2020学科竞赛网强基计划模拟数学试题全解全析
XXX2020年强基计划数学试题及详细解析
XXX2020年强基计划数学试题及详细解析XXX2020年强基计划数学试题解析1.已知实数$x,y$满足$x^2+y^2\leq1$，则$x^2+xy-y^2$的最大值为()A.1B.答案B.解析1：由AM-GM不等式，得x^2-y^2+\frac{1}{2}(x^2+2xy+y^2)\leq x^2-y^2+\frac{1}{2}(x^2+2xy+y^2)+\frac{1}{2}(x^2-2xy+y^2)=(x+y)^2\leq1$$上式当$x=\frac{1}{\sqrt{10}}-\frac{4}{\sqrt{10}}y$时取等号。
即原式的最大值为$\frac{1}{2}$。
解析2：设$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$，其中$r\leq1,\theta\in R$，则x^2+xy-y^2=r\cos^2\theta+\sin\theta\cos\theta-r\sin^2\theta=\frac{1}{2}(r\cos2\theta+\sin2\theta)\leq\frac{1}{2} $$上式当$r=1,\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{10}},\sin\theta=\frac{5}{2\sqrt{10 }}$时取等号。
即原式的最大值为$\frac{1}{2}$。
2.设$a,b,c$为正实数，若一元二次方程$ax^2+bx+c$有实根，则()A。
max$\{a,b,c\}\geq(a+b+c)$B。
max$\{a,b,c\}\geq\frac{4}{9}(a+b+c)$C。
max$\{a,b,c\}\leq(a+b+c)$D。
max$\{a,b,c\}\leq\frac{4}{9}(a+b+c)$答案BCD.解析：依题意，有$b^2\geq4ac$。
由齐次性不妨设$a+b+c=1$。
①首先证明：max$\{a,b,c\}\leq(a+b+c)$。
2020届高考强基3套卷 全国卷(二)文数 答案
则 f (x) 1 1 ………………………………………………2 分 x
令 f (x) 0 ，得 x 1 .
当 x (0，1) 时， f '(x) 0 ， f ( x) 单调递增；
当 x (1， ∞) 时， f (x) 0 ， f ( x) 单调递减..…………..4 分
f (x)max f (1) 0 ..………………………………….…….5 分
又 AC1 AC A ，BC 平面 A1ACC1 ， BC 平面 ABC ，平面 A1ACC1 平面 ABC ..………6 分
（2）过 A1 作 A1D AC ，交 AC 于点 D，
可得 A1D AA1·sin A1AC 2 3 .
S菱形ACC1A1 AC·A1D 8 3 ，
则 S△ AA1C1 12 S菱形ACC1A1 4 3 ..…………………………..…8 分
x 3y 4 0
图中阴影部分(含边界).令 z x y ，则 y x z .作出直线 l0 ：y x ，并平移该直线.由图可知，当直线 y x z 经过点 M 时，其在 y 轴上的截距最小，
此时 z x y 取得最大值.
由
3x 2x
y y
2 2
0 0
，得
x
y
0 2
14.【答案】 n
【解析】
Sn 2 2n 1
1
n
，
Sn
(n
1)·2n1
2
.当 n 2
时， Sn1 (n 2)·2n 2，两式相减，得 anbn n·2n ，bn n ； 当 n 1 时， a1b1 2 ， b1 1.综上所述， bn n . 15.【答案】 e2
【解析】设曲线 f (x) aex 在点 (x0 ，aex0 ) 处的切线为直线 y x 3 .由题意，得 f (x) aex ， f (x0 ) aex0 ，则曲线 f ( x) 在点 (x0 ，aex0 ) 处的切线方程为 y aex0 aex0 (x x0 ) . 曲线 f ( x) 在点 (x0 ，aex0 ) 处的切线为直线 y x 3 ，aex0 1 ， y 1 1 (x x0) ，即 y x x0 1 ，x0 1 3 ，解得 x0 2 . aex0 ae2 1 ，解得 a e2 .
2020届高考强基3套卷山东卷(二)数学试题(2020.4) Word版含解析
2020届高考强基3套卷山东卷数学(二)[满分: 150 分]一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|30},M x x x =∈-<Z 则满足条件M ∪N={1,2,3,4}的集合N 的个数是() A.2B.3C.4D.162.已知复数z 满足(2+i)z=1-i,则z z ⋅=()2.5A -2.5B2.5C i2.5D i -3.若l,m 是平面α外的两条直线，且l//α,则m//l 是m// α的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知a>b>0,且a+b=1, 1111(),log (),log ,b a b x y z aa b a==+=则x,y,z 的大小关系是()A. x>z> yB.x>y>zC.z>y>xD. z>x> y5.函数2(2cos )()1xx x e f x e +=+ (其中e=2.718...为自然对数的底数)的部分图象大致为()6.已知62(1)(1)()a x a x++∈R 展开式的各项系数之和为128,则展开式中3x 的系数为() A.30B.33C.26D.297.某师范院校为响应国家教育脱贫攻坚号召，决定每年安排5名师范生到某贫困县的3所学校进行支教.要求每所学校至少安排1名师范生，且1名师范生只去一所学校，则不同的安排方法有()A.90种B.120种C.150种D.180种8.已知双曲线C 2222:1(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A,O 为坐标原点，A 为OM 的中点，若以AM 为直径的圆与C 的渐近线相切，则双曲线C 的离心率等于()32.A23.B.3C.2D二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知函数31log (2),2()3,2x x x f x x -->⎧=⎨≤⎩() A. f(5)=1B. f(f(5))=1C. f(3)=93.((3))log 7D f f =10.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值( 单位:℃ )数据，绘制如下折线图:那么，下列叙述正确的是()A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B.全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C.全年中各月最低气温平均值不高于10°C 的月份有5个D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势 11.若函数f(x)24sin sin ()cos 21(0)24x x x ωπωωω=⋅++->在3[,]24ππ-上是增函数，则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B. f(x)的最小正周期2Tπω=C. ω的最大值为23D.ω没有最小值12.在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,PA ⊥底面ABCD ，PA=AB ，截面BDE 与直线PC 平行，与PA 交于点E ，则下列判断正确的是A. E 为PA 的中点B.PB 与CD 所成的角为3π C.BD ⊥平面PACD.三棱锥C- BDE 与四棱锥P- ABCD 的体积之比等于1:4三、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分.13.若函数3()1f x x x =++的图象与直线y=a+x 相切,则a 的值为____. 14.已知实数a,b 满足a> 2b>0，且22,2a b a b +=-则223a bz a b+=+的最大值是____.15.已知圆2222:()()(,0)C x a y a r a r -+-=∈>R 与直线14y =-相切，则圆C 所过的定点为____.16.已知函数321ln (),()3x f x x ex ax g x x =-+=对于任意的11[,],2x e ∈存在21[,],2x e ∈使12()(),f x g x '≤则实数a 的取值范围为_____;若不等式31()()6f x x xg x +<有且仅有一个整数解,则实数a 的取值范围为_____(本题第一空2分,第二空3分)四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 若101211,2.1210S S a =-= (1)求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S (2)记21,n n b a =数列{}n b 的前n 项和为,n T 求证:5.4n T <18. ( 12分)在△ABC 中，a,b,c 分别为角A, B, C 的对边，且2()cos()cos sin sin cos C B C B A C B +-=-. ( 1)求A;(2)若a=3,求b+ 2c 的最大值.19. ( 12分)如图,在直角梯形ABCD 中, AB //CD,∠DAB 190,12AD DC AB ︒====.直角梯形ABEF 是直角梯形ABCD 以直线AB 为轴旋转得到的，且平面ABEF ⊥平面ABCD.(1)求证:EC//平面ADF;(2 )已知点M 在线段EC 上，若三棱锥M - ABC 的体积为1,6求二面角M-AB-C 的大小.20.(12分)某市教育科学研究院为了对今后所出试题的难度有更好的把握,提高命题质量,对该市高三联考理综试卷的得分情况进行了调研.从全市参加考试的考生中随机抽取了100名考生的理综成绩(满分300分)，将数据分成7组: [160, 180) ,[180, 200) ,[200 ,220) ,[220 ,240) ,[240 ,260)， [260，280) ,[280，300]，并整理得到如图所示的频率分布直方图.(1 )根据频率分布直方图,求直方图中x 的值;(2 )用频率估计概率，从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取3个,记理综成绩位于区间[220，260)内的个数为y,求y 的分布列及数学期望E(y) ;(3)若变量S 满足P(μ-σ<S≤μ+σ)≈0.6827,且P(μ-2σ<S≤μ+ 2σ)≈0.9545，则称S 近似服从正态分布2(,)N μσ.若该市高三考生的理综成绩近似服从正态分布N(225, 225)， 则给予这套试卷好评,否则差评.试问:这套试卷得到好评还是差评?21.(12分)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F,过F 且斜率为43的直线l 与抛物线C 交于A,B 两点,点B 的横坐标为4,且点B 在x 轴上方.( 1)求抛物线C 的方程；(2)设P 是抛物线C 上不同于A,B 的点，直线PA 与PB 分别交抛物线C 的准线l '于E,G 两点，x 轴与准线l '的交点为H,求PHE PHG S S ⋅V V 的最小值.22.(12分)已知函数(1)()ln (0).1a x f x x a x -=->+ (1)求函数f(x)的单调区间; ( 2)求证:1111ln(1).35721n n +>+++++L。
2020年清华大学强基计划数学试题及其详解
２０２０年清华大学强基计划数学试题及其详解甘志国(北京丰台二中㊀１０００７１)摘㊀要:２０２０年清华大学强基计划数学试题共２０道不定项选择题ꎬ该试题较其他２０２０年重点大学强基计划的数学试题难度都要大.本文给出该试题(回忆版)的详细解答ꎬ对准备参加重点大学强基计划考试的读者仍有重要参考作用.关键词:清华大学强基计划ꎻ数学试题ꎻ不定项选择题ꎻ详细解答中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００６３－０７收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:甘志国(１９７１－)ꎬ男ꎬ湖北省竹溪人ꎬ硕士ꎬ中学正高级教师ꎬ特级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:北京市教育学会 十三五 教育科研滚动立项课题 数学文化与高考研究 (课题编号:ＦＴ２０１７ＧＤ００３)㊀㊀全卷共２０道不定项选择题.以下试题是回忆版ꎬ但对准备参加重点大学强基计划考试的读者仍有重要参考作用.该试题较其他２０２０年重点大学强基计划的数学试题难度都要大.针对下面的试题题号按难度渐升的顺序叙述如下:第８题是简易逻辑问题ꎻ第１６题是立体几何中的空间角问题ꎻ第１题是求二元函数的最值ꎻ第１７题考查函数的奇偶性ꎻ第５ꎬ７题是平面解析几何问题(后者是双曲线与三角函数的综合)ꎻ第１５题是反三角函数问题ꎻ第２题是平面几何问题ꎻ第９题是平面向量问题ꎻ第１３题是空间向量问题ꎻ第１２题是求期望(但涉及无穷递缩等比数列各项的和)ꎻ第１８题涉及定积分与导数ꎻ第１９题是关于数列前ｎ项和的新定义问题ꎻ第１０题是求极限(涉及反三角函数及不易想到的裂项法求数列前ｎ项和)ꎻ第３题是集合与排列组合的综合ꎻ第４题是递推数列问题ꎻ第６ꎬ１４题是初等数论中的整数性质问题ꎻ第１１题是概率与整数性质的综合问题(用枚举法求解时情况较多)ꎻ第２０题是定积分.㊀㊀一㊁试题呈现１.若ｘ２＋ｙ２ɤ１(ｘꎬｙɪＲ)ꎬ则ｘ２＋ｘｙ－ｙ２的取值范围是(㊀㊀).Ａ.－３２ꎬ３２[]㊀㊀㊀Ｂ.[－１ꎬ１]Ｃ.－５２ꎬ５２[]Ｄ.[－２ꎬ２]２.在非等边ΔＡＢＣ中ꎬＢＣ＝ＡＣꎬ点ＯꎬＰ分别是ΔＡＢＣ的外心与内心.若点Ｄ在边ＢＣ上且ＯＤʅＢＰꎬ则下列选项正确的是(㊀㊀).Ａ.ＢꎬＤꎬＯꎬＰ四点共圆㊀㊀㊀Ｂ.ＯＤʊＡＣＣ.ＯＤʊＡＢＤ.ＤＰʊＡＣ３.若ＡꎬＢꎬＣ⊆１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬ２０２０{}ꎬＡ⊆ＣꎬＢ⊆Ｃꎬ则有序集合组(ＡꎬＢꎬＣ)的组数是(㊀㊀).Ａ.２２０２０㊀Ｂ.３２０２０㊀㊀Ｃ.４２０２０㊀㊀Ｄ.５２０２０４.若ａ０＝０ꎬａｉ＋１＝ａｉ＋１(ｉɪＮ)ꎬ则ð２０ｋ＝１ａｋ的值可以是(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀Ｂ.２㊀㊀Ｃ.１０㊀㊀Ｄ.１２５.已知点Ａ(１ꎬ０)ꎬＢ(１ꎬ１).若Ｐ为椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１上的动点ꎬ则ＰＡ＋ＰＢ的最大值与最小值分别是(㊀㊀).㊀Ａ.４＋２ꎬ４－２㊀㊀Ｂ.４＋３ꎬ４－３Ｃ.４＋５ꎬ４－５Ｄ.４＋６ꎬ４－６６.若一个三角形的各边长均为整数且其面积为有理数ꎬ则该三角形某一边的长可以是(㊀㊀).Ａ.１㊀㊀Ｂ.２㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.４７.已知两点Ａ(－２ꎬ０)ꎬＢ(２ꎬ０)ꎬＰ为双曲线ｘ２４－ｙ２＝１上不是顶点的动点.若øＰＡＢ＝αꎬøＰＢＡ＝βꎬ则下列各式中为定值的是(㊀㊀).Ａ.ｔａｎαｔａｎβ㊀㊀㊀㊀Ｂ.ｔａｎα２ｔａｎβ２３６Ｃ.ＳәＰＡＢｔａｎ(α＋β)Ｄ.ＳәＰＡＢｃｏｔ(α＋β)８.甲㊁乙㊁丙三人做同一道题.甲说 我做错了 ꎬ乙说甲做对了 ꎬ丙说 我做错了 ꎬ老师说 有且仅有一人做对ꎬ有且仅有一人说错了 .若老师说的话一定正确ꎬ则(㊀㊀).Ａ.甲说的对㊀㊀Ｂ.乙说的对Ｃ.丙说的对Ｄ.甲㊁乙㊁丙说的均不对９.在ＲｔәＡＢＣ中ꎬøＡＢＣ＝９０ʎꎬＡＢ＝３ꎬＢＣ＝１ꎬＰＡңＰＡң＋ＰＢңＰＢң＋ＰＣңＰＣң＝０ꎬ则(㊀㊀).Ａ.øＡＰＢ＝１２０ʎＢ.øＢＰＣ＝１２０ʎＣ.２ＢＰ＝ＰＣ㊀㊀Ｄ.ＡＰ＝２ＰＣ１０.ｌｉｍｎң¥ðｎｋ＝１ａｒｃｔａｎ２ｋ２＝(㊀㊀).Ａ.３π４㊀㊀Ｂ.π㊀㊀Ｃ.３π２㊀㊀Ｄ.７π３１１.若从０ꎬ１ꎬ２ꎬ ꎬ９中选取５个两两互异的数字依次排成一个五位数(包括０在首位的五位数ꎬ其大小就是把０去掉后的四位数)ꎬ则它能被３９６整除的概率是(㊀㊀).㊀Ａ.１３９６㊀Ｂ.１３２４㊀㊀Ｃ.１３１５㊀㊀Ｄ.１２１０１２.已知Ｐ(Ｘ＝ｋ)＝１２ｋ(ｋ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ )ꎬ若Ｙ为Ｘ除以３所得的余数ꎬ则随机变量Ｙ的期望是(㊀㊀).Ａ.４７㊀Ｂ.８７㊀㊀Ｃ.１２７㊀㊀Ｄ.１６７１３.若空间向量ａꎬｂꎬｃ满足｜ａ｜ɤ１ꎬ｜ｂ｜ɤ１ꎬ｜ａ＋２ｂ＋ｃ｜＝｜ａ－２ｂ｜ꎬ则｜ｃ｜的最值为(㊀㊀).Ａ.最大值为４２Ｂ.最大值为２５Ｃ.最小值为０Ｄ.最小值为２１４.若ｘꎬｙɪＮ∗ꎬ则下列说法正确的是(㊀㊀).Ａ.ｘ２＋２ｙ与ｙ２＋２ｘ可以均为完全平方数Ｂ.ｘ２＋４ｙ与ｙ２＋４ｘ可以均为完全平方数Ｃ.ｘ２＋５ｙ与ｙ２＋５ｘ可以均为完全平方数Ｄ.ｘ２＋６ｙ与ｙ２＋６ｘ可以均为完全平方数１５.ｓｉｎａｒｃｔａｎ１＋ａｒｃｃｏｓ３１０＋ａｒｃｓｉｎ１５æèçöø÷＝(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀Ｂ.１２㊀㊀Ｃ.２２㊀㊀Ｄ.１１６.若某个正四棱锥的相邻两个侧面所成二面角的大小为αꎬ侧棱与底面所成线面角的大小为βꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｃｏｓα＋ｔａｎ２β＝１㊀㊀Ｂ.ｓｅｃα＋ｔａｎ２β＝－１Ｃ.ｃｏｓα＋２ｔａｎ２β＝１Ｄ.ｓｅｃα＋２ｔａｎ２β＝－１１７.函数ｆ(ｘ)＝２ｅｘｅｘ＋ｅ－ｘ＋ｓｉｎｘ(－２ɤｘɤ２)的最大值与最小值之和是(㊀㊀).Ａ.２㊀Ｂ.ｅ㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.４图１１８.已知ｙ＝ｆ(ｘ)是上凸函数ꎬｘ＝ｃ是其极大值点ꎬ函数ｙ＝ｆ(ｘ)的部分图象如图１所示.若函数ｙ＝ｆ(ｘ)的图象与直线ｘ＝ａꎬｘ＝ｔ(ａ<ｔ<ｂ)ꎬｙ＝０围成图形的面积为Ｓ(ｔ)ꎬ则当ｘɪ[ａꎬｂ]时ꎬ函数ｆᶄ(ｘ)ꎬＳᶄ(ｘ)的最大值分别是(㊀㊀).Ａ.ｆ(ｂ)ꎬｆᶄ(ａ)㊀Ｂ.ｆᶄ(ａ)ꎬｆ(ｂ)Ｃ.ｆ(ｃ)ꎬｆᶄ(ａ)㊀Ｄ.ｆᶄ(ａ)ꎬｆ(ｃ)１９.把数列ａｎ{}的前ｎ项和记作Ｓｎ.若∀ｎɪＮ∗ꎬ∃ｍɪＮ∗ꎬＳｎ＝ａｍꎬ则称数列ａｎ{}为 某数列 .以下选项中正确的是(㊀㊀).Ａ.若ａｎ＝１ꎬｎ＝１２ｎ－２ꎬｎȡ２{ꎬ则ａｎ{}为 某数列Ｂ.若ａｎ＝ｋ(ｋ为常数)ꎬ则ａｎ{}为 某数列 Ｃ.若ａｎ＝ｋｎ(ｋ为常数)ꎬ则ａｎ{}为 某数列Ｄ.对于任意的等差数列ａｎ{}ꎬ均存在两个 某数列ｂｎ{}ꎬｃｎ{}ꎬ使得ａｎ＝ｂｎ＋ｃｎ２０.ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝(㊀㊀).Ａ.π㊀Ｂ.２π㊀㊀Ｃ.２π㊀㊀Ｄ.５π㊀㊀二㊁试题解析１.Ｃ.可设ｘ＝ｒｃｏｓθꎬｙ＝ｒｓｉｎθ(０ɤθ<２πꎬ０ɤｒɤ１)ꎬ得ｘ２＋ｘｙ－ｙ２＝ｒ２１２ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θæèçöø÷.由辅助角公式ꎬ可得１２ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ的取值范围是－５２ꎬ５２[].再由０ɤｒɤ１ꎬ可得ｘ２＋ｘｙ－ｙ２的最大值与最图２小值分别是５２ꎬ－５２.２.ＡＤ.由题设ꎬ可得点ＯꎬＰ不重合.㊀如图２所示ꎬ可得点ＯꎬＰ在等腰әＡＢＣ底边上的高ＣＥ上(点Ｅ是边ＡＢ的中点).可设直线ＯＤꎬＢＰ交于点Ｒꎬ可得øＲ＝øＣＥＢ＝９０ʎꎬ所以ＯꎬＲꎬＥꎬＢ四点共圆.４６再由题设 点Ｐ是әＡＢＣ的内心 ꎬ可得øＣＢＰ＝øＲＢＥ＝øＲＯＰꎬ所以ＢꎬＤꎬＯꎬＰ四点共圆ꎬ得选项Ａ正确.㊀由ＢꎬＤꎬＯꎬＰ四点共圆ꎬ可得øＢＤＰ＝øＢＯＰ.由题设 点Ｏ是әＡＢＣ的外心 ꎬ可得øＢＯＰ＝２øＢＣＯ＝øＢＣＡꎬ所以øＢＤＰ＝øＢＣＡ.所以ＤＰʊＡＣꎬ得选项Ｄ正确ꎬ选项Ｂ错误.若ＯＤʊＡＢꎬ由ＣＥʅＡＢꎬ可得ＣＥʅＯＤ.又由ＰＢʅＯＤꎬ可得ＰＢʊＣＥ.而直线ＰＢꎬＣＥ交于点Ｐꎬ所以选项Ｃ错误.３.解法１㊀Ｄ.若集合Ｃ已确定ꎬ由Ａ⊆Ｃ可得集合Ａ有２Ｃ种可能(其中Ｃ表示集合Ｃ的元素个数)ꎻ同理ꎬ由Ｂ⊆Ｃ可得集合Ｂ有２Ｃ种可能.所以有序集合组(ＡꎬＢ)的组数是２Ｃ２Ｃ＝４Ｃ.所以有序集合组(ＡꎬＢꎬＣ)的组数是ð２０２０Ｃ＝０(ＣＣ２０２０４Ｃ)＝(１＋４)２０２０＝５２０２０.图３解法２㊀Ｄ.如图３所示ꎬ其中Ｕ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬ２０２０{}ꎬ可得元素１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬ２０２０均有５种填法:∁ＵＣꎬ∁Ｕ(ＡɣＢ)ꎬ∁Ａ(ＡɘＢ)ꎬＡɘＢꎬ∁Ｂ(ＡɘＢ).由分步乘法计数原理ꎬ可得所求答案是５２０２０.４.ＢＣ.先用数学归纳法证明ａ２ｋꎬａ２ｋ＋１(ｋɪＮ)分别是偶数㊁奇数.当ｋ＝０时成立ꎬａ０＝０ꎬａ１＝ʃ１.假设ｋ＝ｎ时成立ꎬ即ａ２ｎꎬａ２ｎ＋１分别是偶数㊁奇数.可得ａ２ｎ＋２＝ａ２ｎ＋１＋１ꎬ所以ａ２ｎ＋２是偶数ꎻ再由ａ２ｎ＋３＝ａ２ｎ＋２＋１ꎬ可得ａ２ｎ＋３是奇数.所以ｋ＝ｎ＋１时也成立.所以欲证结论成立.由题设ꎬ得ａ２ｋ＝ａ２ｋ－１＋１或ａ２ｋ＝－ａ２ｋ－１－１(ｋɪＮ∗)ꎬ所以ａ２ｋ－１＋ａ２ｋ＝２ａ２ｋ－１＋１或ａ２ｋ－１＋ａ２ｋ＝－１(ｋɪＮ∗).可设ａ２ｋ－１＝２ｍ－１(ｍɪＺ)ꎬ当ａ２ｋ－１＋ａ２ｋ＝２ａ２ｋ－１＋１时ꎬ可得ａ２ｋ－１＋ａ２ｋ＝４ｍ－１.所以总有ａ２ｋ－１＋ａ２ｋʉ－１(ｍｏｄ４).因而ð２０ｋ＝１ａｋʉ２(ｍｏｄ４)ꎬ进而可排除选项ＡＤ.当(ａ０ꎬａ１ꎬａ２ꎬ ꎬａ２０)＝(０ꎬ－１ꎬ０ꎬ－１ꎬ０ꎬ１ꎬ－２ꎬ１ꎬ－２ꎬ１ꎬ－２ꎬ１ꎬ－２ꎬ１ꎬ２ꎬ３ꎬ－４ꎬ３ꎬ－４ꎬ３ꎬ４)时ꎬ满足题设ꎬ且此时ð２０ｋ＝１ａｋ＝２ꎬ所以选项Ｂ正确.当ａ０＝ａ２＝ａ４＝ ＝ａ２０＝０ꎬａ１＝ａ３＝ａ５＝ ＝ａ１９＝－１时ꎬ满足题设ꎬ且此时ð２０ｋ＝１ａｋ＝１０ꎬ所以选项Ｃ正确.５.Ｃ.由题意ꎬ得椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１的左㊁右焦点分别为Ａᶄ(－１ꎬ０)ꎬＡ(１ꎬ０).由椭圆定义ꎬ得ＰＡ＋ＰＢ＝４＋(ＰＢ－ＰＡᶄ)ꎬＰＢ－ＰＡᶄɤＡᶄＢ＝(１＋１)２＋(１－０)２＝５.所以ＰＡ＋ＰＢ的最大值与最小值分别是４＋５ꎬ４－５.㊀６.ＣＤ.因为三边长分别是３ꎬ４ꎬ５的三角形的面积６是有理数ꎬ所以选项Ｄ正确.若满足题设的三角形的某一边长可以是１ꎬ则可设其另外边长分别是ｂꎬｃ(１ɤｂɤｃꎻｂꎬｃɪＮ∗).由 三角形两边之和大于第三边 ꎬ可得１＋ｂ>ｃꎬ即１＋ｂȡｃ＋１ꎬ所以ｂȡｃꎬ所以ｂ＝ｃ.可得该三角形的面积１２１ｂ２－１４＝４ｂ２－１４ꎬ因而设４ｂ２－１＝(２ｎ－１)２(ｂꎬｎɪＮ∗)ꎬ得２(ｂ２－ｎ２＋ｎ)＝１(ｂꎬｎɪＮ∗)ꎬ这不可能!所以选项Ａ错误.若满足题设的三角形的某一边长可以是２ꎬ则可设其另外边长分别是ｂꎬｃ(２ɤｂɤｃꎻｂꎬｃɪＮ∗).由 三角形两边之和大于第三边 ꎬ可得２＋ｂ>ｃꎬ即２＋ｂȡｃ＋１ꎬ所以ｂȡｃ－１.所以ｂ＝ｃ－１或ｃ.若ｂ＝ｃ－１ꎬ由海伦公式ꎬ可得该三角形的面积是１４３[４ｂ(ｂ＋１)－３]ꎬ因而设４ｂ(ｂ＋１)－３＝３(２ｎ－１)２(ｂꎬｎɪＮ∗)ꎬ得２[ｂ(ｂ＋１)－３ｎ２＋３ｎ－１]＝１(ｂꎬｎɪＮ∗)ꎬ这不可能!若ｂ＝ｃꎬ可得该三角形的面积１２２ ｂ２－１＝ｂ２－１(ｂȡ２).由(ｂ－１)２<ｂ２－１<ｂ２ꎬ可得ｂ２－１∉Ｑꎬ与题设矛盾!所以选项Ｂ错误.７.ＡＣ.由对称性知ꎬ可不妨设点Ｐ(ｍꎬｎ)(ｍ>２ꎬｎ>０)ꎬ得ｍ２４－ｎ２＝１ꎬ即４－ｍ２＝－４ｎ２.所以ｔａｎα＝ｎｍ＋２ꎬｔａｎβ＝－ｎｍ－２＝ｎ２－ｍ.所以ｔａｎαｔａｎβ＝ｎｍ＋２ ｎ２－ｍ＝ｎ２４－ｍ２＝－１４.故选项Ａ正确.所以ｔａｎ(α＋β)＝ｔａｎα＋ｔａｎβ１－ｔａｎαｔａｎβ＝ｎｍ＋２＋ｎ２－ｍ１＋１４＝１６５ ｎ４－ｍ２＝－４５ｎꎬｃｏｔ(α＋β)＝－５４ｎꎬＳәＰＡＢ＝１２(２＋２)ｎ＝２ｎ.５６所以ＳәＰＡＢｔａｎ(α＋β)＝－８５ꎬＳәＰＡＢｃｏｔ(α＋β)＝－５２ｎ２.故选项Ｃ正确㊁Ｄ错误.可选(ｍꎬｎ)＝(４ꎬ３)ꎬ得ｔａｎα＝１２３ꎬｔａｎβ＝－３２ꎬ所以ｔａｎα２＝１３－２３ꎬｔａｎβ２＝２３＋２１３.所以ｔａｎα２ｔａｎβ２＝２３９＋２７３－６７－１２３.还可选(ｍꎬｎ)＝(６ꎬ２２)ꎬ得ｔａｎα＝１２２ꎬｔａｎβ＝－１２ꎬ所以ｔａｎα２＝３－２２ꎬｔａｎβ２＝２＋３.所以ｔａｎα２ｔａｎβ２＝３２＋３３－２６－４.可证得２３９＋２７３－６７－１２３<３２＋３３－２６－４ꎬ所以选项Ｂ错误.８.Ａ.若仅甲说的对ꎬ则甲做错了ꎻ可得乙㊁丙均说错了ꎬ得丙做对了.满足题设 有且仅有一人做对ꎬ有且仅有一人说错了 .若仅乙说的对ꎬ则甲做对了ꎻ可得甲㊁丙均说错了ꎬ得丙也做对了.不满足题设 有且仅有一人做对 .若仅丙说的对ꎬ则丙做错了ꎻ可得甲说错了ꎬ得甲做对了ꎻ还可得乙说错了ꎬ得甲也做错了.前后矛盾!综上所述ꎬ可得仅甲说的对.图４９.ＡＢＣＤ.如图４ꎬ设ＰＡңＰＡң＝ＰＤңꎬＰＢңＰＢң＝ＰＥңꎬＰＤң＋ＰＥң＝ＰＦңꎬ可得菱形ＰＤＦＥꎬ且射线ＰＦ平分øＡＰＢ.所以ＰＦң＋ＰＣңＰＣң＝０.所以ＣꎬＰꎬＦ三点共线ꎬ得øＡＰＣ＝øＢＰＣ.同理ꎬ可得øＢＰＣ＝øＢＰＡ.再由øＡＰＣ＋øＢＰＣ＋øＢＰＡ＝３６０ʎꎬ可得øＡＰＣ＝øＢＰＣ＝øＢＰＡ＝１２０ʎꎬ因而选项ＡꎬＢ均正确.在ＲｔәＡＢＣ中ꎬ可得øＢＡＣ＝３０ʎꎬøＡＣＢ＝６０ʎ.设øＰＡＣ＝θ(０ʎ<θ<３０ʎ)ꎬ可得øＰＣＡ＝６０ʎ－θꎬøＰＣＢ＝θꎬ所以әＰＡＣʐәＰＣＢꎬ得ＰＣＰＢ＝ＰＡＰＣ＝ＡＣＣＢ＝２ꎬ即２ＢＰ＝ＰＣꎬＡＰ＝２ＰＣꎬ因而选项ＣꎬＤ均正确.注㊀在图４中ꎬ若设ＰＡңＰＡң＝ＰＤңꎬＰＢңＰＢң＝ＰＥңꎬＰＣңＰＣң＝ＰＨңꎬ由题设可得ＰＤң＝ＰＥң＝ＰＨң＝１ꎬＰＤң＋ＰＥң＋ＰＨң＝０ꎬ进而可得øＡＰＣ＝øＢＰＣ＝øＢＰＡ＝１２０ʎꎬ也得选项ＡꎬＢ均正确.点Ｐ是әＡＢＣ的费马点.１０.Ａ.先证明ａｒｃｔａｎ２ｋ２＝ａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)－ａｒｃｔａｎ(ｋ－１)(ｋɪＮ∗)成立.因为ｔａｎ[ａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)－ａｒｃｔａｎ(ｋ－１)]＝(ｋ＋１)－(ｋ－１)１＋(ｋ＋１)(ｋ－１)＝２ｋ２ꎬ又ａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)ꎬａｒｃｔａｎ(ｋ－１)ɪ０ꎬπ２[öø÷(ｋɪＮ∗)ꎬａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)>ａｒｃｔａｎ(ｋ－１)ꎬ所以ａｒｃｔａｎ２ｋ２ꎬａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)－ａｒｃｔａｎ(ｋ－１)ɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬ所以欲证结论成立.因而ｌｉｍｎң¥ðｎｋ＝１ａｒｃｔａｎ２ｋ２＝ｌｉｍｎң¥[ａｒｃｔａｎ(ｎ＋１)＋ａｒｃｔａｎｎ－ａｒｃｔａｎ１－ａｒｃｔａｎ０]＝ｌｉｍｎң¥[ａｒｃｔａｎ(ｎ＋１)＋ａｒｃｔａｎｎ]－π４＝ｌｉｍｎң¥π－ａｒｃｔａｎ２ｎ＋１ｎ２＋ｎ－１[]－π４＝π－π４＝３π４.１１.Ｃ.可得３９６＝４ˑ９ˑ１１.若排成的五位数是９的倍数ꎬ则这５个数字之和是９的倍数ꎬ进而可得所选取的５个数字只可能是０ꎬ１ꎬ２ꎬ６ꎬ９ꎻ０ꎬ１ꎬ２ꎬ７ꎬ８ꎻ０ꎬ１ꎬ３ꎬ５ꎬ９ꎻ０ꎬ１ꎬ３ꎬ６ꎬ８ꎻ０ꎬ１ꎬ４ꎬ５ꎬ８ꎻ０ꎬ１ꎬ４ꎬ６ꎬ７ꎻ０ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ９ꎻ０ꎬ２ꎬ３ꎬ５ꎬ８ꎻ０ꎬ２ꎬ３ꎬ６ꎬ７ꎻ０ꎬ２ꎬ４ꎬ５ꎬ７ꎻ０ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎻ０ꎬ３ꎬ７ꎬ８ꎬ９ꎻ０ꎬ４ꎬ６ꎬ８ꎬ９ꎻ０ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ９ꎻ１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ８ꎻ１ꎬ２ꎬ３ꎬ５ꎬ７ꎻ１ꎬ２ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎻ１ꎬ２ꎬ７ꎬ８ꎬ９ꎻ１ꎬ３ꎬ６ꎬ８ꎬ９ꎻ１ꎬ４ꎬ５ꎬ８ꎬ９ꎻ１ꎬ４ꎬ６ꎬ７ꎬ９ꎻ１ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８ꎻ２ꎬ３ꎬ５ꎬ８ꎬ９ꎻ２ꎬ３ꎬ６ꎬ７ꎬ９ꎻ２ꎬ４ꎬ５ꎬ７ꎬ９ꎻ２ꎬ４ꎬ６ꎬ７ꎬ８ꎻ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ９ꎻ３ꎬ４ꎬ５ꎬ７ꎬ８之一.若所选取的５个数字是０ꎬ１ꎬ２ꎬ６ꎬ９ꎬ由排成的五位数是４的倍数ꎬ可得末两位数只可能是２０ꎬ６０ꎬ１２ꎬ９２ꎬ１６ꎬ９６之一.再由排成的五位数是１１的倍数ꎬ可得排成的五位数只可能是１０６９２ꎬ６０１９２ꎬ１０２９６ꎬ２０１９６之一.又由４ꎬ９ꎬ１１两两互质ꎬ所以得到的４个五位数均满足题设.进而可得满足题设的五位数共９６个:１０６９２ꎬ６０１９２ꎬ１０２９６ꎬ２０１９６ꎬ１７８２０ꎬ８７１２０ꎬ２１７８０ꎬ７１２８０ꎬ０８７１２ꎬ７８０１２ꎬ０７１２８ꎬ１７０２８ꎬ１３８６０ꎬ８３１６０ꎬ３１６８０ꎬ６１３８０ꎬ０８３１６ꎬ３８０１６ꎬ０３１６８ꎬ１３０６８ꎬ１５８４０ꎬ８５１４０ꎬ４１５８０ꎬ５１４８０ꎬ０１５８４ꎬ５１０８４ꎬ０５１４８ꎬ１５０４８ꎬ３０４９２ꎬ４０３９２ꎬ２９３０４ꎬ３９２０４ꎬ３７６２０ꎬ６７３２０ꎬ２３７６０ꎬ７３２６０ꎬ０６７３２ꎬ７６０３２ꎬ０２３７６ꎬ３２０７６ꎬ４７５２０ꎬ５７４２０ꎬ２５７４０ꎬ７５２４０ꎬ０４７５２ꎬ７４０５２ꎬ０７５２４ꎬ５７０２４ꎬ３５６４０ꎬ６５３４０ꎬ４３５６０ꎬ５３４６０ꎬ０３５６４ꎬ５３０６４ꎬ０４３５６ꎬ３４０５６ꎬ６８９０４ꎬ９８６０４ꎬ６０９８４ꎬ９０６８４ꎬ３８４１２ꎬ４８３１２ꎬ２１３８４ꎬ３１２８４ꎬ１４６５２ꎬ６４１５２ꎬ１４２５６ꎬ２４１５６ꎬ８７９１２ꎬ９７８１２ꎬ８１９７２ꎬ９１８７２ꎬ４７９１６ꎬ９７４１６ꎬ６６４１９７６ꎬ９１４７６ꎬ５７８１６ꎬ８７５１６ꎬ５１８７６ꎬ８１５７６ꎬ８５９３２ꎬ９５８３２ꎬ８３９５２ꎬ９３８５２ꎬ７６８２４ꎬ８６７２４ꎬ７２８６４ꎬ８２７６４ꎬ４６７２８ꎬ７６４２８ꎬ４２７６８ꎬ７２４６８ꎬ４５９３６ꎬ９５４３６ꎬ４３９５６ꎬ９３４５６.所以所求答案是９６Ａ５１０＝１３１５.注㊀用电脑编程可以验证上述答案是正确的.１２.Ｂ.可得Ｐ(Ｙ＝０)＝１２３＋１２６＋１２９＋ ＝１２３１－１２３＝１７ꎻＰ(Ｙ＝１)＝１２１＋１２４＋１２７＋ ＝１２１１－１２３＝４７ꎻＰ(Ｙ＝２)＝１２２＋１２５＋１２８＋ ＝１２２１－１２３＝２７所以随机变量Ｙ的期望是Ｅ(Ｙ)＝０ˑ１７＋１ˑ４７＋２ˑ２７＝８７.１３.ＢＣ.由题设ꎬ可得｜ａ－２ｂ｜＝｜ａ＋２ｂ＋ｃ｜ȡ｜ｃ｜－｜ａ＋２ｂ｜ꎬ｜ｃ｜ɤ１ ｜ａ＋２ｂ｜＋１ ｜ａ－２ｂ｜.由柯西不等式ꎬ可得(１ ｜ａ＋２ｂ｜＋１ ｜ａ－２ｂ｜)２ɤ(１２＋１２)(｜ａ＋２ｂ｜２＋｜ａ－２ｂ｜２)＝４(｜ａ｜２＋４｜ｂ｜２)ɤ２０.所以｜ｃ｜ɤ２５.当ａ＝(０ꎬ１)ꎬｂ＝(１ꎬ０)ꎬｃ＝(－４ꎬ－２)时满足题设ꎬ且｜ｃ｜＝２５.综上ꎬ｜ｃ｜的最大值为２５ꎬ故选项Ａ错误ꎬＢ正确.还可得ａ＝(０ꎬ１)ꎬｂ＝(１ꎬ０)ꎬｃ＝(０ꎬ０)满足题设ꎬ进而可得｜ｃ｜的最小值为０ꎬ故选项Ｃ正确ꎬＤ错误.１４.ＣＤ.由对称性知ꎬ可不妨设ｘɤｙ.对于选项Ａꎬ由ｙ２<ｙ２＋２ｘɤｙ２＋２ｙ<(ｙ＋１)２ꎬ所以ｙ２＋２ｘ不为完全平方数ꎬ故选项Ａ错误.对于选项Ｂꎬ由ｙ２<ｙ２＋４ｘɤｙ２＋４ｙ<(ｙ＋２)２ꎬ所以若ｙ２＋２ｘ为完全平方数ꎬ则ｙ２＋４ｘ＝(ｙ＋１)２ꎬ２(２ｘ－ｙ)＝１ꎬ这不可能!故选项Ｂ错误.选ｘ＝ｙ＝４ꎬ得ｘ２＋５ｙ＝ｙ２＋５ｘ＝６２ꎬ故选项Ｃ正确.选ｘ＝ｙ＝２ꎬ得ｘ２＋６ｙ＝ｙ２＋６ｘ＝４２ꎬ故选项Ｄ正确.１５.１.设复数ｚ１＝１＋ｉꎬｚ２＝２＋ｉꎬｚ３＝３＋ｉꎬ可得ａｒｇｚ１＝ａｒｃｔａｎ１ꎬａｒｇｚ２＝ａｒｃｓｉｎ１５ꎬａｒｇｚ３＝ａｒｃｃｏｓ３１０.所以ｚ１ｚ２ｚ３＝(１＋ｉ)(５＋５ｉ)＝１０ｉꎬａｒｇ(ｚ１ｚ２ｚ３)＝π２.所以ｓｉｎａｒｃｔａｎ１＋ａｒｃｃｏｓ３１０＋ａｒｃｓｉｎ１５æèçöø÷＝ｓｉｎπ２＝１.１６.Ｄ.如图５ꎬ设正四棱锥的底面边长ＡＢ＝２ꎬ高ＰＯ图５＝ｈꎬ可得ｔａｎβ＝ｔａｎøＰＡＯ＝ＰＯＡＯ＝ｈ２.㊀㊀在ＲｔәＰＯＢ中ꎬ可求得ＰＢ＝ＰＯ２＋ＯＢ２＝ｈ２＋２.设等腰әＰＡＢ的底边ＡＢ的中点是Ｍꎬ可得ＰＭʅＡＢ.还可求得ＰＭ＝ＰＡ２＋ＡＭ２＝ｈ２＋１.作ＡＨʅＰＢ于点Ｈꎬ连接ＣＨꎬ可得α＝øＡＨＣꎬＣＨ＝ＡＨ.还可得２ＳәＰＡＢ＝ＡＢ ＰＭ＝ＡＨ ＰＢ.所以ＣＨ＝ＡＨ＝ＡＢ ＰＭＰＢ＝２ｈ２＋１ｈ２＋２ꎬＡＣ＝２２.在әＡＣＨ中ꎬ由余弦定理ꎬ可求得ｃｏｓα＝ｃｏｓøＡＨＣ＝ＡＨ２＋ＣＨ２－ＡＣ２２ＡＨ ＣＨ＝ ＝－１ｈ２＋１.进而可得ｓｅｃα＋２ｔａｎ２β＝－１.１７.Ａ.由 闭区间上的连续函数存在最大值与最小值 ꎬ可得函数ｆ(ｘ)的最大值与最小值均存在.可得ｆ(ｘ)－１＝ｅｘ－ｅ－ｘｅｘ＋ｅ－ｘ＋ｓｉｎｘ(－２ɤｘɤ２)ꎬ则ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－１(－２ɤｘɤ２)是奇函数.当ｘɪ[０ꎬ１]时ꎬｇ(ｘ)<２ꎬ所以函数ｇ(ｘ)的最大值与最小值均存在且互为相反数ꎬ可分别设为Ｍꎬ－Ｍ.所以函数ｆ(ｘ)的最大值与最小值分别是１＋Ｍꎬ１－Ｍ.所以所求答案是(１＋Ｍ)＋(１－Ｍ)＝２.１８.Ｄ.由ｆ(ｘ)是上凸函数ꎬ可得ｆᶄ(ｘ)是减函数ꎬ所以当ｘɪ[ａꎬｂ]时ꎬ函数ｆᶄ(ｘ)的最大值是ｆᶄ(ａ).还可得Ｓ(ｔ)＝ʏｔａｆ(ｘ)ｄｘꎬ所以Ｓᶄ(ｘ)＝ｆ(ｘ).由题设及图１ꎬ可得Ｓᶄ(ｘ)ｍａｘ＝ｆ(ｘ)ｍａｘ＝ｆ(ｃ).１９.ＡＢＤ.对于选项Ａꎬ可求得Ｓｎ＝２ｎ－１(ｎɪＮ∗)ꎬ所以Ｓｎ＝ａｎ＋１(ｎɪＮ∗)ꎬ故选项Ａ正确.选项Ｂ错误.若ｋ＝１２ꎬ则∀ｍɪＮ∗ꎬＳ２＝１ʂａｍ.选项Ｃ正确.∀ｎɪＮ∗ꎬＳｎ＝ｋ(１＋２＋ ＋ｎ)＝ａ１＋２＋ ＋ｎ.选项Ｄ正确.设等差数列ａｎ{}的公差为ｄꎬ可得ａｎ＝ｄｎ＋(ａ１－ｄ)(ｎɪＮ∗).选ｂｎ＝ｄｎꎬｃｎ＝ａ１－ｄꎬｎ＝１０ꎬｎȡ２{(ｎɪＮ∗)ꎬ易知ａｎ＝ｂｎ＋ｃｎ.由于∀ｎɪＮ∗ꎬＴｎ＝ａ１(其中Ｔｎ表７６示数列ｃｎ{}的前ｎ项和)ꎬ所以ｃｎ{}是 某数列 .由选项Ｃ正确ꎬ知ｂｎ{}是 某数列 .２０.解法１㊀Ｂ.设函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘ(ｘɪＲ)ꎬ则ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ＋π)ꎬｆ(ｘ)＝ｆ(π－ｘ)(ｘɪＲ)ꎬ所以π是函数ｆ(ｘ)的一个周期且函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝π２对称.因而ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝２ʏπ０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝４ʏπ/２０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝ʏπ/２０１－ｃｏｓ２ｘ１－１２ｓｉｎ２２ｘｄ(２ｘ)＝２ʏπ０１－ｃｏｓｔ２－ｓｉｎ２ｔｄｔ＝２ʏπ０１－ｃｏｓｔ１＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝２ʏπ０１１＋ｃｏｓ２ｔｄｔ－２ʏπ０ｃｏｓｔ１＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝(设ｔ＝ｕ＋π２)２ʏπ/２－π/２１２ｓｉｎ２ｕ＋ｃｏｓ２ｕｄｕ＋２ʏπ/２－π/２ｓｉｎｕ１＋ｓｉｎ２ｕｄｕ.再由ｙ＝１２ｓｉｎ２ｕ＋ｃｏｓ２ｕꎬｙ＝ｓｉｎｕ１＋ｓｉｎ２ｕ－π２ɤｕɤπ２æèçöø÷分别是偶函数㊁奇函数ꎬ可得ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝４ʏπ/２０１２ｓｉｎ２ｕ＋ｃｏｓ２ｕｄｕ＝(设ｕ＝π/２－ｖ)－４ʏ０π/２１ｓｉｎ２ｖ＋２ｃｏｓ２ｖｄｖ＝４ʏπ/２０１ｓｉｎ２ｖ＋２ｃｏｓ２ｖｄｖ＝２２ʏπ/２０ｄｔａｎｖ２æèçöø÷ｔａｎｖ２æèçöø÷２＋１＝(设ｗ＝ｔａｎｖ２)２２ʏ＋¥０ｄｗｗ２＋１＝２２ａｒｃｔａｎｗ＋¥０＝２２π２－０æèçöø÷＝２π.解法２㊀Ｂ.在解法１中ꎬ已得ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝４ʏπ/２０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ.所以ʏπ/２０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝(设ｘ＝ｔ＋π２)ʏ０－π/２ｃｏｓ２ｔｓｉｎ４ｔ＋ｃｏｓ４ｔｄｔ＝(设ｔ＝－ｘ)ʏπ/２０ｃｏｓ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ.所以ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝２ʏ０ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝２ʏ０ｔａｎ２ｘ＋１ｔａｎ４ｘ＋１ｄｔａｎｘ＝(设ｔａｎｘ＝ｔ)２ʏ＋¥０ｔ２＋１ｔ４＋１ｄｔ＝２ʏ＋¥０ｄｔ－１ｔæèçöø÷ｔ－１ｔæèçöø÷２＋２＝(设ｔ－１ｔ＝ｕ)２ʏ＋¥－¥ｄｕｕ２＋２＝２２ａｒｃｔａｎｕ２＋¥－¥＝２π２－－π２æèçöø÷[]＝２π.解法３㊀Ｂ.由降幂公式ꎬ可得ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘ＝１－ｃｏｓ２ｘ２１－ｃｏｓ２ｘ２æèçöø÷２＋１＋ｃｏｓ２ｘ２æèçöø÷２＝１－ｃｏｓ２ｘ１＋ｃｏｓ２２ｘ＝１－ｃｏｓ２ｘ１＋１＋ｃｏｓ４ｘ２＝２(１－ｃｏｓ２ｘ)３＋ｃｏｓ４ｘ.所以ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝ʏ２π０１－ｃｏｓ２ｘ３＋ｃｏｓ４ｘｄ(２ｘ)＝(设ｔ＝２ｘ)ʏ４π０１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓ２ｔｄｔ.设函数ｆ(ｔ)＝１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓｔ(ｔɪＲ)ꎬ可得ｆ(ｔ)＝ｆ(ｔ＋２π)ꎬｆ(ｔ)＝ｆ(２π－ｔ)(ｔɪＲ)ꎬ所以２π是函数ｆ(ｔ)的一个周期且函数ｆ(ｔ)的图象关于直线ｘ＝π对称.因而ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝ʏ４π０１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝２ʏ２π０１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝４ʏπ０１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝２ʏπ０１－ｃｏｓｔ１＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝(设ｕ＝ｃｏｓｔ)２ʏ１－１１－ｕ(１＋ｕ２)１－ｕ２ｄｕ＝２ʏ１－１１１＋ｕ２１－ｕ１＋ｕｄｕ＝(设ｖ＝１－ｕ１＋ｕ)４ʏ＋¥０ｖ２ｖ４＋１ｄｖ＝２ʏ＋¥０ｖｖ２－２ｖ＋１ｄｖ－２ʏ＋¥０ｖｖ２＋２ｖ＋１ｄｖ＝２ʏ＋¥０ｖ－１２æèçöø÷＋１２ｖ－１２æèçöø÷２＋１２ｄｖ－２ʏ＋¥０ｖ＋１２æèçöø÷－１２ｖ＋１２æèçöø÷２＋１２ｄｖ＝２ʏ＋¥０ｖ－１２ｖ－１２æèçöø÷２＋１２ｄｖ－２ʏ＋¥０ｖ＋１２ｖ＋１２æèçöø÷２＋１２ｄｖ８６＋ʏ＋¥０ｄｖｖ－１２æèçöø÷２＋１２＋ʏ＋¥０ｄｖｖ＋１２æèçöø÷２＋１２＝２ʏ＋¥－ｗｗ２＋１２ｄｗ－２ʏ＋¥ｗｗ２＋１２ｄｗ＋ʏ＋¥－ｄｗｗ２＋１２＋ʏ＋¥ｄｗｗ２＋１２＝２ʏ－ｗｗ２＋１２ｄｗ＋２ａｒｃｔａｎ２ｗ＋¥－＋２ａｒｃｔａｎ２ｗ＋¥＝２π２－－π４æèçöø÷[]＋２π２－π４æèçöø÷＝２π.(因为ｙ＝ｗｗ２＋１２－１２ɤｗɤ１２æèçöø÷是奇函数)解法４㊀Ｂ.因为ｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘ＝(ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ)２－２ｓｉｎ２ｘｃｏｓ２ｘ＝１－１２ｓｉｎ２２ｘꎬ可得１２ɤｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘɤ１ꎬｓｉｎ２ｘɤｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘɤ２ｓｉｎ２ｘ.所以ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｄｘ<ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ<２ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｄｘ.再由ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｄｘ＝２ｘ－ｓｉｎ２ｘ４２π０＝πꎬ可得π<ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ<２π.再由排除法ꎬ可知答案是Ｂ.[责任编辑:李㊀璟]换元转化㊀化难为易叶文明㊀李㊀阳(浙江省松阳二中㊀３２３４０６)摘㊀要:换元法是解数学题的一种常用方法ꎬ它的实质是通过换元转化ꎬ从而把复杂问题简单化ꎬ有利于问题的解决.关键词:换元ꎻ绝对值ꎻ最值中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００６９－０２收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:叶文明(１９６７－)ꎬ男ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.李阳(１９９１－)ꎬ男ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀解数学题时ꎬ常把某个式子看成一个整体ꎬ用一个变量去代替它ꎬ从而使问题得到简化的方法叫换元法.换元法的实质是转化ꎬ把复杂问题简单化.换元法在研究方程㊁不等式㊁函数㊁数列㊁解析几何等问题中有广泛的应用ꎬ它几乎涵盖高中阶段的所有内容ꎬ是一种常用的解题方法.例１㊀(２０２０浙江新高考学考模拟卷五)已知正数ｘꎬｙ满足ｘ＋ｙ＝１ꎬ则ｘ２ｘ＋２＋ｙ２ｙ＋１的最小值为.解析㊀方法一㊀４ｘ＋２＋１ｙ＋１＝１４ˑ４ｘ＋２＋１ｙ＋１æèçöø÷ｘ＋２＋ｙ＋１()ȡ９４ʑｘ２ｘ＋２＋ｙ２ｙ＋１＝ｘ－２＋４ｘ＋２＋ｙ－１＋１ｙ＋１＝４ｘ＋２＋１ｙ＋１＋ｘ＋ｙ－３ȡ１４ꎬ即最小值为１４.方法二㊀(换元)令ｘ＋２＝ａꎬｙ＋１＝ｂꎬ则ａ＋ｂ＝４.９６。
2020年4月2020届高考强基3套卷全国卷(二)数学(理)答案
5
5
5
5
2. 【答案】C
【解析】因为 A {0，1，2，3} ， B {x Z | x2 9} { 2， 1，0，1，2} ，所以 A U B { 2，1，0，1，2，3} .故选 C.
3. 【答案】A
【解析】先将函数 g(x) cos x 的图象上所有点的横坐标压缩为
原来的 1 ，纵坐标不变，得到 g(3x) cos3x ，再将图象上所有 3
2020 届高考强基 3 套卷 全国卷（二） 数学（理科）答案及解析
一、选择题
1. 【答案】B
【解析】依题意得 5 3i (5 3i)(1 2i) 5 10i 3i 6 1
1 2i (1 2i)(1 2i)
5
5
13 i ，所以 m 1 ， n 13 ，所以 m n 12 .故选 B.
曲线方程为 x2 y2 1 .故选 B. 45
9. 【答案】A
【解析】依题意，函数 f (x) 为奇函数，故 f (x) f (x) ，解
参考答案
得
m
1 2
，故
f
(x)
1 2
1 ，故函数 3x 1
f
(x) 在 (∞，0)
上单
调递增.当 x ∞ 时， f (x) 1 ，当 x 0 时， f (x) ∞ ， 2
uuuur uuur 2 A1B1·C1C
4
4
4
2
2
2
1 2
2
2
2
1 2
2
2
2
1 2
24， A1C 2 6 .对于③，同②可得 B1D 2 2 .对于④，当
O 为 B1D1 的中点时，O 也为 A1C1 的中点.由底面 A1B1C1D1 为菱形可 知， B1D1 A1C1 .由①可知， B1D1 A1C . Q A1C1 I A1C A1 ，A1C1
2020年复旦大学强基计划试题数学(解析版)
2. 已知实数 xy ，满足 x2 2xy 1，求 x2 y2 最小值。
3. 已知 f (x) a sin(2 x) b cos(2 x) c sin(4 x) d cos(4 x) ，若 f (1 x) f (x) f (2x) ，则 2
【解析】设 sin A 14 3 2 ,sin B 3 , A, B 为锐角，求 A B 的值
8
4
则 cos A 3 2 14 ，cos B 7 ，则 cos( A B) cos A cos B sin Asin B 2 ，得
8
4
2
A B 3 4
17. 【答案】7 或 7 3 【解析】取 AB 中点 D ，则 AB 面 PDC 依题意可得 CD 7, PD 91, SABC 3 7
。
11.
在
ABC
中，
cos
BAC
1
，若
O
为内心，且满足
AO
x AB
y AC
，则
x
y
的最大值
3
为
。
12. 已知直线 m : y x cos 和 n : 3x y c ，则（
）
A. m 和 n 可能重合 C.存在直线 m 上一点 P ，以 P 为中心旋转后与 m 重合
B. m 和 n 不可能垂直
4. 【答案】 a 5 4
【解析】设纯虚数根为
bi
，则
b3i
ab2
4bi
5
0
4b b3
5
b
2a
a
5 4
5. 【答案】 12600
【解析】
北京大学强基计划2020年数学试题(word版+解析版)
第1页/共3页北京大学强基计划2020年数学试题详解 1.正实数,,,x y z w 满足x y w ≥≥，且2()x y w z +≤+，求w z x y+的最小值. 2.若50x px q ++=有有理根，且正整数,p q 不大于100，则满足条件的(,)p q 共有几组.3.已知椭圆2212x y +=，圆224x y +=，从圆上一点作椭圆的切点弦，求切点弦围成的面积. 4.求19934x y xy +=整数解的组数.5.已知,,0x y z >，判断x y z s x y y z z x=+++++是否存在最大值与最小值. 6.已知数列{}n a 满足：11a =，24a =，且21112n nn n a a a --+-=(2n ≥，*n ∈N )，求2020a 的个位数.参考答案1.解析因为2()x y w z +≤+，所以2x y z w +≥- 所以122z x w y y y ≥+- 所以122w z w x w x y x y y +≥++- 因为w w y x y x=⋅，所以1w w w y x y y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 因为x y w ≥≥，所以11w y y y x x⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以111112222222w x w w w x y x x y y x y y x y ⎛⎫++-=-++≥-++≥ ⎪⎝⎭所以12w z x y +≥，其中等号当且仅当x ==且z y 时成立，故w z x y +122.解析：设50x px q ++=的有理根为m n ，其中0n >，且n ，||m 互素，则有550m pm q n n ++=，所以5450m pmn qn ++=，所以5m 能被n 整除，又因为,||n m 互素，所以1n =.所以4()q m m p =-+，因为p ,q 均为正整数，所以0m <，又因为,p q 是不大于100的正整数，所以1m =-或2m =-，当1m =-时，1q p =+，这时111001100q p p ≤=+≤⎧⎨≤≤⎩，解得199p ≤≤且*p ∈N ，满足条件的(,)p q 有99组； 当2m =-时，2(16)q p =+，由12(16)1001100q p p ≤=+≤⎧⎨≤≤⎩解得134p ≤≤且*p ∈N ，满足条件的(,)p q 有34组。
2020届高考强基3套卷全国卷(一)数学(理科)试题(2020.4) PDF版含答案
考号：
姓名：
2020 届高考强基 3 套卷 全国卷（一）
为 2 ，椭圆的离心率为 2 . 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设 M ，N 是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点 P 满足 | PM | | PN | ，试判断直线 PM ，PN 与圆 C 的位置关
系，并证明你的结论.
23.[选修 4 – 5:不等式选讲]（10 分） 已知函数 f (x) | 2x 1| | x 1| . （1）解不等式 f (x) 3 ； （2）若函数 g(x) | 2x 2018 a | | 2x 2019 | ，若对于任意的 x1 R ，都存在 x2 R ，使得 f (x1) g(x2 ) 成立， 求实数 a 的取值范围.
D.当 k 2020 时， f (x) 在 x 1 处取得极大值
12.已知双曲线
C
：x2 a2
y2 b2
1(a 0，b 0) ，其左、右焦点分别为 F1 ，F2 .双曲线C 上存在一点 P
，使 sin PF2F1 sin PF1F2
c a
，则双
曲线 C 的离心率的取值范围为
（）
A. [2， ∞)
3，0) ， F(
3 ， 1) ，
2
2
22
则
AF
(3
3 ， 1) ，而 C(
3，0) ，故 CO (
3，0) ，设 CO
上海交通大学2020年强基计划数学试题含答案解析
2020年上海交通大学强基计划数学试题1．已知函数()f x 的定义域为()0,1，若10,2c ⎛∈⎫⎪⎝⎭，则函数()()()g f x c f x x c =++-的定义域为_______________．2．已知方程2sin 1x x -=，则下列判断：（1）方程没有正数解；（2）方程有数多个解；（3）方程有一个正数解；（4）方程的实根小于1．其中错误的判断有_______________．3．在小于1000的正整数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有_______________个．4．已知边长为a 的正三角形ABC ，D ，E 分别在边AB ，BC 上，满足13AD BE a ==，连接AE ，CD ，则AE 与CD 的夹角为_______________．5．已知ABC △的顶点坐标分别为()3,4A ，()6,0B ，()5,2C --，则角A 的平分线所在的直线方程为_______________．6．从2个红球，3个黑球，5个白球（同色球完全相同）中任意取6个，有_______________种不同的取法．7．已知曲线2y ax bx c =++过点()3,4A -，()5,4B ，则2a b +=_________．8．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线m ，交抛物线于A ，B 两点，若A ，B 横坐标之和为5，则直线m 的条数为_______________．9．用同样大小的正n 边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则n 的值为_______________．10．若三条直线1l ：220x y -+=，2l ：2x =，3l ：0x ky +=将平面划分成6个部分，则k 可能的取值情况是（）．A．只有唯一值B．有两个不同的值C 有三个不同的值D．无数个值11．已知非零实数a ，b ，c ，若bc a ，ac b ，abc成等差数列，则下列不等式一定成立的是（）．A．b acB．2b a c+C．2b acD．222a b c 12．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意的x D ∈，都存在唯的y D ∈，使得()()4f x f y +=，则称()f x 在D 上的和为4，给出下列函数：（1）()ln f x x =，51,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）()21f x x =-，[]1,6x ∈-；（3）()1xf x x =-，1x <；（4）()e x f x x =．其中和为4的有_______________个．13．若集合M 中任意两个元素的和、差、积、商（除数不为0）的运算结果都在M 中，则称M 是封闭集合，下列集合：（1）R ；（2）Q ；（3）R Q ð；（4）{},x x m m n =+∈Z ．其中封闭集合的序号为_______________．14．方程()211x x y ++=的正整数解有_______________．15．若a ，0b <，且满足111a b a b +=-，则ab=_______________．16．若四面体的各个顶点到平面α的距离都相等，则称平面α为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数为_________．17．设()m a 是函数()2f x x a =-在区间[]1,1-上的最大值，则()m a 的最小值为______．18．在正方体8个顶点任意2个顶点所在的直线中，异面直线共有_______________对．19．若空间三条直线a ，b ，c 两两异面，则与三条直线都相交的直线有_______________条．20．用平面截一个单位正方体，若截面是六边形则此六边形周长的最小值为_______________．21．已知矩形ABCD 的边AB =，过B ，D 作直线AC 的垂线，垂足分别为E ，F ，且E ，F 分别为AC 的三等分点，沿着AC 将矩形翻折，使得二面角B AC D --成直角，则BD 的长度为______．22．平面上给定五个点，任意三个点不共线，过任意两个点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直，过五个点中任意一个点向另外四个点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的五点）个数至多有_____个．23．若实数a ，b 满足()591a b +=-，()601a b -=，则()601n n n a b =+=∑_________．24．甲、乙、丙三人的职业分别是A ，B ，C ，乙的年龄比C 大，丙的年龄和B 不同，B 比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（）．25．函数4sin cos 3sin cos x x y x x +=+，π3π,44x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭的最小值是_______．2020年上海交通大学强基计划数学试题解析1．已知函数()f x 的定义域为()0,1，若10,2c ⎛∈⎫⎪⎝⎭，则函数()()()g f x c f x x c =++-的定义域为_______________．参考答案：(), 1c c -．解析：由题可得，01x c <+<，01x c <-<，解得1,1c x c c x c -<<-<<+.由于10,2c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因而定义域为(), 1c c -．2.已知方程2sin 1x x -=，则下列判断：（1）方程没有正数解；（2）方程有数多个解；（3）方程有一个正数解；（4）方程的实根小于1．其中错误的判断有_______________．参考答案：（1）．解析：方程2sin 1x x -=可以转化为函数()21x f x =-和函数()sin g x x =的交点问题，如图所示，由图像可知方程有无数个负根，（2）正确．当1x ≥时，()1211f x ≥-=，()1g x ≤，由于()() 11f g ≠，可得方程的实根都小于1，（4）正确．考虑函数()2sin 1x h x x =--，求导可得()2ln 2cos x h x x '=-，则()h x '在[]0,1上单调递增，且(0)0h '<，(1)0h '>，因而存在()0,1t ∈有()0h t '=．可知()h x 在[]0,t 上单调递减，在[],1t 上单调递增．由()00h =，()10h >，因而在[]0,1上有一个正解，（1）错误，（3）正确.3．在小于1000的正整数中，既不是5的倍数也不是7的倍数的整数有_______________个．参考答案：686．解析：可得9999999999996865735⎡⎤⎡⎤⎡⎤--+=⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因而有686个．4．已知边长为a 的正三角形ABC ，D ，E 分别在边AB ，BC 上，满足13AD BE a ==，连接AE ，CD ，则AE 与CD 的夹角为_______________．参考答案：3π．解析：由题可知2133AE AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，13CD AC AB =-uuu r uuu r uuu r．7||||3AE CD a ===uuu r uuu r ，可得2211733318AE CD AB AC AC AB a ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，因而1cos ,2||||AE CD AE CD AE CD ⋅==uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuu r，即AE 与CD 的夹角为3π．5．已知ABC △的顶点坐标分别为()3,4A ，()6,0B ，()5,2C --，则角A 的平分线所在的直线方程为_______________．参考答案：717y x =-．解析：设A ∠的平分线交BC 于点D ，法一：根据角平分线定理可得2CD AC DB AB ===，即23CD CB =uuu r uur ，得点D 的坐标72,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，因而3427733ADk +==-.进而求得直线AD 的方程为717y x =-．法二：根据题意可得2BAC π∠=，34AC k =,因而()314tan 7314ADk ADB +=∠==-,进而求得直线AD 的方程为717y x =-．6．从2个红球，3个黑球，5个白球（同色球完全相同）中任意取6个，有_______________种不同的取法．参考答案：11种．解析：设取出的6个球中有x 个红球，y 个黑球，z 个白球，且{}0,1,2x ∈，{}0,1,2,3y ∈，{}50,1,2,3,4,z ∈，6x y z ++=．分类讨论如下：（1）当0x =时，6y z +=，则有()0,1,5，()0,2,4，()0,3,3，3种．（2）当1x =时，5y z +=，则有()1,0,5，()1,1,4，()1,2,3，()1,3,2，4种．（3）当2x =时，4y z +=，则有()2,0,4，()2,1,3，()2,2,2，()2,3,1，4种．因而总共有11种．8．已知曲线2y ax bx c =++过点()3,4A -，()5,4B ，则2a b +=_________．参考答案：0．解析：若=04a b c ==，，则20a b +=.若0a ≠，二次函数关于3512x -+==对称，即12b a-=，即20a b +=．8．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线m ，交抛物线于A ，B 两点，若A ，B 横坐标之和为5，则直线m 的条数为_______________．参考答案：0或1或2．解析：设直线m 为2px ty =+，联立得22,,2y px px ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩整理可得2220y pty p --=，因而()12125x x t y y p +=++=，即252pt p-=．（1）当5p >时，直线条数为0条，（2）当5p =时，直线条数为1条，（3）当05p <<时，直线条数为2条．9．用同样大小的正n 边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则n 的值为_______________．参考答案：3，4，6．解析：设铺满整个平面需要x 个正n 边形，相当于x 个正n 边形的内角之和为360︒，即()2180360n x n⨯=︒-⨯︒，可得24222n x n n ==+--，因而3,4,6n =．10．若三条直线1l ：220x y -+=，2l ：2x =，3l ：0x ky +=将平面划分成6个部分，则k 可能的取值情况是（）．A．只有唯一值B．有两个不同的值C 有三个不同的值D．无数个值参考答案：C．解析：分类讨论如下：（1）两条平行直线与第三条直线相交；（2）三条直线相交于一点．则2k =-，1-，0．11．已知非零实数a ，b ，c ，若bc a ，ac b ，abc成等差数列，则下列不等式一定成立的是（）．A．b ac B．2b a c+C．2b acD．222a b c 参考答案：B．解析：由题可知2bc ab aca c b+=，整理得()22222222a c a c b b ac =+ ，因而2b ac ，进一步可得222a c b ac ⎛+⎫ ⎪⎝⎭，即2a cb + ．由()222222ac a c b =+也可得222211b a c =+，因而222111a b c 或222111c b a，即222a b c 或222c b a ，D不一定成立．12．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意的x D ∈，都存在唯的y D ∈，使得()()4f x f y +=，则称()f x 在D 上的和为4，给出下列函数：（1）()ln f x x =，51,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）()21f x x =-，[]1,6x ∈-；（3）()1xf x x =-，1x <；（4）()e x f x x =．其中和为4的有_______________个．参考答案：1．解析：（1）()4e 4ln f x x -=，为单调递减函数，当51,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]4e ln -1x ∈,5，因而（1）符合．（2）()()114f f f f +=+-=，因而（2）不符合．（3）()f x 的值域是(),1-∞，故对任意的x ，1y <有()()2f x f y +<，因而（3）不符合；（5）()()1e x f x x '=+且()10f '-=，因而当1x <-时，()f x 单调递减，当1x >-时，()f x 单调递增，因而()1e f x -- ．对任意的y ∈R ，()()()555e 4f f y f y +=+>，因而（4）不符合．13．若集合M 中任意两个元素的和、差、积、商（除数不为0）的运算结果都在M 中，则称M 是封闭集合，下列集合：（1）R ；（2）Q ；（3）R Q ð；（4）{},x x m m n =+∈Z ．其中封闭集合的序号为_______________．参考答案：（1）（2）．解析：（1）（2）是封闭集合；与1的和不在集合R Q ð，因而（3）不是封闭集合．3+与4，但{}5,,714x x m m n =+=+∈Z ，因而（4）不是封闭集合．14．方程()211x x y ++=的正整数解有_______________．参考答案：0组．解析：由于()22211x x x x <++<+，可得1x x y <<+，因而无整数解．15．若a ，0b <，且满足111a b a b +=-，则ab=_______________．参考答案：152+．解析：由111a b a b +=-可得22a b ab -=，因而210a ab b⎛⎫--= ⎪⎝⎭.由于a ，0b <，因而152ab +=．16．若四面体的各个顶点到平面α的距离都相等，则称平面α为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数为_________．参考答案：7．解析：与四个表面平行的平面有4个，与两条相对棱平行的面有3个，因而有7个.17．设()m a 是函数()2f x x a =-在区间[]1,1-上的最大值，则()m a 的最小值为______．参考答案：12．解析：由题意可得()0f a =，() 11f a =-，由于()112a a m a +- ，因而()12m a ，且1122m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因而()m a 的最小值为12．本题对a 分类讨论亦可.18．在正方体8个顶点任意2个顶点所在的直线中，异面直线共有_______________对．参考答案：174．解析：8个顶点在两个平行平面上，每个平面有4个点，三棱锥可分成两类：一类是一个平面取1个点，另一个平面取3个点；另一类是每个平面取2个点，再去掉4个侧面和6个对角面，因而132244442C C C C 1058+-=．每个三棱锥有3组异面直线，因而共有583174⨯=对．19．若空间三条直线a ，b ，c 两两异面，则与三条直线都相交的直线有_______________条．参考答案：无数．解析：如图-19所示，在a，b，c上取三条线段AB，CC'，A D''，作一个平行六面体ABCD A B C D''''-，在c上，即在直线A D''上取一点P，过a，P作一个平面β，平面β与DD'，交于点Q、与CC'交于点R，可得//QR a，于是PR不与a平行，但PR与a共面，因而PR与a相交，得直线PR是与a，b，c都相交的一条直线．根据点P的任意性，因而可得与a，b，c都相交的直线有无数条．图-19图-2020．用平面截一个单位正方体，若截面是六边形则此六边形周长的最小值为___________．参考答案：．解析：如图-20所示，可得六边形的周长最短，即六个顶点在同一个直线上为所求的最短周长，此时周长为6=．21．已知矩形ABCD的边AB=，过B，D作直线AC的垂线，垂足分别为E，F，且E，F分别为AC的三等分点，沿着AC将矩形翻折，使得二面角B AC D--成直角，则BD的长度为______．参考答案：153．解析：设AF EF FC x ===，则cos3BAE x∠==，可得3x =．因而AC =1AD =，进一步得，BF DE ===3BD ==．22．平面上给定五个点，任意三个点不共线，过任意两个点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直，过五个点中任意一个点向另外四个点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的五点）个数至多有_____个．参考答案：310．解析：设A ，B ，C ，D ，E 为平面上五点，其中任意四点间两两连线的条数24C 6=，从其中一点可引六条垂线，五个点可引30条垂线，最多有230C 435=个交点，需排除三种情形：（1）从A ，B ，C 向DE 作的3条垂线互相平行，且无公共点，共2253C C 30=个．（2）五个点中的三点构成一个三角形，三角形的三条高共点，因而共()3253C C 120-=．（3）从一点引出六条垂线的交点只有一个，因而共265C 75=个．因而435753020310---=个．23．若实数a ，b 满足()591a b +=-，()601a b -=，则()601n n n a b =+=∑_________．参考答案：0．解析：由题得1,1,a b a b +=-⎧⎨-=±⎩解得0,1a b =⎧⎨=-⎩或1,0,a b =-⎧⎨=⎩因而()6010n n n a b =+=∑．24．甲、乙、丙三人的职业分别是A ，B ，C ，乙的年龄比C 大，丙的年龄和B 不同，B 比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（）．A．A ，B ，C B．C ，A ，B C．C ，B ，A D．B ，C ，A ，参考答案：A．解析：由题意可知乙的职业为B ，乙（B ）的年龄比C 大，B 比甲的年龄小，因而甲的职业不是C ，则甲的职业为A ，丙的职业为C ．25．函数4sin cos 3sin cos x x y x x +=+，π3π,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的最小值是_______．参考答案：．解析：换元，令sin cos t x x =+，π3π,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，(]π0,14t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，进一步可得()24sin cos 3213x x t +=-+=221t +，因而22112t y t t t+==+当且仅当12t t =，即2t =时等号成立，因而最小值为．。
北京大学强基计划2020数学
2020 年北京大学强基计划数学试题解析共 20 道选择题，在每题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对得 5分，选错或不选得 0 分．1.已知w z y x ,,,均为正实数，且满足w y x 和 w z y x 2，则yz xw 的最小值等于（）A.43 B.87 C.1 D.前三个答案都不对参考答案：D 解析：由题知，22wy x z ，因而，21222y w y x x w y w y x x w yz xw x x y y x xy x y w y x212212212212 x y y x ，等号成立当且仅当 z w y x w y y x 2,,2.2．在202120192020 的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数的个数为（）．A．16B．31C．32D．前三个答案都不对参考答案：C解析：由于任意两个因数的乘积都不是平方数，可得任意两个因数的素因数分解式中至少有一个素因数的指数的奇偶性是不同的．因为20212021220192020235101673 ，所以可以选取的素因数为231016735，，，，，共计5个.5个素因数的不同的奇偶组合共有52种．3．已知整数列 n a （1n ）满足11a ，24a ，且对任意2n 有21112n n n n a a a ，则2020a 的个位数字是（）．A．8B．4C．2D．前三个答案都不对参考答案：A解析：由于21112n n n n a a a ，因而对任意3n 有22122n n n n a a a .则2211122n n n n n n a a a a a a ，整理得 212n n n n a a a a11+2n n a a .反证法证明每一个0n a .设s 为最小的正整数使得=0s a .根据上述递推关系可得3102=a a ，但由于31=14a ，因而矛盾.则112311222214244n n n n n n a a a a a a a a a ，因此有1142n n n a a a ．由1a ，2a Z ，可得n a Z ．列举 n a 前27项的个位数为：1，4，4，8，4，0，2，8，8，6，8，0，4，6，6，2，6，0，8，2，2，4，2，0，6，4，4．发现其个位数字具有周期性，周期为24.由于1n a 的个位数由n a ，1n a 所确定，因而 202048mod10a a ．4.设a ，b ，c ，d 是方程43223450x x x x 的4个复根，则11112222a b c d a b c d的值为（）．B．43B．23C．23D．前三个答案都不对参考答案：A 解析：111111114322222222a b c d a b c d a b c d，接下来构造以12a ，12b ，12c ，12d 为4个复根的方程，再利用韦达定理求解．因为2 不是原方程的根，令12y x，则12x y，代入43223450x x x x ，得4321111222324250y y y y．整理得4329160y y my ny l （其中常数m ，n ，l与本题的计算无关）．由韦达定理，可得11111622229a b c d ．因而1111422223a b c d a b c d ．本题也可先使用韦达定理，再把所求表达式进行通分计算转化，但计算量较大.5．设等边ABC △的边长为1，过点C 作以AB 为直径的圆的切线，交AB 的延长线于点D ，AD BD ，则BCD △的面积为（）．A．623316 B．23316 C．32316D．前三个答案都不对参考答案：C解析：如图所示，设AB 中点为O ，CD 切圆O 于E ，则CEO COD ∽△△．可得CE CO OE OD ，得64OD ．可知624BD，因而1323=216BCD S BD BO △．6．设x ，y ，z 均不为1π2k，其中k 为整数，已知 sin y z x ， sin x z y ，sin x y z 成等差数列，则依然成等差数列的是（）．A．sin x ，sin y ，sin z B．cos x ，cos y ，cos z C．tan x ，tan y ，tan z D．前三个答案都不对参考答案：C解析：由题可知， 2sin sin x z y y z x sin x y z ．整理得 sin cos cos sin sin cos x z y x z y y x z ．因而 sin cos cos cos sin 2sin cos cos x z y x z x z y y x z ．整理得sin cos cos cos cos sin 2sin cos cos x y z x y z y x z ．因而tan tan 2tan x z y ．7．方程19934x y xy 的整数解个数为（）．A．4B．8C．16D．前三个答案都不对参考答案：B解析：由19934x y xy ，因式分解可得 49341931931x y ．观察到 4933mod 4x ， 4191mod 4x ，因而4933x ，19，31，31931 ，1 ，319 ，331 ，31931 ，经验证都符合题意，共8组．8．从圆224x y 上的点向椭圆C ：2212x y 引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积为（）．A．π2B．π3C．π4D．前三个答案都不对参考答案：A 解析：如图，设 2cos ,2sin P 为圆上任意一点，切点弦的直线方程是cos 2sin 1x y ．该直线为椭圆2241x y 的切线系方程，因而其面积为π2ab ．9．使得 5x xy a x y 对所有正实数x ，y 都成立的实数a 的最小值为（）．A．8B．9C．10D．前三个答案都不对参考答案：B解析：方法一：参变量分离法由于0,0 y x ，因而512x xy a.进一步得，5121x yya.换元，令512x t y，显然，5t 225121441449169101692169105110112t tt t t t yx ty，等号成立当且仅当13 t ，即94 y x . 因而a 9 .方法二：待定系数法引入参数0 A ，6512556y y x xy x Ax A x A A，令656A A，可得32 A .因而 5129x xy x y ，得9a .10．设P为单位立方体1111ABCD A B C D 的面对角线1AB 上的一点，则11PA PC 的最小值为（）．22 222C．222D．前三个答案都不对参考答案：A解析：图1图2将图1中的11AA B △和矩形11B C DA 放置于同一个平面内，如图2所示，则1111112cos13522PA PC A C ，当且仅当P 在线段线段11A C 上时等号成立.11．设数列 1n n a 满足11a ，29a ，且对任意1n 有214320n n n a a a ，其前n 项和为n S ，则n S 的最大值等于（）．A．28B．35C．47D．前三个答案都不对参考答案：A解析：由题可得 21103101n n n n a a a a ，可得1+11023n n n a a ．因而当3n 时，10n n a a ．因为11a ，29a ，313a ，45a ，当5n 时，0n a ，故428S 最大．12．设直线3y x m 与椭圆2212516x y 交于A ，B 两点，O 坐标原点，则OAB △面积的最大值为（）．A．8B．10C．12D．前三个答案都不对参考答案：B解析：方法一、设 5cos ,4sin A ， 5cos ,4sin B ，可得001cos sin 15cos 4sin 11010sin()10cos sin 25cos 4sin 1OABS△ ．当π2，及4sin sin 35cos cos k时，可取到等号．方法二、联立方程可得22241150254000x mx m .可得42121202411010224110m m m S AB d x ，等号成立时当且仅当2241=2m .13．正整数3n 称为理想的，若存在正整数11k n 使得1C k n ，C k n ，1C k n 构成等差数列，其中 !C !!k n n k n k 为组合数，则不超过2020的理想数个数为（）．A．40B．41C．42D．前三个答案都不对参考答案：C解析：根据112C C C k k k n nn ，可得224420k nk n n ，解得22n n k．因而2n 是完全平方数．计算得52022 的完全平方数共42个．14．在ABC △中，150A ，1D ，2D ，…，2020D 依次为边BC 上的点，且11223BD D D D D 201920202020D D D C ．设11BAD ，122D AD ，…，201920202020D AD ，20202021D AC ，则132021242020sin sin sin sin sin sin 的值为（）．A．11010B．12020C．12021D．前三个答案都不对参考答案：D解析：如图，可知1122320202021BACBAD D AD D AD DACS S S S SV L △△△△．则1232020123420192020132021242020sin sin sin 2sin sin sin 2021BAD D AD D AC BACD AD D AD D AD S S S AB AC S S S S△△△△△△△L L L L ．因而132021242020sin sin sin 1sin sin sin 4042L L ．15．函数 22323cos cos 523cos cos 4sin f 的最大值为（）．23 B．223 223 D．前三个答案都不对参考答案：C解析：23cos 23cos 2622cos 4sin f263cos 23cos 2626cos arcsin 33cos 23cos 223等号成立当且仅当6arcsin3．5412211x x x x 的实根个数为（）．A．1B．2C．3D．前三个答案都不对参考答案：D解析：54122112111x x x x x x ，等号成立时当且仅当112x ，因而方程的实根有无数个．17．凸五边形ABCDE 的对角线CE 分别与对角线BD 和AD 交于点F 和G ，已知:5:4BF FD ，:1:1AG GD ，::2:2:3CF FG GE ，CFD S △和ABE S △分别为CFD △和ABE △的面积，则:CFD ABE S S △△等于（）．A．8：15B．2：3C．11：23D．前三个答案都不对参考答案：A 解析：如图，设BE 交AD 于H ．对BEF △及截线DGH 用梅涅劳斯定理定理，可得1BH EG FDHE GF DB，于是有32BH HE ．对BDH △及截线EFG 用梅涅劳斯定理定理，可得1BF DG HEFD GH EB，因而2DG GH ．因而815CFD CFD GED AEH ABE GED AEH ABE S S S S CF GD EHS S S S GE AH BE △△△△△△△△．18．设p ，q 均为不超过100的正整数，则有有理根的多项式 5f x x px q 的个数为（）．A．99B．133C．150D．前三个答案都不对参考答案：B解析：由题知有理根为负整数.设mt n为 f x 的有理根，且满足 ,1m n ，m 为负整数，n 为正整数.代入可得，5450m pmn qn .因而1n .当1m 时，10p q ，符合条件的 ,p q 有99组．当2m 时，1322100q p ，可得134p ，符合条件的 ,p q 有34组．当3m 时， 5100q m pm ，没有符合条件的 ,p q ．因而答案为9934133 ．19．满足对任意1n 有123n n n a a 且严格递增的数列 1n n a 的个数为（）．A．0B．1C．无穷个D．前三个答案都不对参考答案：B解析：由题意可得，1113221525n n n n a a ，因而 1122355n n n a a ．则 1112243055n n n n a a a ，即 11312522n a．当125a 时， 113125202n a恒成立，因而数列严格递增．当125a 时， (21)113lim 2522k k a， 11312522n a不可能恒成立，数列不严格递增．当125a 时， 2113lim 2522k k a， 11312522n a不可能恒成立，数列不严格递增．20．设函数 ,,x y z f x y z x y y z z x，其中x ，y ，z 均为正实数，则有（）．A．f 既有最大值也有最小值B．f 有最大值但无最小值C．f 有最小值但无最大值D．前三个答案都不对参考答案：D解析：若0 b a ，0 m ，由糖水不等式可知，ma mb ab .因而， z y x z y z y x y x z y x z x x z z z y y y x x z y x f ,, 22 z y x z y x .又由于 1,,zy x zz y x y z y x x x z z z y y y x x z y x f ，因而 2,,1 z y x f .令32,,,,x x x z y x ，则 22112,,x x x z y x f .可得 2,,lim 0z y x f x ， 1,,limz y x f x .因而，f 无最大值也无最小值.。