2017组合与组合数公式
组合计算的公式
组合计算的公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：组合计算是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
在组合中，我们关心的是从一个给定的集合中选择一定数量的元素，而不考虑元素的具体顺序。
在组合计算中，最基本的概念就是组合数，它表示从n个元素中选取k个元素的方法数。
组合数的计算公式如下：\[ C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]n表示总共有多少个元素，k表示选择多少个元素，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*1，k!表示k的阶乘，(n-k)!表示n-k的阶乘。
组合数的计算方法有很多种，其中最常用的就是利用公式直接计算。
我们也可以通过排列组合的思想来理解组合数的计算过程。
我们可以将选取k个元素的过程看作是从n个元素中排列，然后再去除掉顺序不同但元素相同的排列，这样就能得到组合数。
除了求解组合数，组合计算还可以应用在很多实际问题中。
我们可以利用组合数来计算从一副扑克牌中取出一副手牌，或者从一组人员中选取一个团队。
在概率统计中，组合计算也有着重要的应用，比如计算事件发生的可能性等。
组合计算还与二项式定理密切相关。
二项式定理是一个常见的代数公式，可以用来展开一个二项式的幂。
在二项式定理中，系数与组合数有着密切的联系，这也进一步说明了组合计算的重要性。
组合计算是一个非常有趣的数学领域，它不仅有着丰富的理论基础，还有着广泛的应用场景。
通过深入学习组合计算，我们可以更好地理解数学中的各种概念，并且在实际生活中也能够运用它来解决一些问题。
希望大家能够对组合计算有一个更深入的了解，从而在数学领域有更出色的表现。
第二篇示例：组合计算是组合数学中的一项重要内容，它涉及到排列、组合、选择等概念。
在实际生活中，组合数学被广泛应用于统计学、概率论、计算机科学等领域，因此掌握组合计算的公式对于理解和解决许多实际问题非常重要。
组合计算的基本概念是指从n个不同元素中取出r个元素进行组合，组合数用C(n, r)表示，其中n为集合的元素个数，r为要取出的元素个数。
组合与组合数公式
解：（1） C83 56 ⑵
⑶
C
3 7
35
C72 21
我们发现：
C83
C72
C
3 7
为什么呢
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
从a1, a2 , a3,, an1这n 1个不同元素中， 每次取出m个元素。 （1）可以有多少个不同的组合？ （2）在这些组合里有多少个是含有a1的？ （3）在这些组合里有多少个是不含有a1的？ （4）从上面的结果可以得到一个怎样的公式？
推广:
从 n个不同元素中取出 m个元素的每一个 组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合一一 对应，所以从 n个不同元素中取出 m个元素 的组合数，等于从这n 个元素中取出n-m 个元 素的组合数，即
c c m n
nm n
组合数的两个性质
定理1:
Cmn
Cnm n
.
证明: Cmn m（! nn！m）!,
例5、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分 法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本； （2）分为三份，每份2本； （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本： （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2 本，一人 3本。
例6、某省的福利彩票中，不考虑次序的7个数码组 成一注，7个数码中没有重复，每一个数码都选自 数码1,2，…，36，如果电视直播公开摇奖时只有 一个大奖，计算：
a a a 推广:从
1,
2,
n1这n+1个不同的元素中，
a c a a a a a 取出m个元素的组合数
一类含 ，一1类不含
组合与组合数公式2
C
m n1
98 199 【例 2】 (1)计算C100 + C200 ; 3������ +6 (2)已知C18 = C18 , 求������; 4 8 4 4 4 (3)化简C5 + C6 + C7 + C8 + C8 . 分析:先把组合数利用性质进行化简,或利用组合数性质求解. 4������ -2
������ ������ -1 ������ -2 ������ ������ -1 ������ -1 ������ -2 (4)证明: C������ + 2C������ + C������ = C������ + C������ + C������ + C������ ������ ������ -1 ������ = C������ + C = C +1 ������ +1 ������ +2 .
������+1 ������ +1 ·C������ ; ������-������
(3)证明: ∵
������ C������
������! ������+1 ������+1 ������! ������+1 = ������!(������-������)! , ������-������ ·C������ = ������-������ ·(������+1)!(������-������-1)!
A C A
n n
m
m
m m
组合数公式:
A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!
m n m n m m
n! C m !(n m)!
组合与组合公式
4 m,
所以m-3=4，m=7. 答案：7
1.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系. （1）有序与无序的区别. （2）同是从n个不同元素中取m个元素，但是组合
一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序. 2.理解组合数的定义与公式
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有 组合数 不同组合的个数 ，叫做从 n 个不同元素中取 定义 出 m 个元素的组合数 表示法 组合数 公式
个不同的和？ 个不同的商？
组合问题, C
2 4
③从1，3，5，9中任取两个数相除，可得多少
排列问题,但不是求 A
2 4
例2、计算：
（ 1） C
4 7
（ 2） C
7 10
例3：解含组合数的方程
(1)方程 Cx 1 C2x 3 的解为__________. 13 13 【解析】(1)由原方程得x+1=2x-3或x+1+2x-3=13，
0 x 1 13, 0 2x－3 13, 所以x=4或x=5，又由 x 1 N*, 2x－3 N *. 3 得 2 ≤x≤8且x∈N*，所以原方程的解为x=4或x=5.
答案：x=4或x=5
17n 3n C C 例4：求值： 2n 13 n .
所有不同排列的个数叫做从n个不同的元素中取
m 出m个元素的排列数.用符号 n 表示.
A
排列数与排列数公式
从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 排列数 的 所有不同排列的个数 ，叫做从 n 个不同 定义 元素中取出 m 个元素的排列数 排列数 表示法 乘积 形式 阶乘 形式
m Cn
乘积形式 阶乘形式
组合与组合数公式
步骤2
假设n=k时公式成立，推导n=k+1时的公式。
步骤3
由数学归纳法，得出结论对于所有正整数n， 组合数公式成立。
利用二项式定理的证明
步骤1
将组合数公式重写为与二项式定理形式相似的形式。
步骤2
利用二项式定理展开式中的系数与组合数公式中的系 数进行比较。
02
加密算法
组合数公式可以用于设计加密算法，通过计算不同字符或符号的组合数
量，增强信息的安全性。
03
信息传输
在无线通信和网络传输中，利用组合数公式可以优化信息的传输效率和
可靠性。通过对信号的不同组合方式进行编码和解码，可以提高通信系
统的性能。
感谢您的观看
THANKS
组合数表示从n个不同元素中取出m个 元素的组合的个数，记作C(n, m)或C(n, m)，其中C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)。
组合的特性
无序性
组合只考虑元素的排列顺序，不考虑元素的具体 位置。
可重复性
在组合中，可以重复选取同一个元素。
独立性
组合数不受元素数量的影响，只与选取的元素个 数有关。
01
概率分析
利用组合数公式，可以对彩票的概率进 行分析，帮助彩民更好地理解彩票的随 机性和公平性。
02
03
优化投注
通过计算不同组合下的中奖概率，彩 民可以优化自己的投注策略，提高中 奖的可能性。
在遗传学中的应用
基因组合
在遗传学中，基因的组合方式可以用组合数公式来表示。通过计算 基因组合的数量，可以了解生物体的遗传多样性。
组合数的上标和下标规则
上标和下标规则
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.
排列组合公式总结大全(3篇)
第1篇在数学中，排列组合是研究有限集合中元素的不同排列和组合方式的一种数学分支。
它广泛应用于统计学、概率论、计算机科学、组合数学等领域。
以下是对排列组合中常用公式的总结，以供参考。
一、排列1. 排列的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2. 排列数公式：A(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
3. 排列的运算性质：（1）交换律：A(n, m) = A(n-m, n-m)（2）结合律：A(n, m) × A(m, k) = A(n, k)（3）逆运算：A(n, m) × A(m, n-m) = n!二、组合1. 组合的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，不考虑它们的顺序，这样的取法称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
2. 组合数公式：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]3. 组合的运算性质：（1）交换律：C(n, m) = C(n-m, n-m)（2）结合律：C(n, m) × C(m, k) = C(n, k)（3）逆运算：C(n, m) × C(m, n-m) = C(n, n)三、排列与组合的关系1. 排列与组合的关系：A(n, m) = C(n, m) × m!2. 排列与组合的区别：（1）排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。
（2）排列的运算性质与组合的运算性质不同。
四、排列组合的应用1. 排列组合在概率论中的应用：计算随机事件发生的概率。
2. 排列组合在计算机科学中的应用：设计算法、密码学、数据结构等。
3. 排列组合在统计学中的应用：抽样调查、数据分析等。
组合数公式
组合数编辑
从m个不同元素中，任取n(n≤m)个元素并成一组，叫做从m个不同元素中取出n个元素的一个组合；从m个不同元素中取出n(n≤m)个元素的所有组合的个数，叫做从m个不同元素中取出n个元素的组合数。
在线性写法中被写作C(m,n)。
c(m,n)=p(m,n)/n!=m!/((m-n)!*n!)
1.互补性质
组合数性质如右图所示：
即从m个不同元素中取出n个元素的组合数=从m个不同元素中取出(m-n)个元素的组合数组合数性质
组合数性质
这个性质很容易理解，例如C(9,2)=C(9,7)，即从9个元素里选择2个元素的方法与从9个元素里选择7个元素的方法是相等的。
规定：C(m,0)=1
2.组合恒等式
若表示在n个物品中选取m个物品，则如存在下述公式：C(n,m)= C(n,n-m)= C(n-1,m-1)+C(n-1,m)。
组合与组合数公式
组合与组合数公式1．组合的定义一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．组合的概念中有两个要点：(1)取出元素，且要求n 个元素是不同的；(2)“只取不排”，即取出的m 个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质 2．组合数的概念、公式、性质组合数定义 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数表示法C mn组合数 公式 乘积式 C m n＝A mn A m m ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！阶乘式C mn ＝n ！m ！（n －m ）！性质 C mn ＝C n －mn ，C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n 备注①n ，m ∈N *且m ≤n ；②规定：C 0n ＝1判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a 1，a 2，a 3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C 23.( ) (2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)C 35＝5×4×3＝60.( ) (4)C 2 0162 017＝C 12 017＝2 017.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ 若A 3n ＝8C 2n ，则n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9答案：A计算：(1)C 37＝________；(2)C 1820＝________． 答案：(1)35 (2)190甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有________种．解析：车票的票价有C23＝3种．答案：3探究点1 组合概念的理解判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？(4)5个人相互写一封信，共写了多少封信？【解】 (1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．(3)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题．(4)发信人与收信人是有区别的，是排列问题．判断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起．区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．判断下列问题是排列问题还是组合问题：(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．(2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．探究点2 组合数公式、性质的应用计算下列各式的值．(1)3C 38－2C 25； (2)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310； (3)C 5－nn ＋C 9－nn ＋1. 【解】 (1)3C 38－2C 25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.(2)利用组合数的性质C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n ， 则C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310 ＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 310－C 44＝ …＝C 411－1＝329.(3)⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5. 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.[变条件]若将本例(2)变为：C 55＋C 56＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510，如何求解？ 解：原式＝(C 66＋C 56)＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510 ＝(C 67＋C 57)＋C 58＋C 59＋C 510＝… ＝C 610＋C 510＝C 611＝C 511 ＝11×10×9×8×75×4×3×2×1＝462.关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用nn －mC mn －1＝nn －m·（n －1）！m ！（n －1－m ）！＝n ！m ！（n －m ）！＝C mn 进行计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！（n －m ）！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C mn ＝C n －mn 简化运算．1.C 58＋C 98100C 77＝________．解析：C 58＋C 98100C 77＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006. 答案：5 0062．若C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363，则正整数n ＝________． 解析：由C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363， 得1＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364， 即C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364. 又C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1，则C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 35＋C 25＋C 26＋…＋C 2n ＝…＝C 3n ＋1，所以C 3n ＋1＝364，化简可得（n ＋1）n （n －1）3×2×1＝364，又n 是正整数，解得n ＝13. 答案：133．解方程：C 3n ＋618＝C 4n －218.解：由原方程及组合数性质可知， 3n ＋6＝4n －2，或3n ＋6＝18－(4n －2)， 所以n ＝2，或n ＝8，而当n ＝8时，3n ＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去． 因此n ＝2.探究点3 简单的组合问题现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？【解】 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45种． (2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法．根据分类加法计数原理，共有C 26＋C 24＝15＋6＝21种不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C 26×C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种．[变问法]本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？解：至少有1名男教师可分两类：1男1女有C16C14种，2男0女有C26种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C26＝39种．最多有1名男教师包括两类：1男1女有C16C14种，0男2女有C24种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C24＝30种．解简单的组合应用题的策略(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．[注意] 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问全部赛程共需比赛多少场？解：小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是每组6支球队的任两支球队都要比赛一次，所以小组赛共要比赛2C26＝30(场)．半决赛中甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名主客场各赛一场，所以半决赛共要比赛2A22＝4(场)．决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．1．下面几个问题属于组合的是( )①由1，2，3，4构成双元素集合；②5支球队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1，2，3构成两位数的方法；④由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法．A．①③B．②④C．①②D．①②④解析：选C.由集合元素的无序性可知①属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故②是组合问题；③④中两位数顺序不同数字不同为排列问题．2．若C n 12＝C 2n －312，则n 等于( )A ．3B ．5C ． 3或5D ．15解析：选C.由组合数的性质得n ＝2n －3或n ＋2n －3＝12，解得n ＝3或n ＝5，故选C. 3．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 410＝210种分法． 答案：2104．计算下列各式的值． (1)C 98100＋C 199200； (2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69； (3)C 38－n3n ＋C 3n21＋n .解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992×1＋200＝5 150.(2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧1≤38－n ≤3n ，1≤3n ≤21＋n ，即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤37，13≤n ≤212，所以192≤n ≤212.因为n ∈N *，所以n ＝10，所以C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝466.[A 基础达标]1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( ) A ．72种 B ．84种 C ．120种D ．168种解析：选C.需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C 310＝120(种)． 2．方程C x28＝C 3x －828的解为( ) A ．4或9 B ．4 C ．9D ．5解析：选A.当x ＝3x －8时，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8时，解得x ＝9.3．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( ) A ．24种 B ．12种 C ．10种D ．9种解析：选B.第一步，为甲地选1名女老师，有C 12＝2种选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C 24＝6种选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12种．故选B.4．化简C 9798＋2C 9698＋C 9598等于( ) A ．C 9799 B ．C 97100 C ．C 9899D ．C 98100解析：选B.由组合数的性质知，C 9798＋2C 9698＋C 9598 ＝(C 9798＋C 9698)＋(C 9698＋C 9598) ＝C 9799＋C 9699＝C 97100.5．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( ) A ．2人或3人 B ．3人或4人 C ．3人D ．4人解析：选A.设男生有n 人，则女生有(8－n )人，由题意可得C 2n C 18－n ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．故选A. 6．若A 3n ＝6C 4n ，则n 的值为________． 解析：由题意知n (n －1)(n －2) ＝6·n （n －1）（n －2）（n －3）4×3×2×1，化简得n －34＝1，所以n ＝7.答案：77．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种．解析：从10人中选派4人有C 410种方法，对选出的4人具体安排会议有C 24C 12种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有C 410C 24C 12＝2 520种． 答案：2 5208．若C m －1n ∶C mn ∶C m ＋1n ＝3∶4∶5，则n －m ＝________．解析：由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧C m －1n C m n ＝34，Cm nCm ＋1n＝45，由组合数公式得⎩⎪⎨⎪⎧3n －7m ＋3＝0，9m －4n ＋5＝0，解得：n ＝62，m ＝27.n －m ＝62－27＝35. 答案：359．判断下列问题是否为组合问题，若是组合则表示出相应结果．(1)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列，构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？ 解：(1)与顺序无关是组合问题，共有C 510种不同分法． (2)大小顺序已确定，故是组合问题，构成三位数共有C 39个． (3)握手无先后顺序，故是组合问题，共需握手C 210次． 10．(1)解方程：C x －2x ＋2＋C x －3x ＋2＝110A 3x ＋3； (2)解不等式：1C 3x －1C 4x ＜2C 5x.解：(1)原方程可化为C x －2x ＋3＝110A 3x ＋3，即C 5x ＋3＝110A 3x ＋3，所以（x ＋3）！5！（x －2）！＝（x ＋3）！10·x ！，所以1120（x －2）！＝110·x （x －1）·（x －2）！，所以x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3， 经检验知，x ＝4是原方程的解． (2)通过将原不等式化简可以得到6x （x －1）（x －2）－24x （x －1）（x －2）（x －3）＜240x （x －1）（x －2）（x －3）（x －4）.由x ≥5，得x 2－11x －12＜0，解得5≤x ＜12. 因为x ∈N *，所以x ∈{5，6，7，8，9，10，11}．[B 能力提升]11．式子C m ＋210＋C 17－m10(m ∈N *)的值的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2≤10，17－m ≤10，得7≤m ≤8，所以m ＝7或8.当m ＝7时，原式＝C 910＋C 1010. 当m ＝8时，原式＝C 1010＋C 910， 故原式的值只有一个．12．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有( ) A ．35种 B ．70种 C ．30种D ．65种解析：选B.先从7人中选出3人有C 37＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案种数为2C 37＝70.13．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球，有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝7×62×1＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝错误!＝35.14．(选做题)某足球赛共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场比赛？ 解：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C 24＝6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，16强分成8组，每组两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场，决出第三、四名，共有2场．综上，共有48＋8＋4＋2＋2＝64场比赛．。
高中数学 组合与组合数公式(三)
变式2：已知C 求C
x 5 2x
x x2
C
5 x 1
C ,
C
x4 2x
例2 平面内有12个点，任何3点不在 同一直线上,以每3点为顶点画一个三 角形,一共可画多少个三角形?
C
3 12
12 11 10 3 2 1
220
答:一共可画220个三角形.
变式
1. 从9名学生中选出3人做值日,有多 少种不同的选法?
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求
变式
按下列条件，从12人中选出5人，有多少 种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
3 3 2 9 2 3 3 9 1 3 4 9
Байду номын сангаас
方法二：C C C 666
5 12 0 3 5 9
说明：当至多（至少）中包括的情况很 多时，用间接法比直接法简单的多。
例5：6本不同的书全部送给5人， 每人至少一本，有几种不同的送书方法？
分析：这是一个常见的排列组合混合题， 对于这样的题目，解题思想：先组后排， “每人至少一本”的含义是“必然有1人得2本 2 5 所以，要分两步 C6 A5 1800
(1)C C 36
3 3 2 9
(2)C C 126
0 3 5 9 1 4 (3)C1 C9 126 1 4 (4)C3 C9 378 3 1 4 5 (5)方法一：C32C9 C3 C9 C30C9 756 5 3 2 方法二：C12 C3 C9 756
计算组合数公式
计算组合数公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：计算组合数公式是组合数学中的一个重要内容，它描述了从一组元素中选择若干个元素的方式。
在数学中，通常用符号C(n, k)表示从n 个元素中选择k个元素的组合数。
组合数公式在组合数学、概率论和统计学中具有广泛的应用，它在很多领域都扮演着重要的角色。
组合数公式的计算方法有多种，其中最常用的方法是利用排列组合的知识来推导。
下面将介绍几种常见的计算组合数公式的方法。
1. 递推关系式递推关系式是一种通过已知的组合数来计算新的组合数的方法。
通常情况下，我们可以利用以下的递推关系式来计算组合数：C(n, k) = C(n - 1, k - 1) + C(n - 1, k)其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
递推关系式可以帮助我们快速计算任意n和k的组合数。
2. 公式法其中n!表示n的阶乘，即n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 1。
利用这个公式，我们可以直接计算任意n和k的组合数。
3. 杨辉三角杨辉三角是一种用于计算组合数的图形表示方法，它具有很好的可视化效果。
在杨辉三角中，每个数字表示相应位置的组合数。
杨辉三角的规律是每个数等于上一行对应位置的两个数之和。
通过查找杨辉三角中相应的数字，我们可以快速计算任意n和k的组合数。
计算组合数公式是组合数学中的一个基础知识，对于很多数学问题都具有重要的应用价值。
通过递推关系式、公式法和杨辉三角等方法，我们可以快速、准确地计算任意n和k的组合数。
希望通过本文的介绍，读者能对计算组合数公式有一个更加深入的了解。
第二篇示例：组合数公式是组合数学中的一种基本概念，用来表示从n个不同元素中取出m个元素进行组合的方法数。
组合数公式在数学、统计学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
它不仅可以用于解决实际问题，还可以帮助我们更好地理解抽象问题的规律性。
组合数的计算公式有多种推导方法，其中最常用的是基于二项式定理的组合数公式。
组合的计算公式原理和方法
组合的计算公式原理和方法组合是数学中一个重要的概念，它涉及到从给定的元素集合中选择若干个元素，而不考虑元素的顺序。
在实际生活中，组合的概念被广泛应用于排列组合、概率统计、计算机算法等领域。
本文将从组合的计算公式原理和方法进行详细介绍。
一、组合的定义。
在数学中，组合是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同的选择方式的个数。
一般用C(n,m)表示，即从n个元素中取出m个元素的组合数。
组合数的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! (n-m)!)。
其中，n!表示n的阶乘，即n(n-1)(n-2)...1。
m!表示m的阶乘，即m(m-1)(m-2)...1。
n-m表示n与m的差值。
二、组合的计算方法。
1. 递推法。
组合数的计算可以采用递推法，即从已知的组合数推导出新的组合数。
递推法的思路是利用组合数的性质，通过已知的组合数计算出新的组合数。
具体实现方法是利用组合数的性质C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)来计算新的组合数。
2. 数学公式法。
组合数的计算也可以采用数学公式法，即直接使用组合数的计算公式进行计算。
这种方法适用于小规模的组合数计算，可以通过计算阶乘和求解差值来得到组合数的值。
3. 动态规划法。
在计算机算法中，组合数的计算可以采用动态规划法。
动态规划法的思路是将大问题分解成小问题，通过保存已计算的结果来避免重复计算，从而提高计算效率。
具体实现方法是使用一个二维数组来保存已计算的组合数值，通过填表的方式逐步计算出所有的组合数值。
三、组合的应用。
1. 排列组合。
在排列组合问题中，组合数的计算是一个重要的环节。
排列组合问题涉及到从给定的元素集合中选择若干个元素，而不考虑元素的顺序。
组合数的计算可以帮助解决排列组合问题，从而得到所有可能的选择方式。
2. 概率统计。
在概率统计中，组合数的计算也是一个重要的内容。
概率统计问题涉及到从给定的元素集合中选择若干个元素，计算出发生某种事件的概率。
组合与组合数公式(二)
组合数的定义公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)
组合数的性质
组合数的性质一
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同 元素中取出m个元素和取出n-m个元 素的组合数相等。
k)。
递推关系法
定义
递推关系法是通过组合数之间的递推关 系，逐步推导出所需的组合数值。
VS
举例
例如，已知C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n1,k)，可以根据这个递推关系逐步计算出 C(n,k)的值。
PART 03
组合数公式的应用
REPORTING
WENKU DESIGN
在概率论中的应用
在统计学中的应用
样本组合统计
在统计学中，样本组合是一种常见的 统计方法，而组合数公式可以用于计
算样本组合的概率和期望值。
因子分解
在统计学中，因子分解是一种重要的 数据分析方法，而组合数公式可以用
于因子分解的计算。
多元分布计算
在多元统计分析中，组合数公式可以 用于计算多元分布的概率和期望值。
在计算机科学中的应用
PART 04
组合数公式的扩展
REPORTING
WENKU DESIGN
超几何分布
定义
超几何分布是描述从有限总体中抽取n个样本，其中k个 是成功样本的概率分布。
01
公式
$P(X=k) = frac{{C_{M}^{k} cdot C_{N-M}^{n-k}}}{{C_{N}^{n}}}$，其中 M是成功样本的数量，N是总体样本的 数量，n是抽取的样本数量。
数学的组合公式
数学的组合公式
数学的组合公式是描述何种情况下从一组对象中选择若干个对象的方式。
它在
组合数学、离散数学和概率论等领域具有广泛的应用。
组合公式的求解可以帮助我们计算在给定条件下的排列组合个数，从而解决各种实际问题。
最常见的组合公式是组合数的计算公式，也叫做二项式系数。
在组合数 C(n, k) 中，n 表示从中选择的对象总数，k 表示要选择的对象个数。
组合数的计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
其中，n! 表示 n 的阶乘，即从 1 到 n 的所有正整数的乘积。
通过计算阶乘，我
们可以得到组合数。
组合数表示了从 n 个对象中选择 k 个对象的方式数。
例如，
C(4, 2) 表示在 4 个对象中选择 2 个对象的方式数，计算结果为 6。
除了组合数的公式外，组合公式还包括排列公式和多重集组合公式等。
排列公
式用于计算不同对象的排列方式数，多重集组合公式则用于计算从一个含有重复元素的集合中选择若干个元素的方式数。
总结来说，数学的组合公式是用于计算从一组对象中选择若干个对象的方式数
的公式。
其中最常见的是组合数公式，通过计算阶乘可以得到组合数。
组合公式在解决实际问题时具有重要的作用，例如在概率论、统计学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
☆☆☆☆组合与组合数公式
a c d
b
a b c
d
a b d
c
a
所有的排列为：
abc abd acb acd bac bad bca bcd cab cad cba cbd dab dac dba dbc
adb
adc
bda
bdc
cda
cdb
dca
dcb
组合
排列
abc acb abd adb acd adc bcd bdc bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果.
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合? 为什么? 两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合 呢? 什么是两个相同的排列？ 什么是两个相同的组合？
相同排列：元素相同且顺序相同.
相同组合：元素相同
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
回目录
练习
（1）将10个学生干部的培训指标分配给7个不同 的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方 案共有 （ C 6 84 ）种。
9
（2）不定方程 x1 x2 x3 共有（ C 6 84 ）组
9
x7 10
的正整数解
回目录
平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有 多少分法？ 2 2 2 解: 分三步取书得 C 6C 4C 2 种方法,但这里出现 重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF 若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 2 2 2 该分法记为(AB,CD,EF),则 C 6C 4C 2 中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) 3 (EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共有A 3种取法 ,而 平均分成的组 ,不管它们的顺序如何 ,都是一 这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共 n 种情况,2所以分组后要一定要除以 (n 为均 3 2 2 A n 有 C 6C 4C 2 A 3 种分法。
排列与组合公式计算公式
排列与组合公式计算公式
排列公式：
P(n,k)=(n−k)!n!
其中，n是总的元素数量，k是要选择的元素数量，! 表示阶乘。
组合公式：
C(n,k)=k!(n−k)!n!
其中，n 是总的元素数量，k 是要选择的元素数量，! 表示阶乘。
这两个公式都是组合数学中的基本公式，用于计算排列和组合的数量。
排列和组合是组合数学中的两个基本概念，它们有以下不同：
1.定义不同：排列是从n个不同的元素中取出r个元素（0≤r≤n），按照一定的顺序
排成一列，组合则是从n个不同的元素中取出r个元素（0≤r≤n），不考虑顺序。
2.计算公式不同：排列的计算公式为P(n,k)=(n−k)!n!，组合的计算公式为
C(n,k)=k!(n−k)!n!。
3.符号表示不同：排列符号为P(n,k)，组合符号为C(n,k)。
综上所述，排列和组合的区别主要表现在定义、计算公式和符号表示等方面。
组合的公式范文
组合的公式范文在组合数学中，组合是从集合中选择若干元素，不考虑元素的顺序。
组合的公式可以用来计算组合的总数。
组合数的计算与排列数的计算有所不同。
排列是考虑元素的顺序的，而组合则只关心元素的选择。
组合数常用符号是C，表示从n个元素中选择r个元素的组合数。
组合数可以用以下公式计算：C(n,r)=n!/(r!*(n-r)!)其中，n!表示n的阶乘，r!表示r的阶乘，(n-r)!表示n-r的阶乘。
阶乘表示从1到该数的连续乘积。
这个公式可以理解为，在n个元素中选择r个元素的组合数等于从n个元素中选择出的r个元素的排列数除以从r个元素中选择出的r个元素的排列数。
因为对于组合来说，选择的元素没有顺序，所以要用排列数除以r个元素的排列数来消除顺序的影响，得到组合数。
在实际应用中，组合的公式可以用来计算概率、统计学中的组合分布，以及组合优化问题等。
举例来说，假设有一个集合包含五个元素：{A,B,C,D,E}。
现在需要从中选择三个元素的组合数。
根据组合的公式可以计算：C(5,3)=5!/(3!*(5-3)!)=5!/(3!*2!)=(5*4*3!)/(3!*2*1)=(5*4)/(2*1)=10因此，在给定的集合中，选择三个元素的组合数为10。
C(52,5)=52!/(5!*(52-5)!)=52!/(5!*47!)=(52*51*50*49*48)/(5*4*3*2*1)=2,598,960因此，在标准扑克牌组中，选择五张牌的组合数为2,598,960。
总结起来，组合的公式是用来计算从给定集合中选择若干元素的组合总数。
这个公式可以解决很多实际问题，帮助人们在组合数学中进行计算和分析。
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一个因数少1,最后一个因数是1．
注意区别: Anm n(n 1)(n 2)L (n m 1)
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L (n m 1) m(m 1)(m 2)L 1
排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
A 求 3可分两步考虑： 4
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
A C A 根据分步计数原理， 3 4
元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个排列.
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
C C C 例6 计算：⑴
4 7
⑵
7 10
⑶
7 35
C A (5) 已知 3 2 ,求 n ．
n
n
C ⑷
197 200
例7.计算:
(1)C929
如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个
元素的所有组合.
a
b
c
bcd
cd
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd 6个
练习: 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请
赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
C 以计算 3 为例,来推导组合数公式 4
写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
c
a
b c
d d
abc ， abd ， acd ， bcd .
b cd
写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有排列.
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
bcd acd abd abc
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候， 共需握手多少次? 组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的 所有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2）
冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古
俄
俄
俄
亚 军
美
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
古
俄
中
古
俄
中
美
俄
中
美
古
组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有 组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素
的组合数，用符号 Cnm 表示
如: C32 3 C42 6
C 思考:如何计算: m n
组合与组合数公式
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A32 6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
问题三：从1、2、3三个数字中选两个数字,能 组成多少个没有重复数字的两位数？
3
4
3 3.
3
A 从而 3 C4
4 3
A3
A C A m m m
n
n
m
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L (n m 1) m(m 1)(m 2)L 1
0 n
Cn11
C2 n2
C3 n3
C m1 n m 1
C m1 nm
例4:计算
(1)C33n8n
C 3n n 21
(2)C133nn
C 3n1 12 n
C3n2 11 n
C17n 2n
例5:解不等式
1 Cn3
1 Cn4
2 Cn5
Cnm
n! m!(n
m)!
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L (n m 1) m(m 1)(m 2)L 1
这里m、n N *,且m≤n，这个公式叫组合数公式.
它有以下三个特点： (1)分子和分母都是m个连续正整数连乘; (2)分子的第一个因数是n,后面每一个因数比它前面
a
b
c
d
所有的组合为：
abc ， abd ， acd ， bcd .
所有的排列为：
abc bac cab bca acb cba dab abd bad dba adb bda cad dac acd cda dca adc bcd cbd dbc bdc cdb dcb
组合
abc abd acd bcd
A32 6
有顺序
问题四：从1、2、3三个数字中选两个数字,能 构成多少个不同的集合？
{1,2}；{1,3}；{2,3}
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中取出m (m≤n)个
Anm
(n
n! m)!
Cnm
n! m!(n
m)!
规定: 0! 1
Cn0 1
由组合数公式知: Cnn 1
例1: 求证
C
m n
m 1 nm
C m1 n
例2: 求证
(1)
Cnm
C nm n
(2)
Cm n1
C m1 n
Cnm
组合数的两个 重要性质
例3:
求证
C