位移计算的一般公式

位移计算的一般公式

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位移计算的一般公式

（一）位移计算的一般公式

利用虚功原理求结构位移需要两个状态：实际位移状态

和虚设力状态。要求的位移是由给定的荷载、温度变化和材料胀缩、支座移动和制造误差等因素引起的，以此作为结构的实际位移

状态；再虚设一个恰当的力状态，即在所求位移处沿所求位移方向加相应的单位荷载，让虚设力在实际位移上作功，利用虚功

方程即可求得所求位移。这种计算位移的方法称为单位荷载法。

利用单位荷载法，由虚功方程（1-3）可得平面杆件结构位移计

算的一般公式

(1-4) 式中：和、、——虚设单位荷载引起的支座反力和微段上的内力；

和、、——实际位移状态中支座位移和微段上的变形。

公式（1-4）适合静定结构和超静定结构、弹性体系和非弹性体系在各种因素下产生的位移计算。

【注意】采用单位荷载法求结构位移，应注意以下几点：（1）每假设一个虚拟状态，只能求出一个未知位移；

（2）所加的单位荷载应与所求位移相对应；

（3）虚设单位荷载的指向可以任意假定，结果为正，说明所假设单位荷载方向与实际位移方向相同；结果为负，则说明与实际位移相反。

（二）荷载作用下的位移计算公式

计算荷载作用下的位移时，式（1-4）中的应变、、0是由荷载引起的，可按下列顺序求出：

荷载——内力——应力——应变

下面列出在荷载作用下，静定结构的单位位移的具体计算步骤：

（1）根据荷载情况，求出结构各截面的弯矩、剪力、轴力。（2）根据内力，求出相应的弯曲、拉伸和剪切应变：

（1-5a）

（1-5b）

（1-5c）

式中：E和G分别为材料的弹性模量和剪切弹性模量：A和I分别是杆件截面的面积和惯性矩。EI、GA、EA分别是杆件截面的抗弯、抗剪、抗拉刚度；是剪应力分布不均匀系数。

（3）将式（1-5）代入式（1-4），即得到在荷载作用下的位移计算公式

（1-6）须指出：上式（1-6）只适用于线弹性平面杆系结构。

关于内力的正负号可规定如下：

●轴力——以拉力为正；

●剪力——使微段顺时针转动者为正；

●弯矩——只规定乘积的正负号。当与

使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取正值。

按照保留主要影响忽略次要影响的原则，从式（1-6）可以得到各类特殊结构形式相应的简化公式。

（1）梁和刚架

位移主要是弯矩引起的，轴力和剪力的影响较小，因此位移公式可简化为：

（1-7）

（2）桁架

各杆只受轴力，而且每根杆的截面面积A以及轴力和沿杆长一般都是常数，因此位移公式可简化为：

（1-8）

（3）桁梁组合结构

梁式杆件主要受弯曲，桁式杆件只受轴力，故位移公式可简化为：

（1-9）(4)拱

对于扁平拱，其位移公式为：

（1-10a）对于一般实体拱，其位移公式为：

（1-10b）

（三）支座移动引起的位移计算公式

(1-11)

当与相应支座位移c方向一致时，其乘积取正号，反之取负号。

（四）温度改变引起的位移计算公式

（1-12）式中为材料的线膨胀系数；h为杆件截面高度；为杆件轴

线处温度改变值；为杆件两侧温度改变的差值。

对于等截面直杆，当、、在一根杆件范围内为常数时，式（1-12）可改写成下列形式：

（1-13）式中、分别为图和图的面积。当实际温度变形与虚拟状态的变形一致时，其乘积为正，反之为负。即如以升高为正，则以拉力正；如取绝对值，则使高温面受拉的M为正，即高温侧的为正。

（五）静定桁架由于制造误差引起的位移计算公式

（1-14）

式中为杆件的制造误差，规定伸长为正，缩短为负；规定拉力为正，压力为负。