过3s 的位移所对应的向量可用a 3来表示.

学生活动

问题：这里, a 3是何种运算的结果？

3是数量还是向量？

如何确定它的大小、方向？

二、知识建构与应用：

1．定义：实数与向量的积的定义：

一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如下：

（1）||||||a a λλ=；

（2）当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；

当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；

当0λ= 时，0a λ=．

2．实数与向量的积的运算律：

（1）()()a a λμλμ= （结合律）；

（2）()a a a λμλμ+=+ （第一分配律）；

（3）a a b λλλ+（+b ）= （第二分配律）

． 结论：向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算；

向量的线性运算的结果仍是一个向量.

三、例题

例1 已知向量和向量,求作向量-2.5和2-3.

b

a

例2 计算:

(1) 3(a -)-2(a +2)

(2) 2(2+6-3)-3(-3+4-2)

例3 在∆ABC 中，设−→−AB =1e ，−→−AC =2e ，若D 、E 是BC 的三等分点，用1e ，2e 表示−→−AD ，−→−AE .

思考：如图，在平行四边形ABCD 中，点M ，N 分别是BC CD ,的中点，已知c AM =，=，试用，表示AB 和AD 。

D M C

四、巩固练习

1．如图，已知向量,求作向量2,3.a a - a

2．计算：

（1）3(45)a b -+；

（2）6(24)(32)a b a b ---.

3．化简：3

1)(31)(31+-+

+=__________.

4．已知向量122a e e =+，1235b e e =-，求43a b -（用12,e e 表示）.

5．若=+,则3(+2)-2(+3)-2(+)=__________.

五、回顾反思

六、作业批改情况记录及分析