2017-2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 2.2 2.2.1 第2课时分析法 Word版含解析

合集下载

2017-2018学年高中新课标数学人教A版选修2-2：第二章

答案：A
8．求证：＋＞ .
证明：因为＋和都是正数，
所以为了证明＋＞，
只需证明( ＋ )2＞( )2，
展开得5＋2 ＞5，即2 ＞0，
此式显然成立，
所以不等式＋＞成立．
上述证明过程应用了()
A．综合法
B．分析法
C．综合法、分析法配合使用
D．间接证法
解析：证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．
解析：由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．
答案：D
3．已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
解析：f(2)＝，f(3)＝，f(4)＝，猜想f(x)＝ .
答案：B
4．下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f(x)满足[f(x)]y＝f(xy)”的是()
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)
解析：(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．
A．a－b＞0 B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0
解析：要证＜ a
只需证b2－ac＜3a2
∵a＋b＋c＝0，∴b＝－a－c
只需证(－a－c)2－ac＜3a2

【人教A版】2017-2018学年数学选修2-2优化练习：第二章章末优化总结 Word版含解析

章末检测(二)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f (x )＝x 2在R 上是偶函数”的推理过程是( ) A ．归纳推理 B ．类比推理 C ．演绎推理D ．非以上答案解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C. 答案：C2．下面四个推理不是合情推理的是( ) A ．由圆的性质类比推出球的有关性质B ．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D ．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的解析：A 是类比推理，B 、D 是归纳推理，C 不是合情推理．答案：C3．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2>0”，你认为这个推理( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．是正确的解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a 是实数”，结论是“a 2>0”．显然结论错误，原因是大前提错误．答案：A4．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (6)>52，f (8)>3，f (10)>72，观察上述结果，可推测出一般结论为( )A ．f (2n )＝n ＋22B ．f (2n )>n ＋22C ．f (2n )≥n ＋22D ．f (n )>n2解析：观察所给不等式，不等式左边是f (2n )，右边是n ＋22，故选B.答案：B5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，…，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A.2n n ＋1B.3n －1n ＋1C.2n ＋1n ＋2D.2n n ＋2解析：由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85；……由S 1＝22＝2×11＋1，S 2＝43＝2×22＋1，S 3＝64＝2×33＋1，S 4＝85＝2×44＋1，…，可以猜想S n ＝2nn ＋1.答案：A6．如果两个数之和为正数，则这两个数( ) A ．一个是正数，一个是负数 B ．两个都是正数 C ．至少有一个是正数 D ．两个都是负数解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾．答案：C7．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n －1＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立解析：因为假设n ＝k (k ≥2为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2(n 2＋1)3时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)＋2kB ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 解析：当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2. 答案：B9.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)．∴FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．又∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝b 2－ac ＝0. ∴c 2－a 2－ac ＝0.∴e 2－e －1＝0.∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故应选A.答案：A10．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )A ．增加12(k ＋1)B ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)C ．增加1(k ＋1)＋(k ＋1)，减少1k ＋1D ．增加12(k ＋1)，减少1k ＋1解析：当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，所以1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)－(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k )＝1(k ＋1)＋(k ＋1)－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加1(k ＋1)＋(k ＋1)，减少1k ＋1.答案：C11．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列{a n }的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝( )A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011解析：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n ＝1时，a 1＝2＋3＝12×(2＋3)×2；n ＝2时，a 2＝2＋3＋4＝12×(2＋4)×3……由此我们可以推断：a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝12×[2＋(n ＋2)]×(n ＋1)∴a 2 012－5＝12×[2＋(2 012＋2)]×(2 012＋1)－5＝1 008×2 013－5＝1 009×2 011，故选D.答案：D12．语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好．”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，并且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：假设A 、B 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的．同理，没有任意两个同学语文成绩是相同的．因为语文、数学两学科成绩各有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．答案：x ，y 都大于114．已知f (x )＝xe x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N.经计算 f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xe x，…，照此规律，则f n (x )＝________. 解析：观察各个式子，发现分母都是e x ，分子依次是－(x －1)，(x －2)，－(x －3)，(x －4)，…，括号前是(－1)n ，括号里是x －n ，故f n (x )＝(－1)n (x －n )e x .答案：(－1)n (x －n )e x15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．即T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 816．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O -LMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：类比如下：正方形⇔正方体；截下直角三角形⇔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方⇔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和⇔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ，连接NE ，ME ，OF .∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ，∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝ (12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.答案：S 2＝S 21＋S 22＋S 23三、解答题(本大题共6小题，共74分，必要的解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明：要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立，即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立．又因a ＋b >0，故只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立，即需证a 2－2ab ＋b 2>0成立，即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立．由此命题得证．18．(本小题满分12分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2；(2)已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b 2≥ab ，∴lga ＋b 2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b2. (2) ∵m ＞0，∴1＋m ＞0.所以要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证． 19. (本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：(1)任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0， ∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．20．(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解析：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.21．(本小题满分13分) 设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1.证明：先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝a n ＋1－a 1da 1a n ＋1＝na 1a n ＋1. 再证充分性． (直接证法)依题意有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2.② ②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－n a 1a n ＋1，在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)，④ ③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n )，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，⑤又由①当n ＝2时，得等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3，两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，知a 3－a 2＝a 2－a 1，故⑤对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列．22．(本小题满分13分)(2014·高考北京卷)对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)，其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数．1(1)对于数对序列P：(2,5)，(4,1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2 (P′)的大小；(3)在由五个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)．解析：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7,6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.。

2018学年高中数学人教A版选修2-2习题第2章推理与证明2.2.2 含答案

选修2-2 第二章 2.2 2.2.2一、选择题1．用反证法证明命题“如果a>b>0，那么a2>b2”时，假设的内容应是导学号10510585 ()A．a2＝b2B．a2<b2C．a2≤b2D．a2<b2，且a2＝b2[答案] C2．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是导学号10510586()A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个是偶数[答案] B[解析]“至少有一个”的对立面是“一个都没有”．3．实数a、b、c不全为0等价于导学号10510587()A．a、b、c均不为0B．a、b、c中至多有一个为0C．a、b、c中至少有一个为0D．a、b、c中至少有一个不为0[答案] D[解析]“不全为0”的含义是至少有一个不为0，其否定应为“全为0”．4．下列命题错误的是导学号10510588()A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数[答案] D[解析]a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数．故D错误．5．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R同时大于零的导学号 10510589( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 [答案] C[解析] 若P >0，Q >0，R >0，则必有PQR >0；反之，若PQR >0，也必有P >0，Q >0，R >0.因为当PQR >0时，若P 、Q 、R 不同时大于零，则P 、Q 、R 中必有两个负数，一个正数，不妨设P <0，Q <0，R >0，即a ＋b <c ，b ＋c <a ，两式相加得b <0，这与已知b ∈R ＋矛盾，因此必有P >0，Q >0，R >0.6．若m 、n ∈N *，则“a >b ”是“a m ＋n ＋b m ＋n >a n b m ＋a m b n ”的导学号 10510590( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] D [解析] a m＋n＋b m＋n－a n b m －a m b n ＝a n (a m －b m )＋b n (b m －a m )＝(a m －b m )(a n －b n )>0⇔⎩⎨⎧a m>b ma n >bn 或⎩⎨⎧a m <b ma n <bn，不难看出a >b ⇒/ a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋a n b m ，a m ＋n ＋b m ＋n >a m b n ＋b m a n ⇒/ a >b .二、填空题7．“x ＝0且y ＝0”的否定形式为________.导学号 10510591 [答案] x ≠0或y ≠0[解析] “p 且q ”的否定形式为“¬p 或¬q ”．8．和两条异面直线AB 、CD 都相交的两条直线AC 、BD 的位置关系是________.导学号 10510592[答案] 异面[解析] 假设AC 与BD 共面于平面 α，则A ，C ，B ，D 都在平面α内，∴AB ⊂α，CD ⊂α，这与AB ，CD 异面相矛盾，故AC 与BD 异面．9．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是______.导学号 10510593[答案] ①[解析] 四点中若有三点共线，则这条直线与另外一点必在同一平面内，故①真；四点中任何三点不共线，这四点也可以共面，如正方形的四个顶点，故②假；正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故③假；空间四边形ABCD 中，可以有AB ＝CD ，AD ＝BC ，例如将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起构成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故④假．三、解答题10．(2016·吉林高二检测)已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数.导学号 10510594[解析] 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1，又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ，所以ac ＋bd ≤1，这与已知ac ＋bd >1矛盾，所以a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．一、选择题1．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为导学号 10510595( )A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线[答案] C[解析] 假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线．故应选C.2．已知a 、b 、c ∈(0,1)．则在(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 中，导学号 10510596( ) A ．不能同时大于14B ．都大于14C ．至少一个大于14D ．至多有一个大于14[答案] A[解析] 证法1：假设(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 都大于14.∵a 、b 、c 都是小于1的正数，∴1－a 、1－b 、1－c 都是正数.(1－a )＋b2≥(1－a )b ＞14＝12，同理(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞12.三式相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2＞32，即32＞32，矛盾．所以(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 不能都大于14.证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )b (1－b )c (1－c )a >⎝⎛⎭⎫143① 因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤⎝⎛⎭⎫1－a ＋a 22＝14.同理，0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14.所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤⎝⎛⎭⎫143.② 因为①与②矛盾，所以假设不成立，故选A. 二、填空题3．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：导学号 10510597①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A 、∠B 、∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为____________． [答案] ③①②[解析] 由反证法证明的步骤知，先反设即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.4．(2016·郑州高二检测)设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______(填序号).导学号 10510598 [答案] ③[解析] 对于①②④可举反例，说明条件不能推出结论，如①中：a ＝b ＝12，②中：a ＝b＝1，④中：a ＝－1，b ＝－2.对于③，反设a ，b 都小于等于1，则a ＋b ≤2与已知矛盾．∴假设不成立，故③正确．三、解答题5.如图所示，在△ABC 中，AB >AC ，AD 为BC 边上的高，AM 是BC 边上的中线，求证：点M 不在线段CD 上.导学号 10510599[证明] 假设点M 在线段CD 上，则BD <BM ＝CM <CD ，且AB 2＝BD 2＋AD 2，AC 2＝AD 2＋CD 2，所以AB 2＝BD 2＋AD 2<BM 2＋AD 2<CD 2＋AD 2＝AC 2，即AB 2<AC 2，所以AB <AC .这与AB >AC 矛盾，故假设错误．所以点M 不在线段CD 上．6．已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)；数列{b n }满足：b n＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1).导学号 10510600(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列． [解析] (1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )．令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n. 又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n＝34·(23)n －1，故1－a 2n ＝34·(23)n －1⇒a 2n ＝1－34·(23)n －1.又a 1＝12>0，a n a n ＋1<0，故a n ＝(－1)n－11－34·(23)n －1.b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝[1－34·(23)n ]－[1－34·(23)n －1]＝14·(23)n －1. (2)用反证法证明．假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立．∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋14(23)t －1，两边同乘以3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s .由于r <s <t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。

2017-2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 2.3 数学归纳法 Word版含解析

[课时作业][A 组基础巩固]1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：边数最少的凸n 边形是三角形．答案：C2．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3…(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左边需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1解析：当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋1＋k )(2k ＋2)＝(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )(2k ＋1)×2，故需增乘的代数式为2(2k ＋1)．答案：B3．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f (n ＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析：增加一个顶点，就增加n ＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f (n ＋1)＝f (n )＋1＋n ＋1－3＝f (n )＋n －1.故应选C.答案：C4．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N)能被8整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1可变形为( )A ．56·34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)B ．34·34k ＋1＋52·52k C ．34k ＋1＋52k ＋1 D ．25(34k ＋1＋52k ＋1) 解析：34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝81×34k ＋1＋25×52k ＋1 ＝56×34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)．答案：A5．已知f (n )＝1n －1＋1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( ) A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝1＋12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n ＋2项，当n ＝2时，f (2)＝1＋12＋13＋14D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝1＋12＋13＋14解析：由条件可知，f (n )共有项数为n 2－(n －1)＋1＝n 2－n ＋2项，且n ＝2时，f (2)＝11＋12＋13＋14.故选C. 答案：C6．凸k 边形内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 解析：将k ＋1边形A 1A 2…A k A k ＋1的顶点A 1与A k 相连，则原多边形被分割为k 边形A 1A 2…A k 与三角形A 1A k A k ＋1，其内角和f (k ＋1)是k 边形的内角和f (k )与△A 1A k A k ＋1的内角和π的和，即f (k ＋1)＝f (k )＋π.答案：π7．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算出a 2，a 3，a 4后，归纳猜想得出a n 的表达式为________．解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1， ∴a 2＝a 13a 1＋1＝27，a 3＝a 23a 2＋1＝213，a 4＝a 33a 3＋1＝219，于是猜想a n ＝26n －5. 答案：a n ＝26n －5(n ∈N *) 8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n(n ∈N *)． (1)计算a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明．解析：(1)a 1＝1，a 2＝a 11＋a 1＝12， a 3＝a 21＋a 2＝13，a 4＝a 31＋a 3＝14. (2)由(1)的计算猜想：a n ＝1n.下面用数学归纳法进行证明：①当n ＝1时，a 1＝1，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即a k ＝1k，那么，a k ＋1＝a k 1＋a k ＝1k1＋1k＝1k ＋1，即当n ＝k ＋1时等式也成立．由①②可知，对任意n ∈N *都有a n ＝1n. 9．用数学归纳法证明： 122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明：(1)当n ＝2时，左边＝122＝14，右边＝1－12＝12. 因为14<12，所以不等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k，则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．[B 组能力提升]1．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．9D ．6解析：因为f (1)＝36＝4×9，f (2)＝108＝12×9，f (3)＝360＝40×9，所以f (1)，f (2)，f (3)都被9整除，推测最大的m 值为9.答案：C2．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立解析：对于A 项，f (3)≥9，加上题设可推出当k ≥3时，均有f (k )≥k 2成立，故A 项错误．对于B 项，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B 项错误．对于C 项，没有奠基部分，即没有f (8)≥82，故C 项错误．对于D 项，f (4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D 项．答案：D3．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a 2n ＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.解析：当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝2时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.答案：54．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n ＞4时，f (n )＝________(用n 表示)．解析：f (2)＝0，f (3)＝2，f (4)＝5，f (5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f (3)－f (2)＝2，f (4)－f (3)＝3，f (5)－f (4)＝4，……f (n )－f (n －1)＝n －1.累加，得f (n )－f (2)＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝2＋(n －1)2(n －2)． ∴f (n )＝12(n ＋1)(n －2)．答案：5 12(n ＋1)(n －2) 5．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．解析：当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥3，且k ∈N *)时，不等式成立，即2k ＋2>k 2，那么当n ＝k ＋1时，2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2. 又因：2k 2－2－(k ＋1)2＝k 2－2k －3＝(k －3)(k ＋1)≥0，即2k 2－2≥(k ＋1)2，故2k ＋1＋2>(k ＋1)2成立．原不等式成立．根据(1)和(2)知，原不等式对于任何n ∈N *都成立．6．已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n . (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27.因为{a n }的公差大于0，所以a 5>a 2，所以a 2＝3，a 5＝9.所以d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1，即a n ＝2n －1. 因为T n ＝1－12b n ，所以b 1＝23. 当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1，所以b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －(1－12b n －1)，化简得b n ＝13b n －1. 所以{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·(13)n －1＝23n . 所以a n ＝2n －1，b n ＝23n . (2)因为S n ＝1＋(2n －1)2×n ＝n 2，所以S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n 2. 下面比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，所以1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，所以1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，所以1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，所以1b 4>S 5，猜想：n ≥4时，1b n>S n ＋1. 下面用数学归纳法证明：①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时1b k>S k ＋1，即3k 2>(k ＋1)2，那么，1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k 2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，1b n>S n＋1也成立．由①②可知，对任何n∈N*，n≥4，1b n>S n＋1都成立．综上所述，当n＝1,2,3时，1b n<S n＋1；当n≥4时，1b n>S n＋1.。

数学人教A版选修2-2优化练习第二章 2.2 2.2.1 第1课时综合法 Word版含解析

[课时作业][组基础巩固]．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是( )．(α＋β)＞α＋β．(α＋β)＞α＋β．(α＋β)＞α＋β．(α＋β)＜α＋β解析：∵α、β为锐角，∴＜α＜α＋β＜π，∴α＞(α＋β)，又β＞，∴α＋β＞(α＋β)．答案：．在不等边三角形中，为最长边，要想得到∠为钝角的结论，三边，，应满足条件( )．＝＋．＜＋．≤＋．＞＋解析：由余弦定理得：＝＜，故＋－＜，∴＞＋.答案：．设＝＋，＝(＜)，则与大小关系为( )．＜．＞．≤．＝解析：＝＋＝，＝，当＜时，＜＜.∴＞.答案：．四面体中，棱、、两两垂直，则点在底面内的射影一定是△的( )．外心．内心．垂心．重心解析：如图，设点是点在底面内的射影，并连接，则⊥面.连接并延长交于点.由已知易得⊥.又∵⊥面，∴⊥.∴⊥面，∴⊥.∴在的高线上，同理在，的高线上．答案：．不相等的三个正数，，成等差数列，并且是，的等比中项，是，的等比中项，则，，三数( )．成等比数列而非等差数列．成等差数列而非等比数列．既成等差数列又成等比数列．既非等差数列又非等比数列解析：由已知条件，可得②＝. ③))由②③得代入①，得＋＝，即＋＝.故，，成等差数列．又由①得＝>＝·所以>·，故，，不成等比数列．答案：．设、是两个不共线的向量，＝＋，＝＋，若、、三点共线，则＝.解析：∵、、三点共线，∴存在λ使＝λ，即＋＝λ(＋)．∴λ＝，＝.答案：．已知α＋β＋γ＝，α＋β＋γ＝.则(α－β)＝.解析：∵α＋β＋γ＝，α＋β＋γ＝，∴α＋β＝－γ α＋β＝－γ))，两式平方相加得：＋( αβ＋αβ)＝，∴(α－β)＝－.答案：－．设>，>，则下面两式的大小关系为(＋)[(＋)＋(＋)]．解析：∵(＋)－(＋)(＋)＝＋＋－－－－＝－(＋)＝－(－)≤，∴(＋)≤(＋)(＋)，∴(＋)≤[(＋)＋(＋)]．答案：≤。

2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 2.2 2.2.2 反证法

[课时作业] [A 组基础巩固]1．命题“△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则a ＞b ”的结论的否定应该是( ) A ．a ＜b B ．a ≤b C ．a ＝bD ．a ≥b解析：“a ＞b ”的否定应为“a ＝b 或a ＜b ”，即a ≤b .故应选B. 答案：B2．用反证法证明命题：“a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd ＞1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”时的假设为( )A ．a ，b ，c ，d 全都大于等于0B ．a ，b ，c ，d 全为正数C ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数解析：至少有一个负数的否定是一个负数也没有，即a ，b ，c ，d 全都大于等于0. 答案：A3．“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定正确的为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数．答案：D4．给定一个命题“已知x 1＞0，x 2≠1且x n ＋1＝x 3n ＋3x n3x 2n ＋1，证明对任意正整数n 都有x n ＞x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时应是( )A ．对任意正整数n 有x n ≤x n ＋1B ．存在正整数n 使x n ≤x n ＋1C ．存在正整数n 使x n ＞x n ＋1D ．存在正整数n 使x n ≥x n －1且x n ≥x n ＋1解析：“对任意正整数n 都有x n ＞x n ＋1”的否定为“存在正整数n 使x n ≤x n ＋1”．答案：B5．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c中( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2解析：⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c ∵a ，b ，c ∈(－∞，0)，∴a ＋1a ＝－⎣⎡⎦⎤－a ＋⎝⎛⎭⎫－1a ≤－2，b ＋1b ＝－⎣⎡⎦⎤－b ＋⎝⎛⎭⎫－1b ≤－2， c ＋1c ＝－⎣⎡⎦⎤－c ＋⎝⎛⎭⎫－1c ≤－2， ∴⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ≤－6， ∴三数a ＋1b 、c ＋1a 、b ＋1c 中至少有一个不大于－2，故应选C.答案：C6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________________________________________________________________________．解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”．答案：没有一个是三角形或四边形或五边形7．△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB >∠APC ，求证∠BAP <∠CAP .用反证法证明时的假设为________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP <∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP . 答案：∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP8．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.答案：③①②9．已知a ≥－1，求证以下三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．证明：假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)＜0(a －1)2－4a 2＜0(2a )2＋4×2a ＜0⇒⎩⎨⎧－32＜a ＜12a ＞13或a ＜－1－2＜a ＜0⇒－32＜a ＜－1，这与已知 a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．10．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y 总不成立．证明：假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y 成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即(x ＋y 2)2＋34y 2＝0.由y ≠0，得34y 2>0.又(x ＋y2)2≥0，所以(x ＋y 2)2＋34y 2>0.与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．[B 组能力提升]1．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了这四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．答案：C2．若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不确定解析：分△ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD (点D 在BC 上)，则∠ADB ＋∠ADC ＝π，若∠ADB 为钝角，则∠ADC 为锐角．而∠ADC >∠BAD ，∠ADC >∠ABD ，△ABD 与△ACD 不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB ＝∠ADC ＝∠BAC ＝π2时，才符合题意．答案：B3．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，∴不存在n 使a n ＝b n .答案：04．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：据题目要求及解题步骤，因为a 1－1，a 2－2，...，a 7－7均为奇数，所以(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7)也为奇数．即(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋...＋7)为奇数．又因为a 1，a 2，...，a 7是1,2，...，7的一个排列，所以a 1＋a 2＋...＋a 7＝1＋2＋...＋7，故上式为0. 所以奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) ＝(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋...＋7)＝0. 答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)5．已知a ，b ，c 都是小于1的正数，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 中至少有一个不大于14.证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14，即(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14.∵a ，b ，c 都是小于1的正数， ∴(1－a )b ＞12，(1－b )c ＞12，(1－c )a ＞12，∴(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ＞32.(*)又∵(1－a )b ≤1－a ＋b2，(1－b )c ≤1－b ＋c2，(1－c )a ≤1－c ＋a2，∴(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝3－(a ＋b ＋c )＋(a ＋b ＋c )2＝32(当且仅当1－a ＝b,1－b ＝c,1－c ＝a ，即a ＝b ＝c ＝12时，等号成立)，与(*)式矛盾．∴假设不成立，原命题成立，故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 中至少有一个不大于14.6．求证：抛物线上任取四个不同点所组成的四边形不可能是平行四边形．证明：如图，设抛物线方程为 y 2＝2px (p ＞0)，在抛物线上任取四个不同点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则y 2i ＝2px i (i ＝1,2,3,4)，于是直线AB 的斜率为k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2py 1＋y 2，同理：k BC ＝2p y 3＋y 2，k CD ＝2p y 4＋y 3，k DA ＝2py 1＋y 4.假设四边形ABCD 为平行四边形，则有k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，即有⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋y 1＝y 4＋y 3 ①y 3＋y 2＝y 1＋y 4 ②①－②得y 1－y 3＝y 3－y 1， ∴y 1＝y 3，同理y 2＝y 4，则x 1＝y 212p ＝y 232p ＝x 3，同理x 2＝x 4，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝x 3y 1＝y 3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 4y 2＝y 4.显然A，C重合，B，D重合．这与A，B，C，D为抛物线上任意四点矛盾，故假设不成立．∴四边形ABCD不可能是平行四边形.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321AC1F B正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DF45°DBa+b-aa 45°A BE1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DBa+b-aa 45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°D Ea +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE2.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求△AMN 的周长．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．AB CFEDCDC。

2017-2018学年人教A版高中数学选修2-2课时达标训练 2-

关闭Word文档返回原板块。

课时达标训练1.下面使用类比推理恰当的是( )A.“若a·3=b·3,则a=b”类比出“若a·0=b·0,则a=b”B.“(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”C.“(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”D.“(ab)n=a n b n”类比出“(a+b)n=a n+b n”【解析】选C.A项,结论“若a·0=b·0,则a=b”错误,故A项不符合题意;B项,结论“(a·b)c=ac·bc”错误,故B项不符合题意;C项,结论“=+(c≠0)”正确,且推理前后形式类似,是恰当的类比推理,故C项符合题意;D项,结论“(a+b)n=a n+b n”错误,故D项不符合题意.2.命题“在平行四边形ABCD中,=+”,据此,运用类比推理在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,可得出结论为________.【解析】根据类比推理的原则,平行四边形类比为平行六面体,对角线类比为体对角线,即向量,+可类比成++,故结论为=++.答案:=++3.顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…的前4项的值,由此猜测:a n=1+2+3+…+(n-1) +n+(n-1)+…+3+2+1的结果.【解析】1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42.从而猜想:a n=1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1=n2.4.如图所示,在三棱锥S-ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且SA,SB,SC 和底面ABC所成的角分别为α1,α2,α3,三个侧面△SBC,△SAC,△SAB 的面积分别为S1,S2,S3,类比三角形中的正弦定理,给出空间情形的一个猜想.【解析】在一个三角形中,各边长和它所对角的正弦的比相等,即==,类比三角形,我们可以猜想在三棱锥中,各侧面的面积和它所对角α1,α2,α3的正弦的比相等,即==.关闭Word文档返回原板块。

2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第二章212.1.2演绎推理

[课时作业 ][A 组基础稳固]1．“ π是无穷不循环小数，因此π是无理数”，以上推理的大前提是()A．实数分为有理数和无理数B．无理数是无穷不循环小数C．无穷不循环小数都是无理数D．有理数都是有限循环小数分析：由三段论的知识可知，其大前提是：无穷不循环小数都是无理数．答案： C2．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③因此三角形不是矩形”中的小前提是()A ．①B．②C．③D．①②分析：由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.答案： B3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内全部直线；已知直线 b 在平面α外，直线 a 在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线 a”的结论明显是错误的，这是由于()A ．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误分析：直线平行平面α，则该直线与平面内的直线平行或异面，故大前提错误．答案： A4．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，因此参议员先生是鹅”．结论明显是错误的，这是由于()A ．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误分析：推理形式不切合三段论推理的形式．三段论的形式是：M 是 P， S 是 M，则 S 是 P，而上边的推理形式则是：M 是 P，S 是 P，则 S 是 M.应选 C.答案： C5．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不可；事不可，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；因此，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()A ．类比推理B．概括推理C．演绎推理D．一次三段论分析：这是一个复合三段论，从“ 名不正” 推出“ 民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．答案： C6．已知推理：“由于△ ABC 的三边长挨次为 3、 4、 5，因此△ ABC 是直角三角形”，若将其恢复成完好的三段论，则大前提是 ________．分析：题中推理的依照是勾股定理的逆定理．答案：一条边的平方等于其余两边平方和的三角形是直角三角形．7．以下推理中，错误的序号为________．①∵ ab＝ ac，∴ b＝ c；②∵ a≥ b，b>c，∴ a>c；③∵ 75 不可以被 2 整除，∴ 75 是奇数；④∵ a∥ b，b⊥平面α，∴ a⊥ α.分析：当 a＝ 0 时， ab＝ ac，但 b＝ c 未必建立．答案：①8．求函数 y＝log 2x－ 2的定义域时，第一步推理中大前提是a存心义时， a≥ 0，小前提是log2 x－2有意义，结论是________．分析：由三段论方法知应为log 2x－ 2≥ 0.答案： log2x－ 2≥ 09．判断以下几个推理能否正确？为何？(1)“由于过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提 )，而 A，B， C 为空间三点 (小前提 )，因此过 A， B，C 三点只好确立一个平面(结论 )．”(2)“由于金属铜、铁、铝可以导电 (大前提 )，而金是金属 (小前提 )，因此金能导电 (结论 )．”分析：(1) 不正确．小前提错误．由于若三点共线，则可确立无数平面，只有不共线的三点才能确立一个平面．(2)不正确．推理形式错误．由于演绎推理是从一般到特别的推理，铜、铁、铝仅是金属的代表，是特别案例，从特别到特别的推理不是演绎推理．10.以下图，从 A 地出发到河畔饮完马再到 B 地去，在河畔哪个地方饮马可使路途最短？分析：如图，先作点 A 对于 MN 的对称点A′，连结 BA′，交 MN于点P，P点即为所求．用演绎法证明以下：以下图，在 MN 上任取一点P′ (异于点 P)，连结 AP′、A′ P′、BP′，则 AP′＝ P′ A′，AP ＝PA′，进而 AP′＋P′ B＝ A′P′＋ P′ B＞A′ P＋ PB＝ AP＋ PB .由此可知： A 到 B 经 P 点距离最短．[B 组能力提高]1．命题“有些有理数是无穷循环小数，整数是有理数，因此整数是无穷循环小数”是假命题，推理错误的原由是 ()A．使用了概括推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提使用错误D．使用了“三段论”，但小前提使用错误分析：应用了“ 三段论” 推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误致使结论错误．答案：D2．设⊕是R 内的一个运算， A 是R 的非空子集．若对于随意a， b∈ A，有a⊕ b∈A，则称 A 对运算⊕关闭．以下数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都关闭的是( )A ．自然数集B．整数集C．有理数集D．无理数集分析： A 错，由于自然数集对减法不关闭； B 错，由于整数集对除法不关闭； C 对，由于随意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都关闭； D 错，由于无理数集对加、减、乘、除法都不关闭．答案： C3．甲、乙、丙三位同学被问到能否去过A， B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市．丙说：我们三个去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．分析：由甲、丙的回答易知甲去过 A 城市和 C 城市，乙去过 A 城市或 B 城市，联合丙的回答可得乙去过 A城市．答案： A4．已知函数f(x)知足： f(1) ＝1， 4f(x)f(y)＝ f(x＋ y)＋ f(x－ y)(x， y∈ R)，则 f(2 010)＝ ________. 4分析：令 y＝1 得 4f(x) ·f(1) ＝ f(x＋ 1)＋ f(x－ 1)，即 f(x)＝ f(x＋ 1)＋ f(x－ 1)①令 x 取 x＋ 1 则 f(x＋ 1)＝ f(x＋ 2)＋ f(x) ②由①②得f(x) ＝f(x＋ 2)＋ f(x)＋ f(x－ 1) ，即 f( x－1)＝－ f(x＋2)，∴f(x)＝－ f(x＋ 3)，∴f( x＋3)＝－ f(x＋ 6)，∴f(x)＝ f( x＋6) ，即 f(x)周期为 6，。

数学人教A版选修2-2优化练习第二章章末优化总结 Word版含解析

章末检测(二)时间：分钟满分：分一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．根据偶函数定义可推得“函数()＝在上是偶函数”的推理过程是( )．类比推理．归纳推理．非以上答案．演绎推理解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选.答案：．下面四个推理不是合情推理的是( )．由圆的性质类比推出球的有关性质．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是°，归纳出所有三角形的内角和都是°．某次考试张军的成绩是分，由此推出全班同学的成绩都是分．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的解析：是类比推理，、是归纳推理，不是合情推理．答案：．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于，因为是实数，所以>”，你认为这个推理( )．小前提错误．大前提错误．是正确的．推理形式错误解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于”，小前提是“是实数”，结论是“>”．显然结论错误，原因是大前提错误．答案：．设为正整数，()＝＋＋＋…＋，计算得()＝，()>，()>，()>，()>，观察上述结果，可推测出一般结论为( )．()>．()＝．()>．()≥解析：观察所给不等式，不等式左边是()，右边是，故选.答案：．已知数列{}的前项和为，且＝，＝(∈*)，计算，，，，…，可归纳猜想出的表达式为( )解析：由＝，得＋＝，∴＝，＝；又＋＋＝，∴＝，＝＝；又＋＋＋＝，得＝，＝；……由＝＝，＝＝，＝＝，＝＝，…，可以猜想＝.答案：．如果两个数之和为正数，则这两个数( )．一个是正数，一个是负数．两个都是正数．至少有一个是正数．两个都是负数解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾．答案：．已知为正偶数，用数学归纳法证明－＋－＋…＋＝时，若已假设＝(≥为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )．＝＋时等式成立．＝＋时等式成立．＝＋时等式成立．＝(＋)时等式成立解析：因为假设＝(≥为偶数)，故下一个偶数为＋，故选.答案：．用数学归纳法证明＋＋…＋(－)＋＋(－)＋…＋＋＝时，从＝到＝＋时，等式左边应添加的式子是( )．(－)＋．(＋)＋．(＋)(＋)[(＋)＋]解析：当＝时，左边＝＋＋…＋(－)＋＋(－)…＋＋，当＝＋时，左边＝＋＋…＋(－)＋＋(＋)＋＋(－)＋…＋＋，∴从＝到＝＋，左边应添加的式子为(＋)＋.答案：.如图所示，椭圆中心在坐标原点，为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率等于( )。

2018学年数学人教A版选修2-1优化练习：第二章 2.2 2.2.2 第1课时椭圆的简单几何性质

[A 组基础巩固]1．椭圆6x 2＋y 2＝6长轴端点坐标为【】A ．【－1,0】，【1,0】B ．【－6,0】，【6,0】C ．【－6，0】，【6，0】D ．【0，－6】，【0，6】解析：方程化为x 2＋y 26＝1， ∴a 2＝6，a ＝6，长轴端点坐标为【0，±6】．答案：D2．正数m 是2和8等比中项，则椭圆x 2＋y 2m ＝1离心率为【】 A.32 B. 5 C.32或52 D.32或 5解析：由题意得m 2＝2×8＝16，∵m 是正数，∴m ＝4，∴c 2＝4－1＝3，∴c ＝3，∴e ＝32.故选A.答案：A3．若P 是以F 1，F 2为焦点椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1【a >b >0】上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆离心率为【】 A.53 B.23 C.13 D.12解析：在Rt △PF 1F 2中，设PF 2＝1，则PF 1＝2，F 1F 2＝5，故此椭圆离心率e ＝2c 2a ＝53.答案：A4．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k＝1【0＜k ＜9】有【】 A ．等长长轴B ．相等焦距C ．相等离心率D ．等长短轴解析：对椭圆C 1，c 1＝a 21－b 21＝4，对椭圆C 2，∵0＜k ＜9，∴25－k ＞9－k ＞0.其焦点在y 轴上，∴c 2＝25－k －(9－k )＝4，故选B答案：B5．若椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为23，离心率为33，则该椭圆方程为【】A.x212＋y28＝1B.x212＋y28＝1或y212＋x28＝1C.x23＋y22＝1D.x23＋y22＝1或y23＋x22＝1解析：由题意知a＝3，又∵e＝33，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3－1＝2，所求椭圆方程为x23＋y22＝1或y23＋x22＝1.故选D.答案：D6．已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆方程是________．解析：由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝ca＝4a＝12，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，∴方程是y264＋x248＝1.答案：y264＋x248＝17．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆焦点坐标是________．解析：直线与x轴，y轴交点分别为A【2,0】，B【0,1】，由题意a＝2，b＝1，椭圆方程为x24＋y2＝1，c2＝a2－b2＝3，故椭圆焦点坐标为【±3，0】．答案：【±3，0】8．过椭圆x2a2＋y2b2＝1【a>b>0】左焦点F1作x轴垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则该椭圆离心率为________．解析：如图所示，在Rt△PF1F2中，|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3. 由椭圆定义知2c 3＋4c 3＝2a ， ∴e ＝c a ＝33.答案：339．设椭圆方程为mx 2＋4y 2＝4m 【m >0】离心率为12，试求椭圆长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．解析：椭圆方程可化为x 24＋y 2m ＝1.【1】当0<m <4时，a ＝2，b ＝m ，c ＝4－m ，∴e ＝c a ＝4－m 2＝12，∴m ＝3，∴b ＝3，c ＝1，∴椭圆长轴长和短轴长分别是4,23，焦点坐标为F 1【－1,0】，F 2【1,0】，顶点坐标为A 1【－2,0】，A 2【2，0】，B 1【0，－3】，B 2【0，3】．【2】当m >4时，a ＝m ，b ＝2，∴c ＝m －4，∴e ＝c a ＝m －4m＝12，解得m ＝163， ∴a ＝433，c ＝233，∴椭圆长轴长和短轴长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－233，F 2⎝⎛⎭⎪⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－433，A 2⎝⎛⎭⎪⎫0，433，B 1【－2,0】，B 2【2,0】． 10．已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1离心率e ＝32，求k 值．解析：【1】当椭圆焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋8，b 2＝9，得c 2＝k －1.由e ＝32，可得k －1k ＋8＝34，即k ＝28.【2】当椭圆焦点在y 轴上时，a 2＝9，b 2＝k ＋8，得c 2＝1－k .由e ＝32，得1－k 9＝34，即k ＝－234.故满足条件k 值为k ＝28或－234.[B 组能力提升]1．我国发射“神舟六号”载人航天飞船运行轨道是以地球中心为一个焦点椭圆，设其近地点A 距地面为n 千米，远地点B 距地面为m 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道短轴长为【】A ．2(m ＋R )(n ＋R )千米B.(m ＋R )(n ＋R )千米 C ．mn 千米 D ．2mn 千米解析：设运行轨道长半轴长为a ，焦距为2c ，由题意，可得⎩⎨⎧a －c ＝n ＋R ，a ＋c ＝m ＋R ，解得a ＝m ＋n 2＋R ，c ＝m －n 2，故b ＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 22 ＝R 2＋(m ＋n )R ＋mn ＝(m ＋R )(n ＋R ).即2b ＝2(m ＋R )(n ＋R ).答案：A2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1【a >b >0】左、右焦点为F 1，F 2，过F 2直线与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点A ，并与椭圆C 交于不同两点P ，Q ，如图，若A ，F 2为线段PQ 三等分点，则椭圆离心率为【】A.23B.33C.53D.73 解析：连接PF 1，由题意知OA ＝b ，∴|PF 1|＝2b ，∴|PF 2|＝2a －2b ，∴|AF 2|＝a －b .在Rt △OAF 2中有b 2＋【a －b 】2＝c 2，将b 2＝a 2－c 2代入整理得3a 2－3c 2－2a a 2－c 2＝0，即3－3e 2＝21－e 2，即9e 4－14e 2＋5＝0，解得e 2＝59或e 2＝1【舍去】，∴e ＝53.故选C.答案：C3．已知椭圆长轴长为20，离心率为35，则该椭圆标准方程为________．解析：由条件知，2a ＝20，c a ＝35，∴a ＝10，c ＝6，b ＝8，故标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1.答案：x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝14．【2015·高考浙江卷】椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1【a ＞b ＞0】右焦点F 【c,0】关于直线y ＝b c x 对称点Q 在椭圆上，则椭圆离心率是________．解析：设椭圆另一个焦点为F 1【－c,0】，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b c x 交于点M .由题意知M 为线段QF 中点，且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 中点，∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |.在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝b c ，|OF |＝c ，可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bc a ，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2a .由椭圆定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2a ＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22. 答案：225．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1【a >b >0】左、右焦点，点P 在椭圆上，且∠F 1PF 2＝π2.记线段PF 1与y 轴交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 面积之比为1∶2，求该椭圆离心率．解析：依题知，F 1P ⊥F 2P ，所以△F 1QO ∽△F 1F 2P ，因为△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 面积之比为1∶2，所以SF 1OQ SF 1F 2P ＝13，所以OF 1F 1P ＝13，设椭圆焦距为2c ，则F 1P ＝3c ，F 2P ＝F 1F 22－F 1P 2＝c ，由椭圆定义可得：3c ＋c ＝2a ，所以，e ＝c a ＝23＋1＝3－1.6.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1【a >b >0】上顶点为A ，左顶点为B ，F 为右焦点，过F 作平行于AB 直线交椭圆于C 、D 两点．作平行四边形OCED ，E 恰在椭圆上．【1】求椭圆离心率；【2】若平行四边形OCED 面积为6，求椭圆方程．解析：【1】∵焦点为F 【c,0】，AB 斜率为b a ，故CD 方程为y ＝b a 【x －c 】．与椭圆联立后消去y 得2x 2－2cx －b 2＝0.∵CD 中点为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc 2a ，点E 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，将E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a 代入椭圆方程并整理得2c 2＝a 2， ∴e ＝c a ＝22.【2】由【1】知CD 方程为y ＝22【x －c 】，b ＝c ，a ＝2c .与椭圆联立消去y 得2x 2－2cx －c 2＝0.∵平行四边形OCED 面积为S ＝c |y C －y D |＝22c (x C ＋x D )2－4x C x D＝22c c2＋2c2＝62c2＝6，∴c＝2，a＝2，b＝ 2.故椭圆方程为x24＋y22＝1.。

2017-2018学年数学人教A版选修2-1优化练习：第二章 2.2 2.2.2 第1课时椭圆的简单几何性质 Word版含解析

[A 组基础巩固]1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( )A ．(－1,0)，(1,0)B ．(－6,0)，(6,0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6) 解析：方程化为x 2＋y 26＝1， ∴a 2＝6，a ＝6，长轴的端点坐标为(0，±6)．答案：D2．正数m 是2和8的等比中项，则椭圆x 2＋y 2m ＝1的离心率为( ) A.32 B. 5 C.32或52 D.32或 5 解析：由题意得m 2＝2×8＝16，∵m 是正数，∴m ＝4，∴c 2＝4－1＝3，∴c ＝3，∴e ＝3.故选A. 答案：A3．若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0， tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( ) A.53 B.23 C.13 D.12解析：在Rt △PF 1F 2中，设PF 2＝1，则PF 1＝2，F 1F 2＝5，故此椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝53. 答案：A4．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)有( ) A ．等长的长轴B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．等长的短轴解析：对椭圆C 1，c 1＝a 21－b 21＝4，对椭圆C 2，∵0＜k ＜9，∴25－k ＞9－k ＞0.其焦点在y 轴上，∴c 2＝25－k － 9－k ＝4，故选B答案：B5．若椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为23，离心率为3，则该椭圆的方程为( )A.x 212＋y 28＝1 B.x 212＋y 28＝1或y 212＋x 28＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1或y 23＋x 22＝1 解析：由题意知a ＝3，又∵e ＝33，∴c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所求椭圆方程为x 23＋y 22＝1或y 23＋x 22＝1.故选D. 答案：D6．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是________．解析：由题意知，2c ＝8，c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12， ∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴方程是y 264＋x 248＝1. 答案：y 264＋x 248＝1 7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是________．解析：直线与x 轴，y 轴的交点分别为A (2,0)，B (0,1)，由题意a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 24＋y 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝3，故椭圆的焦点坐标为(±3，0)．答案：(±3，0) 8．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则该椭圆的离心率为________．解析：如图所示，在Rt △PF1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2c3，|PF 2|＝4c 3. 由椭圆定义知2c3＋4c 3＝2a ，∴e ＝c a ＝33. 答案：339．设椭圆方程为mx 2＋4y 2＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．解析：椭圆方程可化为x 24＋y 2m＝1. (1)当0<m <4时，a ＝2，b ＝m ，c ＝4－m ，∴e ＝c a ＝4－m 2＝12， ∴m ＝3，∴b ＝3，c ＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴长分别是4,23，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，顶点坐标为A 1(－2,0)，A 2(2，0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m >4时，a ＝m ，b ＝2，∴c ＝m －4， ∴e ＝c a ＝m －4m＝12，解得m ＝163， ∴a ＝43，c ＝23， ∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－233，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，顶点坐标为A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－43，A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，B 1(－2,0)，B 2(2,0)． 10．已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝3，求k 的值．解析：(1)当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋8，b 2＝9，得c 2＝k －1.由e ＝32，可得k －1k ＋8＝34，即k ＝28. (2)当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝9，b 2＝k ＋8，得c 2＝1－k .由e ＝32，得1－k 9＝34，即k ＝－234. 故满足条件的k 值为k ＝28或－234. [B 组能力提升]1．我国发射的“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，设其近地点A 距地面为n 千米，远地点B 距地面为m 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为( )A ．2 m ＋R n ＋R 千米B. m ＋R n ＋R 千米 C ．mn 千米 D ．2mn 千米解析：设运行轨道的长半轴长为a ，焦距为2c ，由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＝n ＋R ，a ＋c ＝m ＋R ，解得a ＝m ＋n＋R ，c ＝m －n ，故b ＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 22 ＝R 2＋ m ＋n R ＋mn ＝ m ＋R n ＋R .即2b ＝2 m ＋R n ＋R .答案：A2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1， F 2，过F 2的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点A ，并与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，如图，若A ，F 2为线段PQ 的三等分点，则椭圆的离心率为( )A.23B.33C.53D.73解析：连接PF 1，由题意知OA ＝b ，∴|PF 1|＝2b ，∴|PF 2|＝2a －2b ，∴|AF 2|＝a －b .在Rt △OAF 2中有b 2＋(a －b )2＝c 2，将b 2＝a 2－c 2代入整理得3a 2－3c 2－2a a 2－c 2＝0，即3－3e 2＝21－e 2，即9e 4－14e 2＋5＝0，解得e 2＝59或e 2＝1(舍去)， ∴e ＝53.故选C. 答案：C3．已知椭圆的长轴长为20，离心率为35，则该椭圆的标准方程为________．解析：由条件知，2a ＝20，c a ＝35， ∴a ＝10，c ＝6，b ＝8，故标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1. 答案：x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1 4．(2015·高考浙江卷)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝b cx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b cx 交于点M . 由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 的中点，∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |.在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝b c，|OF |＝c ，可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bc a，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2a. 由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2a＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22. 答案：225．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，且∠F 1PF 2＝π2.记线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1∶2，求该椭圆的离心率．解析：依题知，F 1P ⊥F 2P ，所以△F 1QO ∽△F 1F 2P ，因为△F 1OQ 与四边形OF 2PQ的面积之比为1∶2，所以SF 1OQ SF 1F 2P ＝13，所以OF 1F 1P ＝13，设椭圆的焦距为2c ，则F 1P ＝3c ，F 2P ＝F 1F 22－F 1P 2＝c ，由椭圆的定义可得：3c ＋c ＝2a ，所以，e＝c a ＝23＋1＝3－1.6.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为A ，左顶点为B ，F 为右焦点，过F 作平行于AB 的直线交椭圆于C 、D 两点．作平行四边形OCED ，E 恰在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)若平行四边形OCED 的面积为6，求椭圆的方程．解析：(1)∵焦点为F (c,0)，AB 斜率为ba ，故CD 方程为y ＝ba (x －c )．与椭圆联立后消去y 得2x 2－2cx －b 2＝0.∵CD 的中点为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，－bc 2a ，点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，将E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a 代入椭圆方程并整理得2c 2＝a 2，∴e ＝c a ＝22.(2)由(1)知CD 的方程为y ＝22(x －c )，b ＝c ，a ＝2c .与椭圆联立消去y 得2x 2－2cx －c 2＝0.∵平行四边形OCED 的面积为S ＝c |y C －y D |＝2c x C ＋x D 2－4x C x D ＝22c c 2＋2c 2＝62c 2＝6，∴c ＝2，a ＝2，b ＝ 2. 故椭圆方程为x 24＋y 22＝1.。

2018年高中数学人教A版选修2-2第2章推理与证明2.2.2习题含解析

2.2.2反证法---------------- 课时过关能力提升基础巩固1实数a,b,c不全为0是指（）A. a,b,c均不为0B. a,b,c中至少有一个为0C. a,b,c中至多有一个为0D. a,b,c中至少有一个不为0解析不全为0 ”并不是全不为0”而是至少有一个不为0 ” 答案DI一2当用反证法证明命题三角形的三个内角至少有一个不大于60° ”时,应假设（）A. 三角形的三个内角都不大于60 °B. 三角形的三个内角都大于60°C. 三角形的三个内角至多有一个大于60 °D. 三角形的三个内角至多有两个大于60°解析因为至少有一个”的反面是一个也没有”，所以三角形三个内角至少有一个不大于60 ° ”的否定是三角形三个内角没有一个不大于60 °”即三角形三个内角都大于60°”故选B.1一3当用反证法证明命题若系数为整数的关于x的一元二次方程ax2+bx+c= 0有有理数根则a,b,c中存在偶数"时,否定结论应为（）A. a,b,c都是偶数B. a,b,c都不是偶数C. a,b,c中至多有一个偶数D. a,b,c中至多有两个偶数解析“a,b,c中存在偶数"，即a,b,c中至少有一个偶数”故其否定为a,b,c都不是偶数".选B.答案BJ 4当用反证法证明命题设a,b为实数，则方程x3+ax+b= 0至少有一个实根”时,要做的假设是（）3A. 方程x +ax+b= 0没有实根3B. 方程x +ax+b= 0至多有一个实根3C. 方程x +ax+b= 0至多有两个实根3D. 方程x +ax+b= 0恰好有两个实根匸5当用反证法证明命题在MBC中若/ A> / B,则a>b ”时，应假设___________ .J 6命题关于x的方程ax=b(a和)的解是唯一的"的结论的否定是___________________________ .答案关于x的方程ax=b(a勿)无解或至少有两个解7当用反证法证明命题若x2-(a+b)x+ab旳,则x^a,且X M D"时应当假设__________________ .答案x=a或x=bJ 8当用反证法证明已知f(x)=x2+px+q，求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于；"时的假设应为解析至少有一个”的反设词为一个也没有".答案|f(1)|,|f(2)|,|f(3) |都小于 1111\一9已知非零实数a,b,c构成公差不为0的等差数列，求证:?？？?？不可能成等差数列.分析本题题设条件较少，且求证的结论中有不可能”这个词，故考虑选用反证法证明证明假设成等差数列，则??= ??+ ??所以2ac=bc+ab.①因为a,b,c成等差数列，所以2b=a+c.②把②代入①，得2ac=b(a+c)=b 2b. 所以b2=ac.③由②平方，得4b2= (a+c)2.④把③代入④得4ac= (a+c)2,所以(a-c)2=0.所以a=c.代入②，得b=a,故a=b=c ,所以数列a,b,c的公差为0.这与已知矛盾，故1????不可能成等差数列.能力提升I 1当用反证法证明已知a,b,c均为实数，且a=x2-2y+ ^,b=y2-2z+n，c=z2-2x+n求证:a,b,c中至少有一个大于0"时，正确的假设是()A. a,b,c均小于0B. a,b,c均不大于0C. a,b,c中至多有一个不大于0D. a,b,c中至多有一个小于02已知两条相交直线l,m都在平面a内且都不在平面B内.命题甲：1和m中至少有一条与平面B相交,命题乙：平面a与B相交，则甲是乙的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析若已知a与B相交，设交线为a,假设l,m都与平面B平行，则a // l,a // m,所以l // m,这与已知l与m相交矛盾，所以乙？甲•若已知l,m中至少有一条与平面B相交,不妨设l Q萨A,则点A€ a且点A€ B所以点A必在a与B的交线上，即甲？乙•故选C.J 3已知实数a,b,c满足a+2b+c= 2,则()A. a,b,c都是正数B. a,b,c都大于1C. a,b,c都小于21D. a,b,c至少有一个不小于2解析］假设a,b,c均小于£则a+2b+cv?+1+2=2,与已知矛盾，故选D. 答案D★1.4如果^\1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A A2B2C2的三个内角的正弦值，那么( )A. △A1B1C1和A A2B2C2都是锐角三角形B. △A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C. ^A1B1C1是钝角三角形,^A2B2C2是锐角三角形D. △A1B1C1是锐角三角形，弘282。

2017-2018学年数学人教A版选修2-1优化课件：第二章 2.2 2.2.1 椭圆及其标准方程

解得ab22＝＝155. ，
故所求椭圆的标准方程为1x52 ＋y52＝1.
②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)．
依题意有a1－2＋a22－2＋2b2
b322＝1， 32＝1，
解得ab22＝＝51， 5. 因为 a>b>0，所以无解．综上所求椭圆的标准方程为1x52＋y52＝1.
解析：(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上， ∴可设它的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)． ∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，
∴2a22＋b02＝1， a02＋b12＝1，
∴ab22＝＝41，，
故所求椭圆的标准方程为x42＋y2＝1.
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上，∴可设它的标准方程为 ay22＋xb22＝1(a>b>0)． ∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10. 又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于 2， ∴－c－(－10)＝2，故 c＝8， ∴b2＝a2－c2＝36， ∴所求椭圆的标准方程是1y020＋3x62 ＝1.
答案：A
3．椭圆10x－2 m＋my－2 2＝1 的焦距为 4，则 m＝________. 解析：由焦点未知，故 10－m－(m－2)＝4 或 m－2－(10－m)＝4， ∴m＝4 或 8.
答案：4 或 8
4．求适合下列条件的椭圆的方程． (1)焦点在 x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)； (2)焦点在 y 轴上，与 y 轴的一个交点为 P(0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于 2.
课时作业
[自主梳理]
一、椭圆的定义
定义
平面内与两个定点 F1、F2 的距离的和等于常数

数学人教A版选修2-2优化练习第二章 2.2 2.2.1 第2课时分析法 Word版含解析

[课时作业][组基础巩固]．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设＞＞，且＋＋＝，求证：＜索的因应是( )．－＞．－＞．(－)(－)＞．(－)(－)＜解析：要证＜，只需证－＜，只需证－(－－)＜，只需证－－＞，只需证(＋)(－)＞，只需证(－)(－)＞.故索的因应为.答案：．证明命题“()＝＋在(，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：∵()＝＋，∴′()＝－.∵>，∴><<，∴－>，即′()>，∴()在(，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是( )．综合法．分析法．以上都不是．反证法解析：该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选.答案：．要使＋－－≤成立的充要条件是( )．≥且≤．≥且≥．(－)(－)≤．(－)(－)≥解析：＋－－≤⇔(－)＋(－)≤⇔(－)(－)≤⇔(－)(－)≥⇔(－)(－)≥.答案：＋与＋的大小关系是( )＋≥＋＋≤＋＋＞＋＋＜＋解析：要想确定＋与＋的大小，只需确定(＋)与(＋)的大小，只需确定＋与＋的大小，即确定与的大小，显然＜.∴＋＜＋.答案：．若，∈＋，且＋≤恒成立，则的最小值是()．．．解析：原不等式可化为≥＝＝要使不等式恒成立，只需不小于的最大值即可．∵≤，当＝时取等号，∴≥，∴的最小值为.故选.答案：．设∈，则－－(填＞、＜、＝)．解析：要比较－与－的大小．即判断(－)－(－)＝(＋)－(＋)的符号，∵(＋)－(＋)＝[－]＝(－)＜.∴－＜－.答案：＜.如图所示，四棱柱-的侧棱垂直于底面，满足时，⊥(写上一个条件即可)．解析：要证⊥，只需证⊥平面.因为⊥，只要再添加条件⊥，即可证明⊥平面，从而有⊥.答案：⊥(答案不唯一)．已知方程(－＋)(－＋)＝的四个根组成一个首项为的等比数列，则－＝.解析：不妨设是－＋＝的一根，另一根为，则＝＋，＝.设－＋＝的两根为，, 则＝＋，＝.由，，，成等比数列及＝可得＝，＝，从而＝，＝，－＝.答案：．已知＜≤＜≤＜≤，求证：≥.。

2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第二章212.1.1合情推理

[ 课时作业 ][A 组基础稳固 ]1．以下推理是概括推理的是( )A ． A，B 为定点，动点 P 知足 |PA|＋ |PB|＝ 2a＞ |AB|，得 P 的轨迹为椭圆B．由 a1＝ 1， a n＝ 3n－ 1，求出 S1， S2， S3，猜想出数列的前n 项和 S n的表达式2 2 2 2 x2 y2C．由圆 x ＋y ＝ r 的面积πr ，猜出椭圆 2 ＋ 2 ＝1的面积S＝πaba bD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇分析：由概括推理的定义知 B 是概括推理，故应选 B.答案： B2．数列 { a n } ： 2,5,11,20， x,47，中的 x 等于 ( )A．28 B． 32C． 33 D． 27分析：由于 5－ 2＝3× 1,11－ 5＝ 6＝3× 2,20－ 11＝ 9＝3×3，猜想 x－ 20＝3× 4,47－x＝3× 5，推知 x＝ 32.故应选 B.答案： B3．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，以下图，○○○●●○○○●●○○○ ，按这类规律往下排，那么第 36 个圆的颜色应是 ( )A ．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大分析：由题干图知，图形是三白二黑的圆循环往复接踵摆列，是一个周期为 5 的三白二黑的圆列，由于36÷5＝7 余 1，因此第36 个圆应与第 1 个圆颜色同样，即白色．答案： A2 4 34．察看 (x )′＝ 2x，(x )′＝ 4x ，(cos x)′＝－ sin x，由概括推理可得：若定义在 R 上的函数 f(x)知足 f(－x)＝ f(x)，记 g( x)为 f(x)的导函数，则g(－ x)＝ ( )A ． f(x) B．－ f(x)C． g(x) D．－ g(x)分析：此题考察了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变为了奇函数，∴g(－ x) ＝－ g(x)，选 D.答案： D5．n 个连续自然数按规律摆列以下表：依据规律，从 2 010 到2 012 箭头的方向挨次为( )A ．↓→B．→↑C ．↑→D ．→↓分析：察看题图的规律知：地点同样的数字都是以4 为公差的等差数列，由2,3,4 可知从2 010到2 012为 ↑→ ，故应选 C.答案： C6．半径为 r 的圆的面积 S(r )＝ πr 2，周长 C(r)＝ 2πr ，若将 r 看作 (0，＋∞ )上的变量，则 ( πr 2) ′＝ 2πr ①，①式能够用语言表达为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为 R 的球，若将 R 看作 (0，＋∞ )上的变量②，请你写出近似于①的式子： ___________________________________________ ， ②式能够用语言表达为：_______________________________________________.分析：半径为 R 的球的体积4324 3 2V(R)＝ πR ，表面积S(R)＝ 4πR ，则 ( πR ) ′＝ 4πR .33答案： (43πR 3)′＝ 4πR 2球的体积函数的导数等于球的表面积函数7．察看以下等式： 12＝ 1；12－ 22＝－ 3； 12－ 22＋ 32＝ 6；12－ 22＋ 32－ 42 ＝－ 10；照此规律，第 n 个等式可为 ________．分析：察看等号左侧的规律发现，左侧的项数挨次加 1，故第 n 个等式左侧有 n 项，每项所含的底数的绝对值也增添 1，挨次为 1,2,3，，n ，指数都是 2，符号成正负交替出现，能够用 (－1)n ＋1表示，等式的右边数的绝对值是左侧项的底数的绝对值的和，故等式的右侧能够表示为n 1n n ＋ 1 (－1) ＋·，∴第 n 个式子可为22222n 1 2n 1 n n ＋ 1*1 －2 ＋3 －4 ＋＋(－ 1) ＋·n ＝ ( －1)＋· 2 (n ∈N )．2222n ＋ 1 2 n ＋ 1 n n ＋ 1 * 答案： 1 －2 ＋3 －4 ＋＋ (－1)n ＝ (－ 1)· 2 (n ∈ N )x8．设函数 f(x)＝ x ＋ 2(x>0)，察看： f 1(x)＝ f( x)＝ x ，x ＋2 f 2(x)＝f(f 1 (x))＝ x ，3x ＋ 4f 3(x)＝f(f 2 (x))＝ x ，7x ＋ 8xf 4(x)＝f(f 3 (x))＝ 15x ＋ 16，依据以上事实，由概括推理可得：当n ∈N * 且 n ≥ 2 时， f n (x)＝ f(f n －1(x))＝ ________.分析：依据题意知，分子都是 x ，分母中的常数项挨次是 2,4,8, 16，可知 f n (x)的分母中常数项为2n ，分母中 x 的系数为 2n － 1，故 f nnx(x)＝.2 － 1 x ＋ 2答案： 2 xn －1 x ＋2n9．证明以下等式，并从中概括出一个一般性的结论，π 2cos 4＝ 2，π 2cos 8＝2＋ 2，π2＋ 2＋ 2，2cos 16＝证明： π 22，2cos＝2· ＝42π2 π 1＋ cos 4 1＋ 22cos 8＝ 22 ＝ 22 ＝ 2＋ 2，π 1 π1＋ cos 8 1＋2 2＋ 22cos 16＝ 22＝ 22＝2＋ 2＋2察看上述等式能够发现，第n 个等式右端有 n 个根号， n 个 2，左端 “ 角 ”的分母为 22,23,24，，故第 n个等式的左端应为 2cosππn 1 ，由此可概括出一般性的结论为：2cos n 1＝2 ＋2＋2， 2 在圆 C ： x 2＋ y 2＝ 1 上，经过点 P 的圆的切线方程为2 2在圆 C10．点 P 222 x ＋ 2 y ＝ 1，又点 Q(2,1)11 在圆 C 的内部．直线 11外面，简单证明直线，2 2x ＋ 2y ＝1 与圆相离．类比上述结2x ＋ y ＝ 1 与圆订交，点 R 2 论，你能给出对于一点P( a ， b)与圆 x 2＋ y 2＝ r 2 的地点关系与相应直线与圆的地点关系的结论吗？分析：点 P(a ， b)在⊙C ：x 2 ＋y 2 ＝r 2 上时，直线 a x ＋ by ＝ r 2 与⊙C 相切；点 P 在⊙C 内时，直线 ax ＋by ＝r 2 与⊙C 相离；点P 在⊙C 外面时，直线ax ＋ by ＝ r 2 与⊙C订交．简单证明此结论是正确的．[B组能力提高]1．把1,3,6,10,15,21 ，这些数叫作三角形数，这是由于这些数的点能够排成一个正三角形(以以下图)，。

2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 2.2 2.2.1 第1课时综合法

[课时作业][A 组基础巩固]1．对任意锐角α、β，下列不等式关系中正确是( )A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin βB ．sin(α＋β)＞cos α＋cos βC ．cos(α＋β)＞sin α＋sin βD ．cos(α＋β)＜cos α＋cos β解析：∵α、β为锐角，∴0＜α＜α＋β＜π，∴cos α＞cos(α＋β)，又cos β＞0，∴cos α＋cos β＞cos(α＋β)．答案：D2．在不等边三角形中，a 为最长边，要想得到∠A 为钝角结论，三边a ，b ，c 应满足条件( )A ．a 2＜b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2＞b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＜0，故b 2＋c 2－a 2＜0，∴a 2＞b 2＋c 2.答案：C3．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x ＜0)，则a 与b 大小关系为( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a ≤b解析：a ＝lg 2＋lg 5＝1，b ＝e x ，当x ＜0时，0＜b ＜1.∴a ＞b .答案：A4．四面体ABCD 中，棱AB 、AC 、AD 两两垂直，则点A 在底面BCD 内射影一定是△BCD ( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心解析：如图，设点O 是点A 在底面BCD 内射影，并连接AO ，则AO⊥面BCD .连接BO并延长交CD 于点E .由已知易得AB ⊥CD .又∵AO ⊥面BCD ，∴AO ⊥CD .∴CD ⊥面AOB ，∴CD ⊥BE .∴O 在CD 高线上，同理O 在BC ，BD 高线上．答案：D5．不相等三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 等比中项，y 是b ，c 等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( )A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列解析：由已知条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ②y 2＝bc . ③由②③得⎩⎨⎧ a ＝x 2b ，c ＝y 2b .代入①，得x 2b ＋y 2b＝2b ，即x 2＋y 2＝2b 2.故x 2，b 2，y 2成等差数列．又由①得b 2＝(a ＋c )24>ac ＝x 2b ·y 2b 所以b 4>x 2·y 2，故x 2，b 2，y 2不成等比数列．答案：B6．设e 1、e 2是两个不共线向量，A B →＝2e 1＋ke 2，C B →＝e 1＋3e 2，若A 、B 、C 三点共线，则k ＝________. 解析：∵A 、B 、C 三点共线， ∴存在λ使A B →＝λCB →，即2e 1＋ke 2＝λ(e 1＋3e 2)．∴λ＝2，k ＝6.答案：67．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0.则cos(α－β)＝________.解析：∵sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γcos α＋cos β＝－cos γ，两式平方相加得：2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，∴cos(α－β)＝－12. 答案：－128．设a >0，b >0，则下面两式大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．解析：∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab＝2ab －(a ＋b )＝－(a －b )2≤0，∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，∴lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案：≤9．已知a ，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4. 证明：∵a ，b ＞0，且a ＋b ＝1.∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4. 当且仅当a ＝b 时，取“＝”号．10．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c也成等差数列．证明：因为1a ，1b ，1c成等差数列，所以1a ＋1c ＝2b. 即a ＋c ac ＝2b，所以b (a ＋c )＝2ac ，所以b ＋c a ＋a ＋b c ＝(b ＋c )c ＋a (a ＋b )ac＝ bc ＋c 2＋a 2＋ab ac＝b (a ＋c )＋a 2＋c 2ac ＝2ac ＋a 2＋c 2ac＝(a ＋c )2ac＝2(a ＋c )2b (a ＋c )＝2(a ＋c )b ，所以b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c也成等差数列． [B 组能力提升]1．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n (m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 大小为( ) A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．不确定解析：q ＝ ab ＋mad n ＋nbc m ＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .答案：B2．(2014·高考山东卷)已知a >b >0，椭圆C 1方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2离心率之积为32，则C2渐近线方程为()A．x±2y＝0 B.2x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0解析：椭圆C1离心率为a2－b2a，双曲线C2离心率为a2＋b2a，所以a2－b2a·a2＋b2a＝32，所以a4－b4＝34a4，即a4＝4b4，所以a＝2b，所以双曲线C2渐近线方程是y＝±12x，即x±2y＝0.答案：A3．如果不等式|x－a|＜1成立充分非必要条件是12＜x＜32，则实数a取值范围是________．解析：|x－a|＜1⇔a－1＜x＜a＋1，由题意知(12，32) (a－1，a＋1)，则有⎩⎨⎧a－1≤12a＋1≥32，(且等号不同时成立)解得12≤a≤32.答案：12≤a≤324.如图，在三棱锥V-ABC中，M、N分别是侧面VAC和侧面VBC重心．求证：MN∥底面ABC.证明：如图，连接VM、VN并延长，分别交AC、BC于P、Q两点，连接PQ.由已知可知，M、N分别是侧面VAC和侧面VBC重心．在△VPQ中，VMVP＝23，VNVQ＝23，所以VMVP＝VNVQ，所以MN∥PQ.因为MN⊄底面ABC，PQ⊂底面ABC，所以MN∥底面ABC.5．若实数x，y，m满足|x－m|<|y－m|，则称x比y接近m.(1)若x2－1比3接近0，求x取值范围．(2)对任意两个不相等正数a，b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab ab.解析：(1)由题意得|x2－1|<3.即－3<x2－1<3，所以－2<x<2，所以x取值范围是(－2,2)．(2)证明：当a，b是不相等正数时，a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a－b)2(a＋b)>0.又a2b＋ab2＝ab(a＋b)>2ab ab，所以a3＋b3>a2b＋ab2>2ab ab>0，所以a3＋b3－2ab ab>a2b＋ab2－2ab ab>0，所以|a2b＋ab2－2ab ab|<|a3＋b3－2ab ab|，所以a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab ab.。

人教a版(数学选修2-2)测试题及参考答案(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改人教a 版（数学选修2-2）测试题第一章导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞ 4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2练习：第2章推理与证明2.1.1 Word版含解析

第二章 2.1 2.1.1A 级基础巩固一、选择题1．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{a n }，则下列结论正确的是导学号 84624475( D )①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列； ③数列{a n }是一个等比数列；④数列{a n }的递推关系是a n ＝a n －1＋n (n ∈N *)． A ．①②④ B ．①③④ C ．①②D ．①④[解析] 由于a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，所以有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4.因此必有a 5－a 4＝5，即a 5＝15，故①正确．同时④正确，而{a n }显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D ．2．(2016·潍坊高二检测)已知a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，则数列{a n }的一个通项公式为a n ＝导学号 84624476( B )A ．2(n ＋1)2B ．2n (n ＋1)C ．22n －1D ．22n －13．平面内平行于同一直线的两条直线平行，由此类比到空间中可以得到导学号 84624477( D )A ．空间中平行于同一直线的两条直线平行B ．空间中平行于同一平面的两条直线平行C ．空间中平行于同一直线的两个平面平行D ．空间中平行于同一平面的两个平面平行4．(2016·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排下去，那么第36颗珠子的颜色是导学号 84624478( A )A ．白色B ．黑色C ．白色的可能性较大D ．黑色的可能性较大5．(2016·郑州高二检测)下面使用类比推理，得出的结论正确的是导学号 84624479( C )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” 6．(2017·长春三模)设n ∈N ＋，则＝导学号 84624480( A )A ．B ．C ．D ．[解析]＝102n －19－2(10n －1)9 ＝(10n －1)29＝10n －13＝个．故选A ．二、填空题7．观察下列等式：导学号 84624481 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *,12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝ (－1)n ＋1n2＋n 2. [解析] 注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2＝n 2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n2. 8．观察下列等式：导学号 84624482 (1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5； ……照此规律，第n 个等式可为__(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)__． [解析] 观察规律，等号左侧第n 个等式共有n 项相乘，从n ＋1到n ＋n ，等式右端是2n 与等差数列{2n －1}前n 项的乘积，故第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)．三、解答题9．(2016·德州高二检测)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC ．拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，写出△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系.导学号 84624483[解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC ．证明如下：如图，设直线OD 与BC 相交于点E ，∵AD ⊥平面ABE ， ∴AD ⊥AE ，AD ⊥BC ，又∵AO ⊥平面BCD ， ∴AO ⊥DE ，AO ⊥BC ． ∵AD ∩AO ＝A ， ∴BC ⊥平面AED ， ∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE .∴S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·OE ，S △BCD ＝12BC ·DE .在Rt △ADE 中，由射影定理知AE 2＝OE ·DE ，∴S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD ． 10．已知等式sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34，sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性.导学号 84624484[解析] 等式为sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝sin 2α＋1＋cos (60°＋2a )2＋sin α(cos30°·cos α－sin30°·sin α)＝12＋sin 2α＋cos (60°＋2α)2＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋12(12cos2α－32sin2α)＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋14cos2α－34sin2α＋34sin2α－12sin 2α＝12＋12sin 2α＋14(1－2sin 2α)＝34. B 级素养提升一、选择题1．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋120162<导学号 84624485( C )A ．40292016B ．40302016C ．40312016D ．40322016[解析] 本题考查了归纳的思想方法．观察可以发现，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12、22、32、…、(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1，所以当n ＝2015时不等式为： 1＋122＋132＋…＋120162<40312016. 2．类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边 (2)中位线长等于底边长的一半 (3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有导学号 84624486( C ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(2)(3)D ．都不对[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．二、填空题3．在以原点为圆心，半径为r 的圆上有一点P (x 0，y 0)，则圆的面积S 圆＝πr 2，过点P 的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中，当离心率e 趋近于0时，短半轴b 就趋近于长半轴a ，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式得椭圆面积S 椭圆＝__πab __.类比过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程，则过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为x 1a 2·x ＋y 1b2·y ＝1 .导学号 84624487 [解析] 当椭圆的离心率e 趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a ，b 都趋近于圆的半径r ，故由圆的面积S ＝πr 2＝π·r ·r ，猜想椭圆面积S 椭＝π·a ·b ，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x 0·x ＋y 0·y ＝r 2变形得x 0r 2·x ＋y 0r 2·y ＝1，则过椭圆上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为x 1a 2·x ＋y 1b2·y ＝1，其严格证明可用导数求切线处理． 4．(2016·山东文，12)观察下列等式：导学号 84624488 (sin π3)－2＋(sin 2π3)－2＝43×1×2； (sin π5)－2＋(sin 2π5)－2＋(sin 3π5)－2＋(sin 4π5)－2＝43×2×3； (sin π7)－2＋(sin 2π7)－2＋(sin 3π7)－2＋…＋(sin 6π7)－2＝43×3×4； (sin π9)－2＋(sin 2π9)－2＋(sin 3π9)－2＋…＋(sin 8π9)－2＝43×4×5； …… 照此规律， (sinπ2n ＋1)－2＋(sin 2π2n ＋1)－2＋(sin 3π2n ＋1)－2＋…＋(sin 2n π2n ＋1)－2＝ 43n (n ＋1) .[解析] 根据已知，归纳可得结果为43n (n ＋1)．三、解答题5．我们知道：导学号 84624489 12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，左右两边分别相加，得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ∴1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解析] 我们记S 1(n )＝1＋2＋3＋…＋n ，S 2(n )＝12＋22＋32＋…＋n 2，…，S k (n )＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k (k ∈N *)．已知13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1. 将左右两边分别相加，得S 3(n )＝[S 3(n )－n 3]＋3[S 2(n )－n 2]＋3[S 1(n )－n ]＋n . 由此知S 2(n )＝n 3＋3n 2＋2n －3S 1(n )3＝2n 3＋3n 2＋n6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.6．(2016·隆化县高二检测)在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.导学号 84624490[解析] 如图(1)所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2， ∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD 2＝1AB 2＋1AC2. 类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想：四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ．则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.如图(2)，连接BE 延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD ．而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2 ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2，故猜想正确． C 级能力拔高(2016·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，写出具有类似的性质，并加以证明.导学号 84624491[解析] 类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．证明如下：设M (m ，n )，P (x ，y )，则N (－m ，－n )，因为点M(m，n)在双曲线上，所以n2＝b 2a2m2－b2.同理，y2＝b 2a2x2－b2.则k PM·k PN＝y－nx－m ·y＋nx＋m＝y2－n2x2－m2＝b2a2·x2－m2x2－m2＝b2a2(定值)．。

【人教A版】2017-2018学年数学选修2-2优化练习：第二章 2.2 2.2.1 第2课时分析法 Word版含解析

[课时作业][A组基础巩固]1．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac＜3a索的因应是()A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0解析：要证b2－ac＜3a，只需证b2－ac＜3a2，只需证b2－a(－b－a)＜3a2，只需证2a2－ab－b2＞0，只需证(2a＋b)(a－b)＞0，只需证(a－c)(a－b)＞0.故索的因应为C.答案：C2．证明命题“f(x)＝e x＋1e x在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：∵f(x)＝e x＋1e x，∴f′(x)＝e x－1e x.∵x>0，∴e x>1,0<1e x<1，∴e x－1e x>0，即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是()A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是解析：该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.答案：A3．要使a2＋b2－a2b2－1≤0成立的充要条件是()A．|a|≥1且|b|≥1 B．|a|≥1且|b|≤1C．(|a|－1)(|b|－1)≥0 D．(|a|－1)(|b|－1)≤0解析：a2＋b2－a2b2－1≤0⇔a2(1－b2)＋(b2－1)≤0⇔(b2－1)(1－a2)≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0⇔(|a|－1)(|b|－1)≥0.答案：CA.2＋6≥3＋ 5B.2＋6≤3＋ 5C.2＋6＞3＋ 5D.2＋6＜3＋ 5解析：要想确定2＋6与3＋5的大小，只需确定(2＋6)2与(3＋5)2的大小，只需确定8＋212与8＋215的大小，即确定12与15的大小，显然12＜15.∴2＋6＜3＋ 5.答案：D5．若x，y∈R＋，且x＋y≤a x＋y恒成立，则a的最小值是() A．2 2 B. 2C．2 D．1解析：原不等式可化为a≥x＋yx＋y＝(x＋y)2x＋y＝1＋2xyx＋y要使不等式恒成立，只需a不小于1＋2xyx＋y的最大值即可．∵1＋2xyx＋y≤2，当x＝y时取等号，∴a≥2，∴a的最小值为 2.故选B.答案：B6．设n∈N，则n＋4－n＋3________ n＋2－n＋1(填＞、＜、＝)．解析：要比较n＋4－n＋3与n＋2－n＋1的大小．即判断(n＋4－n＋3)－(n＋2－n＋1)＝(n＋4＋n＋1)－(n＋3＋n＋2)的符号，∵(n＋4＋n＋1)2－(n＋3＋n＋2)2＝2[(n＋4)(n＋1)－(n＋3)(n＋2)]∴n ＋4－n ＋3＜n ＋2－n ＋1. 答案：＜7.如图所示，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．解析：要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C .因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ，即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C .答案：AC ⊥BD (答案不唯一)8．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |＝________. 解析：不妨设12是x 2－mx ＋2＝0的一根，另一根为a ，则m ＝a ＋12，12a ＝2. 设x 2－nx ＋2＝0的两根为b ，c, 则n ＝b ＋c ，bc ＝2.由12，b ，c ，a 成等比数列及a ＝4可得b ＝1，c ＝2，从而m ＝92，n ＝3，|m －n |＝32. 答案：329．已知0＜a ≤1,0＜b ≤1,0＜c ≤1，求证：1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1. 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴要证1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1，只需证1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc ，即证1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0.∵1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )＝(1－a )＋b (a －1)＋c (a －1)＋bc (1－a )＝(1－a )(1－b －c ＋bc )＝(1－a )(1－b )(1－c )，又a ≤1，b ≤1，c ≤1，∴(1－a )(1－b )(1－c )≥0.∴1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0成立，即证明了1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1. 10．求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大．证明：设圆和正方形的周长为l ，依题意，圆的面积为π(l 2π)2，正方形的面积为(l 4)2，因此本题只需证明π(l 2π)2＞(l 4)2. 为了证明上式成立，只需证明πl 24π2＞l 216，两边同乘以正数4l 2，得1π＞14，因此，只需证明4＞π. 上式显然成立，故π(l 2π)2＞(l 4)2. [B 组能力提升]1．已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝(12)x ，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2ab a ＋b)，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析：因为函数f (x )＝(12)x 为减函数，所以要比较A ，B ，C 的大小，只需比较a ＋b 2，ab ，2ab a ＋b的大小，因为a ＋b 2≥ab ，两边同乘ab 得：ab ·a ＋b 2≥ab ，即ab ≥2ab a ＋b ，故a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，∴A ≤B ≤C . 答案：A2．设甲：函数f (x )＝|x 2＋mx ＋n |有四个单调区间，乙：函数g (x )＝lg(x 2＋mx ＋n )的值域为R ，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．以上均不对解析：对甲，要使f (x )＝|x 2＋mx ＋n |有四个单调区间，只需要Δ＝m 2－4n >0即可；对乙，要使g (x )＝ lg(x 2＋mx ＋n )的值域为R ，只需要u ＝x 2＋mx ＋n 的值域包含区间(0，＋∞)，只需要Δ＝m 2－4n ≥0，所以甲是乙的充分不必要条件．答案：A3．要证3a －3b <3a －b 成立，则a ，b 应满足的条件是________．解析：要证3a －3b <3a －b ，只需证(3a －3b )3<(3a －b )3，即a －b －33a 2b ＋33ab 2<a －b ，即33a 2b －33ab 2>0，即3ab (3a －3b )>0.故所需条件为⎩⎨⎧ 3ab >0，3a －3b >0或⎩⎨⎧ 3ab ＜0，3a －3b <0，即ab >0且a >b 或ab <0且a <b .答案：ab >0且a >b 或ab <0且a <b4．如果x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值为________．解析：由x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2, 得2－(x ＋y )＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0，∴x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－23，∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y 的最小值为23－2.答案：23－25．在某两个正数m ，n 之间插入一个数x ，使m ，x ，n 成等差数列，插入两个数y ，z ，使m ，y ，z ，n 成等比数列，求证：(x ＋1)2≥(y ＋1)(z ＋1)．证明：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝m ＋n y 2＝mz z 2＝yn ，所以m ＝y 2z ，n ＝z 2y. 即m ＋n ＝y 2z ＋z 2y ，从而2x ＝y 2z ＋z 2y. 要证(x ＋1)2≥(y ＋1)(z ＋1)，只需证x ＋1≥(y ＋1)(z ＋1)成立．只需证x ＋1≥(y ＋1)＋(z ＋1)2即可．也就是证2x ≥y ＋z ，而2x ＝y 2z ＋z 2y，则只需证y 2z ＋z 2y≥y ＋z 即可．即y 3＋z 3≥yz (y ＋z )，只需证y 2－yz ＋z 2≥yz ，即证(y －z )2≥0成立，由于(y －z )2≥0显然成立，∴(x ＋1)2≥(y ＋1)(z ＋1)．6．已知a ＞0，函数f (x )＝x 3－a ，x ∈[0，＋∞)，设x 1＞0.记曲线y ＝f (x )在点M (x 1，f (x 1))处的切线为l .(1)求l 的方程；(2)设l 与x 轴的交点为(x 2,0)，求证：x 2≥a 13. 解析：(1)f ′(x )＝3x 2.故l 的方程为y －(x 31－a )＝3x 21(x －x 1)，即y ＝3x 21x －2x 31－a .(2)证明：令y ＝3x 21x －2x 31－a ＝0，得x ＝2x 31＋a 3x 21，∴x 2＝2x 31＋a 3x 21. 欲证x 2≥a 13，只需证2x 31＋a ≥3x 21·a 13，即证(x 1－a 13)2(2x 1＋a 13)≥0，显然成立，∴原不等式成立.。

人教版高中数学选修2-2课后习题参考答案

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答第一章导数及其应用 3．1变化率与导数练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升.练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想. 练习（P9）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆.所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=.因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第 5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J.4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=；（2）2x y e '=；（3）4106y x x '=-；（4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin33x y '=-；（6）y '=习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim (2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=. 2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、()r V '=4、（1）213ln 2y x x '=+；（2）1n x n x y nx e x e -'=+；（3）2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=；（4）9899(1)y x '=+；（5）2x y e -'=-；（6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.5、()8f x '=-+. 由0()4f x '=有 048=-+，解得0x =.6、（1）ln 1y x '=+；（2）1y x =-.7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少. 习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增；当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增；当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增；当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，注：图象形状不唯一.其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54；当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-. （3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22 （4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2 练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈. 因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数.（4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减. 3、（1）图略. （2）加速度等于0. 4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值；（2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值；（3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值；（4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值. 5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-. （3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-. （4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128. 6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724.由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16；当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略（4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<. 令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2Vh R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40V S R R R π'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>. 因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点. 此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，（第3题）可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2x m ，半圆的面积为28x π2m ，矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x a l x x x x x πππ=++-=++，0x <<令22()104a l x x π'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.m 时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<. 令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b-=-+⨯=--，54b a x <<.令845()0c ac bcL x x b b+'=-+=，解得458a b x +=.当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<. 当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念练习（P42） 83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =.于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+2231[12]2n n=-++++31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+111(1)(1)232n n =-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰；（2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰；（3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）；距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式11()nni i i b af x b a n ξ==-∆==-∑∑，从而11lim nban i b adx b a n →∞=-==-∑⎰，说明：进一步熟悉定积分的概念.4、根据定积分的几何意义，0⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此4π=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得202333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）；不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）（3）49.81tdt ⎰；49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n -，记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =），其长度为 (1)il i l l x n n n-∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作： 12,,,n m m m ∆∆∆，则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l i l n n ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n-上质量2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm nξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..1．6微积分基本定理练习（P55）（1）50；（2）503；（353-；（4）24；（5）3ln 22-；（6）12；（7）0；（8）2-.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A 组（P55）1、（1）403；（2）13ln 22--；（3）9ln 3ln 22+-；（4）176-；（5）2318π+；（6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题1.6 B 组（P55）1、（1）原式＝221011[]222x e e =-；（2）原式＝4611[sin 2]22x ππ=；（3）原式＝3126[]ln 2ln 2x =. 2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=-=---=⎰；（2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=|=--=⎰；（3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx mπππππππ----==-=⎰⎰；（4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰. 3、（1）0.202220()(1)[]49245245t kt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k ----=-=+=+-=+-⎰.（2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围. 根据指数函数的性质，当0t >时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<，因此，500052454949t <<. 因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯，52450.2749245 1.2410e-⨯-≈⨯，所以，70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而，在解方程0.2492452455000t t e -+-=时，0.2245t e -可以忽略不计.因此，.492455000t -≈，解之得 524549t ≈（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1．7定积分的简单应用练习（P58）（1）323；（2）1.说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59）1、52533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰（m ）.2、42403(34)[4]402W x dx x x =+=+=⎰（J ）. 习题1.7 A 组（P60）1、（1）2；（2）92.2、2[]b b a a q q q qW k dr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度.最大高度为 42400(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰（m ）.4、设t s 后两物体相遇，则20(31)105ttt dt tdt +=+⎰⎰，解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇. 此时，物体A 离出发地的距离为523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）.5、由F kl =，得100.01k =. 解之得1000k =. 所做的功为 0.120.10010005005W ldl l ==|=⎰（J ）.6、（1）令55()501v t t t=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后完全停止. （2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112s t dt t t t t =-+=-++=+⎰（m ）. 习题1.7 B 组（P60）1、（1）a -⎰表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，因此22aa π-=⎰（2）1]x dx ⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形（如图所示）的面积，因此，21111]114242x dx ππ⨯=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为2y ax =，则2()2b h a =⨯，所以24ha b =.从而抛物线的方程为 224hy x b =.于是，抛物线拱的面积232202204422()2[]33b bh h S h x dx hx x bh b b =-=-=⎰. 3、如图所示.解方程组223y x y x⎧=+⎨=⎩得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =. 于是，所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R hR h R RMm Mm MmhW Gdr G G r r R R h ++==-=+⎰. 第一章复习参考题A 组（P65）1、（1）3；（2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x xy x+'=；（2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-；（3）22ln ln 2x xy x x '=+；（4）2422(21)x x y x -'=+. 3、32GMm F r '=-. 4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略. 5、因为()f x =()f x '=.当()0f x '=>，即0x >时，()f x 单调递增；（第2题）当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+，所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=，即3cx =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >. 由于所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =. 8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x a x a --=--，即1()1y x a a =--. 当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -. 因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--. 令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去.由于所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2.9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<.令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=. 所以，415x =-（舍去），或1x =. 当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<. 因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤. 令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =. 所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x，打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x=--，5.0898.38x <<.令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.14、（1）2；（2）22e -；（3）1；（4）原式＝22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dx x x dx x x x xπππ-=-=+=+⎰⎰；（5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰. 15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ）第一章复习参考题B 组（P66）1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t ≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；当55t <<+时，()0b t '<，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S .因为212S r α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r -=，4lr =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=.因此，222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得h R =.容易知道，h R =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.所以，当3h R =时，容积最大.把3h R =代入222r h R +=，得3r R =.由2R r απ=，得α=.所以，圆心角为α=时，容积最大. 4、由于28010k =⨯，所以45k =. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x >令0y '=，即29600160x -=，24x ≈.容易知道，24x =是函数y 的极小值点，也是最小值点. 当24x =时，960020(1624)()9412424⨯+÷≈（元／时）所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元.5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x =++⨯，50100x ≤≤ 令0y '=，解得53x ≈（km ／h ）. 此时，114y ≈（元）容易得到，53x ≈是函数y 的极小值点，也是最小值点.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.6、原式＝4404422022[]2xx x x x e dx e dx e dx e e e e -----=+=-+|=+-⎰⎰⎰.7、解方程组 2y kx y x x=⎧⎨=-⎩得，直线y kx =与抛物线2y x x =-交点的横坐标为0x =，1k -.抛物线与x 轴所围图形的面积2312100111()[]23236x x S x x dx =-=-=-=⎰.由题设得 11200()2k k S x x dx kxdx --=--⎰⎰ 31221001()[]23kkk x x x kx dx x ---=--=-⎰3(1)6k -=.又因为16S =，所以31(1)2k -=. 于是1k =-说明：本题也可以由面积相等直接得到111220()()kk k x x kx dx kxdx x x dx -----=+-⎰⎰⎰，由此求出k 的值. 但计算较为烦琐.新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理练习（P77）1、由12341a a a a ====，猜想1n a =.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O PQ R -的体积，则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅. 练习（P81） 1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，其中p 是非零常数，则{}n a 是等比数列； ……………………大前提又因为0cq ≠，则0q ≠，则11n n nn a cq q a cq ++==； ……………………………小前提所以，通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论3、由AD BD >，得到ACD BCD ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中.习题2.1 A 组（P83）1、21n a n =+()n N *∈.2、2F V E +=+.3、当6n ≤时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *∈.4、212111(2)n n A A A n π++≥-（2n >，且n N *∈）. 5、121217n n bb b bb b -=（17n <，且n N *∈）.6、如图，作DE ∥AB 交BC 于E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形ABED 是平行四边形.（第6题）因为平行四边形的对边相等.又因为四边形ABED 是平行四边形. 所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的.又因为△DEC 是等腰三角形, 所以DEC C ∠=∠ 因为平行线的同位角相等又因为DEC ∠与B ∠是平行线AB 和DE 的同位角, 所以DEC B ∠=∠ 因为等于同角的两个角是相等的，又因为DEC C ∠=∠，DEC B ∠=∠, 所以B C ∠=∠ 习题2.1 B 组（P84）1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略.2．2直接证明与间接证明练习（P89）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos2θθθθθθθ-=+-=，所以，命题得证.2>22>，即证1313+>+>只需要22>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，命题得证. 3、因为 222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b αααα-=-+==，又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab αααααααααα+-=+-=⋅22222222sin (1cos )sin sin 161616sin tan cos cos αααααααα-===，从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P91）1、假设B ∠不是锐角，则90B ∠≥︒. 因此9090180C B ∠+∠≥︒+︒=︒. 这与三角形的内角和等于180°矛盾. 所以，假设不成立. 从而，B ∠一定是锐角.2=所以22=，化简得5=225=，即2540=，这是不可能的. 所以，假设不成立..说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题2.2 A 组（P91）1、由于0a ≠，因此方程至少有一个跟bx a=.假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设12,x x 是它的两个不同的根，则 1ax b = ①2ax b = ②①－②得12()0a x x -=因为12x x ≠，所以120x x -≠，从而0a =，这与已知条件矛盾，故假设不成立. 2、因为 (1tan )(1tan )2A B ++=展开得 1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ①假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A BA B -=，即cos()0cos cos A B A B += 所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B π<+<，从而2A B π+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -≠.①式变形得tan tan 11tan tan A BA B +=-，即tan()1A B +=. 又因为0A B π<+<，所以4A B π+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.3、因为1tan 12tan αα-=+，所以12tan 0α+=，从而2sin cos 0αα+=. 另一方面，要证 3sin 24cos 2αα=-，只要证226sin cos 4(cos sin )αααα=-- 即证 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=，即证 (2s i n c o s )(s i n 2c os αααα+-= 由2sin cos 0αα+=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=，于是命题得证. 说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.4、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b a c=+. 假设2B π<不成立，即2B π≥，则B 是ABC ∆的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边），从而11112a c b b b +>+=. 这与211b a c=+矛盾. 所以，假设不成立，因此，2B π<.习题2.2 B 组（P91）1、要证2s a <，由于22s ab <，所以只需要2s s b<，即证b s <.因为1()2s a b c =++，所以只需要2b a b c <++，即证b a c <+. 由于,,a b c 为一个三角形的三条边，所以上式成立. 于是原命题成立. 2、由已知条件得 2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ② 要证2a cx y+=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy += 由①②，得 22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++，24()()2x y a b b c a bb ac b c a b a c b c=++=+++=++，所以，224ay cx xy +=，于是命题得证. 3、由 tan()2tan αβα+= 得sin()2sin cos()cos αβααβα+=+，即sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ……①要证 3sin sin(2)βαβ=+即证 3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++即证 3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++ 化简得sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+，这就是①式.。

2017-2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 2.2 2.2.1 第2课时 分析法 Word版含解析

2017-2018学年高中新课标数学人教A版选修2-2：第二章

【人教A版】2017-2018学年数学选修2-2优化练习：第二章 章末优化总结 Word版含解析

2018学年高中数学人教A版选修2-2习题 第2章 推理与证明2.2.2 含答案