广西省钦州市2021届新高考数学一模试卷含解析

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广西钦州市崇左市2021届高三上学期第一次教学质量检测数学(理)答案

３钦州市、崇左市２０２１届高三第一次教学质量监测理科数学参考答案一、（６０分）１．Ｄ（犃＝｛狓狘狓（狓－１）＞０｝，解得狓＞１或狓＜０，故犃＝（－ ∞ ，０） ∪ （１，＋ ∞ ），故瓓犝犃＝［０，１］．底面是一个直角梯形，犃犇 ⊥ 犃犅，犃犇 ∥ 犅犆，犃犇＝４，犃犅＝犅犆＝犘犗＝２，且犘犗 ⊥ 底面犃犅犆犇，∴ 该四棱锥的体积为犞＝１犛犃犅犆犇犺故应选Ｄ．）２．Ｃ（∵ 狕＝（ｉ－２）（１＋ｉ）＝ｉ＋ｉ２－２－２ｉ＝－３－ｉ，因此复数狕对应点的坐标为（－３，－１），在第三象限．故应选Ｃ．）３．Ａ（由题意，若犪＞狘犫狘，则犪＞狘犫狘 ≥ ０，则犪＞犫，所以犪狘犪狘＝犪２，则犪狘犪狘＞犫狘犫狘成立，当犪＝１，犫＝－２时，满足犪狘犪狘＞犫狘犫狘，但犪＞狘犫狘不一定成立，所以 “ 犪＞狘犫狘 ” 是“犪狘犪狘＞犫狘犫狘 ” 的充分不必要条件．故应选Ａ．）４．Ｂ（由题意，狔２＝４狓的焦点犉（１，０），准线为狓＝－１，设抛物线上的动点犘（狓０，狔０），根据抛物线的定义可知，狘犘犉狘＝１＋狓０，因为狓０ ∈ ［０，＋ ∞ ），所以狘犘犉狘＝１＋狓０ ≥ １，故抛物线狔２＝４狓上的点与其焦点的距离的最小值为１．故应选Ｂ．）＝１ × （２＋４） × ２ × ２＝４．３２故应选Ｄ．）烄狓＋狔＋１ ≥ ０８．Ｃ（不等式组烅３狓－２狔＋６ ≥ ０表示的平烆５狓＋狔－３ ≤ ０面区域为图中的 △ 犃犅犆（包括边界），５．Ａ（∵ 犗犃→ ⊥ 犃犅→ ，狘犗犃→ 狘＝１，由图知，平移直线狕＝狓－２狔，当经过点犆 ∴ 犗犃→ · 犃犅→ ＝犗犃→ · （犃犗→ ＋犗犅→ ）＝－狘犗犃→ 狘２时，狕狓２取得最小值，＋犗犃→ · 犗犅→ ＝－１＋犗犃→ · 犗犅→ ＝０，犗犃→ · 犗犅→ ＝１，＝－狔∴ 犗→犃 · （犗→犃＋犗→犅）＝犗→犃２＋犗→犃 · 犗→犅＝２．易得犆（０，３），即狕＝０－６＝－６．故应选Ｃ．）故应选Ａ．）１１６．Ｂ（由折线图可知Ａ、Ｄ项均正确，该年第９．Ｃ（犫＝ｌｏｇ３２ ∈ （０，１），犮＝３３＞２３＞１，１１１一季度ＧＤＰ总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一．河南均第四，共２个，故Ｃ项正确；今年浙江省的ＧＤＰ增长率最低．故Ｂ项不正确．故应选Ｂ．）７．Ｄ（根据三视图可得直观图为四棱锥犘－而狔＝狓３为增函数，故３３＞２３，即犮＞犪．故犮＞犪＞犫．故应选Ｃ．）１０．Ｃ（判断框中的条件应该满足经过第一次循环得到１，２犃犅犆犇，如图：经过第二次循环得到１２经过第三次循环得到１２＋２，３＋２＋３，３４ …故判断框中的条件应该为犛＝犛＋犻．犻＋１故应选Ｃ．）＋５２５３３１１．Ｃ（∵ 犪２＋犫２－犮２＝犪犫，１４．１（二项式（犪狓２＋１）５展开式的通项为∴ 可得ｃｏｓ犆＝犪２＋犫２－犮２２犪犫＝犪犫１２犪犫＝２犜狉１＝犆狉犪５－狉狓槡狓１０－５狉， ∵ 犆 ∈ （０，π ），∴ 犆＝ π，３令１０－５狉＝０，则２狉＝４． ∵ ∠ 犃＝ π４，犮＝３，∵ 二项式（犪狓２＋１）５展开式中的常数项由正弦定理犪犮，可得：犪槡狓∴ ３，解得犪＝槡６．槡３２ｓｉｎ犃＝ｓｉｎ犆槡２＝为５，２∴ 犆４犪５－４＝５． ∴ 犪＝１．）１５．３＋２槡２（函数狔＝１＋１的图象可由狓－１故应选Ｃ．）１２．Ａ（如图，连结犘犉２、犗犕，∵ 犕是犘犉１的狔＝１狓向右平移１个单位，再向上１个单位得中点，到，又狔＝１狓是奇函数，故其对称中心为（０，０），故犳（狓）的对称中心为（１，１），所以２犪＋犫＝１，１＋１犪犫＝（１犪＋１）（２犪＋犫）＝３＋犫犫犪＋２犪犫≥ ３＋２槡２，当且仅当犫＝槡２犪时等号成立．）１６．［０，２槡２］（犳（狓）＝ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓＝２狘ｓｉｎ狓∴ 犗犕是 △ 犘犉１犉２的中位线，∴ 犗犕 ∥ 犘犉２，且狘犘犉２狘＝２狘犗犕狘＝２犪．－ｃｏｓ狓狘＝２槡２狘ｓｉｎ（狓－ π４）狘 ∈ ［０，２槡２］．）∵ 犘犉１与以原点为圆心犪为半径的圆相切， ∴ 犗犕 ⊥ 犘犉１，可得犘犉２ ⊥ 犘犉１， △ 犘犉１犉２中，狘犘犉１狘２＋狘犘犉２狘２＝狘犉１犉２狘２，三、（７０分）１７．（１）由题知，犪２＝１６，∴ 犪１＝犛１＝犪－４２＝４， ①３……………………………… １分根据双曲线的定义，得狘犘犉１狘－狘犘犉２狘＝２犪， ∴ 狘犘犉１狘＝狘犘犉２狘＋２犪＝４犪，代入 ① 得 ∴ ３犛狀＝犪狀＋１－４，∴ 犛＝１犪狀＋１－４，（４犪）２＋（２犪）２＝狘犉１犉２狘２，１４∴ （２犮）２＝狘犉１犉２狘２＝２０犪２，解之得犫＝当狀 ≥ ２时，犛狀－１＝３犪狀－３，２犪．由此可得双曲线的渐近线方程为狔＝ ± ２狓．故应选Ａ．）两式相减可得犪狀＝１犪３狀＋１－１犪狀３，即犪狀＋１＝二、（２０分）４犪狀， ………………………………………… ４分１３．－１（因为 α ∈ （π ，３ π ），ｓｉｎα ＝４，所因为犪２＝４，数列｛犪狀｝为等比数列，首项为７以 α ∈ （π ，π ２２２），所以ｔａｎα ＝－４，３５犪１４，公比为４，所以通项公式为犪狀＝４狀，狀 ∈ 犖．………………………………………… ６分ｔａｎα ＋ｔａｎ π（２）犫狀＝ｌｏｇ２犪狀＝ｌｏｇ２４狀＝２狀，则ｔａｎ（α ＋ π ）＝４＝１１１１４１－ｔａｎαｔａｎ π４∴ ＝＝（－犫狀犫狀＋１２狀 × ２（狀＋１）４狀－４＋１１）， …………………………………… ８分３＝－１．）狀＋１１＋４７３ ∴ 犜狀＝１４（１－１２＋１－１２３＋ … ＋１－狀，狀１１犆１２＝５＝５＝５犮２１）＝１（１－１）＝狀 … １１分２，０），犈（０，１，１），犆犈→ ＝（－２，１，１），犆犅→ ＝（－２，狀＋１４狀＋１４（狀＋１）２，０），犅犆→＝（２，２，０）， …………………… ６分∴ 犜２０２０＝５０５…………………… １２分设平面犆犅１犈的法向量为狀＝（狓，狔，狕），２０２１狀 · 犆犈→ ＝－２狓＋狔＋狕＝０１８．（１）抽取的５人中男员工的人数为５４５由｛狀 · 犆犅→＝－２狓＋２狔＝，取狓＝１，０２７＝３，女员工的人数为５× １８＝２． ……… ４分得狀＝（１，１，１）， ………………………… ９分设直线犅犆１与平面犅１犆犈所成角为 θ ，狘狀 ·犅犆→ 狘（２）由（１４５）可知，抽取的５名员工中，有男员则ｓｉｎθ ＝狘ｃｏｓ＜狀，犅犆→ ＞狘＝１狘狀狘狘犅犆→狘工３人，女员工２人．所以，随机变量犡的所有可能取值为０，１，＝狘２ × １＋２ × １狘＝４＝槡６，槡１＋１＋１ × 槡４＋４＋０２槡６３２．…………………………………………… ６分即直线与平面所成角的正弦值为槡６犆３犆０１犅犆１３．根据题意，犘（犡＝０）＝３２３１０，犘（犡＝ ………………………………………… １２分犆２犆１６犆１ · 犆２３犪＝２１）＝３２３１０，犘（犡＝２）＝３２３１０烄烄犪＝２１随机变量的分布列是：２０．（１）由题意知烅犪＝２烅犮＝１，烆犪２＝犫２＋犮２烆犫＝槡３ ………………………………………… ３分由于椭圆焦点在狓轴上，所以椭圆犆的方程为狓２狔２ …………………………… 分数学期望犈犡＝０＋１ × ６＋２ × ３＝６．４＋３＝１．４１０１０５犿２狀２…………………………………………… １０分（２）设犘（犿，狀），则犙（犿，－狀），＋＝４３（３）狊２＝狊２． ………………………… １２分１狀２＝３（１－犿）． ……………………… ６分１９．（１）∵ 犃犅 ⊥ 平面犅犆犆１犅１，在三棱柱犃犅犆－犃１犅１犆１中，有犃犅 ∥ 犃１犅１，∴ 犃１犅１ ⊥ 平面犅犆犆１犅１，得犃１犅１ ⊥ 犅犆１，………………………………………… ２分４依题意可知－２＜犿＜２，且犿 ≠ ０．直线犃犘的方程为狔＝狀（狓＋２），直线犿＋２∵ 四边形犅犆犆１犅１是边长为２的正方形， ∴ 犅犆１ ⊥ 犅１犆，而犃１犅１ ∩ 犅１犆＝犅１，犅犙的方程为狔＝狀（狓－２）．２－犿 ……… ８分∴ 犅犆１ ⊥ 平面犃１犅１犆； ……………… ４分烄狔＝狀（狓＋２）烄狓＝４（２）由（１）知，犃犅 ⊥犅犅１，平面犅犆犆１犅１，又犅犆 ⊥由犿＋２解得犿，烅狔＝狀（狓－２）烅狔＝２狀烆２－犿烆犿 ∴ 以犅为坐标原点，分别以犅犆，犅犅１，犅犃所在直线为狓，狔，狕轴，建立如图所示的空间直即犕（４犿，２狀）犿． ……………………… １１分角坐标系，所以犘，犕两点的横坐标之积为犿 · ４犿４． ………………………………………… １２分２１．（１）由题可知犳（狓）的定义域为（０，＋ ∞ ），……………………………………… １分函数犳（狓）＝１狓２＋ｌｎ狓，犳 ′ （狓）＝狓＋１＞２狓０，则犅（０，０，０），犆（２，０，０），犅１（０，２，０），犆１（２，所以函数犳（狓）在区间［１，犲］上是增函数．１１１犆犆 ×．＝犡０１２犘１１０６１０３１０………………………………………… ３分｛犳（狓）在区间［１，犲］上的最大值为犳（犲）＝代入圆的方程得（３槡３狋）２（１狋）２４．１２，最小值为（）１ ………… 分＋２＋２＝２犲＋１犳１＝２．５ ………………………………………… ７分（２）犳（狓）＞（１－犪）狓２，令犵（狓）＝犳（狓）－（１整理得：狋２＋３槡３狋＋５＝０，狋１＋狋２＝－３槡３，－犪）狓２＝ｌｎ狓＋（犪－１２１）狓２，犵 ′ （狓）＝（２犪－１）狓狋１狋２＝５．由狋１＋狋２＜０且狋１狋２＞０，………… ９分＋狓． ……………………………………… ６分可知狘犘犃狘＋狘犘犅狘＝狘狋１狘＋狘狋２狘＝－（狋１当１时，（），（）１＋狋２）＝３槡３． …………………………… １０分犪 ≥ ２犵 ′ 狓＞０犵１＝犪－２≥２３．（１）∵ 狘２狓＋３狘－狘狓－１狘 ≤ ３，０，显然犵（狓）＞０有解．１………………… ８分１ ∴ 狓 ≥ １２狓＋３－狓＋１ ≤ ３当犪＜２时，由犵 ′ （狓）＝（２犪－１）狓＋狓＝烄－３＜狓＜１０得狓＝１，或烅２槡１－２犪当狓 ∈ （０时，犵′（狓）＞０，烆２狓＋３＋狓－１ ≤ ３烄狓 ≤ －３或烅２． ………… ３分当（）时，（），烆－２狓－３＋狓－１ ≤ ３狓 ∈＋ ∞ 犵′ 狓＜０狓 ≥ １烄－３＜狓＜１２烄狓 ≤ －３故犵（狓）在狓＝处取得最大值∴ ｛狓 ≤ －１或烅１或烅２．１－２犪烆狓 ≤ ３烆狓 ≥ －７犵（＝－１－１ｌｎ（１－２犪）．∴ －７狓１． …………………… ５分２２≤≤ ３若使犵（狓）＞０有解，只需－１２－１ｌｎ（１－２即不等式犳（狓） ≤３的解集为［－７，１］．３２犪）＞０，解得犪＞１－１．２２犲………………………………………… ６分（２）犳（狓）＞２犪－狘２狓－２狘，得狘２狓＋３狘＋狘２狓－２狘＞２犪． ………………………… ７分结合犪＜１２，此时犪的取值范围为（１２－１，２犲∵ 狘２狓＋３狘＋狘２狓－２狘 ≥ 狘２狓＋３－２狓＋１）． ………………………………………１１分２２狘＝５，当且仅当－３２≤ 狓 ≤ １取 “＝ ”． ……综上所述，犪的取值范围为（１－１，＋ ∞ ）． ………………………………………… ９分５２２犲∴ ２犪＜５，犪＜２．…………………………………………… １２分２２．（１）由 ρ ＝４ｓｉｎθ 得 ρ ２＝４ρｓｉｎθ ， …… 所以实数犪的取值范围是（－ ∞ ，５）． …２ ………………………………………… ２分从而有狓２＋狔２＝４狔，即狓２＋（狔－２）２＝４．……………………………………………… ４分（２）设直线犾的参数方程为………………………………………… １０分烄狓＝３＋狋ｃｏｓ π６烄狓＝３＋槡３狋，即２． …… ５分烅狔＝２＋狋ｓｉｎ π烆６烅１狔＝２＋狋烆２。

广西省钦州市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析

广西省钦州市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆22y a +22x b =1(a>b>0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F(0，-c)，其中c 为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（） A．2B．2C．14D．14【答案】A 【解析】【分析】联立直线与椭圆方程求出交点A ，B 两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式，解方程求解即可. 【详解】联立方程222211y x a b y x a b⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解方程可得0x y a =⎧⎨=⎩或0x b y =-⎧⎨=⎩，不妨设A(0，a)，B(-b ，0)，由题意可知，BA u u u r ·BF u u u r=0，因为(),BA b a =u u u r ，(),BF b c =-u u u r，由平面向量垂直的坐标表示可得，0b b ac ⋅-=，因为222b a c =-，所以a 2-c 2=ac ，两边同时除以2a 可得，210e e +-=，解得e=2或12e -=，所以该椭圆的离心率为2. 故选：A 【点睛】本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 2．已知集合{(,)|A x y y ==，{}(,)|2B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】C 【解析】【分析】集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数. 【详解】由题可知：集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立y 2y x =，2x =，整理得215x =，即x =±，当x =时，20y x =<，不满足题意；故方程组有唯一的解55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故A B ⎧⎫⎪⎪⋂=⎨⎬⎪⎪⎝⎭⎩⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.3．已知定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[2,2)x ∈-时，1()43xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()33log 6log 54f f -+=（）A ．32B ．33log 22- C ．12-D ．32log 23+ 【答案】A 【解析】【分析】因为给出的解析式只适用于[2,2)x ∈-，所以利用周期性，将3(log 54)f 转化为32(log )3f ，再与()3log 6f -一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果.【详解】Q 定义在R 上的函数()f x 的周期为43332(log 54)(log 544)(log )3f f f ∴=-=，Q 当[2,2)x ∈-时，1()()43x f x x =--，3log 6[2,2)-∈-，32log [2,2)3∈-，()()33log 6log 54f f ∴-+332log log 6333112()(log 6)4()log 4333-=---+-- 11333log 6log 233112()()(log 6log )8333=++--3336log (6)822=++⨯-32=. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题. 4．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（）.A ．37,48⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【详解】第一次循环：1,22S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==；第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115,5222216S n =+++==；此时满足输出结果，故715816P <≤. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 5．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（）A ．2B ．0C ．1-D ．1【答案】D 【解析】【分析】推导出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由此可得出()()20200f f =，代值计算即可. 【详解】由于偶函数()y f x =的图象关于点()1,0对称，则()()f x f x -=，()()20f x f x ++-=，()()()2f x f x f x ∴+=--=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由于当10x -≤≤时，()21f x x =-+，则()()()2020450501f f f =⨯==.故选：D. 【点睛】本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若1F 、M 是线段AB 的三等分点，则椭圆的离心率为( )A ．12B ．2C D【分析】根据题意，求得,,A M B 的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果. 【详解】由已知可知，M 点为1AF 中点，1F 为BM 中点，故可得120F A M x x x +==，故可得A x c =；代入椭圆方程可得22221c y a b +=，解得2b y a =±，不妨取2A b y a=，故可得A 点的坐标为2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则202b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，易知B 点坐标22,2b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将B 点坐标代入椭圆方程得225a c = 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得,,A B M 点的坐标，属中档题. 7．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 【答案】D 【解析】【分析】由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于ϕ的方程，对k 赋值即可求解. 【详解】由题意知，函数()sin(2)f x x ϕ=-的最小正周期为22T ππ==,即88T π=, 由函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式可得，将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后的解析式为 ()sin 2sin 284g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为函数()g x 的图象关于y 轴对称，所以,42k k z ππϕπ--=+∈，即3,4k k z πϕπ=-+∈，所以当1k =时，ϕ有最小正值为4π. 故选：D 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 8．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像【答案】B 【解析】【分析】化简到()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据定义域排除ACD ，计算单调性知B 正确，得到答案.【详解】22tan ()cos 2sin 2cos 221tan 4x f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪+⎝⎭，故函数的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故A 错误；当3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,224x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数单调递增，故B 正确；当4πx =-，关于8x π=的对称的直线为2x π=不在定义域内，故C 错误.平移得到的函数定义域为R ，故不可能为()y f x =，D 错误. 故选：B . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.9．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（）A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18% 【答案】D 【解析】【分析】A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可.B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判断.C.食品占19.9%，再看第二个图，分清2.5%是在CPI 一篮子商品中，还是在食品中即可.D. 易知猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%. 【详解】A. CPI 一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.B. CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.D. 猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%，故错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10．已知向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v ，，则向量OA u u u r 在向量OB uuu r上的投影是（）A ．B ．C ．25-D ．25【答案】A 【解析】【分析】先利用向量坐标运算求解OB uuu v ，再利用向量OA u u u v 在向量OB uuu v上的投影公式即得解【详解】由于向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v，故()21OB =u u u v，向量OA u u u v 在向量OB uuu v上的投影是OA OB OB⋅==u u u v u u u vu u u v . 故选：A 【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.11．()252(2)x x -+的展开式中含4x 的项的系数为（） A ．20- B ．60 C ．70 D ．80【答案】B 【解析】【分析】展开式中含4x 的项是由5(2)x +的展开式中含4x 和2x 的项分别与前面的常数项2-和2x 项相乘得到，由二项式的通项，可得解【详解】由题意，展开式中含4x 的项是由5(2)x +的展开式中含4x 和2x 的项分别与前面的常数项2-和2x 项相乘得到，所以()252(2)x x -+的展开式中含4x 的项的系数为1335522260C C -⨯+⨯=．故选：B 【点睛】本题考查了二项式系数的求解，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（） A ．2B ．32C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的求和公式即可得出．【详解】 ∵a 1=12，S 5=90， ∴5×12+542⨯ d=90，解得d=1．故选C ．【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广西省钦州市2021届新高考数学仿真第一次备考试题含解析

广西省钦州市2021届新高考数学仿真第一次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（） A．3y x =±B．y =C．2y x =± D．y =【答案】A 【解析】【分析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b =，代入双曲线的渐近线方程可得答案. 【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b -=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+，即223a b =，∴b a ==双曲线的渐近线方程为：x y x==, 故选：A ．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．2．已知x ，y 满足2y xx y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（）A ．4B ．34C ．211D ．14【解析】试题分析：先画出可行域如图：由{2y x x y =+=，得(1,1)B ，由{x a y x==，得(,)C a a ，当直线2z x y =+过点(1,1)B 时，目标函数2z x y =+取得最大值，最大值为3；当直线2z x y =+过点(,)C a a 时，目标函数2z x y =+取得最小值，最小值为3a ；由条件得343a =⨯，所以14a =，故选D.考点：线性规划.3．已知集合{}2|2150A x x x =-->，{}|07B x x =<<，则()R A B ðU 等于( )A ．[)5,7-B ．[)3,7-C ．()3,7-D ．()5,7-【答案】B 【解析】【分析】解不等式确定集合A ，然后由补集、并集定义求解．【详解】由题意{}2|2150A x x x =-->{|3x x =<-或5}x >，∴{|35}R A x x =-≤≤ð，(){|37}R A B x x =-≤<U ð．故选：B. 【点睛】本题考查集合的综合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题型． 4．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N *=-∈．则“2c <”是“{}na 为递增数列”的（）条件．A ．必要而不充分B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要【答案】A 【解析】根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得12c n <+，由此得到若{}n a 是递增数列，则32c <，根据推出关系可确定结果. 【详解】若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->，即()()221n c n c +->-，化简得：12c n <+，又n *∈N ，1322n ∴+≥，32c ∴<，则2c <¿{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．故选：A . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.5．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（）A B ．14C ．116D ．14或4 【答案】C 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解. 【详解】分析知，0m >.讨论：当1a >时，22m m a ma m ⎧=⎨=⎩，所以2m a =，2m =，所以a =01a <<时，22m ma m a m⎧=⎨=⎩，所以12ma =，14m =，所以116a =.综上，116a =或a = C. 【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养. 6．已知()4sin 5πα+=，且sin 20α<，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．7B ．7-C ．17D ．17-【答案】A【分析】由()4sin 5πα+=及sin 20α<得到sin α、cos α，进一步得到tan α，再利用两角差的正切公式计算即可. 【详解】因为()4sin 5πα+=，所以4sin 5α=-，又sin 22sin cos 0ααα=<，所以3cos 5α=，4tan 3α=-，所以41tan 13tan 7441tan 13πααα---⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭-. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.7．在ABC V 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A ．π3B ．π6C ．π2D ．π4【答案】A 【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得sin tan 2sin sin A B B A =，结合sin 0A >，可得tan 2sin B B =，结合范围()0,B π∈，可得sin 0B >，可得1cos 2B =，即可得解B 的值．【详解】解：∵()tan 2sin 2sin a B b B C b A =+=， ∴由正弦定理可得：sin tan 2sin sin A B B A =， ∵sin 0A >， ∴tan 2sin B B =， ∵()0,B π∈，sin 0B >， ∴1cos 2B =， ∴3B π=．故选A ．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（） A ．2或3 B ．2或3C ．2或3D ．2或3【答案】D 【解析】【分析】设1PF m =，2PF n =，根据125cos 7PF F ∠=和抛物线性质得出257PF m =，再根据双曲线性质得出7m a =，5n a =，最后根据余弦定理列方程得出a 、c 间的关系，从而可得出离心率．【详解】过P 分别向x 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M 、N ，不妨设1PF m =，2PF n =，则121125cos 7mMF PN PF PF PF F ===∠=， P Q 为双曲线上的点，则122PF PF a -=，即527mm a -=，得7m a =，5n a ∴=，又122F F c =，在12PF F ∆中，由余弦定理可得2225494257272a c a a c+-=⨯⨯，整理得22560c ac a -+=，即2560e e -+=，1e >Q ，解得2e =或3e =. 故选：D. 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题． 9．已知边长为4的菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AN NM =，则AM AN ⋅=u u u u r u u u r（）A ．16B ．14C ．12D ．8【答案】B 【解析】【分析】取AM 中点O ，可确定0AM ON ⋅=u u u u r u u u r ；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得2AM uuuu r ，利用()AM AN AM AO ON ⋅=⋅+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r可求得结果.【详解】取AM 中点O ，连接ON ，AN NM =Q ，ON AM ∴⊥，即0AM ON ⋅=u u u u r u u u r.60DAB ∠=o Q ，120ADM ∴∠=o ，()22222cos 416828AM DM DADM DA DM DA ADM ∴=-=+-⋅∠=++=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r，则()21142AM AN AM AO ON AM AO AM ON AM ⋅=⋅+=⋅+⋅==u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r .故选：B . 【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解.10．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（）A ．2B ．24C ．16D ．14【答案】D 【解析】【分析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求解. 【详解】做出满足1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图阴影部分，根据图象，当目标函数23z x y =+过点A 时，取得最小值，由42x x y =⎧⎨-=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)A ，所以23z x y =+的最小值为14. 故选：D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.11．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A ．2?B ．103C ．10?D ．22【答案】B 【解析】由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为13k '=-，即13b a =，所以21()b e a=+=10，选B. 12．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同【答案】A 【解析】【分析】设2016年高考总人数为x ，则2019年高考人数为1.2x ，通过简单的计算逐一验证选项A 、B 、C 、D. 【详解】设2016年高考总人数为x ，则2019年高考人数为1.2x ，2016年高考不上线人数为0.3x ， 2019年不上线人数为1.20.280.3360.3x x x ⨯=>，故A 正确；2016年高考一本人数0.3x ，2019年高考一本人数1.20.260.3120.3x x x ⨯=>，故B 错误； 2019年二本达线人数1.20.40.48x x ⨯=，2016年二本达线人数0.34x ，增加了0.480.340.410.34x xx-≈倍，故C 错误；2016年艺体达线人数0.06x ，2019年艺体达线人数1.20.060.072x x ⨯=，故D 错误. 故选：A. 【点睛】本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广西省钦州市2021届新高考数学模拟试题(3)含解析

广西省钦州市2021届新高考数学模拟试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}2320M x x x =++>，集合1{|()4}2xN x =≤ ，则 M N ⋃=（）A ．{}2x x ≥- B ．{}1x x >-C ．{}2x x ≤-D ．R【答案】D 【解析】试题分析：由题{}{}2320|21M x x x x x x =++=--或，{}2111|()4|()|2222x x N x x N x x -⎧⎫⎪⎪⎧⎫⎛⎫=≤=≤==≥-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭，M N R ∴⋃=，选D考点：集合的运算2．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A ．2B ．83C ．6D ．8【答案】A 【解析】【分析】先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果. 【详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2，所以该四棱锥的体积为()11V 1222232=⨯⨯+⨯⨯=. 故选A 【点睛】本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型. 3．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A ．53π B ．2πC ．52π D ．3π【答案】A 【解析】【分析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．再由球与圆柱体积公式求解．【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．则几何体的体积为32145111233V πππ=⨯⨯+⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．4．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m=+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（） A ．14B ．15C ．13D ．18【答案】D 【解析】【分析】设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值；【详解】解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由24x my m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my m --=， ∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-.又由24x my y x=⎧⎨=⎩，得240y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ，∵||3||BD OA =， ∴)()()224212(191616my y m m +-=+，又∵()()22212121241616y y y y y y m m -=+-=+， ∴代入解得18m =. 故选：D 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题. 5．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（） A ．{0,1,2} B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-【答案】B 【解析】【分析】先化简集合A,再求U C A . 【详解】由21x < 得： 11x -<< ，所以{}0A = ，因此{}1,1,2U A =-ð ，故答案为B 【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力. 6．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】用0x <排除B ，C ；用2x =排除D ；可得正确答案. 【详解】解：当0x <时，2410x x -+>，0x e >，所以()0f x >，故可排除B ，C ；当2x =时，()2230f e =-<，故可排除D ．故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象，属基础题．7．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（） A ．3d = B ．1012a =C ．20280S =D ．14a =-【答案】C 【解析】【分析】由()()1101056105402a a S a a +⋅==+=，和65a =，可求得53a =，从而求得d 和1a ，再验证选项.【详解】因为()()1101056105402a a S a a +⋅==+=，65a =，所以解得53a =，所以652d a a =-=，所以10645813a a d =+=+=，154385a a d =-=-=-，20120190100380280S a d =+=-+=，故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.8．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（） A ．多1斤 B ．少1斤C ．多13斤 D ．少13斤【答案】C 【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a ，则123891043a a a a a a ++=++=，，由等差数列的性质得2929441,1,1333a a a a =∴-=-=＝，故选C9．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A ．1213B ．1314C ．2129D ．1415【答案】C 【解析】【分析】由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+，在Rt ACB 'V 中，列勾股方程可解得x ，然后由P 2xx =+得出答案. 【详解】解：由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+在Rt ACB 'V 中，列勾股方程得：()22252x x +=+，解得214x =所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21214P 2122924x x ===++ 故选C. 【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.10．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（） A ．2e B ．4e C ．2e - D ．4e- 【答案】D 【解析】【分析】通过分析函数()ln 10y ax x =->与()240y x ax x =+->的图象，得到两函数必须有相同的零点t ，解方程组2ln 1040at a at -=⎧⎨+-=⎩即得解. 【详解】如图所示，函数()ln 10y ax x =->与()240y x ax x =+->的图象，因为0x >时，()0f x ≥恒成立，于是两函数必须有相同的零点t ，所以2ln 1040at a at -=⎧⎨+-=⎩ 24at t e =-=，解得a 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．已知向量(,1)a m =r ，(1,2)b =-r ，若(2)a b b -⊥r r r ，则a r 与b r夹角的余弦值为（）A．B．C． D【答案】B 【解析】【分析】直接利用向量的坐标运算得到向量2a b -r r 的坐标，利用(2)=0a b b -⋅r r r 求得参数m ，再用cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=r rr r r r计算即可. 【详解】依题意，2(2,3)a b m -=+-r r ，而(2)=0a b b -⋅r r r，即260m ---=，解得8m =-，则cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉===r rr r r r 故选：B. 【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想. 12．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（） A ．32B ．12C ．78 D ．98【答案】C 【解析】【分析】求得等比数列{}n a 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得63S S 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，2019201680a a +=Q ，32019201618a q a ∴==-，12q ∴=-，因此，6363317118S q q S q -==+=-. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【全国市级联考】广西钦州市2021届高三上学期第一次质量检测数学(理)试题 (2)

【全国市级联考】广西钦州市2018届高三上学期第一次质量检测数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1234A =，，，，集合{}3,456B ，，=，集合C A B =，则集合C 的子集的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知复数1z i =+，则下列命题中正确的是.①z =； ②1z i =- ； .③z 的虚部为i ； ④z 在复平面上对应的点位于第一象限.A ．1B ．2C ．3D ．4 3．命题∀m ∈[1,2]，则x +1x ≥2m 的否定是（）A ．∀m ∈[1,2]，则x +1x <2mB ．∃m ∈[1,2]，则x +1x ≥2mC ．∃m ∈(−∞,1)∪(2,+∞)，则x +1x ≥2mD ．∃m ∈[1,2]，则x +1x <2m 4．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则41a =（） A ．2 B ．0C ．2-D ．4- 5．若“m a >”是“函数()1133x f x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A ．23a ≥-B ．23>-aC ．23a ≤-D ．23a <- 6．执行如图所示的程序框图（*N N ∈），那么输出的p 是（）A ．33N N A ++B ．22N N A ++C ．11N N A ++D ．N N A7．设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()22f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．14- B ．12- C ．0 D ．128．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积为（）A ．()362cm π+B ．()363cm π+C ．336cm 2π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．()3124cm π+ 9．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（）（结果保留一位小数．参考数据：lg20.30≈，lg30.48≈）（）A ．1.3日B ．1.5日C ．2.6日D ．2.8日 10．抛物线24y x =的焦点为F ，点(),P x y 为该抛物线上的动点，点A 是抛物线的准线与坐标轴的交点，则PF PA的最小值是（） A ．12 B．2 CD11．已知定义在R 上的奇函数()f x ，设其导函数为()f x '，当(],0x ∈-∞时，恒有()()xf x f x '<-，令()()F x xf x =，则满足()()21F F x >-的实数x 的取值范围是（）A ．()1,3B ．()1,2-C ．()1,3-D ．()2,2-二、填空题12．已知41a b +=（a ，b 为正实数），则12a b+的最小值为__________． 13．若x ，y 满足约束条件0{2323x x y x y ≥+≥+≤，则z x y =-的最大值是.14．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为__________． 15．在锐角三角形ABC 中，若sinA=2sinBsinC ，则tanAtanBtanC 的最小值是 .三、解答题16．已知函数()2sin sin cos sin sin 36f x x x x ππ=-.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()14f C =，2a =，且ABC ∆c 的值.17．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2021年全年每天的PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为标本，监测值如茎图所示（十位为茎，个位为叶）.（1）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（2）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；（3）以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级.18．如图，四棱锥 P ABCD - 底面为正方形，已知 PD ABCD ⊥平面，PD AD =，点 M 为线段 PA 上任意一点（不含端点），点 N 在线段 BD 上，且PM DN =．（1）求证：MN PCD 直线平面；（2）若 M 为线段 PA 中点，求直线 PB 与平面 AMN 所成的角的余弦值．19．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆C 的右焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且AB =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()1,0的直线l 交椭圆C 于E ，F 两点，若存在点()01,G y -使EFG ∆为等边三角形，求直线l 的方程.20．已知函数()ln f x x x =.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当12x x <，且()()12g x g x =时，证明：122x x +>.21．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若直线l 的极坐标方程为√2ρcos (θ−π4)−2=0，曲线C 的极坐标方程为：ρsin 2θ=cosθ，将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C 1.（1）求曲线C 1的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，点P (2,0)，求|PA |+|PB |的值.参考答案1．D【解析】∵A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，∴C=A∩B={1，2，3，4}∩{3，4，5，6}={3，4}，∴集合C 的子集为∅，{3}，{4}，{3，4}，共4个．故选：D ．2．C【解析】由已知，①②④正确，③错误.故选C.3．D【解析】∀m ∈[1,2]，则x +1x ≥2m 的否定是∃m ∈[1,2]，则x +1x <2m ,全称命题的否定是换量词，否结论，不改变条件.故选D ；4．C【解析】∵等差数列{a n }的公差为2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则2324*a a a =即2111(4)(6)a a a +=+ 解得a 1=﹣8．∴a 4=a 1+3d=﹣8+3×2=﹣2．故选：D ．5．D【解析】∵函数()1133xf x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 的图象不过第三象限，∴m ﹣13≥﹣1，解得m≥﹣23． ∵“m ＞a”是“函数()1133xf x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 的图象不过第三象限”的必要不充分条件，3∴a ＜﹣23．则实数a 的取值范围是2,3∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：D ．点睛：函数()1133xf x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象不过第三象限，可得：m ﹣13≥﹣1，解得m 范围．由“m ＞a”是“函数()1133x f x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象不过第三象限”的必要不充分条件，即可得出． 6．C【解析】第一次执行循环体，k=1，p=A 11，满足继续循环的条件，k=2；第二次执行循环体，k=2，p=A 22，满足继续循环的条件，k=3；第三次执行循环体，k=3，p=A 33，满足继续循环的条件，k=4；…第N 次执行循环体，k=N ，p=A N N ，满足继续循环的条件，k=N +1；第N +1次执行循环体，k=N +1，p=A N+1N+1，不满足继续循环的条件，故输出的p 值为A N+1N+1，故选C点睛：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．7．C【解析】因为设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，511222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当01x ≤≤时，()22f x x x =-,故102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；故选C ；8．C【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的柱体，（也可以看成一个三棱柱与半圆柱的组合体），其底面面积S=12×2×2+12π=2+12π，高h=3，故体积V=Sh=6+32π，故选：C．点睛：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的柱体，代入柱体体积公式，可得答案．9．C【解析】设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为12，其前n项和为A n．莞（植物名）的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．则A1312112n（）-=-，B n=n21-，由题意可得：131221112nn-=--（），化为：2n+62n=7，解得2n=6，2n=1（舍去）．∴n=62lglg=1+32lglg=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等，故答案为：2.6．点睛：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为12，其前n项和为A n．莞（植物名）的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出.10．B【解析】由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1，A （﹣1，0），过P 作PN 垂直直线x=﹣1于N ，由抛物线的定义可知PF=PN ，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，PF PA 有最小值，则∠APN 最大，即∠PAF 最大，就是直线PA 的斜率最大，设在PA 的方程为：y=k （x +1），所以214y k x y x（）=+⎧⎨=⎩，解得：k 2x 2+（2k 2﹣4）x+k 2=0，所以△=（2k 2﹣4）2﹣4k 4=0，解得k=±1，所以∠NPA=45°， PFPA =cos ∠．故选B ．点睛：通过抛物线的定义，转化PF=PN ，要使PF PA 有最小值，只需∠APN 最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．11．C【解析】定义在R 上的奇函数f （x ），所以：f （﹣x ）=﹣f （x ）设f （x ）的导函数为f′（x ），当x ∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x ）＜f （﹣x ），则：xf′（x ）+f （x ）＜0即：[xf （x ）]′＜0所以：函数F （x ）=xf （x ）在（﹣∞，0）上是单调递减函数．由于f （x ）为奇函数，令F （x ）=xf （x ），则：F （x ）为偶函数．所以函数F （x ）=xf （x ）在（0，+∞）上是单调递增函数．则：满足F （2）＞F （x ﹣1）满足的条件是：|x ﹣1|＜2，解得：﹣1＜x ＜3．所以x 的范围是：（﹣1，3）故选C点睛：根据已知条件利用函数的单调性和奇偶性构造出新函数，利用xf′（x ）+f （x ）＜0，得到：[xf （x ）]′＜0，进一步分析出偶函数的单调性在对称区间内单调性相反．故建立不等式组，解不等式组求的结果． 12．9+【解析】∵a ，b ∈R +，a+4b=1∴12a b +=124a b a b++（）（）≥9+ 当且仅当，42b a a b=即a=2b 时上述等号成立，故答案为：9 13．0 【解析】约束条件0{2323x x y x y ≥+≥+≤的可行域如图所示，即△ABC 部分，目标函数z x y =-过A （0,O3）时值最大，最大值为1-1=0.【考点】线性规划. 14．189【解析】若没有红色卡片，若是3种颜色，那么有3327=种方法，若是2种颜色，有221333254C C C ⋅⋅⨯=种方法，若有红色卡片，那有一张红色的卡片，共有293108C ⨯=种方法，所以共有2754108189++=种方法，故填：189.【点睛】本题考查了有限制条件的组合问题，对这类问题容易出错在：本来是组合问题，但选元素的时候出现“顺序”，象这种不能同一种颜色，或是选出的鞋不能是同一双等等题型，第一步先选颜色，第二步从颜色中选卡片，如果是不同双的鞋，那第一步就先选哪几双，第二步在每一双里选一只，这样就能保证不同颜色，选出的鞋不是同一双. 15．8. 【解析】sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B C B C B C B C =+=⇒+=，又tan B+tan Ctan A=tan B tan C 1-，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8,A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥即最小值为8.【考点】三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．16．(1) 函数()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈；(2) 2c =. 【解析】试题分析：（1）由化一公式得()2111cos sin 22264x x x x sin x π⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，222262k x k πππππ-+≤+≤+，得结果；（2）162C S absinC π===，b =2c =. 化简可得：()21cos sin 2f x x x x =-=1111cos2sin 244264x x x π⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭. （1）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，Z k ∈.得：36k x k ππππ-+≤≤+.∴函数()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.（2）∵()14f C =，即111sin 22644C π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.∴sin 216C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 可得2262C k πππ+=+，Z k ∈.∵0C π<<， ∴6C π=.由2a =，且ABC ∆1sin 2S ab C ==.∴b =由余弦定理可得：241244c ++-⨯=. ∴2c =. 17．（Ⅰ）13; （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）一年中平均有120天的空气质量达到一级. 【解析】（1）设B =这天空气质量为一级，()51153P B ==. （2）1553N M n ===，，，ξ的可能取值为0，1，2，3，则()()3510315C C 0,1,2,3.C k k P k k ξ-===分布列为：（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P ==，一年中空气质量达到一级的天数为,η则1360,3B η⎛⎫~ ⎪⎝⎭，13601203∴⨯=（天）. 故一年中平均有120天的空气质量达到一级.18．（1）详见解析（2）3【解析】试题分析：（1）延长AN ，交CD 于点G ，只需证明MN//PG,通过GDN ABN ~可证明AMN APG ~，从而证明MN//PG 。

2021届广西钦州市、崇左市高三上学期第一次教学质量检测数学(理)试题

保密★启用前钦州市、崇左市 20 21 届高三第一次教学质量监测理科数学注意事项：1. 本卷共 150 分，考试时间120 分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2. 回答选择题时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集 U = R , 集合A = {x | x (x -1) >0}, 那么集合C U AA. (-∞,0] U [l , +∞)B.(-∞,0) U (1,+∞)C.(0,1) D .[0,1]2. 在复平面内，复数z = ( i -2 ) (1 + i) 对应的点位于A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知a , b ∈R , 则“a >｜b ｜”是“a ｜ a ｜> b ｜ b ｜”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件 D . 既不充分也不必要条件4. 抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为 A.2 B.1 C.116 D. 125. 若,||1OA AB OA ⊥=，则()OA OA OB ⋅+＝A. 2 B . 1 C . -1 D.06. 图 1 所示是某年第一季度五省 GDP 情况图，则下列说法中不正确．．．的是A.该年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 3 的是山东省B.该年第一季度浙江省的 GDP 总量最低C.该年第一季度 GDP 总量讯和增速由高到低排位均居同一位次的省份有 2 个D.与去年同期相比，该年第一季度的 GDP 总量实现了增长 7. 某四棱锥的三视图如图 2 所示，则该四棱锥的体积为A.2B.2 2C.2 3D.48. 已知实数 x , y 满足不等式组11,3260,530,x y x y x y ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数 x - 2y 的最小值为（A. -4B. 145-C. -6D.-7 9. 设113332,log 2,3a b c ===,则A. c > b > aB. a > c > b C . c > a > b D.a >b >c 10. 如图 3 是求数列123457,,,,,,234568…前 6 项和的程序框图，则① 处应填入的内容为 A. 1i S S i =-+ B. 1i S S i =-- C. 1i S S i =++ D. 1i S S i =+- 11. 在△ABC 中，∠ A = π4，a 2+b 2 - c 2 = ab , c = 3 , 则 a = A.2 B.5C. 6D.312. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点．以O 为圆心 a 为半径的圆与 PF 1相切于点 M ，且PM = F 1M ，则该双曲线的渐近线为A.y =±2xB.y =±xC. y=±3xD.y =±3x二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13. 已知 a π3π4(,),sin 225α∈=，则πtan()4α+＝ . 14. 二项式25()ax x +展开式中的常数项为 5 , 则实数a = . 15. 直线 2a .x 十 by - l =0 (a > 0 ,b > 0) 过函数111y x =+-图象的对称中心，则11a b +的最小值为 .16. 对任意两实数 a , b , 定义运算“*”：2,,2,,a b a b a b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩则函数 f ( x ) = sin x *cos x 的值域为 .三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1 7~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分．17. ( 本小题满分 12 分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且2116,34n n a S a +==-.(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 若2log n n b a =，求数列11{}n n b b +的前2020项和T 2020.18. ( 本小题满分 12 分）某单位共有员工 45人，其中男员工 27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取 5 名员工进行考核．(1 ) 求抽取的 5 人中男、女员工的人数分别是多少； ( 2) 考核前，评估小组从抽取的 5 名员工中，随机选出 3 人进行访谈．设选出的 3人中女员工人数为 X , 求随机变量 X 的分布列和数学期望；( 3 ) 考核分笔试和答辩两项．5 名员工的笔试成绩分别为78 , 85 , 89 , 92 , 96 ; 结合答辩情况，他们的考核成绩分别为 95 , 88 , 102, 106 , 99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记2212,s s ，试比较21s 与 22s 的大小．（只需写出结论）19. (本小题满分12分）如图4,在三棱柱 ABC -A 1B 1C 1中，四边形 BCC 1B 1是边长为2的正方形，AB ⊥平面BCC 1B 1，AB = 1, 点 E 为棱 AA 1 的中点．(1 ) 求证，BC 1⊥平面 A 1B 1C 1;(2 ) 求直线 BC 1与平面B 1CE 所成角的正弦值．20. ( 本小题满分 12 分）如图 5 , 已知焦点在x 轴上的椭圆 C 的长轴长为4, 离心率为12. (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设O 为原点，椭圆 C 的左、右两个顶点分别为 A 、B ，点 P 是椭圆上与A ,B 不重合的任意一点，点 Q 和点 P 关于x 轴对称，直线 AP 与直线 BQ 交于点 M , 求证： P , M 两点的横坐标之积为定值．21. ( 本小题满分 12 分）已知函数 21()ln 2f x x x =+. (1 ) 求函数f (.x ) 在区间[1 ,e] 上的最大值和最小值；(2 ) 若 f ( x ) > (l -a ) x 2有解，求实数a 的取值范围．(二）选考题:共10分．请考生在第22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分．22. ( 本小题满分 10 分）［选修 4-4 : 坐标系与参数方程］在平面直角坐标系内，直线 l 过点 P ( 3 , 2) , 且倾斜角 a = π6,以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的极坐标方程为=4sin ρθ..(1) 求圆 C 的直角坐标方程1(2) 设直线l 与圆C 交于A , B 两点，求| PA |+| PB |的值．23. (本小题满分10 分）［选修 4- 5 , 不等式选讲］已知函数()|23|f x x =+.(1 ) 求不等式()3|1|f x x ≤+-的解集，( 2) 若不等式()2|22|f x a x >--对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．。

广西省钦州市2021届新高考第一次模拟数学试题含解析

广西省钦州市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（）A ．4π3B ．82π3C ．32π3D 642【答案】B 【解析】【分析】利用均值不等式可得()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=,即可求得AB ,进而求得外接球的半径,即可求解. 【详解】由题意易得BC ⊥平面11ACC A , 所以()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=, 当且仅当AC BC =时等号成立, 又阳马11B ACC A -体积的最大值为43, 所以2AB =,所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径221222AA AB R ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以外接球的体积348233V r π==, 故选:B 【点睛】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（） A ．2 B ．22 C ．21+ D ．221+【答案】C 【解析】【分析】设线段1PF 的中点为A ，判断出A 点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率. 【详解】设线段1PF 的中点为A ，由于直线1F P 的斜率是1，而圆222:O x y c +=，所以()0,A c .由于O 是线段12F F 的中点，所以222PF OA c ==，而1122222PF AF c c ==⨯=，根据双曲线的定义可知122PF PF a -=，即2222c c a -=，即21222ca==+-.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 3．由曲线3,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（）A ．512 B ．13C ．14D ．12【答案】A 【解析】【分析】先计算出两个图像的交点分别为()()0,0,1,1，再利用定积分算两个图形围成的面积. 【详解】封闭图形的面积为()1331412000215||3412x x dx x x -=-=⎰.选A. 【点睛】本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.4．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828e =L ），且在区间[,2]e e 上是减函数，令ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（）A ．()()()f b f a f c >>B ．()()()f b f c f a >>C ．()()()f a f b f c >>D ．()()()f a f c f b >>【答案】A 【解析】因为()()2f x e f x +=-，所以()()f x e f x +=４，即周期为４，因为()f x 为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图()f x 在（０，１）单调递增，因为1111253253225252,232301c a b <∴<<∴<∴<<<<，因此()()()f b f a f c >>，选Ａ．点睛：函数对称性代数表示（1）函数()f x 为奇函数()()f x f x ⇔=-- ，函数()f x 为偶函数()()f x f x ⇔=-（定义域关于原点对称）；（2）函数()f x 关于点(,)a b 对称()(2)2f x f x a b ⇔+-+=，函数()f x 关于直线x m =对称()(2)f x f x m ⇔=-+，（3）函数周期为T,则()()f x f x T =+5．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】D 【解析】【分析】根据()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得函数()f x 的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得33101022f f f f f -=-====（）（）（）（）（），利用周期性可得函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数．【详解】∵()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33332222f x f x ∴-++=++（）（），可得3f x f x （）（）+=，函数()f x 的周期为3， ∵当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+，令0fx =（），则211x x -+=，解得0x =或1，又∵函数()f x 是定义域为R 的奇函数，∴在区间33[]22-，上，有11000f f f -=-==（）（），（）．由3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取0x =，得3322f f -=（）（），得33022f f =-=（）（）， ∴33101022f f f f f -=-====（）（）（）（）（）．又∵函数()f x 是周期为3的周期函数，∴方程()f x =0在区间[]0,6上的解有39012345622，，，，，，，，．共9个，故选D ．【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题．6．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A ．134B ．67C ．182D ．108【答案】B 【解析】【分析】根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论. 【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为13,22， 312-，小正方形的面积23131222S ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为31325001500(10.866)5000.134********⎛⎫⨯=-⨯≈-⨯=⨯= ⎪ ⎪⨯⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键. 7．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS ，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（）A ．128B ．65C ．64D ．63【答案】D 【解析】【分析】根据212log 1log n n a a +=+，得到212log l g 2o n n a a +=，即12n n a a +=，由等比数列的定义知数列{}n a 是等比数列，然后再利用前n 项和公式求6S . 【详解】因为212log 1log n n a a +=+，所以212log l g 2o n n a a +=，所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列，又因为34a =，所以312414a a q ===， ()()6616111263112a q S q-⨯-===--.故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA 、1CC 、11B C 、11A B 的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（）A ．直线EFB ．直线GHC ．直线EHD ．直线1A B【答案】C 【解析】【分析】充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据//EF AC 判断A 的正误.根据1111//,//GH A C A C AC ，判断B 的正误.根据11//,EH C D C D 与 1D C 相交，判断C 的正误.根据11//A B D C ，判断D 的正误.【详解】在正方体中，因为//EF AC ，所以//EF 平面1ACD ，故A 正确.因为1111//,//GH A C A C AC ，所以//GH AC ，所以//GH 平面1ACD 故B 正确.因为11//A B D C ，所以1//A B 平面1ACD ，故D 正确.因为11//,EH C D C D 与 1D C 相交，所以 EH 与平面1ACD 相交，故C 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题. 9．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．【详解】∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ⇒log a b ＜1， log a b ＜1⇒a ＞b ，∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件，故选C ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．10．已知函数1()sin 2f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A 【解析】【分析】化简()1sin cos 22f x x x =+为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出它的图象向左平移(0)m m >个单位长度后的图象的函数表达式sin 3y x m π⎛⎫=++⎪⎝⎭，利用所得到的图象关于y 轴对称列方程即可求得()6m k k z ππ=+∈，问题得解。

2021届广西钦州市高三上学期第一次质量检测数学(理)试题Word版含解析

2021届广西钦州市高三上学期第一次质量检测数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，集合，集合，则集合的子集的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】∵A={1，2， 3，4}，B={3，4，5，6}，∴集合C的子集为∅，{3}，{4}，{3，4}，共4个．故选：D．2. 已知复数，则下列命题中正确的个数为（）①；②；③的虚部为；④在复平面上对应点在第一象限.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】故正确；，也正确；的虚部为1，这是复数概念错误；在复平面上对应点是在第一象限，故正确；故选C.3. 命题，则的否定是（）A. ，则B. ，则C. ，则D. ，则【答案】D【解析】，则的否定是，则,全称命题的否定是换量词，否结论，不改变条件.故选D；4. 已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则（）A. 2B. 0C.D.【答案】C【解析】∵等差数列{a n}的公差为2，且a1，a3，a4成等比数列，则即解得a1=﹣8．∴a4=a1+3d=﹣8+3×2=﹣2．故选：D．5. 若“”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数的图象不过第三象限，∴m﹣≥﹣1，解得m≥﹣．∵“m＞a”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，3∴a＜﹣．则实数a的取值范围是．故选：D．点睛：函数的图象不过第三象限，可得：m﹣≥﹣1，解得m范围．由“m＞a”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，即可得出．6. 执行如图所示的程序框图（），那么输出的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第一次执行循环体，k=1，p=A11，满足继续循环的条件，k=2；第二次执行循环体，k=2，p=A22，满足继续循环的条件，k=3；第三次执行循环体，k=3，p=A33，满足继续循环的条件，k=4；…第N次执行循环体，k=N，p=A N N，满足继续循环的条件，k=N+1；第N+1次执行循环体，k=N+1，p=A N+1N+1，不满足继续循环的条件，故输出的p值为A N+1N+1，故选：C点睛：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．7. 设是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（）A. B. C. 0 D.【答案】C【解析】因为设是定义在上周期为2的奇函数，当时，,故；故选C；8. 某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的柱体，（也可以看成一个三棱柱与半圆柱的组合体），其底面面积S=×2×2+π=2+π，高h=3，故体积V=Sh=6+π，故选：C．点睛：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的柱体，代入柱体体积公式，可得答案．9. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（）（结果保留一位小数．参考数据：，）（）A. 1.3日B. 1.5日C. 2.6日D. 2.8日【答案】C【解析】设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n．莞（植物名）的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．则A，B n=，由题意可得：，化为：2n+=7，解得2n=6，2n=1（舍去）．∴n==1+=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等，故答案为：2.6．10. 已知是所在平面内一点，且，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则,∵=,∴，得=﹣由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S△PBC=S△ABC．将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==故选C点睛：根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC上的中线AO的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案．11. 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1，A（﹣1，0），过P作PN垂直直线x=﹣1于N，由抛物线的定义可知PF=PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，有最小值，则∠APN最大，即∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，设在PA的方程为：y=k（x+1），所以，解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±1，所以∠NPA=45°，=cos∠NPA=．故选B．点睛：通过抛物线的定义，转化PF=PN，要使有最小值，只需∠APN最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．12. 已知定义在上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】定义在R上的奇函数f（x），所以：f（﹣x）=﹣f（x）设f（x）的导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），则：xf′（x）+f（x）＜0即：[xf（x）]′＜0所以：函数F（x）=xf（x）在（﹣∞，0）上是单调递减函数．由于f（x）为奇函数，令F（x）=xf（x），则：F（x）为偶函数．所以函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．则：满足F（2）＞F（x﹣1）满足的条件是：|x﹣1|＜2，解得：﹣1＜x＜3．所以x的范围是：（﹣1，3）故选：C点睛：根据已知条件利用函数的单调性和奇偶性构造出新函数，利用xf′（x）+f（x）＜0，得到：[xf（x）]′＜0，进一步分析出偶函数的单调性在对称区间内单调性相反．故建立不等式组，解不等式组求的结果．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知（，为正实数），则的最小值为__________．【答案】【解析】∵a，b∈R+，a+4b=1∴=≥，当且仅当，即a=2b时上述等号成立，故答案为：914. 若，满足约束条件，则的最大值是__________．【答案】0【解析】约束条件对应的平面区域如下图示：由z=x﹣y可得y=x﹣z，则﹣z表示直线z=x﹣y在y轴上的截距，截距越小，z越大由可得A（1，1）当直线z=x﹣y过A（1，1）时，Z取得最大值0故选D15. 现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为__________．【答案】189【解析】若没有红色卡片，若是3种颜色，那么有种方法，若是2种颜色，有种方法，若有红色卡片，那有一张红色的卡片，共有种方法，所以共有种方法，故填：189.【点睛】本题考查了有限制条件的组合问题，对这类问题容易出错在：本来是组合问题，但选元素的时候出现“顺序”，象这种不能同一种颜色，或是选出的鞋不能是同一双等等题型，第一步先选颜色，第二步从颜色中选卡片，如果是不同双的鞋，那第一步就先选哪几双，第二步在每一双里选一只，这样就能保证不同颜色，选出的鞋不是同一双.16. 在锐角三角形中，若，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC =，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知函数.（1）求函数的单调增区间；（2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值. 【答案】（1）函数的单调增区间为，（2）【解析】试题分析：（1）由化一公式得，，得结果；（2），∴，再由余弦定理得.化简可得：.（1）由，.得：.∴函数的单调增区间为，.（2）∵，即.∴.可得，.∵，∴.由，且的面积为，即.∴.由余弦定理可得：.∴.18. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2017年上半年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（1）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（2）从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列；（3）以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况，（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级.【答案】（1）（2），其中（3）一年中平均120天的空气质量达到一级【解析】试题分析：（1）古典概型；（2）符合超几何概型；（3）一年中每天空气质量达到一级的概率为，由第二一问中的条件知道.（1）记“从这15天的数据中任取一天，这天空气质量达到一级”为事件，则；（2）依据条件，服从超几何分布，其中，，，的可能值为0，1，2，3，其分布列为：，其中；（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为.一年中空气质量达到一级的天数为，则；∴（天）.∴一年中平均120天的空气质量达到一级.19. 如图，四棱锥底面为正方形，已知平面，，点、分别为线段、的中点.（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成的角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）与平面夹角的余弦值为【解析】试题分析：（1）延长AN，交CD于点G，推出MN∥PG，然后证明直线MN∥平面PCD；（2）以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设A（1，0，0），求出相关点的坐标，=（1，1，﹣1），平面AMN的法向量，利用向量的数量积求解PB与平面AMN夹角的余弦值．（1）证明：由底面为正方形，连接，且与交于点因为、分别为线段、的中点，可得，平面，平面，则直线平面. （2）由于，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，则.设平面的法向量为.所以.令，所以.所以平面的法向量为.则向量与的夹角为，则.则与平面夹角的余弦值为.20. 已知椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点，若存在点使为等边三角形，求直线的方程. 【答案】（1）椭圆的标准方程：（2）直线的方程：【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率，椭圆的通径公式，及a2=b2+c2及可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得D点坐标，根据等边三角形的性质，求得G点坐标，由丨GD丨=丨EF丨，即可取得t的值，即可求得直线l的方程．（1）由椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以，①由椭圆的通径，②解得：，.∴椭圆的标准方程：.（2）设直线：，，.易知：时，不满足，故，则，整理得：，显然，∴，，于是.故的中点.由为等边三角形，则.连接则，即，整理得，则，由为等边三角形，则，.∴.整理得：,即，解得：，则，∴直线的方程，即.点睛：本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，等边三角形的性质公式，考查计算能力.21. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当，且时，证明：.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）令,得增区间，，得减区间；（2），需证，变量集中.（1）的定义域为，令，得.当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.∴单调递减区间为，单调递增区间为.（2）证明：因为，故，（）.由（），得，即.要证，需证，即证.设（），则要证（）.令.则.∴在上单调递增，则.即.故.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为：，将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）已知直线与曲线交于，两点，点，求的值.【答案】（1）曲线：（2）【解析】试题分析：（1）由图像伸缩平移的规律得到曲线：；（2），由韦达定理解出即可；（1）曲线的极坐标方程为：，即，化为直角坐标方程：.将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线：.（2）直线的极坐标方程为，展开可得：.可得直角坐标方程：.可得参数方程：（为参数）.代入曲线的直角坐标方程可得：.解得，.∴.23. 选修4-5：不等式选讲已知，.（1）解不等式；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的解集为或（2）时，不等式恒成立【解析】试题分析：（1）零点分区间，取绝对值，解不等式组；（2）由已知恒成立，又，，求出结果即可；（1）当时，解得.当时，无解，当时，解得.∴的解集为或.（2）由已知恒成立.∴恒成立.又.∴，解得.∴时，不等式恒成立点睛：第二问中，不等式恒成立，求实数范围，先变量分离，，再根据绝对值三角不等式，求得，这是绝对值三角不等式很重要的一个应用.。

2021年广西名校高考数学一模试卷(理科) (解析版)

2021年广西名校高考数学一模试卷（理科）一、选择题（每小题5分）.1．设集合A＝，集合B＝．则A∪∁R B＝（）A．（6，）B．（6，]C．（6，）D．R2．警察抓了4名偷窃嫌疑人甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁四人相互认识，警察将四名嫌疑人分别进行审问．甲说：“是乙和丙其中一个干的．”乙说：“我和甲都没干．”丙说：“我和乙都没干．”丁说：“我没干．”已知四人中有两人说谎，且只有一人偷窃，下列两人不可能同时说谎的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．丙和丁D．丁和甲3．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，M，N分别是AB、BC的中点，平面B1AC 分别与D1M、D1N交于P、Q两点，则S＝（）A．B．C．D．4．在四面体ABCD中，AB＝6，BC＝3，BD＝4，若∠ABC与∠ABD互余，则的最大值为（）A．20B．30C．40D．505．（x﹣1）（x2﹣1）（x3﹣1）（x4﹣1）（x5﹣1）的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为（）A．0B．55C．90D．1206．＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣27．执行如图所示的程序框图，结果是（）A．162B．171C．180D．无输出8．＝（）A．B．C．D．9．已知a＝，b＝，c＝1﹣ln2，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜b＜a10．已知数列a n＝a n﹣12+3a n﹣1，a1＝2，则log2（a6+1）＝（）A．63log23﹣31B．33log23﹣15C．63log32﹣31D．33log32﹣15 11．已知椭圆＝1上有相异的三点A，B，C，则S△ABC的最大值为（）A．B．C．D．12．若a、b是小于180的正整数，且满足＝．则满足条件的数对（a，b）共有（）A．2对B．6对C．8对D．12对二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.13．已知恒正函数f（x）＝x2f′（x），f（1）＝．若x1、x2、x3＜0，且x1+x2+x3＝﹣ln2．则的最大值为．14．在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，1），C为x2+y2＝1上的动点，则|AC|+|BC|的取值范围为．15．已知△ABC满足AB＝1，AC＝2，cos A＝．若E为△ABC内一点，满足λ（λ∈R），且＝0，延长AE至BC交于点D，则＝．16．已知数列{a n}和{b n}满足a1＝2，b1＝1，a n+b n＝b n+1，a n+1+b n+1＝4a n，则＝．三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.17-21为必考题，每个试题考生都必须作答。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题新高考Ⅰ卷含解析

进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
8. 有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球，甲表示
事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表示事件“两次取出
坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】 A ： OP1 (cos ,sin ) ， OP2 (cos , sin ) ，所以 | OP1 | cos2 sin2 1 ，
| OP2 | (cos )2 ( sin )2 1，故 | OP1 || OP2 | ，正确；
sin2 cos2
1 tan2 1 4 5
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用 tan 2 ，求出 sin , cos 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通
过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
7. 若过点 a, b 可以作曲线 y ex 的两条切线，则（）
A. eb a
B. ea b
对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 有一组样本数据 x1 ， x2 ，…， xn ，由这组数据得到新样本数据 y1 ， y2 ，…， yn ，其中 yi xi c ( i 1, 2,, n), c 为非零常数，则（）
A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样数据的样本极差相同【答案】CD 【解析】
OP2 OP3 cos cos( ) ( sin ) sin( )
cos
β
α
β

广西省钦州市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析

广西省钦州市2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知M 是函数()ln f x x =图象上的一点，过M 作圆2220x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，则MA MB ⋅u u u r u u u r的最小值为（）A ．3B ．1-C ．0D ．32- 【答案】C 【解析】【分析】先画出函数图像和圆，可知MA MB =，若设2AMB θ∠=，则1tan MA MB θ==u u u v u u u v，所以2221||cos 22sin 3sin MA MB MA θθθ⋅==+-u u u v u u u v u u u v ，而要求MA MB ⋅u u u r u u u r 的最小值，只要sin θ取得最大值，若设圆2220x y y +-=的圆心为C ，则1sin MCθ=，所以只要MC 取得最小值，若设(,ln )M x x ，则222||(ln 1)MC x x =+-，然后构造函数22()(ln 1)g x x x =+-，利用导数求其最小值即可.【详解】记圆2220x y y +-=的圆心为C ，设AMC θ∠=，则11,sin tan MA MB MCθθ===u u u v u u u v ，设222(,ln ),||(ln 1)M x x MC x x =+-，记22()(ln 1)g x x x =+-，则212()22(ln 1)(ln 1)g x x x x x x x=+⋅=+-'-，令2()ln 1h x x x =+-，因为2()ln 1h x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，且(1)0h =，所以当01x <<时，()(1)0,()0h x h g x <=<'；当1x >时，()(1)0,()0h x h g x >=>'，则()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)2g x g ==，即sin 2MC θ<2221||cos 22sin 30sin MA MB MA θθθ⋅==+-≥u u u v u u u v u u u v （当sin 2θ=时等号成立）. 故选：C【点睛】此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.2．(),0F c -为双曲线2222:1x y E a b -=的左焦点，过点F 的直线与圆22234x y c +=交于A 、B 两点，（A在F 、B 之间）与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若FA BP =u u u r u u u r ，且23100OA OB c ⋅=-u u u r u u u r ，则双曲线E 的离心率为（） A 5B ．52C 5D ．5【答案】D 【解析】【分析】过点O 作OM PF ⊥，可得出点M 为AB 的中点，由23100OA OB c ⋅=-u u u r u u u r 可求得cos AOB ∠的值，可计算出cos2AOB∠的值，进而可得出OM ，结合FA BP =u u u r u u u r 可知点M 为PF 的中点，可得出PF '，利用勾股定理求得PF （F '为双曲线的右焦点），再利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示，过点O 作OM PF ⊥，设该双曲线的右焦点为F '，连接PF '.2333cos 22100OA OB AOB c ⋅=⋅⋅∠=-u u u r u u u r ，1cos 25AOB ∴∠=-.1cos 23cos22AOB AOB ∠+∠∴==， 3cos 25AOB OM OA c ∠∴==， FA BP=u u u r u u u r Q ，M ∴为PF 的中点，//PF OM '∴，90FPF '∠=o ，625c PF OM '==， ()22825c PF c PF '∴=-=，由双曲线的定义得2PF PF a '-=，即225ca =，因此，该双曲线的离心率为5ce a==.故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题时要充分分析图形的形状，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 3．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B 【解析】【分析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（）A ．234a π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】画出直观图，由球的表面积公式求解即可【详解】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为2222213346484a S a a a a πππ⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力. 5．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项. 【详解】由图可知，ABD 选项可以围成三棱柱，C 选项不是三棱柱展开图. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.6．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =u u u u v u u u v ，120QF QF ⋅=u u u u vu u u v ，则双曲线C 的离心率为（） A 31 B ．31C 132D 132【答案】D 【解析】由双曲线的方程22221x y a b-=的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，且,P Q 都位于第一象限，且2122,0QP PF QF QF =⋅=u u u u v u u u u vu u u v u u u v ，可知P 为2QF 的三等分点，且12QF QF ⊥u u u ru u u u r,点Q 在直线0bx ay -=上，并且OQ c =，则(,)Q a b ，2(,0)F c ，设11(,)P x y ，则11112(,)(,)x a y b c x y --=--，解得1122,33a c b x y +==，即22(,)33a c bP +，代入双曲线的方程可得22(2)1144a c a +-=，解得132c e a ==，故选D ．点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)． 7．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i - B ．2iC ．1i -+D ．0【答案】B 【解析】【分析】根据复数除法的运算法则，即可求解. 【详解】22(1)22,21iz i i z i i+-=+==-. 故选:B. 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.8．单位正方体ABCD-1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（）A ．1B ．C D ．0【答案】B 【解析】【分析】根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离．【详解】由题意,白蚂蚁爬行路线为AA 1→A 1D 1→D 1C 1→C 1C→CB→BA ，即过1段后又回到起点，可以看作以1为周期，由202063364÷=L ，白蚂蚁爬完2020段后到回到C 点；同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB 1→B 1C 1→C 1D 1→D 1D→DA ，黑蚂蚁爬完2020段后回到D 1点，所以它们此时的距离为2. 故选B. 【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.9．正ABC ∆的边长为2，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体A BCD -的外接球表面积为（）A ．103πB ．4πC ．133πD ．7π【答案】D 【解析】【分析】如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆的外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，利用正弦定理可得11DO =，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形21OO DO 为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.【详解】如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，则1OO ⊥平面BCD ，2OO AD ⊥.因为1,CD BD BC ===，故231cos 2112BDC -∠==-⨯⨯，因为()0,BDC π∠∈，故23BDC π∠=.由正弦定理可得122sin 3DO ==，故11DO =，又因为AD =2DO =. 因为,,AD DB AD CD DB CD D ⊥⊥⋂=，故AD ⊥平面BCD ，所以1//OO AD ，因为AD ⊥平面BCD ，1DO ⊂平面BCD ，故1AD DO ⊥，故21//OO DO ，所以四边形21OO DO为平行四边形，所以122OO DO ==，所以OD ==2，外接球的表面积为74=74ππ⨯. 故选：D. 【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.10．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（） A ．3 B ．3或7C ．5D ．5或8【答案】B 【解析】【分析】根据函数的对称轴8x π=以及函数值，可得结果.【详解】函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，若88f x f x ππ+=-（）（），则()f x 的图象关于8x π=对称，又58f π=（），所以25b +=或25b -+=，所以b 的值是7或3. 故选：B. 【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题11．若i 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数2iz的点是（）A ．EB ．FC ．GD ．H【答案】C 【解析】【分析】由于在复平面内点Z 的坐标为(1,1)-，所以1z i =-+，然后将1z i =-+代入2iz化简后可找到其对应的点. 【详解】由1z i =-+，所以22(1)11i i i i i z i==--=--+，对应点G . 故选：C 【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.12．设()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，0.22log 0.3,log 0.3a b ==，则（） A ．()()(0)f a b f ab f +>> B ．()(0)()f a b f f ab +>> C ．()()(0)f ab f a b f >+> D ．()(0)()f ab f f a b >>+【答案】C 【解析】【分析】根据偶函数的性质，比较+,a b ab 即可. 【详解】解：0.22lg0.3lg0.3+log 0.3log 0.3+lg0.2lg 2a b =+=55lg 0.3lglg 0.3lg 22lg5lg 2lg5lg 2⨯⨯==--⨯⨯ ()0.22lg 0.3lg 0.3log 0.3log 0.3lg 0.2lg 2lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 0.3lg 5lg 2lg 5lg 2lg 0.3lg 0.3lg 5lg 210lg 0.3lg3lg 5lg 2ab =⨯=⨯-⨯⨯==⨯⨯-⨯-=⨯⨯=-⨯显然510lglg 23<，所以+a b ab < ()y f x =是定义域为R 的偶函数，且在[)0,+∞单调递增，所以()()(0)f ab f a b f >+> 故选：C 【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广西省钦州市2021届新高考适应性测试卷数学试题(2)含解析

广西省钦州市2021届新高考适应性测试卷数学试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()xf x e ax =+（0a <）的图像可以是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】根据()0,0x f x <>，可排除,A D ，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果. 【详解】由题可知：0a <，所以当0x <时，()0f x >，又()'x f x e a =+，令()'0f x >，则()ln x a >- 令()'0fx <，则()ln x a <-所以函数()f x 在()(),ln a -∞-单调递减在()()ln ,a -+∞单调递增，故选：B 【点睛】本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题.2．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（）A．12个月的PMI值不低于50%的频率为1 3B．12个月的PMI值的平均值低于50%C．12个月的PMI值的众数为49.4%D．12个月的PMI值的中位数为50.3%【答案】D【解析】【分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.【详解】对A，从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI值不低于50%的频率为41123=，故A正确；对B，由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正确；对C，12个月的PMI值的众数为49.4%，故C正确，；对D，12个月的PMI值的中位数为49.6%，故D错误故选：D.【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题. 3．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（）A．24πB．6πC 43πD．12π【答案】A【解析】【分析】将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．【详解】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，∵四面体所有棱长都是4， ∴正方体的棱长为22 设球的半径为r ，则()222224r =+，解得6r =所以2424S r ππ==，故选：A ．【点睛】本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题．4．斜率为1的直线l 与椭圆22x y 14+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( )A ．2B ．455C ．105D ．8105【答案】C 【解析】【分析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y ，根据判别式大于0求得t 的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t 的范围求得|AB|的最大值．【详解】解：设直线l 的方程为y ＝x+t ，代入24x +y 2＝1，消去y 得54x 2+2tx+t 2﹣1＝0，由题意得△＝（2t ）2﹣1（t 2﹣1）＞0，即t 2＜1．弦长|AB|＝2510255t -≤．故选：C ．【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．5．在直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=uu u r uuu r，30B ∠=︒，AB =2BC =，点E 为BC 上一点，且AE xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r，当xy 的值最大时，||AE =u u u r ( )AB ．2C．2D．【答案】B 【解析】【分析】由题，可求出1,AD CD ==2AB DC=u u u r u u u r，根据共线定理，设(01)BE BC λλ=u u u r u u u r 剟，利用向量三角形法则求出12AE AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u v u uv ，结合题给AE xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，得出1,2x y λλ=-=，进而得出12xy λλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后利用二次函数求出xy 的最大值，即可求出||AE =u u u r .【详解】由题意，直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=uu u r uuu r，30B ∠=︒，AB =2BC =，可求得1,AD CD ==2AB DC =u u u ru u u r·∵点E 在线段BC 上，设(01)BE BC λλ=u u u r u u u r剟，则()AE AB BE AB BC AB BA AD DC λλ=+=+=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r(1)12AB AD DC AB AD λλλλλ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，即12AE AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u v u uv ，又因为AE xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r所以1,2x y λλ=-=，所以2211111(1)1(1)22222xy λλλλ⎛⎫⎡⎤=-=---=--+ ⎪⎣⎦⎝⎭…，当1λ=时，等号成立.所以1||||22AE AB AD =+=u u u r u u u r u u u r.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.6．用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于1的概率为（）A．427B．13C．127D．19【答案】C 【解析】【分析】由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为13，结合独立事件发生的概率计算即可.【详解】∵每次生成一个实数小于1的概率为13.∴这3个实数都小于1的概率为311327⎛⎫=⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.7．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．16B．14C．13D．12【答案】A【解析】【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n=，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数6m=，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：234336n C A ==甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：2122326m C C A==∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366mpn===本题正确选项：A【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.8．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】B 【解析】【分析】先根据复数的除法表示出z ，然后根据z 是纯虚数求解出对应的a 的值即可. 【详解】因为()122i z ai -=+，所以()()()()()21222421212125ai i a a iai z i i i ++-+++===--+，又因为z 是纯虚数，所以220a -=，所以1a =. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数z a bi =+为纯虚数，则有0,0a b =≠.9．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（）A ．12B ．C ．2D 【答案】B 【解析】【分析】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．【详解】解：由题意可知，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，(1,0)A -，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大，设在PA 的方程为：(1)y k x =+，所以2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，解得：2222(24)0kx k x k -++=，所以224()2440k k ∆=--=，解得1k =±，所以45NPA ∠=︒，||2cos ||2PF NPA PA =∠=．故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题． 10．若复数12biz i-=+（b R,i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为( ) A ．3 B ．3±C ．3-D ．3【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可. 【详解】()221125b b ibi z i --+-==+，又z 的实部与虚部相等， 221b b ∴-=+，解得3b =-.故选:C 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.11．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b+=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（）A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．22123x y -=D ．22132y x -=【答案】B 【解析】【分析】设双曲线的渐近线方程为y kx =，与抛物线方程联立，利用0∆=，求出k 的值，得到ab的值，求出,a b 关系，进而判断,a b 大小，结合椭圆22221x y a b+=的焦距为2，即可求出结论.【详解】设双曲线的渐近线方程为y kx =，代入抛物线方程得2103x kx -+=，依题意240,3k k ∆=-==，a ab b ∴==>，∴椭圆22221x y a b +=的焦距2=，22222411,3,433b b b b a -====，双曲线的标准方程为22143y x -=.故选:B. 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题.12．已知集合{(,)|A x y y ==，{}(,)|2B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】C 【解析】【分析】集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数. 【详解】由题可知：集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立y 2y x =，2x =，整理得215x =，即x =±，当5x =-时，20y x =<，不满足题意；故方程组有唯一的解⎝⎭.故A B ⎧⎫⎪⎪⋂=⎨⎬⎪⎪⎝⎭⎩⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届广西钦州市、崇左市高三上学期一模考试数学(理)试卷及答案

2021届广西钦州市、崇左市高三上学期一模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)注意事项：1. 本卷共 150 分,考试时间120 分钟．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2. 回答选择题时选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上 ,写在本试卷上无效．3. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集 U = R , 集合A = {x | x (x -1) >0}, 那么集合C U A（）A. (-∞,0] U [l , +∞) B.(-∞,0) U(1,+∞)C.(0,1)D.[0,1]2. 在复平面内,复数z = ( i -2 ) (1 + i) 对应的点位于A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知a , b ∈R , 则“a >｜b ｜”是“a ｜ a ｜> b ｜ b ｜”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件 D . 既不充分也不必要条件4. 抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为（）A.2B.1C.116 D. 125. 若,||1OA AB OA ⊥=,则()OA OA OB ⋅+＝A. 2B. 1C. -1D.06.图 1 所示是某年第一季度五省 GDP 情况图,则下列说法中不正确．．．的是A.该年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 3 的是山东省B.该年第一季度浙江省的 GDP 总量最低C.该年第一季度 GDP 总量讯和增速由高到低排位均居同一位次的省份有 2 个D.与去年同期相比,该年第一季度的 GDP 总量实现了增长7.某四棱锥的三视图如图 2 所示,则该四棱锥的体积为A.2B.2 2C.2 3D.48.已知实数x, y满足不等式组11,3260,530,x yx yx y++≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数x- 2y的最小值为（A.-4B.145-C.-6D.-79.设113332,log2,3a b c===,则A. c> b > aB. a > c > bC.c > a > bD.a>b>c10.如图 3 是求数列123457,,,,,,234568…前 6 项和的程序框图,则①处应。

广西钦州一中2021届高三摸底考试试题理科数学试题及答案

钦州一中2021届高三摸底考试试题理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≤*N ，{(,)|4}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．62．复数1013i-的虚部是（） A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．33.若双曲线22:13x y C m-=C 的虚轴长为（）A ．4 B．C．D ．24．已知递增等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若46a =，2a ，4，5a 成等比数列，则6S =（） A ．36B ．32C ．28D ．305.已知向量()1,2a =，(),3b m =，若()2a a b ⊥-，则a 与b 夹角的余弦值为（）AB10C5D6.已知cos 4θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2θ的值是（）A ．79- B ．29-C ．29D ．797.已知等比数列{}n a 满足0n a >，且12a ，312a ，2a 成等差数列，则35468722a a a a a a +-+-的值为（）A ．18B ．8C ．2D ．128.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（） A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====9.射线测厚技术原理公式为7.60tI I eμ-=,其中0I I ,分别为射线穿过被测物前后的强度,e 是自然对数的底数,t 为被测物厚度,μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度,若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，则这种射线的吸收系数为（）（注：半价层厚度是指将射线强度减弱为一半的某种物质厚度,ln20.693≈,结果精确到0.001） A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.11610.一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为205，则该几何体的外接球的表面积为（） A ．36π B ．64π C ．81π D ．100π11．设椭圆C ：22221x y a b+=（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a=（） A ．1B ．2C ．4D ．812．设3log 2a =，5log 3b =，8log 5c =，则（） A ．b a c << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应的位置上） 13．24()a x x+的展开式中含5x 的项的系数为8，则a =__________．14．若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，，则32z x y =-的最大值为_________．15，若圆锥内某正方体的底面在圆锥的底面上，则该正方体的最大体积为______． 16．关于函数f （x ）=1cos cos x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x=2π对称．④f （x ）的图像关于点(,0)2π对称．其中所有真命题的序号是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程）。

广西省钦州市2021届新高考数学考前模拟卷(1)含解析

广西省钦州市2021届新高考数学考前模拟卷（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在边长为1的等边三角形ABC 中，点E 是AC 中点，点F 是BE 中点，则AF AB ⋅=u u u r u u u r（） A ．54B ．34C ．58D ．38【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量基本定理，用,AB AC u u u r u u u r来表示AF u u u r，然后利用数量积公式，简单计算，可得结果. 【详解】由题可知：点E 是AC 中点，点F 是BE 中点()12AF AB AE =+u u u r u u u r u u u r ，12AE AC =u u u r u u u r所以1124AF AB AC =+u u u r u u u r u u u r又11cos 1122AB AC AB AC A ⋅=∠=⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r所以1124AF AB AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r则2115248AF AB AB AC AB ⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：C 【点睛】本题考查平面向量基本定理以及数量积公式，掌握公式，细心观察，属基础题.2．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r（） A ．134-B ．54C ．5D ．154【答案】B 【解析】【分析】据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果. 【详解】设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r 的方向为x 轴，CA u u u r的方向为y 轴，建立直角坐标系，则1,12E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以95144DE DF ⋅=-=u u u r u u u r .故选：B. 【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.3．已知函数()f x 满足(4)17f =，设00()f x y =，则“017y =”是“04x =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】结合函数的对应性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若04x =，则()0()417f x f ==，即017y =成立，若2()1f x x =+，则由00()17f x y ==，得04x =±，则“017y =”是“04x =”的必要不充分条件，故选：B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的对应性是解决本题的关键，属于基础题．4．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（） AB．C ．2D+1【答案】B 【解析】【分析】以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可求出点2b A c ⎫⎪⎪⎝⎭243b c=，整理计算可得离心率. 【详解】解：以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取第一象限的解得2x c b y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2b A c ⎫⎪⎪⎝⎭243b =，整理得()()22229550c aca --=，则22519c a =<（舍去），225c a=，ce a∴==. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题. 5．复数z 满足()11z i -=，则复数z 等于（） A ．1i - B ．1i +C ．2D ．-2【答案】B 【解析】【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可. 【详解】复数z 满足()1132z i i -=-=， ∴()()()2121111i z i i i i +===+--+，故选B. 【点睛】本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题．6．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h 的频率分别为（）A ．300，0.25B ．300，0.35C ．60，0.25D ．60，0.35【答案】B 【解析】【分析】由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过90/km h 的频率．【详解】由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率为0.0650.3⨯=， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的车辆数为：0.31000300⨯=，行驶速度超过90/km h 的频率为：()0.050.0250.35+⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为（）A．221155x y-=B．221515x y-=C．221312y x-=D．221217y x-=【答案】C【解析】【分析】判断出已知条件中双曲线C的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项.【详解】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与x轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与x轴的夹角为30°或60°，双曲线C的渐近线方程为3y x=±或y=.A选项渐近线为3y x=±，B选项渐近线为y=，C选项渐近线为12y x=±，D选项渐近线为y=.所以双曲线C的方程不可能为221 312y x-=.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.8．已知实数x，y满足约束条件202201x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21yzx-=+的最小值为A．23-B．54-C．43-D．12-【答案】B 【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数21yzx-=+的几何意义为动点(),M x y到定点()1,2D-的斜率，利用数形结合即可得到z的最小值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数21y z x -=+的几何意义为动点(),M x y 到定点()1,2D -的斜率，当M 位于11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，此时DA 的斜率最小，此时1252114min z --==-+．故选B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．9．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823【答案】C 【解析】【分析】由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果. 【详解】解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥，则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥，因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C. 【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题． 10．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】【详解】因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1<<f x .故选A ．11．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（）A ．6481B ．3227C ．89D ．1627【答案】B 【解析】【分析】根据循环语句，输入1x =，执行循环语句即可计算出结果. 【详解】输入1x =，由题意执行循环结构程序框图，可得：第1次循环：23x =，24i =<，不满足判断条件；第2次循环：89x =，34i =<，不满足判断条件；第4次循环：3227x =，44i =≥，满足判断条件；输出结果3227x =. 故选：B 【点睛】本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判定语句，本题较为基础.12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（）A ．y x =±B ．2y x =±C ．y = D．y =【答案】B 【解析】【分析】先设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，根据题意，得到1//EM PF ，再由22114F E F F =，根据勾股定理求出2b a =，从而可得渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，因为12PF F ∆是以圆O 的直径12F F 为斜边的圆内接三角形，所以1290F PF ∠=o，又因为圆E 与直线2PF 的切点为M ，所以1//EM PF ，又22114F E F F =，所以144b PF b =⋅=，因此22PF a b =+，因此有222(2)4b a b c ++=，所以2b a =，因此渐近线的方程为2y x =±. 故选B 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

21.广西钦州市、崇左市2021届高三上学期第一次教学质量检测数学(理)【解析版】

广西钦州市、崇左市2021届高三上学期第一次教学质量检测数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集 U =R ，集合{|()}10A x x x =->，那么集合UA（）A ．(,0][1,)-∞⋃+∞B ．()(),01,-∞⋃+∞C ．()0,1D ．[]0,1【答案】D 【分析】先求出集合A ，再根据补集定义即可求出. 【详解】{{(1)0}0A x x x x x =->=<∣或}1x >，{}[]010,1U A x x ∴=≤≤=.故选：D. 【点睛】本题考查补集的运算，其中涉及一元二次不等式的求解，属于基础题. 2．在复平面内，复数()()21z i i =-+对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C 【分析】运用复数乘法化简复数3z i =--得解【详解】2(2)(1)223z i i i i i i =-+=+--=--，因此复数z 对应点的坐标为()3,1--，在第三象限. 故应选C . 【点睛】本题考查复数乘法运算及复数几何意义，属于基础题.3．已知,a b ∈R ，“a b >”是“a a b b ”的（）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】由a b >，结合不等式的性质可推出a a b b ；代入特殊值即可判断由a a b b 不一定推出a b >，即可选出正确答案. 【详解】由题意，若a b >，则0a b >≥，则0a >且a b >，所以2a a a =，则a ab b 成立.当1,2a b ==-时，满足a a b b ，但a b >不一定成立，所以a b >是a a b b 的充分不必要条件.故选:A. 【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了充分必要条件的判断.4．抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为（）A ．2B ．1C ．116D ．12【答案】B 【分析】根据抛物线的定义可转化为0||1PF x =+，根据0x 的范围求解即可. 【详解】由题意，24y x =的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，设抛物线上的动点()00,P x y ，根据抛物线的定义可知，0||1PF x =+，因为0[0,)x ∈+∞，所以011PF x =+，故抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为1. 故选：B 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，抛物线的定义，属于容易题. 5．若OA AB ⊥，||1OA =，则()OA OA OB ⋅+=（） A ．2 B ．1C ．-1D ．0【答案】A 【分析】由OA AB ⊥可得0OA AB ⋅=，可根据()AB AO O OA OA B ⋅=⋅+求得1OA OB ⋅=，进而可求出()OA OA OB ⋅+的值. 【详解】OA AB ⊥，||1OA =，2()||10OA OA O AB AO A O OB A OB OA OB ∴⋅=⋅+=-+⋅=-+⋅=， ∴1OA OB ⋅=，2()2OA OA OB OA OA OB ∴⋅+=+⋅=.故选：A. 【点睛】本题考查数量积的运算，考查垂直关系的向量表示，属于基础题.6．如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（）A．该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B．该年第一季度浙江省的GDP总量最低C．该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位次的省份有2个D．与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长【答案】B【分析】由折线图，直接判断AD正确，比较容量和增速可判断C，观察条形图反应的总量可判断B．【详解】由折线图可知A、D项均正确，该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四，共2个，故C项正确：今年浙江省的GDP增长率最低.故B项不正确.故选：B.【点睛】本题考查统计图表，考查折线图、条形图，属于基础题．7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．2 B．C．D．4【答案】D【分析】由三视图做出几何体的直观图，再根据体积公式计算即可得答案.【详解】，如图：解：根据三视图可得直观图为四棱锥P ABCD底面是一个直角梯形，AD AB ⊥，//AD BC ， 4=AD ，2AB BC PO ===，且PO ⊥底面ABCD ， ∴该四棱锥的体积为1124224332ABCD V S h +⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选：D . 【点睛】本题考查根据三视图求几何体的体积，考查空间想象能力，运算能力，是基础题.8．已知实数x ，y 满足不等式组10,3260,530,x y x y x y ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数2z x y =-的最小值为（） A ．-4 B ．145-C ．-6D ．-7【答案】C 【分析】根据题意，做出平面区域，根据几何意义求解即可. 【详解】不等式组103260530x y x y x y ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域为图中的ABC (包括边界)，由图知，平移直线2z x y =-，当经过点C 时，2z x y =-取得最小值，易得(03)C ，，即066z =-=-. 故选：C . 【点睛】本题考查线性规划求最值，考查数形结合思想，是基础题. 9．设132a =，3log 2b =，133c =则（） A ．c b a >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】C 【分析】考查幂函数13y x =得到1c a >>，又3log 2(0,1)b =∈运用中间变量得解【详解】3log 2(0,1)b =∈，13y x =为增函数，故1133321>>，即1c a >>.故c a b >>. 故选C . 【点睛】本题考查利用函数单调性判断函数值大小，同一题中有指对数式通常利用中间变量得解,属于基础题. 10．如图是求数列12，23，34，45，56，78…前6项和的程序框图，则①处应填入的内容为（）A ．1i S S i =-+ B ．1i S S i =-- C ．1i S S i =++ D ．1i S S i =+- 【答案】C 【分析】可知判断框中的条件应该满足经过第一次循环得到12，经过第二次循环得到1223+，经过第三次循环得到123234++，…，根据此规律即可判断. 【详解】判断框中的条件应该满足经过第一次循环得到12，经过第二次循环得到1223+，经过第三次循环得到123234++， …故判断框中的条件应该为1i S i =++. 故应选：C. 【点睛】本题考查补全程序框的条件，属于基础题.11．在ABC 中，4A π∠=，222a b c ab +-=，3c =，则a =（）A ．2 BCD ．3【答案】C 【分析】首先利用余弦定理求出C ，再根据正弦定理计算可得；【详解】解：222a b c ab +-=，∴可得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.(0,)C π∈，3C π∴=，4A π∠=，3c =，∴由正弦定理sin sin a cA C==，解得a =故选：C. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.12．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线C 的右支上一点．以O 为圆心a 为半径的圆与1PF 相切于点M ，且1PM FM =，则该双曲线的渐近线为（） A ．2y x =± B ．y x =± C．y = D ．3y x =±【答案】A 【分析】连接2PF 、OM ，利用中位线定理和双曲线定义构建参数,,a b c 关系，即求得渐近线方程. 【详解】如图，连接2PF 、OM ，∵M 是PF 的中点，∴OM 是12PF F △的中位线，∴2OM //PF ，且22||2PF OM a ==，根据双曲线的定义，得122PF PF a -=，∴1224PF PF a a =+=， ∵1PF 与以原点为圆心a 为半径的圆相切， ∴1OM PF ⊥，可得21PF PF ⊥，12PF F △中，2221212PF PF F F +=，即得22212(4)(2)a a F F +=，22212(2)20c F F a ∴==，解得225c a =，即22224b c a a =-=，得2b a =.由此得双曲线的渐近线方程为2y x =±. 故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用和渐近线的求法，属于中档题.二、填空题 13．已知π3π,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α，则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝______.【答案】17- 【分析】由题可求得4tan 3α=-，再利用和的正切公式即可求出. 【详解】因为3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α，所以,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos 5α=-，则4tan 3α=-，则41tan tan134tan 4471tan tan 143παπαπα-++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭-+. 【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查和的正切公式的应用，属于基础题.14．二项式251()ax x+展开式中的常数项为5，则实数=_______．【答案】1 【详解】解：因为25(ax +展开式的通项公式为52551022155()r r r rr r r T C ax xC ax----+==令510-0,42r r ==，则常数项为第5项且为5，所以45455,1C a a -== 15．直线()2100,0ax by a b +-=>>过函数111y x =+-图象的对称中心，则11a b+的最小值为______. 【答案】3+【分析】可得函数111y x =+-图象的对称中心为()1,1，即可得21a b +=，利用基本不等式即可求解. 【详解】函数111y x =+-的图象可由1y x =向右平移1个单位，再向上1个单位得到，又1y x=是奇函数，故其对称中心为()0,0，故()f x 的对称中心为()1,1，所以21a b +=，∴11112(2)33b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当b =时等号成立.故答案为：3+. 【点睛】本题考查函数对称性的应用，考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 16．对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：22,22,a b a ba b b a a b-≥⎧*=⎨-<⎩，则函数()sin *cos f x x x =的值域为______.【答案】[0, 【分析】先分析题意，把函数化简整理为()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∣，再利用三角函数的图像与性质求值域即可得到答案. 【详解】由22,22,a b a ba b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩，则函数52sin 2cos ,2,2,44()sin cos 52cos 2sin ,2,22,2244x x x k k f x x x x x x k k k k πππππππππππ⎧⎡⎤-∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=*=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-∈+⋃++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩整理可得：()2sin cos |sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∣∣ 由[]sin 1,14x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，得[]|sin 0,14x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∣，即sin 0,4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭∣ 所以()f x的值域为[0,.故答案为：[0, 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查学生的分类讨论思想及处理新定义问题的能力，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且216a =，134n n S a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和2020T . 【答案】（1）4nn a =；（2）5052021. 【分析】（1）由递推关系可判断{}n a 为等比数列，根据等比数列的通项公式即可写出；（2）求出n b ，再利用裂项相消法即可求出. 【详解】（1）由题知，216a =，211443a a S -∴===， 134n n S a +∴=-，11433n n S a +∴=-，当2n ≥时，11433n n S a -=-，两式相减可得11133n n n a a a +=-，即14n n a a +=.因为214a a =，数列{}n a 为等比数列，首项为4，公比为4，所以通项公式为4nn a =.（2）22log log 42nn n b a n ===，11111122(1)41n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪⨯++⎝⎭， 111111111142231414(1)n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 20205052021T ∴=. 【点睛】本题考查等比数列的判断和通项公式的求解，考查裂项相消法求和，属于基础题. 18．某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．（1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；（2）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中女员工人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（3）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记21s ，22s 试比较21s 与22s 的大小．（只需写出结论）【答案】（1）男员工3人，女员工2人；（2）分布列见解析，65；（3）2212s s =. 【分析】（1）根据题意得抽样比例为545，进而可得男女员工人数；（2）根据题意得X 满足超几何分布，再根据超几何分布得概率分布列与数学期望；（3）根据题意得考核成绩是笔试成绩均加10得到，故方差不变. 【详解】(1)抽取的5人中男员工的人数为527345⨯=，女员工的人数为518245⨯=. (2)由(1)可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人. 所以，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.根据题意，3032351(0)10C C P X C ===， 2132356(1) 10C C P X C ===，1232353(2)10C C P X C ⋅===. 随机变量X 的分布列是：数学期望01210105EX =+⨯+⨯=. （3）2212s s =.【点睛】本题考查分层抽样，超几何分布，方差等，考查运算能力，是中档题.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，AB ⊥平面11BCC B ，1AB =，点E 为棱1AA 的中点．（1）求证，1BC ⊥平面11A B C ；（2）求直线1BC 与平面1B CE 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【分析】（1）先利用平面与平面垂直的性质证得AB ⊥平面11BCC B ，即得11A B ⊥平面11BCC B ，得111A B BC ⊥，由11BCC B 是正方形，得11BC B C ⊥，再由直线与平面垂直的判定可得1BC ⊥平面11A B C ；（2）由（1）知，AB ⊥平面11BCC B ，又1BC BB ⊥，故以B 为坐标原点，分别以BC ，1BB ，BA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面1CB E 的一个法向量与1BC 的坐标，由两向量所成角的余弦值即可得直线1BC 与平面1B CE 所成角的正弦值．【详解】证明：(1)AB ⊥平面11BCC B ，在三棱柱111ABC A B C -中，有11//AB A B ，11A B ∴⊥平面11BCC B ，得111A B BC ⊥.∵四边形11BCC B 是边长为2的正方形，11BC B C ∴⊥，而1111A B B C B =1BC ∴⊥平面11A B C(2)由(1)知，AB ⊥平面11BCC B ，又1BC BB ⊥，∴以B 为坐标原点，分别以BC ，1BB ，BA 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，1(0,2,0)B ，1(2,2,0)C ，(0,1,1)E ， (2,1,1)CE =-，()12,2,0CB =-，1(2,2,0)BC =，设平面1B CE 的法向量为(,,)n x y z =，由1CE 20220n x y z n CB x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，得()1,1,1n =.设直线1BC 与平面1B CE 所成角为θ，则111sin cos,3||n BC n BC n BC θ⋅=<>====，即直线1BC 【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．20．如图，已知焦点在x轴上的椭圆C 的长轴长为4，离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，椭圆C 的左、右两个顶点分别为A 、B ，点P 椭圆上与A 、B 不重合的任意一点，点Q 和点P 关于x 轴对称，直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证：P ，M 两点的横坐标之积为定值．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组求出21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即可结合题意求出椭圆方程；（2）设(,)P m n ，根据题中条件，得到(,)Q m n -，22314m n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得出直线AP 与直线BQ 的方程，联立求出42,n M m m ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出结果. 【详解】（1）由题意知222212a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，由于椭圆焦点在x 轴上，所以椭圆C 的方程为22143x y+=；（2）设(,)P m n ，则(,)Q m n -，因为点P 椭圆上与A 、B 不重合的任意一点，则22143m n +=，即22314m n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，22m -<<；因此直线AP 的方程为(2)2ny x m =++，直线BQ 的方程为(2)2n y x m =--. 由(2)2(2)2n y x m n y x m ⎧=+⎪⎪+⎨⎪=-⎪-⎩解得42x mn y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即42,n M m m ⎛⎫⎪⎝⎭. 所以P ，M 两点的横坐标之积为44m m⋅=. 【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查椭圆中的定值问题，属于常考题型.21．已知函数21()ln 2f x x x =+. （1）求函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值和最小值；（2）若()21()f x a x >-有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）最大值为2112e +，最小值为12；（2）11,22e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）求导得()f x 在区间[]1,e 上单调递增，进而可得答案；（2）由题得21()ln 2g x x a x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，求导得()1(21)g a x x x '=-+，再分12a ≥和12a <两种情况讨论求解即可. 【详解】(1)由题可知()f x 的定义域为()0,∞+ 函数21()ln 2f x x x =+，1()0f x x x '=+>所以函数()f x 在区间[1,]e 上是增函数. ()f x 在区间[1,]e 上的最大值为()2112f e e =+，最小值为1(1)2f =. (2)2()(1)f x a x >-，令221()()(1)ln 2g x f x a x x a x ⎛⎫=--=+-⎪⎝⎭， ()1(21)g a x xx '=-+. 当12a ≥时，()0g x '>.1(1)02g a =-≥，显然()0g x >有解.当12a <时，由()1(21)0g x a x x '=-+=得x =当x ⎛∈ ⎝时，()0g x '>，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0g x '<，故()g x 在x =11ln(12)22g a =---. 若使()0g x >有解，只需11ln(12)022a --->解得1122a e>-. 结合12a <，此时a 的取值范围为111,222e ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 综上所述，a 的取值范围为11,22e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，研究不等式，考查分类讨论思想和数学运算能力，是中档题.22．在平面直角坐标内，直线l 过点(3,2)P ，且倾斜角6πα=.以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与圆C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值. 【答案】（1）22(2)4x y +-=；（2）【分析】（1）根据222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，将极坐标方程化为直角坐标方程即可；（2）由题意得到直线l 的参数方程，代入圆的直角坐标方程，得到关于t 的一元二次方程，根据韦达定理，可得12t t +、12t t 的值，代入所求，即可得答案. 【详解】（1）由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=从而有224x y y +=，即：22(2)4x y +-=（2）由题意设直线l 的参数方程为3cos 62sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），即：32122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）代入圆C的方程得2213422t ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：250t ++=，12t t +=-125t t =，因为120t t >，所以1212||||PA PB t t t t +=+=+=【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，属基础题.23．已知函数()|23|f x x =+.（1）求不等式()3|1|f x x ≤+-的解集，（2）若不等式()2|22|f x a x >--对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）17,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【分析】（1）分段讨论去绝对值可得答案；（2）根据三角不等式可得答案. 【详解】(1).|23||1|3x x +--，12313x x x ⎧∴⎨+-+⎩ 或3122313x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-⎩或322313x x x ⎧-⎪⎨⎪--+-⎩. 11x x ⎧∴⎨-⎩或31213x x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪⎪⎩或327x x ⎧-⎪⎨⎪-⎩.173x∴-. 即不等式()3f x ≤的解集为17,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)()2|22|f x a x >--，得|23||22|2x x a ++->，|23||22|23225x x x x ++-+-+=∣∣，当且仅当312x -取“=”. 25a ∴<，52a <. 所以实数a 的取值范围是5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的思想.。