空间向量的坐标表示
空间向量的坐标表示
D1 A1
[思 考2]
若E、F均 为 各 自 棱 上 的 动 点 ，
( x2 , y2 , z2 ) ( x1 , y1 , z1 )
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
P 一个向量在直角坐标系中的坐
y
标等于表示这个向量的有向线 段的终点坐标减去起点的坐标 .
3、空间两点间的距离和夹角
1.两点之间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M1•
P o
d M1M2 ?
• M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1•
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
(b1b2b3 0)
空间向量的坐标表示
A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
AB
( x2 x1 , y2 y1 )
A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
z
A
O
x
a
B AB OB OA
;
| a || b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
注意：
rr
rr
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向；
rr
rr
（2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向；
空间向量的坐标表示
e3 Oe 2
分别为x,y,z轴正方向上的单位向量，由空间向量 ( x, y, z) 基本定理，存在唯一的有序实数组
给定一个空间直角坐标系和向量 p 且设 ，
i、 k j、
A(x,y,z) y
e1
(1)设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )
即对应坐标成比例.
4.判断下列各组中的两个向量是否共线.
9 (1)a (2,3, 4, ), b (3, , 6) 2 (2)a (2,0, 4,), b (4,1, 8) (3)a (2,0, 4,), b (4,0, 8)
5.已知m (8,3, a), n (2b, 6,5) ,若m n 则a=_____,b=______.
则:
2、空间向量的直角坐标运算律：
a (a1 , a2 , a3 )
(2)若A(a1 , b1 , c1 ), B(a2 , b2 , c2 )则 AB (a2 a1 , b2 b1 , c2 c1 )
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a b
a (a1, a2 )( R),
(a1 b1 , a2 b2 ),
(2)若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则AB ( x2 x1 , y2 y1 )
1、空间向量的坐标表示：
使得 p xi y j zk 则有序实数组 ( x, y, z ) 叫做 p 在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标，上式可简记作 p ( x, y, z) z
空间向量的坐标表示
o x
y
AB OB OA ( x2 i y2 j z2 k ) ( x1 i y1 j z1 k )
( x2 x1 )k
AB的坐标是（x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
一、新知探究
在空间直角坐标系中， i , j , k 分别是x轴,y轴,z轴正方 向上的单位向量， a 是空间任意向量，作 OP = a
a
过点P作坐标平面yoz,xoz,xoy的平行平面，分别
z 交x轴,y轴,z轴于A,B,C三点．
则ＯP = OA + OB + OC
应用举例
例1、如图，在直角坐标系中有长方体ABCD-A1 B1 C1 D1 , 且AB=3,BC=5,AA1 =7.
（ 1）写出点C1的坐标，给出 AC1 关于 i , j ,k 的分解式;
(2)求 BD1 的坐标
D1
Z A1
C1
B1
A D X
B
O
Y
C
新知探究
设 a x i y j z k , 求 a i , a j , a k
我们把 a =x i y j z k 叫作 a 的标准正交分解， 把 i , j , k 叫作标准正交基.
( x, y, z )叫作空间向量 a 的坐标，记作 a ( x, y , z )
在空间直角坐标系中，点P的坐标为（x,y,z), 则向量 OP的坐标也是（x,y,z)
例2、在棱长为2的正方体中，求：
1.3.2空间向量运算的坐标表示
坐标表示
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减
去起点坐标.
3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
一、空间向量运算的坐标表示
1.空间向量运算法则设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
向量表示
加法
a+b
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
减法
a-b
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘
λa
(λa1,λa2,λa3)
数量积
a·b
a1b1+a2b2+a3b3
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
21 + 22
(1)|a|= ·=
(2)cos<a,b>=
·
||||
+ 23
z
P1
k
;
1 1 + 2 2 + 3 3
=
;
12 + 22 + 32 12 + 22 + 32
(3)若 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则 P1,P2 两点间的距离为
1
3
1，－ ，－
1，1)，c＝
2
2 ，则它们之间的关系是( A )
A．a⊥b 且 a∥c
B．a⊥b 且 a⊥c
C．a∥b 且 a⊥c
空间向量的表示与运算技巧
空间向量的表示与运算技巧空间向量在数学和物理学中扮演着重要的角色，它们被广泛地用于描述力、速度、加速度和位移等物理量。
在本文中，我将介绍空间向量的表示方法和一些常用的运算技巧。
一、空间向量的表示方法空间向量可以用多种方式表示，其中最常见的是使用坐标表示。
在笛卡尔坐标系中，一个空间向量可以由其在x、y和z轴上的分量表示。
例如，一个点P的坐标为(x, y, z)，其中x、y和z分别表示P在x、y和z轴上的分量。
这种表示方法简单直观，易于理解和计算。
除了坐标表示外，空间向量还可以使用矢量符号表示。
矢量符号通常在向量上方加一箭头，表示其方向和大小。
例如，一个向量a可以表示为a→。
这种表示方法更加简洁，能够清晰地表达向量的性质，但在计算时需要注意方向和大小的对应关系。
二、空间向量的运算技巧1. 向量相加空间向量的相加运算是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，分别表示为a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁,b₂, b₃)，它们的和向量c可以表示为 c = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)。
这个运算规则适用于三维空间中的所有向量。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是将一个向量的每个分量与一个实数相乘得到一个新的向量。
假设有一个向量a和一个实数k，向量ka可以表示为 ka = (ka₁, ka₂, ka₃)。
这个运算技巧可以用来改变向量的大小或方向。
3. 向量的点积向量的点积（内积）是两个向量相乘后再求和的结果。
假设有两个向量a和b，它们的点积可以表示为 a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
点积运算的结果是一个标量，可以用来计算向量的夹角、判断两个向量是否垂直或平行等。
4. 向量的叉积向量的叉积（外积）是两个向量相乘后得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的叉积可以表示为 a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)。
空间向量的坐标表示教案
空间向量的坐标表示教案一、教学目标1. 理解空间向量的坐标表示及其意义。
2. 掌握空间向量的坐标运算规则。
3. 能够运用空间向量的坐标表示解决实际问题。
二、教学重点和难点1. 教学重点：空间向量的坐标表示及其意义，坐标运算规则。
2. 教学难点：理解空间向量的坐标表示的实际应用，以及坐标运算规则的运用。
三、教学过程1. 导入新课：通过回顾空间向量的定义和性质，引出空间向量的坐标表示。
2. 新课学习：通过案例分析，引导学生理解空间向量的坐标表示及其意义，掌握坐标运算规则。
3. 巩固练习：通过小组讨论、个人展示等方式，让学生进行思考、计算、推导等活动。
4. 归纳总结：对本节课所学内容进行总结，强调重点和难点。
四、教学方法和手段1. 教学方法：讲解、演示、小组讨论、个人展示等。
2. 教学手段：利用多媒体技术，如PPT、视频等，增强学生对所学内容的直观感受和理解。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：通过小组活动和个人展示等方式，让学生进行思考、计算等活动。
2. 作业：布置相关练习题，让学生进一步巩固所学内容。
3. 评价方式：采用多元评价方式，包括学生的自我评价、互相评价、教师评价等，以全面了解学生的学习情况和表现。
六、辅助教学资源与工具1. 教学资源：PPT、教材、教案等。
2. 教学工具：多媒体设备、黑板、粉笔等。
七、结论本节课通过对空间向量的坐标表示的学习，帮助学生理解了空间向量的坐标表示及其意义，掌握了坐标运算规则，并能够运用这些知识解决实际问题。
同时，通过小组讨论和个人展示等活动，也锻炼了学生的思维能力和口头表达能力。
希望学生们在今后的学习中能够继续巩固和拓展这些知识，为后续课程的学习打下坚实的基础。
八、教学反思本节课的教学过程中，我注重学生的参与和互动，尽可能地激发学生的学习兴趣和积极性。
同时，通过案例分析、小组讨论等方式，引导学生主动思考和解决问题，发挥了学生的主体作用。
但在教学过程中，也存在一些不足之处，如对某些细节的讲解不够深入，学生的反应不够积极等。
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
【解析】如图所示，
＝
故|
＋
|2＝|
＝
＋
＝42＋32＋52＋2
＋
＋
＋
，
|2＝
2＋
2＋
2 ＋2(
＝85，故|
· ＋
·
|＝
.
＋
·
)
7.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F 分
别为 PQ，AB，BC 的中点，则异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值是________．
角为(
，若(a＋b)·c＝7，则 a 与 c 的夹
)
A． 30°
B． 60
°C． 120°
D． 150°
【答案】C
【解析】a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得 a·c＝－7，
而|a|＝
＝
所以〈a，c〉＝120°.
，所以 cos〈a，c〉＝
＝－ ，
3.一束光线自点 P(1,1,1)出发，被 xOy 平面反射到达点 Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经
【答案】
【解析】由正四面体的棱长为 a，知△BCD 的外接圆半径为
∴B，又正四面体的高为
＝
a，
∴A，D，∴AD 的中点 N 的坐标为
AB 的中点 M 的坐标为
∴
＝
，
.
，
又 C，∴
＝
∴|cos〈
，
.
〉|＝
＝ ，
∴异面直线 CN 与 DM 所成角的余弦值为 .
a.
总结提升
利用空间向量的坐标运算的一般步骤
C． 14
【答案】A
【解析】∵l1∥l2，∴a∥b，
1.2空间直角坐标系-向量的坐标表示
例 8 设P 在x 轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为到 点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
B(0, y, z)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
设空间两点A(x1, y1, z1), B(x2 , y2 , z2 ), 则点A与点B之间的距离| AB | 就是 向量AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)的模. 即:| AB || AB |
定点 o •
y 纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
例4 在空间直角坐标系中，指出下列各
点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4), C(2,3,4), D(2,3,1) .
解答： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
例 6 设 A( x1 , y1 , z1 )和B( x2 , y2 , z2 )为两已知 点，而在AB 直线上的点M 分有向线段AB 为
两部分AM 、MB，使它们的值的比等于某数
( 1)，即 AM ，求分点的坐标.
MB
解 设 M( x, y, z)为直线上的点， z
B
AM {x x1, y y1, z z1} A M
非零向量
a
的方向角： 、
、
z
a M1M2 (ax , ay , az )
空间向量运算的坐标表示(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册1
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
向量的三种表示方法
向量的三种表示方法
1.笛卡尔坐标表示法：在二维平面直角坐标系或三维空间直角坐标系中，向量可以用坐标表示。
例如，二维平面中的向量 a 可以表示为 (a1,a2)，三维空间中的向量 b 可以表示为 (b1,b2,b3)。
2. 极坐标表示法：在平面直角坐标系中，向量可以用极坐标表示。
向量的极角是与 x 轴正半轴的夹角，向量的长度是向量的模。
例如，向量 c 的极角为θ，长度为 r，可以表示为 (r,θ)。
3. 分量表示法：向量在某个方向上的投影可以表示为向量在该方向上的分量。
例如，向量 d 在 x 方向上的分量可以表示为 dx，y 方向上的分量可以表示为 dy，向量可以表示为 (dx,dy)。
- 1 -。
空间向量的坐标表示
诚西郊市崇武区沿街学校课题：空间向量的坐标表示主讲人张伟锋教学目的：1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算； 2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
教学重、难点：空间向量的坐标运算 教学过程： 一、创设情景1、平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向一样的两个单位向量i 、j 任作一个向量a，由平面向量根本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a+= 把),(y x 叫做向量a 的〔直角〕坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a在x 轴上的坐标，y 叫做a在y 轴上的坐标，特别地，)0,1(=i，)1,0(=j ，0,0(0=二、建构数学 1、空间直角坐标系：〔1〕假设空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1， 这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；〔2〕在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面。
〔3〕作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=〔或者者45〕，90yOz∠=；〔4〕在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，假设中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系2、空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k 为坐标向量，那么存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3、空间向量的直角坐标运算律〔1〕假设123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，那么112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，〔2〕假设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，那么212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
空间向量的坐标表示
B.(7，－10，－24)
C.(－6,8,24)
√D.(－5,6,24)
解析 ∵a＝(－3,4,12)，且A→B＝2a， ∴A→B＝(－6,8,24)，
∵A(1，－2,0)， ∴B(－5,6,24).
针对练习
3.与向量m＝(0,1，－2)共线的向量坐标是
A.(2,0，－4)
典型例题
例 3 已知空间四点 A(－2,3,1)，B(2,－5,3)，C(10,0,10)和 D(8,4,9)，O 是坐标原点， 求证：四边形 ABCD 是梯形．
【解析】 依题意，得O→A＝(－2,3,1)，O→B＝(2,－5,3)， 所以A→B＝O→B－O→A＝(2,－5,3)－(－2,3,1)＝(4,－8,2)． 同理D→C＝(2,－4,1)，A→D＝(10,1,8)，B→C＝(8,5,7)． 由A→B＝2 D→C，得A→B∥D→C. 又不存在实数 t，使得A→D＝tB→C，即A→D，B→C不共线，所以四边形 ABCD 是梯形．
探究新知
2. 探究空间直角坐标系中的坐标 如图给定空间直角坐标系和向量 a，i，j，k 作为基向量，则存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使 a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫作向量 a 在空间直角坐标系 O－xyz 中的坐标，记作 a＝(x，y，z)．
探究新知
在空间直角坐标系 O－xyz 中，对于空间内任意一点 A(x，y，z)，存在唯一的有序 实数组(x，y，z)，使O→A＝xi＋yj＋zk，所以向量O→A的坐标为O→A＝(x，y，z)，我们把与向 量O→A对应的有序实数组(x，y，z)叫作点 A 的坐标，记作 A(x，y，z)，x 叫作横坐标，y 叫作纵坐标，z 叫作竖坐标．
B.A→B＝(1,3,4)
空间向量的表示和运算
空间向量的表示和运算空间向量是三维空间中的一个基本概念，表示了一个有大小和方向的箭头。
在几何学、物理学和工程学等领域中，空间向量的表示和运算是非常重要的内容。
本文将介绍空间向量的表示方法和常见的运算方式。
一、空间向量的表示方法在三维空间中，一个向量可以使用不同的表示方法，包括坐标表示、分量表示和向量代数表示。
1. 坐标表示在直角坐标系中，一个空间向量可以用它在三个坐标轴上的投影表示，例如一个向量V可以表示为(Vx, Vy, Vz)，其中Vx、Vy和Vz分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的投影。
2. 分量表示分量表示是将一个向量分解成若干个平行于坐标轴的向量的和。
例如一个向量V可以表示为(Vx，Vy，Vz)，其中Vx、Vy和Vz分别表示向量在x轴、y轴和z轴方向上的分量。
3. 向量代数表示向量代数表示使用向量的起点和终点坐标表示向量。
例如一个向量V可以表示为A→B，其中A和B分别表示向量的起点和终点坐标。
二、空间向量的运算空间向量的运算包括加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等。
1. 加法和减法向量的加法是将两个向量首尾相接，将第一个向量的终点与第二个向量的起点相连，所得到的新向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
向量的减法可以看作向量的加法的逆运算。
例如，给定两个向量A和B，其和可以表示为A + B，差可以表示为A - B。
2. 数量乘法向量的数量乘法是将向量的每个分量与一个实数相乘得到的新向量。
例如，给定一个向量A和一个实数k，其数量乘积可以表示为kA。
3. 点乘向量的点乘，也称为数量积或内积，是将两个向量对应分量相乘再相加得到一个标量（实数）的运算。
点乘的结果可以用向量的夹角和向量模的乘积表示。
例如，给定两个向量A和B，其点乘可以表示为A·B。
4. 叉乘向量的叉乘，也称为向量积或外积，是两个向量的乘积得到的另一个向量。
叉乘的结果既与两个向量的方向垂直，又与两个向量组成的平面的法向量方向一致。
空间向量运算的坐标表示 课件
则有 E(0,0，12)、F(12，12，0)、C(0,1,0)、C1(0,1,1)、
B1(1,1,1，)、G(0，34，0)．
(1)E→F＝(12，12，0)－(0,0，12)＝(12，12，－12)， B→1C＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1，0，－1)． ∴E→F·B→1C＝12×(－1)＋12×0＋(－12)×(－1)＝0，∴E→F⊥B→1C，即 EF⊥B1C.
空间向量运算的坐标表示
1．空间向量运算的坐标表示 设{i，j，k}为单位正交基底，即i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝(0,0,1)，在此基 底下，a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，即a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋ b3k ， 根 据 向 量 线 性 运 数 与 数 量 积 运 算 的 定 义 及 运 算 律 ， 可 得 出 a±b ， λa ， a·b，a⊥b，a∥b，|a|及cos〈a，b〉的坐标表示．
(1)空间向量的线性运算及数量积的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ①a＋b＝__(a_1_＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)_____________； ②a－b＝__(a_1_－__b_1_，__a_2－__b_2_，__a_3_－__b_3)_____________； ③λa＝__(_λa_1_，__λ_a_2_，__λ_a_3)_(_λ∈__R__) ________________； ④a·b＝__a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3_____.
当图形中的点不方便用坐标表示时，可直接设出向量的基底，将各条件、结论 中涉及的向量表示为基底的线性组合，再运用向量线性运算及内积运算的规则 进行推理、计算，最后转化为相应几何结论． 3．已知两向量夹角为锐角或钝角，求参数取值范围时，要注意共线的情形．
向量的坐标表示
向量是数学中一个非常重要的概念，它不仅仅在数学领域中应用广泛，在物理学、工程学等领域中也具有重要意义。
我们经常使用向量来描述物体的位移、速度、加速度等，因此了解向量的坐标表示是非常必要的。
在二维空间中，一个向量可以用坐标(a, b)表示，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
这种方式称为向量的分量表示。
根据向量的定义，向量表示物体从一个位置到另一个位置的移动，而分量表示了在x方向和y方向上的移动情况。
例如，向量(3, 4)表示一个物体向右移动了3个单位，在垂直方向上向上移动了4个单位。
在三维空间中，一个向量可以用坐标(a, b, c)表示，其中a、b和c分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
这种方式称为向量的分量表示。
与二维空间类似，分量表示了向量在不同方向上的移动情况。
例如，向量(1, -2, 3)表示一个物体向右移动了1个单位，在垂直方向上向下移动了2个单位，在与(x, y)平面垂直的方向上向上移动了3个单位。
可以看出，向量的分量表示非常直观，可以很清楚地描述向量的方向和大小。
除了分量表示，向量还可以用向量的模和方向表示。
向量的模表示向量的长度或大小，用|v|表示，可以通过勾股定理计算得到。
在二维空间中，向量v = (a, b)的模可以表示为：|v| = √(a^2 + b^2)。
在三维空间中，向量v = (a, b, c)的模可以表示为：|v| = √(a^2 + b^2 + c^2)。
向量的方向可以用夹角来表示。
除了分量和模，向量还可以用单位向量表示。
单位向量是向量的长度为1的向量，它具有方向但没有大小。
对于一个非零向量v = (a, b)，可以找到一个与v方向相同但长度为1的向量u = (m, n)，这个向量就是v的单位向量。
单位向量可以通过将向量除以它的模得到。
例如，对于一个二维向量v = (3, 4)，它的模为5，因此它的单位向量为u = (3/5, 4/5)。
向量的坐标表示在数学和物理学中有着广泛的应用。
《空间向量运算的坐标表示》知识清单
《空间向量运算的坐标表示》知识清单知识点1空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ,以点O 为原点,分别以,,i j k 的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系,Oxyz O 叫做原点,,,i j k 都叫做①_______,通过②_______的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy 平面,Oyz 平面,Ozx 平面,它们把空间分成③________个部分.知识点2空间点的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz 中,,,i j k 为坐标向量,对空间任意一点A ,对应一个向量OA ,且点A 的位置由向量OA ④________,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使⑤________.在单位正交基底{,,}i j k 下与向量OA 对应的有序实数组(,,)x y z ,叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标,记作(,,)A x y z ,其中x 叫做点A 的横坐标,y 叫做点A 的纵坐标,z 叫做点A 的角坐标. 知识点3空间向量的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz 中,给定向量a .作OA =a .由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使x y z =++a i j k .有序实数组(,,)x y z 叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标,上式可简记作⑥_________.知识点4空间向量运算的坐标表示设()()123123,,,,,a a a b b b ==a b .知识点5空间向量常用结论的坐标表示设()()123123,,,,,a a a b b b ==a b .知识点6空间两点间的距离公式在空间直角坐标系Oxyz 中,设()1111,,P x y z ,()2222,,P x y z 是空间中任意两点,则 ()1221212121,,,PP OP OP x x y y z z =-=---(1212PP PP x ==【答案】①坐标向量②每两条坐标轴③八④唯一确定⑤OA x y z =++ij k ⑥(,,)x y z =a ⑦(11a b +,)2233,a b a b ++⑧()112233,,a b a b a b ---⑨()123,,a a a λλλ⑩112233a b a b a b ++⑪112233,,a b a b a b λλλ===⑫1122330a b a b a b ++=【知识辨析】判断正误,正确的画“√”,错误的画“⨯”.1.点(2,3,1)--在Oxy 平面上的射影为点(2,3)-.( )2.已知,,i j k 是空间直角坐标系Oxyz 的坐标向量,并且OB =-+-i j k ,则B 点的坐标为(1,1,1)--.( )3.向量(2,3,1)=-a 与向量(4,6,2)=--b 平行.( )4.若向量(1,1,2)=-a 与向量(,2,1)x =-b 垂直,则4x =.( )5.对于空间任意两个向量()(12312,,,,a a a b b ==a b ,)3b ,若a 与b 共线,则312123a a ab b b ==.( ) 6.空间向量(1,1,1)=a 为单位向量.( )【答案】1.× 点(2,3,1)--在Oxy 平面上的射影为点(2,3-,0).2.√3.√4.√5.×b 为零向量时不成立.6.×||=a a 的模不是1.。
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一、空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用来 i , j , k 表示
空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 个单位正交基底 i、j、k 。以点O为原点， 分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、 y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了 一个空间直角坐标系O--xyz
三、向量的直角坐标运算.
设 a (a1,a2,a3),b (b1,b2,b3) 则
a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3);
a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3);
a (a1,a2,a3)( R);
a // b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)
间直角坐标系O--xyz中的坐标，
x
记作.
a =( a 1 ,a 2,a 3)
A(x,y,z) y
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点 A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数 组x,y,z，使 OA=xi+yj+zk
在单位正交基底i, j, k中与向量OA对应的有 序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中 的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
例 4.在空间直角坐标系中， 已知 A(3,0,0),B(0,4,0), C(0,0,2),P( x, y, z )是平面 ABC 内任意一点， 试求 x, y, z 满足的方程
例1. 已知 a (1， 3，8) ， b (3,10,4) ， 求 a b ， a b ， 3a 。
例 2.已知空间四点 A(-2,3，1),B(2,-5,3), C(10,0,10)和 D（8，4，9）， 求证：四边形 ABCD 是梯形。
例 3.在长方体中 ABCD-A1B1C1D1 中， AB=4,AD=3,AA1=2, P,Q,R,S 分别是 AA1,D1C1,AB,CC1 的中点， 用向量知识证明:PQ∥RS
点O叫做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
二、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向
量 a ,且设i、j、k为坐标向量，
由空间向量基本定理，存在唯
一的有序实数组( a1, a2, a3)使
a = a1i+a2j+a3k
z
a
k i Oj
有序数组(a1,a2,a3)叫做 a在空