二元一次方程组的解法2
第二节 二元一次方程组的解法(含答案)...七年级数学 学而思
第二节二元一次方程组的解法1．二元一次方程组的解法基本思路是消元，即通过运用代入法或加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解． (1)代入消元法：通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法．代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数例如y，用含另一个未知数如x的代数式表示出来；②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值；⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．(2)加减消元法：加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一．加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其它方程（组）经常用到的方法．加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数；②加减消元：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求得未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，需要把求得的x，y的值用“{”联立起来．2．特殊方程组的解法对于具有某些特点的二元一次方程组，如果仍按常规方法不仅运算量大，而且容易出错，则可根据题目的特点，利用整体思想来采用特殊方法简化方程组，接着再采用代入或加减消元法解出相应x，y的值即可．(1)系数轮换法：适用方程组类型：如果把方程组中的每一个未知数依次轮换后，虽然每个方程都变了，但是整个方程组仍不变，步骤：解题时，把各方程相加，即可得到x+ y=常数的形式，把各方程相减，即可得到x- y=常数的形式，这两个新的方程组成的方程组就是原方程组化简后的结果，便可以采用加减或代入消元法求得未知数的值．(2)换元法：适用方程组类型：方程组项数较多、系数较为复杂，而且会有相同的部分或者是互为相反数的部分多次出现；步骤：解题时，把方程中相同的部分或者是互为相反数的部分看成是一个整体，用另一个字母来替换，从而简化原先项数多、系数复杂的方程组，再采用常规的加减或者代入消元法来求得未知数的值．(3)倒数法：适合方程组类型：方程中出现分母是和的形式，分子是积的形式⋅+yx xy步骤：解题时，采用倒数法变换成分子是和、分母是积的形式,xyyx +然后进行拆分，利用加减或者代入或者换元法来解出x ，y 的值．1．代入消元方法的选择①运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个 方程，否则就会 得出“0=0”的形式，求不出未知数的值；②当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或一1时，用代入法较简便． 2．加减消元方法的选择①一般选择系数绝对值最小的未知数消元；②当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相 等时，用减法消元；③某一未知数系数成倍数关系时，直接使其系数互为相反数或相等，再用 加减消元求解；④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同的方程，再用加减消元求解，例1．如果关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=-=+223a y x y x 的解是负数，则a 的取值范围是( )54.<<-a A 5.>a B 4.-<a C D ．无解检测1．（浙江绍兴期末）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=-=-,52253a y x ay x 若x ，y 的值互为相反数，则a 的值为( )5.-A 5.B 20.-C 20.D例2．（四川南江县期末）已知,0)112(|32|2=+++--y x y x 则（ ）⎩⎨⎧==12.y x A ⎩⎨⎧-==30.y x B ⎩⎨⎧-=-=51.y x C ⎩⎨⎧-=-=72.y x D检测2．（山东滨州期末）已知,0|72|)12(2=-++--y x y x 则=-y x 3（ ）3.A 1.B 6.-C 8.D例3．（湖北黄冈期末）若y x h y xb a ba -+--332243是同类项，则b a -的值是（ ）0.A 1.B 2.C 3.D检测3．若y x nm +243与n m y x -5是同类项，则m ．n 的值分别是( ) 3,2.A 1,2.B 0,2.C 2,1.D例4．（湖南衡阳县一模）解方程组：⎩⎨⎧=+=+,604320122016604120162012y x y x 则yx yx -+值是3.A 3.-B 6.C 6.-D检测4．(1)（江苏海门市期末）如果实数x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,4222y x y x 那么=+y x(2)（安徽泗县校级模拟）关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=+-=+22132y x k y x 的解满足y x +,1=则k=例5．（河北古冶区一模）已知a ，b 满足方程组⎩⎨⎧=-=+,283b a b a 则=+b a2.A3.B4.C5.D检测5．(1)（河北模拟）已知e 、f 满足方程组⎩⎨⎧=-=--,6223e f f e 则f e +2的值为（ ）2.A 4.B 6.C 8.D(2)（广东广州中考）已知a ．b 满足方程组⎩⎨⎧=-=+,43125b a b a 则b a +的值为第二节 二元一次方程组的解法（建议用时：35分钟）实战演练1．用加减法解方程组⎩⎨⎧-=-=+15y x y x 中，消x 用 法，消y 用 法( )A.加，加 B ．加，减 C ．减，加 D ．减，减2．若用代入法解方程组⎩⎨⎧+==,12332y x yx 以下各式代入正确的是( )1)32(23.+=x x A 1)32(23.+=y x B1)23(23.+=x x C 1623.+⋅=x x x D3．若,0|52||12|=--+--y x y x 则x+y 的值为( )4.A5.B6.C7.D4．已知：|32|++y x 与2)2(y x +互为相反数，则=-y x （ ）7.A 5.B 3.C 1.D5．（山东临清市期末）已知方程组⎩⎨⎧=+=-my x y x 24中x ，y 相加为0，则m 的值为（ ）2.A 2.-B 0.C 4.D6．（河北石家庄校级模拟）若方程组⎩⎨⎧=++=+my x m y x 32253的解x 与y 互为相反数，则m 的值为（ ）2.-A 0.B 2.C 4.D7．若方程组⎩⎨⎧=+=+16156653y x y x &的解也是方程103=+ky x 的解，则（ ）6.=k A 10.=k B 9.=k C 101.=k D 8．若3243y x b a +与ba y x -634的和是单项式，则=+b a （ ） 3.-A 0.B 3.C 6.D9．按如图8 -2—1所示的运算程序，能使输出结果为3的x ，y 的值是( )128--2,5.-==y x A ⋅-==3,3.y x B 2,.4.=-=y x C 9,3.-=-=y x D10.（山东临沂中考）已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,4252y x y x 则y x -的值为（ ）⎩⎨⎧==12.11y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+04by ax by ax 的解，那么=+-))((b a b a 12.已知方程组⎩⎨⎧-=+=-123225m y x my x 的解x ，y 互为相反数，则m=13.（江苏常州期末）若关于x ，y ，的二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=+22132y x a y x 的解满足x+ y=l ，则a 的值为14.三个同学对问题“若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解是⎩⎨⎧==,43y x 求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222111523523c y b x a c y b x a 的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”，参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．15.（“信利杯”竞赛题）已知：a ，b ，c 三个数满足,31=+b a ab ,41=+c b bc ,51=+a c ca 则ca bc ab abc++的值为 16.（重庆校级自主招生）解方程组：⎩⎨⎧=+=+200320042005200620052004y x y x17.解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+-421621y x y x18．已知方程组⎩⎨⎧+=---=+ay x ay x 317的解中，x 为非正数，y 为负数．(1)求a 的取值范围； (2)化简.|2||3|++-a a19.（江苏张家港市期末）已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧+=+=+12242m y x my x （实数m 是常数）．(1)若x+y=1，求实数m 的值；(2)若,51≤-≤-y x 求m 的取值范围； (3)在(2)的条件下，化简：.|32||2|-++m m20.（黑龙江讷河市校级期末）已知二元一次方程组⎩⎨⎧+=-+=+1593a y x a y x 的解x ，y 均是正数．(1)求a 的取值范围； (2)化简.|4||54|--+a a拓展创新21．解方程组：⎩⎨⎧==+44y -3x 23y x 2拓展1．解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+443232y x y x 拓展2．解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+41432132x y xy x y xy极限挑战22.（全国初中数学竞赛）若,0634=--z y x ),0(072=/=-+xyz z y x 则式子222222103225z y x z y x ---+的值等于( )21.-A219.-B 15.-C 13.-D课堂答案培优答案。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的常见解法
二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数．常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法．
一、代入法
2x+5y=－21
例1、解方程组
x+3y=8
3x－4y=9
例2、解方程组
9x－10y=3
※解题方法：
①编号：②变形③代入④求x（或y）：；⑤求y（或x）：⑥联立：
三、加减消元法
2x+3y=14
例3、解方程组
4x－5y=6
3(x+2)+(y －1)=4 例4 解方程组
3(x+2)+(1－y)=2
※解题方法：
①编号 ②系数相等
③相加（或相减） ④求值 ⑤求另值 ⑥联立
3．精选真题强化练习：
解二元一次方程组：
（1）⎩⎨⎧=+=+52y x 4
y 2x
（2）⎩⎨⎧==+112y -3x 12y x。
二元一次方程组求解
二元一次方程组求解解法一：代入法对于一个二元一次方程组，可以使用代入法来求解。
假设我们有以下的方程组：方程一：ax + by = c方程二：dx + ey = f首先，我们可以将方程一中的 x 表达出来，然后代入方程二中计算y 值。
具体步骤如下：1. 将方程一中的 x 表达出来：ax = c - by ①从而可以得到 x 的表达式：x = (c - by)/a ②2. 将 x 的表达式 (②) 代入方程二中：d((c - by)/a) + ey = f化简得到：dc/a - dby/a + ey = f移项得到：dby/a + ey = f - dc/a整理得到：(db + ae)y = af - dc从而得到 y 的表达式：y = (af - dc)/(db + ae) ③3. 将 y 的表达式 (③) 代入方程一中即可得到 x 的值：ax + b((af - dc)/(db + ae)) = c化简得到：ax + baf/(db + ae) - bdc/(db + ae) = c移项得到：ax - baf/(db + ae) = c + bdc/(db + ae)整理得到：ax = c + bdc/(db + ae) + baf/(db + ae)从而得到 x 的表达式：x = (c(db + ae) + bdc + baf)/(ad - be) ④解法二：消元法对于二元一次方程组，还可以使用消元法来求解。
假设我们有以下的方程组：方程一：ax + by = c方程二：dx + ey = f具体步骤如下：1. 通过乘法使得方程一和方程二的系数相等：方程一乘以 e，方程二乘以 b，得到：aex + bey = cedbx + bey = fb从而我们可以得到一个新的方程组：aex + bey = cedbx + bey = fb2. 将方程二减去方程一，消去 y 的项：(dbx + bey) - (aex + bey) = fb - ce化简得到：dbx - aex = fb - ce移项得到：(db - ae)x = fb - ce从而得到 x 的表达式：x = (fb - ce)/(db - ae) ⑤3. 将 x 的表达式 (⑤) 代入方程一，计算得到 y 的值：ax + by = c化简得到：a((fb - ce)/(db - ae)) + by = c移项得到：(afb - ace)/(db - ae) + by = c整理得到：by = c - (afb - ace)/(db - ae)从而得到 y 的表达式：y = (c(db - ae) - afb + ace)/(db - ae) ⑥至此，我们通过代入法和消元法分别得到了二元一次方程组的解。
§消元二元一次方程组的解法教案44
消元——二元一次方程组的解法（2）教案 下关四中 苏志兵一、教案目标1、会用加减消元法解二元一次方程组以及会列二元一次方程组解决简单的实际问题；2、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，化归的思想；3、培养学生学会自主探索，养成与他人合作、交流的习惯。
二、教案重点1、探索加减消元法解二元一次方程组，体会消元思想；2、灵活运用加减消元法。
三、教案难点1、加减消元法的形成过程；2、如何启发学生探索、引导学生自主尝试，调动交流的积极性。
四、教案过程（一） 情境创设——复习旧知，引出新知※让两位同学扮演牛哥和小马，以小品形式演绎以上情境（用图片吸引学生眼球，以小品增加情趣，活跃气氛，激发兴趣）。
T ：谁来扮演任劳任怨的牛哥？还有千里小马呢？看图回答：教师：听完牛哥和小马的对话，你获取了哪些信息？根据这张图你能算出老牛与小马各驮多少袋吗？请列方程组求解。
（小组讨论，合作完成，请一学生板演） 学生1：解：设老牛驮x 袋，小马驮y 袋，列方程组得X-y=2X+1=2（y-1）……——如何解这个方程组？教师：我们用了什么方法解以上二元一次方程组？学生2：——代入消元法。
累死我 我从你背上拿来一袋，我的包裹就是你的2真的？ 牛哥，你还累？这么大的个，才比我多驮教师：通过代入将二元一次方程组转化为一元一次方程，体现了怎样的数学思想？ 学生3：——体现消元的数学思想。
教师：你能叙述用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤吗？（二）探究新知：牛哥又喊累了——看图片回答：教师：根据这张图你能算出老牛与小马一趟各驮多少袋吗？请列方程组。
学生4：根据题意可设老牛一趟驮x 袋，小马一趟驮y 袋，则 6x+7y=77（1）6x-7y=9 （2）教师：分小组讨论，你会解这个二元一次方程组吗？学生5：用代入消元法：……学生6：用代入消元法，将6x 看作一个整体，由（2）得：6x=9+7y 将此式代入（1）求解。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法二元一次方程组是指包含两个未知数和两个方程的方程组。
解二元一次方程组的常用方法有消元法、代入法和矩阵法等。
下面将分别介绍这三种方法的步骤和应用。
一、消元法消元法是解二元一次方程组常用的方法，它的基本思想是通过消去一个未知数，从而将方程组转化为只含一个未知数的一次方程，进而求解。
假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）步骤如下：1. 通过等式的加减消去一个未知数。
选择其中一个方程，将其系数乘以另一个方程中与其同未知数的系数的相反数，然后将两个方程相加或相减，消去该未知数。
2. 获得新的一次方程，其中只含有一个未知数。
3. 解新的一次方程，求得该未知数的值。
4. 将求得的未知数值代入原方程中，求得另一个未知数的值。
5. 检查解的可行性，在原方程组中验证求得的解是否满足原方程组。
二、代入法代入法是解二元一次方程组的另一种常用方法，它的基本思想是将一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程，从而将方程组转化为只含一个未知数的方程，进而求解。
假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）步骤如下：1. 选择一个方程，将其一个未知数表示为另一个未知数的函数，例如将（1）中的 x 表示为 y 的函数：x = f(y)。
2. 将函数表达式代入另一个方程（2），得到只含有一个未知数 y的一次方程。
3. 解这个一次方程，求得 y 的值。
4. 将求得的 y 值代入第一个方程（1），求得 x 的值。
5. 检查解的可行性，在原方程组中验证求得的解是否满足原方程组。
三、矩阵法矩阵法是用矩阵运算的方法解二元一次方程组，它的基本思想是将方程组转化为矩阵方程，通过对矩阵的运算得到解。
假设给定的二元方程组为：a₁x + b₁y = c₁（1）a₂x + b₂y = c₂（2）将方程组表示为矩阵形式：⎛ a₁ b₁⎞⎛ x ⎞⎛ c₁⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝ a₂ b₂⎠ * ⎝ y ⎠ = ⎝ c₂⎠利用矩阵的逆矩阵，可以得到未知数向量的值：⎛ x ⎞⎛ a₁ b₁⎞⁻¹⎛ c₁⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝ y ⎠ = ⎝ a₂ b₂⎠⎝ c₂⎠通过计算矩阵的逆矩阵，可以求得未知数的值。
二元一次方程组及其解法
你能解决这个有趣的鸡兔同笼问题吗?
鸡的头数+兔的头数=35 鸡的脚数+兔的脚数=94
(1)设有x只鸡,则有(35-x)只兔,得: 2x+4(35-x)=94
(2)设有x只鸡，y只兔子，得：
x + y = 35 2x +4y = 94
请观察左边的方程，它们有什么特点？
一次方程，则m+n= 8
m – n -1=1 m + n -7=1
m = 5 n=3
说说自己这节课的收获与困惑
用加减法解二元一次方程组的一般步骤。
① 先观察系数特点。 ② 用加减法把二元一次方程组转化为一元一次方程。 ③ 解一元一次方程，求出一个未知数的值。 ④ 将求得的未知数的值代入方程，得到方程组的解。
二、用加减法解二元一次方程组 例3 解方程组：
x 3y 4 2x 3y 7
已知方程 3xm-n -1- 5y m+n -7= 4 是二元
① 选一个未知数的系数比较简单的方程， 将其中的一个未知数用另一个未知数来表示。
② 将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方
程。 ③ 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。 ④ 将求得的未知数的值代入方程，得到方程组的解。
一、用代入法解二元一次方程组 例2 解方程组：
2x y 7 2x 4 y 6
二元一次方程组的两个方程的公共解， 叫做二元一次方程组的解。
二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本思想是什么？
消元 二元一次方程组
转化法、加减消元法
一、用代入法解二元一次方程组 例1 解方程组：
x 2y 0 2x 3y 5
二元一次方程怎么解 详细过程
二元一次方程怎么解详细过程
二元一次方程的解法：代入消元法
例题：
{x-y=3 ①
{3x-8y=4②
由①得x=y+3③
③代入②得
3（y+3)-8y=4
y=1
把y=1带入③
得x=4
则：这个二元一次方程组的解为
x=4
y=1
代入消元法的知识点：
1、选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；
2、将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程(在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的)；
3、解这个一元一次方程，求出未知数的值；
4、将求得的未知数的值代入变形后的方程中，求出另一个未知数的值；
5、用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；
6、最后检验(代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边)。
二元一次方程组的解法全面版
把②变形得：x
5y 11 2
代入①，不就消去 x了！
把②变形得 5y2x11
可以直接代入①呀！
小
明
小丽
5 y和 5y
互为相反数…… 小彬
按照小丽的思路，你能消去一个未知数吗？
思路
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
§4.3 二元一次方程组的解 法(二)
复习:
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路: 消元: 二元
一元
2、用代入法解方程的步骤是什么？
主要步骤：
1. 变
2. 代3. 解 4.写解
用一个未知数的代数式 表示另一个未知数
消去一个元 分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
问 题 怎样解下面的二元一次方程组呢？
试一试
用加减消元法解下列方程组.(你
可以选择你喜欢的一题解答)
7x-2y=3 9x+2y=-19
6x-5y=3 6x+y=-15
例4. 解方程组:
分析：
2x 3y 12 ① 当方程组中两方程未知数系数不
3x 4y 17 ②
具备相同或互为相反数的特点时 要建立一个未知数系数的绝对值
5x-6y=9 7x-4y=-5
小结 ：
1.加减消元法解方程组基本思路是什么？
主要步骤有哪些？
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤： 变形 加减
同一个未知数的系
数相同或互为相反数 消去一个元
求解
分别求出两个未知数的值
写解
写出方程组的解
2. 二元一次方程组解法有: 代入法、加减法
二元一次方程一般式解法
二元一次方程一般式解法
二元一次方程一般式解法：
消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：
1、代入消元
例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②
解：由①得x=5-y③把③带入②，得6(5-y)+13y=89，解得y=59/7 把y=59/7带入③，得x=5-59/7，即x=-24/7
∴x=-24/7，y=59/7
这种解法就是代入消元法。
2、加减消元
例：解方程组x+y=9①x-y=5②
解：①+②，得2x=14，即x=7
把x=7带入①，得7+y=9，解得y=2
∴x=7，y=2
这种解法就是加减消元法。
解方程写出验算过程：
1、把未知数的值代入原方程。
2、左边等于多少，是否等于右边。
3、判断未知数的值是不是方程的解。
例如：4.6x=23
解：x=23÷4.6
x=5
检验：
把×=5代入方程得：
左边=4.6×5
=23=右边
所以，x=5是原方程的解。
二元一次方程组的解法与性质
二元一次方程组的解法与性质在数学中，二元一次方程组是指由两个未知数和两个等式组成的方程组。
解决这类方程组可以通过各种方法来求解，并且还有一些重要的性质与特点需要我们了解。
本文将介绍二元一次方程组的解法和性质，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、解法解二元一次方程组的一种常见方法是代入法。
这种方法适用于其中一个方程可以通过变量的消去使得只剩下一个变量的情况。
举个例子，假设我们有以下方程组：方程1：2x + y = 5方程2：3x - 2y = -4我们可以通过将方程1中的y表示出来，然后代入方程2来解方程组。
首先，通过方程1解出y：y = 5 - 2x然后，将y代入方程2：3x - 2(5 - 2x) = -4解这个方程可以得到x的值。
将x的值代入方程1或方程2，可以求得y的值。
这样就得到了方程组的解。
另一种常见的解法是消元法。
这种方法适用于其中一个方程中的某一项的系数可以通过简单的运算使得其与另一个方程中的相同项系数相反。
以之前的例子为基础，我们可以通过乘以适当的系数来消去x或y的系数。
具体步骤如下：方程1：2x + y = 5方程2：3x - 2y = -4为了消去x的系数，我们可以将方程1乘以3，而将方程2乘以2，得到：6x + 3y = 156x - 4y = -8然后我们将这两个方程相减，得到：7y = 23从中解出y的值。
将y的值代入方程1或方程2，可以求得x的值。
这样就得到了方程组的解。
二、性质除了解法，二元一次方程组还有一些重要的性质与特点。
首先，方程组的解可能有唯一解、无解或者无穷解。
唯一解意味着方程组只有一个解，无解意味着方程组没有解，无穷解意味着方程组有无限多个解。
其次，通过观察方程组的系数，我们可以判断方程组的性质。
对于方程组的两个方程，如果它们的系数比例相同，或者乘以适当的常数后比例相同，那么这个方程组就是等价方程组，它们有相同的解。
此外，方程组的解也可以通过图像来理解。
二元一次方程组及其解法
二元一次方程组及其解法
二元一次方程组是由两个含有两个未知数的等式组成的方程组，通常的一般式表示为：
ax + by = c
dx + ey = f
其中，a、b、c、d、e、f 都是已知数，x、y 都是未知数。
解法有以下几种：
1. 消元法：通过变换方程式将一个未知数消去，再代入另一个方程求解。
2. 代入法：选择其中一个方程，将其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，代入另一个方程中求解。
3. 公式法：利用二元一次方程组的公式解法求解。
4. 矩阵法：用矩阵运算的方法求解方程组。
以上四种方法都可以求得二元一次方程组的解，一般解的形式为一个有序二元组 (x, y)。
代数方程解法二元一次方程组的求解方法
代数方程解法二元一次方程组的求解方法在数学中，方程是一个带有未知数的等式，需要通过计算得出未知数的值。
当方程中含有两个未知数时，这就是一个二元一次方程组。
求解这类方程组，可以采用多种方法，包括代数方法和几何方法。
在代数方法中，我们需要了解两个基本概念：消元和代入。
下面将详细介绍这两种方法以及解方程组的步骤。
一、消元法消元法是一种通过不断消去方程组中的未知数，从而得到一个只含有一个未知数的方程的方法。
下面以一个二元一次方程组为例，来说明消元法的基本步骤。
假设我们有以下的二元一次方程组：```ax + by = cdx + ey = f```（1）让其中一个未知数的系数相等为了消元，我们需要让其中一个未知数的系数相等。
例如，在上面的方程中，我们可以通过乘以一个常数来使得 x 的系数相等：```a(dx + ey) = cdadx + aey = cdaxd + aey = cd```现在我们得到了一个只包含 x 和 y 的方程。
（2）让未知数的系数相消接下来我们要把其中一个未知数的系数消去。
例如，在上面的方程中，我们可以通过减去两个方程来消去 y 的系数：```axd + aey = cd-bxd - bey = -bf------------------axd - bxd + aey - bey = cd - bf```也就是：```x(ad - b) + y(ae - b) = cd - bf```（3）求解未知数现在我们得到了一个只包含 x 和 y 的方程，我们就可以用一些简单的代数操作来解这个方程，从而求出未知数的值。
二、代入法代入法是一种将一个方程的一个未知数表示成另外一个未知数的函数，利用已知的未知数的值求出另一个未知数的值的方法。
下面以一个二元一次方程组为例，来说明代入法的基本步骤。
假设我们有以下的二元一次方程组：```x + y = 53x + 2y = 11```（1）将一个方程表示成另一个未知数的函数我们可以通过将第一个方程表示成 y 的函数，得到：```y = 5 - x```（2）将函数代入第二个方程我们将上述函数代入第二个方程中：```3x + 2(5-x) = 113x + 10 - 2x = 11x = 1```（3）求解另一个未知数现在我们已经知道了 x 的值，我们可以将其代入第一个方程来求解y 的值：```x + y = 51 + y = 5y = 4```因此，二元一次方程组的解为 x=1，y=4。
7.2.1二元一次方程组的解法2
该怎样求出方程组
2x-7y=8
①
的解呢？
未知数的系数的绝对值不是1的二元 一次方程组的解法: 选取一个方程，把一个未知数用另一 个未知数来表示,然后通过代入消去一个 未知数，将方程组转化为一元一次方程 来求解.
练习1、把下列各方程变形为一个 未知数用另一个未知数来表示的形式：
y 4 x 1，或 y 1 x 4
3x 2 y 5, (1) 6 x 5 y 1;
5m 2n 15, (2) 8m 3n 23.
1.消元实质 消 元 二元一次方程组 代入法 一元一次方程 求解 结论
2.代入法的一般步骤 代入 即: 变形
3.学会检验，能灵活运用适当方法解二元 一次方程组。
附加题:解方程组
x y 1, y x 3. 3 2
x 4, y 3.
用代入消元法解下列方程组：
——代入消元法2
练习、解下列方程组：
1、
2、
x=3y+1 2x+y= -5 x-y=5 2x+3y=15
x= -2
y= -1
x=6 y=1
3x-y=3 3、 4x+3y=17
x=2 y=3 x=2 y=1
4、
x-y=1
2x+y=5
3x-8y-10=0 ② 由①得 x=4+3.5y ③ 解： 分析：用代入法解方程组的关键在于把一个未 把③代入②，得 知数用另一个未知数来表示，观察方程组 3(4+3.5y)-8y-10=0 中哪个方程能进行适当变形的。 12+10.5y-8y-10=0 解得 y= -0.8 把y= -0.8代入③，得 x=4+3.5×(-0.8) x=1.2 x=1.2 原方程组的解是 y= -0.8
中考数学冲刺复习二元一次方程组02二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法一、相关概念1．二元一次方程：含有个未知数，且未知数的指数均为的方程叫做2．二元一次方程组：像⎧⎨⎩x+y=1383x+5y=540这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个。
3．使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的。
4．二元一次方程组的两个方程的，叫做二元一次方程组的解。
二、二元一次方程组解法我们必须熟练使用二元一次方程组这个工具，才能解决更多的问题。
那么我们究竟怎么解决一个二元一次方程组呢？它的解法是怎样的？归根究底，我们要把二元一次方程组回归到以前会处理的一元一次方程问题。
二元一次方程组→一元一次方程.那么现在的问题就是二元怎样变为一元问题？这就是要大家去掌握“消元”的办法。
1．像回顾的问题当中，由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用2．含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进3．而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法。
一般步骤：a、求表达式，代入消元，回代求解b、把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程．这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．三、例题例1．方程m+13n2x+5y=1是二元一次方程，则m=______，n=______。
例2．写出二元一次方程组x+2y=5的所有正整数解。
例3．与方程组⎧⎨⎩x+y-2=0x+2y=0有完全相同的解的是（）A．x+y－2=0B．x+2y=0C．(x+y－2)(x+2y)=0D．2x+y-2+(x+2y)=0例4．已知：2x+3y=7，用关于y的代数式表示x，用关于x的代数式表示y。
例5．解方程组⎧⎨⎩x+2y=9(1) 3x-2y=-1(2)例6. 解方程组：⎧⎨⎩2x+5y=7(1) 3x+2y=5(2)例7．解方程：（1）⎧⎪⎨⎪⎩2x-3y=2(1)2x-3y+5+2y=9(2) 7（2）⎧⎨⎩x-4y=5(1) x:y=4:3(2)例8. （1）已知关于x、y的二元一次方程组：（1）⎧⎨⎩x+my=4nx+3y=2的解为⎧⎨⎩x=1y=-3，求m+n。
7.2.2二元一次方程组的解法(2)
解：由（1）得2x﹣3y＝2 （3）， 把（3）代入（2），得 y＝4 把y=4代入(3)得: x=7
例4.
2x 7 x
6y 2 18 y 1
① ②
解： ①×3得 6x+18y=-6 ③
② - ③得: x=5 把x＝5代入①得:
2×5+6y=-2
y＝-2
∴
x
y
5 2
特点: 方程组中没有未知数的系数的 绝对值相等
办法：选一个未知数，用方程变形 的规则⑵，变其系数为绝对 值相等，从而为加减消元法 解方程组创造条件．
87y
3( 2 ) -8y= 10
把 y 4 代入(3)得:
5
x
8
7
4 5
8
28 5
12 5
6
2
2 25
24+21y-16y=20
5y=-4
y4 5
x6
∴
5
y4
5
选一个方程变形为y=？x或x=?y,代入另一个方程，实现消元，进而求得二 元一次方程组的解的方法叫代入消元法， 简称代入法
用加减法解方程组
(5)写解 写出方程组的解
解二元一次方程组的方法选择
x 2y 0 3x 4y 6
5x 3y 2 2x 3y 10
代入法还是加减法
选择的标准: 若有未知数的系数为±１， 用代入法． 否则用加减法．
⑴ 中x的系数为１
例1． 解方程组 x－y=3 3x－8y=14
解:将方程⑴变形,得
选择用代入法．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6
2
2 25
24+21y-16y=20
5y=-4
y4 5
二元一次解方程组的方法
二元一次解方程组的方法
二元一次方程是指含有两个未知数及系数的方程，形如a某 + by = c，d某 + ey = f。
解二元一次方程组就是要找到满足这两个方程的未知数某和y的值。
解二元一次方程组的方法有多种，下面将介绍四种常见的方法：
1.替换法
替换法是解二元一次方程组最常用的方法之一、首先，将其中一个方程表示出其中一个未知数，然后将该式子代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的一元一次方程，从而解得该未知数的值，再代回原方程组中求出另一个未知数的值。
2.消元法
消元法是另一种常用的解法。
通过对方程组进行适当的变换，使得其中一个未知数的系数相同，然后相减或相加，消除这个未知数，得到一个只含有一个未知数的一元一次方程，进而求出该未知数的值，再代回原方程组求另一个未知数的值。
3.矩阵法
矩阵法是一种将方程组表达为矩阵形式的解法。
将方程组的系数和常数项构成一个增广矩阵，然后通过行变换将矩阵化为上三角矩阵或行最简形，最后通过回代求出未知数的值。
4.克莱姆法则
克莱姆法则是一种利用行列式的性质解方程组的方法。
通过求解方程组的系数矩阵的行列式和未知数矩阵的行列式，即方程组的增广矩阵的行列式，然后将这两个行列式相除，得到未知数的值。
以上四种方法都有其适用的场景和特点，根据具体问题的不同，选择合适的方法可以更高效地求解二元一次方程组。
需要注意的是，当求解二元一次方程组时，有时方程可能无解或有无穷解。
无解的情况是指两个方程表示的直线平行，即两个方程的斜率相等但截距不相等；而有无穷解的情况是指两个方程表示的直线重合，即两个方程的斜率和截距均相等。
(完整版)二元一次方程组的常见解法
二元一次方程组的常见解法二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数．常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法．一、代入法即由二元一次方程中的一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求解．一般情况下用代入法解方程组时，选择变形的方程要尽可能的简单，表示的代数式也要尽可能的简单，以利于计算．2x+5y=－21①例1、解方程组x+3y=8 ②解由②得：x=8－3y ③把③代入①得2（8－3y）+5y=－21解得：y=37把y=37代入③得：x=8－3×37=－103x=－103所以这个方程组的解是y=37二、整体代入法当方程组中的两个方程存在整数倍数关系时，用代入法解可将整数倍数关系数中较小的一个变形，用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程．3x－4y=9①例2、解方程组9x－10y=3②解由①得3x=4y+9 ③把③代入②得3(4y+9)－10y=3解得y=－12把y=－12代入③得3x=4×(－12)+9解得x=－13x=－13所以方程组的解是y=－12三、加减消元法即方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数相等时，让两个方程相减．如果方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数互为相反数时则让两个方程相减．消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫加减消元法．2x+3y=14 ①例3、解方程组4x－5y=6②解由①×2得4x+6y=28 ③③－②得：11y=22解得y=2把y=2代入②得4x－5×2=6解得x=4x=4所以方程组的解为y=2四、整体运用加减法即当两个二元一次方程中的某一部分完全相同或符号相反时，可以把这两个方程两边相加或相减，把相同的部分整体消去．3(x+2)+(y－1)=4 ①例4 解方程组3(x+2)+(1－y)=2 ②解①－②得(y－1)－(1－y)＝4－2整理得2y=4解得y=2把y=2 代入①得3(x+2)+(2－1)=4整理得3x+7=4解得x=－1x=－1所以方程组的解为y=2解二元一次方程组的主要方法有代入法和消元法，因为方程的形式是多种多样的．所以在解方程中一定要仔细观察方程中各部分以及各个未知数和它们的系数之间的关系的找到最简便的解题方法．。
8.2二元一次方程组的解法----加减消元法2
七年级数学加减消元法讲学稿主备：杨海兰 王钟升 审核：粟景耀 班学生姓名【目标】掌握加减法解二元一次方程组 【重点】用加减法解二元一次方程组【难点】用加减法解相同未知数的系数不成整数倍的二元一次方程组一、预习案：（一）知识回顾用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确．6,(1)212.x y x y +=⎧⎨-=⎩ 321(2)2410a b a b -=-⎧⎨+=⎩（二）阅读课本P99-100内容，完成下列问题：1．请仔细观察上面两道题未知数的系数有何关系？2．试用加减法解方程组： 6 (1)212 (2)x y x y +=⎧⎨-=⎩解：①+②得：3x= _______解得：x=________。
把x=_______,代入①得：_____________________. ∴y=________. ∴________x y =⎧⎨=⎩（三）尝试练习：23(1)34a b a b +=⎧⎨+=⎩ 41030(2)15108x y x y +=⎧⎨-=⎩二、学习案：【知识点拨】1.什么是加减消元法？2.用加减消元法解二元一次方程。
【课内训练】1．已知45,324,x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x-y的值是（）A．1 B．0 C．-1 D．不能确定2．用加减消元法解下列方程组：(1)3213,32 5.x yx y+=⎧⎨-=⎩(2)258325m nm n+=⎧⎨+=⎩(3)3416,5633,x yx y+=⎧⎨-=⎩三、反馈案：1．解方程组①2359;x yx y=⎧⎨-=⎩②4273210;x yx y-=⎧⎨+=⎩③341;x yx y+=⎧⎨-=⎩④459237x yx y+=⎧⎨-=⎩比较适宜的方法是（）A．①②用代入法，③④用加减法B．②③用代入法，①④用加减法C．①③用代入法，②④用加减法D．②④用代入法，①③用加减法2．用加减法解下列方程组：（1）29321x yx y+=⎧⎨-=-⎩（2）52253415x yx y+=⎧⎨+=⎩(3)25343x yx y-=-⎧⎨-+=-⎩。
二元一次方程组的解法
解法有如下：
1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→ 系数化成1→解。
2．元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法②加减法
二元一次方程组有两种解法,一种是代入消元法,一种是加减消元法.
例: 1)x-y=3 2)3x-8y=4 3)x=y+3 代入得3×（y+3)-8y=4
y=1
所以x=4 这个二元一次方程组的解x=4 y=1
以上就是代入消元法，简称代入法。
利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，是方程只含有一个未知数而得以求解。
这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。
例题：(1)3x+2y=7 (2)5x-2y=1
解：消元得：8x=8 x=1 3x+2y=7 3*1+2y=7 2y=4 y=2 x=1 y=2
你看下，明白没？没得话，我再解释！
这里说实在的最主要的还是方法，方法掌握了，类似的问题都能解决了！
希望我的回答对你有帮助，祝你好运！像这样的问题自己多尝试下，下次才会的！
祝你学业进步！。
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精讲 导学
① ②
③ + ④ 得: (9x+ 12y)+( 10x - 12y) = 48+ 66,
x=6 1 y= 2
用加减法解方程组：
2x 5y 8 2 x 3 y 6 (1) ( 2) ② ② 3 x 2 y 5 3 x 2 y 2
解方程组: x y 22 ① 2 x y 40 ②
解： ②﹣①，得
(2 x y ) ( x y ) 40 22
把x 18代入 ①得
x 18
x 18 ∴原方程组的解是 y 4
18 y 22 y4
展示竞学
一、选择你喜欢的方法解下列方程组 7x-2y=3 ⑴ x=-1
6x+7y=-19①
1. 用加减法解方程组
6x-5y=17②
应用（ B ）
A.①-②消去y C. ②- ①消去常数项
3x+2y=13
B.①-②消去x D. 以上都不对
2.方程组 A.6x=8
消去y后所得的方程是（B ） 3x-2y=5 ②
B.6x=18 C.6x=5
D.x=18
合 作 互 学
当两个方程 中同一未知 阅读课本思考： 数的系数不 1、①×3的具体步骤是什么？ 相同且不互 3（3x+ 4y） = 3× 16 为相反数时， 则应将两个 9x+ 12y = 48 ③ 方程变形， 2、②×2的具体步骤是什么？ 将某个未知 2（5x - 6y） = 2× 33 数的系数变 为相同或相 10x - 12y = 66 ④ 反数再进行 3、以上两个步骤的目的是什么？ 加减消元。 使两方程未知项y 的系数互为相 反数，从而使用③+④消去y.
两个等式的左边之和（或差）= 右边之和（或差）
<2>若a=b,那么ac= bc . (等式性质2)
2、解二元一次方程组的基本思路是什么？ 基本思路: 消元: 二元 一元 用代入法解方程的步骤是什么？ 主要步骤 用含有一个未知数的代数式表 示另一个未知数,写成y=ax+b 一变形 或x=ay+b 把变形后的方程代入到另一个方 二代入 程中，消去一个元 三求解 分别求出两个未知数的值 四写解 写出方程组的解
小结评学
学习了本节课你有哪些收获？
加减消元法解方程组基本思想是什么？ 前提条件是什么？
基本思想: 加减消元:
二元
一元 相加 相减
前提条件： 同一未知数的系数互为相反数或相同
系数互为相反数 系数相同
作
业
P96 练习第1大题。
= 40 22
x
18
一元
第二站—— 探究之旅
4 x 10 y 3.6 ① 15x 10 y 8 ②
二元
通 过 两 方 程 两 边 相 加
①+②,得 (4 x 10y ) (15x 10y ) 3.6 8 19x=11.6
一元
精讲导学
8.2 消元
加减消元法解二元一次方程组 第1课时
学习目标 ：
1、会用加减法解二元一次方程组。 2、初步体会解二元一次方程组的基本思想— “消元”。
3、通过对方程中未知数特点的观察和分析， 明确怎样“消元”，以促成未知向已知的转化， 培养观察能力和体会化归的思想。
独立自学
1、根据等式性质填空: <1>若a=b,那么a±c= b±c . (等式性质1) 思考:若a=b,c=d,那么a±c=b±d吗?
请大家认真阅读课本94页第二个思 考前的内容。回答第一个思考中的问题。
探讨：课本上的这半句话：“②－①可消去 y，得 x=18”中隐含了那些步骤？
x y 22 2x y 40
① ②
二元
通 由“两个等式的左边之和（差）=右边之和（差）” 过 两 我们可以得到： ②－①的具体步骤为 方 ②左边 ①左边 = ②右边 ① 右边 程 两 边 相 2x y x y 减
到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，
简称加减法.
我来说：
利用加减消元法解方程组时,在方程组的两 个方程中: (1)某个未知数的系数互为相反数，则可以直接 把这两个方程中的两边分别相加， 消去这个未知数; (2)如果某个未知数系数相等，则可以直接
把这两个方中的两边分别相减, 消去这个未知数
9x+2y=-19 6x-5y=3
y=-5
x=-2 y=-3
⑵
6x+y=-15
二.填空题：
1.已知方程组
x+3y=17 两个方程
2x-3y=6 ② y 分别相加 就可以消去未知数 只要两边 25x-7y=16
2.已知方程组
25x+6y=10 ② 只要两边 分别相减 就可以消去未知数 x
两个方程
三.选择题
温故而知新
x y 10 ① 2x y 16 ②
y = 10 - x 2x + (10-x) y =16
3、之前我们用什么方法解过下这个方程组？
合作互学
第一站——发现之旅
尝 试 发 现 探 究 新 知
解这个方程组除了用代入法 x y 10 ① 2x y 16 ② 还有别的方法吗？
②
例
解方程组
3x+ 4y = 16 5x - 6y = 33
①
点拨：
3x+ 4y = 16 解方程组 5x - 6y = 33 ③ 解： ① ×3 得: 9x+ 12y = 48. ② ×2 得: 10x - 12y = 66. ④
19x = 114, 把x = 6代入①得 18 + 4y = 16, 1 y= 2 . 原方程组的解为
第三站——感悟之旅
加减消元法
①
4x + 10y=3.6
15x - 10y=8
②
x y 22 2 x y 40
①
②
由 ②+①得:19x＝11.6
由② － ①得: x=18
当方程组的两个二元一次方程中同一未知数
的系数互为相反数或相等时，将两个方程的 两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得