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2014年中考数学二轮复习：探究型问题解答技巧

2014年中考数学二轮复习：探究型问题解答技巧所谓存在性探究、探索题是指在一定的条件下，判断某种数学对象是否存在的问题。

这类问题构思巧妙，对考察学生思维的敏锐性、推理的严密性具有独特的作用。

存在性试题近年来频繁出现在中考试卷及各类竞赛考试中，主要以解答题的形式出现，其内容涉及到代数、几何等各知识点。

对存在性探索问题的解法思路一般是：先假设结论的某一个方面成立，通过结合已知条件数学公式、定理进行演算、推理论证，得到某一结论。

如果推理、演算得到的结论与某个已知条件、某个公式、定理相矛盾，说明我们前面的假设不成立；若通过推理、计算，得到的结论符合已知条件、公式、定理（包括客观的事实），说明我们前面的假设成立；整个过程可以概括为：“假设………推理…………否定或肯定结论…………得到结论”例1：如图所示，已知A(1,0)、B，C、D为直角坐标系内两点，点C在x轴负半轴上，且OC=2OA，以A点为圆心、OA为半径作⊙A。

直线CD切⊙A于D点，连结OD。

（1）求点D的坐标；（2）求经过O、B、D三点的抛物线解析式；（3）判断在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使ΔDCP∽ΔOCD？若存在，求出P点坐标；不存在，请说明理由。

分析：本例中第（3）小题是结论探索型题目。

欲判断在第2小题中得到的抛物线上是否存在一点P，使ΔDCP∽ΔOCD，可从代数、几何两个方面入手去考虑。

从代数入手，可先求抛物线与x轴的交点坐标，然后证明该点在⊙A上，进而证明该点满足条件ΔDCP∽ΔOCD。

从几何入手，可先考虑⊙A与x轴的另一交点（设为F）。

不难证明ΔDCF∽ΔOCD。

再证明点在（2）中所得的抛物线上，进而知F即为P点。

解：（1）连结AD，则AD⊥CD于D,作DE⊥OA于E。

∵点A坐标为（1，0），且OC=2OA，∴AC=3，∵sin∠ACD=,∴sin∠ADE=,∴AE=,因而OE=1－=，∴DE=，∴D点坐标为().（2）设抛物线y=ax2+bx+c经过O(0,0)、B()、D(),则C=0，且解得：，∴所求的抛物线的解析式为y=-x2+x.（3）设⊙A与x轴的另一个交点为F(2,0)，连结DF，∵CD切⊙A于D，∴∠CDO=∠CFD，又∠DCO=∠FCD，∴ΔOCD∽ΔDCF，将x=2代入y=-x2+x中，得y=0，∴F（2，0）在抛物线上，∴点F即为所求的P点，∴抛物线y=-x2+x上存在一点P，使ΔPCD∽ΔDCO。

中考数学探索题及其解题策略

推导法，即从问题的条件出发，多角度进行分析、从猜
想，寻找出符合条件的结论；也用到构造法，即通过构造特殊情况，出或寻找出满足条件的结论，求再对此结论加以验证说明；可用猜想法，而这种方法中直觉起关键
① 当点Ｒ落在矩形ＡＣＢＤ的内部或ＡＢ边上时，
中，Ｂ＝，Ｄ＝，Ｐ是边Ａ９Ａ３点ＢＣ上的动点（Ｐ不与点日，点图１
表达式的值为７Ｘ解出即可．７，然而重叠部分的面积又
会出现多种情况，需要我们分类讨论，在此给出第（）３问
Ｑ∥Ｂ交ＣＤ，Ｄ边于Ｑ点，把再
ＯＦ：肥＿１＿
这是一个图形规律探索题，它将等边三角形
与圆结合，使两个原本普普通通的几何图形带上了几分神秘的色彩．答这类问题的关键是注意分析图形特征解和图形的变换规律，并通过问题（）（）１、２的关系作合理
题）图１示，矩形ＡＣ如所在ＢＤ
Ｄ
Ｑ
Ｃ
ｐＢ
Ｒ落在矩形ＡＣＢＤ的ＡＢ边上．（）第３问较为复杂，根据
对结论的分析，即要求重叠部分面积为７．决此题的解关键在于用含的表达式表示重叠部分的面积，令该再
因为△ Ｐ △ｃＱ所以当０嘲冠ＱＰ，＜≤
边ＡＢ上，如图２所示，需要／ＰＲ＝０，据对已知只＿Ｂ９。根条件的分析，可知ＬＲＢ＝６。所以只需ＡＰＢ是内角Ｐ０，Ｒ

开放探究题-中考数学

开放探究题-中考数学开放探索性试题在中考中越来越受到重视，由于条件与结论的不确定性，使得解题的方法与答案呈多样性，学生犹如八仙过海，各显神通。

探索性问题的特点是：问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法，这类题主要考查学生分析问题和解决问题的能力和创新意识。

这类题对同学们的综合素质要求比较高，这类题往往作为中考试卷中的压轴题出现，在中考中所占比例在9％左右。

1．条件开放与探索给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不惟一，这样的问题是条件开放性问题。

它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。

[例1] 已知△ABC 内接于⊙O ，⑴当点O 与AB 有怎样的位置关系时，∠ACB 是直角？⑵在满足⑴的条件下，过点C 作直线交AB 于D ，当CD 与AB 有什么样的关系时，△ABC ∽△CBD ∽△ACD ？ ⑶画出符合⑴、⑵题意的两种图形，使图形的CD ＝2cm 。

[解析]：⑴要使∠ACB ＝90°，弦AB 必须是直径，即O 应是AB 的中点；⑵当CD ⊥AB 时，结论成立；⑶由⑵知DB AD CD ⋅=2，即422==⋅DB AD ，可作直径AB 为5的⊙O ，在AB 上取一点D ，使AD ＝1，BD ＝4，过D 作CD⊥AB 交⊙O 于C 点，连结AC 、BC ，即得所求。

⑴当点O 在AB 上（即O 为AB 的中点）时，∠ACB 是直角； ⑵∵∠ACB 是直角，∴当CD ⊥AB 时，△ABC ∽△CBD ∽△ACD ；⑶作直径AB 为5的⊙O ，在AB 上取一点D ，使AD ＝1，BD =4，过D 点作CD ⊥AB 交⊙O 于C 点，连结AC 、BC ，即为所求（如下图所示）。

[评注]：本题是一个简单的几何条件探索题，它突破了过去“假设——求证”的封闭式论证，而是给出问题的结论，逆求结论成立的条件，强化了对学生通过观察、分析、猜想、推理、判断等探索活动的要求。

初中探索性问题教案

初中探索性问题教案教案概述：本教案旨在通过探索性问题，激发学生的思维潜能，培养学生的创新能力和解决问题的能力。

教学过程中，教师需要引导学生主动探究，积极思考，通过小组合作、讨论交流等方式，找到问题的答案。

教学目标：1. 培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。

2. 培养学生团队合作、沟通交流的能力。

3. 培养学生创新思维、批判性思维的能力。

教学内容：1. 探索性问题：如何提高学生的学习效率？2. 教学方法：小组合作、讨论交流、PPT展示等。

教学步骤：1. 导入：教师通过一个有趣的例子，引出探索性问题：“如何提高学生的学习效率？”2. 小组讨论：学生分组，每组选择一个角度，进行讨论交流，寻找提高学习效率的方法。

3. 分享交流：每个小组选择代表，向全班同学分享他们的讨论成果。

其他同学可以对分享的内容进行评价、补充。

4. PPT展示：每个小组制作一份PPT，展示他们的探索过程和最终成果。

5. 总结：教师引导学生对各个小组的探索成果进行总结，筛选出提高学习效率的有效方法。

6. 课后作业：让学生根据自己的探索成果，制定一个提高学习效率的计划，并在课后进行实施。

教学评价：1. 学生参与度：观察学生在课堂上的参与情况，包括发言、讨论、展示等。

2. 学生创新能力：评价学生在探索过程中提出的新观点、新方法。

3. 学生团队合作能力：评价学生在小组合作中的表现，包括沟通交流、分工合作等。

4. 学生解决问题能力：评价学生对探索性问题的回答是否具有深度、广度。

教学反思：教师需要在教学过程中关注学生的反馈，根据学生的实际情况调整教学策略。

同时，教师也需要不断学习，提高自己的专业素养，以便更好地引导学生进行探索性学习。

通过本教案，学生能够培养探索问题的习惯，提高自己的学习效率，为未来的学习和生活打下坚实的基础。

中考数学复习中探索性问题教学初探

顺次结四形连边 ABCD各边中得到四形点，边 A,B,C,D,，再
顺连四形尽 ,D 边中，到边入 Z Z 次结边 A C ,各点得四形尹 . C尹
……如此下去得到四边形A B.C.D .
( 1)证明:四形边 A,B,C,D,是矩形。
(2)写出边 A,B,C,D，边 A BCD 面四形和四形 Z 2 2 2的积。
厂 F_ A宜 B C 夕
D
并且考查的是同学们非常熟悉的垂径定理的推论，通
过此问题探索，可使学生对垂径定理更深刻的掌握。例2加图， P是0 0 外一点 ,OP垂直弦AB于点C，交
丽于点D，连结OA,OB,AP,BP ，以上条件，根据写出三
个正确结论， OA=OB除外:
( 1) (2 )
} B mmmN O R " N a me n Pw *mq
昌宁县第二中学唐泽梅
数学探索性问题已成为近年来中考数学热点之一，也是摆在我们每位数学老师面前的一个重要课题，所以研究数学探索性问题的类型和解题策略，教会学生去分析、解决此类问题，有助于大面积提高中考数学
教学质量。下面，自己复习心得和同行探讨。就一、在分块复习中逐渐渗透数学探索性问题，消除学生的恐惧心理和畏难情绪分块复习是将整个初中数学知识按知识的结构分单元复习，这一阶段的主要任务是夯实基础，即使学生对单元的基本概念、公式、性质、定理和所涉及的基本
(3)写出四边形A B} D}的面积。 C 评析:这是一个规律探索题，此题着重考查用三角形中位线定理证明中点四边形是矩形及四边形面积求法，它体现了特殊到一般，有限到无限的化归，既考查学生逻辑推理能力，又培养了学生想象、猜想和验证直觉思维和抽象思维能力。以上三个例题均源于课本，又高于课本，并且都从学生所熟悉的问题出发，只要稍微点拨，学生可自己探究并尝试和体验成功。二、在综合复习中激发学生探索的激情和创新思维火花，稳定巩固探究的兴趣综合复习就是学生在熟悉掌握初中数学基础知识、基本方法和基本技能的基础上，能够综合运用所学知识去分析、解决问综合题涉及的知识广，题，思维、方法多，无固定的解题模式，这一阶段穿插的探索性问题要有一定的思维价值，选题注意围绕中考命题的总思路“ 稳中求新，注重能力考查”立足课本，，源于生活，让学生体现到生活中数学无处不在，数学即生活，生活即数学。例1.如图， ABC是某城市的一个新区， A AD是BC边上的高， BC=8千米， AD=4千米，现在规划新区内有两条主干道PE, PF,P, E, F分别在 △ABC的三条边上，且

中考数学探索性问题的解法

中考数学探索性问题的解法随着应试教育向素质教育的转轨，加强对学生各方面能力考察的题目成了近年来各省市中考试题中的热门问题，探索性问题便是其中一类应运而生的新题型，这一类问题对培养学生的创造性思维、想象能力和探索能力有很大帮助。

探索性问题又可分为结论探索型和存在探索型两种。

一、结论探索型问题此类题型一般是在给定题设条件下探求结论，它要求学生在对题设条件或图形认真分析的基础上，进行归纳，大胆猜想，然后通过推理、计算获得结论。

1．长方形的周长为24cm ，面积为64cm 2，则这样的长方体（）（A ）有一个（B ）有二个（C ）有无数个（D ）不存在2．在宽为a 的纸带中剪出直径为a 的圆5个，直径为2a的圆10个，排列方法如图1，计算所用纸带长度，请考虑能否再设计一种排列方法，使所用纸带的长度比原排列方法节省原材料？3.如图6、有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 同时出发，沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向点B 、C 、D 、A 移动。

（1）证明四边形PQEF 是正方形；（2）PE 是否总过某一定点，并说明理由；（3）四边形PQEF 的顶点位于何处时其面积有最大值、最小值，各是多少？4.如图7，在直角坐标系中，点O′的坐标为（2，0），⊙O′与x 轴交于原点O 和点A ，又B 、C 、E 三点的坐标分别为（－1，0），（0，3），（0，b ），且0<B<3。

（1）求点A 的坐标和经过B 、C 两点的直线的解析式；（2）当点E 在线段OC 上移动时，直线BE 与⊙O′有哪几种位置关系？并求出每种位置关系时，b 的取值范围。

二、存在探索型问题这类问题是在题设条件下探索相应的数学对象是否存在，它要求学生充分利用题设条件，通常是先在“假设对象存在”的前提下，根据条件下进行计算或推理，从而对“是否存在的数学对象”作出正确推断。

初中数学规律探究性题目的解题技巧

初中数学规律探究性题目的解题技巧摘要：近年来有关规律探索性题目在初中数学各种考试的试题中频繁出现，这类题目要求学生学会观察，懂得分析，善于归纳、总结，它不仅有利于促进学生数学知识和数学方法的巩固和掌握，也有利于学生思维能力的提高和自主探索、创新精神的培养。

就这类题目从数形结合等数学思想的角度出发，探求出解决初中数学规律问题的常规方法和新方法。

规律问题作为一种全新的题型，因其渗透了丰富的数学建模等数学思想而成为学生感到难度较大的问题。

解决此类问题要经历一个观察、分析、猜想判断、归纳总结、验证数学规律的过程，其关键要强化分类意识，并力求找出各部分的共性和特性才能使问题变得简单。

关键词：初中数学；规律探究性题目；解题技巧；共性；特性；数学思想一、代数中的规律问题规律问题的设置，通常按照一定的顺序给出一序列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。

而揭示的规律常常包含着事物的序列号。

所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就能很快的发现其中的奥秘。

例1.有一组数为1，3，6，10，15，21......，第n 个数为――。

分析：第一步，寻找个体的共性。

这组数的每一个数都等于它的序列号数加上它前面的一个数字。

第二步，寻找个体的特性，探求特性中的共性（即找第一个数与1的关系，第二个数与2的关系，第三个数与3的关系……），第一个数1=1，第二个数3=2+1，第三个数6=3+3=3+2+1，第四个数10=4+6=4+3+2+1，第五个数15=5+10=5+4+3+2+1，也就是说每一个数都可表示为一个数列的和，因此，第n个数为n+（n-1）+（n-2）+（n-3）+（n-4）+（n-5）+……+3+2+1=n（n+1）/2。

例2.有一组数为1，4，9，16，25，36……求第20个数为――，第n个数为――分析：第一步，寻找个体的共性。

这组数的每一个数都等于某数的平方。

第二步，寻找个体的特性，探求特性中的共性（即找第一个数与1的关系，第二个数与2的关系，第三个数与3的关系……）这里的第一个数正好是1的平方，第二个数正好是2的平方，第三个数正好是3的平方，第四个数正好是4的平方，依此类推，第20个数为20的平方=400，第n个数为n2。

中考规律探索题的解法探究

中考规律探索题的解法探究古希腊数学家毕达哥拉斯曾说过：“在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。

”或许正因如此，近年来规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。

规律探索型题是根据已知条件或题目所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。

这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖。

其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。

题型可涉及填空、选择或解答。

主要有以下几种类型：1点阵变化型解决这类有关点阵变化规律的问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律．例题、（2011·漳州）用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第n个图形需要棋子枚__________．（用含n的代数式表示）分析：从数字规律考虑：前三个数一次是4、7、10、…后面依次加3，第1个数为1×3+1,第2个数为2×3+1,第3个数为3×3+1，…则第n个数是3n+1从图形的直观性寻找规律：把这些图形分成上、中、下共3层，第1个图形1+2+1个点，第2个图形是2+3+2个点，第3个图形是3+4+3个点，…则第n个点阵中的点的个数是n+(n+1)+n=3n+1 点评：主要考查了学生通过特例分析，从而归纳总结出一般结论的能力．2数与式变化型通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式．点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题要求学生在解题中一定要注意数字变化与序号的关系．3循环排列型循环排列规律是运动着的规律，我们只要根据题目的已知部分分析出图案或数据每隔几个图暗就会循环出现，看看最后所求的与循环的第几个一致即可．例题、下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，分析：注意观察图形中循环的规律，然后进行计算．解答：解：观察图形可以发现：依次是向上、右、下、左4个一循环．所以2013÷4=503余1，则共有503+1=504个．点评：学生找出变化周期，看看最后所求的与循环的第几个一致即可．4图形生长变化型探索图形生长的变化规律的题目常受到中考命题人的青睐,其原因是简单、直观、易懂.从一些基本图形开始,按照生长的规律,变化出一系列有趣而美丽的图形.因此也引起了应试人的兴趣,努力揭示内在的奥秘,从而使问题规律清晰,易于找出它的一般性结论.例题、(2009年·抚顺市)观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出第个图中最小的三角形的个数有个____．分析：从前面几个图形的变化，可以看出前一个图形里每一个三角形变成4个全等的小三角形后就成为下一个图形了，所以后一个图形满足题意的三角形的个数是前一个图形全等的小三角形个数的4倍。

中考探索型问题的解题思路-4页word资料

中考探索型问题的解题思路探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断补充并加以证明的题型。

探索型问题具有较强的综合性，解决此类问题需要用方程、函数图象及其性质、特殊四边形的性质、全等三角形等重点知识，这类题为中考常考题型，因此教学中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，确实提高分析问题、解决问题的能力。

下面谈谈探索性问题的分类和解题思路：一、条件探索型问题条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要探求此结论成立应具备的充分条件的问题。

解决这类问题的思路一般是从结论出发执果寻因，逆向推理逐步探寻结论成立的充分条件，或把结论可能产生的条件一一列出，逐个分析考查。

例1 （2011湛江）如图，点B，C，F，E在同直线上，∠1=∠2，BF=CE，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件是___（只需写出一个）解析：本题是考查三角形全等判定方法的条件探索性问题，思路是利用全等三角形的多个条件思考、分析，并大胆猜想，寻求尽可能多的方法。

解题关键是由BF＝CE，可得BC＝EF，三角形全等具备了两个条件。

要证明△ABC≌△DEF，还需要一个条件，可补充AC=DF或∠B=∠E或∠A=∠D，分别根据SAS、ASA、AAS判定△ABC≌△DEF。

二、结论探索型问题结论探索型问题是指题目中结论不确定，不惟一，或题目结论需要类比、引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论。

解决这类问题的思路一般是从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因到果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求结论。

例2 （2011潍坊）一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过（2，1）点；②当x>0时，y随x的增大而减小。

这个函数解析式为____________（写出一个即可）。

解析：本题考查函数知识的结论开放型试题，题目条件已确定，而结论不惟一。

我们目前所学的常见函数有一次函数、反比例函数、二次函数，结合其各自的概念性质和图像，可以得到不同的函数关系式。

探索性问题

中考数学专题复习5：探索性问题Ⅰ、综合问题精讲：探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，临沂）如图2－6－1，已知抛物线的顶点为A(O ，1)，矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线的解析式；(2)如图2－6－2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S 、R ．①求证：PB ＝PS ； ②判断△SBR 的形状；③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P 、S 、M 为顶点的三角形和以点Q 、R 、M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由． ⑴解：方法一：∵B 点坐标为(0，2)，∴OB＝2， ∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4.∴C 点坐标为(一2，2)．F 点坐标为(2，2)。

中考数学专题讲座探索性问题.docx

中考数学专题讲座探索性问题概述：探索性题目一般作为压轴题或次压轴题出现，题目较难，难在结论不肯定，要通过探索证明或计算，得出结论，并给予肯定或否定回答：这种题目的结论有多样性，需要解题的周密考虑，解这种题目有两种方法：一种是假定结论成立，去证明它的可能性或存在性；另一种是从条件出发直接证明或计算回答存在或不存在.典型例题精析例1.如图1,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其而积分别用S】、S2、S3表示，则不难证明Si=S2+S3.（1）如图2所示，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用Si、S?、S3表示，那么Si、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）（2）如图3所示，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用Si、S2、S3表示，请你确定$、S2、S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其而积分别为S|、S2、S3表示，使Si、S?、S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？并证明你的结论；（4）类比（1）、（2）、（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论.解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c,则c2=a2+b2.(1)S|二S2+S3;(2)S]=S2+S3，证明如下:显然:Si寻,(也可用三角形相似证明)(3)当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3.证明如下:.Sc + S3 ci~ 4- b~ ]S| c2S|=S2+S3-(4)分别以直角三角形ABC的三边为一边向外作相似图形，其而积分别用Si、S2> S3 表示，则S]=S2+S3・例2.如图1,。

0|和002外切于P, AB是OO1和002的公切线，A、B是切点，直线AP、BP分别交©02, OOi 于F、E.(1)求证：AE、BF分别为(DO】、(DO?的直径；(2)求证：AB2=AEBF；(3)如图2,当图1中的切点P变为两圆一个交点时，结论AB2=AE BF还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.分析：(1)即证ZAPE二ZBPF二90°,过P作二圆公切线，可证明.(2)证明△ ABE^ABFA 可得.(3)同样可证厶ABE^ABFA.AZE=ZBAF, ZF=ZABE.中考样题训练1.如图，在直角坐标系中，0是原点，A、13、C三点的坐标分别为A (18, 0) , B (18,6) , C (8, 6),四边形0ABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别作饼速运动，其中点P 沿0A向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终S| c点时，另一点也停止运动.（1）求出直线0C的解析式及经过0、A、C三点的抛物线的解析式.（2）试在（1）中的抛物线上找一点D,使得以0、A、D为顶点的三角形与全等，请直接写出点D的坐标.（3）设从出发起运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围.（4）设从出发起，运动了t秒钟，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出I的值; 如不可能，请说明理由.2.如图，（DO?与的弦I3C切于C点，两圆的另一个交点为D,动点A在00,±,直线AD与（DO?交于点E,与直线BC交于点F.（1）如图1,当点A在CD上时，求证:①△FDC'S^FCE；②AB〃EC；(2)如图2,当点A在BD上时，是否仍有AI3〃EC?请证明你的结论.3.如图，OA和是外离两圆，©A半径长为2, OB的半径长为1, AB二4, P为连结两圆圆心的线段AB上的一点，PC切OA于点C, PD切OB于点D.(1)若PC二PD,求PB的长;(2)试问线段AB上是否存在一点P,使PC+PD二4?如果存在，问这样的卩点有几个；并求出PB的值；如果不存在，说明理由；(3)当点P在线段AB上运动到某处，使PC丄PD时，就有△ APC-APBD,请问：除上述情况外，当点卩在线段AB上运动到何处(说明叩的长为多少；或卩C、PD具有何种关系) 时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与的位置关系，证明你的结论.4.三月三，放风筝，图中是小明制作的风筝，他根据DE二DF, EII=FH,不用度量，就知道ZDEH二ZDFH .请你用所学知识给予证明.D考前热身训练1.填空题（1）观察下列等式，你会发现什么规律？3X5=15,而15=41 2 3 4-1,5X7二35,而35二6「1,・・・11X13=143,而143=12-1,…（2）如图，以△ABC的边AB为直径作00交BC于D,过00的切线交AC于E,使得DE丄AC,贝IJA ABC的边必须满足的是.2.己知反比例函数y二土（kHO）和一次函数y=-x+8.x2若一次函数和反比例函数的图象交于点（4, m）,求m和k；3k满足什么条件时，这两个函数图象有两个不同的交点？4设（2）中的两个交点为A、B,试判定ZAOB是锐角还是钝角？3.如图，在直角坐标系xOy屮，以点A （0, -3）为圆心作圆与x轴相切，与OA外切于点P, B点在x轴正半轴上，过P点作两圆的公切线DP交y轴于D,交x轴于C.将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来D作条件B2（1）设OA的半径为门，OB的半径为H，且r2=-r.,求公切线DP的长及直线DP的函3数解析式；（2）若OA的位置大小不变，点B在x轴正半轴上移动，OB与OA始终外切，过D作（D B的切线DE, E为切点，当DE二4时，B点在什么位置？从解答中能发现什么？答案：中考样题看台1.(1) y=— x.4・ 3 2 27..y=- — x2+ — x40 20(2) D (10, 6)3 3(3)当Q在0C上运动吋，可设Q (m, -m),依题意有：m2+ (-m2) = (2t) 2.4 4 88 8 6m—— t., Q ( — t, — t) , (0WtW5)5 5 5当Q在BC上时，Q点所走过的路程为2t・V0C=10, ・・・CQ二2t-10,・・・Q点在横坐标为2t-10+8二2t-2,・・・Q (2t-2, 6) (5<tW10).(4)I梯形OABC的周长为44,当Q点在0C上，P运动的路程为t,则Q运动的路程为(22-t)3△OPQ中,0P边上的高为:(22-t) X依题意有：—t (22-t)2 整理得：12-22t+140=0. ・・・这样的t 不存在.当Q 在BC 上时，Q 走过的路程为22-1, ・・・CQ 的长为：22-t-10=12-t,・・・S 梯形OCQP =—X6 (22-t-10+t)二36H84X — ,2 2・•・这样的t 值也不存在.综上所述，不存在这样的t 值，使得直线PQ 同时平分梯形的周长和面积.2.(1)①・.・BC 切(DO?于C,・・・ZECF 二ZCDF,又ZF=ZF, /.AFDC^AFCE.② 又 V ZADC-ZABC, ZECF 二ZCDF,AZABC=ZECF, AAB^EC(2)有 AB//EC,证明：・.・BC 切 OO?于 C, A ZBCE=ZD,又 VABCD 内接于 OOp /.ZABF=ZD, /. ZBCE=ZABF, A ABEC3.(1) TPC 切OA 于点 C,・・・PC 丄AC, PC 2=PA 2-AC 2,同理 PD 2=PB 2-BD 2,TPOPD, /.PC 2- AC 2=PB 2-BD 2,设 PB=x, PA 二4-x 代入得 x 2-l= (4-x) 2-22,13 13 1319 解得x=—, 1<—<2,即PB 的长为亠(PA 长为—>2).8 8 88(2)假定有在一点P 使PC 2+PD 2=4,设PB 二x,则 PD 2=X 2-1, PC 2= (4-X ) 2-22,代入条件得(4-x) 2-22+x 2-l=4,解得 x=2± —,2•・・P 在两圆间的圆外部分,・・・1<PB<2,即l<x<2,满足条件的P 点只有一个,这时PB 二2-4513 1S ZSOPQ =—t (22~t) X — , S 梯形 OABC 二—(180+10) X 6-84.2 5 23 (1)X — —84 X —,52AA=222-4X140<0,(3)当PC： PD二2： 1 或PB二一时，也有△ PCA^APDB,3Ar 7 PC AP这时，在APCA与APUB中—= - = —(或仝匚)ZC=ZD-RtZ,BD 1 PD BPAAPCA^APDB, AZBPD=ZAPC=ZBPE (E 在CP 的延长线上),AB点在ZDPE的角平分线上，B到PD与PE的距离相等,VOB与PD相切,AOB也与CP的延长线PE相切.4.证明：连结DH在△。

中考数学考试考点解密探索性问题(含解析)

2012年中考数学二轮复习考点解密探索性问题Ⅰ、综合问题精讲：探索性问题是指命题中缺少一定地条件或无明确地结论，需要经过推断，补充并加以证明地题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件地题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定地前提下，需探索发现某种数学关系是否存在地题目．探索型问题具有较强地综合性，因而解决此类问题用到了所学过地整个初中数学知识．经常用到地知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式地求法（图象及其性质）、直角三角形地性质、四边形（特殊）地性质、相似三角形、解直角三角形等．其中用几何图形地某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题地主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识地复习，又要加强变式训练和数学思想方法地研究，切实提高分析问题、解决问题地能力．Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图2－6－1，已知抛物线地顶点为A(O，1)，矩形CDEF地顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线地解析式；(2)如图2－6－2，若P点为抛物线上不同于A地一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴地垂线，垂足分别为S、R．①求证：PB＝PS；②判断△SBR地形状；③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点地三角形和以点Q、R、M为顶点地三角形相似，若存在，请找出M点地位置；若不存在，请说明理由．⑴解：方法一：∵B点坐标为(0，2)，∴OB＝2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.∴C 点坐标为(一2，2)．F 点坐标为(2，2). 设抛物线地解析式为2y ax bx c =++．其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2).得1242242xa b c a b c=⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩解得1,0,14a b c ===∴此抛物线地解析式为2114y x =+方法二：∵B 点坐标为(0，2)，∴OB ＝2， ∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4. ∴C 点坐标为(一2，2).根据题意可设抛物线解析式为2y ax c =+. 其过点A(0，1)和C(-2．2)124c a c=⎧⎨=+⎩解得1,14a c == 此抛物线解析式为2114y x =+(2)解：①过点B 作BN BS ⊥，垂足为N ．∵P 点在抛物线y=214x +l 上．可设P 点坐标为21(,1)4a a +．∴PS ＝2114a +，OB ＝NS ＝2，BN＝a .∴PN=PS —NS=2114a -在Rt PNB 中．PB 2＝222222211(1)(1)44PN BN a a a +=-+=+∴PB ＝PS ＝2114a +②根据①同理可知BQ ＝QR. ∴12∠=∠，又∵13∠=∠， ∴23∠=∠，同理∠SBP ＝∠B ∴2523180∠+∠=︒∴5390∠+∠=︒∴90SBR ∠=︒. ∴△SBR 为直角三角形． ③方法一：设,PS b QR c ==，∵由①知PS ＝PB ＝b ．QR QB c ==，PQ b c =+.∴222()()SR b c b c =+--∴SR =假设存在点M ．且MS ＝x ，别MR＝x .若使△PSM ∽△MRQ ，则有b x=即20x bc -+=∴12x x =∴SR ＝∴M 为SR 地中点. 若使△PSM ∽△QRM ，则有b x =.∴x =.∴1MR x c QB ROMS x b BP OS ==-===. ∴M 点即为原点O.综上所述，当点M 为SR 地中点时．∆PSM ∽ΔMRQ ；当点M 为原点时，∆PSM ∽∆MRQ ．方法二：若以P 、S 、M 为顶点地三角形与以Q 、M 、R 为顶点三角形相似， ∵90PSM MRQ ∠=∠=︒，∴有∆PSM ∽∆MRQ 和∆PSM ∽△QRM 两种情况.当∆PSM ∽∆MRQ 时．∠SPM ＝∠RMQ ，∠SMP ＝∠RQM ．由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR ＝90°.∴90PMQ ∠=︒. 取PQ 中点为N ．连结MN ．则MN ＝12PQ=1()2QR PS +．∴MN 为直角梯形SRQP 地中位线,∴点M 为SR 地中点当△PSM ∽△QRM 时，RM QR QBMS PS BP ==.又RM RO MS OS=，即M 点与O 点重合.∴点M 为原点O.综上所述，当点M 为SR 地中点时，∆PSM ∽△MRQ ；当点M 为原点时，∆PSM ∽△QRM.点拨：通过对图形地观察可以看出C 、F 是一对关于y 轴地对称点，所以（1）地关键是求出其中一个点地坐标就可以应用三点式或 y=ax 2+c 型即可．而对于点 P 既然在抛物线上，所以就可以得到它地坐标为（a ，14 a 2+1）．这样再过点B 作BN ⊥PS ．得出地几何图形求出PB 、PS 地大小．最后一问地关键是要找出△PSM 与△MRQ 相似地条件．【例2】探究规律：如图2－6－4所示，已知：直线m ∥n ，A 、B 为直线n 上两点，C 、P 为直线m 上两点．（1）请写出图2－6－4中，面积相等地各对三角形；（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有________与△ABC 地面积相等．理由是：_________________.解决问题：如图 2－6－5所示，五边形 ABCDE 是张大爷十年前承包地一块土地地示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图2－6－6所示地形状，但承包土地与开垦荒地地分界小路（2－6－6中折线CDE ）还保留着；张大爷想过E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边地土地面积与承包时地一样多，右边地土地面积与开垦地荒地面积一样多．请你用有关地几何知识，按张大爷地要求设计出修路方案（不计分界小路与直路地占地面积）．（1）写出设计方案．并画出相应地图形；（2）说明方案设计理由．解：探究规律：（l ）△ABC 和△ABP ，△AOC 和△ BOP 、△CPA 和△CPB ．（2）△ABP ；因为平行线间地距离相等，所以无论点P 在m 上移动到任何位置，总有△ABP与△ABC同底等高，因此，它们地面积总相等．解决问题：⑴画法如图2－6－7所示．连接EC，过点D作DF∥EC，交CM于点F，连接EF，EF即为所求直路位置．⑵设EF交CD于点H，由上面得到地结论可知：SΔECF=SΔECD，SΔHCF=SΔEDH，所以S五边形ABCDE=S五边形ABCFE，S五边形EDCMN=S四边形EFMN．点拨：本题是探索规律题，因此在做题时要从前边问题中总结出规律，后边地问题要用前边地结论去一做，所以要连接EC，过D作DF∥EC，再运用同底等高地三角形地面积相等．【例3】如图2－6－8所示，已知抛物线地顶点为M（2，－4），且过点A(－1,5)，连结AM交x轴于点B．⑴求这条抛物线地解析式；⑵求点B地坐标；⑶设点P（x，y）是抛物线在x轴下方、顶点M左方一段上地动点，连结PO，以P为顶点、PQ为腰地等腰三角形地另一顶点Q在x轴上，过Q作x轴地垂线交直线AM于点R，连结PR．设面PQR地面积为S．求S与x之间地函数解析式；⑷在上述动点P（x，y）中，是否存在使SΔPQR=2地点？若存在，求点P地坐标；若不存在，说明理由．解：（1）因为抛物线地顶点为M（2，－4）所以可设抛物线地解析式为y=（x－2）2－4．因为这条抛物线过点A（－1，5）所以5=a(－1－2)2－4．解得a=1．所以所求抛物线地解析式为y=（x—2）2－4（2）设直线AM地解析式为y=kx+ b．因为A（－1，5）, M（2，－4）所以524k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得k=－3，b=2．所以直线AM地解析式为y=3x＋2．当y=0时，得x= 23，即AM与x轴地交点B（23,0）（3）显然，抛物线y=x2－4x过原点(0，0〕当动点P （x ，y ）使△POQ 是以P 为顶点、PO 为腰且另一顶点Q 在x 轴上地等腰三角形时，由对称性有点 Q （2x ，0）因为动点P 在x 轴下方、顶点M 左方，所以0＜x ＜2．因为当点Q 与B （23 ，0）重合时，△PQR 不存在，所以x ≠13 ，所以动点P （x ，y ）应满足条件为0＜x ＜2且x ≠13 ，因为QR 与x 轴垂直且与直线AM 交于点R ，所以R 点地坐标为（2x ，－6x+2）如图2－6－9所示，作P H ⊥OR 于H ，则PH=|||2|,|62|Q P x x x x x QR x -=-==-+而S=△PQR 地面积=12 QR ·P H= 12 |62|x x -+下面分两种情形讨论：①当点Q 在点B 左方时，即0＜x ＜13 时，当R 在 x 轴上方，所以－6x ＋2＞0．所以S=12（－6x ＋2）x=－3x 2+x ；②当点Q 在点B 右方时，即13 ＜x ＜2时点R 在x 轴下方，所以－6x ＋2＜0．所以S=12 [－（－6x ＋2）]x=3x 2－x ；即S 与x 之间地函数解析式可表示为2213(0)313(2)3x x x S x x x ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩（4）当S=2时，应有－3x 2+x =2，即3x 2－x+ 2=0，显然△＜0，此方程无解．或有3x 2－x =2，即3x 2－x －2=0，解得x 1 =1，x 2＝－23 当x=l 时，y= x 2－4x=－3，即抛物线上地点P （1，－3）可使S ΔPQR =2；当x=－23＜0时，不符合条件，应舍去．所以存在动点P ，使S ΔPQR =2，此时P 点坐标为(1,－3)点拨：此题是一道综合性较强地探究性问题，对于第（1）问我们可以采用顶点式求得此抛物线，而（2）中地点B是直线AM与x轴地交点，所以只要利用待定系数法就可以求出直线AM，从而得出与x轴地交点B．(3)问中注意地是Q点所处位置地不同得出地S与x 之间地关系也随之发生变化．（4）可以先假设存在从而得出结论．Ⅲ、综合巩固练习：（100分90分钟）观察图2－6－10中⑴）至⑸中小黑点地摆放规律，并按照这样地规律继续摆放．记第n个图中小黑点地个数为y．解答下列问题：⑴填下表：⑵当n=8时，y=___________；⑶根据上表中地数据，把n作为横坐标，把y作为纵坐标，在图2－6－11地平面直角坐标系中描出相应地各点（n，y），其中1≤n≤5；⑷请你猜一猜上述各点会在某一函数地图象上吗？如果在某一函数地图象上，请写出该函数地解析式．2．（5分）图2－6－12是某同学在沙滩上用石子摆成地小房子．观察图形地变化规律，写出第n个小房子用了_____________块石子．3．(10分)已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB =90°，P是AB边上地动点（与点A、B不重合），Q是BC边上地动点（与点B、C不重合）．⑴如图2－6－13所示，当PQ∥A C，且Q为BC地中点时，求线段CP地长；⑵当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ地长地取值范围，若不可能，请说明理由．4．如图2－6－14所示，在直角坐标系中，以A（－1，－1），B（1，－1），C（1，1），D（－1，l）为顶点地正方形，设正方形在直线：y=x及动直线l：y=－x+2a（－l≤a＜1）上方2部分地面积为S（例如当a取某个值时，S为图中阴影部分地面积），试分别求出当a=0，a=－1时，相应地S地值．5．（10分）如图2－6－15所示，DE是△ABC地中位线，∠B＝90○，AF∥B C．在射线A F 上是否存在点M，使△MEC与△A DE相似？若存在，请先确定点M，再证明这两个三角形相似；若不存在，请说明理由．6．如图2－6－16所示，在正方形ABCD中，AB=1，AC是以点B为圆心．AB长为半径地圆地一段弧点E是边AD上地任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆地切线，交边DC于点F石为切点．⑴当∠DEF＝45○时，求证点G为线段EF地中点；⑵设AE=x，FC=y，求y关于x地函数解析式；并写出函数地定义域；⑶图2－6－17所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，当EF=56时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由.（图2－6－18为备用图）7．（10分）取一张矩形地纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图2－6－19（1）所示；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上地对应点B′，得Rt△AB′E，如图2－6－19（2）所示；第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图2－6－19⑶所示；利用展开图2－6－19（4）所示探究：（l）△AEF是什么三角形？证明你地结论．（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．8．（10分）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质地问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠0)，当实数a 变化时，它地顶点都在某条直线上；二是发现当实数a 变化时，若把抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠0)地顶点地横坐标减少1a，纵坐标增加1a ，得到A 点地坐标；若把顶点地横坐标增加1a ，纵坐标增加1a，得到B 点地坐标，则A 、B 两点一定仍在抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠0)上．⑴请你协助探求出实数a 变化时，抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠0)地顶点所在直线地解析式； ⑵问题⑴中地直线上有一个点不是该抛物线地顶点，你能找出它来吗？并说明理由；⑶在他们第二个发现地启发下，运用“一般→特殊→一般”地思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你地猜想表述出来吗？你地猜想能成立吗？若能成立，请说明理由.9．已知二次函数地图象过A （－3，0），B （1，0）两点．⑴当这个二次函数地图象又过点以0，3）时，求其解析式；⑵设⑴中所求M次函数图象地顶点为P，求SΔAPC：SΔABC地值；⑶如果二次函数图象地顶点M在对称轴上移动，并与y轴交于点D，SΔAMD：SΔABD地值确定吗？为什么？10．（13分）如图2－6－20所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC地垂直平分线DE，交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且A F＝CE．⑴求证：四边形ACEF是平行四边形；⑵当∠B地大小满足什么条件时，四边形A CEF是菱形？请回答并证明你地结论；⑶四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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探索性问题的解题策略

＜６ｃ一，２＜号＋
（）２要使得面｝成为等差数列，则它的前
三项必须成等差数列，即有
Ａ口２ ⅡＩ Ⅱ３
这与 ② 矛盾，以假设不成立，所故存在ｂｃ使，，
得ｌ（）Ｉ（）Ｉ（）Ｉ１、ｌ２、ｌ３中至少有一个不小于ｌ厂ｆｆ
分析过Ｅ、Ｆ分别作Ａ，Ｂ。，的垂线，Ｄ、Ｃ分
别交于Ｇ、，Ｇ，Ｈ，四边形ＢＤ。在面Ｈ连Ｂ。Ｄ。则ＦＥ
Ａ。ＣＤ。的射影为结论 ② 图形，同理在面Ｂ。上Ａ。１４、Ｄ。）面ＡＣ的射影也为结论Ｂ。．面３ＣＩＣ、ＢＤ ② 图形．而在面ＢＣ。面ＡＤ。的射影图形Ｂ。Ｃ、ＤＡ。为结论 ③ ，于是结论为 ② 、图形． ③
文介绍解决这一难点的几种常用策略，供读者参考．
１寻找必要条件的策略
通常情况下，需探索命题成立的条件是既充所分又必要的，但要直接得到这样的条件一般比较难．（）２问是否存在非零常数、，得ｑ使成为等差数列？并说明理由．
路，寻求出一般规律，而后证明规律的普适性．
例３如图，圆椭
＋＝ｌ（口＞ｂ＞
Ｊ
数列的必要条件，说明要想
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《中学数学杂志》高中）２０（０２年第４期
解析（）过观祭、纳、想、明易求碍：１通归猜让
６＝２，＝２一 ”；ｎ “ ｎ

中考数学规律探索性问题解题方法

中考数学规律探索性问题解题方法第一部分讲解部分一．专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。

这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。

其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。

所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。

二．解题策略和解法精讲规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。

三．考点精讲考点一：数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。

例1. 有一组数：13,25579,,101726，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数为．分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可．解答：解：21211211⨯-=+； 23221521⨯-=+； 252311031⨯-=+； 272411741⨯-=+；219251265+⨯-=；…； ∴第n （n 为正整数）个数为2211n n -+．点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1．例2 阅读下列材料：1×2 ＝ 31(1×2×3－0×1×2)，2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)，3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ 31×3×4×5 ＝ 20．读完以上材料，请你计算下列各题：(1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；(2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________； (3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________．分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式)1(433221+⨯++⨯+⨯+⨯n n[])1()1()2)(1()321432()210321(31+--++++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n )2)(1(31++=n n n ；照此方法，同样有公式： )2()1(543432321+⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n[)2()1()1()3()2()1()43215432()32104321(41+⨯+⨯⨯--+⨯+⨯+⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n n n )3)(2)(1(41+++=n n n n ．解：（1）∵1×2 ＝ 31(1×2×3－0×1×2)，2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)，3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，…10×11 ＝ 31(10×11×12－9×10×11)，∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝31×10×11×12＝440．（2）)2)(1(31++n n n ．（3）1260．点评：本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．例3 我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：一般地，如果⎩⎨⎧>>d c b a ,那么a +c b +d ．（用“>”或“<”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？分析：可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。

冲刺06中考数学探索性问题怎样解

（1）某一时刻测得大树AB，教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=2．4米、DF=7．2米．求大树AB的高度．
（2）用刻度尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案．要求：①在图2-2-21上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m、n……表示，角度用希腊字母、 ……表示）；②根据你所画的示意图和标注的数据．计算大树AB的高度．（用字母表示）（2005年某某省某某市中考题）
3．观察下列各式：
…请你将猜想到的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表示出来，是．（2004年某某省中考题）
4．观察下列图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探索其中的规律：
① ←→
② ←→
③ ←→
④ ←→
……………………
（1）写出第五个等式，并在下面给出的五个正方形上画出与之对应的图示：
（2）猜想并写第n个图形相对应的等式．（2005年某某省中考题）
3．已知A为⊙O上一点，B为⊙A与OA的交点，⊙A与O的半径分别为r、R．（1）如图2-2-12，过点B作⊙A的切线与O交于M、N两点，求证：．（2）如图2-2-13，若⊙A与⊙O的交点为E、F，C是上任意一点，过点C作⊙A的切线与⊙O交于P、Q两点，试问是否成立？并证明你的结论且．（2004年某某市中考题）
（2005年某某呼和浩特市中考题目）
分析与解答第（1）题，连结BC，证明△ACD∽△ABC；第（2）题，探索所在的的两个三角形是否与（1）中有类似的相似；第（3）题的关键是在图2-2-5中正确画出图形．
（1）连结BC．∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=900．
∵AD⊥CD，∴∠ADC=900．
∴∠ACD=∠ADC，
冲刺06中考数学探索性问题怎样解

新课标下中考数学探究型问题解题攻略初探

４．规律探究型
规律探究型问题存一定的条件状态下，探索发现有需
确的结论，讨论结论的存在性，根据结论探索必须满足的或条件．中数学ｑ的探索性问题有探求条件、论、在、初Ｉ结存规律、题变换等类型．中最常见、基小的类型是条件探命其最究型、结论探究型、在探究型、律探究型．存舰
一
例２（苏省盐城市中考题）出图像经过点（，）江写１一１的
个函数关系式．
显然上例是答案不唯一，于典型的结论开放探究型属
试题．
３．存在性探究型
存在性探究型问题是指存一定的条件下，探索发现需某种数学关系是否存在的题目．此类问题的叙述一般是：
例３（庆江津区中考题）重如
图２，物线ｙ＝。＋如＋１与抛轴交于两点Ａ（一１０）口（１０）与Ｙ，，，，轴交于点Ｃ．（）求抛物线的解析式；１
Ａ
ｉ
类应运而生的新题型．于探究型数学问题具有较高的南
ＡＤ
第１图形个
第２个图形
第３个图形
第４个图形
它们是按一定规律排列的，照此规律，９个图形中依第

2014中考数学总复习专题3探索性问题

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( 2) 连接 E C , AF, 则 E F 与 A C 满足 E F = A C 时, 四边形 A E C F 是矩形, 理由如下: 由( 1) 可知△A O E ≌△C O F , ∴O E = O F . ∵A O = C O , ∴四边形 A E C F 是平行四边形, ∵E F = A C , ∴四边形 A E C F 是矩形.
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1. (2013·随州)如图, 点 F, B, E, C 在同一直线上, 并且 B F = C E , ∠A B C = ∠D E F . 能否由上面的已知条件证明△A B C ≌△D E F ?如果能, 请给出证明; 如果不能, 请从下列三个条件中选择一个合适的条件, 添加到已知条件中, 使△A B C ≌△D E F , 并给出证明. 提供的三个条件是①A B = D E ; ②A C = D F ; ③A C ∥D F .
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专题考点 0 1 条件探索问题
条件探索型是指所给问题中的结论明确, 需要完备条件的题目类型. 其解题基本思路类似于分析法, 假设结论成立, 逐步探索其成立的条件; 或把可能产生的条件一一列出, 逐个分析考查, 多采用逆向思维方式.
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( 2) 继续探究, 如果 b≠0, 且过原点的抛物线顶点在直线 y= kx( k≠0) 上, 请用含 k 的代数式表示 b;
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( 3) 现有一组过原点的抛物线, 顶点 A 1, A 2, „, A n 在直线 y= x 上, 横坐标依次为 1, 2, „, n( 为正整数, 且 n≤12) , 分别过每个顶点作轴的垂线, 垂足记为 B 1, B 2, „, B n, 以线段 A nB n 为边向右作正方形 A nB nC nD n, 若这组抛物线中有一条经过 D n, 求所有满足条件的正方形边长. 【解析】

有理数规律探索性试题解析

一
维普资讯
一路・方法思
数字个数的２，以第４行有８倍所个数５对应，则 — 数，５行有１数，６行有３第６个第２
—
；
（）２数轴上的一个整数点刚刚绕
个数．观察每行的最后一个数分别是过圆周ｎ圈（ｎ为正整数），落在后并
借鉴．
一
８、１、４、８、，以第１５１３１５１１ … 所０个数
数阵规律探索问题
是１１８．
、
例１（０５年济南市）把数字：２０
按如图所示排列起来，从上开
二、数式规律探索问题
例２（０５年镇江市）个正整：２０一
三、形结合探索问题数解析：１（）从图形对应关系可以例４（０５年江西省）如图所看出，：２０绕第一圈时，轴上的数恰好数
示，下列方法将数轴的正半轴绕在与圆周上的数对应；按第二圈时，轴数
一
个圆（该圆周长为３单位长，个且上的数ｍ与圆周上的数。的对应关
在圆周的三等分点处分别标上了数系是ｍａ３故当ｍ＝＝＋，５时，＝．ａ２
字０１２上：、、）先让原点与圆周上数
（）知ｎ圈后数轴上与圆周上２欲
字０所对应的点重合，再将正半轴按的数１对应的数，关键在于确定绕第顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上圈时数轴上的数ｍ与圆周上的数。