山西省临汾市临汾第一中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题(PDF)
2020-2021高一数学上期中试卷(及答案)(5)
2020-2021高一数学上期中试卷(及答案)(5)一、选择题1．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭2．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>3．若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭4．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<5．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.56．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）7．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ） A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =8．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1- 9．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）10．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,311．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b12．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______.14．函数()12x f x =-的定义域是__________．15．已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______． 16．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 17．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.18．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线12x =对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-． 若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是_____． 20．已知函数在区间，上恒有则实数的取值范围是_____.三、解答题21．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？ 22．设函数()(0.af x x x x=+≠且x ，)a R ∈． （1）判断()f x 的奇偶性，并用定义证明； （2）若不等式()12262xxxf <-++在[]0,2上恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）()11,0,12x g x x x -⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦的值域为.A 函数()f x 在x A ∈上的最大值为M ，最小值为m ，若2m M >成立，求正数a 的取值范围．23．已知()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，且当01x <<时，()442xx f x =+，（1）求()f x 在()1,0-上的解析式；（2）求()f x 在()1,0-上的值域；（3）求13520172018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值. 24．已知函数()22f x ax ax b =-+()0a >在[]2,3上的值域为[]1,4. （1）求a ，b 的值； （2）设函数()()f xg x x=，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()22log 2log 0g x k x -≥成立，求k 的取值范围.25．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =-. (1)写出函数()y f x =的解析式；(2)若方程()f x a =恰3有个不同的解，求a 的取值范围. 26．设a 为实数，函数()()21f x x x a x R =+-+∈．（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值； （2）若2a =，求函数()f x 的最小值；（3）对于函数()y m x =，在定义域内给定区间[],a b ，如果存在()00x a x b <<，满足()0()()m b m a m x b a-=-，则称函数()m x 是区间[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个“均值点”．如函数2y x =是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.2．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3223b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．4．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.5．D解析：D 【解析】 【分析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．6．C解析：C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.7．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.8．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．9．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．10．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增，()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．11．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.12．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.二、填空题13．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是：解析：(1，3](4,)+∞U ． 【解析】 【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，结合图象分析可得答案． 【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，如图：若函数()f x 恰有2个零点，即函数()f x 图象与x 轴有且仅有2个交点， 则13λ<…或4λ>，即λ的取值范围是：(1，3](4,)+∞U 故答案为：(1，3](4,)+∞U ．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.14．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为 解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.15．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立解析：3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值． 【详解】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x x a --+>-=--，令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， 则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-． 故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.16．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填解析：1【解析】当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1,故填1.17．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.18．0【解析】试题分析：的图像关于直线对称所以又是定义在上的奇函数所以所以考点：函数图象的中心对称和轴对称解析：0 【解析】试题分析：()y f x =的图像关于直线12x =对称，所以()(1)f x f x =-，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(5)(15)(4)(4)f f f f =-=-=-，(3)(13)(2)(2)f f f f =-=-=-，(1)(11)(0)0f f f =-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f ++++=.考点：函数图象的中心对称和轴对称.19．【解析】【分析】若方程有四个不同的实数解则函数与直线有4个交点作出函数的图象由数形结合法分析即可得答案【详解】因为函数是定义在R 上的偶函数且当时所以函数图象关于轴对称作出函数的图象：若方程有四个不同 解析：(1,0)-【解析】 【分析】若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点，作出函数()f x 的图象，由数形结合法分析即可得答案． 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数且当0x ≥时，2()2f x x x =-，所以函数()f x 图象关于y 轴对称， 作出函数()f x 的图象：若方程()0f x m -=有四个不同的实数解，则函数()y f x =与直线y m =有4个交点， 由图象可知：10m -<<时，即有4个交点. 故m 的取值范围是(1,0)-， 故答案为：(1,0)- 【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.20．(131)【解析】【分析】根据对数函数的图象和性质可得函数f （x ）＝loga （2x ﹣a ）在区间1223上恒有f （x ）＞0即0<a<10<2x-a<1或a>12x-a>1分别解不等式组可得答案【详解】 解析：【解析】 【分析】根据对数函数的图象和性质可得，函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[]上恒有f （x ）＞0，即，或，分别解不等式组，可得答案．【详解】若函数f （x ）＝log a （2x ﹣a ）在区间[]上恒有f （x ）＞0，则，或当时，解得＜a ＜1，当时，不等式无解.综上实数的取值范围是（，1） 故答案为（，1）． 【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，及不等式的解法，其中根据对数函数的图象和性质构造不等式组是解答的关键，属于中档题．三、解答题21．（1）()11,(),(0)82f x xg x x x ==≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【解析】 【分析】（1）投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数关系；（2）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，这时可构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解. 【详解】（1）依题意设()1,()f x k x g x k x ==，1211(1),(1)82f kg k ====，()1,()0)8f x x g x x ==≥； （2）设投资股票等风险型产品为x 万元， 则投资债券等稳健型产品为20x -万元，1(20)()(20)8y f x g x x =-+=-212)3,0208x =-+≤≤Q ，2,4x ==万元时，收益最大max 3y =万元， 20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元， 投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元. 【点睛】本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基础知识与基本方法，属于中档题.22．（1）奇函数；见解析（2）7a <-；（3）15,153⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）可看出()f x 是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；（2）由题意可得出22(2)162x xa <-++⋅在[]0,2上恒成立，然后令2x t =，[]1,4t ∈，从而得出2261y t t =-++，只需min a y <，配方求出y 的最小值，即可求解；（3）容易求出1,13A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，从而得出1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()()min max f x f x >，可讨论a ：容易得出0a ≤时，不符合题意；0a >时，可知()f x 在(上是减函数，在)+∞上是增函数，从而可讨论109a <≤，1a ≥和119a <<，然后分别求出()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，根据2m M >求出a 的范围即可． 【详解】()()1f x Q 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()af x x f x x-=-+=--， ()f x ∴为奇函数；()2若不等式()12262x x xf <-++在[]0,2上恒成立， 即122622xxx x a +<-++在[]0,2上恒成立，即22(2)162x x a <-++⋅在[]0,2上恒成立， 令2x t =，则[]1,4t ∈，223112612()22y t t t =-++=--+， ∴当4t =，即2x =时，函数取最小值7-，故7a <-；()()123111x g x x x -==-+++是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减函数， ()g x ∴在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为()][11,0,123A g g ⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x ∴在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，恒有2()()min max f x f x >，0a <①时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()11max f x f a ∴==+，11()333min f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得115a >，不满足0a <；0a =②时，()f x x =在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，1()1,()3max min f x f x ∴==，1213⨯<，不满足题意；0a >③时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，13≤，即109a <≤时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，11()333min f x f a ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，()()11max f x f a ==+，12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得11159a <≤；1≥，即1a ≥时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()11min f x f a ∴==+，11()333max f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()12133a a ∴+>+，解得513a ≤<；13)13<<，即119a <<时，()f x 在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，()min f x f∴==()113,1133f a f a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当1313a a +≥+，即113a ≤<时，133a >+，a <<，113a ∴≤<，当1313a a +<+，即1193a <<时，1a >+，解得77a -<<+1193a ∴<<， 综上，a 的取值范围是15,153⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了奇函数的定义及证明，指数函数的单调性，配方求二次函数最值的方法，换元法求函数最值的方法，函数()af x x x=+的单调性，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题． 23．（1）()1124x f x -=+⋅（2）2133,⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）10092 【解析】 【分析】（1）令0x <<-1,则01x <-<,代入解析式可求得()f x -.再根据奇函数性质即可求得()f x 在()1,0-上的解析式;（2）利用分析法,先求得当0x <<-1时,4x 的值域,即可逐步得到()f x 在()1,0-上的值域; （3）根据函数解析式及所求式子的特征,检验()()1f x f x +-的值,即可由函数的性质求解. 【详解】（1）当0x <<-1时,01x <-<,()4142124x x xf x ---==++⋅, 因为()f x 是()1,1-上的奇函数 所以()()1124x f x f x -=--=+⋅, （2）当0x <<-1时,14,14x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3124,32x ⎛⎫+⋅∈ ⎪⎝⎭,121,12433x -⎛⎫∈-- ⎪+⋅⎝⎭,所以()f x 在()1,0-上的值域为21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （3）当01x <<时,()442x x f x =+,()()11444411424242424x x x x x x xf x f x --+-=+=+=++++⋅, 所以1201732015520131201820182018201820182018f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L , 故135********20182018201820182f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 【点睛】本题考查了奇函数的性质及解析式求法,利用分析法求函数的值域,函数性质的推断与证明,对所给条件的分析能力要求较高,属于中档题. 24．(1)1,1a b == (2) 1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）先求得函数()f x 的对称轴，然后根据函数()f x 在[]2,3上的单调性列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）由（1）求得函数()f x 的解析式，进而求得()g x 的解析式，将不等式()22log 2log 0g x k x -≥分离常数2k ，利用换元法，结合二次函数的性质，求得k 的取值范围. 【详解】（1）由已知可得()()21f x a x b a =-+-，对称轴为1x =. 因为0a >，所以()f x 在[]2,3上单调递增，所以()()21,34,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1,44,a b a a b a +-=⎧⎨+-=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=⎩（2）由（1）可得()221f x x x =-+，则()()12f x g x x x x==+-. 因为()22log 2log 0g x k x -≥，所以2221log 22log log x k x x+-≥. 又[]2,4x ∈，所以()2221221log log k xx ≤-+.令21log t x=，则2221k t t ≤-+. 因为[]2,4x ∈，所以1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 记()221h t t t =-+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当12t =时，()max 14h t =，所以124k ≤，解得18k ≤，故k 的取值范围是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查根据二次函数的对称轴、单调性和值域求解析式，考查存在性问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.25．(1) ()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩ (2) ()1,1-【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义求解析式，即设0x <，则有x -＞0，利用()f x -可求得()f x ，然后写出完整的函数式；（2）作出函数()f x 的图象，确定()f x 的极值和单调性，由图象与直线y a =有三个交点可得a 的范围． 【详解】解：(1)当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()f x Q 是奇函数，()()f x f x ∴=--=-()()2222x x x x ⎡⎤---=--⎣⎦()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥∴=⎨--<⎩.(2)当[)0,x ∈+∞时，()()22211f x x x =-=--，最小值为1-；当(),0x ∈-∞，()()22211f x x x x =--=-+，最大值为1.据此可作出函数的图象，如图所示，根据图象得，若方程()f x a =恰有3个不同的解，则a 的取值范围是()1,1-. 【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系．在求函数零点个数（或方程解的个数）时，可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线，由动直线的运动可得参数取值范围． 26．（1）；（2）；（3）()0,2【解析】试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用通过整理即可得到；（2）此函数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在()01,1x ∈-，使得()0g x m =”从而转化为一元二次方程有解问题．试题解析：解：（1）()f x Q 是偶函数，()()f x f x ∴-=在R 上恒成立， 即()2211x x a x x a -+--+=+-+，所以x a x a +=-得0ax =x R ∈Q 0a ∴=（2）当2a =时，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<所以()f x 在[)2,+∞上的最小值为()25f =， ()f x 在(),2-∞上的的最小值为f （）＝，因为＜5，所以函数()f x 的最小值为．（3）因为函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数， 所以存在()01,1x ∈-，使()0(1)(1)1(1g g g x --=--）而(1)(1)1(1g g m --=--），存在()01,1x ∈-，使得()0g x m =即关于x 的方程21x mx m -++=在()1,1-内有解； 由21x mx m -++=得210x mx m -+-=解得121,1x x m ==-所以111m -<-<即02m << 故m 的取值范围是()0,2考点：函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题．。
2020-2021高一数学上期中一模试卷附答案(5)
2020-2021高一数学上期中一模试卷附答案(5)一、选择题1．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数x y a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>3．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)24．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>5．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð7．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．18．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]9．已知函数21(1)()2(1)ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-10．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,33211．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（） A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--12．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数B ．奇函数，且在(0,10)是增函数C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数二、填空题13．下列各式：（1）122[(2)]2---=- ；（2）已知2log 13a〈 ，则23a 〉 . （3）函数2x y =的图象与函数2x y -=-的图象关于原点对称；（4）函数()f x =21mx mx ++的定义域是R ，则m 的取值范围是04m <≤； （5）函数2ln()y x x =-+的递增区间为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.正确的．．．有________．（把你认为正确的序号全部写上） 14．已知函数()(),y f x y g x ==分别是定义在[]3,3-上的偶函数和奇函数，且它们在[]0,3上的图象如图所示，则不等式()()0f x gx ≥在[]3,3-上的解集是________.15．若1∈{}2,a a, 则a 的值是__________16．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___. 17．设，则________18．已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x－1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是______________.19．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．20．函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______．三、解答题21．设函数()(0.af x x x x=+≠且x ，)a R ∈． （1）判断()f x 的奇偶性，并用定义证明； （2）若不等式()12262xxxf <-++在[]0,2上恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）()11,0,12x g x x x -⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦的值域为.A 函数()f x 在x A ∈上的最大值为M ，最小值为m ，若2m M >成立，求正数a 的取值范围． 22．设()4f x x x=-（1）讨论()f x 的奇偶性;（2）判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性并用定义证明.23．若()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且满足()()()xf f x f y y=-， 当1x >时，()0f x >. （1）判断并证明函数的单调性；（2）若(2)1f =，解不等式1(3)()2f x f x+-<.24．已知函数())2log f x x =是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.（1）求a 的值；（2）记()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，若对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，求t 的取值范围.25．定义在R 上的函数()y f x =对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0.f x >（1）求证:()f x 为奇函数； （2）求证:()f x 为R 上的增函数； （3）若()()327930xxx x f k f ⋅+-+>对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．26．已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤ （1）求A B I ，()R C A B ⋃；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．2．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3223b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.4．C解析：C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.5．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．7．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果.【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.8．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.9．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．10．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.11．D解析：D 【解析】 【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--， 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】 由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-，故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数，而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .二、填空题13．（3）【解析】（1）所以错误；（2）当时恒成立；当时综上或所以错误；（3）函数上任取一点则点落在函数上所以两个函数关于原点对称正确；（4）定义域为当时成立；当时得综上所以错误；（5）定义域为由复合函解析：（3） 【解析】（1）(1122212---⎛⎫⎡⎤== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以错误；（2）2log 1log 3aa a <=，当1a >时，恒成立；当01a <<时，023a <<，综上，023a <<或1a >，所以错误； （3）函数2xy =上任取一点(),x y ，则点(),x y --落在函数2x y -=-上，所以两个函数关于原点对称，正确；（4）定义域为R ，当0m =时，成立；当0m >时，240m m ∆=-≤，得04m <≤，综上，04m ≤≤，所以错误；（5）定义域为()0,1，由复合函数的单调性性质可知，所求增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以错误； 所以正确的有（3）。
2020-2021学年山西省某校高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年山西省某校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若全集U ={−1, 0, 1, 2, 3}，集合A ={0, 1, 2}，B ={−1, 0, 1}，则(∁U A)∩B =( ) A.{−1}B.{0, 1}C.{−1, 2, 3}D.{−1, 0, 1, 3}【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】由全集U 以及A 求A 的补集，然后根据交集定义得结果．2. 设函数f(x)={x 2+1,x ≤12x,x >1，则f （f(3)）＝（ ）A.139 B.3C.23D.15【考点】 求函数的值 函数的求值 【解析】求出f(3)=23，从而f （f(3)）＝f(23)＝(23)2+1，由此能求出f （f(3)）．3. 已知函数f(x)=√x 2−2x −3，其定义域为（ ） A.{x|x ≥1或x ≤−3} B.{x|−1≤x ≤3} C.{x|x ≥3或x ≤−1} D.{x|−3≤x ≤1}【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．4. 已知函数f(x)是奇函数，且当x >0时，f(x)=x 2+1x ，则f(−1)=( )A.−2B.0C.1D.2【考点】函数奇偶性的性质 【解析】由奇函数定义得，f(−1)=−f(1)，根据x >0的解析式，求出f(1)，从而得到f(−1)．5. 若(a +1)12<(3−2a)12，则实数a 的取值范围是（ ）A.[−1,32]B.[−1,23)C.(−∞,23)D.(−∞,32]【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】根据分数指数幂的意义，原不等式等价于{a +1≥03−2a ≥0a +1<3−2a ，求出解集即可．6. 已知x >0，y >0，且9x +1y+1＝2，则x +y 的最小值是（ ）A.5B.6C.7D.8【考点】基本不等式及其应用 【解析】直接利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．7. 一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图象大致是（ ）A. B. C. D.【考点】二次函数的图象 函数的图象变换 【解析】可先根据一次函数的图象判断a 、b 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．8. x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f(x)=x −[x]在R 上（ ） A.为奇函数B.为偶函数C.为增函数D.值域为[0, 1)【考点】函数的值域及其求法 函数奇偶性的性质与判断 【解析】根据题意，分析可得f(x +1)=f(x)，即可得函数的周期，分析区间[0, 1)上f(x)的解析式以及值域，据此可得答案．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．下面命题正确的是（ ）A.“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件B.命题p:∃x ∈[−1, 1]，x 2+2x −1≥0，则命题p 的否定为：∀x ∈[−1, 1]，x 2+2x −1<0C.“(a −b)⋅a 2<0”是“a <b ”的必要不充分条件D.设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件 【考点】 命题的否定充分条件、必要条件、充要条件 命题的真假判断与应用 【解析】利用充要条件判断A 、C 、D ，命题的否定形式判断B 即可．已知a <b <0，那么下列不等式成立的是（ ） A.1a <1bB.ab <b 2C.−ab >−a 2D.−1a <−1b【考点】不等式的基本性质 【解析】由不等式的基本性质逐一判断即可．已知函数f(x)={−x 2−ax −5，x ≤1ax，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值可以是（ ）A.0B.−2C.−1D.−3【考点】函数单调性的性质与判断 分段函数的应用 【解析】因为分段函数f(x)={−x 2−ax −5，x ≤1ax ，x >1是R 上的增函数，所以每一段都递增，且x =1处也需递增，列出不等式组，解出a 的取值范围即可．已知关于x 的不等式a ≤34x 2−3x +4≤b ，下列结论正确的是（ ） A.当a <b <1时，不等式a ≤34x 2−3x +4≤b 的解集为⌀B.当a =1，b =4时，不等式a ≤34x 2−3x +4≤b 的解集为{x|0≤x ≤4}C.不等式a ≤34x 2−3x +4≤b 的解集恰好为{x|a ≤x ≤b}，那么b =43 D.不等式a ≤34x 2−3x +4≤b 的解集恰好为{x|a ≤x ≤b}，那么b −a =4 【考点】一元二次不等式的应用 【解析】A ：分析函数f(x)=34x 2−3x +4的最值与a ，b 进行比较即可；B ：结合第一问只需解不等式34x 2−3x +4≤4即可；C ：利用f(x)=34(x −2)2+1的图象与对应不等式的关系解答即可； D ：利用C 结合对称性求解即可．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题后的横线上）已知集合M ={a 2, a −1}，集合N ={0, −1}，若M =N ，则a =________．【考点】 集合的相等 【解析】根据M =N 可得出{a 2＝0a −1＝−1，然后解出a 的值即可．已知f(x +1)=x 2+4x +1，则f(x)=________．【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】换元：令x +1=t 得x =t −1，将其代入f(x +1)的关系式，从而得到f(t)关于t 的表达式，解出f(x)关于x 的表达式，即可得到答案．函数f(x)=x +√1−2x 的值域是________． 【考点】函数的值域及其求法 【解析】令√1−2x =t(t ≥0)换元，然后利用配方法求二次函数的最值得答案．定义在R 上的函数f(x)满足f(−x)=f(x)，且当x ≥0时，f(x)={−x 2+1，0≤x <11−x,x ≥1，若对任意的x ∈[m, m +1]，不等式f(1−x)≤f(x +m)恒成立，则实数m 的最大值为________． 【考点】分段函数的应用 函数恒成立问题 【解析】先判断函数f(x)的奇偶性和单调性，然后根据f(1−x)≤f(x +m)恒成立，得到关于m 的不等式，再求出m 的最大值即可．四、解答题：本大题共6小题，共70分。
2020-2021高中必修一数学上期中试题及答案(5)
2020-2021高中必修一数学上期中试题及答案(5)一、选择题1．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭2．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1273．设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭5．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z6．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ） A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =7．已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1-B ．12- C ．12 D8．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭9．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>10．函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ） A ．52B ．522+C ．32D ．211．设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞12．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >> 二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______.14．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数0.5()log (43)g x x =-的定义域是__________．15．已知函数()2()lg 2f x x ax =-+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______.16．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.17．计算：__________．18．若函数|1|12x y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是__________．19．已知函数(12)(1)()4(1)x a x f x ax x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________20．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.三、解答题21．设函数()(0.af x x x x=+≠且x ，)a R ∈． （1）判断()f x 的奇偶性，并用定义证明； （2）若不等式()12262xxxf <-++在[]0,2上恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）()11,0,12x g x x x -⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦的值域为.A 函数()f x 在x A ∈上的最大值为M ，最小值为m ，若2m M >成立，求正数a 的取值范围．22．小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x （元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.（1）把y 表示为x 的函数；（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）23．已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若方程()0f x =两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,－1).求()0f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()0f x >的解集为(2,1)-. （ⅰ）求解关于x 的不等式20cx bx a ++>（ⅱ）设函数2(1)(),(1)(1)b x cg x x a x +-=<-，求函数()g x 的最大值 24．已知定义域为R 的函数()22xx b f x a-=+是奇函数．()1求a ，b 的值；()2用定义证明()f x 在(),-∞+∞上为减函数；()3若对于任意t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围．25．如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （-x ）≠-f （x ），则称该函数是“X —函数”.（1）分别判断下列函数：①y =211x +；②y =x +1；③y =x 2+2x -3是否为“X —函数”？（直接写出结论）（2）若函数f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，求实数a 的取值范围；（3）设“X —函数”f （x ）=21,,x x Ax x B ⎧+∈⎨∈⎩在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B .26．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值; (2)若A B B =I ，求实数a 的范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.2．B解析：B 【解析】【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．3．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．4．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．5．D解析：D 【解析】令235(1)x y z k k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k ∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.6．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.7．C解析：C 【解析】 【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案． 【详解】由题意，函数(),1(1log ,1x a a x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，()12f =， 所以()12f a ==，所以()22,1(1log ,1x x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，所以121()22f ==所以211(())log 22f f f ===，故选C ．【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.9．A解析：A 【解析】 试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．10．B解析：B【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x的取值，然后利用数形结合即可得到结论．【详解】当x≥0时，f（x）=x（|x|﹣1）=x2﹣x=（x﹣12）2﹣1144≥-，当x＜0时，f（x）=x（|x|﹣1）=﹣x2﹣x=﹣（x+12）2+14，作出函数f（x）的图象如图：当x≥0时，由f（x）=x2﹣x=2，解得x=2．当x=12时，f（12）=14-．当x＜0时，由f（x）=）=﹣x2﹣x=14 -．即4x2+4x﹣1=0，解得x=24444432248-±+⨯-±=⨯=421282-±-±=，∴此时x=122-，∵[m，n]上的最小值为14-，最大值为2，∴n=2，12122m--≤≤，∴n﹣m的最大值为212--522+，故选：B．【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．11．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.12．B解析：B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是：解析：(1，3](4,)+∞U ． 【解析】 【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，结合图象分析可得答案． 【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，如图：若函数()f x 恰有2个零点，即函数()f x 图象与x 轴有且仅有2个交点， 则13λ<…或4λ>，即λ的取值范围是：(1，3](4,)+∞U 故答案为：(1，3](4,)+∞U ．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.14．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈， 其次0.5log 430x ->，∴0220431x x ≤≤⎧⎨<-<⎩，解得01314x x ≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，综上3,14x ⎛⎫∈⎪⎝⎭． 点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．15．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得 解析：(],3-∞【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围. 【详解】要使()f x 在()2,+∞上递增，根据复合函数单调性，需二次函数22y x ax =-+对称轴在2x =的左边，并且在2x =时，二次函数的函数值为非负数，即2222220a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得3a ≤.即实数a 的取值范围是(],3-∞.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.16．【解析】由题意有：则：解析：14【解析】 由题意有：13,29aa =∴=-， 则：()22124a--=-=. 17．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填4 解析：【解析】原式=,故填.18．【解析】【分析】由可得出设函数将问题转化为函数与函数的图象有交点利用数形结合思想可求出实数的取值范围【详解】由可得出设函数则直线与函数的图象有交点作出函数与函数的图象如下图所示由图象可知则解得因此实 解析：[)1,0-【解析】 【分析】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，将问题转化为函数y m =-与函数()y g x =的图象有交点，利用数形结合思想可求出实数m 的取值范围.【详解】由|1|12xy m-⎛⎫=+=⎪⎝⎭可得出112xm-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则直线y m=-与函数()y g x=的图象有交点，作出函数()111,122,1xxxg xx--⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩与函数y m=-的图象如下图所示，由图象可知()01g x<≤，则01m<-≤，解得10m-≤<.因此，实数m的取值范围是[)1,0-.故答案为：[)1,0-.【点睛】本题考查利用函数有零点求参数的取值范围，在含单参数的函数零点问题的求解中，一般转化为参数直线与函数图象有交点来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 19．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围解析：[1,0)-【解析】【分析】根据()()1212f x f xx x->-判断出函数在R上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R∈，12x x≠时，都有()()1212f x f xx x->-，所以函数在R上为增函数，所以121124aaa a->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a-≤<.故答案为：[)1,0-.【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.20．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3解析：3 【解析】 令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点．画出函数的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：3三、解答题21．（1）奇函数；见解析（2）7a <-；（3）15,153⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）可看出()f x 是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；（2）由题意可得出22(2)162x xa <-++⋅在[]0,2上恒成立，然后令2x t =，[]1,4t ∈，从而得出2261y t t =-++，只需min a y <，配方求出y 的最小值，即可求解；（3）容易求出1,13A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，从而得出1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()()min max f x f x >，可讨论a ：容易得出0a ≤时，不符合题意；0a >时，可知()f x 在(a 上是减函数，在),a +∞上是增函数，从而可讨论109a <≤，1a ≥和119a <<，然后分别求出()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，根据2m M >求出a 的范围即可． 【详解】()()1f x Q 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()af x x f x x-=-+=--，()f x ∴为奇函数；()2若不等式()12262x x xf <-++在[]0,2上恒成立， 即122622xxx x a +<-++在[]0,2上恒成立， 即22(2)162x xa <-++⋅在[]0,2上恒成立， 令2x t =，则[]1,4t ∈，223112612()22y t t t =-++=--+， ∴当4t =，即2x =时，函数取最小值7-，故7a <-；()()123111x g x x x -==-+++是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减函数， ()g x ∴在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为()][11,0,123A g g ⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x ∴在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，恒有2()()min max f x f x >，0a <①时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()11max f x f a ∴==+，11()333min f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得115a >，不满足0a <；0a =②时，()f x x =在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，1()1,()3max min f x f x ∴==，1213⨯<，不满足题意；0a >③时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，13≤，即109a <≤时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，11()333min f x f a ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，()()11max f x f a ==+，12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得11159a <≤；1≥，即1a ≥时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()11min f x f a ∴==+，11()333max f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()12133a a ∴+>+，解得513a ≤<；13)13<<，即119a <<时，()f x在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，()min f x f∴==()113,1133f a f a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当1313a a +≥+，即113a ≤<时，133a >+，解得7799a -+<<，113a ∴≤<， 当1313a a +<+，即1193a <<时，1a >+，解得77a -<<+1193a ∴<<， 综上，a 的取值范围是15,153⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了奇函数的定义及证明，指数函数的单调性，配方求二次函数最值的方法，换元法求函数最值的方法，函数()af x x x=+的单调性，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题．22．（1）()()2140,4060150,60802x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）30名员工（3）销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法分别求出当4060x ≤≤和6080x <≤时的解析式，进而可得所求结果；（2）设该店有职工m 名，根据题意得到关于m 的方程，求解可得所求；（3）由题意得到利润的函数关系式，根据分段函数最值的求法可得所求． 【详解】（1）当4060x ≤≤时，设y ax b =+， 由题意得点()()40,60,60,20在函数的图象上，∴40606020a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得2140a b =-⎧⎨=⎩，∴当4060x ≤≤时，2140y x =-+．同理，当6080x <≤时，1502y x =-+． ∴所求关系式为()()2140,4060150,6080.2x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）设该店有职工m 名，当x=50时，该店的总收入为()()()4010010021404040000y x x x -⨯=-+-=元， 又该店的总支出为1000m+10000元， 依题意得40000=1000m+10000, 解得：m=30.所以此时该店有30名员工． （3）若该店只有20名职工，则月利润()()()()()21404010030000,40601504010030000,60802x x x S x x x ⎧-+-⨯-≤≤⎪=⎨⎛⎫-+-⨯-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ ①当4060x ≤≤时，()225515000S x =--+， 所以x=55时，S 取最大值15000元；②当6080x <≤时，()2170150002S x =--+， 所以x=70时，S 取最大值15000元；故当x=55或x=70时，S 取最大值15000元，即销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大． 【点睛】解决函数应用问题重点解决以下几点：（1）阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等； （2）建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域； （3）求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值； （4）回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来． 23．（1）{}13x x ≤≤；（2）（ⅰ）1(,)(1,)2-∞-⋃+∞；（ⅱ）2-. 【解析】 【分析】（1）由韦达定理及函数过点(2,－1)，列方程组()432421b a ca f abc ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=++=-⎪⎪⎩求解即可；（2）（ⅰ）由不等式的解集与方程的根可得012a ba ca ⎧⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，则20cx bx a ++>可化为2210x x -->，再解此不等式即可；（ⅱ）由（ⅰ）得()g x =4(1)()21x x ⎡⎤--++⎢⎥-⎣⎦，再利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，得解. 【详解】（1）由题意可得()432421b ac af a b c ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=++=-⎪⎪⎩，解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，()243f x x x ∴=-+，解不等式()0f x ≤，即2430x x -+≤，即()()130x x --≤，解得13x ≤≤， 因此，不等式()0f x ≤的解集为{}13x x ≤≤；（2）（ⅰ）由题意可知012a b aca⎧⎪<⎪⎪-=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以20cx bx a ++>可化为210c bx x a a ++<，即2210x x -++<，得2210x x -->，解得21x <-或1x > 所求不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-⋃+∞.（ⅱ）由（ⅰ）可知22(1)(1)2()(1)(1)b x c a x a g x a x a x +-++==--=231x x +=-2(1)2(1)41x x x -+-+=-=4(1)()21x x ⎡⎤--++⎢⎥-⎣⎦ ,因为1,x <所以10x ->，所以4(1)()41x x-+≥-，当且仅当411x x -=-时即1x =-时取等号 , 所以4(1)()41x x ⎡⎤-+≤-⎢⎥-⎣⎦，4(1)()221x x ⎡⎤-≤-++≤-⎢⎥-⎣⎦所以当1x =-时，()max 2g x =- . 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法及不等式的解集与方程的根的关系，重点考查了利用均值不等式求函数的最大值及取等的条件，属中档题. 24．(1) a=1,b=1 (2)见解析 (3) k<- 【解析】试题分析：（1）()f x 为R 上的奇函数⇒(0)01f b =⇒=,再由，得1a =即可；（2） 任取12x x R ∈，，且12x x <，计算2112122(22)()()0(21)(2+1)x x xx f x f x --=>+即可；（3） 不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立等价于22(2)(2)f t t f t k -<--⇔22(2)(2)f t t f k t -<-⇔2222t t k t ->-⇔232k t t<-恒成立，求函数2()32h t t t =-的最小值即可.试题解析： （1）∵()f x 为R 上的奇函数，∴(0)0f =，1b =. 又，得1a =.经检验11a b ==，符合题意. （2）任取12x x R ∈，，且12x x <，则1212211212121212(12)(21)(12)(21)()()2121(21)(21)x x x x x x x x x x f x f x --------=-=----21122(22)(21)(2+1)x x x x -=+. ∵12x x <，∴12220x x ->，又∴12(21)(21)0x x++>，∴12()()0f x f x ->，∴()f x 为R 上的减函数（3）∵t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，∴22(2)(2)f t t f t k -<--，∴()f x 为奇函数，∴22(2)(2)f t t f k t -<-，∴()f x 为减函数，∴2222t t k t ->-. 即232k t t <-恒成立，而22111323()333t t t -=--≥-， ∴13k <-考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数与不等式.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性、函数与不等式，属中档题；高考对函数性质的考查主要有以下几个命题角度：1.单调性与奇偶性相结合；2.周期性与奇偶性相结合；3.单调性、奇偶性与周期性相结合.25．（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”.（2）（0，+∞）（3）A =[0，+∞），B =（-∞，0） 【解析】 【分析】（1）直接利用信息判断结果；（2）利用信息的应用求出参数的取值范围； （3）利用函数的单调性的应用和应用的例证求出结果. 【详解】（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”； （2）∵f （-x ）=-x -x 2+a ，-f （x ）=-x +x 2-a ，f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”， ∴f （-x ）=-f （x ）无实数解， 即x 2+a =0无实数解， ∴a ＞0，∴a 的取值范围为（0，+∞）； （3）对任意的x ≠0，若x ∈A 且-x ∈A ，则-x ≠x ，f （-x ）=f （x ），与f （x ）在R 上单调增矛盾，舍去； 若x ∈B 且-x ∈B ，f （-x ）=-f （x ），与f （x ）是“X —函数”矛盾，舍去； ∴对任意的x ≠0，x 与-x 恰有一个属于A ，另一个属于B ， ∴（0，+∞）⊆A ，（-∞，0）⊆B ，假设0∈B ，则f （-0）=-f （0），与f （x ）是“X —函数”矛盾，舍去； ∴0∈A ，经检验，A =[0，+∞），B =（-∞，0）符合题意. 【点睛】本题考查的知识要点：信息题型的应用，反证法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型. 26．（1）1a =；(2)1a ≤-或1a = 【解析】 【分析】（1）∵A B B ⋃=，∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素，∴A=B ，从而得到实数a 的值；（2）求出集合A 、B 的元素，利用B 是A 的子集，即可求出实数a 的范围. 【详解】（1）∵A B B ⋃=，∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素， ∴A=B ，∴x=0，﹣4是方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的两个根，故a=1；（2）∵A={x|x2+4x=0，x∈R}∴A={0，﹣4}，∵B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，且B⊆A．故①B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，即a＜﹣1，满足B⊆A；②B≠∅时，当a=﹣1，此时B={0}，满足B⊆A；当a＞﹣1时，x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根，故a=1；综上所述a=1或a≤﹣1；【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．。
2020-2021高中必修一数学上期中第一次模拟试卷(含答案)(6)
2020-2021高中必修一数学上期中第一次模拟试卷(含答案)(6)一、选择题1．已知函数()1ln 1xf x x -=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤3．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 4．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-5．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]6．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-7．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b ab aa b a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A．32B．23-C．23D．32-9．三个数0.377,0.3,ln0.3a b c===大小的顺序是（）A．a c b>>B．a b c>>C．b a c>>D．c a b>>10．设0.60.3a=，0.30.6b=，0.30.3c=，则a，b，c的大小关系为（）A．b a c<<B．a c b<<C．b c a<<D．c b a<<11．函数()(1)f x x x=-在[,]m n上的最小值为14-，最大值为2，则n m-的最大值为（）A．52B．5222+C．32D．212．已知函数()y f x=在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x-=，若12log3a f⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f-=，12c f⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a、b、c的大小关系为（）A．a c b>>B．b c a>>C．b a c>>D．a b c>>二、填空题13．已知函数21,1()()1a x xf xx a x⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x=-，若函数()()y f x g x=-恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围为______．14．幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图像三等分,即有BM=MN=NA,那么,αβ等于_____.15．方程组240x yx+=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________.16．若函数()6,23log,2ax xf xx x-+≤⎧=⎨+>⎩（0a>且1a≠）的值域是[)4,+∞，则实数a的取值范围是__________．17．用max{,,}a b c表示,,a b c三个数中的最大值，设{}2()max ln,1,4(0)f x x x x x x=--->，则()f x的最小值为_______.18．已知()32,,x x af xx x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b，使函数()()g x f x b=-有两个零点，则a 的取值范围是________．19．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数） 20．给出下列结论： ①已知函数是定义在上的奇函数，若，则；②函数的单调递减区间是； ③已知函数是奇函数，当时，，则当时，；④若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则对任意实数都有.则正确结论的序号是_______________________（请将所有正确结论的序号填在横线上）．三、解答题21．设函数()(0.af x x x x=+≠且x ，)a R ∈． （1）判断()f x 的奇偶性，并用定义证明； （2）若不等式()12262xxxf <-++在[]0,2上恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）()11,0,12x g x x x -⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦的值域为.A 函数()f x 在x A ∈上的最大值为M ，最小值为m ，若2m M >成立，求正数a 的取值范围．22．已知函数()f x 是定义R 的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的简图(不需要作图步骤)，并求其单调递增区间 （3）当[]1,1x ∈-时，求关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-< 的解集． 23．已知幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()ag x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为 [4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.24．设()()()log 1log (30,1)a a f x x x a a =++->≠,且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．25．设a 为实数，函数()()21f x x x a x R =+-+∈．（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值； （2）若2a =，求函数()f x 的最小值；（3）对于函数()y m x =，在定义域内给定区间[],a b ，如果存在()00x a x b <<，满足()0()()m b m a m x b a-=-，则称函数()m x 是区间[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个“均值点”．如函数2y x =是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．26．计算下列各式的值：（1）()11102327102π20.25927--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()221log 3lg52lg2lg5lg2-++++⋅．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+， 则有101xx->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 故选:D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．2．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.3．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内4．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.5．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.6．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．7．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log a bb aa b a b >>>；故选D. 8．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．B解析：B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．10．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性得出0.60.30.30.3<，而根据幂函数的单调性得出0.30.30.30.6<，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】解：0.3xy =Q 在定义域上单调递减，且0.360.<，0.60.30.30.3∴<，又0.3y x∴=在定义域上单调递增，且0.360.<，0.30.30.30.6∴<，0.60.30.30.30.30.6∴<<，a cb ∴<<故选：B ． 【点睛】考查指数函数和幂函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．11．B解析：B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x 的取值，然后利用数形结合即可得到结论． 【详解】当x≥0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣1144≥-， 当x ＜0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=﹣x 2﹣x=﹣（x+12）2+14， 作出函数f （x ）的图象如图：当x≥0时，由f （x ）=x 2﹣x=2，解得x=2． 当x=12时，f （12）=14-． 当x ＜0时，由f （x ）=）=﹣x 2﹣x=14-．即4x 2+4x ﹣1=0，解得x=424-±=⨯=，∴此时， ∵[m，n]上的最小值为14-，最大值为2，∴n=212m ≤≤，∴n﹣m 的最大值为2﹣12--=522+， 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．12．B解析：B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a <?；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.14．【解析】【分析】由条件得MN 则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN 可得即α=loβ=lo 所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生解析：【解析】 【分析】由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,则1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合对数的运算法则可得αβ=1.【详解】 由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫⎪⎝⎭, 可得1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即α=lo 2313g ,β=lo 1323g . 所以αβ=lo 2313g ·lo 1312233·21333lglg g lg lg ==1. 【点睛】本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【解析】【分析】解方程组求出结果即可得答案【详解】由解得或代入解得或所以方程组的解组成的集合为故答案为【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题需要注意的问题是解是二维的再者就是需要写成集合的形式属于 解析：()(){}2,2,2,2--【解析】 【分析】 解方程组240x y x +=⎧⎨-=⎩，求出结果即可得答案. 【详解】由240x -=，解得2x =或2x =-，代入0x y +=，解得22x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，所以方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为{}(2,2),(2,2)--，故答案为{}(2,2),(2,2)--. 【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题，需要注意的问题是解是二维的，再者就是需要写成集合的形式，属于简单题目.16．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数 解析：(]1,2【解析】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤.考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.17．0【解析】【分析】将中三个函数的图像均画出来再分析取最大值的函数图像从而求得最小值【详解】分别画出的图象取它们中的最大部分得出的图象如图所示故最小值为0故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与解析：0 【解析】 【分析】将{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值. 【详解】分别画出ln y x =-,1y x =-,24y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0 【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.18．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时 解析：()(),01,-∞⋃+∞【解析】 【分析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围【详解】()()g x f x b =-Q 有两个零点，()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a > 故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．19．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是解析：68 【解析】由题意得，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23， 即25252233kk a ea e --⋅=⇒=，则225ln 3k -=， 设t 天后体积变为原来的13，即13kt V a e a -=⋅=，即13kte -=，则1ln 3kt -=两式相除可得2ln2531ln3k kt -=-，即2lg25lg 2lg30.3010.477130.3681lg30.4771lg 3t --===≈--， 所以68t ≈天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t 的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t 的方程，求解t 的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.20．①③【解析】①正确根据函数是奇函数可得f(3)=-f(-3)=1而f(-1)=2所以f(3)<f(-1)；②错根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为(2+∞)；③正确奇函数关于原点对称所以可根解析：①③ 【解析】①正确，根据函数是奇函数，可得，而，所以；②错，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为；③正确，奇函数关于原点对称，所以可根据的解析式，求得的解析式；④，根据对数函数的定义域，不能是任意实数，而需，由，所以正确的序号是①③.【点睛】本题以多项选择题的形式考查函数的某些性质，综合性比较高，选项②错的比较多，涉及复合函数单调区间的问题，谨记“同增异减”，同时函数的定义域，定义域是比较容易忽视的问题，做题时要重视.三、解答题21．（1）奇函数；见解析（2）7a <-；（3）15,153⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）可看出()f x 是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；（2）由题意可得出22(2)162x xa <-++⋅在[]0,2上恒成立，然后令2x t =，[]1,4t ∈，从而得出2261y t t =-++，只需min a y <，配方求出y 的最小值，即可求解；（3）容易求出1,13A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，从而得出1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()()min max f x f x >，可讨论a ：容易得出0a ≤时，不符合题意；0a >时，可知()f x 在(a 上是减函数，在),a +∞上是增函数，从而可讨论109a <≤，1a ≥和119a <<，然后分别求出()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，根据2m M >求出a 的范围即可． 【详解】()()1f x Q 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()af x x f x x-=-+=--， ()f x ∴为奇函数；()2若不等式()12262x x xf <-++在[]0,2上恒成立， 即122622xxx x a +<-++在[]0,2上恒成立，即22(2)162x x a <-++⋅在[]0,2上恒成立， 令2x t =，则[]1,4t ∈，223112612()22y t t t =-++=--+， ∴当4t =，即2x =时，函数取最小值7-，故7a <-；()()123111x g x x x -==-+++是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减函数， ()g x ∴在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为()][11,0,123A g g ⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x ∴在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，恒有2()()min max f x f x >，0a <①时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()11max f x f a ∴==+，11()333min f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得115a >，不满足0a <；0a =②时，()f x x =在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，1()1,()3max min f x f x ∴==，1213⨯<，不满足题意；0a >③时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，13≤，即109a <≤时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，11()333min f x f a ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，()()11max f x f a ==+，12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得11159a <≤；1≥，即1a ≥时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()11min f x f a ∴==+，11()333max f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()12133a a ∴+>+，解得513a ≤<；13)13<<，即119a <<时，()f x 在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，()min f x f∴==()113,1133f a f a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当1313a a +≥+，即113a ≤<时，133a >+，a <<，113a ∴≤<， 当1313a a +<+，即1193a <<时，1a >+，解得77a -<<+1193a ∴<<， 综上，a 的取值范围是15,153⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了奇函数的定义及证明，指数函数的单调性，配方求二次函数最值的方法，换元法求函数最值的方法，函数()af x x x=+的单调性，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题．22．（1）222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩；（2）图象见解析，(],1-∞-和 [)1,+∞；（3）[)0,1.【解析】 【分析】（1）由函数的奇偶性可求得函数()f x 的解析式；（2）利用二次函数图像可作法可得函数()f x 的图像及单调增区间；（3）利用函数在[]1,1-为减函数且为奇函数，可得22111111(1)(1)0m m m m -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-+->⎩，再求解即可.【详解】解：（1）由函数()f x 是定义R 的奇函数，则(0)0f =， 设0x >，则0x ->，因为函数()f x 是定义R 的奇函数， 所以22()()()2)2(f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=-⎦--⎣，综上可得：222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩；（2）函数()f x 的图像如图所示，由图可得函数()f x 单调递增区间为(],1-∞-和[)1,+∞；（3）由（2）可知，函数()f x 在[]1,1-为减函数且为奇函数，当[]1,1x ∈-时，关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，即2(1)(1)f m f m -<-，则22111111(1)(1)0m m m m -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-+->⎩，即20202(2)(1)0m m m m ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+-<⎩， 解得01m ≤<，故关于m 的不等式的解集为[)0,1.【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式及利用函数的性质求解不等式，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 23．（1）1()f x x -=；（2）存在，6a =. 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，可得关于m 的方程与不等式；（2）由（1）得1()f x x -=，从而得到()(1)1g x a x =-+，再对1a -的取值进行分类讨论.【详解】（1）因为幂函数2242()(22)mm f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221,420,m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-（舍去），所以1()f x x -=.（2）由（1）得1()f x x -=，所以()(1)1g x a x =-+，假设存在0a >使得命题成立，则当10a ->时，即1a >，()g x 在[1,2]-单调递增，所以(1)4,114,6(2)11,22111,g a a g a -=--+=-⎧⎧⇒⇒=⎨⎨=-+=⎩⎩； 当10a -=，即1a =，()1g x =显然不成立；当10a -<，即1a <，()g x 在[1,2]-单调递减，所以(1)11,1111,(2)4,2214,g a g a -=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=--+=-⎩⎩a 无解； 综上所述：存在6a =使命题成立. 【点睛】本题考查幂函数的概念及解析式、已知一次函数的定义域、值域求参数的取值范围，考查逻辑推理能力和运算求解能力，同时注意分类讨论思想的运用，讨论时要以一次函数的单调性为分类标准.24．（1）2a =，定义域为()1,3-；（2）2 【解析】 【分析】（1）由()12f =,可求得a 的值,结合对数的性质,可求出()f x 的定义域; （2）先求得()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性,进而可求得函数的最大值.【详解】（1）()1log 2log l 242og a a a f =+==,解得2a =. 故()()22log 1)g 3(lo f x x x =++-,则1030x x +>⎧⎨->⎩,解得13x -<<, 故()f x 的定义域为()1,3-.（2）函数()()()()()222log 1log 3log 31f x x x x x =++-=-+,定义域为()1,3-,()130,2,3⎡⎤⊆⎥-⎢⎣⎦,由函数2log y x =在()0,∞+上单调递增,函数()()31y x x =-+在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得函数()f x 在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()21log 42f ==.【点睛】本题考查了函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题. 25．（1）；（2）；（3）()0,2【解析】试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用通过整理即可得到；（2）此函数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在()01,1x ∈-，使得()0g x m =”从而转化为一元二次方程有解问题．试题解析：解：（1）()f x Q 是偶函数，()()f x f x ∴-=在R 上恒成立，即()2211x x a x x a -+--+=+-+，所以x a x a +=-得0ax = x R ∈Q 0a ∴=（2）当2a =时，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+< 所以()f x 在[)2,+∞上的最小值为()25f =， ()f x 在(),2-∞上的的最小值为f （）＝， 因为＜5，所以函数()f x 的最小值为． （3）因为函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，所以存在()01,1x ∈-，使()0(1)(1)1(1g g g x --=--）而(1)(1)1(1g g m --=--），存在()01,1x ∈-，使得()0g x m = 即关于x 的方程21x mx m -++=在()1,1-内有解；由21x mx m -++=得210x mx m -+-=解得121,1x x m ==-所以111m -<-<即02m <<故m 的取值范围是()0,2考点：函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题．26．（1）9512；（2）3. 【解析】【分析】(1)利用指数的运算法则化简求值.(2)利用对数的运算法则化简求值.【详解】（1）原式113113232232232256415415395111892743323412----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+=--+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（或写成11712）． （2）原式()()2log 3111113lg522lg22lg55231322222lg lg lg -=++⋅++=+++⨯=++=． 【点睛】本题主要考查指数对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.。
2020-2021高一数学上期中一模试卷带答案
2020-2021高一数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭3．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．5．函数()111f x x =--的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ） A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =7．已知函数21(1)()2(1)a x x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-8．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log bab aa b a b >>>B ．1log log abb ab a b a >>>C ．1log log b ab aa ab b >>>D ．1log log a bb aa b a b >>>9．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．11．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（） A ．(,1]-∞- B ．[1)-+∞， C ．[1,1)- D ．(3,1]--12．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______.14．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________.15．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.16．方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________.17．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则A B =I __________． 18．10343383log 27()()161255---+=__________．19．已知函数())2ln11f x x x =++，()4f a =，则()f a -=________．20．设函数()()()2,1{42, 1.x a x f x x a x a x -<=--≥①若1a =，则()f x 的最小值为 ；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题21．已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知函数22()f x x x=+. （1）求(1)f ，(2)f 的值；（2）设1a b >>，试比较()f a 、()f b 的大小，并说明理由； （3）若不等式2(1)2(1)1f x x m x -≥-++-对一切[1,6]x ∈恒成立，求实数m 的最大值. 23．已知幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()ag x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为 [4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.24．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =-. (1)写出函数()y f x =的解析式；(2)若方程()f x a =恰3有个不同的解，求a 的取值范围.25．某厂生产某产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本（万元），若年产量不足千件，的图象是如图的抛物线，此时的解集为，且的最小值是，若年产量不小于千件，，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？26．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()f x =1()2x．①求函数()f x 的解析式；②画出函数的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断．【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1，f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．2．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩,所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.3．D解析：D【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan,tan sin {2sin,tan sinx x xx x x<≥分段画出函数图象如D图示，故选D．4．C解析：C【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．故选C．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．5．B解析：B【解析】【分析】把函数1yx=先向右平移一个单位，再关于x轴对称，再向上平移一个单位即可.【详解】把1yx=的图象向右平移一个单位得到11yx=-的图象，把11yx=-的图象关于x轴对称得到11yx=--的图象，把11yx=--的图象向上平移一个单位得到()111f xx=--的图象，故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.6．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.7．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1， x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．8．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log a bb aa b a b >>>；故选D. 9．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.10．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11．D解析：D 【解析】 【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--， 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增，()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题13．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是：解析：(1，3](4,)+∞U ． 【解析】【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，结合图象分析可得答案． 【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，如图：若函数()f x 恰有2个零点，即函数()f x 图象与x 轴有且仅有2个交点， 则13λ<…或4λ>，即λ的取值范围是：(1，3](4,)+∞U 故答案为：(1，3](4,)+∞U ．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.14．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8【解析】 ∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．15．【解析】【分析】由条件得MN 则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN 可得即α=loβ=lo 所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生解析：【解析】 【分析】由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,则1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合对数的运算法则可得αβ=1. 【详解】由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭, 可得1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即α=lo 2313g ,β=lo 1323g . 所以αβ=l o 2313g ·lo 1312233·21333lglg g lg lg ==1. 【点睛】 本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【解析】【分析】解方程组求出结果即可得答案【详解】由解得或代入解得或所以方程组的解组成的集合为故答案为【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题需要注意的问题是解是二维的再者就是需要写成集合的形式属于 解析：()(){}2,2,2,2--【解析】【分析】解方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩，求出结果即可得答案. 【详解】由240x -=，解得2x =或2x =-，代入0x y +=，解得22x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩， 所以方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为{}(2,2),(2,2)--， 故答案为{}(2,2),(2,2)--.【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题，需要注意的问题是解是二维的，再者就是需要写成集合的形式，属于简单题目.17．【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可【详解】因为集合两个集合的公共元素为所以故答案为【点睛】研究集合问题一定要抓住元素看元素应满足的属性研究两集合的关系时关键是将两集合的关系转化为元素间的解析：{}12－，【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-两个集合的公共元素为1,2-所以{}1,2A B =-I ．故答案为{}1,2-.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.18．【解析】19．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-【解析】【分析】发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果.【详解】因为()()))()22f x f x ln x 1ln x 1ln 122x x +-=+++=+-+=， ()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.20．(1)-1(2)或【解析】【分析】【详解】①时函数在上为增函数且函数在为减函数在为增函数当时取得最小值为-1；（2）①若函数在时与轴有一个交点则则函数与轴有一个交点所以；②若函数与轴有无交点则函数与解析：(1)-1，(2)112a ≤<或2a ≥. 【解析】【分析】【详解】①1a =时，()()()2,1{42, 1.x a x f x x a x a x -<=--≥，函数()f x 在(,1)-∞上为增函数且()1f x >-，函数()f x 在3[1,]2为减函数，在3[,)2+∞为增函数，当32x =时，()f x 取得最小值为-1；（2）①若函数()2x g x a =-在1x <时与x 轴有一个交点，则0a >， (1)2g a =->0，则02a <<，函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有一个交点，所以211a a ≥<⇒且112a ≤<； ②若函数()2x g x a =-与x 轴有无交点，则函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有两个交点，当0a ≤时()g x 与x 轴有无交点，()4()(2)h x x a x a =--在1x ≥与x 轴有无交点，不合题意；当当2a ≥时()g x 与x 轴有无交点，()h x 与x 轴有两个交点，x a =和2x a =，由于2a ≥，两交点横坐标均满足1x ≥；综上所述a 的取值范围112a ≤<或2a ≥.考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解题.利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行分类讨论.三、解答题21．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-.（3）由()220xmf x +-> 可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->- 令(2113)x t t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+， 函数21y t t =-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=， 103m ∴>， 故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】 本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.22．（1）(1)3f =，(2)5f =；（2）()()f a f b >；详见解析（3）1-.【解析】【分析】（1）根据函数解析式,代入即可求值.（2）根据函数解析式,利用作差法即可比较()f a 、()f b 的大小.（3）将解析式代入,化简不等式,转化为关于二次函数的恒成立问题,即可求得实数m 的最大值.【详解】（1）因为函数()22f x x x=+ 所以()221131f =+= ()222252f =+=（2）()()f a f b >,理由如下:因为1a b >>则()()f a f b -2222a b a b=+-- ()()()2b a a b a b ab -=-++()2a b a b ab ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 因为1a b >>,则2a b +>，1ab >, 所以22ab<,即20a b ab +->,()0a b -> 所以()20a b a b ab ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭即()()f a f b > （3）因为函数()22f x x x=+ 则代入不等式可化为()()22212111x x m x x -+≥-++-- 化简可得243x x m -+≥,即()221x m --≥因为对于一切[]1,6x ∈恒成立所以()2min21x m ⎡⎤--≥⎣⎦ 当2x =时,二次函数取得最小值,即1m -≥所以实数m 的最大值为1-【点睛】本题考查了函数的求值,单调性的证明及不等式恒成立问题的综合应用,属于基础题.23．（1）1()f x x -=；（2）存在，6a =.【解析】【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，可得关于m 的方程与不等式；（2）由（1）得1()f x x -=，从而得到()(1)1g x a x =-+，再对1a -的取值进行分类讨论. 【详解】（1）因为幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221,420,m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-（舍去）， 所以1()f x x -=.（2）由（1）得1()f x x -=，所以()(1)1g x a x =-+，假设存在0a >使得命题成立，则当10a ->时，即1a >，()g x 在[1,2]-单调递增，所以(1)4,114,6(2)11,22111,g a a g a -=--+=-⎧⎧⇒⇒=⎨⎨=-+=⎩⎩； 当10a -=，即1a =，()1g x =显然不成立；当10a -<，即1a <，()g x 在[1,2]-单调递减，所以(1)11,1111,(2)4,2214,g a g a -=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=--+=-⎩⎩a 无解； 综上所述：存在6a =使命题成立.【点睛】本题考查幂函数的概念及解析式、已知一次函数的定义域、值域求参数的取值范围，考查逻辑推理能力和运算求解能力，同时注意分类讨论思想的运用，讨论时要以一次函数的单调性为分类标准.24．(1) ()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩ (2) ()1,1- 【解析】【分析】（1）由奇函数的定义求解析式，即设0x <，则有x -＞0，利用()f x -可求得()f x ，然后写出完整的函数式；（2）作出函数()f x 的图象，确定()f x 的极值和单调性，由图象与直线y a =有三个交点可得a 的范围．【详解】解：(1)当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()f x Q 是奇函数，()()f x f x ∴=--=-()()2222x x x x ⎡⎤---=--⎣⎦()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥∴=⎨--<⎩. (2)当[)0,x ∈+∞时，()()22211f x x x =-=--，最小值为1-； 当(),0x ∈-∞，()()22211f x x x x =--=-+，最大值为1. 据此可作出函数的图象，如图所示，根据图象得，若方程()f x a =恰有3个不同的解，则a 的取值范围是()1,1-.【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系．在求函数零点个数（或方程解的个数）时，可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线，由动直线的运动可得参数取值范围．25．(1) ；(2) 当年产量千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元.【解析】【分析】 （1）由题可知，利润=售价-成本，分别对年产量不足件，以及年产量不小于件计算，代入不同区间的解析式，化简求得；（2）分别计算年产量不足件，以及年产量不小于件的利润，当年产量不足80件时，由配方法解得利润的最大值为950万元，当年产量不小于件时，由均值不等式解得利润最大值为1000万元，故年产量为件时，利润最大为万元. 【详解】（1）当时，； 当时，， 所以（）.（2）当时， 此时，当时，取得最大值万元．当时，此时，当时，即时，取得最大值万元，, 所以年产量为件时，利润最大为万元． 考点：•配方法求最值 均值不等式26．①1)22,(0)()0,(0)(,(0)x x x f x x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩n ;②单调递减区间为(,0),(0,)-∞+∞，无单调递增区间． 【解析】【分析】【详解】试题分析：①考察了利用函数的奇偶性求分段函数的解析式，根据求什么设什么所以设，那么，那么，求得的解析式，又因为，即求得函数的解析式；②根据上一问解析式，画出分段函数的图像，观察函数的单调区间．试题解析：解: ①∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(0)0f =．当0x <时，0x ->，1()()()22x x f x f x -=--=-=-．∴函数()f x 的解析式为1)22,(0)()0,(0)(,(0)x x x f x x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩n②函数图象如图所示：由图象可知，函数()f x 的单调递减区间为(,0),(0,)-∞+∞，无单调递增区间． 考点：1．分段函数的解析式；2．函数的图像．。
2020-2021学年某校高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年某校高一（上）期中数学试卷一.选择题（共10道小题，每小题5分，共50分）1. 已知集合U＝{0, 1, 2, 3, 4}，M＝{0, 1, 2}，则∁U M＝（）A.{0, 1, 2}B.{0, 1, 2, 3, 4}C.{1, 2}D.{3, 4}【答案】D【考点】补集及其运算【解析】根据集合的基本运算进行计算即可．【解答】集合U＝{0, 1, 2, 3, 4}，M＝{0, 1, 2}，则∁U M＝{3, 4}，2. 若f(x)=1−x1+x，则f(0)＝（）A.1B.12C.0D.−1【答案】A【考点】求函数的值函数的求值【解析】直接把f(x)=1−x1+x中的x换成0，可求出f(0)的值．【解答】∵f(x)=1−x1+x，∴f(0)=1−01+0=1．3. 若x>y>1，则下列下列四个数中最小的数是（）A.x+y2B.2xyx+yC.√xD.12(1x+1y)【答案】D【考点】不等式的概念【解析】利用不等式的性质、基本不等式的性质即可得出．【解答】∵x>y>1，∴12(1x+1y)<2xyx+y<√xy<x+y2，∴12(1x+1y)．4. 命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是( )A.∀x∈R，|x|+x2<0B.∀x∈R，|x|+x2≤0C.∃x0∈R，|x0|+x02<0D.∃x0∈R，|x0|+x02≥0【答案】C【考点】命题的否定【解析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是∃x0∈R，|x0|+x02<0.故选C.5. 已知函数f(x)＝x2+2(a−1)x+2在区间(−∞, 4]上递减，则a的取值范围是（）A.[−3, +∞)B.(−∞, −3]C.(−∞, 5]D.[3, +∞)【答案】B【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】由f(x)在区间(−∞, 4]上递减知：(−∞, 4]为f(x)减区间的子集，由此得不等式，解出即可．【解答】f(x)的单调减区间为：(−∞, 1−a]，又f(x)在区间(−∞, 4]上递减，所以(−∞, 4]⊆(−∞, 1−a]，则4≤1−a，解得a≤−3，所以a的取值范围是(−∞, −3]，6. 已知a，b为实数，则“a+b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】“a+b>4”⇒“a，b中至少有一个大于2”，反之不成立．即可判断出关系．【解答】“a+b>4”⇒“a，b中至少有一个大于2”，反之不成立．∴ “a+b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的充分不必要条件．7. 下列从集合M到集合N的对应关系中，其中y是x的函数的是（）A.M＝{x|x∈Z}，N＝{y|y∈Z}，对应关系f:x→y，其中y=x2B.M＝{x|x>0, x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f:x→y，其中y＝±2xC.M＝{x|x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f:x→y，其中y＝x2D.M＝{x|x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f:x→y，其中y=2x【答案】C【考点】函数的概念及其构成要素【解析】根据函数的定义进行判断即可．【解答】A．M中的一些元素，在N中没有元素对应，比如，x＝3时，y=32∉N，∴y不是x的函数；B．M中的任意元素x，在N中有两个元素±2x与之对应，不满足对应的唯一性，∴y不是x的函数；C．满足在M中的任意元素x，在集合N中都有唯一元素x2与之对应，∴y是x的函数；D．M中的元素0，通过y=2x在N中没有元素对应，∴y不是x的函数．8. 设x∈R，定义符号函数sgn x={1，x>0 0，x=0−1，x<0，则函数f(x)=|x|sgn x的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】 C【考点】函数的图象变换 【解析】本题主要考查函数图象的识别. 【解答】解：∵ sgn x ={1，x >0，0，x =0，−1，x <0，∴ f(x)=|x|sgn x ={x ，x >0，0，x =0，x ，x <0，即f （x ）=x ．故选C ．9. 设函数f(x)={x 2−(a −1)x +2,x ≥1(3a +1)x −5,x <1 在R 上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A.(−13,3] B.(−13,2)C.(−13,2]D.[2, 3]【答案】 C【考点】分段函数的应用 【解析】利用分段函数是增函数，列出不等式组，求解即可． 【解答】函数f(x)={x 2−(a −1)x +2,x ≥1(3a +1)x −5,x <1 在R 上是增函数，可得：{a−12≤13a +1>03a +1−5≤1−a +1+2， 解得−13<a ≤2故实数a 的取值范围是(−13, 2]．10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】 D【考点】函数的概念及其构成要素 【解析】过横轴上某一点做纵轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同速度下的三个车的不同的燃油效率，过纵轴上某一点做横轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同燃油效率下的三个车的不同的速度，利用这一点就可以很快解决问题．涉及到将图形语言转化为数学语言的能力和简单的逻辑推理能力． 【解答】对于 A ，由图象可知当速度大于 40km/ℎ 时，乙车的燃油效率大于 5km/L ，∴ 当速度大于 40km/ℎ 时，消耗 1 升汽油，乙车的行驶距离大于 5km ，故 A 错误； 对于 B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗 1 升汽油，甲车的行驶路程最远，∴ 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故 B 错误；对于 C ，由图象可知当速度为 80km/ℎ 时，甲车的燃油效率为 10km/L ，即甲车行驶 10km 时，耗油 1 升，故行驶 1 小时，路程为 80km ，燃油为 8 升，故C 错误； 对于 D ，由图象可知当速度小于 80km/ℎ 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴ 用丙车比用乙车更省油，故 D 正确； 二.填空题函数f(x)=√3x−x 2x−2的定义域为________．【答案】 [0, 2)∪(2, 3] 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组得答案． 【解答】解：由{3x −x 2≥0x −2≠0，解得0≤x ≤3，且x ≠2．∴函数f(x)=√3x−x2x−2的定义域为[0, 2)∪(2, 3]．故答案为：[0, 2)∪(2, 3]．设函数f(x)满足f(x−1)＝4x−4，则f(x)＝________．【答案】4x【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】变形f(x−1)得出f(x−1)＝4(x−1)，从而得出f(x)＝4x．【解答】f(x−1)＝4x−4＝4(x−1)；∴f(x)＝4x．给出下列三个函数：①y=x2−2xx−2；②y=x3+xx2+1；③y=√x2．其中与函数f(x)＝x相同的函数的序号是________．【答案】②【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】通过求定义域，化简函数，即可找出与f(x)＝x相同的函数．【解答】f(x)＝x的定义域为R；①y=x2−2xx−2的定义域为{x|x≠2}，定义域不同，与f(x)＝x不相同；②y=x3+xx2+1=x的定义域为R，与f(x)＝x相同；③y=√x2=|x|，解析式不同，与f(x)＝x不相同．已知f(x)为R上的奇函数，x>0时，f(x)=x3+1x，则f(−1)+f(0)＝________．【答案】−2【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，由定义域为R的奇函数的性质可得f(0)的值，由函数的解析式可得f(1)的值，结合函数的奇偶性可得f(−1)的值，将f(0)与f(1)相加即可得答案．【解答】则f(−1)+f(0)＝−2(1)故答案为：−2．已知函数f(x)=1a−1x(a >0, x >0)，若f(x)在[12, 2]上的值域为[12, 2]，则a =________． 【答案】25【考点】函数的值域及其求法 【解析】求f′(x)，根据f′(x)的符号判断函数f(x)在[12, 2]上的单调性，根据单调性即可求f(x)在[12, 2]上的值域，根据已知的值域[12, 2]即可求出a ． 【解答】解：∵ f′(x)=1x 2>0恒成立， ∴ f(x)在[12, 2]上增函数， ∵ f(x)在[12, 2]上的值域为[12, 2]， ∴ f(12)=1a −2=12，f(2)=1a −12=2， 解得a =25 故答案为：25若关于x 的不等式ax 2+x +b >0的解集是(−1, 2)，则a +b =________．【答案】 1【考点】一元二次不等式的解法 【解析】根据一元二次不等式的解集得出对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a ，b 即可． 【解答】解：关于x 的不等式ax 2+x +b >0的解集是(−1, 2)， ∴ −1，2是方程ax 2+x +b =0的两个根， ∴ −1+2=−1a ，−1×2=ba ， 解得a =−1，b =2； ∴ a +b =−1+2=1． 故答案为：1．已知x >0，y >0，且x +y ＝8，则(1+x)⋅(1+y)的最大值为________．25【考点】基本不等式及其应用【解析】由已知结合xy≤(x+y2)2即可求解．【解答】因为x>0，y>0，且x+y＝8，所以(1+x)⋅(1+y)＝1+xy+x+y＝9+xy≤9+(x+y2)2=9+16＝25，当且仅当x＝y＝4时取等号，关于x的方程2kx2−2x−3k−2=0的两实根，一个小于1，另一个大于1，则实数k 的取值范围为________．【答案】k<−4或k>0．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】首先分析题目已知方程2kx2−2x−3k−2=0的两实根，一个小于1，另一个大于1．可以联想到转化为考虑抛物线f(x)=2kx2−2x−3k−2在1的取值问题，然后分为抛物线开口向上和开口向下，分别讨论即可得到答案．【解答】解：因为方程有两实根，所以二次项系数不为0，则k≠0．又因为方程2kx2−2x−3k−2=0的两实根，一个小于1，另一个大于1，则存在两种情况：情况1：当k>0时，：函数f(x)=2kx2−2x−3k−2图象开口向上，此时只需f(1)< 0即可．即2k−2−3k−2<0解得k>−4．结合前提条件有k>0．情况2：当k<0时，函数2kx2−2x−3k−2图象开口向下，此时只需f(1)>0，即可即2k−2−3k−2>0解得k<−4．结合前提条件有k<−4．综上，满足题意的k的取值范围是k<−4或k>0．故答案为k<−4或k>0．已知函数f(x)={−x2+kx，x≤1，2x2，x>1，若存在a，b∈R，且a≠b，使得f(a)=f(b)成立，则实数k的取值范围是________．【答案】k<2或k>3【考点】分段函数的应用【解析】依题意，在定义域内，f(x)不是单调函数．结合二次函数的图象和性质及分段函数的单调性，可得结论．解：依题意，在定义域内，f(x)不是单调函数．由f(x)=2x2，x>1为增函数，且x=1时，2x2=2得：x≤1时，k2<1或−1+k>2，解得：k<2或k>3，故答案为：k<2或k>3.已知函数f(x)=x1−|x|(x∈(−1,1))，有下列结论：①∀x∈(−1, 1)，等式f(−x)+f(x)＝0恒成立；②∀m∈[0, +∞)，方程|f(x)|＝m有两个不等的实根；③∀x1，x2∈(−1, 1)，若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；④存在无数多个实数k，使得函数g(x)＝f(x)−kx在(−1, 1)上有三个零点．则其中正确结论的序号为________．【答案】①③④【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接利用函数的图象和函数的关系式的变换及函数的对称性，单调性的应用判断①②③④的结论．【解答】对于②：函数f(x)=x1−|x|(x∈(−1,1))为奇函数，故|f(x)|为偶函数，当x＝0时，|f(0)|＝0，当m＝0时，方程|f(x)|＝m只有一个实根，当m>0时，方程有两个实数根，故②错误（1）对于③当x∈[0, 1)时，f(x)=x1−|x|=x1−x≥0，函数为增函数，当x∈(−1, 0]时，f(x)=x1−|x|=x1+x≤0，函数为增函数，故函数在x∈(−1, 1)上单调递增，若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)，故③正确（2）对于④：由函数g(x)＝f(x)−kx＝0，得f(x)＝kx，所以f(0)＝0，即x＝0，为函数的一个零点，由于函数f(x)为奇函数，函数在(−1, 1)上单调递减，所以可以存在无数的实数k，使得函数g(x)＝f(x)−kx在(−1, 1)上有3个零点，如上图，故答案为：①③④．三．解答题已知全集U=R，集合A={x|2<x<9}，B={x|x2≥8}．（1）求A∩B，B∩(∁U A)；（2）已知集合C={x|a<x<a+2}，若C⊆B，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）∵集合A={x|2<x<9}，B={x|x2≥8}={x|x≥2√2或x≤−2√2}，∴A∩B={x|2√2≤x<9}，而∁U A={x|x≤2或x≥9}，∴B∩(∁U A)={x|x≤−2√2或x≥9}；（2）∵B={x|x2≥8}={x|x≥2√2或x≤−2√2}，集合C={x|a<x<a+2}，C⊆B，∴a≥2√2或a+2≤−2√2，∴a≥2√2或a≤−2−2√2．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）先求出关于集合B中的x的范围，从而求出A∩B，B∩(∁U A)即可；（2）根据C⊆B，结合集合B，C的范围得到不等式，解出即可．【解答】解：（1）∵集合A={x|2<x<9}，B={x|x2≥8}={x|x≥2√2或x≤−2√2}，∴A∩B={x|2√2≤x<9}，而∁U A={x|x≤2或x≥9}，∴B∩(∁U A)={x|x≤−2√2或x≥9}；（2）∵B={x|x2≥8}={x|x≥2√2或x≤−2√2}，集合C={x|a<x<a+2}，C⊆B，∴a≥2√2或a+2≤−2√2，∴a≥2√2或a≤−2−2√2．(Ⅰ)画出函数y＝x2−2x−3，x∈(−1, 4]的图象；(Ⅱ)讨论当k为何范围时，方程x2−2x−3−k＝0在(−1, 4]上的解集为空集、单元素集、两元素集？【答案】(I)f(x)＝x2−2x−3＝(x−1)2−4，则图象如右图所示，其中不含点(−1, 0)，含点(4, 5)．(II)原方程的解与两个函数y＝x2−2x−3，x∈(−1, 4]和y＝k的图象的交点构成一一对应．易用图象关系进行观察．（1）当k∈(5, +∞)∪(−∞, −4)时，原方程在(−1, 4]上的解集为空集；（2）当k∈[0, 5]∪{−4}时，原方程在(−1, 4]上的解集为单元素集；（3）当−k∈(−4, 0)时，原方程在(−1, 4]上的解集为两元素集．【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】（I）根据二次函数的图象和性质，作出函数f(x)＝x2−2x−3，x∈(−1, 4]的图象；(II)在(I)的基础上，再作出y＝k的图象，根据条件，上下移动，来研究k的范围．【解答】(I)f(x)＝x2−2x−3＝(x−1)2−4，则图象如右图所示，其中不含点(−1, 0)，含点(4, 5)．(II)原方程的解与两个函数y＝x2−2x−3，x∈(−1, 4]和y＝k的图象的交点构成一一对应．易用图象关系进行观察．（1）当k∈(5, +∞)∪(−∞, −4)时，原方程在(−1, 4]上的解集为空集；（2）当k∈[0, 5]∪{−4}时，原方程在(−1, 4]上的解集为单元素集；（3）当−k∈(−4, 0)时，原方程在(−1, 4]上的解集为两元素集．已知函数f(x)=x2+1x．（1）判断f(x)的奇偶性并证明；（2）当x∈(1, +∞)时，判断f(x)的单调性并证明；（3）在（2）的条件下，若实数m满足f(3m)>f(5−2m)，求m的取值范围．【答案】f(x)=x2+1x为奇函数，利用如下：f(−x)=(−x)2+1−x =−1+x2x=−f(x)，故f(x)为奇函数，x∈(1, +∞)时，f(x)的单调性递增，利用如下：设1<x1<x2，f(x)＝x+1x，则f(x1)−f(x2)=x1+1x1−x2−1x2=(x1−x2)+x2−x1x1x2，＝(x1−x2)(1−1x1x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1, +∞)上单调递增，由f(3m)>f(5−2m)可得3m>5−2m>1，解得，1<m<2．故m的范围(1, 2)【考点】函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）检验f(−x)与f(x)的关系即可判断，（2）先设1<x1<x2，然后利用作差法比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断，（3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解．【解答】f(x)=x2+1x为奇函数，利用如下：f(−x)=(−x)2+1−x =−1+x2x=−f(x)，故f(x)为奇函数，x∈(1, +∞)时，f(x)的单调性递增，利用如下：设1<x1<x2，f(x)＝x+1x，则f(x1)−f(x2)=x1+1x1−x2−1x2=(x1−x2)+x2−x1x1x2，＝(x1−x2)(1−1x1x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1, +∞)上单调递增，由f(3m)>f(5−2m)可得3m>5−2m>1，解得，1<m<2．故m的范围(1, 2)已知函数f(x)＝mx2+(1−3m)x−4，m∈R．（1）当m＝1时，求f(x)在区间[−2, 2]上的最大值和最小值．（2）解关于x的不等式f(x)>−1．（3）当m<0时，若存在x0∈(1, +∞)，使得f(x)>0，求实数m的取值范围．【答案】当m＝1时，函数f(x)＝x2−2x−4在(−2, 1)上是减函数，在(1, 2)上是增函数，所以当x＝−2时，f(x)有最大值，且f(x)max＝f(−2)＝4+4−4＝4，当x＝1时，f(x)有最小值，且f(x)min＝f(1)＝−5．不等式f(x)>−1，即mx2+(1−3m)x−3>0，当m＝0时，解得x>3，当m≠0时，(x−3)(mx+1)＝0的两根为3和−1m，当m>0时，−1m <3，不等式的解集为：{x|x<−1m或x>3}，当m <0时，3−(−1m)=3m+13，∴ 当m <−13时，−1m <3，不等式的解集为{x|−1m <x <3}， 当m =−13时，不等式的解集为⌀，当−13<m <0时，3<−1m，不等式的解集为{x|3<x <−1m}，综上所述：当m >0时，−1m <3，不等式的解集为{x|x <−1m 或x >3}； 当m ＝0时，不等式的解集为{x|x >3}；当−13<m <0时，3<−1m，不等式的解集为{x|3, x <−1m}；当m =−13时，不等式的解集为⌀；当m <−13时，不等式的解集为{x|−1m <x <3}．m <0时，f(x)＝mx 2+(1−3m)x −4，m ∈R 为开口向下的抛物线， 抛物线的对称轴为x =−1−3m 2m=32−12m >1，若存在x 1∈(1, +∞)，使得f(x 1)>0，则(1−3m)2+16m >0， 即9m 2+10m +1>0，解得m <−1或−19<m <0， 综上所述：m 的取值范围是(−∞, −1)∪(−19, 0)．【考点】二次函数的图象 二次函数的性质【解析】（1）当m ＝1时，函数f(x)＝x 2−2x −4在(−2, 1)上是减函数，在(1, 2)上是增函数，由此能求出f(x)在区间[−2, 2]上的最大值和最小值．（2）不等式f(x)>−1，即mx 2+(1−3m)x −3>0，根据m ＝0，m >0，m <−13，m =−13，−13<m <0进行分类讨论，能求出关于x 的不等式f(x)>−1的解集． （3）m <0时，f(x)＝mx 2+(1−3m)x −4，m ∈R 为开口向下的抛物线，抛物线的对称轴为x =32−12m>1，由此能求出m 的取值范围．【解答】当m ＝1时，函数f(x)＝x 2−2x −4在(−2, 1)上是减函数，在(1, 2)上是增函数， 所以当x ＝−2时，f(x)有最大值，且f(x)max ＝f(−2)＝4+4−4＝4， 当x ＝1时，f(x)有最小值，且f(x)min ＝f(1)＝−5． 不等式f(x)>−1，即mx 2+(1−3m)x −3>0， 当m ＝0时，解得x >3，当m ≠0时，(x −3)(mx +1)＝0的两根为3和−1m ，当m >0时，−1m<3，不等式的解集为：{x|x <−1m或x >3}，当m <0时，3−(−1m )=3m+13，∴ 当m <−13时，−1m<3，不等式的解集为{x|−1m<x <3}，当m =−13时，不等式的解集为⌀，当−13<m <0时，3<−1m ，不等式的解集为{x|3<x <−1m }， 综上所述：当m >0时，−1m<3，不等式的解集为{x|x <−1m或x >3}；当m ＝0时，不等式的解集为{x|x >3}；当−13<m <0时，3<−1m ，不等式的解集为{x|3, x <−1m }； 当m =−13时，不等式的解集为⌀；当m <−13时，不等式的解集为{x|−1m <x <3}．m <0时，f(x)＝mx 2+(1−3m)x −4，m ∈R 为开口向下的抛物线， 抛物线的对称轴为x =−1−3m 2m=32−12m >1，若存在x 1∈(1, +∞)，使得f(x 1)>0，则(1−3m)2+16m >0， 即9m 2+10m +1>0，解得m <−1或−19<m <0， 综上所述：m 的取值范围是(−∞, −1)∪(−19, 0)．。
山西省临汾市临汾第一中学2020-2021学年高一上学期期中数学答案
x1 x2
1 2
4 1 14 2
1 4
．
22 解：（1） A x | x2 2x 3 0 x | 3 x 1 .
.....................10 分 ...................2 分
因为 a 3 ，所以 B x 3 1 x 3 1 x 4 x 2 ， .................3 分
所以，月产量为 50 台时，所获的月利润最大，最大月利润为 6400 元．..........12 分
24 解：（1）由题， 9 x 4 3x 3 0 ，
（3x）2 4 3x 3 0 ，即（3x 1）（ 3x 3) 0 ， ..............2 分
得1 3x 3 ，解得 0 x 1 ；
临汾一中 2020-2021 学年度高一年级第一学期期中考试
数学答案
一．选择题（本大题共 15 小题，每小题 4 分，共 60 分）
1-5．DCBCA
6-10． BDADA
11-15．BBCAC
二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
16. 1,2 17. 1,4 18. 0，1
故
g(t) 在
1 2
,1
上的最大值为
g(1) 2
g (1)
1
3 2
1
1 2
，
g (t )
在
1 2
,1
上的最小值为
g(3) 4
9 16
3 2
3 4
1
7 16
，
.........11 分
故函数
f
(x)
的值域为
7 16
，1 2
．
....................12 分
山西省临汾市第一中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题
数学试题（卷）（解析版）
注意事项：
1.本试题考试时间120分钟，满分150分.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题列出的四个选项中，仅有一个是正确选项）
D. 幂函数 在 上是减函数，则实数
【答案】C
【解析】
【分析】
作差 可判断A；写出命题的否定可判断B；利用导数判断函数的单调性和极值可判断C；根据幂函数的定义可判断D.
【详解】对于A， ，因为 ，所以 ，
所以 ， ，错误；
对于B，“ ， ”的否定是“ ， ”，错误；
对于C，函数 ，
，当 得 ，当 得 ，
21. 设集合 ，集合 ．
（1）若 ，求 ；
（2）设命题 ，命题 ，若p是q成立的必要条件，求实数a的取值范围．
22. 已知 .
（1）化简 ；
（2）若 ，求 的值.
23. 若 ， .
（Ⅰ）若 的解集为 ，求 的值；
（Ⅱ）求关于 的不等式 的解集.
24. 已知函数 .
（1）求 最小正周期；
（2）求 在 上的单调递减区间；
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用充要条件的判定判断方法判断即可．
【详解】因为“ ”，则“ ”；但是“ ”不一定有“ ”.
所以“ ”，是“ ”成立的充分不必要条件．
故选A.
【点睛】充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法：
①定义法：若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件；
A. B.
山西省临汾市2020年高一上学期期中数学试卷C卷
山西省临汾市2020年高一上学期期中数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·大名月考) 若集合有且仅有2个子集,则实数的值为（）A .B . 或C . 或D . 或2. （2分） (2016高一上·曲靖期中) 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A . f（x）= ，g（x）=（） 2B . f（x）=（x﹣1）0 ， g（x）=1C . f（x），g（x）=x+1D . f（x）= ，g（t）=|t|3. （2分） (2019高一上·哈尔滨月考) 已知函数的定义域为，则的定义域为（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一上·唐山期中) 下列函数中，在上为单调递增函数的是（）A .B .C .D .5. （2分）(2016·山东模拟) 设a、b为正数，≤2 ，（a﹣b）2=4（ab）3 ，则a+b=（）A .B . 2C . 2D . 46. （2分）已知，，，则（）A .B .C .D .7. （2分）已知数列是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”.现有定义在上的如下函数：①，②，③，④，则为“保比差数列函数”的所有序号为（）A . ①②B . ③④C . ①②④D . ②③④8. （2分） (2015高一下·新疆开学考) 已知函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（|x|）的图象为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一上·吉林月考) 已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则（）A .B .C .D .10. （2分）关于狄利克雷函数的叙述错误的是（）A . D(x)的值域是｛0，1｝B . D(x)是偶函数C . D(x)是奇函数D . D(x)的定义域是R11. （2分）已知函数，若对任意的且，都有，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（）A .B .C .D .二、填空 (共4题；共4分)13. （1分）若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则函数g（x）=loga（x﹣m）（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为________14. （1分） (2016高一上·越秀期中) 函数（且）的图像必过定点，点的坐标为________．15. （1分） (2016高一上·辽宁期中) 设函数f（x+1）的定义域为[﹣1，0]，则函数f（﹣2）的定义域为________．16. （1分） (2018高二上·合肥期末) 下列四个命题：（1）已知向量是空间的一组基底，则向量也是空间的一组基底；（2）在正方体中，若点在内，且，则的值为1；（3）圆上到直线的距离等于1的点有2个；（4）方程表示的曲线是一条直线.其中正确命题的序号是________.三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分）化简：（1）；（2）．18. （5分）已知集合A={x|a﹣1＜x＜a+2}，函数y=的定义域是集合B（Ⅰ）若a=1，求A∪B（Ⅱ）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．19. （15分） (2017高一上·唐山期末) 已知函数f（x）=a•2x﹣2﹣x定义域为R的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；（3）若不等式f（9x+1）+f（t﹣2•3x+5）＞0在在R上恒成立，求实数t的取值范围．20. （15分） (2019高一上·辽源期中) 已知函数的定义域为，且对任意的有. 当时，， .（1）求并证明的奇偶性；（2）判断的单调性并证明；（3）求；若对任意恒成立，求实数的取值范围.21. （15分）已知（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明；（3）求使的的取值范围.22. （10分） (2019高一上·河南月考) 已知函数 .（1）若函数是偶函数.求k的值，并在坐标系中画出的大致图象；（2）若当时，恒成立，求k的取值范围.参考答案一、选择 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2020-2021学年山西临汾高三上数学期中试卷
2020-2021学年山西临汾高三上数学期中试卷一、选择题1. 12+i +i 5=( ) A.−25−45i B.25+45iC.−25+45iD.25−45i2. 已知集合A ={x|(3x −1)(x −1)≤0}，B ={x|log 2x +1≤0}，则A ∩B =( ) A.(0,13]B.[13,1]C.[12,1]D.[13,12]3. 已知x ，y 满足约束条件{x ≤1,y ≤1,2x +y +1≥0，则z =x −2y 的取值范围为( )A.[−4,6]B.[−3,8]C.[−3,7]D.[−1,7]4. 函数f (x )=e √x2+1的图象大致为( )A.B.C.D.5. 直线y =x −2被圆x 2+y 2−4x +2y +1=0所截得的弦长为( ) A.4 B.3√2 C.2√3 D.√146. 已知锐角△ABC 三边长分别为x ，√5，x +1，则实数x 的取值范围为( ) A.(1,2) B.(2,3)C.(25,2)D.(2,5)7. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p使得p+2是素数，素数对(p,p+2)称为孪生素数．从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为()A.1 6B.14C.15D.138. 某初级中学2020年参加中考的考生人数是2016年参加中考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，相关部门统计了该校2016年和2020年的中考录取情况，得到如下所示的柱状图：则下列结论错误的是()A.与2016年相比，2020年被一类高中录取学生的人数增长了B.与2016年相比，2020年被二类高中录取的学生人数增加了0.5倍C.2016年与2020年被三类高中录取的人数相同D.与2016年相比，2020年不上线的人数有所增加9. 已知a∈(0,1)∪(1,+∞)，b∈(0,1)∪(1,+∞)，且a>b，则log a9>log√b3的充要条件为()A.a>b>1B.0<b<1<aC.ab>1D.0<b<a<110. 如图，在直三棱柱ABC−DEF中，∠ACB=120∘，AC=BC=2，若半径为R的球与三棱柱ABC−DEF 的底面和侧面都相切，则三棱柱ABC−DEF的体积为( ) A.2 B.4√33C.4D.12−6√311. 已知α为锐角，若sin(2α+π4)=√210，则tanα=( )A.√23B.2√2C.2D.2312. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点P是以线段F1F2为直径的圆与双曲线C的一个交点，点P位于第二象限．若直线PF1与双曲线C的一条渐近线平行，则双曲线C的离心率为()A.2B.√5C.3D.√6二、填空题已知向量a→=(−1,3)，b→=(2,−1)，则向量a→，b→的夹角为________.已知圆柱的轴截面为正方形，若该圆柱的表面积与棱长为2的正四面体的表面积相等，则该圆柱的侧面积为________.已知函数f(x)={(x+1)2, x≤0e x, x>0,’若函数g(x)=f(x)−x−m恰好有2个零点，则实数m的取值范围为________.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若|AF|=p+2，|BF|=p−1，则p=________ ．三、解答题白黄瓜是一种比较常见的餐桌蔬菜，和普通的黄瓜不同，这种黄瓜的外观更加好看，颜色偏白，口感更好，所以在市面上拥有较高的价格．某农户一亩地种植白黄瓜，在所收成的黄瓜中，随机抽取并测量100条白黄瓜的长度（单位：厘米）和重量（单位：克），得到如下数据表：(1)根据所给的数据，完成下面的2×2列联表；(2)根据(1)中的列联表，判断是否有99.9%的把握认为单个黄瓜重量与黄瓜长有关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，S4=10，S5=2a4+7，数列{a n}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求S2n.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D为BC的中点，点P在棱BB1上，AB=AC=√5，BC=2，AA1=2.(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；(2)若点B到平面APC的距离为4√2121，请确定点P的位置．已知函数f(x)=ax−e x(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当−2≤a≤e+2时，证明：f(x)≤x2+1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点A在椭圆C上，且AF1⊥F1F2，△AF1F2的面积为32，点B(−b,b2)在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)斜率存在且不为零的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点M的坐标为(8,0)，若直线MP，MQ的倾斜角互补，求证：直线l过定点．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=2t+4，y=t−1（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=124sin2θ+3cos2θ.(1)求直线l和曲线C的直角坐标方程；(2)若点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．已知a，b为正数，且满足ab=1.(1)证明：a+2√b≥3；(2)若c为正数，证明：(a+b)3+(b+c)3+(a+1c)3≥24.参考答案与试题解析2020-2021学年山西临汾高三上数学期中试卷一、选择题1.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算复数代数形式的加减运算【解析】此题暂无解析【解答】解：12+i+i5=12+i+i=2−i(2+i)(2−i)+i=2−i5+i=25+45i．故选B．2.【答案】D【考点】交集及其运算一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：由题易得A={x|13≤x≤1}，B={x|log2x≤−1}={x|0<x≤12}，则A∩B=[13,12 ]．故选D．3.【答案】C 【考点】简单线性规划求线性目标函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，线性区域的端点坐标为A(−1,1)，B(1,1)，C(1,−3)，z=x−2y，y=12x−12z，可求得z的最大值在C点，z max=1−2×(−3)=7，最小值在A点，z min=−1−2×1=−3，故z的取值范围为[−3,7]．故选C．4.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：由f(−x)=f(x)可知函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除CD选项；又由√x2+1≥1，有f(x)≥e>2，排除B选项.故选A．5.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系圆的标准方程 点到直线的距离公式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：圆的方程化为标准方程为(x −2)2+(y +1)2=4， 圆心到直线的距离为√2=√22， 所求弦长为2√4−(√22)2=√14.故选D ． 6.【答案】 A【考点】 余弦定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意得{x 2+(x+1)2−52x (x+1)>0，222√5x>0，解得1<x <2． 故选A ． 7. 【答案】 D【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】（1）求出满足条件的所有素数，找出孪生素数的个数，进而求解即可. 【解答】解：10以内的素数分别为2，3，5，7，共4个， 从中选两个共包含6个基本事件，而10以内的孪生素数对有(3,5)，(5,7)，共2对，包含2个基本事件， 所以从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数对的概率为P =26=13. 故选D . 8.【答案】 C【考点】进行简单的合情推理 频率分布直方图收集数据的方法【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设2016年中考考生人数为x ，则2020年中考考生人数为1.2x. 由24%⋅1.2x −28%⋅x =0.8%⋅x >0，故选项A 正确；由(40%⋅1.2x −32%⋅x )÷(32%⋅x )=0.5，故选项B 正确； 由8%⋅1.2x −8%⋅x =1.6%⋅x >0，故选项C 不正确； 由28%⋅1.2x −32%⋅x =1.6%⋅x >0，故选项D 正确． 故选C ． 9.【答案】 B【考点】对数函数的单调性与特殊点 对数的运算性质根据充分必要条件求参数取值问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由log a 9>log √b 3，有ln 9ln a >，有1ln a >1ln b ，有lnbaln a⋅ln b >0，由0<ba <1，有ln ba <0，有 ln a ⋅lnb <0， 又由a >b ，必有{ln a >0,ln b <0,则0<b <1<a ．故选B ． 10. 【答案】 D【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意可知，△ABC 内切圆的半径为R ， 有R +2√33R =1，解得R =2√3−3，可得三棱柱ABC −DEF 的体积为12×2×2×sin 120∘×(4√3−6)=12−6√3．故选D ．11.【答案】C【考点】两角和与差的正弦公式二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：由sin(2α+π4)=√210，有√22(sin2α+cos2α)=√210，有sin2α+cos2α=15，有5(2sinαcosα+cos2α−sin2α)=cos2α+sin2α，两边除以cos2α有5(2tanα+1−tan2α)=1+tan2α，解得tanα=2或tanα=−13，又由α为锐角，有tanα=2．故选C．12.【答案】B【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率双曲线的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，由∠PF1F2为锐角，可知PF1与直线y=bax平行，可得tan∠PF1F2=ba，有sin∠PF1F2=bc，cos∠PF1F2=ac，有|PF1|=|F1F2|cos∠PF1F2=2a，|PF2|=|F1F2|sin∠PF1F2=2b，有2b−2a=2a，得b=2a，则双曲线C的离心率e=ca=√a2+b2a=√a2+4a2a=√5．故选B．二、填空题【答案】3π4【考点】数量积表示两个向量的夹角平面向量数量积的性质及其运算律【解析】此题暂无解析【解答】解：a→⋅b→=−1×2+3×(−1)=−5，|a→|=√(−1)2+32=√10，|b→|=√22+(−1)2=√5，向量a→，b→夹角的余弦值为cos<a→，b→>=a→⋅b→|a→||b→|=√10×√5=−√22，则向量a→，b→的夹角为3π4．故答案为：3π4.【答案】8√33【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设圆柱的底面半径为r ，可知高为2r ， 表面积为2πr 2+4πr 2=6πr 2，棱长为2的正四面体的表面积为4×12×22×√32=4√3，有6πr 2=4√3，有πr 2=23√3，该圆柱的侧面积为4πr 2=8√33. 故答案为：8√33． 【答案】(34,+∞) 【考点】分段函数的应用由函数零点求参数取值范围问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：函数f (x )的图象如下：直线y =x +m 与函数f (x )图象最下部分相切时， 有(x +1)2=x +m ，整理为x 2+x +1−m =0，Δ=1−4(1−m )=0， 解得m =34，又由函数y =e x 图象与直线y =x +1相切， 故若函数g (x )恰好有两个零点， 则实数m 的取值范围为(34,+∞)．故答案为：(34,+∞)． 【答案】 4【考点】 抛物线的性质直线与抛物线结合的最值问题【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设A ，B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)， 显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y =k (x −p2)(k ≠0)， 联立方程{y 2=2px,y =k (x −p 2),消去y 后整理为k 2x 2−(2p +pk 2)x +p 2k 24=0，有x 1x 2=p 24，又由|AF|=p +2，|BF|=p −1，有{x 1+p 2=p +2,x 2+p 2=p −1, 可得{x 1=p2+2,x 2=p2−1,有(p 2+2)(p2−1)=p 24，解得p =4. 故答案为：4． 三、解答题【答案】解：(1)完成列联表如下：(2)K 2=100×(20×50−20×10)240×60×30×70=80063≈12.7>10.828，故能有 99.9%的把握认为单个黄瓜重量与黄瓜长有关．【考点】独立性检验【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)完成列联表如下：(2)K2=100×(20×50−20×10)240×60×30×70=80063≈12.7>10.828，故能有99.9%的把握认为单个黄瓜重量与黄瓜长有关．【答案】解：(1)设数列{a n}的奇数项的公差为d，偶数项的公比为q，由S4=a1+a2+a3+a4=3+(1+d)+2q=10，可得d+2q=6．由S5=2a4+7，有S4+a5=2a4+7，有10+(1+2d)=4q+7，可得d+2=2q．解方程组{d+2q=6，d+2=2q，解得d=q=2．故数列{a n}的通项公式为a n={n，n为奇数，2n2，n为偶数.(2)由(1)可知S2n=(1+3+5+⋯+2n−1)+ (2+4+8+⋯+2n)=n(1+2n−1)2+2(1−2n)1−2=n2+2n+1−2．【考点】等差数列的通项公式等比数列的通项公式等差数列的前n项和等比数列的前n项和数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设数列{a n}的奇数项的公差为d，偶数项的公比为q，由S4=a1+a2+a3+a4=3+(1+d)+2q=10，可得d+2q=6．由S5=2a4+7，有S4+a5=2a4+7，有10+(1+2d)=4q+7，可得d+2=2q．解方程组{d+2q=6，d+2=2q，解得d=q=2．故数列{a n}的通项公式为a n={n，n为奇数，2n2，n为偶数.(2)由(1)可知S2n=(1+3+5+⋯+2n−1)+(2+4+8+⋯+2n)=n(1+2n−1)2+2(1−2n)1−2=n2+2n+1−2．【答案】(1)证明：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC．∵AA1⊥底面ABC，AD⊂平面ABC，∴AA1⊥AD．又∵AA1//BB1，∴BB1⊥AD.∵AD⊥BC，AD⊥BB1，BC∩BB1=B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1．(2)解：由AB=√5，BD=CD=1，可得AD=2．设BP=ℎ，V P−ABC=13×ℎ×12×2×2=23ℎ，在Rt△ABP中，AP=√AB2+BP2=√ℎ2+5，在Rt△BCP中，PC=√BC2+BP2=√ℎ2+4，在△APC中，cos∠APC=2222=2(2)(2)，sin∠APC=√1−(ℎ2+2)2(ℎ2+5)(ℎ2+4)=√5ℎ2+16(ℎ2+5)(ℎ2+4).S△APC=12×√×√×√5ℎ2+16(ℎ2+5)(ℎ2+4)=√5ℎ2+162，V B−ACP=13×4√2121×√5ℎ2+162=2√21(5ℎ2+16)63，又V P−ABC=V B−ACP，∴2√21(5ℎ2+16)63=23ℎ，解得ℎ=1，故若点B到平面APC的距离为4√2121，则点P为BB1的中点．【考点】直线与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算余弦定理同角三角函数间的基本关系三角形的面积公式【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC．∵AA1⊥底面ABC，AD⊂平面ABC，∴AA1⊥AD．又∵AA1//BB1，∴BB1⊥AD.∵AD⊥BC，AD⊥BB1，BC∩BB1=B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1．(2)解：由AB=√5，BD=CD=1，可得AD=2．设BP=ℎ，V P−ABC=13×ℎ×12×2×2=23ℎ，在Rt△ABP中，AP=√AB2+BP2=√ℎ2+5，在Rt△BCP中，PC=√BC2+BP2=√ℎ2+4，在△APC中，cos∠APC=22 (2)(2)=2(2)(2)，sin∠APC=√1−(ℎ2+2)2(ℎ2+5)(ℎ2+4)=√5ℎ2+16(ℎ2+5)(ℎ2+4).S△APC=12×√ℎ2+4×√ℎ2+5×√5ℎ2+16(ℎ2+5)(ℎ2+4)=√5ℎ2+162，V B−ACP=13×4√2121×√5ℎ2+162=2√21(5ℎ2+16)63，又V P−ABC=V B−ACP，∴2√21(5ℎ2+16)63=23ℎ，解得ℎ=1，故若点B到平面APC的距离为4√2121，则点P为BB1的中点．【答案】(1)解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=a−e x．①当a≤0时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减，减区间为(−∞,+∞)，没有增区间；②当a>0时，令f′(x)>0，有x<ln a，可得函数f(x)的增区间为(−∞,ln a)，减区间为(ln a,+∞)．(2)证明：不等式f(x)≤x2+1可化为ax≤e x+x2+1，①当x≥0时，由−2≤a≤e+2，得−2x≤ax≤(e+2)x，若证ax≤e x+x2+1，只需证(e+2)x≤e x+x2+1，不等式可化为e x−ex+(x−1)2≥0，令g(x)=e x−ex（x≥0），有g′(x)=e x−e，由g′(x)>0可得x>1，故函数g(x)的增区间为(1,+∞)，减区间为(−∞,1)，有g(x)≥g(1)=0，可得当x≥0时，e x−ex≥0，又由(x−1)2≥0，故有e x−ex+(x−1)2≥0，由上可知当x≥0时，不等式f(x)≤x2+1成立；②当x<0时，由−2≤a<e+2，得(e+2)x≤ax≤−2x，若证−2x≤e x+x2+1，只需证e x+x2+2x+1≥0，不等式可化为e x+(x+1)2≥0，又由(x+1)2≥0，故有e x+(x+1)2≥0，由上可知当x<0时，不等式f(x)≤x2+1成立，由①②可知，当−2≤a≤e+2时，不等式f(x)≤x2+1成立．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=a−e x．①当a≤0时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减，减区间为(−∞,+∞)，没有增区间；②当a>0时，令f′(x)>0，有x<ln a，可得函数f(x)的增区间为(−∞,ln a)，减区间为(ln a,+∞)．(2)证明：不等式f(x)≤x2+1可化为ax≤e x+x2+1，①当x≥0时，由−2≤a≤e+2，得−2x≤ax≤(e+2)x，若证ax≤e x+x2+1，只需证(e+2)x≤e x+x2+1，不等式可化为e x−ex+(x−1)2≥0，令g(x)=e x−ex（x≥0），有g′(x)=e x−e，由g′(x)>0可得x>1，故函数g(x)的增区间为(1,+∞)，减区间为(−∞,1)，有g(x)≥g(1)=0，可得当x≥0时，e x−ex≥0，又由(x−1)2≥0，故有e x−ex+(x−1)2≥0，由上可知当x≥0时，不等式f(x)≤x2+1成立；②当x<0时，由−2≤a<e+2，得(e+2)x≤ax≤−2x，若证−2x≤e x+x2+1，只需证e x+x2+2x+1≥0，不等式可化为e x+(x+1)2≥0，又由(x+1)2≥0，故有e x+(x+1)2≥0，由上可知当x <0时，不等式f (x )≤x 2+1成立，由①②可知，当−2≤a ≤e +2时，不等式f (x )≤x 2+1成立． 【答案】(1)解：设椭圆C 的焦距为2c ，令x =c ， 代人椭圆C 的方程可求得y =±b 2a ， △AF 1F 2的面积为32，可得b 2c a=32，有b 2c =32a ，将点B 的坐标代入椭圆C 的方程， 可得b 2a 2+b 24b 2=1，解得b =√32a ， 解方程组{b =√32a,b 2c =32a,a 2=b 2+c 2, 得a =2,b =√3,c =1，故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)证明：设点P ，Q 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)，直线l 的方程为y =kx +m (k ≠0)， 联立方程 {x 24+y 23=1y =kx +m,， 消去y 后整理为(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0， 有x 1+x 2=−8km4k 2+3，x 1x 2=4m 2−124k 2+3，有k MP =y 1x 1−8=kx 1+m x 1−8=k (x 1−8)+8k+mx 1−8=k +8k+m x 1−8，k MQ =k +8k+m x 2−8，又由1x 1−8+1x 2−8=x 1+x 2−16x 1x 2−8(x 1+x 2)+64=−8km 4k 2+3−164m 2−124k 2+3+64km4k 2+3+64=−2(8k 2+km+6)m +16km+64k +45，由直线MP 、MQ 的倾斜角互补， 有2k +(8k +m )(1x 1−8+1x2−8)=0，有2k −2(8k+m )(8k 2+km+6)m +16km+64k +45=0，通分整理后可得k =−2m ，可得直线l 的方程为y =−2mx +m ， 可知直线l 过定点(12,0)．【考点】椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系 圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)解：设椭圆C 的焦距为2c ，令x =c ， 代人椭圆C 的方程可求得y =±b 2a ，△AF 1F 2的面积为32，可得b 2c a=32，有b 2c =32a ，将点B 的坐标代入椭圆C 的方程， 可得b 2a+b 24b =1，解得b =√32a ， 解方程组{b =√32a,b 2c =32a,a 2=b 2+c 2, 得a =2,b =√3,c =1，故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)证明：设点P ，Q 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)，直线l 的方程为y =kx +m (k ≠0)， 联立方程 {x 24+y 23=1y =kx +m,， 消去y 后整理为(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0， 有x 1+x 2=−8km4k 2+3，x 1x 2=4m 2−124k 2+3，有k MP =y 1x 1−8=kx 1+m x 1−8=k (x 1−8)+8k+mx 1−8=k +8k+m x 1−8，k MQ =k +8k+m x 2−8，又由1x 1−8+1x 2−8=x 1+x 2−16x 1x 2−8(x 1+x 2)+64=−8km4k2+3−164m2−124k2+3+64km4k2+3+64=−2(8k2+km+6)m2+16km+64k2+45，由直线MP、MQ的倾斜角互补，有2k+(8k+m)(1x1−8+1x2−8)=0，有2k−2(8k+m)(8k 2+km+6)m2+16km+64k2+45=0，通分整理后可得k=−2m，可得直线l的方程为y=−2mx+m，可知直线l过定点(12,0)．【答案】解：(1)在直线l的参数方程中消去参数t有x=2(y+1)+4，整理可得直线l的的直角坐标方程为x−2y−6=0．曲线C的极坐标方程可化为4ρ2sin2θ+3ρ2cos2θ=12，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程，可得曲线C的直线坐标方程为3x2+4y2=12．(2)曲线C的直角坐标方程可化为x24+y23=1，设点P的坐标为(2cosα,√3sinα)，点P到直线l的距离为d=√3sin√5=|4cos(α+π3)−6|√5≤√5=2√5，故点P到直线l的距离的最大值为2√5．【考点】椭圆的极坐标方程直线的参数方程点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在直线l的参数方程中消去参数t有x=2(y+1)+4，整理可得直线l的的直角坐标方程为x−2y−6=0．曲线C的极坐标方程可化为4ρ2sin2θ+3ρ2cos2θ=12，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程，可得曲线C的直线坐标方程为3x2+4y2=12．(2)曲线C的直角坐标方程可化为x24+y23=1，设点P的坐标为(2cosα,√3sinα)，点P到直线l的距离为d=√3sin√5=|4cos(α+π3)−6|√5≤√5=2√5，故点P到直线l的距离的最大值为2√5．【答案】证明：(1)由a+2√b=a+√b+√b≥3√a⋅√b⋅√b3=3√ab3=3(当且仅当a=b=1时取等号)．(2)由a+b≥2√ab=2(当且仅当a=b=1时取等号)，有(a+b)3≥8，又由(b+c)(a+1c)=ab+ac+bc+1≥2+2√ac×bc=4(当且仅当ac2=b时取等号).有(b+c)3+(a+1c)3≥2√(b+c)3(a+1c)3≥2√43=16(当且仅当a=b=c=1时取等号).故有(a+b)3+(b+c)3+(a+1c)3≥24(当且仅当a=b=c=1时取等号)．【考点】不等式的证明不等式恒成立问题【解析】无无【解答】证明：(1)由a+2√b=a+√b+√b≥3√a⋅√b⋅√b3=3√ab3=3(当且仅当a=b=1时取等号)．(2)由a+b≥2√ab=2(当且仅当a=b=1时取等号)，有(a+b)3≥8，又由(b+c)(a+1c)=ab+ac+bc+1≥2+2√ac×bc=4(当且仅当ac2=b时取等号).有(b+c)3+(a+1c)3≥2√(b+c)3(a+1c)3≥2√43=16(当且仅当a=b=c=1时取等号).故有(a+b)3+(b+c)3+(a+1c)3≥24(当且仅当a=b=c=1时取等号)．第21页共22页◎第22页共22页。
山西省临汾市2020年(春秋版)高一上学期数学期中考试试卷(II)卷
山西省临汾市2020年（春秋版）高一上学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017高一上·咸阳期末) 已知集合A={1，2，3}，B={y|y=x﹣2，x∈A}，则A∩B=（）A . {1}B . {4}C . {1，3}D . {1，4}2. （2分） (2016高一上·重庆期末) 若区间[x1 ， x2]的长度定义为|x2﹣x1|，函数f（x）=（m∈R，m≠0）的定义域和值域都是[a，b]，则区间[a，b]的最大长度为（）A .B .C .D . 33. （2分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ），若对任意实数x，都有f（x）=f（﹣x），则θ可以是（）A .B .C .D . π4. （2分）(2017·潮南模拟) 已知函数f（x）=lnx﹣（）x﹣2的零点为x0 ，则x0所在的区间是（）A . （0，1）B . （1，2）C . （2，3）D . （3，4）5. （2分） (2019高一上·杭州期中) 已知函数，则的值等于（）．A .B .C .D .6. （2分）设a=40.1 ， b=log40.1，c=0.40.2则（）A . a＞b＞cB . b＞a＞cC . a＞c＞bD . b＞c＞a7. （2分）函数f（x）=2x+2﹣x的图象关于（）对称．A . 坐标原点B . 直线y=xC . x轴D . y轴8. （2分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（）A .B .C .D .9. （2分）设，则（）A .B . 2C . 3D . 410. （2分） (2017高一上·西城期中) 下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）．A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分） (2018高二下·深圳月考) 计算： ________．12. （2分） (2016高二下·宁海期中) 若f（x）= ，则f（f（﹣1））=________，f（f（x））≥1的解集为________13. （1分）(2017·东城模拟) 已知函数f（x）=1nx+2x﹣6的零点在区间（，）（k∈Z）内，那么k=________．14. （1分）(2016·河北模拟) 已知a＞0且a≠1，若函数f（x）=loga[ax2﹣（2﹣a）x+3]在[ ，2]上是增函数，则a的取值范围是________．15. （1分） (2019高一上·杭州期中) 设为实常数，是定义在上的奇函数，且当时，．若对一切成立，则的取值范围是________.三、解答题 (共5题；共50分)16. （10分） (2019高一上·拉萨期中) 已知函数．（1）求、、的值；（2）若，求a的值．17. （10分） (2017高一下·承德期末) 设函数f（x）=ax2+（b﹣1）x+3．（1）若不等式f（x）＞0的解为（﹣1，），求不等式bx2﹣3x+a≤0的解集；（2）若f（1）=4，a＞0，b＞0，求ab的最大值．18. （5分） (2017高一上·泰安期中) 定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）是减函数，且f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞0，求实数a的取值范围．19. （10分） (2016高三上·莆田期中) 已知函数f（x）=22x﹣2xa﹣（a+1）．（1）若a=2，解不等式f（x）＜0；（2）若f（x）有零点，求实数a的取值范围．20. （15分） (2016高一上·无锡期末) 已知向量 =（cos ，sin ）， =（cos ，﹣sin ），函数f（x）= • ﹣m| + |+1，x∈[﹣， ]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+ m2，x∈[﹣， ]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共50分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、。
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25.（本小题满分 12 分）
已知 y f (x) 是定义在 R 上的函数， x 0 ，有 f (x) 0 ，若对于任意的 x，y R ， 都有 ff ((xx yy)) ff ((xx)) ff ((yy)) ，且 f (2) 1．
（1）用定义证明函数 f (x) 在 R 上是增函数； （2）解不等式： f (log 1 x) f (log2 x) 2 ．
④
f
x1
2
x2
f
x1
2
f
x2
三．解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 21.（本小题满分 10 分）
求值（1） (
2
1)0
16 9
1 2
(
4
8) 3
；（3 分）
（2） lg 1 ln 100
e 2log2 3 log 4 27 log9 8 ；（3 分）
取值范围．
23.（本小题满分 12 分） 临汾市某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发
现，每月需投入固定成本 3000 元，生产 x 台需另投入成本 C( x )元，且
C(
x)
1004
10x2 400 x 10000
x
x,0 x 40 9800,40 x
100
．
18．函数 f (x) log0.3 (2x x2 ) 的单调递减区间是______________． 19．已知命题：“ x R, ax 2 2ax 1 0 ”是假命题，则实数 a 的取值范围是______．
20．已知点 (2, 9) 在函数 f (x) ax （ a 0 且 a 1）图象上，对于函数 y f (x) 定义域
A． a b c
B． b a c
C． b c a D． a c b
10．已知函数 f (x) 为奇函数，且 x 0 时， f (x) 2x x m ，则 f (1)
A． 2
B．
1 2
C．
1 2
D． 2
11．若函数
f (x) 的定义域为 1,2,则函数 g(x)
f (x 2)
A．1
B．{2}
C．{1, 2}
D．{1, 0, 2}
8．设 0 a b ，则下列不等式中正确的是
A． a C． a
ab a b b 2
ab b a b 2
B． a b ab a b 2
D． ab a a b b 2
9．已知 a log0.53 ， b 20.3 , c 0.30.5 ,则
的定义域是
x 1
A．1, 4
B． 1, 4
C． 1,2
D． 1,2
12．已知函数，
f
(x)
(a 2)x 1, x 1
loga x, x 1
，若
f
x
在 ,
上单调递增，
则实数 a 的取值范围是
A． 1, 2
B． 2,3
C． 2,3
D． 2,
高一数学试题共 5 页 第 2页
13．已知
f
(x)＝│x│，g
D． 2
A． x 0,2 x 1 B． x 0,2 x 1 C． x 0,2 x 1 D． x 0,2 x 1 ，
4．下列函数中,在定义域上既是奇函数又是增函数的是
A． y x 1
B． y x3
C． y x x
5．设
a, b
R
，那么“
a
b
0
”是“
a b
1 ”的
D．
y
1 x
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
，若每台售价
1000
元，且每月生产
的体育器材月内能全部售完．
（1）求制造商所获月利润 L( x )（元）关于月产量 x （台）的函数关系式；
（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．
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24. (本小题满分 12 分）
已知不等式 9 x 4 3x 3 0 的解集为 A ，函数 f (x） 4x 3 2x1 1，x A ． （1）求集合 A ； （2）求函数 f (x) 的值域．
1．集合 A x 1 x 2 ， B x x 1 ，则 A (CR B)
A. x x 1
B. x x 1 C. x 1 x 2 D．x 1 x 2
2．已知函数
f
(x)
x2
4x
3,
x
0
，则
f ( f (5)) =
3 x, x 0
A．1
B． 0
C． 1
3．已知命题 p : x 0,2 x 1 . 则 p 为
C． (0,1)
15．设
a
0,
b
1
，若
a
b
2
，则
2 a
b
1
1
的最小值为
D． (1,)
A． 4 2
B．6
C． 3 2 2
D． 2 2
第Ⅱ卷 （非选择题 90 分）
二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
16．不等式 x 1 0 的解集为
．
x2
17．函数 f (x) a x1 3 （ a 0 ，且 a 1）过定点
1
（3）若 x 2
1
x 2
x x1 1 6 ，求 x2 x2 2 的值．（4 分）
22.（本小题满分 12 分）
设集合 A x | x2 2x 3 0 ，集合 B x a 1 x a 1.
（1）若 a 3，求 A B 和 A B ； （2）设命题 p : x A ，命题 q : x CR B ，若 q 是 p 成立的必要不充分条件，求实数 a 的
(x)＝x2，设
h(
x)
f g
( x), ( x),
f f
(x) (x)
g(x) g(x)
则函数
h(x)大致图象是
y
y
y
yOxAOxBO
x
C
O
x
D
14．函数 f (x) loga (1 2ax) 在区间 0,1 上是增函数，则实数 a 的取值范围是
A． (0, 1 ) 2
B． ( 1 ，1) 2
临汾一中 2020-2021 学年度高一年级第一学期期中考试
数学试题（卷）
注意事项：
1．本试题考试时间 120 分钟，满分 150 分。 2． 全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
第Ⅰ卷(选择题 60 分)
一．选择题（本大题共 15 小题，每小题 4 分，共 60 分。在每小题列出的四个选项中，仅 有一个是正确选项）
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6．已知幂函数 f (x) (n 2 2n 2)x n2 3n 在 0， 上是减函数，则 n 的值为
A．1 或 3
B．1
C． 3
D． 1 或 3
7．已知集合 A {2,1}， B {x | ax 2} ，若 A B B ，则实数 a 取值的集合为
4
26. （本小题满分 12 分）
已知定义域为
R
的函数
f
x
2x a 2x 1
是奇函数．
（1）求实数 a 的值， （2）判断并且用定义证明 f (x) 的单调性；
（3）若不等式 f (t 3x ) f (3x 9x 2) 0 对任意的 x 0 恒成立，求实数 t 的取值范围．
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中的任意 x1 ， x2 x1 x2 ，有如下结论：其中正确结论的序号是___________.
① f x1 x2 f x1 f x2 ；
② f x1 x2 f x1 f x2 ；
高一数学试题共 5 页 第 3页
③
f (x1) f (x2 ) x1 x2
0；