勾股定理期末复习
勾股定理期末复习(公开课)精品PPT课件
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
例1：如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB
为8cm， 长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（
折痕为AE） (1)求BF的长； (2)求EC的长。
A
D
E
B
FC
变式：如图折叠长方形C=5，求折痕EF的长．
第一章 勾股定理
勾股定理
考点1：勾股定理的验证 考点2：求第三边 考点3：求斜边上的高
第一章 股股定理
勾股定理 逆定理
勾股数 逆定理
勾股定理应 用
折叠问题 最短路径问题
勾股定理：
如果用a,b,c表示直角三角形的两个直角边和斜 边，那么a2+b2=c2
变形：
c2 = a2 + b2 a2 = c2 — b2
例题：① 3，4, 5 ② 5，12, 13
8，15， 17
④ 7, 24, 25 ⑤ 0.5, 0.12, 0.13 ⑥ 1， 2 ， 3
以上各组数中能作为直角三角形边长的有______________
例题：如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12， AD=13， 求四边形ABCD的面积.
c a2 b2 a c2 b2
a
c
b2 = c2 — a2 b c2 a2
b
例题：如图在直角三角形中，a=2,c=4,求b
例题：如图3，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个
正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、
《勾股定理》期末复习题
至 少需 要 (
A
．
17
m
B
，
．
18
=
m
C
c n l
，
．
2 5
c m
m
D CD
=
．
26
，
m
8
．
如 图2
已 知A B
3
B C
=
4
，
12
e m
DA
=
13
e m
，
且 A 曰上
B C
．
则 四边 形A
A
．
B CD
的面 积是 (
B
．
)
C
．
．
24
c m
2
36
c m
2
4 8
c m
。
D
．
7 2
c m
。
翻
图l
二
、
壬
图2
19
．
( 14 分 ) 如 图 1 2
c m
。
．
．
￡ A
。
=
90
，
。
，
A F
=
3
．
c m
，
A B
=
4
c m
，
正 方 形 B CD E 的 面
积 是 16 9
20
．
当
￡ B F E
=
90
时 求E F 的长
．
( 14 分 ) 楚 天 学 校 综 合 实 践 活 动 小 组 研 制 了
．
一
套 信号 发 射
设 另 两 边 长 为戈
，
Y
x >
勾股定理期末复习
A B C D E勾股定理期末复习1．以下列线段a 、b 、c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．a =9，b =41，c =40 B ．a=b =5，c =25 C ．a ∶b ∶c =3∶4∶5 D ．a =11，b =12，c =15 2.已知一直角三角板的木版三边的平方和为18002cm ，则斜边的长为（ ）.A 80cmB 30cmC 90cmD 120cm 3.点A 、点B 的坐标分别为（-4，0）、（0，3），则坐标原点O 到线段AB 的距离为（ ） A 2 B 2.4 C 5 D 64．如图，在三角形纸片ABC 中，AC=6，∠A=30º，∠C=90º，将∠A 沿DE 折叠，使点A 与点B 重合，则折痕DE 的长为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．25．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，下列条件：①∠A=∠B －∠C ；②∠A ：∠B ：∠C=3：4：5；③))((2c b c b a -+=；④13:12:5::=c b a ，其中能判断△ABC 是直角三角形的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则所有正方形的面积的和是（ ）cm 2(A) 28 (B) 49 (C) 98 (D) 1477．如图是一块长1、宽、高分别是6cm 、4cm 和3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A 出发，沿长方体的表面爬到和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（ ）A 、cm 61B 、cm 85C 、cm 97D 、cm 1098.如图，四边形ABCD 是四个角都是直角，四条边都相等的正方形，点E 在BC 上， 且CE ＝41BC ，点F 是CD 的中点，延长AF 与BC 的延长线交于点M ．以下结论： ①AB ＝CM ；②AE ＝AB ＋CE ；③S △AEF ＝13ABCF S 四边形；④∠AFE ＝90°，其中正确的结论的个数有（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个 9.下面正确的命题中，其逆命题不成立的是（ ） A.同旁内角互补，两直线平行 B.全等三角形的对应边相等B. C.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D.对顶角相等 10.已知△ABC 的各边长都是整数，且周长是8，则△ABC 的面积为 。
期末复习之四(勾股定理)
X
A
2
X
E
4
4-X
B
变2
已知：矩形ABCD中，AB=3，BC=4
A点正好落在CD上，如存在确定E点位置，
（3）是否在AD上存在一点E，把矩形沿BE翻折，
如不存在请说明理由
4 D 3-X 3 E X 4-
7
X
A'
7
4
C
3
A
B
变3
已知：矩形ABCD中，AB=3，BC=4
(4）翻折矩形ABCD，使点B与点D重合，
11.如图，在△ABC中，若∠A=75°，∠C=45°， A AB=2，求AC的长
C D 12.如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中 ∠A=60°∠B=∠D=90°，AB=20m，CD=10m， A 求这块草地的面积。 D
B
B
C
E
13、如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC， AD=1，AB=BC=4，CD=5，求梯形的面积。
A 1 D 4 B E 4 5 C B E C A D
14、已知：矩形ABCD中，AB=3，BC=4 （1）将∆ABD沿对角线BD翻折，得 ∆A‘BD，A'B交 CD于E 求：CE长 A' 3
x
E 4-x x C D
3
3
A
2 1
4
B
变1
已知：矩形ABCD中，AB=3，BC=4
(2)将矩形ABCD翻折，使AD与对角线BD重合 求：AE长
一、知识回顾：
A
B a C 直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 A 2、勾股定理逆定理： ∵ c2=a2+b2， c b ∴ ∠C= _____ 900 B a C 三角形中较小两边的平方和等于较 大的平方的三角形是直角三角形
期末复习 《勾股定理》常考题与易错题精选(35题)(原卷版)
期末复习- 《勾股定理》常考题与易错题精选（35题）一．勾股定理（共11小题）1．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）A．10B．13C．15D．262．如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点A表示﹣1，AB＝3，AD＝1．若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ）A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝5，BC＝12，则S△ACD ：S△ABD为（ ）A．12：5B．12：13C．5：1 3D．13：54．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝2，且∠AOB＝30°，则OC的长度为（ ）A．B．C．4D．5．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为（ ）A．5B．7C．5或7D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离是（ ）A．B．3C．D．27．已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）如果a＝7，b＝24，求c；（2）如果a＝12，c＝13，求b．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°（1）若AB＝，AC＝，求BC2（2）若AB＝4，AC＝1，求AB边上高．9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠BCA＝60°，AC＝2，DA＝1，CD＝3．求四边形ABCD 的面积．10．如图，每个小正方形的边长都为1．求出四边形ABCD的周长和面积．11．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．（1）求AB的长；（2）求△ACB的面积．二．勾股定理的证明（共3小题）12．如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．13．【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．14．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD和AC都可以分割四边形ABCD）三．勾股定理的逆定理（共8小题）15．下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）A．7，20，24B．，，C．3，4，5D．4，5，616．三角形的三边长分别为a、b、c，则下面四种情况中，不能判断此三角形为直角三角形的是（ ）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝8，b＝15，c＝17C．a＝5，b＝12，c＝13D．a＝12，b＝15，c＝1817．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．18．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB＝3m，AD＝4m，CD＝12m，BC＝13m，又已知∠A＝90°．求这块土地的面积．19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．（1）求∠DAB的度数；（2）求四边形ABCD的面积．20．如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．21．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，若BD＝4，DC＝5，AD＝2，判断△ABC的形状，并说明理由．22．如图，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求∠ACB的度数．四．勾股数（共3小题）23．下列四组数中不是勾股数的是（ ）A．3，4，5B．2，3，4C．5，12，13D．8，15，1724．下列各组数中，是勾股数的为（ ）A．，2，B．8，15，17C．，D．32，42，5225．观察下列各组勾股数有哪些规律：3，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．请解答：（1）当a＝11时，求b，c的值；（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．五．勾股定理的应用（共10小题）26．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝24m，AD＝26m．（1）求出空地ABCD的面积；（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？27．由四条线段AB、BC、CD、DA所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m、AD＝4m、BC＝12m、AB＝13m．现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？28．如图，某校攀岩墙AB的顶部A处安装了一根安全绳AC，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即BC＝8米），AB⊥BC，求攀岩墙AB的高度．29．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？30．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？31．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？32．一架云梯长25m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙7m．（1）这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？33．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由C 到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．34．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面3米，问：发生火灾的住户窗口距离地面BD有多高？35．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）。
期末复习总结(二)-勾股定理.docx
期末复习（二）勾股定理各个击破命题点1勾股定理的证明【例1] ⑴以图1中的直角三角形为基础'可以构造出以a，b为底，以a+b为高的•直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理;命题点2勾股定理及其逆定理【例2】如图，每个小正方形的边长为1.⑴求四边形ABCD的周长；（2）求证：ZBCD=90° .2•如图，已知：在正方形ABCD中，点E是BC中点，点F在AB上，且AF ： FB = 3 : 1. ⑴请你判断EF与DE的位置关系，与同学交流，并说明理由；（2）若此正方形的面积为16，求DF的长.命题点3勾股定理在实际问题中的应用【例3】如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA】=2 km，BB】=4 km，AiB, =8 km.现要在高速公路上A|B】之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？BAI ________M A t B、N命题点4图形的折叠与勾股定理【例4] 如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系屮，使0A，0C分別落在x轴，y轴上，顶点0与原点0重合连接AC將矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置若B（1 2），则点D的横坐标是___________ .4 -（安徽中考）如图，RtAABC中，AB=9，BC=6，ZB=90°，将AABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）h图1D9 •如图是一张探宝图，根据图中的尺寸，起点A 与起点B 的距离是（）A.VT13B. 8C. 9D. 1010 •如图，在四边形 ABCD >|'，ZA = 60° ，ZB=ZD = 90° ，BC = 2，CD = 3 ‘ 则 AB = （）二、填空题（每小题3分，共18分）11・如果三角形的三边分别为迄，2，那么这个三角形的最大角的度数为 ___________________ ・12 •（无锡中考）如图»AABC 屮CD 丄AB 于点D ，E 是AC 的屮点 若AD = 6一,DE=5，则CD 的长等于 _______ 13 •己知a ，b ，c 是AABC 的三边长，且满足关系二？二R + |a —b|=O ，则Z\ABC 的形状为 ________________ 14 •如图是“赵爽弦图” ，ZXABH ，ACDF ，ADAE 和ABCG 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果AH=6，EF=2，那么AB 等于 _______________ ・15・（滨州中考）如图，在平而直角坐标系中，将长方形AOCD 沿直线AE 折叠（点E 在边DC 上），折輕后顶点D 恰 好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为（10，8），则点E 的坐标为 ___________ .16 •课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），ZACB = 90° ，AC = BC ，从三角板 的刻度可知AB=20cm ‘小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度相等）为 __________ c m.A 3 D,. 5整合集训—、选择题（每小题3分，共30分）1 •在RtAABC 中，已知两直角边长分别为1和3，则斜边的长为（ ）A - 1 B. 2.4 C. 2^2 D.VIO2 •小新将铁丝剪成九段‘分成三个组：①2 cm 53 cm »4 cm ；②3 cm ，4 cm ，5 cm ；③9 cm » 40 cm 5 41 cm.分别 以每组铁丝围成三角形，能构成直角三角形的有（） A •② B.①② C.①③ D.②③3 •下列各命题的逆命题成立的是（）A•全等三角形的对应角相等B •如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C•两直线平行，同位角相等 D •如果两个角都是45°，那么这两个角相等4•下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（） 5.如图，正方形网格中的AABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是（ ） A •直角三角形 B •锐角三角形 C ・钝角三角形 D ・以上答案都不对6 •在直角三角形中，如果有一个角是30° ，那么下列各比值中，是这个直角三角形的三边之比的是（A • 1 ： 2 ： 3 B. 2 ： 3 ： 4C ・l ：4：9 D.1：V5：27 •如图，AABC 和ADCE 都是边长为4的等边三角形，点B ，C 七在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为（） A.^3 B ■ 2羽 C ■ 3羽 D - 4^38 •设a ，b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形•的周长为6，斜边长为2.5，则ab 的值是（）A • 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 A -4 CA BCB. 5C. 2y/3D二、解答题（共52分）17• （8分）如图，已知某山的高度AC为800米，在山上A处与山下B处各建一个索道口，且BC=1 500米，欢欢从•山下索道口坐缆车到山顶，己知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能达到山顶？18• （10 分）在Z\ABC 中，a=m2—n2，b=2mn，c = m2 + n2，其中m，n 是正整且m>n，试判断AABC是否是直角三角形.19• （10分）一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中ZA和ZDBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示.（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？（2）求这个零件的面积.图1 图220• （12分）如图，一根反度为50 cm的木棒的两端系着一根长度为70 cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长?21• （12分）在AABC中，AB = 2诉，AC=4，BC=2，以AB为边向Z\ABC外作AABD，使AABD为等腰直角三角形，求线段CD的长.参考答案【例1](l)VRtAABE^RtAECD » A ZAEB = ZEDC.又T ZEDC+ZDEC = 90° » A ZAEB+ZDEC = 90° ..\ZAED =a b(2)证明：VBC = a+b ，AD=V^c ，BC<AD ，.・・a+b<迈c/^—曲. J【例2】(1) 根据勾股定理可知AB = 3迈，BC=V34，CD=^34，AD = 5^2，•:四边形ABCD 的周长为8迈+ 2回.(2) 证明：连接 BD > VBC=A /34，CD=0，DB=V68 » ABC 2+CD 2=BD 2. A ABCD 是直角三角形，即ZBCD= 90° .【例3】过B 作B 点关于MN 的对称点B ，，连接AB ，交人冋于点P ，则AP+BP=AP+PB —AB ，，易知P 点即为到A ，B 距离之和最短的点.过A 作AE 丄BB 于点E ，则AE=A]Bi=8，B' E=AA )+BB )=2+4=6.由勾股定理，得AB Z =^/AE 2+EB ,2=*\/82+62= 10.即 AP+BP=AB — 10.故出口 P 到 A ，B 两村庄的最短距离Z 和是 10 km.【例4】3■ 5题组训练1・(1)图略.(2)证明：用大正方形的面积证明.c 2=(b-a)2+4x|ab=b 2 + a 2.2 • (1)EF 与 DE 垂直，即 EF 丄DE.连接 DF ，设正方形边长为 a ，贝ij AD = DC = a ，AF=扌"，BF=|a ，BE=EC=|a.25 5 5在 RtADAF 中 ^DF 2=AD 2+AF 2=y^a 2.在 RtACDE 中，DE'hCD’+CE'uaal 在 RtAEFB 中，EF 2=FB 2+BE 2=y^ c c 95 a 2.VDE 2+EF 2=^a 2+y^a 2=y^a 2=DF 2 » AADFE 为直角三角形..\EF±DE.25 75 (2)连接 DE 正方形的面积为 16，Aa 2=16.VDF 2=-^a 2=-^X 16=25 » ADF=5.3 •能通过，理由如下：如图，设A.B 的中点为O ，显然，车的宽度小于门的宽度，设OF=1.6-2=().8(m) »过点F 作 FG 丄AB ，G 为半圆上的点，因为 OG=¥=l m ，OF=0.8 m ，所以 FG 2 = OG 2-OF 2= 12-0.82=0.36.^以 FG = 0.6 m ，所以G 点离地面的高度为0.6+2.3=2.9(m)>2.5 m ，故车能通过.4 • C整合集训1 - D 2.D 3.C 4.D 5.A 6.D 7.D 8.D 9.D 10.D 11.90° 128 13•等腰直角三角形 14」0 15.(10，3)16.|y\/2617 •根据已知，可得ZACB = 90° •在 RtAABC 中，根据勾股定理 AB=^/AC 2 + BC 2=^/8002+1 5002= 1 700(冰).1 700-50 = 34(.分钟).答：大约34分钟后，欢欢才能达到山顶.18 • Vm ，n 是正整数 » 且 m>n > .*.c>b » c>a. /. a 2 + b 2=(m 2—n 2)2+(2mn)2=m 4—2m 2n 2 + n 4+4m 2n 2=m 4+2m 2n 2 +『.又 Vc 2=(m 2+n 2)2 = m 4+2m 2n 2+n 4 » .-.a 2+b 2=c 2.A AABC 是直角三角形.19 ・(1)这个零件符合要求.VAB 2+AD 2=32+42=25，BD 2 = 52=25 » A AB 2+AD 2=BD 2.A ZA=90° •又 VBD 2 + BC 2 = 52+122=169 » DC 2=132=169，.•.BD 2 + BC 2=DC 2.A ZDBC=90° .90° -VS 梯形 A BCD = S RI A A B E +S RI ADE C + S RI AAED ・・.*(a+b)(a+b)=*ab+*ab+*c2.整理得 a 2+b 2=c 2.⑵由(1)知ZA = 90°，ZDBC=90°，・••这个零件的面积为|x3X4+*X5X 12 = 36.20 •分两种情况：⑴如图1，当ZB = 90°时，设BC = xcm，则AC = (70—x)cm.在RlAABC 中，AC2=AB2+BC2，B|J(70-x)2=502 + x2，解得，则AC = 70—x=^.即该点将绳子分成长度分别为号cm和号cm的两段.(2)如图2，当ZC = 90°时，根据勾3股4弦5可知这两段绳子的长度分别为30 cm和40 cm.21 - VAC=4，BC=2，AB=2^5 » /.AC2+BC2=AB2.A AACB 为直角三角形，即ZACB=90° .分三种情况：⑴如图1，过点D作DE丄CB，垂足为点E.易证ZXACB^ABED.易求CD = 2{T5； (2)如图2，过点D作DE丄CA，垂足为点E.易证△ACB9ADEA.易求CD=2^/T5； (3)如图3，过点D作DE丄CB，垂足为点E，过点A作AF丄DE，垂足为点F.易证△ AFD^ADEB ‘易求CD = 3^2.。
初中数学期末复习勾股定理重点题型分类+解析
初中数学期末复习勾股定理重点题型分类+解析初中数学期末复习勾股定理重点题型分类+解析！_梯子_正方形_的底部题型一：利用勾股定理进行线段计算如果单独考查勾股定理，通常是给我们送分的，非常简单，我们只有熟记勾股定理的公式、常见的勾股数，以及常见的特殊rt△的三边比例，即可以轻松解出题目。
【例1】一驾2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物0.7米，如果梯子的顶部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多远（其中梯子从ab位置滑到cd位置）？【分析】本题是常见的梯子滑动问题，是勾股定理结合实际问题产生的题型。
英对实际问题，我们需要实际问题抽象成简单的几何图形，再利用勾股定理解答。
题目要求梯子的底部滑出多远，就要求梯子原先顶部的高度ao，且三角形aob，三角形cod均为直角三角形．可以运用勾股定理求解．解：在直角三角形aob中，根据勾股定理ab 2=ao 2+ob 2，可以求得：oa= =2.4米，现梯子的顶部滑下0.4米，即oc=2.4-0.4=2米，且cd=ab=2.5米，所以在直角三角形cod中，即do= =1.5米，所以梯子的底部向外滑出的距离为1.5米-0.7米=0.8米．答：梯子的底部向外滑出的距离为0.8米．题型二：勾股定理的证明过程勾股定理的证明过程同样是勾股定理的一个常考点。
因此我们同样要熟知勾股定的常见证明过程。
这个需要同学们查看课本，回忆整个证明过程。
下面给出常见的考题类型。
【例2】《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图（1））．设每个直角三角形中较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c。
（1）利用图（1）面积的不同表示方法验证勾股定理．（2）实际上还有很多代数恒等式也可用这种方法说明其正确性．试写出图（2）所表示的代数恒等式：（）；（3）如果图（1）大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值．【分析】（1）如图（1），根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；（2）5个矩形，长宽分别为x，y；两个边长分别为y的正方形和两个边长为x的正方形，可以看成一个长宽为x+2y，2x+y的矩形；（3）利用（1）的结论进行解答．解：（1）图（1）中的大正方形的面积可以表示为c 2，也可表示为（b-a）2+4× ab∴（b-a）2+4× ab=c 2化简得b 2-2ab+b 2+2ab=c 2∴当∠c=90°时，a 2+b 2=c 2；（2）（x+y）（x+2y）=x 2+3xy+2y 2（3）依题意得 a2+ b2＝ c2＝13 ( b− a) 2＝1 则2ab=12∴（a+b） 2=a 2+b 2+2ab=13+12=25，即（a+b） 2=25．中考数学答题要点归纳，考前看这一篇就够了！中考数学复习9种题型答题模板+易错题练习，含答案！初中数学7-9年级，21个逢考必出的知识点，初中三年都适用！初中数学7-9年级，必考应用题分类+数量关系大全！初中数学复习，整式运算的几何背景与应用，常考题型解析！。
第一章勾股定理期末复习 1
1.小东拿着一根长竹竿进一个宽为３米的
城门，他先横拿着进不去，又竖起来拿， 结果竹竿比城门高１米，当他把竹竿斜着 时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长 多少？ 1m
x
(x+1)
3
三、勾股定理的应用
（二）先构造，再运用
1、如图，求△ABC的面积
A
5 B
D
5
6
C
2、如图有两颗树，一棵高8m，另一棵高2m， 两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到 另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
A
8m
E
C
2m
B
8m
D
例6、假期中，王强和同学到某海岛上去玩 探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往 东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后 又往西走3千米，在折向北走到6千米处往 东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点 A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
4
A
O D
o
A D
20.如图, 长方体的长为15cm, 宽为10cm, 高为20cm, 点B离点C 5cm, 一只蚂蚁如 果要沿着长方体的表面从点A爬到点B, 需要爬行的最短距离是多少? 25cm
5
B
C
15
A
E 20 E
20
15
A
C5
B
5 C
B
A 10
B 5 C 10 E 20 A
5 20
B C
A
1.在直角三角形ABC中, o， AB=13, CA=5, ∠C=90 12 BC= ______.
2.三角形的三边长分别是17、 8、15，这个三角形是 直角 __________三角形.
5.如图，两个正方形的面积 分别为64，49，则AC= 17 .
期末复习(二)——勾股定理
期末复习(二)——勾股定理知识点1勾股定理及其相关计算1．在Rt△ABC中，BC＝1，AC＝2，∠B＝90°，则AB的长是()A．5B．2 C．1 D．32．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8 cm，AB＝10 cm，以BC为边向外作正方形BCDE，则正方形BCDE的面积为__________cm2.图13．如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC＝22，AD＝2，∠B＝∠D＝90°，则CD＝__________.图24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边．(1)若b＝2，c＝3，求a的值；(2)若a∶c＝3∶5，b＝16，求△ABC的面积．5．如图3，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝13，BD＝12，CD＝3.(1)求AD的长；(2)求△ABC的周长．图3知识点2勾股定理的实际应用6．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室．大林搬来一架高为2.6米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向墙角移动________米．(人的高度忽略不计)7．如图4，台风过后某中学的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部C点6米处，已知旗杆总长15米，则旗杆是在距底部__________米处断裂．图48．如图5，某人从点A处划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离目标点B 25 m，已知在河中实际划行65 m，求该河流的宽度．图59．如图6，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔，且使C，D 两个村庄到E处的距离相等．已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB＝80 km，AD＝50 km，BC＝30 km，求5G信号塔E应该建在离A乡镇多远的地方．图6知识点3勾股定理的逆定理及其应用10．下列各组长度的线段中，能构成直角三角形的是()A．7，20，24 B．4，5，6 C．3，4，5D．3，4，511．如图7，在一次夏令营活动中，小明从营地点A出发，沿北偏西30°的方向走了5003米到达点B，然后再沿一定方向走了500米到达目的地点C，此时点A与点C之间的距离为1 000米，则点C在点B的()图7A．北偏东30°方向B．北偏东60°方向C．南偏西30°方向D．南偏西60°方向12．已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是______三角形．13．如图8，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，求DE的长．图814．某校数学兴趣小组参加社会实践活动，他们途中发现一块如图9所示的四边形草地ABCD，借助所带工具测得AB＝4米，BC＝12米，CD＝13米，AD＝3米，∠A＝90°.请求出四边形草地ABCD的面积．图9知识点4勾股定理及其逆定理的综合应用15．如图10，在Rt△OBC中，OC＝1，OB＝2，∠COB＝90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交数轴于点A，若点A所表示的数为a，则a的值是()图10A．－5－2 B．－5C．5－2 D．－5＋216．如图11，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则在△ABC中，边长为无理数的边有()图11A．3条B．2条C．1条D．0条17．若△ABC的三边a，b，c满足a－1＋|b－2|＋(c－3)2＝0，则△ABC是__________三角形．18．如图12，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，点E在AB上，把△ABC沿直线DE折叠，使点A与点B重合．(1)若∠A＝35°，求∠CBD的度数；(2)若AC＝8，BC＝6，求AD的长．图12常考训练基础题19．已知点A 的坐标为(2，－1)，则点A 到原点的距离为( )A ．3B ．3C ．5D ．1 20．如图13，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝9，AC ＝12，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD 的长为( )图13A ．365B ．1225C ．94D ．3421．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若a ＋b ＝14，c ＝10，则△ABC 的面积是( )A ．24B ．36C ．48D ．6022．满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数a ，b ，c 称为勾股数，如3，4，5是一组勾股数．请写出一组勾股数(不是3，4，5的整数倍)：______________.23．如图14，在四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，CD ＝6，AD ＝25 .若AC ⊥BC ，求证：AD ∥BC .图14提升题24．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是()A．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5B．∠A－∠B＝∠CC．a＝1，b＝2，c＝5D．(b＋c)(b－c)＝a225．如图15，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A，B是格点，则网格中满足以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有()图15A．2个B．3个C．4个D．5个26．如图16，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B，C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1 200米处，则船B与船C之间的距离为__________米．图1627．如图17(1)，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，先按图(2)操作，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图(3)操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A，H两点间的距离为__________.图1728．如图18，在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形边长都为1，△ABC的顶点都在格点上．(1)直接写出点A，B，C的坐标；(2)试判断△ABC的形状，并说明理由．图1829．如图19，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上点A处距点O处240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上从点O处出发沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，点A处受噪音影响的时间为多少秒？图191．D 2.36 3.234．解：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ＝2，c ＝3， ∴a ＝c 2－b 2 ＝5 .(2)∵a ∶c ＝3∶5，∴设a ＝3x ，则c ＝5x . ∵a 2＋b 2＝c 2，b ＝16，∴9x 2＋162＝25x 2.解得x ＝4(负值已舍去)． ∴a ＝12.∴S △ABC ＝12 ab ＝12×12×16＝96.5．解：(1)在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，AB ＝13，BD ＝12， ∴AD ＝AB 2－BD 2 ＝5.(2)在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，AD ＝5，CD ＝3 ， ∴AC ＝AD 2＋CD 2 ＝27 .∴△ABC 的周长为AB ＋BC ＋AC ＝AB ＋BD ＋CD ＋AC＝13＋12＋3 ＋27 ＝25＋3 ＋27 .6．0.5 7.6.38．解：根据题意，得AC ＝65 m ，BC ＝25 m. 在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，由勾股定理，得AB ＝AC 2－BC 2 ＝652－252 ＝60(米). 答：该河流的宽度为60米．9．解：设AE ＝x km ，则BE ＝(80－x )km.∵AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴△ADE 和△BCE 都是直角三角形． ∴DE 2＝AD 2＋AE 2，CE 2＝BE 2＋BC 2. ∵AD ＝50 km ，BC ＝30 km ，DE ＝CE ，∴AD 2＋AE 2＝BE 2＋BC 2，即502＋x 2＝(80－x )2＋302，解得x ＝30. 答：5G 信号塔E 应该建在离A 乡镇30 km 远的地方． 10．D 11.D 12.直角13．解：如图1，过点D 作DH ⊥AC 于点H .图1∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ， ∴DH ＝DE .∵AB ＝4，AC ＝3，BC ＝5， ∴AB 2＋AC 2＝BC 2.∴△ABC 为直角三角形． ∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △ADC ， ∴12 AB ·AC ＝12 DE ·AB ＋12 DH ·AC . ∴12 ×4×3＝12 DE ×4＋12 DH ×3＝12×(4DE ＋3DH ). 又DE ＝DH ，∴DE ＝127.14．解：(1)如图2，连接BD .图2在Rt △ABD 中，∠A ＝90°，AB ＝4米，AD ＝3米，根据勾股定理，得BD ＝AB 2＋AD 2 ＝42＋32 ＝5(米). 在△BCD 中，BD ＝5米，BC ＝12米，CD ＝13米， ∴BD 2＋BC 2＝CD 2.∴△BCD 是直角三角形，∠CBD ＝90°. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12 AD ·AB ＋12 BD ·BC ＝12 ×3×4＋12 ×5×12 ＝36(平方米).答：四边形草地ABCD 的面积是36平方米． 15．D 16.B 17.直角18．解：(1)由折叠的性质，得∠ABD ＝∠A ＝35°. ∵∠C ＝90°，∴∠ABC ＝180°－90°－35°＝55°.∴∠CBD ＝∠ABC －∠ABD ＝55°－35°＝20°. (2)由折叠的性质，得AD ＝BD . 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝8－x .在Rt △CDB 中，CD 2＋BC 2＝BD 2，即x 2＋62＝(8－x )2.解得x ＝74.∴AD ＝8－74 ＝254 .19．C 20.A 21.A 22.5，12，13(答案不唯一)23．证明：∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AC 2＝AB 2－BC 2＝52－32＝16. 在△ACD 中，AC 2＋AD 2＝16＋(25 )2＝36，CD 2＝36， ∴AC 2＋AD 2＝CD 2.∴△ACD 为直角三角形，且∠CAD ＝90°. ∴AC ⊥CD . 又AC ⊥BC ， ∴AD ∥BC .24．A 25.B 26.1 500 27.1028．解：(1)A (－1，5)，B (－5，2)，C (－3，1). (2)△ABC 是直角三角形．理由：∵AB 2＝32＋42＝25，BC 2＝12＋22＝5，AC 2＝22＋42＝20， ∴AC 2＋BC 2＝20＋5＝25＝AB 2. ∴△ABC 是直角三角形．29．解：如图3，过点A 作AC ⊥ON 于点C .图3在Rt △AOC 中，∠AOC ＝30°，OA ＝240米，∴AC＝120米．设当火车到点B时对A处开始产生噪音影响，当火车到点D时对A处结束噪声影响，则AB＝AD＝200米．∴BC＝CD.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝200米，AC＝120米，∴BC＝AB2－AC2＝2002－1202＝160(米).∴CD＝BC＝160米．∴BD＝320米．∵72千米/小时＝20米/秒，∴影响时间为320÷20＝16(秒).答：点A处受噪音影响的时间为16秒．。
期末复习(二) 勾股定理
解：根据题意，得 ， .又 ， .又 ， .
（2） 的度数.
[答案] ， ， ， ， 为直角三角形， .由（1）得 为等腰直角三角形， ， .
重难点3 勾股定理在实际生活中的应用
【例3】如图，高速公路的一侧有 ， 两个村庄，它们到高速公路所在直线 的距离分别为
（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？
解：这个零件符合要求. ， ， . .又 ， ， . .
（2）求这个零件的面积.
[答案] 由（1）知 ， ，∴这个零件的面积为 .
19.（12分）给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.
A
A. 直角三角形 B. 锐角三角形C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对
第5题图
5.如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的.以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中
C
A. B. C. D.
第7题图
7.图1是由边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2所示的正方体，则图1中正方形的顶点 , 在图2围成的正方体中的距离是( )
C
A. B. C. D.
8.如图，在 中， 于点 ， ， ， ，则 的为( )
B
A. B. C. D.
3.图1是放置在水平面上的可折叠式护眼灯，其中底座的高 ，连杆 ，灯罩 .如图2，转动 ， ，使得 成平角，且灯罩端点 离桌面 的高度 为 ，求 的距离.
解：过点 作 于点 . ， ，∴四边形 为矩形. ， . ， ，
∴在 中， . 的距离为 .
《勾股定理》复习学案(期末复习)
第3题 第4题 《勾股定理》复习学案【知识点归纳】1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的 等于斜边c 的 ，即2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系 ，那么这个三角形是 三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个 ，称为勾股数。
★注意：1.勾股定理仅适用于 三角形；2.常见的勾股数（请举出几组）：3.若a ，b ，c 为勾股数，则ka ，kb ，kc （k 为正整数）也是勾股数。
【基础训练】1.一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端距墙脚的距离是（ ）．(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m2..以下各组数中，能组成直角三角形的是（ ）(A)2，3，4 (B)1.5，2，2.5 (C)32，42，52 (D)8，9，103.如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为以∠B 为直角的直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ．4.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图2中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 c 2＝ ＋ 。
化简后即为 c 2＝ 。
5.有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米。
【本章小专题】☞专题一：勾股定理及应用1.计算下列直角三角形的边长（注意运用规律）：（1） （2） （3）2.一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝12，AD ＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？3.波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？☞专题二：面积问题1.如图：以Rt △的三边长为边在外面作三个正方形M 、N 、P（1）若S M =5，S N =6，则S M +S N +S P = ；（2）若S P =10，则S M +S N +S P = 。
期末复习勾股定理基础知识点1.6
勾股定理知识总结 一．基础知识点：1：勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边，则22c a b =+，22b c a =-，22a cb =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 （若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
222a b c+=只是一种表现形式，不是唯一的，如若满足222acb+=，是直角三角形，但是b 为斜边） 3：勾股定理的证明4：勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等勾股定理练习 一．填空题：1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________； （2）b=8，c=17，则S △ABC =________。
2.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，则这个三角形是________（按角分类）。
3. 直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为________。
4．观察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；……；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：__________。
勾股定理复习考点全经典
勾股定理复习考点（全)－经典————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ勾股定理复习考点(全)-经典一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么ａ2 + ｂ２= c2。
公式的变形：a2 = ｃ2- b2， b2= c２-a２。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c，且满足a2 + b２＝ｃ2,那么三角形AＢC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时,要注意处理好如下几个要点:①已知的条件:某三角形的三条边的长度.②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方＋中间边的平方.③得到的结论:这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
３、勾股数满足a2 ＋b２＝ c2的三个正整数,称为勾股数。
注意:①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。
常见勾股数有:（3,4，５)（５，12，1３) ( 6，8，10 ) （７，24，25 )( 8,１５，1７) (9，12,１5 ）4、最短距离问题:主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：(1)阴影部分是正方形;(2）阴影部分是长方形;（３）阴影部分是半圆.S 3S 2S 1２． 如图,以Ｒt △ＡBC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、Ｓ３,则它们之间的关系是( )A. S １- S 2＝ S 3 Ｂ. S １+ S 2= S 3 C. S 2+S ３< S 1 D. S 2- Ｓ3=S １4、四边形ABCD 中，∠B ＝90°,AB=3,BC=4，ＣD ＝１２,AD=13,求四边形ABCD 的面积。
勾股定理期末复习讲义
勾股定理期末复习讲义提要：本节内容的重点是勾股定理及其应用．勾股定理是解几何中有关线段计算问题的重要依据，也是以后学习解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大，它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用．本节内容的难点是勾股定理的证明．勾股定理的证明方法有多种，课本是通过构造图形，利用面积相等来证明的这里还涉及到了解决几何问题的方法之一：面积法。
割补（……陌生的名词么，但是我们用过）的思想也要值得我们去注意．【知识结构】1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．3．勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．你记得几组勾股数？显然，若(a，b，c)为一组基本勾股数，则(ka，kb，kc)也为勾股数，其中k为正整数．4.利用尺规画出长度是无理数的线段.了，知道画吧5.勾股定理及其逆定理的应用.蚂蚁怎样走最近【注意】1.勾股定理的证明，是利用图形的割补变化，通过有关面积的数量关系进行证明的方法．2．在应用勾股定理时，要注意在直角三角形的前提条件，分清直角三角形的直角边和斜边.3. 在应用勾股定理逆定理时，先要确定最长边，再计算两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，最后确定三角形是不是直角三角形.4. 本章关联的知识点：实数的运算，三角形，四边形，图形变换，解方程等【基础训练A】1.三角形三边之比分别为①1：2：3，②3：4：5；③1.5：2：2.5，④4：5：6，其中可以构成直角三角形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.若线段a、b、c能构成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4 B．3：4：6 C．5：12：13 D．4：6：73．下面四组数中是勾股数的有（）（1）1.5，2.5，2 （2，2（3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.3A．1组B．2组C．3组D．4组4. △ABC中，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=______，b=_______．5. 在△ABC中∠C=90°，AB=10，AC=6，则另一边BC=________，面积为______，• AB边上的高为________；6.如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．B C A D B C A D7. 如图，已知CD=3m ，AD=4m ， ∠ADC=90°， AB=13m ，BC=12m ，（1）求AC 边的长。
长郡系期末复习-勾股定理
长郡系期末复习：勾股定理一、知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2=c 2）2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
3、满足222c b a=+的三个正整数，称为勾股数。
常用勾股数：（1）3，4，5； （2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）7，24，25 （5）8，15，17 （6）9,13, 15（7）9, 40, 4111-25所有数的平方：二、典型题型题型1、勾股定理的推理与意义（典型小练习）1、如图中字母A 所代表的正方形的面积为() A 、4 B 、8 C 、16D 、64举一反三：如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
2、如图，在边长为c 的正方形中，有四个斜边为c 的全等直角三角形，已知其直角边长为a ，b.利用这个图试说明勾股定理?3、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（ ） A 、1倍 B 、2倍 C 、3倍 D 、4倍 5、下列说法中正确的是（ ）A 、已知c b a ,,是三角形的三边，则222c b a =+B 、在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C 、在ABC Rt Δ中，°=∠90C ，所以222c b a =+D 、在ABC Rt Δ中，°=∠90B ，所以222c b a =+题型2、求线段的长度例1、如图，在△ABC 中，∠ACB=90º， CD ⊥AB ，D 为垂足，AC=6cm,BC=8cm. 求① △ABC 的面积； ②斜边AB 的长；③斜边AB 上的高CD 的长。
举一反三：1、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是 （ ） A 、6厘米； B 、 8厘米； C 、 80/13厘米；D 、 60/13厘米；2、直角三角形中两条直角边之比为3：4，且斜边为20cm ，求（1）两直角边的长（2）斜边上的高线长例2、如图，RT ABC Δ中，D 、E 分别为AC 、BC 的中点，4AD =，3BE =，求AB 的长。
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勾股定理期末复习
一、
二. 知识点回顾
1、 勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形
（1） 先确定最大边（如c ）
（2） 验证2
c 与2
2
b a +是否具有相等关系
（3） 若2
c =2
2
b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2
c ≠2
2
b a +
则△ABC 不是直角三角形。
3、 勾股数
满足2
2
b a +=2
c 的三个正整数，称为勾股数
如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 二、 专题练习 (一) 勾股定理的计算
1、如图中字母A 所代表的正方形的面积为( )
A 、4
B 、8
C 、16
D 、64
2、一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（ ）
A 、 第三边一定为10
B 、三角形的周长为24
C 、三角形的面积为24
D 、第三边有可能为10
3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，
（1）已知c ＝4，b ＝3，求a ； （2）若a:b=3:4，c=10cm ，求a 、b 。
（3）已知b=B ＝30°，求a 。
（4）已知a=c=6，求∠A ，∠B 。
（二）直角三角形的判定
1、下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=1.5，b=2, c=3
B 、a=7,b=24,c=25
C 、a=6, b=8, c=10
D 、a=3,b=4,c=5
2、三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（ ）
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定
3、已知2226810500x y z x y z ++---+= 求由此z y x ,,为三边的三角形的面积。
（三）勾股定理的应用
1、如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆形水杯中，设筷子露在外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是
2、如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm ，CD=12cm ，DA=13cm ，且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是 cm 2
3、如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域.
(1)A 城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A 城受到这次台风影响，那么A 城遭受这次台风影响有多长时间？
h
A
B C
D
A
题1图
题3图
题2图
C
A
B
E D
（四）展开图与折叠问题
1、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B ’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
2、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为 。
3、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠， 使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕
EF 的长为 。
（五）解答题
1、已知：如图，在△ABC 中，90ACB ∠=o
，10AB cm =，8BC cm =，CD AB ⊥于D ，
求CD 的长．
2、如图，已知：︒=∠=∠90C ABD ，12=AD ，BC AC =，︒=∠30DAB ，求BC 的长．
3、如图，ABC ∆中，13AB =，14BC =，15AC =，求BC 边上的高AD ．
基础练习
1、三个正方形的面积如图所示，则正方形A 的面积是（ ）． Ａ． 6 Ｂ. 36 Ｃ. 64 Ｄ. 8
2、a 、b 、c 是△ABC 的三边，
①5a =，12b =，13c = ②8a =，15b =，17c = ③a ∶b ∶c =3∶4∶5 ④15a =，20b =，25c =。
上述四个三角形中直角三角形有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3、若一直角三角形两边长为12和5，则第三边长为（ ）
A ．13
B ．13或119
C ．13或15
D ．15
4、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）
A 、24cm 2
B 、36cm 2
C 、48cm 2
D 、60cm 2
5、直角三角形中，斜边长为5cm ，周长为12cm ，则它的面积为( )。
A ．122cm B ．62cm C ．8 2cm D ．92
cm
6、如图，一个圆柱底面周长为6cm ，高为4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，
则至少爬行__________.
7、若直角三角形的两边长为12和5，求以第三边为边长的正方形的 面积是________.。
8、在△ABC 中，∠C=90°，AB=m+2，BC=m-2，AC=m ，求△ABC 三边的长。
B ’
C ’
B ′
A
C ′
D A
64
100 A
D
C
B
A
D
C
B
A
B
题6图
题1图
题1图
题2图
题3图
课后练习
1、Rt △一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则Rt △的周长为（ ） A 、121
B 、120
C 、90
D 、不能确定 2、等腰三角形底边上的高为6，周长为36，则三角形的面积为（ ） A 、56
B 、48
C 、40
D 、32
3、已知1225x x y -++-与2
1025z z -+互为相反数，则以x 、y 、z 为三边的三角形是______ 三角形．
4、△ABC 中，15AB =，13AC =，高12AD =，则△ABC 的周长为___________．
5、如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________．
6、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C´的位置，若BC ＝2，则BC´＝_________．
5、已知，△ABC 中，17AB cm =，16BC cm =，BC 边上的中线15AD cm =，试说明△ABC 是等腰三角形．
6、如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．
7、如图，已知：︒=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P ．求证： 2
2
2
BC AP BP +=．
P M
B
C
A
8、《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”．一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，•测得该车从北偏西60的A 点行驶到北偏西30°的B 点，所用时间为1．5秒． （1）试求该车从A 点到B 的平均速度； （2）试说明该车是否超过限速．
D
C
B
A
E
题5图
F
B
题6图
C ′
B
A
C
D A
C
D。