高中数学 2.3.4 平面与平面垂直的性质试题 新人教a版必修2
高中数学2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质课件新人教A版必修2
②M是AB的中点.
证明:②设 AD1∩A1D=O,连接 ON,在△A1DC 中, A1O=OD,A1N= NC.
(2)若平面AEF交SD于点G.求证:AG⊥SD.
证明:(2)因为SA⊥平面AC,所以SA⊥DC, 又AD⊥DC,SA∩AD=A, 所以DC⊥平面SAD. 所以DC⊥AG. 又由(1)有SC⊥平面AEF,AG⊂平面AEF, 所以SC⊥AG, 又DC∩SC=C, 所以AG⊥平面SDC,所以AG⊥SD.
规范解答:(1)如图所示,连接BD. 因为四边形ABCD是菱形, 且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形,…………………2分 因为G是AD的中点,所以BG⊥AD.…………………………3分 又因为平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD.所以BG⊥平面PAD.……………6分
(2)求证:AD⊥PB.
4.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在平面ABC上
的射影H必在直线
上.
答案:AB
5.设α ,β 是空间两个不同的平面,m,n是平面α 及β 外的两条不同直线.从
“①m⊥n;②α ⊥β ;③n⊥β ;④m⊥α ”中选取三个作为条件,余下一个作
为结论,写出你认为正确的一个命题:
规范解答:(2)连接PG. 因为△PAD为正三角形,G为AD的中点, 所以PG⊥AD.…………………………………7分 由(1)知BG⊥AD, 而PG∩BG=G, PG⊂平面PBG, BG⊂平面PBG. 所以AD⊥平面PBG.…………………………10分 又因为PB⊂平面PBG, 所以AD⊥PB.……………………………………12分
高中数学人教A版必修二 2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质 课件(39张)
要点 1 直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
(2)图形语言： (3)符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
要点 2 直线 l 与平面 α 垂直，则 l 垂直于 α 内的任意一条 直线
要点 3 平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直．
探究 2 证明面面平行的方法： ①定义，②判定定理，③判定定理的推论，④平行公理的传 递性，⑤本题结论．
思考题 2 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1，棱长为 a，
(1)截面 AB1D1 和截面 C1BD 的位置关系如何？并证明； (2)求 C 点到截面 BDC1 的距离； (3)截面 AB1D1 和截面 C1BD 之间的距离是多少？ 【答案】 (1)平行，(可证明两截面都与直线 A1C 垂直) (2) 33a(可用等积法)
又 PD∩CD＝D，∴AE⊥平面 PCD. ② 由①，②可知 AE∥MN.
题型二 证明面面平行
例 2 和同一条直线垂直的两个平面互相平行． 已知：直线 l⊥平面 α，直线 l⊥平面 β. 求证：α∥β.
【证明】 假设 α 与 β 不平行，则 α 与 β 相交，设 α∩β＝m.
设 l∩α＝A，l∩β＝B，如图． 在 m 上取一点 D，则 l 和 D 确定一个平面 γ. 连接 BD、AD，则 AD⊂γ，AD⊂α，BD⊂γ，BD⊂β. ∵l⊥α，l⊥β，∴l⊥AD，l⊥BD. 这与在平面内过直线外一点只能作一条已知直线的垂线相 矛盾， ∴α∥β.
【证明】 (1)连接 BD.∵四边形 ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，
∴BG⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，平面 PAD∩ 平面 ABCD＝AD. ∴BG⊥平面 PAD.
最新人教版高中数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系第三节第4课时平面与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β图形语言性质定理若去掉“一个平面内(a⊂α)”，定理是否成立？提示：不一定成立，如图a⊥α，这时也有a⊥l，但a与β不垂直．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直．( ×) 提示：不一定．只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面．(2)若α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线. ( √)提示：若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．(3)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ.( √)提示：设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在m，n上，过P作直线a，b，使a ⊥m，b⊥n.因为γ⊥α，a⊥m，则a⊥α.所以a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，l⊄γ，所以l⊥γ.故正确．(4)若两个平面互相垂直，一条直线与一个平面垂直，那么这条直线在另一个平面内．( ×) 提示：若α⊥β，l⊥α，在β内作a与α，β的交线垂直，则a⊥α，所以a∥l. 所以l∥β或l⊂β，即直线l与平面β平行或在平面β内．2．在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )A．平行B．相交C．异面且垂直D．异面且不垂直【解析】选C.如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD.所以BD⊥AC. 因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.3.如图所示，三棱锥PABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形．【解析】设P在平面ABC上的射影为O，因为平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以O∈AB.因为PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，所以O是△ABC的外心，且是AB的中点，所以△ABC是直角三角形．答案：直角类型一用面面垂直的性质定理解证明问题(逻辑推理、直观想象) 【典例】如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.【思路导引】面面垂直→线面垂直→线线垂直【证明】如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.因为平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，所以AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC.又因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又因为PA∩AD＝A，所以BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，所以BC⊥AB.1．应用面面垂直的性质定理的一个意识和三个注意点(1)一个意识若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直．(2)三个注意点：①两个平面垂直，是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．2．证明线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面).如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.求证：BF⊥平面ACFD.【证明】延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，AC⊂平面ABC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.又CK∩AC＝C，CK，AC⊂平面ACFD，所以BF⊥平面ACFD.【补偿训练】如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB.(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.【证明】(1)因为E，F分别为AC，BC的中点，所以EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因为PA＝PC，E为AC的中点，所以PE⊥AC.又因为平面PAC⊥平面ABC，所以PE⊥平面ABC，所以PE⊥BC.又因为F为BC的中点，所以EF∥AB.因为∠ABC＝90°，所以BC⊥EF.因为EF∩PE＝E，所以BC⊥平面PEF.又因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PEF.类型二用面面垂直的性质定理解计算问题(逻辑推理，直观想象)角度1 求空间角【典例】如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求EC与平面ABE所成角的正切值．【思路导引】(1)由正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直可得BC⊥平面ACDE，可得AM⊥平面EBC；(2)根据面面垂直的性质定理作出线面角，在三角形中求出其正切值．【解析】(1)因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，所以BC⊥AM.因为四边形ACDE是正方形，所以AM⊥CE.又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.(2)取AB的中点F，连接CF，EF.因为EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，所以EA⊥平面ABC，因为CF⊂平面ABC，所以EA⊥CF.又AC＝BC，所以CF⊥AB.因为EA∩AB＝A，所以CF⊥平面AEB，所以∠CEF即为EC与平面ABE所成的角．在Rt△CFE中，CF＝ 2 ，FE＝ 6 ，tan ∠CEF＝26＝33.角度2 求体积【典例】如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC.(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝23DA，求三棱锥QABP的体积．【思路导引】(1)转化为证明AB⊥平面ACD.(2)过Q作AC的垂线，得三棱锥QABP底面ABP上的高．【解析】(1)由已知可得，∠BAC＝90°，则BA⊥AC.又BA⊥AD，AD∩AC＝A，所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3 2 .又BP＝DQ＝23DA，所以BP＝2 2 .作QE⊥AC，垂足为E，则QE＝13DC＝1.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，因此，三棱锥Q ABP的体积为VQABP ＝13×QE×S△ABP＝13×1×12×3×2 2 sin 45°＝1. 计算问题的解决方法(1)求角、求距离等计算问题一般在三角形中求解．所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直．往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题．(2)求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法．1．如图，α⊥β，AB⊂α，AC⊂β，∠BAD＝∠CAD＝45°，则∠BAC＝( )A.90° B．60° C．45° D．30°【解析】选B.在AB上任意找一点F，过点F作AD的垂线EF，垂足为E，再过点E作EG⊥AD，EG交AC于点G.如图所示．因为∠BAD＝∠CAD＝45°，EF⊥AE，EG⊥AD，所以EF＝AE＝EG，所以根据三角形的勾股定理可知，AF2＝AE2＋FE2，FG2＝FE2＋EG2，AG2＝AE2＋EG2，所以AF＝AG＝FG，所以△AFG是等边三角形，则∠BAC＝60°.2．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.O为AB的中点．(1)证明：AB⊥平面A1OC.(2)若AB＝CB＝2，平面ABC⊥平面A1ABB1，求三棱柱ABCA1B1C1的体积．【解析】 (1)连接A1B.，因为CA＝CB，OA＝OB，所以OC⊥AB，因为AB＝AA1，∠BAA1＝60°，所以三角形AA1B为等边三角形，所以AA1＝A1B，又OA＝OB，所以OA1⊥AB，又OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面A1OC.(2)由题可知，△ABC与△AA1B是边长为2的等边三角形，得OA1＝ 3 ，因为平面ABC⊥平面A 1ABB1，平面ABC∩平面A1ABB1＝AB，由(1)OA1⊥AB，OA1⊂平面A1ABB1，所以OA1⊥面ABC，所以OA1是三棱柱ABCA1B1C1的高，所以VABCA1B1C1＝S△ABC×OA1＝3.类型三折叠问题(逻辑推理、直观想象)【典例】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD 于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(1)证明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝54，OD′＝2 2 ，求五棱锥D′ABCFE的体积．【思路导引】(1)HD、HD′与EF的位置关系是不变的；(2)证明OD′是五棱锥D′ABCFE的高是关键．【解析】(1)由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得AEAD＝CFCD，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2)由EF∥AC得OHDO＝AEAD＝14.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB2－AO2＝4，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2＋OH2＝(2 2 )2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH. 由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′，又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.又由EFAC＝DHDO得EF＝92.五边形ABCFE的面积S＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D′ABCFE的体积V＝13×69 4×2 2 ＝2322.解决折叠问题的策略(1)抓住折叠前后的变量与不变量，一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键．(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况，注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况．如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2所示．(1)求证：A1F⊥BE；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．【解析】(1)由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，又因为DC∩DA1＝D，所以DE⊥平面A1DC.由于A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(2)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，QE，PD，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP. 由(1)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP，又DE∩DP＝D，所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.【补偿训练】如图，在矩形ABCD中，AB＝3 3 ，BC＝3，沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C′，且C′在平面ABD内的射影O恰好落在AB上．(1)求证：AC′⊥BC′.(2)求AB与平面BC′D所成的角的正弦值．(3)求二面角C′BDA的正切值．【解析】(1)由题意，知C′O⊥平面ABD，因为C′O⊂平面ABC′，所以平面ABC′⊥平面ABD.又因为AD⊥AB，平面ABC′∩平面ABD＝AB，所以AD⊥平面ABC′. 所以AD⊥BC′.因为BC′⊥C′D，AD∩C′D＝D，所以BC′⊥平面AC′D.所以BC′⊥AC′.(2)因为BC′⊥平面AC′D，BC′⊂平面BC′D，所以平面AC′D⊥平面BC′D.作AH⊥C′D于H，则AH⊥平面BC′D，连接BH，则BH为AB在平面BC′D上的射影，所以∠ABH为AB与平面BC′D所成的角．又在Rt△AC′D中，C′D＝3 3 ，AD＝3，所以AC′＝3 2 .所以AH＝ 6 .所以sin ∠ABH＝AHAB＝23，即AB与平面BC′D所成角的正弦值为23 .(3)过O作OG⊥BD于G，连接C′G，则C′G⊥BD，则∠C′GO为二面角C′BDA的平面角．在Rt△AC′B中，C′O＝AC′·BC′AB＝ 6 ，在Rt△BC′D中，C′G＝BC′·C′DBD＝332.所以OG＝C′G2－C′O2＝32 .所以tan∠C′GO＝C′OOG＝2 2 ，即二面角C′BDA的正切值为2 2 .。
2.3.3直线与平面2.3.4平面与平面垂直的性质(1)学案(含解析)新人教A版必修2
2．3.3 & 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质第一课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质[提出问题]世界上的高楼大厦太多了：中国上海中心大厦632米，天津高银117大厦621米，位于深圳的平安国际金融大厦600米(如右图)．问题1：上海中心大厦外墙的每列玻璃形成的直线与地面有何位置关系？提示：垂直．问题2：每列玻璃形成的直线是什么位置关系？ 提示：平行． [导入新知]直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． (2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b .(4)作用：①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线． [化解疑难]对于线面垂直的性质定理的理解(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．[提出问题]教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直．问题1：在黑板上任意画一条线与地面垂直吗？ 提示：不一定，也可能平行、相交(不垂直)． 问题2：怎样画才能保证所画直线与地面垂直？ 提示：只要保证所画的线与两面的交线垂直即可． [导入新知]平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂αa ⊥l⇒a ⊥β.(4)作用：①面面垂直⇒线面垂直； ②作面的垂线． [化解疑难]对面面垂直的性质定理的理解 (1)定理成立的条件有三个： ①两个平面互相垂直； ②直线在其中一个平面内； ③直线与两平面的交线垂直．(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直． (3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.[例1] 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE .[解] 证明：取CE 的中点G ，连接FG ，BG ，AF .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE ， 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE .则GF ∥AB . 又∵AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .则四边形GFAB 为平行四边形．于是AF ∥BG . ∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又∵CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ，∴AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE . [类题通法]1．此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题，证明时要综合题目中的条件，利用条件和已知定理来证，或从结论出发逆推分析．2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行， 可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．[活学活用]如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥平面ABCD .(1)若AC ＝6，BD ＝8，PB ＝3，求三棱锥A PBC 的体积； (2)若点E 是DP 的中点，证明：BD ⊥平面ACE . 解：(1)∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD 与AC 相互垂直平分，∴底面ABCD 的面积S 菱形ABCD ＝12×6×8＝24，∴S △ABC ＝12S 菱形ABCD ＝12.又PB ⊥平面ABCD ，且PB ＝3，∴三棱锥A PBC 的体积V A PBC ＝V P ABC ＝13×PB ×S △ABC ＝12.(2)证明：如图，设BD 与AC 相交于点O ，连接OE ，∵O 为BD 的中点，E 是DP 的中点，∴OE ∥PB . 又PB ⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD . ∵BD ⊂平面ABCD ，∴OE ⊥BD ， 由(1)知AC ⊥BD ，又AC ∩OE ＝O ， ∴BD ⊥平面ACE .[例2] 如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD 是∠DAB ＝60°，且边长为a 的菱形．侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .(1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； (2)求证：AD ⊥PB .[解] 证明：(1)连接PG ，由题知△PAD 为正三角形，G 是AD 的中点，则PG ⊥AD . 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PG ⊂平面PAD ，∴PG ⊥平面ABCD . ∵BG ⊂平面ABCD ， ∴PG ⊥BG .又∵四边形ABCD 是菱形， 且∠DAB ＝60°， ∴△ABD 是正三角形． 则BG ⊥AD .又∵AD ∩PG ＝G ，且AD ，PG ⊂平面PAD ， ∴BG ⊥平面PAD .(2)由(1)可知BG ⊥AD ，PG ⊥AD .又∵BG ，PG 为平面PBG 内两条相交直线， ∴AD ⊥平面PBG .∵PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.[类题通法]证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．[活学活用]如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2CD＝4，∠ABE＝60°，∠BAD＝∠CDA＝90°，点H是线段EF 的中点．(1)求证：平面AHC⊥平面BCE；(2)求此几何体的体积．解：(1)证明：连接AE，在菱形ABEF中，因为∠ABE＝60°，所以△AEF是等边三角形．又因为H是线段EF的中点，所以AH⊥EF，所以AH⊥AB.因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以AH⊥平面ABCD，所以AH⊥BC.在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2CD＝4，∠BAD＝∠CDA＝90°，得到AC＝BC＝22，从而AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.又AH∩AC＝A，所以BC⊥平面AHC.又BC⊂平面BCE，所以平面AHC⊥平面BCE.(2)连接FC，因为V＝V EACB＋V FADC＋V CAEF，又易得S△ACB＝4，S△ADC＝2，S△AEF＝43，所以V＝V EACB＋V FADC＋V CAEF＝13(23×4＋23×2＋2×43)＝2033.[例3] 已知：如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．[解] 证明：(1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.同理可证，DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．[类题通法]线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想．证明线面垂直常转化为线线垂直，证明面面垂直常转化为线面垂直．[活学活用]如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°，求证：平面PEF⊥平面PBC.证明：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.5.垂直性质定理应用的误区[典例] 已知两个平面垂直，有下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0[解析] 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，对于①AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，所成角为60°，①错误；②正确．对于③，AD1⊂平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD；对于④，过平面AA1D1D内点D1作D1C.∵AD⊥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1，∴AD⊥D1C.但D1C不垂直于平面ABCD，④错误．[答案] C[易错防范]对于④，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平面内．[成功破障]如果直线l，m与平面α，β，γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么( )A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ答案：A[随堂即时演练]1．下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案：D2．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是( )A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βB．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α答案：B3．若a，b表示直线(不重合)，α表示平面，有下列说法：①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a ⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.其中正确的是________(填序号)．答案：①④4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．答案：平行5.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.证明：如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.由AB＝2易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF，所以BD⊥CF.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.[课时达标检测]一、选择题1．若l，m，n表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为( )①l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α⇒l∥n；③m⊥α，n⊂α⇒m⊥n.A．1 B．2C．3 D．0答案：C2．如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有( )A．0条B．1条C．无数条D．任意条答案：C3．(浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案：B4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β答案：D5.如图，线段AB的两端在直二面角αlβ的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是( )A．30° B．45°C．60° D．75°答案：B二、填空题6.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．答案：平行7.如图，四面体PABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.答案：78.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有______(把所有正确的序号都填上)．答案：①④三、解答题9.如图，三棱锥PABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC ⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.10.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)在四棱锥PABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.- 11 -。
2.3.3-4 直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质 学案(人教A版必修2)
2．3.3 直线与平面垂直的性质 2．3.4 平面与平面垂直的性质【课标要求】1．掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理． 2．能运用性质定理解决一些简单问题. 【核心扫描】1．线面垂直、面面垂直性质定理的应用．(重点) 2．线线、线面、面面垂直关系的相互转化．(难点)新知导学1．温馨提示：线与直线平行的结论．(2)该定理可用来判定两直线平行，揭示了“平行”与“垂直”这两种特殊位置关系之间的转化．温馨提示 其他性质(1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．即α⊥β，A ∈α，A ∈b ，b ⊥β⇒b ⊂α.(2)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内．即α⊥β，b ⊥β⇒b ∥α或b ⊂α.互动探究探究点1 垂直于同一直线的两个平面有什么关系？ 提示 平行(可用此结论判定面面平行)．探究点2 两个平面均垂直于一个平面，这两个平面有什么关系？ 提示 关系不能确定，平行、相交(垂直)都有可能．类型一利用线面垂直性质定理证平行问题【例1】如图所示，在正方体A1B1C1D1-ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.[思路探索]分别证明EF、BD都垂直平面ACB1即可．1证明如图所示：连接AB1，B1D1，B1C1，BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C.又B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.[规律方法]线面垂直的性质是证明线线平行的方法之一，还可进而证明线面、面面平行．【活学活用1】如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE ＝AB＝2a，CD＝a，F为BE的中点．求证：DF∥平面ABC.证明取AB的中点G，连接FG、GC，则FG为△BEA中位线，∴FG∥AE.∵AE⊥平面ABC，FG∥AE，∴FG⊥平面ABC.∵FG⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，∴FG ∥CD .又FG ＝12AE ＝CD ＝a .∴四边形CDFG 为平行四边形，FD ∥CG .∵FD ∥CG .CG ⊂平面ABC ，∴DF ∥平面ABC . 类型二 利用面面垂直的性质定理证垂直问题【例2】 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面． 已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l . 求证：l ⊥γ.[思路探索] 根据直线和平面垂直的判定定理，可在γ内构造两相交直线分别与平面α，β垂直；或者由面面垂直的性质易在α，β内作出平面γ的垂线，再设法证明l 与其平行即可．证明 法一 在γ内取一点P ，作P A 垂直α与γ的交线于A ，PB 垂直β与γ的交线于B ，则P A ⊥α，PB ⊥β.∵l ＝α∩β，∴l ⊥P A ，l ⊥PB .又P A ∩PB ＝P ，且P A ⊂γ，PB ⊂γ， ∴l ⊥γ.法二 在α内作直线m 垂直于α与γ的交线，在β内作直线n 垂直于β与γ的交线， ∵α⊥γ，β⊥γ，∴m ⊥γ，n ⊥γ.∴m ∥n .又n ⊂β，∴m ∥β.又m ⊂α，α∩β＝l ， ∴m ∥l .∴l ⊥γ.[规律方法] 面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法，因此，在有面面垂直的条件下，若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质．【活学活用2】 如图，在三棱锥P ABC 中，P A ⊥平面ABC ，平面P AB ⊥平面PBC .求证：BC ⊥AB .证明 在平面P AB 内，作AD ⊥PB 于D . ∵平面P AB ⊥平面PBC ， 且平面P AB ∩平面PBC ＝PB .∴AD ⊥平面PBC .又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB . 又AB ⊂平面P AB ，∴BC ⊥AB .类型三 利用面面垂直的性质定理求二面角【例3】 在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝BC ＝CD ＝a ，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝135°，沿AC 将四边形折成直二面角B -AC -D .(1)求证：平面ABC ⊥平面BCD ；(2)求平面ABD 与平面ACD 所成的角的度数． [思路探索] 关于折叠问题，关键明确在折叠前后哪些量发生变化，如线与线的位置关系，角的大小等，要抓住不变量来解题．(1)证明 如图所示，其中图(1)是平面四边形，图(2)是折后的立体图．在四边形ABCD 中， ∵AB ＝BC ，AB ⊥BC ， ∴∠ACB ＝45°，而∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝135°， ∴∠ACD ＝90°，即CD ⊥AC .又平面ABC 与平面ACD 的二面角的平面为直角，且平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴CD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面BCD ，∴平面ABC ⊥平面BCD . (2)解 过点B 作BE ⊥AC ，E 为垂足，则BE ⊥平面ACD . 又过点E 在平面ACD 内作EF ⊥AD ，F 为垂足，连接BF . 由已知可得BF ⊥AD ， ∴∠BFE 是二面角B -AD -C 的平面角．∵E 为AC 的中点，∴AE ＝12AC ＝22a .又sin ∠DAC ＝CD AD ＝33，EF ＝33AE ，∴EF ＝22a ·33＝66a ，tan ∠BFE ＝BEEF＝ 3.∴∠BFE ＝60°，即平面ABD 与平面ACD 所成的角的度数为60°.[规律方法] 当一个平面与二面角的一个面垂直时，常利用面面垂直的性质作出二面角面的垂线，而作出平面角．【活学活用3】 如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 分别为AD 、PC 中点．(1)求异面直线EF 和PB 所成角的大小； (2)求证：平面PCE ⊥平面PBC ； (3)求二面角E -PC -D 的大小．(1)解 如图，取PB 的中点G ，连接FG 、AG ， ∵E 、F 分别为AD 、PC 中点，∴FG 綉12BC ，AE 綉12BC ，∴FG 綉AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥FE ，∵P A ＝AD ＝AB ，∴AG ⊥PB ，即EF ⊥PB ， ∴EF 与PB 所成的角为90°.(2)证明 由(1)知AG ⊥PB ，AG ∥EF ， ∵P A ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥P A ， ∵BC ⊥AB ，AB ∩BC ＝B ， ∴BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥AG ，又∵PB ∩BC ＝B ， ∴AG ⊥平面PBC ， ∴EF ⊥平面PBC ， ∵EF ⊂平面PCE ，∴平面PCE ⊥平面PBC .(3)解 作EM ⊥PD 于点M ，连接FM ， ∵CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥EM ， ∴EM ⊥平面PCD ，EM ⊥PC ，由(2)知EF ⊥平面PBC ，∴EF ⊥PC ， 又EM ∩EF ＝E ， ∴PC ⊥平面EFM ， ∴FM ⊥PC ，∴∠MFE 是二面角E -PC -D 的平面角或其补角．∵P A ＝AD ＝2，∴EF ＝AG ＝2，EM ＝22，∴sin ∠MFE ＝EM EF ＝12，∴∠MEF ＝30°，即二面角E -PC -D 的大小为30°. 方法技巧 转化思想在垂直关系转换中的应用 线线垂直、线面垂直和面面垂直的转换关系如下：当证明垂直关系时，要灵活地应用垂直之间的转换关系．当运用平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．【示例】 如图所示，在四棱锥V -ABCD 中，底面四边形ABCD 是正方形，侧面三角形VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD .(1)证明AB ⊥平面VAD ；(2)求面VAD 与面VDB 所成的二面角的平面角的正切值． [思路分析] (1)用面面垂直的性质 (2)由(1)利用垂线法作平面角．(1)证明 ∵底面四边形ABCD 是正方形， ∴AB ⊥AD .又∵平面VAD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，且平面VAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴AB ⊥平面VAD .(2)解 如图所示，取VD 的中点E ，连接AE ，BE . ∵△VAD 是正三角形，∴AE ⊥VD ，AE ＝32AD .∵AB ⊥平面VAD ， ∴AB ⊥VD .又∵AE ∩AB ＝A ， ∴VD ⊥平面ABE .∴BE ⊥VD .因此∠AEB 就是所求二面角的平面角，于是tan ∠AEB ＝233.[题后反思] 证明垂直问题，要结合条件充分利用已知或证出的垂直关系的性质灵活地进行垂直间的转化．课堂达标1．平面α⊥平面β，a⊥α，则有()．A．a∥βB．a∥β或a⊂βC．a与β相交D．a⊂β解析由已知易得：a∥β或a⊂β.答案 B2．(2012·济宁高一检测)已知平面α⊥平面β，则以下说法正确的个数是()．①平面α内的直线必垂直平面β内的无数条直线；②在平面β内垂直于平面α与平面β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任意一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作平面α与平面β的交线的垂线，此直线必垂直于α.A．4 B．3C．2 D．1解析①②正确，③④不正确．答案 C3．已知a、b为直线，α、β为平面．在下列四个命题中，正确的命题是________．①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.解析由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假．答案①③4．已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.其中正确命题的序号是________．解析①也可能是直线l⊂α；②正确；③中的两个点可以在平面的两侧；④正确．答案②④5．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，P A⊥平面ABCD，且P A ＝AB，点E是PD的中点．(1)求证：AC⊥PB；(2)求证：PB∥平面AEC；(3)求二面角E-AC-B的大小．(1)证明(1)由P A⊥平面ABCD可得P A⊥AC.又AB⊥AC，所以AC⊥平面P AB，所以AC⊥PB.(2)证明如图，连接BD交AC于点O，连接EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB.又EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC.(3)解如图，取AD的中点F，连接EF，FO，则EF是△P AD的中位线，∴EF∥P A.又P A⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.同理，FO 是△ADC 的中位线， ∴FO ∥AB ，∴FO ⊥AC . 因此，∠EOF 是二面角E -AC -D 的平面角．又FO ＝12AB ＝12P A ＝EF ，∴∠EOF ＝45°.而二面角E -AC -B 与二面角E -AC -D 互补，故所求二面角E -AC -B 的大小为135°.课堂小结1．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．3．灵活进行线线、线面、面面垂直关系之间的转换，是判定和运用垂直关系的关键．。
高中数学人教版必修2 2.3.4平面与平面垂直的性质 作业(系列五)
直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质A组基础巩固1. 2013·广东卷 设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：本题主要考查线面、面面的位置关系，考查数形结合的思想方法．画出一个长方体ABCD－A1B1C1D1.对于A，C1D1∥平面ABB1A1，C1D1∥平面ABCD，但平面ABB1A1与平面ABCD相交，故A不正确；对于C，BB1⊥平面ABCD，BB1∥平面ADD1A1，但平面ABCD 与平面ADD1A1相交，故C不正确；对于D，平面ABB1A1⊥平面ABCD，CD∥平面ABB1A1，但CD⊂平面ABCD，故D不正确，故选B.答案：B2. 2013·新课标全国卷Ⅱ 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l 满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：本题主要考查线线、线面的位置关系的判定．由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则交线平行于l，故选D.答案：D3. 2014·陕西师大附中月考 在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA ⊥平面ABC，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：本题考查由线面垂直、面面垂直判断三角形的形状．过点A作AH⊥BD于点H，由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．故选A.答案：A4．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角()。
2022高中数学-平面与平面垂直第2课时平面与平面垂直的性质定理课后提能训练新人教A版必修第二册
第八 章 8.6 8.6.3 第2课时A级——基础过关练1．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直【答案】C 【解析】当b＝α∩β时，必有a⊥β；当b不是α与β的交线时，直线a不一定垂直于平面β，可能平行，也可能相交，故C正确．2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能【答案】D 【解析】α与γ可能平行、相交但不垂直、垂直．故选D.3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β【答案】D 【解析】如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥α⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β.故选D.4．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，若平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD ＝CD，则BD与CC1( )A．平行 B．共面C．垂直 D．不垂直【答案】C 【解析】如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD，所以BD⊥AC.因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.故选C.5．(多选)如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E 为AD的中点，则下列结论成立的是( )A．PE⊥AC B．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD【答案】ABC 【解析】因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B 成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立．故选ABC.6．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．【答案】平行 【解析】由题意知n⊥α，又m⊥α，所以m∥n.7．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用序号表示)．【答案】①②⇒③ 【解析】由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，∵l′⊂β，∴α⊥β，故①②⇒③.8．如图，三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC 是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.【答案】证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.9．如图，已知△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE∥BD，BD＝2CE.点F为AD中点，连接EF.(1)求证：EF∥平面ABC；(2)求证：平面AED⊥平面ABD.证明：(1)取AB的中点O，连接FO，CO.∵点F为AD中点，∴FO綉BD.∵CE∥BD，BD＝2CE，∴FO綉CE.∴四边形FOCE为平行四边形，∴CO∥EF.又∵CO⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)由(1)知点O为AB的中点，且△ABC为等边三角形，∴CO⊥AB.又∵AB⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，∴BD⊥平面ABC，∴BD⊥CO.又AB∩BD＝B，∴CO⊥平面ABD.又CO∥EF，∴EF⊥平面ABD.∵EF⊂平面AED，∴平面AED⊥平面ABD.B级——能力提升练10．在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，沿AD折成二面角B－AD－C后，BC＝AB，这时二面角B－AD－C的大小为( )A．60°B．90°C．45°D．120°【答案】A 【解析】∠BDC为二面角B－AD－C的平面角，设正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC＝m，BD＝DC＝m，所以∠BDC＝60°.11．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC 是( )A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】A 【解析】过点A作AH⊥BD于点H.由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．故选A.12．已知平面α，β，γ，则下列命题中正确的是( )A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．α∥β，β⊥γ，则α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α【答案】B 【解析】A中α，γ可以相交；C中如图，a与b不一定垂直；D中b仅垂直于α的一条直线a，不能判定b⊥α.13．(2021年信阳月考)(多选)如图，在四面体P－ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是( )A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDF⊥平面ABC【答案】ABC 【解析】因为D，F分别为AB，AC的中点，所以DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，故A中结论正确；因为E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，所以BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE，因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，故B中结论正确；因为DF⊂平面PDF，DF⊥平面PAE，所以平面PDF⊥平面PAE，故C中结论正确；假设平面PDF⊥平面ABC，则由平面PDF∩平面ABC＝DF，AE⊂平面ABC，AE⊥DF，DF⊂平面PDF，得AE⊥平面PDF，所以AE⊥PD，AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故D中结论错误．14．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．【答案】45° 【解析】过A作AO⊥BD于O点．∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°.15．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为________．【答案】3 【解析】因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD，所以平面ABC⊥平面BCD.因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对．16．如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角正切值．【答案】(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.(2)解：取AB的中点F，连接CF，EF.∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥CF.又AC＝BC，∴CF⊥AB.∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．在Rt△CFE中，CF＝，FE＝，tan∠CEF＝＝.17．如图，在三棱锥P－ABC中，△PBC为等边三角形，点O为BC的中点，AC⊥PB，平面PBC⊥平面ABC.(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)已知E为PO的中点，F是AB上的点，AF＝λAB.若EF∥平面PAC，求λ的值．(1)证明：连接PO.∵△PBC为等边三角形，点O为BC的中点，∴PO⊥BC.∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，∴PO⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴PO⊥AC.∵AC⊥PB，PO∩PB＝P，∴AC⊥平面PBC.∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBC.(2)解：取CO中点G，连接EG，FG.∵E为PO的中点，∴EG∥PC.∵F是AB上的点，AF＝λAB，EF∥平面PAC，∴平面EFG∥平面PAC，∴FG∥AC，∴λ＝＝＝.∴λ的值为.C级——探索创新练18．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为36，求a的值．(1)证明：在图1中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC，即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)解：由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱锥A1－BCDE的高．由图2知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1－BCDE的体积为V＝S·A1O＝×a2×a＝a3.由a3＝36，得a＝6.。
高中数学 2.32.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2
而 FE⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE＝E.
栏
PB⊂平面 PGB，GB⊂平面 PGB，PB∩GB＝B，
目 链
接
∴平面 DEF∥平面 PGB.
由(1)得 PG⊥平面 ABCD，而 PG⊂平面 PGB，
∴平面 PGB⊥平面 ABCD， ∴平面 DEF⊥平面 ABCD.
第三十四页，共42页。
PC＝PC，
所以 Rt△PBC≌Rt△PAC，
栏 目
链
所以 AC＝BC.
接
如图，取 AB 中点 D，连接 PD，CD，
则 PD⊥AB，CD⊥AB，又因为 PD∩CD＝D，所以 AB⊥平
面 PDC，所以 AB⊥PC.
第三十七页，共42页。
跟踪 训练
(2)解析：作 BE⊥PC，垂足为 E，连接 AE.
目 链
接
(pàndìng)定理和性质定理间的相互联系．
第三页，共42页。
栏 目 链 接
第四页，共42页。
基础 梳理
1．直线与平面垂直的性质定理.
文字语言
垂直于同一个平面的两条直
平行线(_p_í_n_g_x_íng)
栏
目
链
接
符号语言
a∥b
第五页，共42页。
基础 梳理
图形语言 栏 目 链 接
作用
①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线
栏 目 链 接
(1)证明：BD⊥平面 PAC； (2)若 PA＝1，AD＝2，求二面角 BPCA 的正切值．
第二十九页，共42页。
跟踪
训练
证明：∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥BD.
∵PC⊥平面 BDE，∴PC⊥BD.
又∵PA∩PC＝P，BD⊄平面 PAD.
人教新课标版数学高一必修2讲义 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质
2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质1．理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．(重点)2．能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题．(重点、难点) 3．理解“平行”与“垂直”之间的相互转化．(易错点)[基础·初探]教材整理1 直线与平面垂直的性质定理 阅读教材P 70的内容，完成下列问题．文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 图形语言判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．( ) (2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．( )(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．()【解析】由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确．【答案】(1)√(2)√(3)√教材整理2平面与平面垂直的性质定理阅读教材P71“思考”以下至P72“例4”以上的内容，完成下列问题．文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．符号语言⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝la⊂αa⊥l⇒a⊥β图形语言在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF 与平面A1B1C1D1的关系是()A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直D[在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确．][小组合作型]线面垂直性质定理的应用如图2-3-31所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N 是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.图2-3-31求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．【精彩点拨】(1)要证线线平行，则先证线面垂直，即证AD1⊥平面A1DC.(2)可证ON＝AM，ON＝12AB.【自主解答】(1)∵ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1.∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC. 又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1. (2)连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.∴ON綊12DC綊12AB，∴ON∥AM.又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM.∵ON＝12AB，∴AM＝12AB，∴M是AB的中点．1．直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．2．当题中垂直条件很多，但又需证平行关系时，就要考虑垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．[再练一题]1．如图2-3-32，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.图2-3-32【证明】因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a ∥l .面面垂直性质定理的应用如图2-3-33所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a 的菱形且∠DAB ＝60°，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .图2-3-33(1)若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； (2)求证：AD ⊥PB .【精彩点拨】 (1)菱形ABCD ，∠DAB ＝60°―→△ABD 为正三角形―→BG ⊥AD ―――――――→面PAD ⊥底面ABCDBG ⊥平面PAD(2)要证AD ⊥PB ，只需证AD ⊥平面PBG 即可．【自主解答】 (1)如图，在菱形ABCD 中，连接BD ，由已知∠DAB ＝60°，∴△ABD 为正三角形， ∵G 是AD 的中点， ∴BG ⊥AD .∵平面PAD ⊥平面ABCD ， 且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴BG⊥平面PAD.(2)如图，连接PG.∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG.∴AD⊥PB.1．证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a、b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)．2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．[再练一题]2．如图2-3-34，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.图2-3-34【证明】∵平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB.∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，∵VA⊂平面VAC.∴平面VBC⊥平面VAC.[探究共研型]垂直关系的综合应用探究1如图2-3-35，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC ＝BC＝2，等边△ADB以AB为轴转动．当平面ADB⊥平面ABC时，能否求CD的长度？图2-3-35【提示】取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，由已知可得DE＝3，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.探究2在上述问题中，当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．【提示】①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由探究1知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.探究3试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．【提示】垂直问题转化关系如下所示：如图2-3-36，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA ⊥底面ABCD；图2-3-36(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【精彩点拨】(1)利用性质定理可得PA⊥底面ABCD；(2)可证BE∥AD，从而得BE∥平面PAD；(3)利用面面垂直的判定定理．【自主解答】(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．2．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．[再练一题]3．如图2-3-37，在三棱锥P-ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.图2-3-37【证明】(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.1．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【解析】如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．【答案】 D2．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则()A．ME⊥平面ACB．ME⊂平面ACC．ME∥平面ACD．以上都有可能【解析】由于ME⊂平面AB1，平面AB1∩平面AC＝AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.【答案】 A3．如图2-3-38，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE ＝________.图2-3-38【解析】因为AF⊥平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD，所以△EDC为直角三角形，CE＝ED2＋CD2＝13.【答案】134．如图2-3-39，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________.图2-3-39【解析】过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.【答案】45°5．如图2-3-40，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.求证：AD⊥平面PCD.图2-3-40【证明】在矩形ABCD中，AD⊥CD，因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PCD.。
人教A版数学必修二第二章第十三课时同步练习2.3.4平面与平面垂直的性质
2.3.4平面与平面垂直的性质1. 下列命题错误的是（ ）.A. α不垂直β⇒α内一定存在直线平行于βB. αβ⊥⇒α内一定存在直线平行于βC. α不垂直β⇒α内不存在直线垂直βD. αβ⊥⇒α内所有直线都垂直于β2. 已知αβ⊥，,a b αβ⊂⊂，b 是α的斜线，a ⊥b ，则a 与β的位置关系是（ ）. A.a ∥β B. a 与β相交不垂直 C. a β⊥ D.不能确定3. 已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线． ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线． ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确的个数是（ ） A ．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．０4. 若平面αβ⊥平面，直线a α⊂，则a 与β的位置关系为_____________________.5. 直线m 、n 和平面α、β满足m n ⊥，m α⊥,αβ⊥，则n 和β的位置关系为__________.6. 如图，已知平面α，β，直线a 满足αβ⊥，a β⊥，a α⊄，试判断直线a 与平面α的位置关系．7. 已知平面α，β，γ且αγ⊥，βγ//，求证αβ⊥．8. 已知平面α，β，γ满足αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，求证：l γ⊥．9. 在三棱锥P ABC -中，侧面PAC 与面ABC 垂直，3PA PB PC ===． （１） 求证：AB BC ⊥；（２） 设AB BC ==，求AC 与平面PBC 所成角的大小．参考答案1. 答案：D2. 答案：B3. 答案：Ｂ．4. 答案：相交或平行或a 在平面β内5. 答案：相交或平行或n 在平面β内6. 答案：解：在α内作垂直于α与β交线的直线b ，因为αβ⊥，所以b β⊥． 因为a β⊥，所以a b //．又因为a α⊄，所以a α//．即直线a 与平面α平行．7. 答案：证明：设l αγ=，在平面α内作直线a l ⊥．因为αγ⊥，所以a γ⊥．过a 作一个平面δ与平面β相交于直线b ， 由αβ//，得a b //．又b β⊂，所以βγ⊥．因为a γ⊥，所以b γ⊥．8. 答案：在平面γ内做两条相交直线分别垂直于平面α，β与平面γ的交线，再利用面面垂直的性质定理证直线l γ⊥平面．αβba9. 答案：证明：如图（１）所示，取AC 中点D ，连结BD ，PD ．PA PC =∵，PD AC ⊥∴．又平面PAC ⊥平面ABC ，PD ⊥∴面ABC ．PA PB PC ==∵，DA DB DC ==∴．可知 AC 为ABC △的外接圆直径．∴AB BC ⊥．（２）解：如图（２），作CF PB ⊥于F ，连结AF ，PBC PBA ∵△≌△，AF PB ⊥∴，AF CF =． PB ⊥∴平面AFC ．∴面AFC ⊥面PBC，交线为CF ．∴直线AC 在平面PBC 内的射影为直线CF ． ∴ACF ∠为AC 与平面PBC 所成的角．在ABC Rt △中，AB BC ==，BD =∴ 在PDC Rt △中，DC =PD =．在PDB Rt △中，3PD DB DF PB ⨯===在FDC Rt △中，tan DF DCF DC ∠===． 30ACF ∠=∴þ．即AC 与平面PBC 所成角为30þ． AA图（２）。
学练考高中数学2.3.3、2.3.4直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质课件新人教A版必修2
图 2-3-55 证明：过点 A 作 AE⊥PB，垂足为 E， ∵平面 PAB⊥平面 PBC，平面 PAB∩平面 PBC＝PB，∴AE⊥平面 PBC. ∵BC⊂平面 PBC，∴AE⊥BC.∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴PA⊥BC. ∵PA∩AE＝A，∴BC⊥平面 PAB.
第二十四页，共28页。
(1)求证：BC⊥平面 ACD； (2)求几何体 D -ABC 的体积．
图 2-3-18
第十五页，共28页。
2.3.4 │ 考点(kǎo diǎn)类析
解：(1)证明：在图(a)中，可得 AC＝BC＝2 2，从而 AC 2 ＋BC 2＝AB 2，故 AC⊥BC.因为平面 ADC⊥平面 ABC，平面
2.3.4 │ 当堂(dānɡ tánɡ)自测
当堂自测
1．已知直线 b⊥平面 α，直线 a⊂α，则 a 与 b 的位置关系 是( )
A．a∥b B．a⊥b C．a 与 b 垂直相交 D．a 与 b 垂直且异面 [答案]B
第二十五页，共28页。
2.3.4 │ 当堂(dānɡ tánɡ)自测
2．已知平面 α，β，直线 l，若 α⊥β，α∩β＝l，则( ) A．垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B．垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C．垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l D．垂直于直线 l 的平面一定与平面 α、β 都垂直
2021-2022高中数学人教版必修2作业：2.3.4平面与平面垂直的性质(系列四)Word版含解析
-2.3.4第2课时直线与平面、平面与平面垂直的性质一、选择题1．l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，那么直线n与平面α的关系是()A．n∥α B．n∥α或n⊂αC．n⊂α或n与α不平行D．n⊂α解析：选A∵l⊂α且l与n异面，∴n⊄α.又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.2．如下图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC解析：选C由题意知BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∵P－ABC为正四面体，∴BC⊥PA，AE⊥PC.∴BC⊥平面PAE，DF⊥平面PAE.∵DF⊂平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC.3．直线m，n，平面α，β，给出以下命题：①假设m⊥α，m⊥β，那么α⊥β；②假设m∥α，m∥β，那么α∥β；③假设m⊥α，m ∥β，那么α⊥β；④假设异面直线m，n互相垂直，那么存在过m的平面与n垂直．其中正确的命题是()A．②③B．①③C．②④D．③④解析：选D对于①，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，不可能垂直，所以①不正确；对于②，平行于同一条直线的两个平面相交或平行，所以②不正确；③④正确，应选D.4．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l ，当点P 逐渐远离点A 时，∠PCB 的大小( )A ．变大B ．变小C ．不变D ．有时变大有时变小解析：选C 由于BC ⊥CA ，l ⊥平面ABC ，∴BC ⊥l ，故BC ⊥平面ACP ，∴BC ⊥CP ，∴∠PCB ＝90°，应选C.5．如下图，六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，那么以下结论正确的选项是( )A ．PB ⊥ADB ．平面PAB ⊥平面PBCC ．直线BC ∥平面PAED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45°解析：选D ∵PA ⊥平面ABC ，∴∠ADP 是直线PD 与平面ABC 所成的角．∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AD ＝2AB ，即tan ∠ADP ＝PA AD ＝2AB 2AB＝1， ∴直线PD 与平面ABC 所成的角为45°，选D.二、填空题6．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.解析：利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④⇒①为真．∴应填“假设①③④那么②〞，或“假设②③④那么①〞．答案：假设①③④那么②(或假设②③④那么①)7．如下图，沿直角三角形ABC 的中位线DE 将平面ADE 折起，使得平面ADE ⊥平面BCDE ，得到四棱锥A －BCDE.那么平面ABC 与平面ACD 的关系是________．解析：∵AD ⊥DE ，平面ADE ⊥平面BCDE ，且平面ADE∩平面BCDE ＝DE ，∴AD ⊥⊂平面BCDE ，∴AD ⊥⊥CD ，CD∩AD ＝D ，∴BC ⊥平面ACD ，又BC ⊂平面ABC ，答案：平面ABC ⊥平面ACD8．如下图，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD 是正三角形，那么二面角C －BD －A 的平面角的正切值为________．解析：过C 点作CO ⊥AB ，垂足为O ，作OH ⊥BD ，垂足为H ，连接CH.∵平面ABC ⊥平面ABD ，交线为AB.∴CO ⊥平面ABD ，∴CO ⊥BD.又∵OH ⊥BD ，OH∩CO ＝O ，∴BD ⊥平面COH ，∴BD ⊥CH.∴∠CHO 为二面角C －BD －A 的平面角．设CA ＝CB ＝a ，那么AB ＝BD ＝AD ＝2a ，CO ＝22a. ∴OH ＝12×32×2a ＝64a. ∴tan ∠CHO ＝CO OH ＝22a 64a ＝233. 答案：233三、解答题9．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△PAD 是等边三角形，BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5.(1)设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ；(2)求四棱锥P －ABCD 的体积．解：(1)证明：在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45，∴AD 2＋BD 2＝AB 2，∴AD ⊥BD.又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PAD.(2)过P 作PO ⊥AD ，垂足为O.∴PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 上的高．又△PAD 是边长为4的等边三角形，∴PO ＝2 3. 在底面四边形ABCD 中， AB ∥DC ，AB ＝2DC ，∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，即梯形的高为855. ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P －ABCD ＝13×24×23＝16 3. 10．如图，AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB ＝5a.(1)证明：EB ⊥FD ；(2)求点B 到平面FED 的距离．解：(1)证明：∵FC ⊥平面BED ，BE ⊂平面BED ，∴EB ⊥FC.又点E 为AC 的中点，B 为直径AC 的中点，∴EB ⊥BC.又∵FC∩BC ＝C ，∴EB ⊥平面FBD.∵FD ⊂平面FBD ，∴EB ⊥FD.(2)如图，在平面BEC 内过C 作CH ⊥⊥平面BED 知，ED ⊥平面FCH.∵Rt △DHC ∽Rt △DBE ，∴DC DE ＝CH BE. 在Rt △DBE 中，DE ＝BE 2＋BD 2＝BE 2＋2BC 2＝5a ，∴CH ＝DC·BE DE ＝a·a 5a ＝55a. ∵FB ＝5a ，BC ＝a ，∴FC ＝2a.在平面FCH 内过C 作CK ⊥FH ，那么CK ⊥平面FED.∵FH2＝FC2＋CH2＝4a2＋a25＝215a2，∴FH＝1055 a.∴CK＝FC·CHFH ＝2a·55a1055a＝22121 a.∵C是BD的中点，∴B到平面FED的距离为2CK＝42121 a.。
人教A版高中数学必修二2.3.4平面与平面垂直的性质 同步练习(II)卷
人教A版高中数学必修二2.3.4平面与平面垂直的性质同步练习（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中，正确的是（）A . 在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B . 过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C . 与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D . 与直线m平行的平面不可能与平面α垂直2. （2分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是（）A . ①和②B . ②和③C . ③和④D . ②和④3. （2分） (2017高一上·济南月考) 将正方形沿折起，使平面平面，为的中点，则的大小是（）A .B .C .D .4. （2分）三棱锥S—ABC中，SA⊥底面ABC ， SA=4，AB=3，D为AB的中点∠ABC=90°，则点D到面SBC的距离等于（）A .B .C .D .5. （2分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°6. （2分） (2017高一上·济南月考) 如图所示，在正方体中，若点为上的一点，则直线一定垂直于（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二下·双流期末) 已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A . 若，则B . 若，，则C . 若，，则D . 若，，则8. （2分） (2017高二上·苏州月考) 如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，不一定正确的是（）A . AC⊥BDB . AC∥截面PQMNC . AC = BDD . 异面直线PM与BD所成的角为9. （2分）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在线段AB1 ， BC1上，且AM=BN，给出以下结论：其中正确的结论的个数为（）①AA1⊥MN②异面直线AB1 ， BC1所成的角为60°③四面体B1﹣D1CA的体积为④A1C⊥AB1 ，A1C⊥BC1 ．A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分）对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列命题中真命题是（）A . 若,则；B . 若则；C . 若,则；D . 若,则.二、填空题 (共2题；共3分)11. （2分） (2017高二上·绍兴期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长等于________，体积等于________．12. （1分） (2016高一上·舟山期末) 如图：在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥面ABC，SA=1，△ABC是边长为2的等边三角形，则二面角S﹣BC﹣A的大小为________．三、解答题 (共3题；共25分)13. （5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．14. （10分）(2017·长宁模拟) 如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．15. （10分） (2017高一下·牡丹江期末) 如图，，，分别为的中点（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共2题；共3分)11-1、12-1、三、解答题 (共3题；共25分)13-1、14-1、14-2、15-1、15-2、。
高中数学 2.3.4 平面与平面垂直的性质素材 新人教A版必修2-新人教A版高中必修2数学素材
2．4 平行与垂直综合问题自测自评1．直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，那么(D)A．n⊥βB．n∥β或n⊂βC．n⊥αD．n∥α或n⊂α解析：在平面β内作直线l垂直于α，β的交线，那么由α⊥β得直线l⊥α.又m⊥α，所以l∥m.假设m⊂β，结合图形知，要满足题中限制条件，显然只能n∥α或n⊂α；同理m⊄β，仍有n∥α或n⊂α.综上所述，D正确．2．假设三个平面α，β，γ，之间有α∥γ，β⊥γ，那么α与β(A)A．垂直B．平行C．相交D．以上三种可能都有3．对于任意的直线l与平面α相交，在平面α内不可能有直线m，使m与l(A)A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线4．给出以下四个命题，其中真命题有①②④(填序号)．①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．基础达标1．平面α外不共线的三点A，B，C，且AB∥α，那么正确的结论是(D)A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必与α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内2．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A且与l，α都成30°角的直线有且只有(B) A．1条B．2条C．3条D．4条解析：如下图与α成30°角的直线一定是以A 为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°时，直线AC ，AB 都满足条件，应选B .3.以下命题中，正确的选项是(C )A ．经过不同的三点有且只有一个平面B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D ．垂直于同一个平面的两个平面平行4．用α表示一个平面，l 表示一条直线，那么平面α内至少有一条直线与l(D ) A ．平行 B ．相交C ．异面D ．垂直5．假设m ，n 表示直线，α表示平面，那么以下命题中，正确的个数为(C )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n ④ ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．设l 为直线，α，β是两个不同的平面，以下命题中正确的选项是(B )A ．假设l∥α，l ∥β，那么α∥βB ．假设l⊥α，l ⊥β，那么α∥βC ．假设l⊥α，l ∥β，那么α∥βD ．假设α⊥β，l ∥α，那么l⊥β7．如下图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，那么B 1F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值构成的集合是(C )A ．{2}B ．{255} C ．{t|2≤t ≤22} D ．{t|255≤t ≤2} 解析：取CC 1，C 1D 1的中点G ，H ，连接B 1G ，B 1H ，GH ，那么平面B 1GH ∥平面A 1BE ，所以满足题意的点F 在GH 上移动．那么B 1G 与平面CDD 1C 1所成角的正切值最小且最小值为2，设GH 的中点为M ，那么B 1M 与平面CDD 1C 1所成角的正切值最大且最大值为22，应选C .8．设l ，m ，n 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，以下命题中正确的个数是(B )①假设l⊥α，m ∥β，α⊥β，那么l⊥m；②假设m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ，那么l⊥α；③假设l∥m，m ∥n ，l ⊥α，那么n⊥α；④假设l∥m，m ⊥α，n ⊥β，α∥β，那么l ∥n.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：对于①，直线l ，m 可能互相平行，①不正确；对于②，直线m ，n 可能是平行直线，此时不能得知l⊥α，②不正确；对于③，由定理“平行于同一条直线的两条直线平行〞与“假设两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面〞得知，③正确；对于④，由l∥m，m ⊥α得l ⊥α，由n⊥β，α∥β得n⊥α，因此有l∥n，④正确．综上所述，其中命题正确的个数是2，应选B . 巩固提升9．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，那么以下命题中，错误的命题是(D )A．点H是△A1BD的垂心B．AH的延长线经过点C1C．AH垂直平面CB1D1D．直线AH和BB1所成角为45°10．如右图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：(1)AE⊥平面BCE;(2)AE∥平面BFD.证明：(1)因为BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE，又AD⊥平面ABE，所以BC⊥平面ABE，所以BC⊥AE，因为BC与BF相交，所以AE⊥平面BCE.(2)连接AC交BD于G，连接FG，因为EB＝BC，所以F是EC中点，所以AE∥FG，又AE⊄平面BFD，所以AE∥平面BFD.11．如下图，三棱柱ABCA1B1C1的各条棱均相等，AA1⊥平面ABC，D是BC上一点，AD⊥C1D.求证：(1)A1B∥面ADC1；(2)面ADC1⊥面BCC1B1.证明：(1)连接A1C交AC1于O，那么O为A1C的中点，∵B1B⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴B1B⊥AD，又∵AD⊥C1D，B1B与C1D是平面BCC1B1内的两条相交线，∴AD⊥平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，∴AD⊥BC，∵△ABC是正三角形，∴D为BC中点，连接OD，在△A1BC中，OD∥A1B，OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1.(2)∵AD⊥C1D，又AD⊥C1C，C1D与C1C相交，∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADC1，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1.12．如以下图所示，△PAD是正三角形，ABCD是正方形，E，F分别为PC，BD中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)假设平面PAD⊥平面ABCD，求证：平面PAD⊥平面PCD.证明：(1)取PD中点G，AD中点O，连接EG，GO，OF.∵E 、F 分别是PC 、BD 中点，∴GE 綊12DC ，OF 綊12AB ，又∵AB 綊CD ， ∴GE 綊OF ，∴EFOG 是平行四边形，∴EF ∥GO ，又EF ⊄平面PAD ，∴EF ∥平面PAD.(2)∵底面ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ，∵平面PAD⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，∴CD ⊥平面PAD.∵CD ⊂平面PCD ，∴平面PCD⊥平面PAD.1．立体几何证明问题书写是一个难点，应该反复练习才能够熟练，必要时可做几个样题．2．结论为垂直的命题可将a∥α视为a ⊂α，α∥β视为α和β是同一个平面；判断a∥α时特别留意a 是否在平面α外．。
高一数学人教A版必修2课后导练：2.3.4平面与平面垂直的性质含解析
课后导练基础达标1 已知直线l、m,平面α、β,且 l⊥ α ,m β,给出以下四个命题，此中正确命题的个数是（）①若α∥ β,则 l⊥ m②若l⊥ m,则α∥β ③若α⊥ β,则l∥m④若l∥ m,则α⊥ βA.1 个B.2 个C.3 个D.4 个分析：若α∥ β，∵ l ⊥α,∴l ⊥β又.∵ mβ,∴ l⊥ m，因此①正确.若 l ∥m,∵l ⊥ α,∴ m⊥α又. mβ，∴ α⊥ β.因此④正确，而②③错误.答案： B2 在以下对于直线m、 l 和平面α、β的命题中 ,真命题是（）A. 若 lβ,且α⊥ β,则l⊥αB.若 l⊥ β,且α∥ β,则 l ⊥αC.若 l⊥ β,且α⊥ β,则 l ∥αD.若α∩β =m,且l∥ m,则 l∥ α分析： A 项中 l 与α能够平行或斜交， A 项错 .B项中， l ⊥β且α∥ β,∴ l ⊥ α正确 .C项中， l 可在α内， C 项错， D 项中， l 可在α内， D 项错 .答案： B3 如图，假如MC ⊥菱形 ABCD 所在的平面，那么MA 与 BD 的地点关系是（）A. 平行B.垂直订交C.异面且垂直D.订交但不垂直分析：∵ABCD 为菱形，∴ BD ⊥ AC.又∵ MC ⊥面 ABCD ，∴ MC ⊥ BD ，∴BD ⊥面 MAC ，∴ BD ⊥ MA.答案： C4 已知平面α、β、γ，则以下正确的选项是（）A. α⊥ β ,⊥βγ，则β∥ γB. α∥ β ,⊥βγ，则α⊥ γC. α∩β =a, β∩γ，则 a=b⊥ bD. α⊥ β , α∩β， a=a⊥ b，则 b⊥ α分析：以下， A 项错，β与γ可平行，也可订交； B 项正确 .证明以下，设β∩γ，=a在γ内作直线l⊥ α.∵β⊥ γ,∴ l⊥ β.又α∥β,∴ l ⊥ α.又 lγ,∴α⊥γ.C 项明显错误，D 项中缺乏了bβ,∴D项错.答案： B5 经过平面α外一点和α内一点与平面α垂直的平面有（）A.0 个B.1 个1分析：当两点的直l ⊥ α，能作无数多个；当l 与α斜交，只好作一个.答案： D6 于直m、n 和平面α、β，α⊥ β的一个条件是（）A.m ⊥ n,m∥ α ,n∥ βB.m⊥ n, α∩β =m,nαC.m∥ n,m⊥ α ,n⊥ βD.m∥ n,n⊥β ,m α分析： A ，因即便α∥ β，也能够有切合 m⊥ n，且 m∥ α，n∥β的直 m、n 存在； B ，因二面角α-m- β无能否 90°，均可找到切合意的形； C ，因 m∥ n且 m⊥ α ，有 n⊥α，又由 n⊥β得α∥ β，不会获得α⊥ β.答案： D7 在正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1中， A 、C、D 的平面与 D、B1、B 的平面的地点关系是（）A. 订交但不垂直B.订交成 60°角C.相互垂直D.相互平行分析：∵ A 、C、 D 的平面即平面ABCD ， D 、B 1、 B 的平面即平面 D 1DBB 1，又∵正方体中， B1B ⊥平面 ABCD ，∴可得平面 B 1BDD 1⊥面 ABCD ，故 C.答案： C8 如， P △ ABC 所在平面外一点，AP=AC,BP=BC,DPC 的中点 .求： PC⊥ AB.明：∵ AP=AC ，BP=BC ， D PC 中点 .∴PC⊥AD ， PC⊥ BD.又∵ AD∩BD=D ，∴PC⊥平面 ABD.又∵ AB平面ABD，故 PC⊥AB.合运用9m、 n 是两条不一样的直，α、β、γ是三个不一样的平面，出以下四个命，此中正确命的序号是⋯ （）①若 m⊥ α,n∥ α， m⊥ n ②若α∥ β,∥βγ,m⊥ α， m⊥ γ ③若 m∥ α,n∥ α， m∥ n ④若α⊥γ,⊥βγ，α∥βA. ①②B.②③.③④ D. ①④分析：①正确 .n 作平面γ作平面γ∩α，=a∵n∥ α,∴n∥ a,又 m⊥ α， a α，∴ m⊥a,∴ m⊥ n.②正确 .∵ m⊥ α，α∥ β，∴ m⊥ β.又∵β∥ γ，∴ m⊥γ.③ .m 与 n 可能平行、订交或异面.④ . α∥ β或α与β订交 .答案： A10 空间四边形SABC 中， SO⊥平面 ABC,O 为△ ABC 的垂心 .求证：平面SOC⊥平面 SAB.证明：连接 OC，∵ O 为△ ABC 的垂心，∴OC⊥ AB.又∵ SO⊥面 ABC.AB 面 ABC ，∴ SO⊥ AB.∴AB ⊥面 SOC，又 AB 面 SAB.故平面 SOC⊥平面 ABC.11假如一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的均分线上 .已知：∠ BAC 在平面α内，点 Pα，PE⊥AB，PF⊥ AC，PO⊥ α，垂足分别为E、 F、 O，且 PE=PF.求证：∠ BAO= ∠CAO.证明：PE PFOE OFPOPO∠ BAO= ∠ CAO.OE ABPE ABOF ACPF AC拓展研究12(2006 全国Ⅱ， 7(理 ))如图 ,平面α⊥平面β ,A∈ α ,B∈ β ,AB与两平面α , 所β成的角分别为4和.过 A,B 分别作两平面交线的垂线,垂足为 A′ ,B则′,AB ∶ A′ B等′于 () 6A.2∶1B.3∶ 1C.3∶ 2D.4∶ 3分析： 连接 AB ′,BA ′,则∠ ABA ′= ,6∠BAB ′= .4AB 2 2 AA 1 1 在 Rt △ABB ′中 ,2,AB ′= AB. 在 Rt △AA ′B 中 ,AB2,AA ′= AB.AB221∴在 Rt △ AA ′B ′中,A ′B ′=AB. ∴选 A.2答案： A(文 )如图 ,平面 α⊥平面 β ,A ∈ α ,B ∈ β ,AB 与两平面 α , 所β成的角分别为和 .过 A,B 分别作46两平面交线的垂线 ,垂足为 A ′,B 若′,AB=12, 则 A ′B 等′于 ( )A.4B.6C.8D.9分析 :连接 AB ′,BA ′,则∠ABA ′= ,6∠BAB ′= .4在 Rt △ ABB ′中,∵ A B=12, ∴ AB ′=6 2 .在 Rt △ AA ′B 中,∵ AB=12, ∴AA ′=6. ∴在 Rt △ AA ′B ′中,A ′B ′=6. ∴选 B. 答案： B。
人教A版高中数学必修二2.3.4平面与平面垂直的性质 同步练习(II)卷
人教A版高中数学必修二2.3.4平面与平面垂直的性质同步练习（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，M分别是AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1 ， A1D1上，且A1P=A1Q=x，0<x<1，设平面MEF∩平面MPQ=l，则下列结论中不成立的是（）A . l∥平面ABCDB . l⊥ACC . 平面MEF与平面MPQ不垂直D . 当x变化时，l不是定直线2. （2分）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是（）A . ①和②B . ②和③C . ③和④D . ②和④3. （2分） (2017高一上·深圳期末) 已知三棱锥的四个面中，最多共有（）个直角三角形？A . 4B . 3C . 2D . 14. （2分）如图，在长方体中，，，则下列结论中正确的是（）A . ∥B . ∥平面C .D . 平面5. （2分）将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A . 平行B . 垂直C . 相交成60°角D . 异面且成60°角6. （2分）如图甲所示，在正方形ABCD中，EF分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF 把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图乙所示，那么，在四面体A﹣EFH中必有（）A . AH⊥△EFH所在平面B . AG⊥△E FH所在平面C . HF⊥△AEF所在平面D . HG⊥△AEF所在平面7. （2分）三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O，空间一点P到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP长为（）A . 5B . 2C . 3D . 58. （2分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A . 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB . 若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC . 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD . 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n9. （2分）在直角坐标系中，设，沿轴把坐标平面折成的二面角后，的长是（）A .B . 6C .D .10. （2分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD'的一个平面交AA′于点E，交CC′于点F．则下列结论正确的是（）①四边形BFD′E一定是平行四边形②四边形BFD′E有可能是正方形③四边形BFD′E在底面ABCD的投影一定是正方形④四边形BFD′E有可能垂于于平面BB′D．A . ①②③④B . ①③④C . ①②④D . ②③④二、填空题 (共2题；共2分)11. （1分） (2016高三上·虎林期中) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是________．12. （1分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：（1）AC⊥BD；（2）△ACD是等边三角形（3）AB与平面BCD所成的角为60°；（4）AB与CD所成的角为60°．则正确结论的序号为________ ．三、解答题 (共3题；共25分)13. （5分）(2017·海淀模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PC⊥平面ABCD，点E在棱PA上．（Ⅰ）求证：直线BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PC∥平面BDE，求证：AE=EP；（Ⅲ）是否存在点E，使得四面体A﹣BDE的体积等于四面体P﹣BDC的体积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．14. （15分） (2015高二上·昌平期末) 在直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA1=1．（1）求证：OC1∥平面AB1D1（2）求证：平面AB1D1⊥平面ACC1A1（3）求三棱锥A1﹣AB1D1的体积．15. （5分）如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB 的中点，点M在上，且OM∥AC．（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PCB．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共2题；共2分)11-1、12-1、三、解答题 (共3题；共25分)13-1、14-1、14-2、14-3、15-1、。
高一数学人教A版必修2试题：2.3.4 平面与平面垂直的性质 含解析
第二章 2.32.3.4A 级 基础巩固一、选择题1．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，m ⊂α，m ⊥l ，则导学号 09024587( C ) A ．m ∥β B ．m ⊂βC ．m ⊥βD ．m 与β相交但不一定垂直[解析] 如图，∵α⊥β，α∩β＝l ，m ⊂α，m ⊥l ，∴m ⊥β.2．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列命题中正确的是导学号 09024588( B ) A ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β B ．若m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β C ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β D ．若m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α，则α⊥β[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫n ⊥βm ∥n ⇒m ⊥β m ⊂α⇒α⊥β， ∴B 正确．3．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的一条直线b ，则导学号 09024589( C )A ．直线a 必垂直于平面βB ．直线b 必垂直于平面αC ．直线a 不一定垂直于平面βD ．过a 的平面与过b 的平面垂直[解析] α⊥β，a ⊂α，b ⊂β，a ⊥b ，当α∩β＝a 时，b ⊥α；当α∩β＝b 时，a ⊥β，其他情形则未必有b ⊥α或a ⊥β，所以选项A 、B 、D 都错误，故选C ．4．如右图所示，三棱锥P －ABC 的底面在平面α内，且AC ⊥PC ，平面P AC ⊥平面PBC ，点P ，A ，B 是定点，则动点C 的轨迹是导学号 09024590( D )A ．一条线段B ．一条直线C ．一个圆D ．一个圆，但要去掉两个点[解析] ∵平面P AC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，平面P AC ∩平面PBC ＝PC ，AC ⊂平面P AC ，∴AC ⊥平面PBC .又∵BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BC .∴∠ACB ＝90°.∴动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点．5．已知直线m ，n 和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂a ，要使n ⊥β，则应增加的条件是导学号 09024591( B )A ．m ∥nB ．n ⊥mC ．n ∥αD ．n ⊥α[解析] 由面面垂直的性质定理知，要使n ⊥β，应有n 与交线m 垂直，∴应增加条件n ⊥m .6．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB ︰A ′B ′等于导学号 09024592( A )A ．2︰1B ．3︰1C ．3︰2D ．4︰3[解析] 由已知条件可知∠BAB ′＝π4，∠ABA ′＝π6，设AB ＝2a ，则BB ′＝2a sin π4＝2a ，A ′B ＝2a cos π6＝3a ，∴在Rt △BB ′A ′中，得A ′B ′＝a ，∴AB ︰A ′B ′＝2︰1. 二、填空题7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列四个命题：导学号 09024593 ①α∥β，l ⊄β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α∥β.其中正确的两个命题是__①③__.[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β m ⊂β⇒l ⊥m ，故①对；⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊥α⇒l ∥β或l ⊂β，又m 是β内的一条直线，故l ∥m 不对；⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ⊂β⇒l ∥β或l ⊂β l ⊥α⇒α⊥β，∴③对；⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ⊥m ⇒m ⊂α或m ∥α，无论哪种情况与m ⊂β结合都不能得出α∥β，∴选D ． 8．三棱锥P －ABC 的高为PH ，若三个侧面两两垂直，则H 为△ABC 的__垂__心.导学号 09024594[解析] 由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC ⊥P A ，AB ⊥PC ，CA ⊥PB ，又由BC ⊥P A ，PH ⊥BC ，得BC ⊥平面P AH ，则BC ⊥AH ，同理有AB ⊥CH ，CA ⊥BH ，所以H 为△ABC 高线的交点，即垂心．三、解答题9．把一副三角板如图拼接，设BC ＝6，∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠BCD ＝90°，∠D ＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD ⊥平面ACD .导学号 09024595[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫平面ABC ⊥平面BCD CD ⊥BC ⇒CD ⊥平面ABC AB ⊂平面ABC⇒⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫CD ⊥AB AB ⊥AC ⇒AB ⊥平面ACD AB ⊂平面ABD⇒平面ABD ⊥平面ACD . 10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ⊥PD ，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点.导学号09024596(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD.[解析](1)∵CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD.又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形．则BC＝DO，而AD＝3BC，∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．(2)证明：∵侧面P AD⊥底面ABCD，侧面P AD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥AD，∴AB⊥平面P AD.又PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又P A⊥PD，且P A⊂平面P AB，AB⊂平面P AB，AB∩P A＝A，∴PD⊥平面P AB.又PD⊂平面PCD，∴平面P AB⊥平面PCD.B级素养提升一、选择题1．m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出如下命题：导学号09024597①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；④α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；⑤若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为(B)A．1B．2C．3D．4[解析]根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α、β可能平行，也可能相交，不正确；③中，m还可能在α内或m∥α，或m与α斜交，不正确；④中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，呆可能有m∥α，正确；⑤中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B．2．在空间中，下列命题正确的是导学号09024598(D)A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b[解析]选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1、AB、AD两两相交，但由AA1、AB、AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．3．如图，点P为四边形ABCD外一点，平面P AD⊥平面ABCD，P A＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是导学号09024599(D)A．PE⊥AC B．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面P AD[解析]因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面P AD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D．二、填空题4．如图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面P AD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝__45°__.导学号09024600[解析]如图所示，取AD的中点G，连接PG，BG，BD.∵△P AD 是等边三角形，∴PG ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面AC ，平面P AD ∩平面AC ＝AD ，PG ⊂平面P AD ， ∴PG ⊥平面AC ，∴∠PBG 是PB 与平面AC 所成的角θ. 在△PBG 中，PG ⊥BG ，BG ＝PG ， ∴∠PBG ＝45°，即θ＝45°.5．(2016·四川文)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由； (2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .导学号 09024601[解析] (1)取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM ，所以四边形AMCB 是平行四边形， 从而CM ∥AB .又AB ⊂平面P AB ，CM ⊄平面P AB ， 所以CM ∥平面P AB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)由已知，P A ⊥AB ，P A ⊥CD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交．所以P A ⊥平面ABCD . 从而P A ⊥BD . 连接BM ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD . 所以四边形BCDM 是平行四边形． 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面P AB . 又BD ⊂平面PBD . 所以平面P AB ⊥平面PBD .C 级 能力拔高1．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形，侧面P AD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .导学号 09024602(1)求证AD ⊥PB ；(2)若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ？并证明你的结论．[解析] (1)证明：设G 为AD 的中点，连接BG 、PG ，∵△P AD 为正三角形，∴PG ⊥AD .在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，G 为AD 的中点， ∴BG ⊥AD .又BG ∩PG ＝G ，∴AD ⊥平面PGB . ∵PB ⊂平面PGB ，∴AD ⊥PB .(2)当F 为PC 的中点时，平面DEF ⊥平面ABCD . 证明如下：在△PBC 中，∵F 是PC 的中点，∴EF ∥PB .在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB，由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.2．(2016·泰安二中高一检测)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点.导学号09024603(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．[解析](1)如图所示，取CD的中点E，连接PE、EM、EA.∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE＝PD sin∠PDE＝2sin60°＝ 3.∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∵PE⊥AM.∴四边形ABCD是矩形，∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝3，AM＝6，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)由(1)可知，EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．在Rt△PEM中，tan∠PME＝PEEM＝33＝1，∴∠PME＝45°.∴二面角P－AM－D的大小为45°.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.3.4 平面与平面垂直的性质
一、选择题
1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )
A．a⊥β B．a∥β
C．a与β相交 D．以上都有可能
2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )
A．l∥γB．l⊂γ
C．l与γ斜交D．l⊥γ
3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( ) A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
4．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么( ) A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
5．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )
①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上
④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为
π4和
π
6
．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于( )
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3
二、填空题
7．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，PD/∈l，则下列命题中正确的为________．(只
填序号)
①过P垂直于l的平面垂直于β；
②过P垂直于l的直线垂直于β；
③过P垂直于α的直线平行于β；
④过P垂直于β的直线在α内．
8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间一点P到α、β、γ的距离分别是2 cM、3 cM、6 cM，则点P到O的距离为________．
9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H 必在__________．
三、解答题
10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．
求证：BC⊥AB．
11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB．
能力提升
12．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．
13．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45．
(1)设M是PC上的一点，
求证：平面MBD ⊥平面PAD ；
(2)求四棱锥P —ABCD 的体积．
1．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理，应用时应注意：
(1)两平面垂直；(2)直线必须在一个平面内；
(3)直线垂直于交线．
2．此定理另一应用：由一点向一个平面引垂线，确定垂足位置是求几何体高的依据．
2．3．4 平面与平面垂直的性质 答案
知识梳理
1．垂直 交线 a⊥β
2．(1)第一个平面内 a ⊂α (2)a∥α
作业设计
1．D
2．D
[在γ面内取一点O ，
作OE⊥m，OF⊥n，
由于β⊥γ，γ∩β＝m ，
所以OE⊥面β，所以OE⊥l，
同理OF⊥l，OE∩OF＝O ，
所以l⊥γ．]
3．A [若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．]
4．C 5．B
6．A
[如图：
由已知得AA′⊥面β，
∠ABA′＝π6，
BB′⊥面α，∠BAB′＝π4
， 设AB ＝a ，则BA′＝
32a ，BB′＝22
a ， 在Rt △BA′B′中，A′B′＝12a ，∴AB A′B′＝21
．] 7．①③④
解析 由性质定理知②错误．
8．7 cm
解析 P 到O 的距离恰好为以2 cm,3 cm,6 cm 为长、宽、高的长方体的对角线的长．
9．直线AB 上
解析 由AC⊥BC 1，AC⊥AB，
得AC⊥面ABC 1，又AC ⊂面ABC ，
∴面ABC 1⊥面ABC ．
∴C 1在面ABC 上的射影H 必在交线AB 上．
10．证明
在平面PAB 内，作AD⊥PB 于D ．
∵平面PAB⊥平面PBC ，
且平面PAB∩平面PBC ＝PB ．
∴AD⊥平面PBC ．
又BC ⊂平面PBC ，
∴AD⊥BC．
又∵PA⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB ．
又AB ⊂平面PAB ，∴BC⊥AB．
11．证明
(1)连接PG ，由题知△PAD 为正三角形，G 是AD 的中点，
∴PG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD ，
∴PG⊥平面ABCD ，∴PG⊥BG．
又∵四边形ABCD 是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．
又AD∩PG＝G ，∴BG⊥平面PAD ．
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．
所以AD⊥平面PBG ，所以AD⊥PB．
12．证明 设AC∩BD＝O ，
连接EO ，
则EO∥PC．∵PC＝CD ＝a ，
PD ＝2a ，∴PC 2＋CD 2＝PD 2
，
∴PC⊥CD．
∵平面PCD⊥平面ABCD ，CD 为交线，
∴PC⊥平面ABCD ，
∴EO⊥平面ABCD ．
又EO ⊂平面EDB ，
∴平面EDB ⊥平面ABCD ．
13．(1)证明 在△ABD 中，∵AD＝4，BD ＝8，AB ＝45，
∴AD 2＋BD 2＝AB 2．∴AD⊥BD．
又∵面PAD⊥面ABCD ，面PAD∩面ABCD ＝AD ，
BD ⊂面ABCD ，
∴BD⊥面PAD ，又BD ⊂面BDM ，∴面MBD⊥面PAD ．
(2)解
过P 作PO⊥AD， ∵面PAD⊥面ABCD ，
∴PO⊥面ABCD ，
即PO 为四棱锥P —ABCD 的高．
又△PAD 是边长为4的等边三角形，
∴PO＝23．
在底面四边形ABCD 中，AB∥DC，AB ＝2DC ，
∴四边形ABCD 为梯形．
在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845
＝855， 此即为梯形的高．
∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855
＝24． ∴V P —ABCD ＝13
×24×23＝163．。