同济大学 高等数学B 第六章习题课
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V ( h) x 2 dy ( 2 Ry y 2 )dy
0 0 h h
y
R
h
又设水深 h 时已注水的时间为 t , 则有 V ( h) at ,
即 ( 2 Ry y 2 )dy at
0 h
o
x
dh 两边对 t 求导, 得 ( 2 Rh h ) a, dt
弧长 s
( )
r 2 ( ) r 2 ( )d
4* 旋转体的侧面积
y f ( x ) 0, a x b
S侧 2f ( x ) 1 f 2 ( x )dx
a b
y
y f ( x)
o
x
x dx
x
ds
二. 物理应用
1 变力所作的功
x
的体积
3. 求曲线 y 2t sin t 2 dt
0 x
1
0 x 的弧长 .
4. 设 y ax 2 a 0, x 0 与 y 1 x 2 交于A点.
过坐标原点及 A 点的直线与，
曲线 y ax 围成一平面图形，
2
y 1 x2
y
y ax 2
15
4a a 2
1
7 a2 2
0 得到 a 4
且为极大值点, a 4为最大值点 , 因此得到最大值
2 42 f 4 V 4 7 15 17 2
5. 以每秒 a 的流量往半径为 R 的半球形水池
内注水. (1) 求在池中水深 h (0 h R)时水 面上升的速度; ( 2) 若再将满池水, 全部抽出 至少需作功多少 ?
分别为 50 米和 30 米 , 高为 20 米 , 如果闸门
顶部高出水面 4 米, 求闸门一侧所受的水
的静压力.
练习题解答 1. 从原点向 y 1 ln x作切线 即 : 切线过原点 计算由切线, 原曲先以及 x 轴所围图形的面积 .
解 设切点为 x 0 , y 0 , 则必有 y0 1 y x 0 x0 x0
d
r 1 ( )
r 2 ( )
o
x
o
x
1 A [ ( )]2 d 2
1 2 A [ 2 ( ) 12 ( )]d 2
2 体积
旋转体的体积
y
o
x
x dx
x
V a [ f ( x )]2 dx
b
y
d
x ( y)
三、引力
由物理学知道，质量分别为 m1 , m 2 相距为 r
m1 m 2 的两个质点间的引力的大小为 F k ， 2 r 其中 k 为引力系数，引力的方向沿着两质点
连线方向．
计算一根细棒对一个质点的引力
例6
有一长度为 l 、线密度为 的均匀细棒，
在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的
1 1 a
2 2 x ax dx
2
2 a 2 2 V x x ax dx 0 1 a
1 1 a
2 15 令 f a
a
2
1
5 2 2 a
f a
a 0 唯一的驻点
y (t )连续.
t1 a , t 2 b
y t
a b
t 1 a
b t2
x
t 2 b
曲边梯形的面积 A y x dx (t ) (t )dt
a t1
极坐标情形
r ( )
y
0
e
x0 , y0
x
y 0 1, 又y 0 1 ln x 0
得到
切点 e ,1 , 斜率 k y
2
x0 e 2
e2
1 e2
切线方程为
1 y 2 x 即 e
x e 2 y
面积 S 1 e 1 y e 2 y
0
dy
质点 M ，计算该棒对质点 M 的引力．
解
建立坐标系如图
l l 取y为积分变量 y , , 2 2
取任一小区间[ y , y dy ]
l y 2 y dy
y
r
a
l 2
o
M
x
小段的质量为 dy ,
小段与质点的距离为
l y 2 y dy
r a y ,
2
l 2
amdy (a y )
2 2
3 2
l 2 2 0
k
am dy (a 2 令 y a tan t
3 y 2 )2
2kam
arctan 0
l 2a
1 (a 2 a tan t
3 2 2 )
da tan t
2kam 0 2kam 0
1 2
4 4 2 xdx 0 3
1 2
解2
柱壳法
1 y2 1 dy 1 2 y 1 2 2
4 3
y y
0
1
x y2 2
V y 1
1 2
x
3. 求曲线
y 2t sin t 2 dt
0
x
0 x 的弧长 .
0
y
r
a
l 2
o
M
x
F F x , F y
2km l a ( 4a 2
1 l 2 )2
,0
思考题
若一边长分别为 a ,b的矩行薄片浸入水中, 薄片上边 的边长为a , 与水面夹角为 , 距水面为h(如图),
求薄片一侧所受的水压 . 力
h
b a
水面
思考题解答
0
1 y e2 e y2 2 1
e2 e 2
x e 2 y
x e 1 y
(e 2 ,1)
1 2. 求由 y 2 x 及 x 所围图形 2 绕直线 y 1 旋转所得旋转体
2
的体积 解1 圆环法
y
0
1
x
1 2
x
V y 1 0 2 x 12 2 x 12 dx
解
S
1 y 2 dx
1 ( 2 x sin x 1 2 x ) 2 dx
0
0
0
1 sin x dx
0
x x 2 (sin cos ) dx 2 2
x x sin cos dx 4 2 2 0
4. 设 y ax 2 a 0, x 0 与 y 1 x 2 交于A点.过坐标原点及 A 点的直线与 曲线 y ax 2围成一平面图形 .
2 3 x 2 )2
y
Aa
Fy
c b
l
ob x
l
x dx
3 2 2 x )
c x
( G 为引力系数 )
4. 函数的平均值
1 b y a f ( x )dx ba
练习题
1. 从原点向 y 1 ln x作切线 即 : 切线过原点.
计算由切线, 原曲先以及 x 轴所围图形的面积. y 1 2 2. 求由 y 2 x 及 x 所围图形 2 1 绕直线 y 1 旋转所得旋转体 0 2
问 : a为何值时该图形绕 x轴旋
y
y ax 2
y 1 x2
转所得旋转体的体积最 大.
A
0
y
a x 1 a
解 曲线
y ax 2 与 y 1 x 2
x
a 1 相交于 A , 点. 1 a 1 a
a 过O; A两点的直线为 y x 1 a
a V x 0 1 a
c
o
V c [ ( y )]2 dy
d
x
柱壳法
y
y f x
a
x b
x
b V y a 2x | f ( x ) | dx
平行截面面积为已知的立体的体积
A( x )
a
b
x
b
V
a A( x )dx
3 平面曲线的弧长
A．曲线弧为 y f ( x )
y
ds
2 弧长 s a 1 y dx b
第六章
一. 几何应用
习题课
1 平面图形的面积 直角坐标情形
y
y f ( x)
y
y f2 ( x)
A
o
A
y f1 ( x )
a
b
b
x
o
b
a
b
x
A a f ( x )dx
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
参数方程所表示的函数
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t ) 在[ t1 , t 2 ]（或[ t 2 , t1 ]）上 x (t ) 具有连续导数，
W a F ( x )dx
b
F ( x)
oa
x
2 水(液)压力
P
b a xf ( x )dx
压强 面积元素dS
x dx
b
x
( 为比重 )
o a x x dx b x
y
f ( x)
3 引力
c F x b
Gxdx (a 2 G a dx (a
2 2
y
r
a
l 2
o
引力
方向
dF k
mdy r
2
k
mdy a y
2
2
M
x
2
,
a, y
amdy (a 2 y 2 )
3 2
r0
a , y
a y
2
分力元素:
dFx k
,
dF y k
ym dy (a 2
3 y 2 )2
Fx l k
问 : a为何值时该图形绕 x轴旋
A
0
x
转所得旋转体的体积最 大.
5. 以每秒 a 的流量往半径为 R 的半球形水池
内注水. (1) 求在池中水深 h (0 h R)时水 面上升的速度; ( 2) 若再将满池水, 全部抽出 至少需作功多少 ?
o
y
R
h
x
6 一等腰梯形闸门, 如图所示, 梯形的上下底
建立坐标系如图
b a
0
h
水面
0 xb 在坐标 x 处 , 面积元素 : dS百度文库 adx
x
1 压强 : P ( x ) ( h x sin ) g 压力元素 : dF ( h x sin ) g adx
压力 :
b 0 ( h x sin ) g adx b2 ( hb sin )ag 2
解 如图所示建立坐标系.
半圆的方程为 .
y
R
h
x 2 ( y R) 2 R 2
(0 y R).
o
x
于是对半圆上任一点,有
x 2 R 2 ( y R )2 2 Ry y 2 (0 y R ).
(1) 因已知半球可看作此半圆绕 y 轴旋转而成
的立体, 故半球内高为 h 的球缺的体积即水深 为 h 时水池内水的体积为
x (t ) B．曲线弧为 y (t )
o a x x dx b
x
( t )
其中 ( t ), ( t )在[ , ] 上具有连续导数
弧长 s
2 ( t ) 2 ( t )dt
C．曲线弧为 r r ( )
R
y )( R y )dy
2
y
R
y h
( 2 R 2 y 3 Ry 2 y 3 )dy
0
4 R . 4
o
x
6 一等腰梯形闸门, 如图所示, 梯形的上下底
分别为 50 米和 30 米 , 高为 20 米 , 如果闸门
arctan
l 2a
a sec 2 t dt 3 3 a sec t cos t dt 2 a
2km l a ( 4a 2
1 2 2 l )
arctan
l 2a
,
由对称性知，引力在铅直方向分力为
l y 2 y dy
Fy
l 2
l k 2
ym dy (a 2
3 y2 )2
2
故所求速度为
dh a . 2 dt ( 2 Rh h )
( 2) 将满池的水全部抽出所需的最小功即将池内 水全部提升到池沿高度 所需的功. 在坐标 y 处, 垂直于y轴的平面截半球体 ,
所得的截面面积为
A y x
2
y 2 Ry y
2
o
y
R
y h
簿片体积元素 dV A y dy
2 Ry y 2 dy
x
重量
dP dV 2 Ry y 2 dy
( 1 水的比重)
该簿片提升到容器的顶 部所作的功元素为
dW ( R y ) ( 2 Ry y 2 )dy .
故将满池水全部提升到池沿高度所需功为
W
R 0 ( 2 Ry
0 0 h h
y
R
h
又设水深 h 时已注水的时间为 t , 则有 V ( h) at ,
即 ( 2 Ry y 2 )dy at
0 h
o
x
dh 两边对 t 求导, 得 ( 2 Rh h ) a, dt
弧长 s
( )
r 2 ( ) r 2 ( )d
4* 旋转体的侧面积
y f ( x ) 0, a x b
S侧 2f ( x ) 1 f 2 ( x )dx
a b
y
y f ( x)
o
x
x dx
x
ds
二. 物理应用
1 变力所作的功
x
的体积
3. 求曲线 y 2t sin t 2 dt
0 x
1
0 x 的弧长 .
4. 设 y ax 2 a 0, x 0 与 y 1 x 2 交于A点.
过坐标原点及 A 点的直线与，
曲线 y ax 围成一平面图形，
2
y 1 x2
y
y ax 2
15
4a a 2
1
7 a2 2
0 得到 a 4
且为极大值点, a 4为最大值点 , 因此得到最大值
2 42 f 4 V 4 7 15 17 2
5. 以每秒 a 的流量往半径为 R 的半球形水池
内注水. (1) 求在池中水深 h (0 h R)时水 面上升的速度; ( 2) 若再将满池水, 全部抽出 至少需作功多少 ?
分别为 50 米和 30 米 , 高为 20 米 , 如果闸门
顶部高出水面 4 米, 求闸门一侧所受的水
的静压力.
练习题解答 1. 从原点向 y 1 ln x作切线 即 : 切线过原点 计算由切线, 原曲先以及 x 轴所围图形的面积 .
解 设切点为 x 0 , y 0 , 则必有 y0 1 y x 0 x0 x0
d
r 1 ( )
r 2 ( )
o
x
o
x
1 A [ ( )]2 d 2
1 2 A [ 2 ( ) 12 ( )]d 2
2 体积
旋转体的体积
y
o
x
x dx
x
V a [ f ( x )]2 dx
b
y
d
x ( y)
三、引力
由物理学知道，质量分别为 m1 , m 2 相距为 r
m1 m 2 的两个质点间的引力的大小为 F k ， 2 r 其中 k 为引力系数，引力的方向沿着两质点
连线方向．
计算一根细棒对一个质点的引力
例6
有一长度为 l 、线密度为 的均匀细棒，
在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的
1 1 a
2 2 x ax dx
2
2 a 2 2 V x x ax dx 0 1 a
1 1 a
2 15 令 f a
a
2
1
5 2 2 a
f a
a 0 唯一的驻点
y (t )连续.
t1 a , t 2 b
y t
a b
t 1 a
b t2
x
t 2 b
曲边梯形的面积 A y x dx (t ) (t )dt
a t1
极坐标情形
r ( )
y
0
e
x0 , y0
x
y 0 1, 又y 0 1 ln x 0
得到
切点 e ,1 , 斜率 k y
2
x0 e 2
e2
1 e2
切线方程为
1 y 2 x 即 e
x e 2 y
面积 S 1 e 1 y e 2 y
0
dy
质点 M ，计算该棒对质点 M 的引力．
解
建立坐标系如图
l l 取y为积分变量 y , , 2 2
取任一小区间[ y , y dy ]
l y 2 y dy
y
r
a
l 2
o
M
x
小段的质量为 dy ,
小段与质点的距离为
l y 2 y dy
r a y ,
2
l 2
amdy (a y )
2 2
3 2
l 2 2 0
k
am dy (a 2 令 y a tan t
3 y 2 )2
2kam
arctan 0
l 2a
1 (a 2 a tan t
3 2 2 )
da tan t
2kam 0 2kam 0
1 2
4 4 2 xdx 0 3
1 2
解2
柱壳法
1 y2 1 dy 1 2 y 1 2 2
4 3
y y
0
1
x y2 2
V y 1
1 2
x
3. 求曲线
y 2t sin t 2 dt
0
x
0 x 的弧长 .
0
y
r
a
l 2
o
M
x
F F x , F y
2km l a ( 4a 2
1 l 2 )2
,0
思考题
若一边长分别为 a ,b的矩行薄片浸入水中, 薄片上边 的边长为a , 与水面夹角为 , 距水面为h(如图),
求薄片一侧所受的水压 . 力
h
b a
水面
思考题解答
0
1 y e2 e y2 2 1
e2 e 2
x e 2 y
x e 1 y
(e 2 ,1)
1 2. 求由 y 2 x 及 x 所围图形 2 绕直线 y 1 旋转所得旋转体
2
的体积 解1 圆环法
y
0
1
x
1 2
x
V y 1 0 2 x 12 2 x 12 dx
解
S
1 y 2 dx
1 ( 2 x sin x 1 2 x ) 2 dx
0
0
0
1 sin x dx
0
x x 2 (sin cos ) dx 2 2
x x sin cos dx 4 2 2 0
4. 设 y ax 2 a 0, x 0 与 y 1 x 2 交于A点.过坐标原点及 A 点的直线与 曲线 y ax 2围成一平面图形 .
2 3 x 2 )2
y
Aa
Fy
c b
l
ob x
l
x dx
3 2 2 x )
c x
( G 为引力系数 )
4. 函数的平均值
1 b y a f ( x )dx ba
练习题
1. 从原点向 y 1 ln x作切线 即 : 切线过原点.
计算由切线, 原曲先以及 x 轴所围图形的面积. y 1 2 2. 求由 y 2 x 及 x 所围图形 2 1 绕直线 y 1 旋转所得旋转体 0 2
问 : a为何值时该图形绕 x轴旋
y
y ax 2
y 1 x2
转所得旋转体的体积最 大.
A
0
y
a x 1 a
解 曲线
y ax 2 与 y 1 x 2
x
a 1 相交于 A , 点. 1 a 1 a
a 过O; A两点的直线为 y x 1 a
a V x 0 1 a
c
o
V c [ ( y )]2 dy
d
x
柱壳法
y
y f x
a
x b
x
b V y a 2x | f ( x ) | dx
平行截面面积为已知的立体的体积
A( x )
a
b
x
b
V
a A( x )dx
3 平面曲线的弧长
A．曲线弧为 y f ( x )
y
ds
2 弧长 s a 1 y dx b
第六章
一. 几何应用
习题课
1 平面图形的面积 直角坐标情形
y
y f ( x)
y
y f2 ( x)
A
o
A
y f1 ( x )
a
b
b
x
o
b
a
b
x
A a f ( x )dx
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
参数方程所表示的函数
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t ) 在[ t1 , t 2 ]（或[ t 2 , t1 ]）上 x (t ) 具有连续导数，
W a F ( x )dx
b
F ( x)
oa
x
2 水(液)压力
P
b a xf ( x )dx
压强 面积元素dS
x dx
b
x
( 为比重 )
o a x x dx b x
y
f ( x)
3 引力
c F x b
Gxdx (a 2 G a dx (a
2 2
y
r
a
l 2
o
引力
方向
dF k
mdy r
2
k
mdy a y
2
2
M
x
2
,
a, y
amdy (a 2 y 2 )
3 2
r0
a , y
a y
2
分力元素:
dFx k
,
dF y k
ym dy (a 2
3 y 2 )2
Fx l k
问 : a为何值时该图形绕 x轴旋
A
0
x
转所得旋转体的体积最 大.
5. 以每秒 a 的流量往半径为 R 的半球形水池
内注水. (1) 求在池中水深 h (0 h R)时水 面上升的速度; ( 2) 若再将满池水, 全部抽出 至少需作功多少 ?
o
y
R
h
x
6 一等腰梯形闸门, 如图所示, 梯形的上下底
建立坐标系如图
b a
0
h
水面
0 xb 在坐标 x 处 , 面积元素 : dS百度文库 adx
x
1 压强 : P ( x ) ( h x sin ) g 压力元素 : dF ( h x sin ) g adx
压力 :
b 0 ( h x sin ) g adx b2 ( hb sin )ag 2
解 如图所示建立坐标系.
半圆的方程为 .
y
R
h
x 2 ( y R) 2 R 2
(0 y R).
o
x
于是对半圆上任一点,有
x 2 R 2 ( y R )2 2 Ry y 2 (0 y R ).
(1) 因已知半球可看作此半圆绕 y 轴旋转而成
的立体, 故半球内高为 h 的球缺的体积即水深 为 h 时水池内水的体积为
x (t ) B．曲线弧为 y (t )
o a x x dx b
x
( t )
其中 ( t ), ( t )在[ , ] 上具有连续导数
弧长 s
2 ( t ) 2 ( t )dt
C．曲线弧为 r r ( )
R
y )( R y )dy
2
y
R
y h
( 2 R 2 y 3 Ry 2 y 3 )dy
0
4 R . 4
o
x
6 一等腰梯形闸门, 如图所示, 梯形的上下底
分别为 50 米和 30 米 , 高为 20 米 , 如果闸门
arctan
l 2a
a sec 2 t dt 3 3 a sec t cos t dt 2 a
2km l a ( 4a 2
1 2 2 l )
arctan
l 2a
,
由对称性知，引力在铅直方向分力为
l y 2 y dy
Fy
l 2
l k 2
ym dy (a 2
3 y2 )2
2
故所求速度为
dh a . 2 dt ( 2 Rh h )
( 2) 将满池的水全部抽出所需的最小功即将池内 水全部提升到池沿高度 所需的功. 在坐标 y 处, 垂直于y轴的平面截半球体 ,
所得的截面面积为
A y x
2
y 2 Ry y
2
o
y
R
y h
簿片体积元素 dV A y dy
2 Ry y 2 dy
x
重量
dP dV 2 Ry y 2 dy
( 1 水的比重)
该簿片提升到容器的顶 部所作的功元素为
dW ( R y ) ( 2 Ry y 2 )dy .
故将满池水全部提升到池沿高度所需功为
W
R 0 ( 2 Ry