23一阶逻辑等值式与前束范式
前束范式求解方法
前束范式求解方法1. 前束范式的概念和目的1.1 前束范式的定义前束范式是一种数学和逻辑学中的概念，它用于描述一个公式、命题或谓词逻辑中的前提部分。
在逻辑推理和问题求解中，前束范式用于将问题转化为一组条件和约束的集合，以便能够进行推理和求解。
1.2 前束范式的目的前束范式的目的是将问题转化为一组更易于求解的条件和约束的集合。
通过使用前束范式，我们可以简化问题的复杂性，并将其转化为一组逻辑关系更为清晰和可管理的形式。
这样，我们可以更容易地进行问题求解和逻辑推理。
2. 前束范式求解方法的基本原理2.1 前束范式求解方法的基本原理前束范式求解方法基于以下基本原理： 1. 将问题转化为一组逻辑约束和条件。
2. 使用逻辑推理或数学方法对这组约束和条件进行求解。
3. 根据求解结果，得到问题的解答或结论。
2.2 前束范式求解方法的步骤前束范式求解方法一般包括以下几个步骤： 1. 将问题描述转化为逻辑形式，并确定问题的前提条件和约束条件。
2. 将前提条件和约束条件表示为一组逻辑公式或数学方程。
3. 使用逻辑推理或数学求解方法，对这组公式或方程进行求解。
4. 根据求解结果，得到问题的解答或结论。
3. 前束范式求解方法的应用领域3.1 前束范式求解方法在人工智能中的应用前束范式求解方法在人工智能领域有广泛的应用，特别是在知识表示和推理、专家系统以及自动推理等方面。
通过将问题转化为前束范式，可以使计算机更好地理解问题的逻辑结构，并用逻辑推理的方式进行求解。
3.2 前束范式求解方法在自动规划和优化中的应用前束范式求解方法在自动规划和优化领域也有重要的应用。
通过将问题转化为前束范式，可以将复杂的规划和优化问题分解为一组条件和约束的集合，进而使用逻辑推理或数学求解方法进行求解。
3.3 前束范式求解方法在电路设计中的应用前束范式求解方法在电路设计中也有广泛的应用。
通过将电路设计问题转化为前束范式，可以将复杂的电路设计问题分解为一组逻辑关系更为清晰和可管理的形式，从而更好地进行电路设计和优化。
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结数理逻辑部分第2章一阶逻辑2.1 一阶逻辑基本概念个体词（个体）: 所研究对象中能够独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域: 个体变项的取值范围有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2}无限个体域，如N, Z, R, …全总个体域: 宇宙间一切事物组成谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：F(a)：a是人谓词变项：F(x)：x具有性质F一元谓词: 表示事物的性质多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x y，…0元谓词: 别含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项量词: 表示数量的词全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等如x 表示对个体域中所有的x存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一具等如x表示在个体域中存在x一阶逻辑中命题符号化例1 用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲符号化为p, 这是真命题在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲符号化为F(a)例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字分不取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域.解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为x G(x)(2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为x G(x)(b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中(1) x (F(x)G(x))(2) x (F(x)G(x))这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 正数都大于负数(2) 有的无理数大于有的有理数解注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域(1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值(2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数,L(x,y)：x>yx(F(x)y(G(y)L(x,y)))或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值几点注意：1元谓词与多元谓词的区分无特殊要求，用全总个体域量词顺序普通别能随便颠倒否定式的使用考虑：①没有别呼吸的人②别是所有的人都喜爱吃糖③别是所有的火车都比所有的汽车快以上命题应怎么符号化？2.2 一阶逻辑合式公式及解释字母表定义字母表包含下述符号：(1) 个体常项：a, b, c, …, a i, b i, c i, …, i1(2) 个体变项：x, y, z, …, x i, y i, z i, …, i 1(3) 函数符号：f, g, h, …, f i, g i, h i, …, i1(4) 谓词符号：F, G, H, …, F i, G i, H i, …, i1(5) 量词符号：,(6) 联结词符号：, , , ,(7) 括号与逗号：(, ), ，定义项的定义如下：(1) 个体常项和个体变项是项.(2) 若(x1, x2, …, x n)是任意的n元函数，t1,t2,…,t n是任意的n个项，则(t1, t2, …, t n) 是项.(3) 所有的项基本上有限次使用(1), (2) 得到的.个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数和复合函数依然项定义设R(x1, x2, …, x n)是任意的n元谓词，t1,t2,…, t n 是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, t n)是原子公式.原子公式是由项组成的n元谓词.例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式定义合式公式（简称公式）定义如下：(1) 原子公式是合式公式.(2) 若A是合式公式，则(A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B),(A B)也是合式公式(4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式(5) 惟独有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合式公式.请举出几个合式公式的例子.定义在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在x和x的辖域中，x的所有浮现都称为约束浮现，A中别是约束浮现的其他变项均称为是自由浮现的.例如, 在公式x(F(x,y)G(x,z)) 中,A=(F(x,y)G(x,z))为x的辖域，x为指导变元, A中x的两次浮现均为约束浮现，y与z均为自由浮现.闭式: 别含自由浮现的个体变项的公式.给定公式A=x(F(x)G(x))成真解释: 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1代入得A=x(x>2x>1) 真命题成假解释: 个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2 代入得A=x(x>1x>2) 假命题咨询: xF(x)x F(x) 有成真解释吗？xF(x)x F(x) 有成假解释吗？被解释的公式别一定全部包含解释中的4部分.闭式在任何解释下基本上命题，注意别是闭式的公式在某些解释下也也许是命题.永真式（逻辑有效式）：无成假赋值矛盾式（永假式）：无成真赋值可满脚式：至少有一具成真赋值几点讲明：永真式为可满脚式，但反之别真谓词公式的可满脚性（永真性,永假性)是别可判定的利用代换实例可判某些公式的类型定义设A0是含命题变项p1, p2, …,p n的命题公式，A1,A2,…,A n是n个谓词公式，用A i处处代替A0中的p i (1i n)，所得公式A称为A0的代换实例.例如:F(x)G(x), xF(x)yG(y) 等基本上p q的换实例，x(F(x)G(x)) 等别是p q 的代换实例.定理重言式的代换实例基本上永真式，矛盾式的代换实例基本上矛盾式.2.3 一阶逻辑等值式等值式定义若A B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A B，并称A B 为等值式.基本等值式:命题逻辑中16组基本等值式的代换实例如，xF(x)yG(y) xF(x)yG(y)(xF(x)yG(y)) xF(x)yG(y) 等消去量词等值式设D={a1,a2,…,a n} xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)量词否定等值式设A(x)是含x自由浮现的公式xA(x)x A(x)xA(x)x A(x)量词分配等值式x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)注意：对无分配律，对无分配律例将下面命题用两种形式符号化(1) 没有别犯错误的人(2) 别是所有的人都爱看电影解(1) 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))请给出演算过程，并讲明理由.(2) 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))给出演算过程，并讲明理由.前束范式定义设A为一具一阶逻辑公式, 若A具有如下形式Q1x1Q2x2…Q k x k B, 则称A为前束范式, 其中Q i(1i k)为或，B为别含量词的公式.例如，x y(F(x)(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))是前束范式, 而x(F(x)y(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))别是前束范式.定理（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式注意:公式的前束范式别惟一求公式的前束范式的办法: 利用重要等值式、置换规则、换名规则、代替规则举行等值演算.换名规则: 将量词辖域中浮现的某个约束浮现的个体变项及对应的指导变项，改成其他辖域中未曾浮现过的个体变项符号，公式中其余部分别变，则所得公式与原来的公式等值.代替规则: 对某自由浮现的个体变项用与原公式中所有个体变项符号别同的符号去代替，则所得公式与原来的公式等值.例求下列公式的前束范式(1) x(M(x)F(x))解x(M(x)F(x))x(M(x)F(x)) （量词否定等值式）x(M(x)F(x))两步结果基本上前束范式，讲明前束范式别惟一.(2) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x) （量词否定等值式）x(F(x)G(x)) （量词分配等值式）另有一种形式xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)xF(x)y G(y) ( 换名规则) x y(F(x)G(y)) ( 量词辖域扩张) 两种形式是等值的(3) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)x(F(x)G(x)) （为啥？）或x y(F(x)G(y)) （为啥？）(4) xF(x)y(G(x,y)H(y))解xF(x)y(G(x,y)H(y))zF(z)y(G(x,y)H(y)) （换名规则）z y(F(z)(G(x,y)H(y))) （为啥？）或xF(x)y(G(z,y)H(y)) （代替规则）x y(F(x)(G(z,y)H(y)))(5) x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))解用换名规则, 也可用代替规则, 这个地方用代替规则 x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z)))x y(F(x,u)G(x,y)H(x,z)))注意：x与y别能颠倒。
前束范式求解方法
前束范式求解方法前束范式（Forward Chaining）是人工智能中的一种推理方式，它是一种基于规则的推理方法。
前束范式求解方法是指在前束范式推理的基础上进行问题求解的方法。
在前束范式推理过程中，系统会首先根据已有的事实和规则，推导出一些新的事实，并将其加入到已有的事实集合中。
然后再基于这些新的事实和规则，继续进行推导，直到找到答案或者无法进行推导为止。
这种推导方式类似于正向推导，因此被称为前向推导。
在前束范式求解方法中，需要定义一组规则集，以及一组初始条件。
规则集中的每一条规则都是一种推理方式，定义了一些前提条件和一个结论。
当系统中的事实与某条规则的前提条件匹配时，就可以应用这条规则，推导出它的结论。
在这个过程中，前提条件和结论都可以是复合语句，其逻辑关系可以是与、或、非等。
为了更好地理解前束范式求解方法，以下是一个例子：假设有一组规则集如下：规则1: 如果A是B的子集，那么B是A的超集。
规则2: 如果A是B的子集，B是C的子集，那么A是C的子集。
规则3: 如果A和B是相交的集合，那么它们的交集非空。
同时设定初始条件为：初始条件：A是B的子集，B是C的子集，A和C是相交的集合。
那么根据规则集和初始条件，可以进行如下的推导过程：1. 根据规则1，可以得到B是A的超集。
2. 根据规则2，可以得到A是C的子集。
3. 根据初始条件和规则3，可以得到A和B的交集非空。
4. 根据规则3，可以得到B和C的交集非空。
5. 根据规则2，可以得到A是B的子集，B是C的子集，因此A是C 的子集。
通过以上的推导过程，可以得到最终的结论：A是C的子集。
这个过程中，系统根据规则和初始条件进行前向推导，最终得到了答案。
总的来说，前束范式求解方法是一种基于规则的推理方式，适用于一些简单的求解问题。
在实际应用中，需要对规则集和初始条件进行合理的设计，以保证推导过程的正确性和高效性。
2.3一阶逻辑等价式与前束范式
xy(F (x, z) G( y)) tH (t, z)
xy(( F (x, z) G( y)) tH (t, z))
xyt(( F (x, z) G( y)) H (t, z))
10
例( 续)
(3) xF(x)xG(x) G(x) xF ( x ) x 解
x(F(x) G(x)) 或 xF(x) yG(y) x(F(x)yG(y)) xy(F(x)G(y)) (4) xF(x)y(G(x,y)H(y)) 解 zF(z)y(G(x,y)H(y)) zy(F(z)(G(x,y)H(y)))
5
定理2．4 多个量词间的次序排列等值式。 (1) xyA( x, y) yxA( x, y)
(2) xyA( x, y) yxA( x, y)
6
例
例 将下面命题用两种形式符号化 (1) 没有不犯错误的人 (2) 不是所有的人都爱看电影 解 (1) 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误. x(F(x)G(x)) x (F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) (2) 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影. x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
说明
例—消去量词
如果不用公式将量词的辖域缩小，演算过程较长。注意， 此时yG(y)是与x无关的公式B。
(3) xyF(x,y) x(F(x,a)∧F(x,b)∧F(x,c)) (F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c)) ∨(F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c)) ∨(F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c)) 在演算中先消去存在量词也可以，得到结果是等值的。 xyF(x,y) yF(a,y)∨ yF(b,y) ∨ yF(c,y) (F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c)) ∨(F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c)) ∨(F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c))
3.2前束范式谓词推理
1/11/2011
discrete math
前束合取范式
Logic 一阶逻辑
定义：一个谓词公式A如果具有如下形式 如果具有如下形式， 定义：一个谓词公式 如果具有如下形式， 则称为前束合取范式： 则称为前束合取范式： 前束合取范式 (Q1x1)(Q2x2)…(Qnxn)[(A11∨A12∨…∨ 1k1)∧( ∨…∨A ∧ A21∨A22∨…∨ 2k2)∧…∧(Am1∨Am2∨…∨ mkm)] ∨…∨A ∧ ∨…∨A 其中Q 为客体变元， 其中 i (1≤i≤n）为∃或∀，xi为客体变元， ） Aij是原子变元或其否定。 是原子变元或其否定。
1/11/2011 discrete math
谓词演算的推理理论
Logic 一阶逻辑
在谓词逻辑中，如果A 在谓词逻辑中，如果 1∧A2∧…∧An→B ∧ 是逻辑有效式，则称B是 是逻辑有效式，则称 是A1, 效结论， 效结论，记作 A1∧A2∧…∧An⇒B ∧ A⇒B 当且仅当 A→B是重言式 ⇒ → 是重言式 例如： 例如： ∀xF(x) ⇒∃xF(x) A2, …，An的有 ，
1/11/2011
discrete math
前束范式例子
Logic 一阶逻辑
(3) ∀x∀y (∃z(P(x,z)∧P(y,z))→∃z Q(x,y,z)) ∀ ∃ ∧ ∃ ⇔∀x∀y (┐∃z(P(x,z)∧P(y,z))∨∃z Q(x,y,z)) ⇔∀ ∀ ∃ ∧ ∨ ⇔∀x∀ ∀ ∨ ∨ ⇔∀ ∀y(∀z(┐P(x,z)∨┐P(y,z))∨∃z Q(x,y,z)) ⇔∀x∀y (∀z(┐P(x,z)∨┐P(y,z))∨∃u Q(x,y,u)) ⇔∀ ∀ ∀ ∨ ∨ ⇔∀x∀ ⇔∀ ∀y ∀z∃u (┐P(x,z)∨┐P(y,z)∨Q(x,y,u)) ∃ ∨ ∨ （或⇔∀x∀y ∀z∃u (P(x,z)∧P(y,z)→Q(x,y,u))） ⇔∀ ∀ ∃ ∧ ）
一阶逻辑等值式与置换规则
例 将下面公式化成与之等值的公式，使其没有既是 约束出现的又是自由出现的个体变项。
xF（x，y，z）→yG（x，y，z） 解：
xF（x，y，z）→yG（x，y，z） sF（s，y，z）→yG（x，y，z）（换名规则） sF（s，y，z）→tG（x，t，z）（换名规则）
16
一阶逻辑的等值演算中三条重要的规则： 1、置换规则 设ф(A)是含公式A的公式，ф(B)是用公式B置换 了 ф(A) 中 所 有 的 A 后 得 到 的 公 式 ， 若 AB ， 则 ф(A) ф(B)。 2、换名规则 设A为一公式，将A中某量词辖域中某约束变项的 所有出现及相应的指导变元，改成该量词辖域中未曾 出现过的某个体变项符号，公式中其余部分不变，设 所得公式为A’，则AA’。 3、代替规则 设A为一公式，将A中某个自由出现的个体变项的 所有出现用A中未曾出现过的个体变项符号代替，公式 中其余部分不变，设所得公式为A’，则AA’。
xF（x，y，z）→yG（x，y，z） xF（x，s，z）→yG（x，y，z）（代替规则） xF（x，s，z）→yG（t，y，z）（代替规则）
18
（2）x（F（x，y）→yG（x，y，z）） x（F（x，t）→yG（x，y，z））（代替规则） x（F（x，y）→yG（x，y，z）） x（F（x，y）→tG（x，t，z））（换名规则）
6
例 设个体域为D={a，b，c}，将下面公式的量词消去。 （1）x（F（x）→G（x）） （2）x（F（x）∨yG（y）） （3）xyF（x，y）
解：（1）x（F（x）→G（x）） （F（a）→G（a））∧ （F（b）→G（b））∧ （F（c）→G（c））
（2）x（F（x）∨yG（y）） xF（x）∨yG（y） （F（a）∧F（b）∧F（c））∨ （G（a）∨G（b）∨G（c））
一阶逻辑推理理论
一阶逻辑推理实例
命题逻辑中的推理规则及在一阶逻辑中
的代换实例，在一阶逻辑推理中仍然使 用 量词消去和引入规则
例1: 证明苏格拉底三段论“凡人都是要死的。 苏格拉底是人.所以苏格拉底是要死的。” 命题符号化：F（x）：x是人（特性谓词）； G（x）：x是要死的； a：苏格拉底 前提：x（F(x)→G(x)），F(a) 结论：G(a) 证明： （1）x（F(x)→G(x)） 前提引入 （2）F(a)→G(a) UI(1) （3）F(a) 前提引入 （4）G(a) (2)(3)假言推理
xA(x) A(y)中， y应为任意的不在A(x)中约束 出现的个体变项。
全称量词引入规则（简称UG规则） A(y) xA(x) ③ 公式成立的条件是 1.y在A(y)中自由出现，且y取任何值时A均为真 2.取代y的x不在A(y)中约束出现。
例:设定义域为实数， 取F(x,y)为x>y，A(y)=xF(x,y)=x(x>y)， A对任意给定的y都是真的。 如下推理是否正确 : ①xF(x,y) 前提引入 ②xxF(x,x) ①UG xx(x>x)是假命题，推理出错。 出错的原因是违背了条件2：取代y的x不在A(y) 中约束出现 ②zxF(x,z) ①UG √
例: 在自然数集中，设F(x)为x是奇数，G(x)是x 是偶数，则xF(x)∧xG(x)是真命题. 以下推理 是否正确： (1) xF(x)∧xG(x) 前提引入 (2) xF(x) (1)化简规则 (3) xG(x) (1)化简规则 (4) F(a) (2)EI (5) G(b) (3)EI (6) F(a)∧G(b) (4)(5)合取规则 (7) x(F(x)∧G(x)) (6)EG
前提: x ( F(x) → G(x)) ，x ( F(x) ∧ H(x) ) 结论: x ( G(x) ∧ H(x) )
数理逻辑-大纲
数理逻辑一、说明(一) 课程性质《数理逻辑》是数学与应用数学专业的方向选修课。
数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑，是数学的一个分支，它是采用数学的方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，数理逻辑研究的中心问题是推理。
所谓数学方法就是指数学采用的一般方法，包括使用符号和公式，已有的数学成果和方法，特别是使用形式的公理方法。
用数学的方法研究逻辑的系统思想一般追溯到莱布尼茨，他认为经典的传统逻辑必须改造和发展，使之更为精确和便于演算。
总的来说，数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑，它是现代计算机技术的基础。
(二) 教学目的本课程的教学应使得学生熟练掌握有关命题逻辑、一阶谓词逻辑的基本知识，理解并能初步运用形式化的逻辑推理和数学证明，训练学生的逻辑思维方式，提高其数学解题能力。
(三) 教学内容及学时数本课程主要讲授命题逻辑的基本概念，命题逻辑的等值和推理演算，谓词逻辑的基本概念，谓词逻辑的等值和推理理论等内容，共计30学时。
序号内容学时数（30 ）课堂学时数实践学时数1 命题逻辑的基本概念 6 02 命题逻辑的等值和推理演算7 33 谓词逻辑的基本概念 6 04 谓词逻辑的等值和推理理论 6 2合计25 5 (四) 教学方式数理逻辑是一门理论性课程，主要采用讲授法、研究探索法授课，讲授数理逻辑的内容时建议采用多媒体教学。
(五) 考核要求1. 考核的方式及成绩评定本课程的考核方式一般采用笔试，成绩评定100分制，其中平时成绩占50%，期末考试成绩占50%，其中平时成按数学系课堂“五个环节”评分细则进行评定。
2. 考题设计(1) 考题设计原则：考题要全面，符合大纲要求，同时要做到体现重点，题量适度，难度适中，题量和难度的梯度按照教学的三个不同层次，并能够反映出数理逻辑的思想方法、解决基本问题能力的知识点来安排，不过分强调综合。
(2) 考题难度比例：基础知识（或基本概念）约35%、根据学生实际水平确定中等难度知识点约50%，稍有难度知识点15%范围以内。
一阶逻辑公式及解释
引入量化
一阶逻辑可以通过引入全称量词和存在量词来扩展其表达能力，使其能够描述更复杂的概念和关系。
函数符号
通过引入函数符号，一阶逻辑可以表达更丰富的语义信息，例如集合的运算和关系。
约束变量
通过引入约束变量，一阶逻辑可以表达更复杂的约束关系，例如集合的约束和时序约束。
语义解释
语义解释关注公式所表达的逻辑关系和意义，即公式在何种情况下为真或假。语义解释通常涉及对公式中命题变元的解释以及它们之间逻辑关系的理解。
总结词
语义解释着重于理解公式所表达的逻辑关系和意义，需要结合具体情境和背景知识进行解释。
详细描述
在语义解释中，我们需要对公式中的命题变元进行解释，明确它们所代表的实体或概念。此外，我们还需要理解公式中各个逻辑运算符的含义和作用，以及它们所表达的逻辑关系。通过结合具体情境和背景知识，我们可以深入理解公式的意义和真观察和实验数据推导出结论。
科学推理
在法律领域，推理规则用于根据法律条文和事实判断案件的合法性。
法律推理
在数学、哲学和计算机科学等领域，推理规则用于证明定理和推导结论。
逻辑推理
一阶逻辑的应用场景
CATALOGUE
05
知识表示
一阶逻辑是知识表示的常用工具，能够将知识以结构化的方式进行表达和存储，为推理提供基础。
公式的有效性：判断一个逻辑公式是否在所有情况下都为真。如果公式在所有可能的情况下都为真，则称为有效公式。
一阶逻辑推理规则
CATALOGUE
04
演绎推理
从一般到特殊的推理方式，即从普遍性前提推出特殊性结论。
归纳推理
从特殊到一般的推理方式，即从特殊性前提推出普遍性结论。
一阶逻辑等值式
例
（1） ┐x(M(x)∧F(x)) x(M(x)→┐F(x)) ┐x(M(x)∧F(x)) x┐(M(x)∧F(x)) x(┐M(x)∨┐F(x))
x(M(x)→┐F(x))
（2） ┐x(F(x)→G(x)) x(F(x)∧┐G(x)) ┐x(F(x)→G(x)) x┐(F(x)→G(x)) x┐(┐F(x)∨G(x))
说 明
我们称(1)和(2)是等值的。
等值式的定义
定义5.1 设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若 AB是永 真式，则称A与B是等值的。 记做AB，称 AB 是等值式。
例如： x(F(x) G(x)) x(F(x) G(x))
说 明
判断公式A与B是否等值，等价于判断公式 AB是否为永真式，即在任何解释下都是真的。 谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关 等值式类似。
由(1)式推导(2)式 x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x) x(┐A(x)∧┐B(x)) x┐A(x)∧x┐B(x)
┐x(A(x)∨B(x)) ┐(xA(x)∨xB(x))
例 证明 （1） x(A(x)∨B(x)) <≠> xA(x)∨xB(x) （2） x(A(x)∧B(x)) <≠> xA(x)∧xB(x) 其中A(x)，B(x)为含x自由出现的公式。
┐x(F(x)→G(y))∨zH(z)
（蕴涵等值式）
消去量词等值式
设个体域为有限集D={a1,a2,…,an},则有 （1）xA(x) A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an) （2）xA(x) A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an) （5.1）
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第二章 一阶逻辑
或 xy F ( x) G( y) H ( x, y)
例4、在一阶逻辑中将下列命题符号化。
(6) 每列火车都比某些汽车快。
某些汽车比所有的火车慢。
G ( y ) ：y 是汽车， x 是火车， 解： F ( x) ：
H ( x, y) ： x 比 y 快，
第二句为：y G( y) x F ( x) H ( x, y) 或 yx G( y) F ( x) H ( x, y)
x Q( x) Z ( x)
注：若本题指定的个体域为有理数集，
则(1)，(2)分别符号化为xF ( x)
和 xZ ( x) 。
例4、在一阶逻辑中将下列命题符号化。
(1) 凡偶数均能被2整除。
x 是偶数，G ( x) ： x 能被2整除， 解：F ( x) ：
x F ( x) G( x)
均以全总个体域为个体域，
2、量词——表示数量的词。 量词 全称量词 存在量词
使用量词时，应注意以下6点：
(3) 在引入特性谓词后，使用全称量词用“ ”， 使用存在量词用“ ”， (4) n 元谓词化为命题至少需要 n 个量词，
2、量词——表示数量的词。 量词 全称量词 存在量词
( A B),( A B) 也是合式公式；
3、原子公式。
设 R( x1 , x2 , xn )是任意 n 元谓词，
t1 , t2 ,, tn 是项，则称 R(t1 , t2 ,, tn ) 为原子公式。
4、合式公式的递归定义。
(4) 若 A 是合式公式，则xA, xA 也是合式公式；
(2) 存在着偶素数。
x 是偶数，H ( x ) ： x 是素数， 解：F ( x) ：
离散数学资料
符号化：x(F(x) y (F(y) H(x，y)) 或： x(F(x) y (F(y) H(x，y)))
(9) 有的自然数无先驱数
解：F(x)：x是自然数 ，H(x，y)：y是x的先驱数 符号化：x(F(x) y(F(y) H(x，y))) 或：x(F(x)y(F(y) H(x，y)) (10) 有的有理数是整数 (个体域为实数集) 解： F(x)：x是有理数，G(x)：x是整数 符号化：x(F(x) G(x)) (11) 每个人都有一些缺点。 解：F(x,y)：x都有y，M(x)：x是人，G(y)：y是缺点 符号化： (x) (M(x)(y) (G(y)F(x,y)))
(7) 一切人都不一样高 解：M(x) ： x是人, L(x，y) ： x与y一样高 H(x，y)：x与y是同一个人 符号化：xy(M(x) M(y) H(x，y) L(x,y)) 或：x y(M(x) M(y) H(x，y) L(x,y))
(8) 每个自然数都有后继数
均为约束出现，z自由出现； Q(x, y)中，x, y为自由变元。
考虑到谓词公式中，有的个体变项既可以约束出现， 又可以自由出现，为避免这种双重性可能引起的混淆， 我们要将谓词公式进行改写，改写规则如下：
1. 换名规则：
将量词作用域中出现的某个约束出现的个体变项及 对应的指导变项改成另一个作用域中没有出现过的 个体变项符号，公式的其余部分不变。 2. 代替规则 对某自由出现的个体变项用与原公式中所有个体
或： (x)(y)(M(x)(G(y)F(x,y)))
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、一阶逻辑合式(谓词)公式的概念
原子公式：不出现命题联结词和量词的命题
一阶逻辑
谓 词
谓词: 刻画个体性质或几个个体关系的模式。谓词常用 大写英文字母表示，叫做谓词标识符。 ⑴ 李玲是优秀共产党员。 ⑵ 张华比李红高。 ⑶ 小高坐在小王和小刘的中间
F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
一元谓词: 与一个个体相关联的谓词。F(x)是一元谓词； 二元谓词: 与两个个体相关联的谓词。G(x, y)是二元谓词；
【例2.3】 命题：⑴ 所有数小于5。 ⑵ 至少有一个数小于5。 个体域： ① -1，0，1，2，4 ② 3，-2，7，8 ③ 15，20，24 解：设L(x)：x小于5。 ⑴ “所有数小于5。”符号化为：(x) L(x) 在个体域①，②，③中， 真值分别为：真，假，假。 ⑵ “至少有一个数小于5。”符号化为：(x)L(x) 在个体域①，②，③中， 真值分别为：真，真，假。
„
一般的，把与n个个体相关联的谓词 P(x1,x2,…,xn)叫做n元谓词（n元命题函数）。
n元谓词是命题吗？ຫໍສະໝຸດ 0元谓词是命题，命题逻辑中的简单命题都可用 0元谓词来表示。所以说命题可以看成谓词的 一种特例，所以命题逻辑中的联结词在一阶 逻辑中都可以使用。
谓词填式(0元谓词): 将谓词后面填上相关联的个体常元所得的式子。 设F是一元谓词，a是个体常元，用F(a)表示个体 常元a具有性质F； 设G是二元谓词，a,b是个体常元，用G(a,b)表示 个体常元a和b具有关系G；„
x y(R(x,y) L(y,z) )中， x, y都是指导变项，辖域为(R(x,y) L(y,z) )， x与y 都是约束出现的， z为自由出现. x H(x,y)中， x 为指导变项， 的辖域为H(x,y)，其中x 为约 束出现的， y为自由出现. 在此公式中， x 为约束出现的，y为约束出现的，又为自由出 现的. z为自由出现.
一阶逻辑等值式与前束范式
目录
• 一阶逻辑等值式 • 前束范式 • 一阶逻辑等值式与前束范式的比较 • 一阶逻辑等值式与前束范式的转换 • 一阶逻辑等值式与前束范式的实际应用
01
一阶逻辑等值式
等值式的定义
总结词
一阶逻辑等值式是指在逻辑推理过程中 ，两个一阶逻辑公式在逻辑上等价的公 式。
VS
详细描述
04
一阶逻辑等值式与前束 范式的转换
等值式转换为前束范式
总结词
将一阶逻辑等值式转换为前束范式的过程需要遵循一定的规则和步骤，以确保转换的正 确性和有效性。
详细描述
首先，需要识别等值式中的所有量词，并根据量词的类型（存在量词或全称量词）进行 分类。然后，根据量词的特性，将等值式中的公式进行适当的重写和重组，以消除量词 的存在。在转换过程中，需要注意保持等值式的逻辑等价性，确保转换后的前束范式与
02
前束范式
前束范式的定义
前束范式是一种一阶逻辑公式表示形 式，其特点是所有量词都出现在公式 前面，且每个量词的范围都被明确的 括号括起来。
前束范式具有清晰的形式化表达，使 得逻辑推理和证明更加方便。
前束范式的性质
01
前束范式的量词具有顺序性，即量词的顺序决定了 公式中表达式的顺序。
02
前束范式的量词范围明确，每个量词的作用域被括 号明确地界定。
05
一阶逻辑等值式与前束 范式的实际应用
在知识表示中的应用
知识推理
一阶逻辑等值式与前束范式在知 识推理中发挥了重要作用，它们 能够清晰地表示知识的逻辑关系， 有助于提高推理的准确性和效率。
知识表示语言
一阶逻辑等值式与前束范式可以 作为知识表示语言的基础，用于 构建更加丰富和精确的知识库， 为人工智能系统提供可靠的知识 支持。
[理学]第2章一阶逻辑_OK
![[理学]第2章一阶逻辑_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/bc0199355fbfc77da369b1e7.png)
2)DI中特定元素a=2
3)函数f(x)为f(2)=3,f(3)=2;
4)
谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)
为G(i,j)=1, i,j=2,3;
L(x,y)为
L(2,2)=L(3,3)=1; L(2,3)=L(3,2)=0.求
下列各式的值:
1)x(F(x) G(x,a)) 2)xyL(x,y)
3)xy(F(f(x,a),y) F(f(y,a),x));
45
例2.8 给定解释N如下 : 1)个体域为自然数Di;
2) Di中特定元素a=０；
3) Di上特定函数f(x,y)=x+y,g(x,y)=xy;
4)
Di特定谓词F(x,y)为x=y
在解释N下判断下列公式的真假:
4)xyzF(f (x, y), z);
10
例2.1 将下列命题用0元谓 词符号化
１、2是素数且是偶数 ２、如果2大于3，则2大于4
３、如果张明比李民高，李民 比赵亮高，则张明比赵亮高。
11
例：将下列命题符号化
• １、所有的人都是要死的。 • ２、有的人活百岁以上。
称表示个体常项或变项之 间数量关系的词为量词
12
1. 全称量词
对应日常语言中的“一切”， “所有的”， “任意的”等词。
16
例2.2 在一阶逻辑中将下面命题 符号化
1) 凡有理数均可表成分数。 2) 有的有理数是整数。 要求：1)个体域为有理数集合。
2)个体域为实数集合。 3)个体域为全总个体域。 17
1) 凡有理数均可表成分数。 2) 有的有理数是整数。
个体域为有理数集合。
18
1) 凡有理数均可表成分数。 2) 有的有理数是整数。
主要内容一阶逻辑等值式与基本的等值式置换规则、换名规则
29
练习1
1. 给定解释I如下: (1) 个体域D={2,3}
(2) a 2
(3) f ( x) : f (2) 3, f (3) 2
(4) F ( x) : F (2) 0, F (3) 1 G ( x, y) : G (2,2) G (2,3) G (3,2) 1, G (3,3) 0
解 x(F(x,y,z)yG(x,y,z))
x(F(x,y,z)tG(x,t,z)) 换名规则
xt(F(x,y,z)G(x,t,z))
辖域扩张等值式
或者 x(F(x,y,z)yG(x,y,z))
x(F(x,u,z)yG(x,y,z)) xy(F(x,u,z)G(x,y,z))
代替规则 辖域扩张等值式
21
自然推理系统NL
(8) 假言三段论规则 (9) 析取三段论规则 (10) 构造性二难推理规则 (11) 合取引入规则 (12) -规则 (13) +规则 (14) -规则 (15) +规则
推理的证明
22
构造推理证明的实例
例5 在自然推理系统NL 中构造下面推理的证明, 取个体域R: 任何自然数都是整数. 存在自然数. 所以, 存在整数.
31
练习3
3.构造下面推理的证明:
(1) 前提：x(F(x)G(x)), xF(x)
结论：xG(x) 证明：
① x(F(x)G(x)) ② F(y)G(y) ③ xF(x) ④ F(y) ⑤ G(y) ⑥ yG(y) ⑦ xG(x)
例6 在自然推理系统NL 中构造下面推理的证明, 取个体域R: 不存在能表示成分数的无理数. 有理数都能表示成分数.
前束范式存在定理 证明
前束范式存在定理证明前束范式存在定理（Completeness Theorem）是数理逻辑中的一项重要结果，指出了在一阶谓词逻辑中，如果一个公式集合具有模型，那么它就有一个可满足的模型。
下面将对前束范式存在定理进行证明。
证明过程如下：首先，我们定义一阶语言的前束范式（prepositional normal form）。
一个公式处于前束范式，当且仅当它满足以下条件：1.每个量词都限定于某个变量之上。
2.只有全称量词和存在量词可以用于量化。
3.逻辑联结词只包括否定、析取和合取。
接下来，我们需要引入两个概念：语义和推导。
语义是指一个公式集合是否在某个模型中成立，而推导则是根据公式集合中的规则和公理推导出新的公式。
然后，我们定义一个公式集合Σ为一致（consistent）的，当且仅当在某个模型中，Σ中的所有公式都成立。
现在我们来证明前束范式存在定理。
假设我们有一个公式集合Σ，其中的每个公式都处于前束范式。
我们要证明的是，如果Σ没有模型，那么Σ就是不一致的。
首先，我们引入一个新的非逻辑常量c，并添加到Σ中。
然后，我们对Σ进行无穷次的推导，每一步都根据公式集合中的规则和公理进行推导。
在每一步推导之后，我们使用归结法（resolution）来检查Σ是否出现矛盾。
如果Σ出现矛盾，即存在一个空子句（empty clause），那么Σ就是不一致的。
否则，我们继续进行下一步推导。
由于我们在每一步推导中都添加了新的非逻辑常量c，并且我们可以构造一个无穷个这样的常量，所以我们可以无限次地进行推导。
因此，如果Σ没有模型，那么Σ就是不一致的。
反过来，假设Σ是不一致的。
那么，我们可以应用归结法来证明Σ中的任意公式的否定。
通过反复应用归结法，我们可以得到一个空子句，从而证明Σ是不一致的。
综上所述，我们证明了前束范式存在定理：如果一个公式集合具有模型，那么它就有一个可满足的模型。
该定理为一阶谓词逻辑的推理提供了理论基础，对于数理逻辑和人工智能等领域具有重要意义。
离散数学---一阶逻辑的等值式
求前束范式例1 求前束范式例
求下列公式的前束范式： 求下列公式的前束范式 ： 1、 ∀x A(x) ∧ ∀x B(x) 1、⇔∀ (A(x) ∧ B(x)) 、 、⇔∀x 2、 ∃x A(x) ∨ ∃x B(x) 2、⇔ ∃x(A(x) ∨ B(x)) 、 、 3、 ∀x A(x) ∨ ∀x B(x) 3、⇔ ∀x A(x) ∨ ∀y B(y) 、 、 4、 ∃x A(x) ∧ ∃x B(x) 、 ⇔ ∀x ∀y (A(x) ∨ B(y))
对于公式∀ ∧∀y ∧∃y 对于公式∀x A(x)∧∀ B(y)和∃x A(x)∧∃ B(y) ∧∀ 和 ∧∃ 对于公式∀ ∧∀y 对于公式∀x A(x)∧∀ B(y)，由于∀对合取有分配律，所以 ∧∀ ，由于∀对合取有分配律， 可变换为： 可变换为： ∧∀y ∧∀x ∀x A(x)∧∀ B(y) ⇔ ∀x A(x)∧∀ B(x) ⇔ ∀x(A(x)∧B(x)) ∧∀ ∧∀ ∧ 注意运用此变换的前提是B(y)中不出现 ， 如果 中不出现x，如果B(y) 注意运用此变换的前提是 中不出现 中出现x，则可使用换名规则（如果x是约束出现 是约束出现） 中出现 ，则可使用换名规则（如果 是约束出现）或者 是自由出现） 是替换规则（如果x是自由出现 先将x变为其他变换符 是替换规则（如果x是自由出现）先将x变为其他变换符 号。 对于公式∃ ∧∃y 对于公式∃x A(x)∧∃ B(y)，由于∃对合取没有分配律， ∧∃ ，由于∃对合取没有分配律， 所以只能变换为： 所以只能变换为： ∨∃y ∃x A(x)∨∃ B(y) ⇔ ∃x∃y(A(x)∨ B(y)) ∨∃ ∃ ∨ 显然对于公式∀ ∧∃y ∧∀y 显然对于公式∀x A(x)∧∃ B(y)、∃x A(x)∧∀ B(y)都只能变 ∧∃ 、 ∧∀ 都只能变 换为： 换为： ∧∃y ∀x A(x)∧∃ B(y) ⇔ ∀x∃y(A(x)∧B(y))、 ∧∃ ∃ ∧ 、 ∧∀y ∃x A(x)∧∀ B(y) ⇔ ∃x∀y(A(x)∧B(y)) ∧∀ ∀ ∧
一阶逻辑
项
定义 项的定义如下： (1) 个体常项和个体变项是项. (2) 若(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1,t2,…,tn 是任意的n个项，则(t1, t2, …, tn) 是项. (3) 所有的项都是有限次使用 (1), (2) 得到的. 例：a，b，x，y，f(x,y)=x+y， g(x,y)=x-y都是项 f(a, g(x,y))=a+ (x-y)是项
其实, 个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数 和复合函数还是项
原子公式
定义 设R(x1, x2, …, xn)是任意的n元谓词，t1,t2,…, tn 是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, tn)是原子公式. 其实，原子公式是由项组成的n元谓词. 例如，F(x, y), F(f(x1, x2), g(x3, x4))等均为原子公式
【例2.6】没有不犯错误的人。 解：设M(x)：x是人 F(x)：x犯错误 符号化为：¬ (x) (M(x)∧¬ F(x) )
(1) 每列火车都比某些汽车快。
(2) 某些汽车比所有火车慢。 解：设A(x)：x是火车。B(x)：x是汽车。C(x,y)： x比y快。
“每列火车都比某些汽车快。”符号化为： (x)(A(x)→(y)(B(y)∧C(x,y))) “某些汽车比所有火车慢。”符号化为： (x)(B(x)∧(y)(A(y)→C(y,x)))
合式公式
定义 合式公式（简称公式）定义如下： (1) 原子公式是合式公式. (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式 (4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式 (5) 只有有限次地应用(1)~(4)形成的符号串 才是合式公式(谓词公式).
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▪等值式 ▪基本等值式 ▪前束范式
1
等值式与基本等值式
定义 若AB为永真式（逻辑有效式），则称
A与B是等值的，记作 AB，并称AB为等值
式. 命题逻辑中24个基本等值式的代换实例， 如，xF(x)yG(y) xF(x)yG(y)
(xF(x)yG(y)) xF(x)yG(y) 等
解： x(M(x)F(x)) x(M(x)F(x)) (量词否定等值式) x(M(x)F(x))
两步结果都是前束范式，说明前束范式不惟一.
13
(2) xF(x) xG(x) 解: xF(x) xG(x)
xF(x) xG(x) x(F(x) G(x)) (3) xF(x) xG(x) 解: xF(x) xG(x) xF(x) xG(x) x(F(x) G(x)) x(G(x) F(x))
2
Байду номын сангаас
基本等值式: 1. 消去量词等值式 设D = { a1, a2, …, an }
1) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an) 2) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
2. 量词否定等值式 3) xA(x) xA(x) 4) xA(x) xA(x)
x( F(x)G(x) ) x( F(x)G(x) )
9
(3) 没有两片完全一样的树叶. 解: 令F(x)：x是树叶，G(x, y)：x≠ y，
H(x, y)： x与y完全一样. xy(F(x)F(y)G(x, y)H(x, y) )
xy(F(x)F(y)G(x, y) H(x, y) )
x( F(x)G(x) ) 不是前束范式，
11
公式的前束范式
定理（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何 公式都存在与之等值的前束范式.
注意: 1. 公式的前束范式不惟一； 2. 求公式的前束范式的方法: 利用重要等值式、 置换规则、换名规则、代替规则进行等值演算.
12
例2.13 求下列公式的前束范式: (1) x(M(x)F(x))
15
(5) x(F(x, y)y(G(x, y)H(x, z))) 解: x(F(x, y)y(G(x, y)H(x, z))) x(F(x, u)y(G(x, y)H(x, z))) (代替规则) xy(F(x, u)G(x, y)H(x, z))) (辖域扩张) 注意：x与y不能颠倒!
3
3. 量词辖域收缩与扩张等值式
设A(x)是含x自由出现的公式，B中不含x的出现 5)关于全称量词的： ① x(A(x)B)x A(x)B
② x(A(x)B)x A(x)B ③ x(A(x)B)x A(x)B ④ x(BA(x))Bx A(x)
4
6)关于存在量词的: ① x(A(x)B)xA(x)B ② x(A(x)B)xA(x)B ③ x(A(x)B)xA(x)B ④ x(BA(x))BxA(x) 4. 量词分配等值式 7) x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) 8) x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) 注意：对无分配律，对无分配律!
(1) x(F(x)G(x)) (F(a)G(a)) (F(b)G(b)) (F(c)G(c))
(2) x(F(x) G(y)) (F(a) G(y)) (F(b) G(y)) (F(c) G(y)) (F(a) F(b) F(c)) G(y)
10
前束范式
定义 设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形 式Q1x1Q2x2…QkxkB, 则称A为前束范式, 其中Qi (1ik)为或，B为不含量词的公式. 例如，xy( F(x)( G(y)H(x, y) ) )
x( F(x)G(x) ) 是前束范式, 而 x( F(x)y( G(y)H(x, y) ) )
5
注意：对无分配律，对无分配律! (1) x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)
(2) x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)
取 解释I1: 个体域：自然数集N,
A(x): x是奇数, B(x): x是偶数.
6
例2.11 设个体域为D ={a, b, c}, 将下列公式中的 量词消去:
7
(3) x(F(x) yG(y)) x( F(x) (G(a) G(b) G(c)) ) ( F(a) (G(a) G(b) G(c)) ) ( F(b) (G(a) G(b) G(c)) ) ( F(c) (G(a) G(b) G(c)) ) ( F(a) F(b) F(c) ) ( G(a) G(b) G(c) )
8
例2.12 将下面命题用两种形式符号化, 给出演 算过程，并说明理由.
(1) 没有不犯错误的人; 解: 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误.
x( F(x)G(x) ) x( F(x)G(x) ) (2) 不是所有的人都爱看电影. 解: 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.
(量词否定等值式) (量词分配等值式)
(量词否定等值式) (量词分配等值式)
14
(4) xF(x)y(G(x, y)H(y)) 解: xF(x)y(G(x, y)H(y))
zF(z)y(G(x, y)H(y)) (换名规则) zy(F(z)(G(x, y)H(y))) (为什么？) 或 xF(x)y(G(z, y)H(y)) (代替规则) xy(F(x)(G(z, y)H(y))) (辖域扩张)