流体力学第三章讲解
《工程流体力学》第三章 流体运动研究方法及一维定常流基本方程

控制体:1-1-2-2,用I+III表示 在空间上:固定的
t时体系:1-1-2-2,t时刻占据控制体I+III的流体
t+dt时体系:1’-1’-2’-2’ dt时间后: t时体系沿流线运动到III+II
由质量守恒定律: t时体系内质量=t+dt时体系内质量
定常流:空间中任一点参数随不随时间变化? 不随
物理意义?
A1, r1, V1 —— 控制面1-1上的横截面积、气流密度、速度
物理意义?
A2, r2, V2 —— 控制面2-2上的横截面积、气流密度、速度
物理意义?
一维定常流连续方程:在一维定常流中,通过同一流管任 意截面上的流体质量流量、重量流量保持不变。
例1:已知平面非定常流中的流速分量为:ux=x+t, uy= -y+t, 求:流线方程和迹线方程。 解:流线微分方程:
其中t为常数 积分后:
最后得:
迹线微分方程:
其中t为变量
结论:非定常流中迹线与流线不同
—— 迹线方程 ——流线方程
例2:已知平面定常流中的流速分量为:ux=x, uy= -y, 求:流线方程和迹线方程。 解:由流线微分方程:
体系动量对时间变化率:
控制体 = t时体系 环境对控制体内流体作用力 = 环境对t时体系内流体作用力
牛顿第二定律: 某瞬时作用在体系上全部外力合力 =该瞬时体系动量对时间的变化率
分量形式:
作用在控制体内流体上的外力: 1)表面力:控制体外流体或固体壁面作用在控制面上力
作用在进口截面上切向力:0 作用在出口截面上切向力:0
流体力学_第三章_伯努利方程及动量方程

23
第三节 恒定总流的伯努利方程
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水,水管水面与
管道出口断面中心高差H=4m,水位保持恒定,水头 损失hw=3m水柱,试求水管流量,并作出水头线 解:以0-0为基准面,列1-1、2-2断面的伯努利方程
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流及其性质
渐变流
(u )u 0
渐变流的过流断面近于平 面,面上各点的速度方向 近于平行。 渐变流过流断面上的动压 强与静压强的分布规律相 同,即:
p z c g
1
第三节 恒定总流的伯努利方程
大小的变化 流速的变化 方向的变化
出现直线惯性力 压强沿流向变化
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldA cos p2 dA l cos Z1 Z 2 p1 (Z1 Z 2 ) p2
Z1 p1 Z2 p2
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1 p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
40
2
,
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
( a )( z2 z1 ) ( a )( z2 z1 ) ( a )
单位体积气体所受有效浮力
v1 2 gh d1 1 d 2
4
4
2 1
2 1
30
第三节 恒定总流的伯努利方程
Q v1
4
d
2 1
4
d
2 1
2 gh d1 d 1 2
流体力学第三章(相似原理与量纲分析)概论

§1连续方程(3种形式)
§2作用于流体的力、应力张量 (1)质量力和表面力; (2)应力张量; (3)广义的牛顿粘性假设
1
§3运动方程 (1)Navier—Stokes方程; (2)欧拉方程; (3)静力方程;
§4能量方程 (1)动能方程; (2)伯努利方程
§5简单情况下的N-S方程的准确解
uQ2 uQ1
vQ2 vQ1
wQ2 wQ1
此时,两个流场称之为是流场 相似或运动相似的。流场相似 也就是在两流场对应点的速度 的大小、方向成常数比例。
Q P
9
动力相似
动力相似:要求在两流场相应点上各动力学变量 成同一常数比例。 例如原型流场和模型流场在运动过程中受到的 质量力、粘性力等动力学变量成正比。
上式要求所有对应点均成立 (场的观点,要求任意对应点均成立)
17
模型流动中的时间变化过程并不要求与原型流动以相 同的时间变化率进行(过程加速或延缓),但要求两 流场的所有对应点上均按同一常数值的时间变化加速 和延缓,即要求满足
时间相似常数 ct t2 / t1
注意:t f (l, v) ,通常 ct 可以是不独立的,决定于
a2 a1
b2 b1
c2 c1
ac b
7
时间相似
时间相似:要求模型流场跟原型流场的所有对应点上均 按同一常数值的时间变化加速或延缓,即满足:
Ct
t2 t1
8
运动相似
运动相似(流场相似):要求模型流场和原型流场在任意 选取的对应点上,流速分量满足:
uP2 uP1
vP2 vP1
wP2 wP1
对于原型流动,考虑运动方程在z方向的分量形式
1
流体力学第3章(第二版)知识点总结经典例题讲解

dx u u( t ) dt
流体质点加速度:
dy v v(t ) dt
dz w w( t ) dt
d2x d2y d 2z ax 2 , y 2 , z 2 a a dt dt dt
x(t ) a t y( t ) b t z(t ) 0
y
迹线方程:
流线的性质
(1)流线彼此不能相交(除了源和汇)
交点
v1 v2
s1
(2)流线是一条光滑的曲线, 不可能出现折点(除了激波问题)
(3)定常流动时流线形状不变, 非定常流动时流线形状发生变化
s2
v1 v 折点 2
s
[例1] 由速度分布求质点轨迹
已知: 求: 解: 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为
(2)
由于在欧拉法中速度只和当地坐标以及时间有关,所以必须消 去初始座标,观察(1)式和(2)式可得:
u( x , y , z , t ) y v ( x , y , z , t ) x w( x, y, z, t ) 0
讨论:本例说明虽然给出的是流体质点在不同时刻经历的空间位置,即 运动轨迹,即可由此求出空间各点速度分布式(欧拉法),即各 空间点上速度分量随时间的变化规律。 此例中空间流场分布与时间无关,属于定常流场.
[例3] 由速度分布求加速度
已知: 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为 求各空间位置上流体质点的加速度 解: 对某时刻 t 位于坐标点上(x, y)的质点
dx xt dt dy v yt dt u
u xt v yt
(a )
求解一阶常微分方程(a)可得
x( t ) ae y( t ) be
流体力学 第三章 流体动力学

7 流量、断面平均流速 a.流量:单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv(m3/s)、质量流量Qm(kg/s) 表示。显然,对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速:总流过流断面上各点的流速v一般
不相等,为了便于计算,设过流断面上各点的速度
都相等,大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线,过曲线上各点作流线,所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例:
注意:只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束,它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质:一般情况下不相交、不折转
流线微分方程: 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
(2)迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程:对任一质点
流体力学第三章

第三章 流体运动学3-1解:质点的运动速度1031014,1024,1011034=-=-==-=w v u 质点的轨迹方程1031,52,103000twt z z t vt y y t ut x x +=+=+=+=+=+= 3-2 解:2/12/12/3222/12/12/3220375.0232501.02501.00375.0232501.02501.00t t t dt d dt y d a t t t dt d dt x d a a y x z =⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯===⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯===由501.01t x +=和10=A x ,得19.1501.011001.015252=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A x t 故206.00146.0146.00,146.0,014619.150375.0222222/1=++=++=====⨯=zyxz x y x a a a a a a a a3-3解:当t=1s 时,点A (1,2)处的流速()()sm s m yt xt v s m s m y xt u /1/1211/5/2211222-=⨯-⨯=-==⨯+⨯=+=流速偏导数112221121,1,/12,1,/1-----=-=∂∂==∂∂==∂∂=∂∂==∂∂==∂∂s t yvs t x v s m t t v s yu s t x u s m x t u点A(1,2)处的加速度分量()[]()()[]222/11151/3/21151s m y v v x v u t v Dt Dv a s m s m yuv x u u t u Dt Du a y x -⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂===⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂==3-4解:(1)迹线微分方程为dt udy dt u dx ==, 将u,t 代入,得()tdtdy dt y dx =-=1利用初始条件y(t=0)=0,积分该式,得221t y =将该式代入到式(a ),得dx=(1-t 2/2)dt.利用初始条件x(t=0)=0,积分得361t t x -=联立(c )和(d )两式消去t,得过(0,0)点的迹线方程023492223=-+-x y y y (2)流线微分方程为=.将u,v 代入,得()tdx dy y tdyy dx =-=-11或 将t 视为参数,积分得C xt y y +=-221 据条件x(t=1)=0和y(t=1)=0,得C=0.故流线方程为xt y y =-221 3-5 答:()(),满足满足002,0001=+-=∂∂+∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂+∂∂k k zw y v x u zw y v x u()()()(),满足,满足000040223222222=++=∂∂+∂∂+∂∂=+-++=∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u yxxyyxxyzw yv xu()()()()()()处满足,其他处不满足仅在,不满足,满足,满足满足,满足0,41049000018001760000522==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=++=∂∂++∂∂=++-=∂∂++∂∂=++=∂∂+∂∂+∂∂y y yv x u yv x u u r r u r u rk r k u r r u r u zw yv xu r r r rθθθθ3-6 解:max 02042020max 20320max 2020max 2020214222111000u r r r r u dr r r r r u rdrd r r u r udA r V r rA r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰⎰πππππ3-7 证:设微元体abcd 中心的速度为u r ,u θ。
第三章 流体运动学讲解

1 v1
2
3 3
v3
4 v4
v2 1
2
解:由题意 v4 A4 4 v4 4
v1
4
取过水断面1-1到3-3和4-4间 为对象
有: Q1 Q3 Q4 所以:
Q3 Q1 Q4
取过水断面1-1到2-2 为对象
4
有: v1 A1 v2 A2
试检查流动是否满足连续条件。
解:代入连续性方程,看是否满足连续性条件:
(2 x) (2 y ) (1) 22 0 x y
满足连续性条件
(0) (3xy) (2) 0 3x 0 x y
不满足连续性条件,说明该流动不存在。
见“流体力学课内练习”
例:不可压缩二维流动的流速分量为 ux x 4 y, u y y 4x 求 (1)流动是否存在,若存在,写出流函数表达式;(2)流 动是否有势,若有势,写出速度势表达式。 解:(1) (2) u y 4, u x 4 x y u x u y 1 u y u x 1 (1) 0 z ( )0 x y 2 x y
3-2 描述流体运动的基本概念 一、流管、元流和总流 1、流管
在流场中任取一封闭曲线,通过此封闭曲线上的每 一点作某一瞬时的流线,由这些流线所构成的管状曲 面称为流管。(P44图3-5)
2、元流 当封闭曲线所包围的面积无限小时,充满微小流管内 的液流称为元流。 3、总流 当封闭曲线取在运动液体的边界上时,则充满流管内 的整股液流称为总流。
5、掌握流函数、速度势函数与速度的关系。
3-1 1、拉格朗日法
流动描述
一、描述流体运动的两种方法
拉格朗日法又称质点系法,它是跟踪并研究每一个 液体质点的运动情况,把它们综合起来掌握整个液体 运动的规律。 在固体力学中应用较多。 2、欧拉法
流体力学第三章简(安徽工业大学)

直角坐标系中,流线微分方程为 质点瞬时速度: 微元线段矢量(切线方向): ds dxi dyj dzk 根据流线定义 v d s 0 得
v vx i v y j vz k
dx dy dz vx vy vz
3.流线性质 a.流线是光滑的连续曲线,一般不能突然折转; b.流线是假想的瞬时线; c.定常流动中流线形状不随时间变化,流线与迹 线重合;非定常流动二者不重合; d.实际流场中除驻点(v=0)或奇点(v无穷大)外, 流线不能相交、不能突然转折(速度唯一性)。
第三章 流体动力学基础 §3-1 描述流体运动的两种方法
一、拉格朗日法与质点系 跟踪每个流体质点随时间的运动变化规律, 不同质点规律不同,再综合所有流体质点的运动, 得到整个流场的运动规律。 研究对象是每个流体质点。 用拉格朗日变数(a,b,c,t)描述流体 运动,(a,b,c)为质点初始坐标,t为时间变 量,变数各自独立。
二、迹线与流线 1.迹线 流体质点的运动轨迹,是拉格朗日法描述 流体运动的几何基础。
•迹线的拉格朗日表示式
迹线的拉格朗日表示式
r r a, b, c, t
2.流线 流线是欧拉法描述流体运动的几何基础, 是某一瞬时不同流体质点组成的光滑曲线。 流线上任一质点的瞬时速度方向与该点的 切线方向一致。
三、流管、流束、总流、过流断面
1.流管:流过任意封闭曲线的流线围成的管状 假想表面。 2.流束:流管内部的全部流体。
流线和流管只有几何形状,没有体积和质 量;流束具有体积、质量、动量、动能。
3.总流:封闭曲线取在管道内壁周线上,充满 管道内部的全部流体。 4.过流断面:与速度方向垂直的断面。
四、流量与净通量 1.流量:单位时间内流过某一控制面的流体体积, 为标量。 d qv v d A 在微元流束上 qv v d A 在平面控制面上 A qv vdA 在曲面控制面上
流体动力学理论基础第三章解析

az= x
uy
ux y
uz
ux z
ay
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
az
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
式中第一项叫时变加速度或当地加速度 (Local Acceleration),流动过程中流体由于速度 随时间变化而引起的加速度;第二项叫位变速度 ,流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的 加速度(Connective Acceleration)。
uz uz (x、y、z、t)
(x,y,z,t)—欧拉变量
考察不同时刻液体质点通过流场中固定空间点 的运动情况,综合足够多的固定空间点的运动情 况,得到整个液流的运动规律。——流场法
欧拉法不直接追究质点的运动过程,而是研究各时 刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程 置之不理,而固守于流场各空间点。通过观察在流动空 间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化,把足够 多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
显然,在欧拉描述中,各空间点上的物理量(实际上是通 过此点的流体质点所具有的物理量)是随时间变化的。因此, 流体的运动参数应该是空间坐标和时间的函数。如流体的速 度、压强和密度可以表示为
z
t时刻
M (x,y,z) O
x
y
ux ux (x, y, z,t) uy uy (x, y, z,t) uz uz (x, y, z,t)
算子
全质 导点 数导
数
d dt
=
t
+ (u )
时变导数 当地导数 局部导数
位变导数 迁移导数 对流导数
流体力学第3章

得出涡量输运方程:
DΩ 2 (Ω )u Ω Dt
第3章
涡量与环量的一般原理
1. 旋度
旋转运动是用旋转角速度 来表征。源自在流体力学中,把两倍的旋转角速度矢 量定义为旋度,即
rotu u 2
式中,符号 rot 和 均表示求旋度, 速度的旋度为矢量。
2. 涡量
涡量就是速度的旋度,即
Ω u
有旋运动也称为涡量 Ω 不为零的运动。
式中, dA 为微分面积矢量。
这样,可通过分析速度环量研究 旋涡运动,Γ=0 表示平面无旋运动; Γ≠ 0 则为有旋运动。
A
5. N-S 方程的替代形式与涡量输运方程
(1) N-S 方程的替代形式 利用下列表达式:
矢量恒等式 u2 (u )u ( ) u ( u ) 2 f Π 质量力有势 1 p - p ( ) 均质不可压缩流体
可将 N-S 方程化为兰姆型方程:
u p u2 2 ( Π ) u Ω u t 2
(2) 涡量输运方程
对兰姆型方程两端作“取旋度”运算, 并考虑到:
u Ω ( ) t t p
u2 ( Π )0 2 (u Ω ) ( Ω )u (u ) Ω 2 2 ( u ) Ω
3. 环量
在流场中任取一封闭曲线 L,把 速度矢量沿 L的线积分定义为速度 环量Γ,即 Γ L u dL L u x dx u y dy u z dz
式中, dL 为有向微分弧长,习惯上取反
时针回路为正向。
4.斯托克斯定理
斯托克斯定理 是将涡量与速度 环量联系起来的定理,即 Γ Ω dA
流体力学讲义 第三章 流体动力学基础

第三章流体动力学基础本章是流体动力学的基础。
主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念,用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。
此外,还阐述了无旋流与有旋流的判别,引出了流函数与势函数的概念,并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题。
第一节流体流动的基本概念1.流线(1)流线的定义流线(stream line)是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线,曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。
图3-1为流线谱中显示的流线形状。
(2)流线的作法:在流场中任取一点(如图3-2),绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1,再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…,如此继续下去,得一折线1234 …,若各点无限接近,其极限就是某时刻的流线。
流线是欧拉法分析流动的重要概念。
图3-1 图3-2(3)流线的性质(图3-3)a.同一时刻的不同流线,不能相交。
图3-3因为根据流线定义,在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切,即一个质点不可能同时有两个速度向量。
b.流线不能是折线,而是一条光滑的曲线。
因为流体是连续介质,各运动要素是空间的连续函数。
c.流线簇的疏密反映了速度的大小(流线密集的地方流速大,稀疏的地方流速小)。
因为对不可压缩流体,元流的流速与其过水断面面积成反比。
(4)流线的方程(图3-4)根据流线的定义,可以求得流线的微分方程:图3-4设d s为流线上A处的一微元弧长:u为流体质点在A点的流速:因为流速向量与流线相切,即没有垂直于流线的流速分量,u和d s重合。
所以即展开后得到:——流线方程(3-1)(或用它们余弦相等推得)2.迹线(1)迹线的定义迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。
图3-5中烟火的轨迹为迹线。
(2)迹线的微分方程(3-2)式中,u x,u y,u z均为时空t,x,y,z的函数,且t是自变量。
流体力学第三章

第三章 流体运动学3-1解:质点的运动速度1031014,1024,1011034=-=-==-=w v u 质点的轨迹方程1031,52,103000twt z z t vt y y t ut x x +=+=+=+=+=+= 3-2 解:2/12/12/3222/12/12/3220375.0232501.02501.00375.0232501.02501.00t t t dt d dt y d a t t t dt d dt x d a a y x z =⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯===⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯===由501.01t x +=和10=A x ,得19.1501.011001.015252=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A x t 故206.00146.0146.00,146.0,014619.150375.0222222/1=++=++=====⨯=zyxz x y x a a a a a a a a3-3解:当t=1s 时,点A (1,2)处的流速()()sm s m yt xt v s m s m y xt u /1/1211/5/2211222-=⨯-⨯=-==⨯+⨯=+=流速偏导数112221121,1,/12,1,/1-----=-=∂∂==∂∂==∂∂=∂∂==∂∂==∂∂s t yvs t x v s m t t v s yu s t x u s m x t u点A(1,2)处的加速度分量()[]()()[]222/11151/3/21151s m y v v x v u t v Dt Dv a s m s m yuv x u u t u Dt Du a y x -⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂===⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂==3-4解:(1)迹线微分方程为dt udy dt u dx ==, 将u,t 代入,得()tdtdy dt y dx =-=1利用初始条件y(t=0)=0,积分该式,得221t y =将该式代入到式(a ),得dx=(1-t 2/2)dt.利用初始条件x(t=0)=0,积分得361t t x -=联立(c )和(d )两式消去t,得过(0,0)点的迹线方程023492223=-+-x y y y (2)流线微分方程为=.将u,v 代入,得()tdx dy y tdyy dx =-=-11或 将t 视为参数,积分得C xt y y +=-221 据条件x(t=1)=0和y(t=1)=0,得C=0.故流线方程为xt y y =-221 3-5 答:()(),满足满足002,0001=+-=∂∂+∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂+∂∂k k zw y v x u zw y v x u()()()(),满足,满足000040223222222=++=∂∂+∂∂+∂∂=+-++=∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u yxxyyxxyzw yv xu()()()()()()处满足,其他处不满足仅在,不满足,满足,满足满足,满足0,41049000018001760000522==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=++=∂∂++∂∂=++-=∂∂++∂∂=++=∂∂+∂∂+∂∂y y yv x u yv x u u r r u r u rk r k u r r u r u zw yv xu r r r rθθθθ3-6 解:max 02042020max 20320max 2020max 2020214222111000u r r r r u dr r r r r u rdrd r r u r udA r V r rA r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰⎰πππππ3-7 证:设微元体abcd 中心的速度为u r ,u θ。
3工程流体力学 第三章流体运动学基础

个流动区域上的所有质点的流动。
§3-3 迹线、流线和染色线,流管(续16)
三、湿周、水力半径
1.湿周x 在总流过流断面上,液体与固体相接触的线
称为湿周。用符号x 表示。
2.水力半径R
总流过流断面的面积A与湿周的比值称为水Βιβλιοθήκη 力半径。R A x
注意:水力半径与几何半径是完全不同的两个概念。
这是两个微分方程,其中 t 是参数。 可求解得到两族曲面,它们的交线就是 流线族。
§3-3 迹线、流线和染色线,流管(续10)
例3-1 已知直角坐标系中的速度场 u=x+t; v= -y+t;w=0,
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的流线。
解:由流线的微分方程:
dx d y dz u vw
§3-3 迹线、流线和染色线,流管(续5)
因为u不随t变,所以同一点的流线 始终保持不变。即流线与迹线重合。
某点流速的方向是
流线在该点的切线方向 A
B
流速的大小由流 线的疏密程度反映
uA=uB ?
§3-3 迹线、流线和染色线,流管(续6)
迹线与流线方程 采用拉格朗日方法描述流动时,质
点的运动轨迹方程:
试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的迹线。
解:由迹线的微分方程:
dx d y dz dt u vw
u=x+t;v=-y+t;w=0
dx xt dt
d y y t
dt
求解
x C1 et t 1
t = 0 时过 M(-1,-1):C1 = C2 = 0 y C2 et t 1 x= -t-1 y= t-1 消去t,得迹线方程: x+y = -2
流体力学第三章讲义

Chapter 3 流体运动的基本方程组本章任务:建立控制流动的基本方程组,确定边界条件。
§3.1系统和控制体系统(sys )指给定流体质点组成的流体团,相当于质点或刚体力学中的研究对象——物体;系统在流动过程中可以不断改变自己的位置和形状,但维持其连续性,始终由固定的那些流体质点组成。
系统与外界可以有力的相互作用,可以有动量和能量交换,但是没有物质交换。
控制体(CV )指流动空间内的一个给定空间区域(子空间),其边界面称为控制面(CS )。
控制体一旦选定,其大小、形状和位置都是确定的,有流体不断出入。
物质体元即流体微团。
物质面元可以看成由连续分布的流体质点(看成是没有体积的几何点)构成的面元,物质面元在流动过程中可以变形,但始终由这些流体质点组成。
物质线元可以看成连续分布的流体质点(看成是没有体积的几何点)构成的线元,或者说是连续分布的流体质点的连线线元,物质线元在流动过程中可以变形,但始终由这些流体质点组成。
时间线就是物质线。
(三者如同面团、薄饼和面条) §3.2雷诺输运定理设(),f r t 代表流动的某物理量场(可以是密度场、温度场、动量密度分量场、能量密度场等),t 时刻某流体团(即系统)占据空间τ,取该空间为控制体。
t 时刻该流体团的总f 为()(),I t f r t d ττ=⎰。
(3-1)此I 也是t 时刻控制体内的总f 。
设t t δ+时刻(0t δ→)该系统运动到如图所示位置,占据空间τ',此时系统的总f 为()(),I t t f r t t d τδδτ'+=+⎰。
(3-2)该系统总f 的随体导数()()()0lim t I t t I t DI t Dt tδδδ→+-=。
(3-3)将空间II τ分为与空间I τ重合的部分2τ和其余部分1τ,空间I τ去除2τ后剩余部分记为3τ,于是13ττττ'=+-,(3-4)进而()()()()13I t t I t t I t t I t t τττδδδδ+=+++-+,(3-5)可得()()()()()130lim t I t t I t t I t t I t DI t Dt tττττδδδδδ→+++-+-=()()()()31000lim lim lim t t t I t t I t t I t t I t t t tττττδδδδδδδδδ→→→+++-=+-, (3-6)其中第一项()()()0limt I t t I t I t t t ττδδδ→+-∂=∂。
环境流体力学第三章随流扩散

第一节 随流扩散方程
第一节 随流扩散方程
设流体质点具有瞬时流速矢量 在x、y、z直角坐标上的分量分 别为u、v、w : y, v
u uu
'
x, u
z,w
v v v'
w w w'
直角坐标系下的瞬时流速分量
随流扩散:由于水体的平均运动(包括时间平均和空间平均) 使污染物质发生输移的现象。 对层流: u′、 v′、w′为零,水体的平均运动指的是空间平均 运动,在这种情况下的物质的迁移就是分子扩散和随流输 移的叠加。
( 3-2-11 )
若Dx = Dy = D,有:
( x ut )2 y 2 Mz c( x, y , t ) exp 4 Dt 4 Dt
( 3-2-12 )
上两式均满足瞬时无限长线源无界空间的定解条件 初始条件:c(x,y,0)= Mzδ(r), r =(x2+y2)1/2 边界条件:c(±∞, y, t )=c(x,±∞, t )=0
( 3-2-10 )
边界条件:c(±∞, t )=0
均匀流条件下瞬时点源的随流-扩散
例:一条无限长的顺直矩形断面渠道,水面 宽 B= 5m,水深 h= 2m,在其中间断面瞬时 投入 M= 10kg 的污染物,渠道的流速恒定, U= 0.2m/s,扩散系数 D= 0.075m2/s。求经过 时间t= 50s,100s 后,在投入点下游 10m 处污 染物的浓度。
第一节 随流扩散方程
1.一维随流扩散方程
设v=w=0,只有u分量(沿x轴)
c Q f D 分子扩散通量: x
污染物随流输移的通量:
Fick定律
qf qs
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V 2
V 2
2g
2g
稳态,不可压,忽略粘性功和传热
V1 0m / s; p1 pa; z1 100m; V2 2m / s; p2 pa; z2 0m;
2
无摩擦流动:Bernoulli Equation
取某根流线周围的流线构成 以这根流线为中心的微元流线 管控制体。
控制体质量守恒 控制体动量守恒 (假设无摩擦(无切应力): 无粘性或速度梯度小)
1, Q控制体吸收的热量,吸热为正,放热为负,传热形式:导热、对流、辐射。 2,W控制体对外做功为正。 3,E包括内能、动能、势能。 4,Q:控制体表面存在温度梯度时,通过表面有导热。
控制体内可以吸收或发射辐射。
5,W:包含轴功(机械/流体做功)、表面压力做功?、表面切应力做功?。
压力做功 就是推动功
稳态,不可压
地面坐标:固定坐标
匀速坐标:平板坐标
平均速度和动量修正系数
管道出口流体速度不均匀,当做均匀流处理时,需要计算或给出平均速度
体积平均速度:
管道出口动量流修正因子(不可压缩流)
平均密度:
Vav2 A
密度速度乘积平均值:
可压缩流:
m (V )av A V av av A
不可以压缩流(常密度流)
重力 压力 沿流线的Bernoulli方程:微分形式 沿流线的Bernoulli方程:积分形式 稳态、不可压Bernoulli 方程积分形式
稳态不可压Bernoulli Equation
稳态、不可压Bernoulli方程
1
2
成立条件:稳态、不可压、无摩擦(速度梯度小)、 沿流线、无轴功、无传热
in
。。。。
t t1
第三章:流体的积分关系式
系统或控制质量:由一群固定不变的分子 所组成的体系。
系统的外界称为环境。系统与外界的界面 称为边界。
。。。。
t t2
系统没有质量流入流出:系统质量不变。 流动过程中系统的形状和位置发生变化。 研究系统的运动是拉格朗日法。
1: 质量守恒 dm / dt 0 2 : 线性动量守恒 F ma dmv / dt 3:能量守恒 dQ/dt - dW/dt dE / dt 4 : 热力学第二定律 ds dQ/T
作业
3.6 3.11
3.15
3.22
3.30
线性动量守恒
B=mV; =V
假设:均匀入口出口
控制体受到的力的作用效果:1,改变控制体本身的动量,2,将流入 的动量改变成流出的动量。
1, V 是惯性坐标下的速度。 2,这是一个矢量方程,F是矢量求和 3,可分解为三个标量方程。 Fx=; Fy=; Fz=; 4,动量守恒积分方程的关键是力F(压力,重力等)。
out
稳态、不可压、无传热,能量守恒方程
稳态、无摩擦、无轴功、无传热、不可压、均匀流入,流出 ?
同样条件下的Bernoulli方程和能量守恒方程等效 沿流线的Bernoulli方程如何拓展到整个入口和出口?
4
1
2
31
2
34
3
4
1
2
稳态、不可压Bernoulli方程 a
稳态、不可压、无传热,能量守恒方程
m avVav A
m i iVi
m i iVi
作业
40
52
67
1,定常流场中的流体粒子有加速度吗?为什么? 2,什么是稳态流场(也叫恒定流场或定常流场)? 稳态流场中的流体粒子有加速度吗?为什么?
能量守恒
B E; e eint ernal ekinetic epotential uˆ 0.5V 2 gz
封闭表面均匀压力的合力为0
封闭表面上的均匀压力合力=0 封闭表面的压力合力采用绝对压和相对压计算结果一样 一般采用相对压
射流出口压力(流体离开管道或容器流入大气的出口)为大气压,两个例外: 1,表面张力(出口直径非常小) 2,超音速射流(出口超音速)
坐标设置在移动的平板上: 匀速运动坐标也是惯性坐标
b 稳态、不可压、能量守恒方程
c
作业
143
145
172 173 (先换成公制单位)
高速流动气体粘性功比较重要; 低速气流和液体流动粘性功可忽略
一维:
一个入口、一个出口、稳态
气体低速流动或液体流动(不可压),不吸热
hs hturbine hpump; hv 0 绝热:q 0;摩擦内能变化: (uˆ2 uˆ1) / g hfriction
动能修正系数 不可压缩流体体积平均速度:
。。。。
t t1,t2,t3....
控制体
控制。控制体与外界的 界面称为边界。
控制体质量流入流出?
固定控制体的形状和位置发生变化?
研究控制体内的运动是欧拉法。
1: 质量守恒 dm / dt 0? 2 : 线性动量守恒 F ma dmv / dt ? 3: 能量守恒 dQ/dt - dW/dt dE / dt ? 4 : 热力学第二定律 ds dQ/T?
第三章:流体的积分关系式
虚线是系统,实线是控制体 1,系统有没有加速度? 2,控制体有没有加速度?
受的力是不是一样?
为什么有差别?
B:变量,比如能量,动量,质量 :单位质量的变量,比如单位质量 的能量,动量,质量
雷诺输运定理
质量守恒
B=m; =1
假设1:固定不变形控制体 假设2:均匀入口出口 假设3:稳态 假设4:不可压