流体力学(热能)第7章 一元气体动力学基础讲解
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d
c kRT
3、音速的性质与意义 性质：
（1）c反映流体压缩性的大小; （2）c与T有关； （3）c与k、R有关（气体性质），各种气体有自己的音 速值。 空气中音速c=340m/s，氢气中c=1295m/s。
意义:
气体动力学中，音速是一个重要参数， 一是判断气体压缩性对流动影响的一个标准； 二是判别流动型态的标准。
（2）判断气流压缩性影响程度的指标
气体的压缩性随M 的增大而增大。流速高，气体的压缩性影
响显著提高。实际工程中常用流速判别气流按可压缩气体或 不可压缩气体的界限。 常温下（15º），M=0.2，v≤0.2×340m/s=68m/s，按不可压 缩液体处理。 （ρ,p,T变化不显著） v>68m/s时，压缩性不可忽略。
本章主要内容： 介绍一维可压缩流体的基本方程和可压缩气体在管中的流动。
§9-1 理想气体一元恒定流的基本方程（能量方程）
气体一元恒定流动的运动微分方程：
S 1 p dvs vs vs ds
s dt t s dt
1 dp v dv 0
ds ds
dp vdv 0 或
k
1
M
2
)
1 2
c
2
(9 2 13) (9 2 14)
已知滞止参数，M，可求断面参数。
2、M的意义 无因次数，其物理意义为：反映惯性力与弹性力的对比关系。
（1）判断可压缩性流体流动型态的重要参数。 M>1，v>c 超音速流动，气流参数不能向上游传播， 只向下游。 M<1，v<c 亚音速流动，气流参数向多方向传播； M=1，v=c 临界流动， 向下游传播。
（3）引入焓 iu p
i v2 常数 2
(9 113) 绝热流动的全能方程式
u：单位质量气体所具有的内能
(9 114)
任意两断面：
i1
v12 2
i2
v22 2
说明：进行气体动力学计算时，需要热力学知识，压强、温度只能用绝对压 强和卡尔文温度（绝对温度）。
例9-1、9-2 p252
第九章 一元气体动力学基础
前言： 在前面各章中，除了个别情况（如水击问题）外,均未考虑流体的压缩性， 这对一般温度、压强下的液体流动和流速、压强均不高的气体流动来说都是 允许的。但是，当气流速度较高，所受压强较大时，气体的密度将发生显著 的变化，从而引起气流运动形态和运动参数的变化，它与不可压缩流体运动 有着本质的差别。在这种情况下，必须考虑气体的压缩性，否则将导致错误 的结果，即考虑气体密度随压强和温度的变化。
二、滞止参数
1、滞止参数：气流某断面的流速，设想以无摩擦绝热过程降 低至零时，该断面的气流状态为滞止状态，相应的气流参数 称滞止参数。（等熵过程）
p0, 0,T0,i0,c0
2、参数的计算公式，根据能量方程及有关断面参数求得。
k p0 0 k p v2
k 1 0
k 1 2
3、气体一元绝热流动的能量方程
绝热过程：
p
等熵过程： k
c 常数
k cp 绝热指数 cv
（1）
k p v2 常数
k 1 2
或 k p1 v12 k p2 v22
k 1 1 2 k 1 2 2 可变为（2）
u p v2 常数
2
三、马赫数
1、定义：当地气流速度v与音速c的比值，称为马赫数，用M表示。 M v c
为便于分析计算，把滞止参数与断面参数表示为马赫数的函数。
T0 1 k 1 M 2
T
2
p0
(1
k
1 M
k 2 ) k1
p
2
0
(1
k
2
1
M
2
)
1 k 1
c0
(1
ห้องสมุดไป่ตู้
§9-3 气体一元恒定流动的连续性方程
一、连续性微分方程
1、（形式一）dv d dA 0 vA
vA 常数 ① d (vA) 0
2、（形式二）
dA A
(M
2
1)
dv v
② dp vdv 0
一、音速
§9-2 音速 滞止参数 马赫数
1、概念：音速指声音在流体中的传播速度。
事实上，在静止或运动着的流体中，任何微小的扰动（如压强、流速、
密度等的变化）都将以波的形式向四面八方传播，其传播速度就是声音在 流体中的传播速度，用符号c表示。下面结合扰动波传播的物理过程，具体 导出音速的计算公式。
2、计算公式
分析：小扰动波传播的物理过程， 等截面直管，管中充满静止的可压
A dv F
dv c
缩气体，密度为ρ，压强为p，F作用 dv向右运动，产生微小的平面扰动波， 波速为c 。坐标固在波峰上。如图：
小扰动波波峰
12
c-dv c
12
（1）连续性方程：1-2断面的控制体
cA (c dv)( d)A
dp d（v2 ） 0
2
1、气体一元定容流动的能量方程
ρ=常数
p v2 常数
2
p1 v12 p2 v22
2 2
2、气体一元等温流动的能量方程
RT ln p v2 常数 2
( p RT 常数)
或
RT ln
p1
v12 2
RT ln
p2
v22 2
略去二阶无穷小量
d
dv c
（2）动量方程：
cA[(c dv) c] pA ( p dp)A（质量力为零，忽略切应力）
整理后， dp cdv
两式消去dv，可得：
c dp
d
音速公式
进一步研究：
（1） E 1 dp d
E c2
c E
（2） dp k p kRT
k
k 1
RT0
k
k 1
RT
v2 2
(9 2 9)
i0
i
v2 2
(9 2 10)
c02 c2 v2 k 1 k 1 2
(9 2 11)
(c kRT 称为当地音速 ,
c kRT0 称为滞止音速 )
分析：（1）等熵流动，各滞止参数不变，T0,i0,c0 反映全部能量； （2）等熵流动，v ，则 T,i,c 沿程下降； （3）由于v存在，c<c0，cmax=c0； （4）有摩擦绝热气流中，T0,i0,c0 不变，总能量不变； （5）有摩擦等温气流中，与外交换热量，使T0沿程变化。
c kRT
3、音速的性质与意义 性质：
（1）c反映流体压缩性的大小; （2）c与T有关； （3）c与k、R有关（气体性质），各种气体有自己的音 速值。 空气中音速c=340m/s，氢气中c=1295m/s。
意义:
气体动力学中，音速是一个重要参数， 一是判断气体压缩性对流动影响的一个标准； 二是判别流动型态的标准。
（2）判断气流压缩性影响程度的指标
气体的压缩性随M 的增大而增大。流速高，气体的压缩性影
响显著提高。实际工程中常用流速判别气流按可压缩气体或 不可压缩气体的界限。 常温下（15º），M=0.2，v≤0.2×340m/s=68m/s，按不可压 缩液体处理。 （ρ,p,T变化不显著） v>68m/s时，压缩性不可忽略。
本章主要内容： 介绍一维可压缩流体的基本方程和可压缩气体在管中的流动。
§9-1 理想气体一元恒定流的基本方程（能量方程）
气体一元恒定流动的运动微分方程：
S 1 p dvs vs vs ds
s dt t s dt
1 dp v dv 0
ds ds
dp vdv 0 或
k
1
M
2
)
1 2
c
2
(9 2 13) (9 2 14)
已知滞止参数，M，可求断面参数。
2、M的意义 无因次数，其物理意义为：反映惯性力与弹性力的对比关系。
（1）判断可压缩性流体流动型态的重要参数。 M>1，v>c 超音速流动，气流参数不能向上游传播， 只向下游。 M<1，v<c 亚音速流动，气流参数向多方向传播； M=1，v=c 临界流动， 向下游传播。
（3）引入焓 iu p
i v2 常数 2
(9 113) 绝热流动的全能方程式
u：单位质量气体所具有的内能
(9 114)
任意两断面：
i1
v12 2
i2
v22 2
说明：进行气体动力学计算时，需要热力学知识，压强、温度只能用绝对压 强和卡尔文温度（绝对温度）。
例9-1、9-2 p252
第九章 一元气体动力学基础
前言： 在前面各章中，除了个别情况（如水击问题）外,均未考虑流体的压缩性， 这对一般温度、压强下的液体流动和流速、压强均不高的气体流动来说都是 允许的。但是，当气流速度较高，所受压强较大时，气体的密度将发生显著 的变化，从而引起气流运动形态和运动参数的变化，它与不可压缩流体运动 有着本质的差别。在这种情况下，必须考虑气体的压缩性，否则将导致错误 的结果，即考虑气体密度随压强和温度的变化。
二、滞止参数
1、滞止参数：气流某断面的流速，设想以无摩擦绝热过程降 低至零时，该断面的气流状态为滞止状态，相应的气流参数 称滞止参数。（等熵过程）
p0, 0,T0,i0,c0
2、参数的计算公式，根据能量方程及有关断面参数求得。
k p0 0 k p v2
k 1 0
k 1 2
3、气体一元绝热流动的能量方程
绝热过程：
p
等熵过程： k
c 常数
k cp 绝热指数 cv
（1）
k p v2 常数
k 1 2
或 k p1 v12 k p2 v22
k 1 1 2 k 1 2 2 可变为（2）
u p v2 常数
2
三、马赫数
1、定义：当地气流速度v与音速c的比值，称为马赫数，用M表示。 M v c
为便于分析计算，把滞止参数与断面参数表示为马赫数的函数。
T0 1 k 1 M 2
T
2
p0
(1
k
1 M
k 2 ) k1
p
2
0
(1
k
2
1
M
2
)
1 k 1
c0
(1
ห้องสมุดไป่ตู้
§9-3 气体一元恒定流动的连续性方程
一、连续性微分方程
1、（形式一）dv d dA 0 vA
vA 常数 ① d (vA) 0
2、（形式二）
dA A
(M
2
1)
dv v
② dp vdv 0
一、音速
§9-2 音速 滞止参数 马赫数
1、概念：音速指声音在流体中的传播速度。
事实上，在静止或运动着的流体中，任何微小的扰动（如压强、流速、
密度等的变化）都将以波的形式向四面八方传播，其传播速度就是声音在 流体中的传播速度，用符号c表示。下面结合扰动波传播的物理过程，具体 导出音速的计算公式。
2、计算公式
分析：小扰动波传播的物理过程， 等截面直管，管中充满静止的可压
A dv F
dv c
缩气体，密度为ρ，压强为p，F作用 dv向右运动，产生微小的平面扰动波， 波速为c 。坐标固在波峰上。如图：
小扰动波波峰
12
c-dv c
12
（1）连续性方程：1-2断面的控制体
cA (c dv)( d)A
dp d（v2 ） 0
2
1、气体一元定容流动的能量方程
ρ=常数
p v2 常数
2
p1 v12 p2 v22
2 2
2、气体一元等温流动的能量方程
RT ln p v2 常数 2
( p RT 常数)
或
RT ln
p1
v12 2
RT ln
p2
v22 2
略去二阶无穷小量
d
dv c
（2）动量方程：
cA[(c dv) c] pA ( p dp)A（质量力为零，忽略切应力）
整理后， dp cdv
两式消去dv，可得：
c dp
d
音速公式
进一步研究：
（1） E 1 dp d
E c2
c E
（2） dp k p kRT
k
k 1
RT0
k
k 1
RT
v2 2
(9 2 9)
i0
i
v2 2
(9 2 10)
c02 c2 v2 k 1 k 1 2
(9 2 11)
(c kRT 称为当地音速 ,
c kRT0 称为滞止音速 )
分析：（1）等熵流动，各滞止参数不变，T0,i0,c0 反映全部能量； （2）等熵流动，v ，则 T,i,c 沿程下降； （3）由于v存在，c<c0，cmax=c0； （4）有摩擦绝热气流中，T0,i0,c0 不变，总能量不变； （5）有摩擦等温气流中，与外交换热量，使T0沿程变化。