2020北京市海淀区高三年级第二学期阶段性测试【理数】含答案
2020年6月北京市海淀区普通高中2020届高三下学期第二次高考模拟考试数学试题及答案解析
绝密★启用前北京市海淀区普通高中2020届高三毕业班下学期第二次高考模拟考试数学试题2020年6月一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）若全集U＝R，A＝{x|x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．B⊆∁U A D．∁U A⊆B2．（4分）下列函数中，值域为[0，+∞）且为偶函数的是（）A．y＝x2B．y＝|x﹣1|C．y＝cos x D．y＝lnx3．（4分）若抛物线y2＝12x的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则|PF|等于（）A．4B．6C．8D．104．（4分）已知三条不同的直线l,m,n和两个不同的平面α,β,下列四个命题中正确的为（）A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若l∥m,m⊂α,则l∥αC．若l∥α,l∥β,则α∥βD．若l∥α,l⊥β,则α⊥β5．（4分）在△ABC中,若a＝7,b＝8,cos B＝,则∠A的大小为（）A．B．C．D．6．（4分）将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数g（x）的图象,则g（x）＝（）A．B．C．cos2x D．﹣cos2x7．（4分）某三棱锥的三视图如图所示,如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该三棱锥的体积为（）A．B．C．2D．48．（4分）对于非零向量,,“（+）•＝22”是“＝”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（4分）如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,点O为底面ABCD的中心,点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP,则△D1C1P面积的最大值为（）A．B．C．D．10．（4分）为了预防新型冠状病毒的传染,人员之间需要保持一米以上的安全距离．某公司会议室共有四行四列座椅,并且相邻两个座椅之间的距离超过一米,为了保证更加安全,公司规定在此会议室开会时,每一行、每一列均不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求,该会议室最多可容纳的就座人数为（）A．9B．10C．11D．12。
2019-2020第二学期北京海淀高三期中数学数学答案
（18）解：（Ⅰ）设事件 A 为“从 2010 年至 2019 年中随机选取一年，研发投入占当年总
营收的百分比超过 10%”，从 2010 年至 2019 年一共 10 年，其中研发投入
占当年总营收的百分比超过 10%有 9 年，
所以 P( A) 9 . 10
（Ⅱ）由图表信息，从 2010 年至 2019 年 10 年中有 5 年研发投入超过 500 亿元，
1) ，直线 2
A1B
方程为
第 4 页（共 8 页）
y 1 x 1 2
由
y y
k(x 1x 2
2), 1.
解得点
P( 4k 2k
2 1
,
4k 2k
) 1
.
y k(x 2)，
由
x
2
4
y2
1.
得 (4k 1)x2
16k 2 x 16k 2
40，
则
2
xM
=
16k 2 4k 2
所以 g(x) 有唯一的一个零点. 即函数 y f (x) 与 y 1 ln x 有且只有一个交点.
（20）解：（Ⅰ）由题
aacb
3， 2 2，
a2 b2 c2.
解得
a b
2， 1.
所以椭圆方程为 x2 y2 1 . 4
（II）解法 1
证明：设直线
A2 M
方程为
y k(x 2)(k
0且k
（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一. 要求用数据说话，数据可以支持自己的结 论即可，阅卷时按照上述标准酌情给分.
（19）解：（Ⅰ）①当 a 1 时， f (x) ex x ，则 f (x) ex 1 ． 所以 f '(0) 0. 又 f (0) 1， 所以曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y 1
2020北京海淀高三二模数学含答案
2020北京海淀高三二模数 学 2020.6本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若全集U =R ，{}|1A x x =<，{}|1B x x =>-，则（A ）A B ⊆ （B ）B A ⊆ （C ）UB A ⊆（D ）UA B ⊆（2）下列函数中，值域为[0,)+∞且为偶函数的是（A ）2y x = （B ）|1|y x =- （C ）cos y x =（D ）ln y x =（3）若抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为3，则||PF 等于（A ）4（B ）6（C ）8（D ）10（4）已知三条不同的直线,,l m n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（A ）若//m α，//n α，则//m n （B ）若//l m ，m α⊂，则//l α （C ）若//l α，//l β，则//αβ（D ）若//l α，l β⊥，则αβ⊥（5）在△ABC 中，若7a =，8b =，1cos 7B =-，则A ∠的大小为（A ）6π（B ）4π（C ）3π（D ）2π（6）将函数()sin(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x =（A ）sin(2)6x π+（B ）2sin(2)3x π+（C ）cos2x（D ）cos2x -（7）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该三棱锥的体积为（A ）23（B ）43（C ）2（D ）4（8）对于非零向量,a b ，“2()2+⋅=a b a a ”是“ = a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动. 若1D O OP ⊥，则△11D C P 面积的最大值为（A ）255（B ）455（C ）5 （D ）25（10）为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离. 某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座. 例如下图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）. 根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（A ）9（B ）10（C ）11（D ）12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
海淀区2020届高三一模数学(理)试题及答案(官方word版)
是否n =n +1开 始n =1n >9结束输出S输入11主视图1俯视图2海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 函数()f x =A.[0,)+∞B.[1,)+∞C.(,0]-∞D.(,1]-∞2. 某程序的框图如图所示，若输入的i z =（其中i 为虚数单位），则输出 的S 值为A.1-B.1C.i -D.i3. 若,x y 满足 +20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则12z x y=+的最大值为A.52B.3C.72D.44. 某三棱椎的三视图如图所示，则其体积为 C. D.5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*n ∀∈N ，n n S na =”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 在极坐标系中，圆1:2cos C ρθ=与圆2:2sin C ρθ=相交于,A B 两点， 则AB = A.1 D.27. 已知函数sin(),0,()cos(), 0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能．．成立的是 A. ππ,44a b ==- B. 2ππ,36a b == C. ππ,36a b == D. 5π2π,63a b ==8. 某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如右表所示. 若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列描述正确．．的是 A. 甲只能承担第四项工作 B. 乙不能承担第二项工作 C. 丙可以不承担第三项工作 D. 丁可以承担第三项工作二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 已知向量(1,),(,9),t t ==a b 若a b P ，则__.t = 10. 在等比数列{}n a 中，22a =，且131154a a +=，则13a a +的值为___. 11. 在三个数1231, 2, log 22-中，最小的数是__.12. 已知双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线l 的倾斜角为π3，则C 的离心率为__;若C 的一个焦点到l 的距离为2,则C 的方程为__.13. 如图,在 在三角形三条边上的6个不同的圆内填上数字1,2,3其中的一个.(i) 当每条边上的三个数字之和为4时，不同的填法有___种； (ii) 当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有__种.14. 已知函数()f x ，对于给定的实数t ，若存在0,0a b >>，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得 |()()|2f x f t -≤，则记a b +的最大值为()H t . （i ） 当()2f x x =时，(0)H =___；（ii ）当2()f x x =且[1,2]t ∈时，函数()H t 的值域为___.DABC三、解答题共6小题，共80分。
2020年北京市海淀区高三数学二模试卷及参考答案
2020年北京市海淀区高三数学二模试卷及参考答案2020年北京市海淀区高三二模试卷数学本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若全集 $U=R$。
$A=\{x|x-1\}$。
则A) $A\subseteq B$B) $B\subseteq A$C) $B\subseteq U$D) $A\subseteq B$2.下列函数中，值域为 $[0,+\infty)$ 且为偶函数的是A) $y=x^2$B) $y=|x-1|$C) $y=\cos x$D) $y=\ln x$3.若抛物线 $y^2=12x$ 的焦点为 $F$，点 $P$ 在此抛物线上且横坐标为 $3$，则 $|PF|$ 等于A) $4$B) $6$C) $8$D) $10$4.已知三条不同的直线 $l,m,n$ 和两个不同的平面$\alpha,\beta$，下列四个命题中正确的为A) 若 $m\parallel \alpha$。
$n\parallel \alpha$。
则$m\parallel n$B) 若 $l\parallel m$。
$m\subset \alpha$。
则 $l\parallel\alpha$C) 若 $l\parallel \alpha$。
$l\parallel \beta$。
则 $\alpha \parallel \beta$D) 若 $l\parallel \alpha$。
$l\perp \beta$。
则 $\alpha \perp \beta$5.在 $\triangle ABC$ 中，若 $a=7$。
$b=8$。
$\cos B=-\dfrac{1}{2}$，则 $\angle A$ 的大小为A) $\dfrac{\pi}{6}$B) $\dfrac{\pi}{4}$C) $\dfrac{\pi}{3}$D) $\dfrac{\pi}{2}$6.将函数 $f(x)=\sin(2x-\dfrac{\pi}{3})$ 的图象向左平移$1$ 个单位长度，得到函数 $g(x)$ 的图象，则A) $g(x)=\sin(2x+\dfrac{\pi}{3})$B) $g(x)=\sin(2x+\dfrac{2\pi}{3})$C) $g(x)=\cos 2x$D) $g(x)=-\cos 2x$7.某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为 $1$，那么该三棱锥的体积为A) $\dfrac{2}{3}$B) $\dfrac{3}{2}$C) $2$D) $4$8.对于非零向量 $a,b$，$(a+b)\cdot a=2|a|^2$ 是 $a=b$ 的A) 充分而不必要条件B) 必要而不充分条件C) 充分必要条件D) 既不充分也不必要条件9.如图，正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $2$，点 $O$ 为底面 $ABCD$ 的中心，点 $P$ 在侧面$BB_1C_1C$ 的边界及其内部运动。
2020届北京市海淀区高三数学一模试题(含答案)
海淀区高三年级第二学期阶段性测试数学2020春第一部分(选择题共40分)一､选择题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项｡(1)在复平面内,复数i(2- i)对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限(2) 已知集合A={x|0<x<3}, A ∩B= {1},则集合B 可以是(A) {1,2}(B) {1,3} (C) {0,1,2} (D) {1,2,3 } (3)已知双曲线2221(0)y x b b-=>的离心率为5,则b 的值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(4)已知实数a, b, c 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是(A) b-a<c+a (B)2c ab < ()c c C b a > (D) |b|c<|a|c(5)在61(2)x x-的展开式中,常数项为(A) -120 (B) 120 (C) -160 (D) 160 (6)如图,半径为1的圆M 与直线l 相切于点A,圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M'时,圆M'与直线1相切于点B,点A 运动到点A ',线段AB 的长度为3,2π则点M '到直线'BA 的距离为(A) 1 (3B 2(C 1()2D (7)已知函数f(x)=|x-m|与函数g(x)的图象关于y 轴对称.若g(x)在区间(1,2)内单调递减,则m 的取值范围为(A) [-1,+∞) (B) (-∞,-1] (C) [-2,+∞) (D) (-∞,-2](8)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥中最长棱的棱长为()5A ()22B ()23C ()13D(9)若数列{}n a 满足12,a =则“*,,p r p r p r a a a +∀∈=N ”是“{}n a 为等比数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 (10)形如221n +(n 是非负整数)的数称为费马数,记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后,数学家欧拉计算出5F 不是质数,那5F 的位数是(参考数据: lg2≈0.3010 )(A) 9(B) 10 (C) 11 (D) 12第二部分(非选择题共110分)二､填空题共5小题,每小题5分,共25分｡(11)已知点P(1,2)在抛物线C 2:2y px =上,则抛物线C 的准线方程为___.(12)在等差数列{}n a 中,1253,16a a a =+=,则数列{}n a 的前4项的和为___.(13) 已知非零向量a , b 满足|a |=|a -b |,则1()2-⋅a b b =__. (14) 在△ABC 中, 43,4AB B π=∠=,点D 在边BC 上,2,3ADC π∠=CD=2,则AD=___ ; △ACD 的面积为____.(15) 如图,在等边三角形ABC 中, AB=6.动点P 从点A 出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点,记P 运动的路程为x,点P 到此三角形中心O 距离的平方为f(x),给出下列三个结论:①函数f(x)的最大值为12;②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9;③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根.其中,所有正确结论的序号是____.注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求｡全部选对得5分,不选或有错选得0分,其他得3分.三､解答题共6小题,共85分｡解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程｡(16) (本小题共14分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,AB ⊥平面1111,22,3BB C C AB BB BC BC ====，点E 为11A C 的中点.( I)求证:1C B ⊥平面ABC;(II)求二面角A BC E --的大小.(17) (本小题共14分)已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+.(I )求f(0)的值;(II)从①121,2ωω==121,1ωω==②这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数f(x)在[,]26ππ-上的最小值,并直接写出函数f(x)的一个周期.注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分｡(18) (本小题共14分)科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素,也是推动经济实现高质量发展的重要支撑,而研发投入是科技创新的基本保障,下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图:其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比,条形图是当年研发投入的数值(单位:十亿元)｡ ( I )从2010年至2019年中随机选取一年,求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率;(II)从2010年至2019年中随机选取两个年份,设X 表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数,求X 的分布列和数学期望;(III)根据图中的信息,结合统计学知识,判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发,并说明理由.(19) (本小题共15分)已知函数()x f x e ax =+.( I)当a=-1时,①求曲线y= f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;②求函数f(x)的最小值;(II)求证:当()2,0a ∈-时,曲线() y f x =与1y lnx =-有且只有一个交点.(20) (本小题共14分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>123(,0),(,0),(0,)A a A a B b -,12A BA ∆的面积为2. (I)求椭圆C 的方程;(II)设M 是椭圆C 上一点,且不与顶点重合,若直线1A B 与直线2A M 交于点P,直线1A M 与直线2A B 交于点Q. 求证:△BPQ 为等腰三角形.(21) (本小题共14分)已知数列{}n a 是由正整数组成的无穷数列.若存在常数*k ∈N , 使得212n n n a a ka -+=任意的*n ∈N 成立,则称数列{}n a 具有性质()k ψ.(I)分别判断下列数列{}n a 是否具有性质(2)ψ; (直接写出结论)1n a =① 2,n n a =②(II)若数列{}n a 满足1(1,2,3,)n n a a n +≥=L ,求证:“数列{}n a 具有性质(2)ψ”是“数列{}n a 为常数列”的充分必要条件;(III)已知数列{}n a 中11,a =且1(1,2,3,)n n a a n +>=L .若数列{}n a 具有性质(4)ψ,求数列{}n a 的通项公式.。
20200506海淀高三期中理数答案
海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案数学 2020春阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.1432155他得3分。
三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）解：（Ⅰ）因为AB ⊥平面11BB C C ，1C B ⊂平面11BB C C所以1AB C B ⊥. 在△1BCC 中，1BC =,1BC =12CC =, 所以22211BC BC CC +=.所以1CB C B ⊥. 因为AB BC B =I , ,AB BC ⊂平面ABC ，所以1C B ⊥平面ABC .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1AB C B ⊥,1BC C B ⊥,AB BC ⊥,如图,以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -.则(0,0,0)B，1(2E -，(1,0,0)C .(1,0,0)BC =u u u r，1(2BE =-u u u r .设平面BCE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u ur n n即0,10.2x x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩令y =0x =，3z =-,所以3)=-n . 又因为平面ABC 的法向量为(0,1,0)=m ，所以1cos ,||||2⋅<>==m n m n m n .由题知二面角A BC E --为锐角，所以其大小为3π. （17）解：（Ⅰ）2(0)2cos 0sin 02f =+=.（Ⅱ）选择条件①.()f x 的一个周期为π. 2()2cos sin 2f x x x =+(cos21)sin 2x x =++22)1x x =+2)14x π++（.因为[,]26x ππ∈-,所以372+[,]4412x πππ∈-.所以 1sin 2)14x π-≤+≤（.所以1()1f x -≤+当2=42x ππ+-时，即3π=8x -时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值1选择条件②.()f x 的一个周期为2π.2()2cos sin f x x x =+22(1sin )sin x x =-+21172(sin )48x =--+.因为[,]26x ππ∈-,所以1sin [1,]2x ∈-.所以 当sin =1x -时，即π=2x -时， ()f x 在[,]26ππ-取得最小值1-.（18）解：（Ⅰ）设事件A 为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，所以9()10P A =. （Ⅱ）由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X 的所有可能取值为0,1,2.且25210C 2(0)=C 9P X ==；1155210C C 5(1)=C 9P X ==；25210C 2(2)=C 9P X ==.所以X 的分布列为：故X 的期望252()0121999E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一. 要求用数据说话，数据可以支持自己的结论即可，阅卷时按照上述标准酌情给分.（19）解：（Ⅰ）①当1a =-时，e ()x x f x =-，则 )1(e xf x =-'．所以'(0)0.f = 又(0)1f =， 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y = ②令'()0f x =，得0x =.此时()f x '，()f x 随x 的变化如下：可知()min 01()f x f ==，函数()f x 的最小值为1. （Ⅱ）由题意可知，0,x ∈∞+（).令l (1)e n x g ax x x =++-，则1'e ()x g a xx =++． 由（Ⅰ）中可知e 1x x -≥，故 e 1x x ≥+． 因为2,0a ∈-（)， 则()11'(1)e x g a x a x x x=++≥+++130a a ≥+=+>． 所以函数()g x 在区间(0,)+∞上单调递增．因为11e21()e 2e 20e ea g =+-<-<,又因为e 2(e)e e e 2e 0g a =+>->， 所以()g x 有唯一的一个零点.即函数()y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点.（20）解：（Ⅰ）由题2222.c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21.a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆方程为2214x y +=.（II ）解法1证明：设直线2A M 方程为1(2)(0)2y k x k k =-≠≠±且，直线1A B 方程为112y x =+由(2),11.2y k x y x =-⎧⎪⎨=+⎪⎩解得点424(,)2121k k P k k +--. 由22(2)1.4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(41)161640k x k x k +-+-=， 则221642=41M k x k -+.所以2282=41M k x k -+，24=41M ky k -+.即222824(,)4141k k M k k --++.12224141824241A Mkk k k kk -+==--++. 于是直线1A M 的方程为1(2)4y x k =-+，直线2A B 的方程为112y x =-+. 由1(2)4112y x k y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得点422(,)2121k Q k k +--- . 于是P Q x x =，所以PQ x ⊥轴. 设PQ 中点为N ，则N 点的纵坐标为42212112k k k -+--=.故PQ 中点在定直线1y =上. 从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以BP BQ =， 所以△BPQ 为等腰三角形. 解法2证明：设0000(,)(2,1)M x y x y ≠±≠±则220044x y +=. 直线2A M 方程为00(2)2y y x x =--，直线1A B 方程为112x y =+. 由00(2)21 1.2y y x x y x ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得点00000002444(,)2222x y y P y x y x +--+-+.直线1A M 方程为00(2)2y y x x =++，直线2A B 方程为112y x =-+. 由00(2)21 1.2y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得点000000024+44(,)2+222x y y Q y x y x -+++.0000000024424+4222+2P Q x x y x y y x y x x +-----++=0000000000002(22)(2+2)2(2+2)(22)(22)(2+2)x y y x x y y x y x y x +-+---+=-++22000000002(2)4)(4(2)0(22)(2+2)x y x y y x y x ⎡⎤+----⎣⎦==-++.于是P Q x x =，所以PQ x ⊥轴. 00000044222+2P Q y y y x y x y y +-+=++ 0000220000004(44)4(44)2(22)(2+2)(22)y y y y y x y x y x ++===-+++-. 故PQ 中点在定直线1y =上. 从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以BP BQ =， 所以△BPQ 为等腰三角形.（21）解：（Ⅰ）①数列{}n a 具有“性质(2)ψ”；②数列{}n a 不具有“性质(2)ψ”. （Ⅱ）先证“充分性”：当数列{}n a 具有“性质(2)ψ”时，有2122n n n a a a -+=又因为1n n a a +≥，所以22100n n n n a a a a -≤-=-≤，进而有2n n a a = 结合1n n a a +≥有12n n n a a a +==⋅⋅⋅=,即“数列{}n a 为常数列”； 再证“必要性”：若“数列{}n a 为常数列”，则有212122n n n a a a a -+==，即“数列{}n a 具有“性质(2)ψ”. （Ⅲ）首先证明：12n n a a +-≥.因为{}n a 具有“性质(4)ψ”， 所以2124n n n a a a -+=.当1n =时有21=33a a =. 又因为*212n n n a ,a ,a -∈N 且22-1n n a a >， 所以有22121,21n n n n a a a a -≥+≤-, 进而有221121122n n n n a a a a +++≤≤-≤-， 所以12()3n n a a +-≥,结合*+1n n a ,a ∈N 可得：12n n a a +-≥. 然后利用反证法证明：12n n a a +-≤. 假设数列{}n a 中存在相邻的两项之差大于， 即存在*k ∈N 满足：2123k k a a +-≥或2+22+13k k a a -≥， 进而有1222+12214()(+)(+)k k k k k k a a a a a a ++--=- 2222+121=()+()k k k k a a a a +---[][]22212+122+12221=()+()+()()k k k k k k k k a a a a a a a a ++----+-9≥. 又因为*1k k a a +-∈N ， 所以13k k a a +-≥依次类推可得：213a a -≥，矛盾，所以有12n n a a +-≤. 综上有：12n n a a +-=， 结合11a =可得21n a n =-，经验证，该通项公式满足2124n n n a a a -+=， 所以：21n a n =-.。
2020海淀区高三二模数学试题及答案
海淀区高三年级第二学期期末数学答案2020.6 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9竺口禾妾 D A B D C C A B C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．题号11 12 13141 满足x2一）,2=凡1;［叶］答案 2 (A->2或A-<-2)即可 6三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16解：选CDa1=4.：包｝是等差数列n(n-1)..．S 11=n a1+�d·: a1 = 4,S5 = 40:. S5 = 20+10d =40:.d =2·:S1. =k2+3k,S1 =a1 =4·. ·鸟＝SI:.k2+3k=4(k -1)(k + 4) = 0:. k=1或k=-4（舍去）:不存在k>1，使得s k= s1选＠d=-2.：包｝是等差数列n(n-l) :.Sn=na1+�d·: d= -2, S5 = 40:. S5 = 5a1 -20 =4010 C15 ＠＠）:. g(x) = e'c os x = I在（咚］上存在唯—一个根，叨(x)= Ze"'c os x-2 = 0在（气］上存在唯一一个零点，直线y=f(x)在区间伈勹上有且仅有一条斜率为2的切线。
21.解：若点A(x1,Y1), B(x2, Y2)相关，不妨设气小，X2;Y2 � 0,刺X1+ Y1)2 + (x、2+ Y2)2之(xi+Y2)2 + (x2 + Y1)2台（：日－：迈）（Y1-Y2)之0(1)CD(2 -3) (1 -2) � o,因此相关；＠（4 -2)(3 -4) < 0,因此不相关(2)＠在第一彖限内，（．x-l) (y -1) � 0，可知l�x:::;n且1� y � n,有芷个点；在.T,轴正半轴上，点(1,0)满足条件；在Y轴正半轴上，点(0,1)满足条件；原点(O,O)满足条件；因此集合几中共有4n2+ 5个点与点A(l,1)相关＠若两个不同的点A(t1,y认B（功，初）相关，其中也·1心22 0，如，：1/22 o,可知(x1-．吩）（加一扔）20．下叫(x1+初）－（切＋Y2)I乏l若:1;1= X2,则小＃？儿，成立，若X1>X2,则？／12 Y2,若尤I<X2,则？／1::; Y2,亦成立．由于1亿＋初）－ （巧＋沁I::; (n + n) -(0 + 0) = 2n,因此最多有2n+1个点两两相关，其中最多有2n—1个点在第一象限；最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点、为原点．因此S中元素个数的最大值为4(2n -1) + 2 · 1 + 1 = 8n -1.。
2020年5月海淀高三一模数学
海淀区高三年级第二学期阶段性测试数 学 2020春本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知集合{ |0 3 }A x x =<<，A B =I { 1 }，则集合B 可以是（3）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的离心率为5，则b 的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（4）已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（A ）b a c a -<+ （B ）2c ab < （C ）c cb a> （D ）||||b c a c <（5）在61(2)x x-的展开式中，常数项为（A ）120-（B ）120 （C ）160- （D ）160（A ）{ 1 2 }， （B ）{ 1 3 }， （C ）{ 0 1 2 }，， （D ）{ 1 2 3 }，，1 1 22（6）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为 （A ）1 （B ）3 （C 2（D ）12（7）已知函数()||f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称.若()g x 在区间(1,2)内单调递减，则m 的取值范围为 （A ）[1,)-+∞ （B ）(,1]-∞- （C ）[2,)-+∞（D ）(,2]-∞-（8）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（A 5 （B ）22（C ）23（D 13（9）若数列{}n a 满足1= 2 a ，则“p ∀，r *∈N ，p r p r a a a +=”是“{}n a 为等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（10）形如221n+（n 是非负整数）的数称为费马数，记为n F .数学家费马根据0F ,1F ,2F ,3F ,4F 都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那么5F 的位数是（参考数据：lg20.3010≈） （A ）9 （B ）10 （C ）11（D ）12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2020届 海淀区 高三一模 数学 参考答案
2020届海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案
数
学 2020春
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.
注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。
三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）解：（Ⅰ）因为AB ⊥平面11BB C C ，1C B ⊂平面11BB C C
所以1AB C B ⊥.
在△1BCC 中，1BC =,1BC =12CC =,
所以22211BC BC CC +=.
所以1CB C B ⊥. 因为AB BC B =I , ,AB BC ⊂平面ABC ，。
2020年北京市海淀区高考数学二模试卷 (含答案解析)
2020年北京市海淀区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集U=R，集合A={x|x<2}，B={x|x2<4}则()A. A⊆BB. A⊇BC. A⊆∁U BD. B⊆∁U A2.下列函数是偶函数且值域为[0,+∞)的是()①y=|x|②y=x3③y=2|x|④y=x2+|x|A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，若抛物线上一点P到y轴的距离是1，则|PF|等于()A. 2B. 3C. 4D. 54.设两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β.下列命题正确的是()．A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，m//n，n//β，则α⊥β5.在△ABC中，a=15，b=10，A=π3，则cos B等于()A. √33B. √63C. −√63D. ±√636.将函数的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为()A. g(x)=cos2xB. g(x)=−cos2xC. g(x)=sin2xD.7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A. 8B. 4C. 83D. 438.命题“a>b”是命题“ac2>bc2”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要9.如图所示，在正四棱锥S−ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC，则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是()A.B.C.D.10. 楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为( )A. 10B. 15C. 20D. 24二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 若复数(1+i)(a −i)为纯虚数，则实数a =______．12. 若双曲线的一条渐近线方程为y =√3x ，一个焦点为(4,0)，则该双曲线的标准方程为________． 13. 数列{a n }满足a 1=1，a n+1+2a n =0(n ∈N ∗)，数列{a n }的前n 项和为S n =______．14. 已知O 为坐标原点，点A(2,0)，B(0,2)，C(cosα,sinα)，且0<α<π.若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7，则OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为______ ．15. 已知函数f(x)={x 2+(4a −3)x +3a,x <0,log a (x +1)+1,x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f(x)|=2−x 3恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是____.三、解答题（本大题共6小题，共85.0分） 16. 已知{a n }是公差为d 的无穷等差数列，其前n 项和为S n .又___，且S 5=40，是否存在大于1的正整数k ，使得S k =S 1？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．从①a 1=4，②d =−2这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD//BC，AD=1，PA=AB=BC=2，M是棱PB的中点．(1)求证：AM//平面PCD；DC，求直线MN与平面PCD所成角的(2)若∠ABC=90°，点N是线段CD上一点，且DN=13正弦值．18.为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示．(Ⅰ)估计该地区年龄在71∼80岁且已签约家庭医生的居民人数；(Ⅱ)据统计，该地区被访者的签约率约为44％.为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55％以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释．19. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P(−2,1)，且C 的离心率为√32． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点Q(2,0)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，求l 的方程．20. 已知函数f(x)=e x (sinx +cosx)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)求证：曲线y =f(x)在区间(0,π2)上有且只有一条斜率为2的切线．21.已知集合U={1,2，…，n}(n∈N∗,n≥2)，对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B=⌀，则称(A,B)为集合U的一组“互斥子集”.记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”)．(1)写出f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)求f(n)．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵全集U=R，集合A={x|x<2}，B={x|x2<4}={x|−2<x<2}，∴A⊇B．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能判断集合A和B的包含关系．本题考查两个集合的包含关系的判断，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：C解析：本题考查了函数的值域，考查了函数的奇偶性，是基础题．由函数的奇偶性与值域逐一判断，即可找出正确选项．解：①函数y=f(x)=|x|，可得f(−x)=|−x|=f(x)，定义域为R，故函数为偶函数且|x|≥0，故①正确；②函数y=f(x)=x3，可得f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)，定义域为R，故函数为奇函数，②错误；③易知y=2|x|为偶函数，但值域为[1,+∞)，故③错误；④y=f(x)=x2+|x|，可得f(−x)=(−x)2+|−x|=f(x)，定义域为R，故函数为偶函数且y= x2+|x|≥0，故④正确．故选C．3.答案：B解析：本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．利用抛物线的性质求的抛物线的方程，然后利用抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离求解结果即可．解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，可得p=4，抛物线方程为：y2=8x．抛物线上一点P到y轴的距离是1，则|PF|=1+p2=1+2=3．故选B．4.答案：D解析：本题考查空间中直线与直线的位置关系，平面与平面的位置关系，属于基础题，根据空间线面位置关系的判定定理或性质进行判断或举反例说明，逐个选项判断即可．解：A中，m与n可垂直、可异面、可平行、可相交，故A错误，B中m与n可平行、可异面，故B错误，C中若α//β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误，D中，m⊥α，m//n，则n⊥α，又n//β，∴在β内存在一直线l//n，且l⊥α，由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选D．5.答案：B解析：本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由已知利用正弦定理可求sin B的值，利用大边对大角可求B为锐角，根据同角三角函数基本关系式可求cos B的值．解：∵a=15，b=10，A=π3，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得：sinB=b⋅sinAa=10×√3215=√33，∵a>b，可得B为锐角，。
2020北京市海淀区高三数学二模考试试卷
海淀区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试数学试卷 2020.6一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|0}M x x =∈R ≥，N M ⊆，则在下列集合中符合条件的集合N 可能是 A. {0,1} B. 2{|1}x x = C. 2{|0}x x > D. R2．在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为A.sin y x =B.cos y x =C.||y x x =D. ln ||y x =3. 已知x y >，则下列各不等式中一定成立的是A ．22x y >B ．11x y> C ．11()()33x y >D ．332x y -+>4.已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f = A ．16 B ．8 C ．4 D ． 25.已知双曲线221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y +=，则其离心率为C. D.6.已知平面向量和a b ，则“||||=-b a b ”是“1()02-=b a a ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7．已知圆22:(1)2C x y +-=，若点P 在圆C 上，并且点P 到直线y x =的距离为2，则满足条件的点P 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．48．设函数1()sin()2f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若51()82f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．13ω=，24ϕ11π=-B ．23ω=，12ϕπ= C ．13ω=，24ϕ7π= D ．23ω=，12ϕ11π=-9. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为 AB ．2C． D．10. 已知函数()f x 的定义域为 ，且满足下列三个条件：①对任意的 ，且，都有；② ；③ 是偶函数；若，，(2020)c f =，则 ，， 的大小关系正确的是 A ．a b c << B ．C ．D ．二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．抛物线2()y mx m =为常数过点(1,1)-，则抛物线的焦点坐标为_______.12．在61()x x+的展开式中，常数项为_______.（用数字作答）．13. 已知n S 是数列{n a }的前n 项和，且211(*)n S n n n =-∈N ，则1a =_________，n S 的最小值为_______．14. 在ABC 中，三边长分别为4a =，5b =，6c =，则ABC 的最大内角的余弦值为_________，ABC 的面积为_______．15. 已知集合22{,,A a a x y x y ==-∈∈Z Z}．给出如下四个结论： ①2A ∉，且3A ∈；②如果{|21,}B b b m m ==-∈N*，那么B A ⊆；③如果{|22,}C c c n n ==+∈N*，那么对于c C ∀∈，则有c A ∈； ④如果1a A ∈，2a A ∈，那么12a a A ∈． 其中，正确结论的序号是__________．第9题图11主视图1俯视图2三、解答题: 本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 16.（本小题满分14分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥．（Ⅰ）证明：1DC BC ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小．17.（本小题满分15分）已知函数 ．（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；（Ⅱ）若当π[0,]2x ∈时，关于x 的不等式()f x m ≥_______，求实数的取值范围．请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立． 注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分．18.（本小题满分14分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（Ⅰ）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率； （Ⅱ）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制．规定：消费金额为2000元、2700元和3200元的消费者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员．预计去年消费金额在(0,1600]、(1600,3200]、(3200,4800]内的消费者今年都将会分别申请办理普通会员、银卡会员和金卡会员．消费者在申请办理会员时，需一次性预先缴清相应等级的消费金额．该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案： 方案 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励．其中，普通会员、银卡会员和金卡会员中的“幸运之星”每人分别奖励500元、600元和元．方案2 每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励．如果每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员C 1 A BC A 1B 1第16题图D(800,1600] (1600,2400] (2400,3200] (4000,4800](3200,4000] 消费金额/元人数均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）．以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由．19.（本小题满分14分）已知椭圆：过点P ，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和离心率；（Ⅱ）过点6(,0)5Q -作不与轴垂直的直线交椭圆于，（异于点）两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由．20.（本小题满分14分）已知函数()ln ,f x x a x a =-∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）设函数1()()ah x f x x+=+，试判断函数()h x 是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． （Ⅲ）当0x >时，写出ln x x 与2x x -的大小关系．21.（本小题满分14分）设n 为正整数，集合A =12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=和12(,,,)n y y y β=，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+-++-+++-+++．（Ⅰ）当n =3时，若(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值； （Ⅱ）当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素,αβ，证明：(,)(,)(,)M M M αβααββ+≤．（Ⅲ）给定不小于2的正整数n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同元素α,β，(,)(,)(,)M M M αβααββ=+．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。
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2020北京市海淀区高三年级第二学期阶段性测试【理数】含答案本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知集合{ |0 3 }A x x =<<，A B =I { 1 }，则集合B 可以是（3）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的离心率为5，则b 的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（4）已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（A ）b a c a -<+ （B ）2c ab < （C ）c cb a> （D ）||||b c a c <（5）在61(2)x x-的展开式中，常数项为（A ）120-（B ）120 （C ）160- （D ）160（6）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为 （A ）1（B ）3 （A ）{ 1 2 }， （B ）{ 1 3 }， （C ）{ 0 1 2 }，， （D ）{ 1 2 3 }，，1 1 22 （C 2 （D ）12（7）已知函数()||f x x m =-与函数()g x 的图象关于y 轴对称.若()g x 在区间(1,2)内单调递减，则m 的取值范围为 （A ）[1,)-+∞ （B ）(,1]-∞- （C ）[2,)-+∞（D ）(,2]-∞-（8）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（A 5 （B ）22（C ）23（D 13（9）若数列{}n a 满足1= 2 a ，则“p ∀，r *∈N ，p r p r a a a +=”是“{}n a 为等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）形如221n +（n 是非负整数）的数称为费马数，记为n F .数学家费马根据0F ,1F ,2F ,3F ,4F 都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那么5F 的位数是（参考数据：lg20.3010≈） （A ）9 （B ）10 （C ）11（D ）12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）已知点(1,2)P 在抛物线2:2C y px =上，则抛物线C 的准线方程为 . （12）在等差数列{}n a 中， 13a =，2516a a +=，则数列{}n a 的前4项的和为 . （13）已知非零向量a ，b 满足||=||-a a b ，则1()2-⋅=a b b .（14）在△ABC 中，43AB =4B π∠=，点D 在边BC 上，23ADC π∠=，2CD =，则AD = ；△ACD 的面积为 .（15）如图，在等边三角形ABC 中，6AB =. 动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为()f x ，给出下列三个结论： ①函数()f x 的最大值为12；②函数()f x 的图象的对称轴方程为9x =； ③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根. 其中，所有正确结论的序号是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。
全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。
三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中， AB ⊥平面11BB C C ，122AB BB BC ===，13BC =，（Ⅰ）求证：1C B ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A BC E --的大小.OBCAPECAB（17）（本小题共14分）已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，22ω=； ②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[2π-,]6π上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。
（18）（本小题共14分）科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障.下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）.（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X 表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由.（19）（本小题共15分）已知函数()e x f x ax =+． （Ⅰ）当1a =-时，①求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； ②求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）求证：当(2a ∈-，0)时，曲线()y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点．（20）（本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>，1(,0)A a -，2(,0)A a ，(0,)B b ，△12A BA 的面积为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B 与直线2A M 交于点P ，直线1A M与直线2A B 交于点Q . 求证：△BPQ 为等腰三角形.（21）（本小题共14分）已知数列{}n a 是由正整数组成的无穷数列. 若存在常数*k ∈N ，使得212n n na a ka -+=对任意的*n ∈N 成立，则称数列{}n a 具有性质()k ψ.（Ⅰ）分别判断下列数列{}n a 是否具有性质(2)ψ；(直接写出结论)①1n a =； ②2n n a =.（Ⅱ）若数列{}n a 满足1n a +≥(1,2,3,)n a n =L ，求证：“数列{}n a 具有性质(2)ψ”是“数列{}n a 为常数列”的充分必要条件；（Ⅲ）已知数列{}n a 中11a =，且1(1,2,3,)n n a a n +>=L .若数列{}n a 具有性质(4)ψ，求数列{}n a 的通项公式.海淀区高三年级第二学期阶段性测试参考答案数学2020春阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.1432155他得3分。
三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）解：（Ⅰ）因为AB⊥平面11BB C C，1C B⊂平面11BB C C所以1AB C B⊥.在△1BCC中，1BC=,1BC=12CC=,所以22211BC BC CC+=.所以1CB C B⊥.因为AB BC B=I, ,AB BC⊂平面ABC，所以1C B⊥平面ABC.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1AB C B⊥,1BC C B⊥,AB BC⊥,如图,以B为原点建立空间直角坐标系B xyz-.则(0,0,0)B，1(2E-，(1,0,0)C.(1,0,0)BC=u u u r，1(2BE=-u u u r.设平面BCE的法向量为(,,)x y z=n，则0,0.BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u ur n n即0,10.2x x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩令y =0x =，3z =-,所以3)=-n . 又因为平面ABC 的法向量为(0,1,0)=m ，所以1cos ,||||2⋅<>==m n m n m n .由题知二面角A BC E --为锐角，所以其大小为3π. （17）解：（Ⅰ）2(0)2cos 0sin 02f =+=.（Ⅱ）选择条件①.()f x 的一个周期为π. 2()2cos sin 2f x x x =+(cos21)sin 2x x =++22)1x x =+2)14x π++（.因为[,]26x ππ∈-,所以372+[,]4412x πππ∈-.所以 1sin 2)14x π-≤+≤（.所以1()1f x -≤+当2=42x ππ+-时，即3π=8x -时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值1选择条件②.()f x 的一个周期为2π. 2()2cos sin f x x x =+22(1sin )sin x x =-+21172(sin )48x =--+.因为[,]26x ππ∈-,所以1sin [1,]2x ∈-.所以 当sin =1x -时，即π=2x -时， ()f x 在[,]26ππ-取得最小值1-.（18）解：（Ⅰ）设事件A 为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，所以9()10P A =. （Ⅱ）由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X 的所有可能取值为0,1,2.且25210C 2(0)=C 9P X ==；1155210C C 5(1)=C 9P X ==；25210C 2(2)=C 9P X ==.所以X 的分布列为：故X 的期望252()0121999E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一. 要求用数据说话，数据可以支持自己的结论即可，阅卷时按照上述标准酌情给分.（19）解：（Ⅰ）①当1a =-时，e ()x x f x =-，则 )1(e xf x =-'．所以'(0)0.f = 又(0)1f =， 所以曲线()yf x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y = ②令'()0f x =，得0x =.时()f x '，()f x 随x 的变化如下：可知()min 01()f x f ==，函数()f x 的最小值为1. （Ⅱ）由题意可知，0,x ∈∞+（).令l (1)e n x g ax x x =++-，则1'e ()x g a xx =++． 由（Ⅰ）中可知e 1x x -≥，故 e 1x x ≥+． 因为2,0a ∈-（)， 则()11'(1)e x g a x a x x x=++≥+++ 130a a ≥+=+>． 所以函数()g x 在区间(0,)+∞上单调递增．因为11e21()e 2e 20e ea g =+-<-<,又因为e 2(e)e e e 2e 0g a =+>->， 所以()g x 有唯一的一个零点.即函数()y f x =与1ln y x =-有且只有一个交点.（20）解：（Ⅰ）由题2222.c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21.a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆方程为2214x y +=.（II ）解法1证明：设直线2A M 方程为1(2)(0)2y k x k k =-≠≠±且，直线1A B 方程为112y x =+由(2),11.2y k x y x =-⎧⎪⎨=+⎪⎩解得点424(,)2121k k P k k +--.由22(2)1.4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(41)161640k x k x k +-+-=， 则221642=41M k x k -+.所以2282=41M k x k -+，24=41M ky k -+.即222824(,)4141k k M k k --++.12224141824241A Mkk k k kk -+==--++. 于是直线1A M 的方程为1(2)4y x k =-+，直线2A B 的方程为112y x =-+. 由1(2)4112y x k y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得点422(,)2121k Q k k +--- . 于是P Q x x =，所以PQ x ⊥轴. 设PQ 中点为N ，则N 点的纵坐标为42212112k k k -+--=.故PQ 中点在定直线1y =上. 从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以BP BQ =， 所以△BPQ 为等腰三角形. 解法2证明：设0000(,)(2,1)M x y x y ≠±≠±则220044x y +=. 直线2A M 方程为00(2)2y y x x =--，直线1A B 方程为112x y =+. 由00(2)21 1.2y y x x y x ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得点00000002444(,)2222x y y P y x y x +--+-+.直线1A M 方程为00(2)2y y x x =++，直线2A B 方程为112y x =-+. 由00(2)21 1.2y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得点000000024+44(,)2+222x y y Q y x y x -+++.0000000024424+4222+2P Q x x y x y y x y x x +-----++=0000000000002(22)(2+2)2(2+2)(22)(22)(2+2)x y y x x y y x y x y x +-+---+=-++22000000002(2)4)(4(2)0(22)(2+2)x y x y y x y x ⎡⎤+----⎣⎦==-++.于是P Q x x =，所以PQ x ⊥轴. 00000044222+2P Q y y y x y x y y +-+=++ 0000220000004(44)4(44)2(22)(2+2)(22)y y y y y x y x y x ++===-+++-. 故PQ 中点在定直线1y =上. 从上边可以看出点B 在PQ 的垂直平分线上，所以BP BQ =， 所以△BPQ 为等腰三角形.（21）解：（Ⅰ）①数列{}n a 具有“性质(2)ψ”；②数列{}n a 不具有“性质(2)ψ”. （Ⅱ）先证“充分性”：当数列{}n a 具有“性质(2)ψ”时，有2122n n n a a a -+=又因为1n n a a +≥，所以22100n n n n a a a a -≤-=-≤，进而有2n n a a = 结合1n n a a +≥有12n n n a a a +==⋅⋅⋅=,即“数列{}n a 为常数列”； 再证“必要性”：若“数列{}n a 为常数列”， 则有212122n n n a a a a -+==，即“数列{}n a 具有“性质(2)ψ”. （Ⅲ）首先证明：12n n a a +-≥.因为{}n a 具有“性质(4)ψ”， 所以2124n n n a a a -+=.当1n =时有21=33a a =. 又因为*212n n n a ,a ,a -∈N 且22-1n n a a >， 所以有22121,21n n n n a a a a -≥+≤-, 进而有221121122n n n n a a a a +++≤≤-≤-， 所以12()3n n a a +-≥,结合*+1n n a ,a ∈N 可得：12n n a a +-≥. 然后利用反证法证明：12n n a a +-≤. 假设数列{}n a 中存在相邻的两项之差大于， 即存在*k ∈N 满足：2123k k a a +-≥或2+22+13k k a a -≥， 进而有1222+12214()(+)(+)k k k k k k a a a a a a ++--=- 2222+121=()+()k k k k a a a a +---[][]22212+122+12221=()+()+()()k k k k k k k k a a a a a a a a ++----+-9≥. 又因为*1k k a a +-∈N ， 所以13k k a a +-≥依次类推可得：213a a -≥，矛盾，所以有12n n a a +-≤. 综上有：12n n a a +-=， 结合11a =可得21n a n =-，经验证，该通项公式满足2124n n n a a a -+=， 所以：21n a n =-.。