人教版数学高一-新课标人教A版数学必修2 4.备课资料( 直线的两点式方程)
人教A版高中数学必修2教案直线的两点式方程
课时46直线的两点式方程一、选择题1、如果AC<0, 且BC<0,那么直线0=++C By Ax 不通过 （ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2、经过点A （1，2）并且在坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有（ ）A. 4条B. 3条C. 2条D.1条3、ABC ∆的一个顶点是A （3，1），∠B 、∠C 的平分线分别是x=0、x=y ，则直线AB 的方程为（ ）A. 32+=x yB. 53+=x yC. 252+-=x y D. 52+=x y 4、设Ａ、Ｂ是x 轴上的两点，点Ｐ的横坐标为２，且|ＰＡ|＝|ＰＢ|，若直线ＰＡ的方程为x －y ＋1=0，则直线ＰＢ的方程是（ ）A ．x ＋y －5=0B ．2x －y －1=0C ．x －2y ＋4=0D ．2x ＋y －7=05、下列命题中正确的是( )A. 经过点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0=k(x －x 0)表示B. 经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y=kx ＋b 表示．C. 经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2，y 2)的直线都可用方程(x 2－x 1)(y －y 1)=(y 2－y 1)(x －x 1)表示．D. 不经过原点的直线都可以用方程a x ＋by=1表示． 二、填空题6、直线043=+-k y x 在两坐标轴上截距之和为2，则实数=k __________________.7、直线053=-+y mx 经过连接A （-1，-2）、B （3，4）的线段的中点，则实数=m __________________. 8、直线024=-+y Ax 与052=+-C y x 垂直，垂足为),1(m ，则=++m C A __________________. 9、直线1=+by ax )0(≠ab 与两坐标轴围成的面积是__________________.10、已知三点A （2，-1）、B （5，7）、C （-1，-3），则通过ABC ∆的重心G 及顶点A 和原点连线的中点M 的直线方程是__________________. 三、解答题11、已知正方形边长为4，其中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边所在的直线的方程。
新课标高中数学人教A版必修二全册课件3.2.2直线的两点式方程
xy
4. 截距式方程：
1 ab
[已知截距a(与x轴交点(a,0))及截距b(与y轴
交点(0, b))不适合过原点的直线]
5. 一般式方程： Ax＋By＋C＝0 (A、B不同时为0)
特别的，l1:y＝k1x＋b1，l2:y＝k2x＋b2， 则 l1 //l2 k1＝k2，且b1≠b2；
l1⊥ l2k1·k2 ＝－1.
探究2: 如图，已知直线l与x轴的交点 为A(a, ０)，与y轴的交点为B(0, b)，其中 a≠0，b≠0，求直线l的方程.
y
B(0, b) l
O A(a, 0) x
第六页，编辑于星期日：十三点 十六分。
研读教材P.95－P.96:
1. 直线的两点式方程是什么？
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第十八页，编辑于星期日：十三点 十六分。
例1.求过下列两点的直线的两点式方程 (1) P1(2, 1)，P2(0, -3)； (2) A(0, 5)，B(5, 0).
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例2.根据下列条件求直线的方程： (1)在x轴上的截距是2，在y轴上的截距为3； (2)在x轴上的截距是－5，与y轴的交点为
3. 若l1: y＝k1x＋b1, l2 :y＝k2x＋b2， 则l1//l2与l1⊥l2应满足怎样的关系?
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讲授新课
探究1：已知两点P1(x1, y1)，P2(x2, y2) (其中x1≠x2，y1≠y2)，如何求出通过这两 个点的直线方程呢？
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(3)高AE所在直线的方程.
y
C A
O Mx B
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直线的两点式方程-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件(共43张PPT)
中点坐标.
2
某区商业中心 O 有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位 于东大街北侧、北大街东 P 处，如图所示．公园到东大街、北大街 的垂直距离分别为 1 km 和 4 km.现在要在公园前修建一条直线大道 分别与东大街、北大街交汇于 A、B 两处，并使区商业中心 O 到 A、 B 两处的距离之和最短．
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2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及 判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方 便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过 原点时两截距存在且同时等于零．
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1．过 P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是( )
A．3x＋2y＝0
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程 2.2.2 直线的两点式方程
1
学习目标
核心素养
1.掌握直线方程两点式的形式、 1.通过直线两点式方程的推导，提
特点及适用范围．(重点) 升逻辑推理的数学素养.
2.了解直线方程截距式的形式、 2.通过直线的两点式方程和截距
特点及适用范围．(重点) 式方程的学习，培养直观想象和数
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1．[变条件]本例中把“截距相等”改为“截距互为相反数”， 求直线 l 的方程．
[解] 当截距均为零时，设直线方程为 y＝kx，把点(4，－3)代入 得－3＝4k，解得 k＝－34，所求的直线方程为 y＝－34x，即 3x＋4y＝ 0.
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当截距均不为零且相反时，可设直线方程为ax＋－ya＝1，把点(4， －3)代入得4a＋－ －3a＝1，解得 a＝7，所求直线方程为7x＋－y7＝1，即 x －y－7＝0，
[解] 设直线方程的截距式为a＋x 1＋ay＝1. 则a＋6 1＋－a2＝1，解得 a＝2 或 a＝1， 则直线方程是2＋x 1＋2y＝1 或1＋x 1＋1y＝1， 即 2x＋3y－6＝0 或 x＋2y－2＝0.
人教新课标版数学高一A版必修2导学案 直线的两点式方程
3.2.2 直线的两点式方程1．掌握直线的两点式方程和截距式方程，以及各自的适用条件．2．会选择适当的方程形式求直线方程．3．能将直线的两点式方程化为截距式和斜截式．1．直线的两点式方程(1)定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝______叫做直线l 的两点式方程，简称两点式．(2)说明：与坐标轴______的直线没有两点式方程．直线的两点式方程应用的前提条件是：x 1≠x 2，y 1≠y 2，即直线的斜率不存在及斜率为零时，没有两点式方程．当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.【做一做1】 过点A(5,6)和点B(－1,2)的直线方程的两点式是( )A.y －5x －6＝y ＋1x －2B.y －62－6＝x －5－1－5C.2－6y －6＝－1－5x －5D.x －62－6＝y －5－1－52．直线的截距式方程(1)定义：如图所示，直线l 与两个坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b)(其中a ≠0，b ≠0)，则方程__________叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．(2)说明：一条直线与x 轴的交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式．【做一做2】 在x ，y 轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( )A.x －3＋y 4＝1B.x 3＋y －4＝1C.x －3－y 4＝1 D.x 4＋y －3＝1 3．中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ . 此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．【做一做3】 点P 1(5，－2)，点P 2(－7,6)，则线段P 1P 2的中点M 的坐标为__________．答案：1．(1)x －x 1x 2－x 1(2)垂直 【做一做1】 B2．(1)x a ＋y b＝1 【做一做2】 A3.x 1＋x 22 y 1＋y 22【做一做3】 (－1,2)1．理解直线的两点式方程剖析：(1)对于直线方程的两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，两点的坐标哪一个为(x 1，y 1)，哪一个为(x 2，y 2)，并不影响最终的结果，但需强调的是方程两边分式的分子、分母四个减式的减数为同一点的横纵坐标．(2)要注意方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1和方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)的形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．2．理解直线的截距式方程剖析：(1)截距式是两点式的特例，当已知直线上的两点分别是与两个坐标轴的交点(原点除外)时，由两点式可得直线方程的形式为x a ＋y b＝1(ab ≠0)，即为截距式．用截距式可以很方便地画出直线．(2)直线方程的截距式在结构上的特点：直线方程的截距式为x a ＋y b＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两个坐标轴上的截距．如x 3－y 4＝1，x 3＋y 4＝－1等就不是直线的截距式方程． 3．求直线方程时方程形式的选择技巧剖析：一般地，已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率；已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定一个定点的坐标或在y 轴上的截距；已知直线在两个坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程；已知直线上两点时，通常选用两点式方程．不论选用哪种形式的方程，都要注意各自的限制条件，以免漏掉一些特殊情况下的直线．题型一：利用两点式求直线方程【例1】 已知三角形的三个顶点A(－4,0)，B(0，－3)，C(－2,1)，求：(1)BC 边所在的直线方程；(2)BC 边上中线所在的直线方程．反思：已知两点求直线的方程，可利用两点式直接写出其方程；求中线所在的直线方程，联想到中点坐标公式即可求出中点．在没有特殊要求的条件下，以后求出的直线方程化为A x ＋B y ＋C ＝0的形式，且尽量满足：①A>0；②A ，B ，C 均是整数时，最大公约数为1.题型二：利用截距式求直线方程【例2】 已知直线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点且线段AB 的中点为P(4,1)，求直线l 的方程．反思：在涉及直线与两个坐标轴的截距问题时，常把直线方程设为截距式，由已知条件建立关于两截距的方程，解得截距的值，从而确定方程．题型三：易错辨析易错点 忽视截距为0的情形【例3】 已知直线l 过点P(2，－1)，且在两个坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．错解：由题意，设直线l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵直线l 过点(2，－1)，∴2a ＋－1a＝1， ∴a ＝1，则直线l 的方程为x ＋y －1＝0.错因分析：错解忽略了过原点时的情况．反思：截距式方程中a ≠0，b ≠0，即直线与坐标轴垂直或直线过原点时不能用截距式方程．注意在两个坐标轴上存在截距的直线不一定有截距式方程，此时在x ，y 轴上的截距均为0，即过原点．答案：【例1】 解：(1)直线BC 过点B (0，－3)，C (－2,1)，由两点式方程得y ＋31＋3＝x －0－2－0，化简得2x ＋y ＋3＝0.(2)由中点坐标公式，得BC 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0－22，－3＋12，即D (－1，－1)．又直线AD 过点A (－4,0)，由两点式方程得y ＋10＋1＝x ＋1－4＋1，化简得x ＋3y ＋4＝0. 【例2】 解：由题意，可设A (a,0)，B (0，b )，由中点坐标公式，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋02＝4，0＋b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝2，故A (8,0)，B (0,2)． 由直线方程的截距式得直线l 的方程为x 8＋y 2＝1，即x ＋4y －8＝0.【例3】 正解：设直线l 在两个坐标轴上的截距都为a .若a ＝0，则直线l 过原点，其方程为x ＋2y ＝0；若a ≠0，则直线l 的方程可设为x a ＋y a＝1， ∵直线l 过点(2，－1)，∴2a ＋－1a＝1， ∴a ＝1，则直线l 的方程为x ＋y －1＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y ＝0或x ＋y －1＝0.1．已知△ABC 三顶点A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝02．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是__________．3．直线l 过点P(－1,2)，分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线l 的方程为__________．4．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且经过点A(2,2)．求直线l 的方程．答案：1．A 2.3x ＋2y －6＝0 3.2x －y ＋4＝04．解：(1)若直线l 在两个坐标轴上的截距都为0，则l 经过O (0,0)和A (2,2)两点，其方程为x －y ＝0.(2)若截距不为0，可设截距为a ，则直线l 的方程为x y a a+＝1. ∵l 过点A (2,2)，∴22a a+＝1，解得a ＝4. ∴直线l 的方程为44x y +＝1，即x ＋y －4＝0. 由(1)(2)知，直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －4＝0.。
数学人教版必修2(A) 直线的两点式方程
直线的两点式方程教学目的：使学生掌握两点式方程及其应用，直线的截距式方程，中点坐标公式，并通过与斜截式方程、斜截式方程的对比，让学生掌握类比思想。
教学重点：两点式方程、截距式方程、中点坐标公式。
教学难点：截距式方程的理解。
教学过程一、复习提问什么是直线的斜率？什么是点斜式方程？斜截式方程？y 轴上的截距是什么意思？二、新课1、两点式方程点斜式方程是指直线经过一个点，且直线的斜率已知，则这条直线就确定，我们知道，两点确定一条直线，若已知两点，又如何求直线的方程呢？给定两个点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1≠x2时，经过这两点的直线的斜率为：k ＝1212x x y y --，把P1或P2作为定点，由点斜式方程，有y －y1＝1212x x y y --（x －x1），当y1≠y2时，可写成：121121x x x x y y y y --=--这就是经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式（two-point form ）。
思考：当x1＝x2或y1＝y2时，过这两点的直线方程是什么？2、截距式方程例3、已知直线l 与x 轴的交点为A （a ，0），与y 轴的的交点为B （0，b ），其中a ≠0，b ≠0，求直线l 的方程。
解：将A ，B 两点的坐标代入两点式，得a a xb y --=--000， 即 1=+b y a x （4）我们把直线与x 轴的交点（a ，0）的横坐标a 叫直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距为b 。
方程（4）由直线l 在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫直线的截距式方程。
3、中点坐标公式例4、已知三角形的三个顶点A （－5,0），B （3，－3），C （0,2）求BC 所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。
解：将B ，C 两点代入两点式，得303)3(2)3(--=----x y ，整理，得：5x ＋3y －6＝0，这就是直线BC 的方程。
新课标人教A版数学必修2全部课件：3.2.2直线的两点式方程
两点式求出它们的方程.(此时方程如何得到?)
例题分析
例1、已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交 点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.
x a
y b
y B
1
l
说明: （1）直线与x轴的交点 (a,0)的横坐标a叫做直线在x轴的 截距，此时直线在y轴的截距是b; (2)这个方程由直线在x轴和y轴的 截距确定,所以叫做直线方程的截 距式方程;
O
A
x
(3)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，
求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直 线的方程.
y
.
C
. A
O
.M
. B
x
补充练习
下列四个命题中的真命 A.经过定点P
0
题是(
)
(x 0 ,y 0 )的直线都可以用
§3.2.2
直线的两点式方程
课前提问：
若直线l经过点P1（1，2）， P2（3，5），
求直线l的方程.
思考：
已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其中x1≠x2, y1≠y2 ），如何求出通过这两点的直线方程呢？
直线方程的两点式
y y1 y 2 y1 x x1 x 2 x1 ( x1 x 2 , y 1 y 2 )
方程y y 0 k(x x 0 )表示; B.经过任意两个不同 都可以用方程(y C.不经过原点的直线 D.经过定点的直线都 P1(x 1 ,y 1 ),P2(x 2 ,y 2 )的点的直线 y 1 )(x 2 x 1 ) (x x 1 )(y 2 y 1 )表示; 都可以用方程 x a y b 1表示;
新课标人教A版数学必修24.示范教案(3.2.2直线的两点式方程)
3.2.2 直线的两点式方程整体设计教学分析本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式的讨论及变形.直线方程的两点式可由点斜式导出.若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程.由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便.在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式.但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式.三维目标1.让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.培养学生数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.重点难点教学重点:直线方程两点式和截距式.教学难点:关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l经过两点P1(1,2),P2(3,5),求直线l的方程.（2）已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，求通过这两点的直线方程.思路2.要学生求直线的方程，题目如下：①A(8，-1)，B(-2，4)；②A(6，-4)，B(-1，2)；③A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2).(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k及求解过程)这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢?推进新课新知探究提出问题①已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，求通过这两点的直线方程.②若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2，此时这两点的直线方程是什么？③两点式公式运用时应注意什么？④已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0，求直线l的方程.⑤a、b表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：a.利用直线的斜率公式求出斜率k;b.利用点斜式写出直线的方程.∵x 1≠x 2,k=1212x x y y --, ∴直线的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1). ∴l 的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1).① 当y 1≠y 2时,方程①可以写成121121x x x x y y y y --=--.② 由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式.注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x 1≠x 2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x 1≠x 2且y 1≠y 2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程.②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③引导学生注意分式的分母需满足的条件.④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l 的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程.因为直线l 经过(a ，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得a a xb y --=--000.① 就是by a x +=1.② 注意：②这个方程形式对称、美观,其中a 是直线与x 轴交点的横坐标，称a 为直线在x 轴上的截距，简称横截距；b 是直线与y 轴交点的纵坐标，称b 为直线在y 轴上的截距，简称纵截距.因为方程②是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式. ⑤注意到截距的定义，易知a 、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.讨论结果：①若x 1≠x 2且y 1≠y 2,则直线l 方程为121121x x x x y y y y --=--. ②当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示(因为x 1≠x 2,y 1≠y 2). ④b y a x +=1. ⑤a 、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.应用示例思路1例1 求出下列直线的截距式方程：（1)横截距是3，纵截距是5；（2)横截距是10，纵截距是-7；（3)横截距是-4，纵截距是-8.答案：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.变式训练已知Rt △ABC 的两直角边AC=3，BC=4，直角顶点C 在原点，直角边AC 在x 轴负方向上，BC 在y 轴正方向上，求斜边AB 所在的直线方程.答案：4x-3y+12=0.例2 如图1,已知三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.图1活动:根据A 、B 、C 三点坐标的特征，求AB 所在的直线的方程应选用两点式；求BC 所在的直线的方程应选用斜截式；求AC 所在的直线的方程应选用截距式.解：AB 所在直线的方程，由两点式,得)5(3)5(030----=---x y ,即3x+8y+15=0. BC 所在直线的方程，由斜截式,得y=-35x+2,即5x+3y-6=0. AC 所在直线的方程，由截距式,得25y x +-=1,即2x-5y+10=0. 变式训练如图2,已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程.图2活动:由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程.而正方形的对称轴PQ ，MN ，x 轴，y 轴则不能用截距式，其中PQ ，MN 应选用斜截式；x 轴，y 轴的方程可以直接写出.解:因为|AB|=4，所以|OA|=|OB|=2224=.因此A 、B 、C 、D 的坐标分别为(22,0)、(0,22)、(-22,0)、(0,-22).所以AB 所在直线的方程是2222yx+=1,即x+y-22=0.BC 所在直线的方程是2222y x+-=1,即x-y+22=0. CD 所在直线的方程是22722-+-x=1,即x+y+22=0.DA 所在直线的方程是22722-+x=1,即x-y-22=0.对称轴方程分别为x±y=0,x=0,y=0.思路2例1 已知△ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点.（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求中线AM 的长;（3）求AB 边的高所在直线方程.解：（1）由两点式写方程,得121515+-+=---x y ，即6x-y+11=0. （2）设M 的坐标为（x 0,y 0），则由中点坐标公式,得x 0=242+-=1,y 0=231+-=1, 故M （1，1）,AM=22)51()11(-++=25.(3)因为直线AB 的斜率为k AB =2315+-+=-6，设AB 边上的高所在直线的斜率为k, 则有k×k AB =k×(-6)=-1,∴k=61. 所以AB 边高所在直线方程为y-3=61(x-4),即x-6y+14=0.变式训练求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程. 解：设直线方程为b y a x +=1,则由题意知,有21ab=3,∴ab=4. 解得a=4,b=1或a=1,b=4. 则直线方程是14y x +=1或41y x +=1,即x+4y-4=0或4x+y-4=0. 例2 经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.解：当截距为0时，设y=kx ，又过点A(1,2)，则得k=2，即y=2x.当截距不为0时，设ay a x +=1或a y a x -+=1,过点A(1,2)， 则得a=3，或a=-1，即x+y-3=0或x-y+1=0.这样的直线有3条：2x-y=0，x+y-3=0或x-y+1=0.变式训练过点A(-5,-4)作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5. 答案：2x-5y-10=0,8x-5y+20=0.知能训练课本本节练习1、2、3.拓展提升问题：把函数y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线，设a≤c≤b ，证明f(c)的近似值是f(a)+ab ac --［f(b)-f(a)］. 证明：∵A 、B 、C 三点共线，∴k AC =k AB , 即ab a f b f ac c f c f --=--)()()()(. ∴f(c)-f(a)= a b a c --［f(b)-f(a)］,即f(c)=f(a)+ab ac --［f(b)-f(a)］. ∴f(c)的近似值是f(a)+a b a c --［f(b)-f(a)］. 课堂小结通过本节学习，要求大家：掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.理解数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.作业课本习题3.2 A 组9、10.设计感想计算机技术的发展日新月异，将计算机引进课堂是大势所趋，有条件的学校或教师可以引进或自己制作多媒体课件来辅助教学，以提高教学效果，激发学生兴趣，达到事半功倍的效果.介绍如下：在直角坐标系中，给出两个已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，但A 点B 点的坐标受变量控制，即是可变的，坐标系中显示A 、B 两点决定的直线，且显示相对应的两点式表示的直线方程，当A 、B 两点不断任意变化时，直线和直线方程也随之不断变化(通过动感引发学生的兴趣)，并伴随悦耳的音乐声，只有当x 1=x 2或y 1=y 2时，直线依然存在，而直线方程显示“不存在”(并不断闪烁)，伴以悦耳的提示音，且变幻的画面,需用鼠标点击才能继续运转.对于两点式的其他变式也可以同样如法炮制.通过这些形象、生动的画面和声音能极大引发学生学习的兴趣，达到意想不到的效果.。
高中数学,人教A版必修二 , 3.2.2 ,直线的两点式方程, 3.2.3 ,直线的一般式方程 ,课件
直线 3x－2y＝4 的截距式方程是( 3x y A. 4 －2＝1 3x y C. 4 － ＝1 －2
) x y B.1－1＝4 3 2 x y D.4＋ ＝1 －2 3
x y 【解析】 将 3x－2y＝4 化为4＋ ＝1 即得． －2 3 【答案】 D
[ 小组合作型]
直线的两点式方程
在△ABC 中，A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)， (1)求 BC 所在直线的方程； (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程．
法一
设直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a，b.
x y ①当 a≠0，b≠0 时，设 l 的方程为a＋b＝1. 4 －3 ∵点(4，－3)在直线上，∴a＋ b ＝1， 若 a＝b，则 a＝b＝1，直线方程为 x＋y＝1. 若 a＝－b，则 a＝7，b＝－7，此时直线的方程为 x－y＝7. ②当 a＝b＝0 时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为 3x＋4y＝0. 综上知，所求直线方程为 x＋y－1＝0 或 x－y－7＝0 或 3x＋4y＝0.
5 ∴M2，－3，
又 BC 边上的中线经过点 A(－3,2)． y－2 x－－3 ∴由两点式得 ＝ ， －3－2 5 2－－3 即 10x＋11y＋8＝0. 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0.
求直线的两点式方程的策略以及注意点 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断 是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴， 若满足，则考虑用两点式求方程． (2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字 母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时， 必须注意坐标的对应关系．
新人教A版必修2高中数学学案教案： 3.2.2直线的两点式方程
数学 3.2.2直线的两点式方程教案 新人教A 版必修2一、教学目标1、知识与技能：掌握直线方程的两点式和截距式的形式特点及适用范围。
2、过程与方法：在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
3、情感态度与价值观：认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：重点：直线方程的两点式。
难点：直线两点式推导过程的理解。
三、教学过程（一）创设情景，引入新课思考：利用直线的点斜式方程解答下列问题：（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ，求直线l 的方程。
[)1(232-=-x y ] （2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线方程。
（二）讲授新课1、直线的两点式方程：问题解答：因为21x x ≠，所以1212x x y y k --=，由直线的点斜式方程，得： )(112121x x x x y y y y ---=-，因为21y y ≠，所以),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--为直线的两点式方程。
说明（1）这个方程由直线上两点确定；（2）当直线没有斜率或斜率为0时，不能用两点式求出它们的方程。
（此时方程如何得到？）思考：若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？（1）当21x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：1x x =；（2）当21y y =时，直线与y 轴垂直，直线方程为：1y y =。
2、直线的截距式方程：例1、如图，已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，求直线l 的方程。
分析：由直线的两点式方程得：⇒--=--aa xb y 0001=+b y a x ，为直线的截距式方程。
人教A版高中数学必修二直线的两点式方程教案
3.2.2 直线的两点式方程教学目标1、知识与技能（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2、过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
3、情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。
教学重点、难点：1、 重点：直线方程两点式。
2、难点：两点式推导过程的理解。
教学过程：一、复习准备：1． 写出下列直线的点斜式、斜截式方程,并求直线在y 轴上的截距.①经过点A(-2,3),斜率是-1；②经过点B(-3,0),斜率是0；③经过点()22,C -,倾斜角是 60；二、讲授新课：1.直线两点式方程的教学:① 探讨:已知直线l 经过111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)两点,如何求直线的点斜式方程? 211121()y y y y x x x x --=-- 两点式方程:由上述知, 经过111222(,),(,)p x y p x y (其中1212,x x y y ≠≠)两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- ⑴, 我们称⑴为直线的两点式方程,简称两点式. 若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？2．举例例1:求过(2,1),(3,3)A B -两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式.练习：教材P97面1题例2：已知直线l 与x 轴的交点为A （a ，0），与y 轴的交点为B （0，b ），其中a ≠0，b ≠0求l 的方程② 当直线l 不经过原点时,其方程可以化为1x y a b+= ⑵, 方程⑵称为直线的截距式方程,其中 直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b .③ 中点:线段AB 的两端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,其中212122x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩例2:已知直线经过(2,0),(0,3)A B 两点,则AB 中点坐标为______,此直线截距式方程为______、与x轴y 轴的截距分别为多少？练习：教材P97面2题、3题例3、已知∆ABC 的三个顶点是A(0,7) B(5,3) C(5,-3)，求（1） 三边所在直线的方程；（2）中线AD 所在直线的方程；（3）高AE 所在直线的方程。
人教A版高中数学必修二导学案直线的两点式方程
3.2.2直线的两点式方程一、学习目标:知识与技能：（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
过程与方法：让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
情感态度与价值观：（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。
二、学习重点、难点：1、 重点：直线方程两点式。
2、难点：两点式推导过程的理解。
三、使用说明及学法指导:注意逐字逐句仔细审题，认真思考阅读教材、独立规范作答。
牢记直线方程的表达形式及解题方法规律。
平行班完成学案AB 类问题.四、知识链接：过点),(000y x P ，斜率是k 的直线l 上的点，其坐标都满足方程)(00x x k y y -=-它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。
斜截式方程：b kx y+= 理解“截距”与“距离”两个概念的区别.五、学习过程：A 问题1、利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程. （2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线方程。
由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程.B 问题2、若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？例1已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，求直线l 的方程。
B 例2 已知三角形的三个顶点A （-5，0），B （3，-3），C （0，2），求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。
六、达标检测：A .１求过下列两点的直线的两点式方程;(1)A(2,1),B(0,-3); (2)A(0,5),B(5,0)A2.根据下列条件求直线的方程，并画出图形：（１）在x 轴上的截距是２，在y 轴上的截距是３;（２）在x 轴上的截距是－５，在y 轴上的截距是６.B .B3.根据下列条件,求直线的方程:(1)过点（０，５），且在两坐标轴上的截距之和为２(2)过点（５，０），且在两坐标轴上的截距之差为２４一条直线经过点（－２，２），并且与两坐标轴围成的三角形的面积是１，求此直线的方程。
人教新课标版数学高一A版必修2目标导引 直线的两点式方程
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3.2.2 直线的两点式方程
一览众山小
三维目标
1.探索并掌握直线方程的两点式和截距式形式，了解两点式方程的推导过程.注意两种方程形式的局限性，能熟练地根据题目的条件写出直线的两点式和截距式方程.
2.结合直线的两点式方程的推导过程，体会两点式方程的特点和几何特性.
3.通过对直线的两点式方程和截距式方程的学习，认识到真理的本质统一性，培养和激发学习自然科学知识的兴趣.
学法指导
本节主要介绍了直线方程的两点式和截距式的形式，通过学习，要掌握由已知两个点的坐标导出直线方程的方法，进一步地学习直线方程的截距式,并能根据条件熟练地写出直线的方程.学习本节知识要掌握直线方程的两种形式，会应用这两种方程.要清楚各种直线方程的局限性，把握求直线方程的灵活性，运用数形结合、分类讨论等数学方法和由特殊到一般的思维方式理解直线方程的两点式和截距式.
精心校对。
2.2.2 直线的两点式方程(课件)高二数学选择性必修第一册(人教A版2019)
能力提升
题型二
已知直线与坐标轴围成的三角形面积求直线方程
例 题
求过点A 4, 2 且与坐标轴围成的三角形面积为2 的直线方程.
【详解】
易知直线斜率存在，设直线方程y 2 k x 4 ，
a b
ab 3
a2
a 2
解方程组得：
或
2 0
b 1
b 5
a b 1
x
y
x y
所以方程为
1或 1
2 1
2 5
整理得： x 2y 2 0 或 5 x 2 y 10 0 ，即为所求.
能力提升
总结
第1步
如何利用截距关系求直线方程？
两点确定一条直线, 所以直线 l 是唯一确定的.
也就是说, 对于直线 l 上的任意一点P ( x , y ), 它的坐标与点P1 , P2 的
坐标之间具有唯一确定的关系. 这一关系是什么呢？
练习
利用所学知识，求经过两点P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 的直线的方程.
y2 y1
x x1
两点式方程：
y2 y1 x2 x1
① 两点式方程由直线上任意两定点P1 x1 , y1 、P2 x2 , y2 确定；
② 两点式结构特点：左边“y”，右 边“x”，双分式；
③ 没有两点式的直线：x1 x（平行于
y 轴）或 y1 y（平行于
x 轴）
2
2
（i）当x1 x2时, 直线P1 P2 垂直于x 轴, 直线方程为x x1 0 即x x1 ;
求边AB所在直线的方程, 以及这条边上的中线CD 所在直线的方程.
高中数学必修二(人教新A版)教案24直线的两点式方程
教学环节与活动设计
小结
1．直线方程的各种形式总结为如下表格：
直线名称
已知条件
直线方程
使用范围
点斜式
k存在
斜截式
k存在
两点式
（
截距式
2.中点坐标公式:已知 ,则AB的中点 ,则
教
学
小
结
增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解。
课
后
反
思
3
思考：1．观察方程 ，它的形式具有什么特点？
2．直线 在 轴上的截距是什么？
3．如何从直线方程的角度认识一次函数 ？一次函数
使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式
使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形。
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高中数学必修二教学设计
教
学
设
计
例4
已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。
教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较。
把直线 与 轴的交点为 纵坐标 叫做直线 在 轴上的截距．方程（2）由直线的斜率 和它在 轴上的截距 确定，所以方程（2）叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
发现当 时，直线与 轴垂直，所以直线方程为： ；当 时，直线与 轴垂直，直线方程为： 。
例3已知直线 与 轴的交点为A ，与 轴的交点为B ，其中 ，求直线 的方程。
教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线 的方程？那种方法更为简捷？然后由求出直线方程：
高中数学直线的两点式方程教案 新课标 人教版 必修2(A)
使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。
教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当 时，直线与 轴垂直，所以直线方程为： ；当 时，直线与 轴垂直，直线方程为： 。
问题
设计意图
师生活动
3、例3教学
已知直线 与 轴的交点为A ，与 Biblioteka 的交点为B ，其中 ，求直线 的方程。
教师提出：（1）到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？
（2）要求一条直线的方程，必须知道多少个条件？
7、布置作业
巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力。
学生课后完成
让学生学会根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题。
教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较。
5、课堂练习
第102页第1、2、3题。
学生独立完成，教师检查、反馈。
6、小结
增强学生对直线方种四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）互相之间的联系的理解。
使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形。
教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线 的方程？那种方法更为简捷？然后由求出直线方程：
教师指出： 的几何意义和截距式方程的概念。
4、例4教学
已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。
教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：