二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程
例 3 求微分方程y4y8y 0的通解 解 微分方程的特征方程为
r24r80 特征方程的根为r122i r222i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为ye2x(C1cos2xC2sin2x)
通解形式 下页
练 习 巩 固
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2 有一对共轭复根 r1, 2i
例2 求方程y2yy0的通解
解
y C1er1 x C2er2 x rx y C1 C2 x e
yex(C1cosxC2sinx)
微分方程的特征方程为
r22r10 即(r1)20 特征方程有两个相等的实根r1r21 因此微分方程的通解为yC1ex C2xex
1
2
1 x 1 (arctan x) , 2 1 x （15）
,
1 (arc cot x) . 2 （16） 1 x
1 a 0且a 1 xlna 1 , （14） (arccosx) 2 1 x
二阶线性微分方程解的结构定理
• 如果y1、y2是二阶线性微分方程的两个线性 无关的解 那么yC1y1C2y2就是微分方程的 通解
思考
思考题：通解为 y C1e x C2e2 x 的二阶线性常系数微分方程是
r1 x
r1 x
y ( C1 C 2 x ) e
(3) 当
p 4 q 0 时, 方程有一对共轭复根
2
这时原方程有两个复数解:
( i ) x
x
e (cos x i sin x ) y1 e ( i ) x x y2 e e (cos x i sin x )
高等数学-十九 二阶线性常系数齐次微分方程-精选文档
(常数)
定理3
若
y 是二阶线性非齐次方程(2)的特解,
y 是方程(2)所对应的齐次方程的通解，则
Y y y 就是方程(2)的通解。
定理4 若 y 1 , y 2 分别是方程
a y b y c y f () x 1
与 a y b y c y f () x 的特解, 那么 y y 1 y 2 2
x 2
3
x
e 2x
x
x
根据例1知道该方程所对应的齐次方程的通解 ,所以该方程的通解为 yce cx 1 2 e x x 1 3 x Y ce cx 1 2 e xe 3
x
二、二阶线性常系数齐次微分方程求通解的方法
a y b y c y 0
由定理知，要求齐次线性方程的通解，只要 求出它的两个线性无关的特解即可.
ye
x
y e
代入齐次方程得
y e （ 为常数） 2 x x x a e b e c e 0
2 x
x
e( a b c ) 0
x
2
e( a b c ) 0 e
x
2
x
0
a b c 0
二阶线性常系数微分方程
一. 二阶线性常系数微分方程解的性质
二. 二阶线性常系数齐次微分方程求解的方法
形如
a y b y c y fx () （其中 a , b , c 为常数）
即
叫做二阶线性常系数微分方程 当
f ( x) 0
a y b y c y 0 (1 )
bcy acy ( 1 1 cy ccy ( 1 1 cy ( 1 1 cy ) 2 2) 2 2) 2 2
二阶常系数微分方程
一、二阶常系数齐次线性微分方程
由上面分析可知，要求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，关 键是寻找它的两个线性无关的特解.为此，首先找一个函数y，使 y″+py′+qy=0(p,q为常数).而指数函数erx(r为常数)就具备这种性质， 因为erx的一阶、二阶导数都是erx的常数倍，也就是说，只要适当选取 r，就可以使erx满足方程y″+py′+qy=0.于是，设y=erx (r为待定常数) 为方程y″+py′+qy=0的特解，将y=erx,y′=rerx,y″=r2erx代入方程中得 erx(r2+pr+q)=0.
一、二阶常系数齐次线性微分方程
定理6 如果y*是非齐次方程(12-20)的一个特解，而Y是其对应齐 次方程的通解，则y=Y+y*是非齐次方程(12-20)的通解.
证 因y*是非齐次方程(12-20)的一个特解，所以 y*″+py*′+qy*=f(x).又因Y是其对应齐次方程的通解，所以 Y″+pY′+qY=0.于是，对y=y*+Y有
y″+py′+qy=(Y+y*)″+p(Y+y*)′+q(Y+y*) =Y″+pY′+qY+y*″+py*′+qy* =0+f(x)=f(x) 所以，y=Y+y是非齐次方程(12-20)的解.又因为Y中含有两个任意常数， 从而，y=Y+y中也含有两个任意常数，所以y=Y+y是非齐次方程(1220)的通解.
定理5
如果y1与y2是齐次方程y″+py′+qy=0的两个特解，而且y1/y2不等 于常数，则y=C1y1+C2y2是齐次方程的通解，其中C1,C2为任意常数.
10.6二阶常系数齐次线性微分方程
微积分
二阶常系数齐次微分方程
―、特征方程法
二阶常系数齐次线性方程解法
特征方程法
y" + py' + qy = 0
设y = /x,将其代入上方程，
(r2 + pr + q )erx = 0
得
故有 r °+ pr + q = 0
主 ・.・e’x 特征0方, 程
特征根 ％ =~P2 -4q, 2
微积分
例2求微分方程y" -2y -8y=0
解特征方程为
r2 一 2r 一 8 = (r 一 4)(r + 2) = 0
解得 “=4g=_2
故所求通解为
一 y = c1 e4 x + c 2 e
2x
经济数学
微积分
例 ， 3求方程y" + 2y + 5y = 0的通
解. 解 特征方程为r2 + 2r + 5 = 0 ,
3)有一对共轭复根(A< 0)
伊 特征根为 r = a + ip, r2 = a- ，
( 伊 ) y1 = e a+ )% y2 = e(a-ip x,
1
重新组合yi = 2顷1 + y 2) =e" * p,
_i
y2 =
(yi - y2) =e"sin p，
2i
(注：利用欧拉公式eliC = cosx + isinx.)
二阶常系数齐次线性微分 方
第6节二阶常系数齐次线性微分方程 第十章微分方程与差分方程
主讲 韩华
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。
一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C eC e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C eC xe λλ=+； ~3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+；证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++=212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=，令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dxλλλ'-=⇒=⇒=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----⎰⎰=+=+⎰⎰ (1)1）当12λλ≠且为实数时，由（1）式得原方程的通解为21212()121212[]x x x x c y e e C C e C e λλλλλλλ-=+=+-，其中1112c C λλ=-，12C C 和为任意常数。
4.6 二阶常系数齐次线性微分方程
r1
(二重根） 二重根）, 则通解为
r1,2 = α ± iβ ,
则通解为
③根据特征方程的两个根的不同形式,按照下列规则写 出微分方程的通解:
y=e
αx
( C1 cos β x + C2 sin β x ) .
3
例1 求解微分方程 解 特征方程为
y′′ + y′ − 6 y = 0.
例2 求解微分方程 y′′ + 4 y′ + 4 y 解 特征方程为
x
x x 容易验证 y1 =e 和 y2 = 2e
都是方程的解. 但函数
探索一下原因:
x
y = C1e + C2 2e ,
虽是该方程的解， 虽是该方程的解，却不是通解。 却不是通解。因为上面的函数中 虽形式上包含两个任意常数， 虽形式上包含两个任意常数，而由于
函数
ex
和
2e x 是成比例的, 因此它们的线性组合
即
y = ( C1 + C2 x ) er1x .
u′′ + ( 2r1 + p ) u′ + ( r12 + pr1 + q ) u = 0.
r12 + pr1 + q = 0, 且 2 r1 + p = 0,
因r 是特征方程的二重根，故 1 是特征方程的二重根，
㈢ p − 4q < 0. 特征方程有一对共轭复根 特征方程有一对共轭复根 r 1 , r2 ,
αx
( cos β x + i sin β x ) , ( cos β x − i sin β x ) .
y = eα x ( C1 cos β x + C2 sin β x ) .
二阶常系数线性齐次微分方程
二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程，又称二阶次线性常系统，是数学分析和积分变换中重要的问题，在系统控制、信号处理和信号检测中也得到广泛应用。
一. 二阶常系数线性齐次微分方程的概念1、定义：二阶常系数线性齐次微分方程是指有形式U′′ + pU′ + qU = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，其中，p和q为常数，U是未知函数。
2、求解：若对未知函数U，有形如U′′ + pU′ + qU = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，则求解之所有实根解形式有：U（t）＝C1eλ1t＋C2eλ2t，其中，C1，C2为常数，λ1，λ2为方程的根，则得到方程：λ2＋pλ＋q＝0。
二. 二阶常系数线性齐次微分方程的特点1、齐次：二阶常系数线性齐次微分方程是等号右边完全为零的一次方程的特殊形式，其解实际上也就是方程的根，二阶齐次方程的解可以通过求根公式求出。
2、常系数：二阶常系数线性齐次微分方程所有项都是常系数，不会改变，所以可以用公式进行解法简化，使用求根公式求出二阶常系数线性齐次微分方程的实根解，比一般的常系数线性非齐次微分方程的解法要简单得多；3、线性：二阶常系数线性齐次微分方程里面的未知函数和其倒数的次数有明确的关系，所以它是线性的；4、微分：二阶常系数线性齐次微分方程里面的未知函数不仅要满足一次微分方程，而且要满足特定的二次微分方程；三. 二阶常系数线性齐次微分方程的应用1、系统控制：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来描述内外环回路的联系，可以用来优化被控系统的输出；2、信号处理：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来对信号进行插值、滤波、离散傅里叶变换等处理；3、信号检测：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来检测周期性变化或者噪声等不平凡现象，从而处理信号。
四. 二阶常系数线性齐次微分方程的扩展1、非齐次：不论是一阶常系数线性非齐次微分方程还是二阶非齐次微分方程，都可以通过常系数变换将其转化为齐次方程；2、常数变量：在适当的条件下，可以将二阶常系数线性齐次微分方程中的未知函数转化成一、二阶常数变量方程组；3、转化：二阶常系数线性齐次微分方程可以用Laplace变换、线性变换和积分变换等转化手段将其转化为容易求解的形式；4、衍生：可以从二阶常系数线性齐次微分方程发展出求解波。
二阶常系数齐次线性微分方程
第七章常微分方程7.10 二阶常系数齐次线性微分方程数学与统计学院赵小艳1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法1 二阶常系数齐次线性微分方程的形式 )(1)1(1)(t F x a x a x a x n n n n =++++-- n 阶常系数线性微分方程的标准形式21=++x a x a x 二阶常系数齐次线性方程的标准形式.,,,,121均为实常数其中n n a a a a - )1()()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- ,2211x C x C x +=则其通解为,,21解是其线性无关的两个特若x x .,21为任意常数其中C C 解的结构1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法,t e x λ=设则 ()0212=++t e a a λλλ得 0212=++a a λλ特征方程 ,2422111a a a -+-=λ,11t e x λ=,22t e x λ=且它们线性无关，通解为 .,)(212121为任意常数其中C C e C e C t x tt ,λλ+=特征根为: ,2422112a a a ---=λ情形1 有两个不相等的实根 )0(>∆,021=++x a x a x 对于对应特解 ,,21解是其线性无关的两个特若x x ,2211x C x C x +=则其通解为.,21为任意常数其中C C 待定系数法2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法,11t e x λ=,2121a -==λλ情形2 有两个相等的实根 )0(=∆故一特解为 ,,,222代入原方程并化简得将x x x ()(),022112111=+++'++''u a a u a u λλλ,)(12t e t u x λ=设另一特解为特征根为 2121,)()('1112t t e t u e t u x λλλ+= ,)()('2)("1112112tt t e t u e t u e t u x λλλλλ++=,11t e x λ=情形2 有两个相等的实根 )0(=∆故一特解为 通解为 (),te t C C t x 121)(λ+=,,,222代入原方程并化简得将x x x ()(),022112111=+++'++''u a a u a u λλλ,0=''u 得(),t t u =取,12t te x λ=则特征根为 2121(),21C t C t u +=,)(12t e t u x λ=设另一特解为0=0=.,21为任意常数其中C C ,2121a -==λλ,1βαλi +=,2βαλi -=,)(1t i e x βα+=t i e x )(2βα-=情形3 有一对共轭复根 )0(<∆由解的性质 ()21121x x x +=,cos t e t βα=()21221x x ix -=.sin t e t βα=通解为 (),sin cos 21t βC t βC e x t α+=特征根为 2121对应特解为 t e i t e t t ββααsin cos -=.,21为任意常数其中C C .,21线性无关且x x.044的通解求方程=++x x x解 特征方程为 ,0442=++λλ,221-==⇒λλ故所求通解为 ().221te t C C x -+=例1 解 特征方程为 ,0522=++λλ,2121i ±-=⇒，λ故所求通解为 ().2sin 2cos 21x C x C e y x +=-.052的通解求方程=+'+''y y y 例2 021=++x a x a x 0212=++a a λλ特征方程为,)1(21时λλ≠;)(2121t t e C e C t x λλ+=通解为,)2(21时λλλ==;)()(21te t C C t x λ+=通解为,)3(2,1时βαλi ±=().sin cos )(21t βC t βC e t x t α+=通解为()().00,2004422的解满足初始条件求='==++y y y x y x y d d d d 解 特征方程为 ,01442=++λλ.212,1-=⇒λ故所求通解为 x e x C C y 2121)(-+=例3 ()()得由00,20='=y y ,21=C .12=C 为方程满足初始条件的解.22121x x xe e y --+=021=++x a x a x 0212=++a a λλ特征方程为,)1(21时λλ≠;)(2121t t e C e C t x λλ+=通解为,)2(21时λλλ==;)()(21te t C C t x λ+=通解为,)3(2,1时βαλi ±=().sin cos )(21t βC t βC e t x t α+=通解为1 2 二阶常系数齐次线性微分方程的形式1主要内容二阶常系数齐次线性微分方程的解法3高阶常系数齐次线性微分方程的解法01)1(1)(=+'+++--x a x a xa x n n n n 特征方程为 0111=++++--n n n n a a a λλλ 特征方程的根 相对应的线性无关的特解 重根是若k λt k t t et te e λλλ1,,,- 重是若共轭复根k i βα±.sin ,,sin ,sin ,cos ,,cos ,cos 11t βe t t βte t βe t βe tt βte t βe t αk t αt αt αk t αt α-- 注意： n次代数方程有n 个根, 而特征方程的每个根都对应着一个特解. 3 高阶常系数齐次线性微分方程的解法.2211n n x C x C x C x +++= 通解为特征根为.2,1321-===λλλ故所求通解为 ()t e t C C x 21+=解 ,0233=+-λλ特征方程为 ()(),0212=+-λλ().0233的通解求方程=+-x x x 例4 特征根为 .,,154321i i -====-=λλλλλ故所求通解为 ()()t.t C C t t C C sin cos 5432++++解 ,01222345=+++++λλλλλ特征方程为 ()(),01122=++λλ()()().022345的通解求方程=+++++x x x x x x 例5 .e C t 23-+t e C x -=1。
二阶常系数齐次线性微分方程解读
t
于是所求初值问题的解为
例3 求微分方程 y 2 y 5 y 0的通解.
2 解： 所给方程的特征方程为 r 2r 5 0
其根为 r1,2 1 2i , 故所求通解为
y e (C1 cos2 x C2 sin2 x )
x
习题6-5 (p358) 全部做于书上, 1(5), 2(5)交作业.
2
设r1, r2是特征方程的两个根. 2 (1) 当 p 4 q 0 时, 方程有两个相异实根 则微分方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 y C1 e
2பைடு நூலகம்
r1 x
C2 e
r2 x
(2) 当 p 4 q 0 时, 特征方程有两相等实根
则微分方程有一个特解
设另一特解为
例2 求解初值问题
d s ds 2 s0 2 dt dt
2
s t 0 4 ,
ds 2 dt t 0
解: 特征方程 r 2 r 1 0 , 特征根为 r1 r2 1 , 因此原方程的通解为
2
s (C1 C2 t ) e 由初始条件得 C1 4, C 2 2
(3) 根据特征方程根的不同情况, 写出微分方 程的通解. 特征根 通 解 实根
y C1e
r1 x
C 2e
r2 x
r1 x
y ( C1 C 2 x ) e x y e (C1 cos x C2 sin x )
例1 求微分方程y2y3y0的通解
解: 微分方程的特征方程为 r22r30 即(r1)(r3)0 特征方程有两个不等的实根r11 r23 因此微分方程的通解为yC1exC2e3x
大学数学_6_6 二阶常系数齐次线性微分方程
当系数 P( x), Q( x) 分别为常数 p , q 时，方程 y py qy 0 （3） 称为二阶常系数齐次线性微分方程. 类似的，方程 y py qy f ( x) ( f ( x) 0) （4） 称为二阶常系数非齐次线性微分方程. 为了求解二阶常系数齐次线性微分方程， 我们先对二 阶齐次线性微分方程解的性质和通解结构作一些讨论.
1 x
1 x
1 x
所以 y2 e 2 x , y3 e1 x 也是原微分方程的解.
由定理 1 可得，C1 y1 C2 y2 （C1 , C2 是任意常数）是原 方程的解.又因两个任意常数C1 , C2 不可能合并为一个任意 常 数 ， 而 所 给 方 程 是 二 阶 的 ， 因 此 C1 y1 C2 y2 是 y y 2 y 0 的通解. 而 C1 y1 C3 y3 e x (C1 C3e) Cy1 ( 其中C C1 C3e) 实 质上只含有一个任意常数 , 故C1 y1 C3 y3 是原微分方程的 解，但不是原微分方程的通解. y1 e x 由例 1 可见， 2 x e 3 x 常数 （称 y1 e x , y2 e 2 x y2 e 是线性无关的） ，所以 C1 y1 C2 y2 是 y y 2 y 0 的通解. y3 e1 x 而 x e 常数（称 y1 e x , y3 e1 x 是线性相关的） ， y1 e 这就使得 C1 y1 C3 y3 中的常数可以合并成一个常数，从而 它不能构成原方程的通解.
ds 满足初始条件 s t 0 1, t 0 3 的特解. dt 2 2 解 特征方程 4r 4r 1 0 ，即 2r 1 0 , 1 特征根为 r1 r2 ，因此，所给方程的通解为 2
二阶常系数齐次线性微分方程
因r 是特征方程(2)的二重根 故 1 是特征方程( )的二重根,
r + pr + q = 0, 且 2r + p = 0, 1 1
2 1
′ 于是有 u′ = 0. 故取
即得方程( ) u = x, 即得方程(1)的另一根 rx y2 = xe .
1
从而得到方程( ) 从而得到方程(1)的通解为
y = ( C1 + C2 x) e .
y = (C1 + C 2 x )e 2 x . 故所求通解为
内容小结
y′′ + p y′ + q y = 0 ( p, q 为 数) 常 特征根: 特征根 r1 , r2
(1) 当 r1 ≠ r2 时, 通解为 y = C1 e
r1 x
+ C2 e
r2 x
(2) 当 r1 = r2 时, 通解为 y = (C1 + C 2 x ) e (3) 当 r1,2 = α ± β i 时, 通解为
y = C1 y1 + C2 y2
也是方程( )的解. 也是方程(1)的解
是方程( )的解, 证 因 y1, y2 是方程(1)的解 即有 及 从而
′′ ′ y1 + py1 + qy1 = 0,
′′ ′ y2 + py2 + qy2 = 0,
( C1 y1 + C2 y2 )′′ + p( C1 y1 + C2 y2 )′ + q( C1 y1 + C2 y2 )
为此令 y2 = u( x) er1x , 对 y2 求导得
( u′′ + 2ru′ + r2u) + p( u′ + ru) + qu = 0, e 1 1 1 即 u′′ + ( 2r + p) u′ + ( r2 + pr + q) u = 0. 1 1 1
高等数学-十九 二阶线性常系数齐次微分方程
y1 y2
若 y 1 , y 2 不是线性无关 即
常数
y1 y2
k
(常数)
yC1y1C2y2 C1ky2C2y2 (C1kC2)y2 C y 2
这样 yC1y1C2y2 只含有一个任意常数,
就不是方程(1)的通解。
定理3 若 y 是二阶线性非齐次方程(2)的特解,
y 是方程(2)所对应的齐次方程的通解，则
是该方程的两个解，
因为
y1 ex y 2 xex
1 x
即 y 1 , y 2 线性无关,根据定理2知，
yc1ex c2xex 是该方程的通解。
例2 验证
yx3ex 是 y2yy2xex 3
的一个特解.并根据例1的结果求其通解.
验证 y 1 (3x2ex x3ex) ex (x2 1 x3)
ex(cosxisinx)
y1
1 2
( y1
y2 )
1[ex(cosxisinx)]
2
ex(cosxisinx)]ex cosx
y2
1 2i
(
y1
y2 )
1[ex(cosxisinx)]
2i
1ex(cosxisinx)] ex sinx
2i
y c 1 e xc o sx c 2 e xsinx
1 2
b 2a
(2a1b0) y1 e1x
还要找一 个与 y 1 线性无关的另一 个解 y 2
设
y2 y1
u(x)
y 2 u(x) y1 u(x)e1x
y 2 u(x)e1xu(x)1e1xe1x[u(x)u(x)1]
y 2 1e1x[u(x)u(x)1]e1x[u(x)1u(x)]
二阶常系数线性齐次微分方程
称一元二次方程(5)为二阶常系数线性齐次微分方程
(3)的特征方程.
特征方程(5)的根为 r1, 2
p p 4q . 2
2
2
(1) p 2 4q 0, r1与r2 是两不相等的实根 p p 4q p p 4q r1 , r2 ， 2 2
2
rx rx y e 与 y e 都是方程(3)的解，且 于是 1 2
例1 对于二阶常系数线性齐次微分方程
y'' 2 y' y 0,
容易验证： y1 ( x) e x , y2 ( x) 2e x 都是它的解. 由定理11.1 知
y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)
C1e x 2C 2 e x (C1 2C 2 )e x Ce x
对y1 ( x) e x 及y 2 ( x) e 2 x 分别求导，得 y'1 ( x) e x , y''1 ( x) e x 及 y' 2 ( x) 2e 2 x , y'' 2 ( x) 4e 2 x，
把它们分别代入所给方程左端，得 e x e x 2e x 0, 4e 2 x 2e 2 x 2e 2 x 0，
成立，则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线性相关，
否则称y1(x) 与y2(x) 线性无关. 例如，例1中 y1 ( x) e x与y2 ( x) 2e x是线性相关的， 是线性无关的 y3 ( x) xe .x与y1 ( x) e x
定理6.2 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐 次微分方程(3)的两个线性无关的特解，则
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程在微积分的学习中，我们经常接触到二阶常系数齐次线性微分方程，那么什么是二阶常系数齐次线性微分方程呢？简单来说，二阶常系数齐次线性微分方程是指形如$y''+ay'+by=0$ 的微分方程，其中 $a$ 和 $b$ 都是常数，齐次指方程右边恒等于 $0$。
从这个微分方程的形式中我们可以看出，它是一个二阶微分方程，即方程中含有 $y''$ 这一项，同时它是一个常系数微分方程，因为$a$ 和$b$ 都是常数，不会随着自变量的变化而改变。
而且，由于 $y''+ay'+by=0$，方程右边恒等于 $0$，可以说是一次条件齐次线性微分方程。
那么为什么我们要学习二阶常系数齐次线性微分方程呢？这是因为它们在物理、工程、自然科学和社会科学等领域中都具有非常广泛的应用。
例如，在物理学中，可以用二阶常系数齐次线性微分方程来描述运动学问题、振动问题和电磁学问题等；在经济、生态和环境科学等领域中，也会出现这样的微分方程。
不过，对于二阶常系数齐次线性微分方程，我们不仅需要掌握它的基本概念和性质，还需要学习如何解这类微分方程。
对于 $y''+ay'+by=0$ 这样的常系数齐次线性微分方程，我们可以通过求解其特征方程 $\lambda^2+a\lambda+b=0$ 来确定其通解的形式。
关于特征方程，它的形式为$r^2+ar+b=0$，其中$r$ 是特征根，$\lambda$ 是 $r$ 的一种更广泛的表示形式，在解这类微分方程的时候常常用到。
特征方程的根决定了通解的形式，当特征方程的两个根不相等时，通解可以表示为 $y=c_1 e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2 x}$ 的形式；当特征方程仅有一个根时，通解可以表示为 $y=(c_1+c_2 x)e^{\lambda x}$ 的形式；当特征方程的两个根为实数且相等时，通解可以表示为 $y=(c_1+c_2 x)e^{\lambdax}$ 的形式；当特征方程的两个根为纯虚数时，通解可以表示为$y=e^{\alpha x}(c_1 \cos{\beta x}+c_2 \sin{\beta x})$ 的形式。
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例1：求下列微分方程的通解
(1) y '' 4 y ' 0; (2) y '' 4 y ' 4 y 0; (3) y '' 4 y '13y 0
二、n阶常系数齐次线性方程解法
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y 0 特征方程为 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
y '' py ' qy 0求解步骤：
(1)写出特征方程r2 pr q 0；
(2)求出特征方程的根r1, r2; (3)根据特征方程的根r1, r2的情况写出原方程的通解
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
作业：
12 8(第310页)： 1.(1)(3)(5)(7)(9)(10); 2.(2)(3)(6)
§12－8 常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程的解 高阶常系数齐次线性微分方程的解
一、二阶常系数齐次线性微分方程
y '' p(x) y ' q(x) y 0 -----二阶变系数齐次线性微分方程
y '' py ' qy 0 -----二阶常系数齐次线性微分方程
如何求二阶常系数齐次线性微分方程的解？
特征方程的根 若是k重根r
通解中的对应项
(C0 C1 x Ck1 xk1 )er1)cosx (D0 D1x Dk1xk1 )sinx]ex
例2：求下列微分方程的通解
(1) y(5) y(4) 0; (2) y(4) 2 y ''' 5 y '' 0; (3) y(4) 2 y '' y 0