数列中的恒成立问题
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数列中的恒成立问题
恒成立问题
分离参数
最值问题 转化 判断数列单调性
利用初等 函数Βιβλιοθήκη Baidu单 调性
an1 an
例 1．
已知 {an } 为递减的等比数列，且 {a1, a2 , a3} {4, 3, 2,0,1,2,3,4} ． (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式；
1 ( 1)n (Ⅱ)当 bn an 时，求证： b1 b2 b3 2
为非零整数，
），试确定
的值，使得对任意
；都有
4
cn an bn ． （Ⅰ）求 {bn } 的通项公式； （Ⅱ） 若 cn ≤ 1 m 2 m 1 对一切正整数 n 恒成立，求 4 实数 m 的取值范围.
3n 变式： (1)cn n5 3n （2）cn (n 5)( n 6)
bn 4 例 3.在数列 an , bn 中， a1 3, b1 5, an 1 , 2 an 4 bn 1 . 2
（1）求数列 bn an , bn an 的通项公式； （2）设 Sn 为数列 bn 的前 n 项的和，若对任意 n N ，
*
都有 p(Sn 4n) 1,3 ，求实数 p 的取值范围.
2,3
数列中的恒成立问题
恒成立问题
分离参数
最值问题 转化 判断数列单调性
b2n1 16 ． 3
变式：（）求 1 b1 b2 b3
b2 n 1 m恒成立的
正整数m的最小值；
变式：（2）求b1 b2 b3 正整数m的最大值；
m b2 n1 恒成立的 4
例 2. 已知数列 {an } 是首项为 a1 1 ， 公比 q 1 的等比 4 4 数列，设 bn 2 3log 1 an (n N ) ，数列 {cn } 满足
利用初等 函数的单 调性
an1 an
3.已知数列
的前
项和为
，且有 .
，
（Ⅰ）求数列 （Ⅱ）若 （Ⅲ）若
的通项公式； ，求数列 的前 项和 ； 中的
，且数列
每一项总小于它后面的项，求实数 的取值范围.
设数列
的各项都是正数，且对任意 的通项公式； （ 成立.
，都有
，其中
为数列
的前 n 项和.
（I）求数列 （II）设
恒成立问题
分离参数
最值问题 转化 判断数列单调性
利用初等 函数Βιβλιοθήκη Baidu单 调性
an1 an
例 1．
已知 {an } 为递减的等比数列，且 {a1, a2 , a3} {4, 3, 2,0,1,2,3,4} ． (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式；
1 ( 1)n (Ⅱ)当 bn an 时，求证： b1 b2 b3 2
为非零整数，
），试确定
的值，使得对任意
；都有
4
cn an bn ． （Ⅰ）求 {bn } 的通项公式； （Ⅱ） 若 cn ≤ 1 m 2 m 1 对一切正整数 n 恒成立，求 4 实数 m 的取值范围.
3n 变式： (1)cn n5 3n （2）cn (n 5)( n 6)
bn 4 例 3.在数列 an , bn 中， a1 3, b1 5, an 1 , 2 an 4 bn 1 . 2
（1）求数列 bn an , bn an 的通项公式； （2）设 Sn 为数列 bn 的前 n 项的和，若对任意 n N ，
*
都有 p(Sn 4n) 1,3 ，求实数 p 的取值范围.
2,3
数列中的恒成立问题
恒成立问题
分离参数
最值问题 转化 判断数列单调性
b2n1 16 ． 3
变式：（）求 1 b1 b2 b3
b2 n 1 m恒成立的
正整数m的最小值；
变式：（2）求b1 b2 b3 正整数m的最大值；
m b2 n1 恒成立的 4
例 2. 已知数列 {an } 是首项为 a1 1 ， 公比 q 1 的等比 4 4 数列，设 bn 2 3log 1 an (n N ) ，数列 {cn } 满足
利用初等 函数的单 调性
an1 an
3.已知数列
的前
项和为
，且有 .
，
（Ⅰ）求数列 （Ⅱ）若 （Ⅲ）若
的通项公式； ，求数列 的前 项和 ； 中的
，且数列
每一项总小于它后面的项，求实数 的取值范围.
设数列
的各项都是正数，且对任意 的通项公式； （ 成立.
，都有
，其中
为数列
的前 n 项和.
（I）求数列 （II）设