2015年上海中考数学《相似三角形的判定》复习题

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上海数学学科九年级相似三角形测试题及答案

相似三角形测试题及答案图形的放缩与比例线段（1）一、填空题（每小题4分,共40分）1、如果,那么＝________。

2、已知：，则＝________。

3、与的比例中项是________。

4、对一段长为20cm的线段进行黄金分割,那么分得的较长线段长为________cm。

（不取近似值)5、如图，DE∥BC，AD＝1，DB＝2，则的值为________。

6、如图，DE∥BC，AB＝12，AC＝16，AE＝10，则AD＝________。

7、如图，线段AB＝10cm，，，则CD＝________cm。

8、已知：线段AB＝10cm，点C是AB的黄金分割点，且AC＞CB，则BC＝________cm。

（不取近似值)9、如图，AD∥EF∥BC,，DF＝4cm,则DC＝________cm。

10、如图，AB∥EF∥DC，AB＝，DC＝,，则EF＝________。

（用式子表示）二、选择题（每小题4分，共16分）1、若,则下列等式中不正确的是（）。

（A）;（B）；（C）;（D）.2、如图，△ABC中，DE∥BC，则下列等式中不成立的是（）。

（A)；（B)；（C）；（D）.3、如图,△ABC中，DE∥BC，AD＝1，EC＝3，则下列等式中成立的是（ )。

（A）；(B);(C）；（D）.4、如图,△ABC中，DE∥BC,AD＝1，DB＝DE＝2，则BC长是（）。

(A）3； (B）4；（C）5；（D）6。

三、（本题8分）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，，FC＝2,AC＝6,求DE和CE长四、（本题8分）如图，△ABC中，AD＝2DC,G是BD中点,AC延长线交BC于E，求的值。

五、（本题8分）如图，△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于F，AH交DE于G，DE＝10，BC＝15，AG＝12,求线段AH长.六、（本题10分)如图，平行四边形ABCD中,E是AB的中点，G是AC上一点，，连EC延长交AD于F,求的值。

2015年上海市中考数学试卷-含答案详解

2015年上海市中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列实数中，是有理数的为( )A. √2B. √43 C. π D. 02. 当a>0时，下列关于幂的运算正确的是( )A. a0=1B. a−1=−aC. (−a)2=−a2D. a12=1a23. 下列y关于x的函数中，是正比例函数的为( )A. y=x2B. y=2x C. y=x2D. y=x+124. 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是( )A. 4B. 5C. 6D. 75. 下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是( )A. 平均数B. 众数C. 方差D. 频率6. 如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是( )A. AD=BDB. OD=CDC. ∠CAD=∠CBDD. ∠OCA=∠OCB二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 计算：|−2|+2=______．8. 方程√3x−2=2的解是______．9. 如果分式2xx+3有意义，那么x的取值范围是______．10. 如果关于x的一元二次方程x2+4x−m=0没有实数根，那么m的取值范围是______．11. 同一温度的华氏度数y(℉)与摄氏度数x(℃)之间的函数关系是y=95x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是℉.12. 如果将抛物线y =x 2+2x −1向上平移，使它经过点A(0,3)，那么所得新抛物线的表达式是______．13. 某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是______． 14. 已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：年龄(岁) 11 12 13 14 15人数 5 5 16 15 12那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是______岁．15. 如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，那么向量DE⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量m ⃗⃗ ，n ⃗ 表示为______．16. 已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE =AD ，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么∠FAD =______度．17. 在矩形ABCD 中，AB =5，BC =12，点A 在⊙B 上，如果⊙D 与⊙B 相交，且点B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于______.(只需写出一个符合要求的数)18. 已知在△ABC 中，AB =AC =8，∠BAC =30°，将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D 处，延长线段AD ，交原△ABC 的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。

2015秋华师大版数学九上2332《相似三角形的判定》练习题

相似三角形的判定练习题
一、填空题。

1、______三角形一边的______与其她两边______,所构成的三角形与原三角形相似、
2、如果两个三角形的______对应边的______,那么这两个三角形相似、
3、如果两个三角形的______对应边的比相等,并且______相等,那么这两个三角形相似、
4、如果一个三角形的______角与另一个三角形的______,那么这两个三角形相似、
5、在△ABC与△A′B′C′中,如果∠A＝56°,∠B＝28°,∠A′＝56°,∠C′＝28°,那么这两个三角形能否相似的结论就是______、理由就是________________、
6、在△ABC与△A'B′C′中,如果∠A＝48°,∠C＝102°,∠A′＝48°,∠B′＝30°,那么这两个三角形能否相似的结论就是______、理由就是________________、
7、在△ABC与△A'B′C′中,如果∠A＝34°,AC＝5cm,AB＝4cm,∠A′＝34°,A'C′＝2cm,A′B′＝1、6cm,那么这两个三角形能否相似的结论就是______,理由就是____________________、
8、在△ABC与△DEF中,如果AB＝4,BC＝3,AC＝6;DE＝2、4,EF＝1、2,FD＝1、6,那么这两个三角形能否相似的结论就是____________,理由就是__________________、。

数学：24.2《相似三角形的判定》同步练习(沪科版九年级上)

24.2相似三角形的判定第1题. 如图，AC BD ⊥，垂足为C ，过D 点作DF AB ⊥，垂足为F ，交AC 于E 点．请找出图中所有的相似三角形，并说明理由．答案：解：（1）因为90A A AFE ACB ∠=∠∠=∠=，所以AFE ACB △∽△．（2）因为90AEF DEC AFE DCE ∠=∠∠=∠=，，所以AFE DCE △∽△．所以A D ∠=∠．（3）因为A D ∠=∠，90AFE DFB ∠=∠=，所以AFE DFB △∽△．（4）因为D A ∠=∠，90DCE ACB ∠=∠=，所以DCE ACB △∽△．（5）因为D A ∠=∠，90DFB ACB ∠=∠=，所以DFB ACB △∽△．（6）因为D A ∠=∠，90DCE DFB ∠=∠=，所以DCE DFB △∽△．知识点：三角形相似的条件试题类型：运算题试题难度：容易考查目标：基本技能第2题.如图，一艘军舰从点A 向位于正东方向的C 岛航行，在点A 处测得B 岛在其北偏东75，航行75nmile 到达点D 处，测得B 岛在其北偏东15，继续航行5n mile 到达C 岛，此时接到通知，要求这艘军舰在半小时内赶到正北方向的B 岛执行任务，则这艘军舰航行速度至少为多少时才能按时赶到B 岛？答案：解：根据题意，可得1590A CBD BCD ACB ∠=∠=∠=∠=，．所以.BCD ACB △∽△ 由相似三角形对应边成比例，得BC AC DC BC =，即805BC BC=．ＡＦＢＣＤＥＡＤ所以240020BC BC ==，．要求军舰在半小时内赶到正北方向的B 岛执行任务，因此航行速度至少是200.540=÷(n mile/h)知识点：三角形相似的条件试题类型：应用题试题难度：中等考查目标：双基简单应用第3题. 如图，点E C 、分别在AB AD 、上，BC 与DE 相交于一点O ，若B D ∠=∠，则图中相似三角形有几对？分别写出来说明理由．答案：2对BAC DAE BOE DOC △∽△，△∽△．理由略知识点：三角形相似的条件试题类型：运算题试题难度：容易考查目标：基本技能第4题. 如图，已知:3:4DE BC AD DB =∥，，若5DE =cm ，求BC 的长．答案：353cm 知识点：三角形相似的条件试题类型：运算题试题难度：中等考查目标：基本技能第5题. 如图，已知ABC ACB ∠=∠，若3AD =cm ，7AB =cm ，试求AC 的长．21cm知识点：三角形相似的条件试题类型：运算题试题难度：中等考查目标：基本技能第6题. 如图，4cm 9cm 5cm 12cm AO DO AB BC O ====，，，，为BC 的中点，求CDO △的周长．答案：解：由12cm BC =，O 为BC 的中点，得6BO CO ==cm ．由4cm 9cm AO DO ==，，得23AO BO CO DO ==．因为两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，所以AOB COD △∽△．由相似三角形对应边成比例，得AB AO CD CO =，即523CD =．ＡＣＯＤＢＥＡＤＥＣＢＡＤＣＡＢＯＣ所以537.52CD ==×(cm)．因此，CDO △的周长是67.5922.5++=(cm)．知识点：三角形相似的条件试题类型：运算题试题难度：中等考查目标：基本技能第7题. 已知ABC △的三条边长之比为3:7:9，与其相似的另一个A B C '''△最大的边长为18cm ，则A B C '''△最小的边长为cm ，周长为cm ．答案：6 38知识点：三角形相似的条件试题类型：填空题试题难度：容易考查目标：基本技能第8题. 如图，在ABC △中，点D E 、分别在边AC AB 、上，且23AE AD AC AB ==，若4DE =cm ，则BC =cm ．答案：6知识点：三角形相似的条件试题类型：填空题试题难度：中等考查目标：基本技能第9题.如图，点D E 、分别为边AB AC 、的三等分点（即：1133AD AB AE AC ==，），若22.5cm ADE S =△，求ABC S △的大小．答案：222.5cm知识点：三角形相似的条件试题类型：运算题试题难度：中等考查目标：双基简单应用第10题. 如图，在ABC △中，345AB AC BC D ===，，，是AB 上的一点，2AD =，在AC 上是否存在一点E ，使A D E 、、三点组成的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出AE 的长；如果不存在，请说明理由．答案：解：存在．因为22225AB AC BC +==，所以ABC △是直角三角形，90A ∠=．设所求AE 的长为x ，在ADE △与ABC △中，90A A ∠=∠=，（1）若AD AEAB AC=，则ADE △∽ABC △．ＡＥＢＤＡＤＥＣＢＡＤＢＣ此时234x =．解得83x =．（2）若AD AEAC AB =，则ADE ACB △∽△．此时243x =．解得32x =．所以，当AE 取83或32时，A D E 、、三点组成的三角形与ABC △相似．知识点：三角形相似的条件试题类型：运算题试题难度：中等考查目标：双基简单应用第11题. 如图，下列条件中不能判定ACD ABC △∽△的是（） (A)AB ADBC CD=(B)ADC ACB ∠=∠ (C)ACD B ∠=∠(D)2AC AD AB =答案：(A)知识点：三角形相似的条件试题类型：选择题试题难度：中等考查目标：基本技能第12题. 已知：如图，点C D ，在线段AB 上，PCD △是等边三角形．（1）当AC CD DB ，，满足怎样的关系式时ACP PDB △∽△；（2）当ACP PDB △∽△时，求APB ∠的度数．答案：解：（1）当2CD AC DB =时，ACP PDB △∽△；（2）当ACP PDB △∽△时，120APB ∠=．知识点：三角形相似的条件试题类型：运算题试题难度：中等考查目标：数学思考第13题. 在ABC △和A B C '''△中，326cm 10cm 32A AB A B A '''∠===∠=，，，， 3cm AC =，5cm A C ''=，则ABC △与A B C '''△是否相似？（填“是”或“不是”）．答案：是知识点：三角形相似的条件试题类型：填空题试题难度：容易考查目标：基本技能第14题. 下列四组图形中不一定相似的是．Ａ．有一个角等于40的两个等腰三角形ＡＣＤＢＰＡＣＤＢＢ．有一个角为50的两个直角三角形Ｃ．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形Ｄ．有一个角是60的两个等腰三角形答案：Ａ知识点：三角形相似的条件试题类型：选择题试题难度：容易考查目标：基本技能第15题. 能判定ABC △与A B C '''△相似的条件是．Ａ．ABAC A B A C =''''Ｂ．AB A B AC A C ''=''，且A C '∠=∠ Ｃ．AB BC A B A C =''''且B A '∠=∠Ｄ．AB ACA B A C =''''，且B B '∠=∠ 答案：Ｃ知识点：三角形相似的条件试题类型：选择题试题难度：容易考查目标：基本技能第16题.已知：如图，9086ABD BCD AB BD ∠=∠===，，，当BC 为多少时，图中的两个三角形相似．答案：BC 为3.6或4.8知识点：三角形相似的条件试题类型：运算题试题难度：中等考查目标：双基简单应用第17题. 如图，线段AC BD ，相交于点O ，要使AOB DOC △∽△，已具备条件，还需要补充的条件是，或或．答案：BO OAAOB DOC B C A D OC OD ∠=∠∠=∠∠=∠=，，，知识点：三角形相似的条件试题类型：填空题试题难度：容易考查目标：基本技能第18题.如图，D 为ABC △的边BC 上的一点，连接AD ，要使ABD CBA △∽△，应具备下列条件中的（）Ａ．AC AB CD BD =Ｂ．2AB BD BC = Ｃ．AB BC CD AD=Ｄ．2AC CD CB = 答案：Ｂ知识点：三角形相似的条件试题类型：选择题试题难度：容易考查目标：基本技能第19题. 如图，已知1234∠=∠∠=∠，．（1）图中有哪几对相似三角形？把它们写出来；ＡＢＣＡＤＯＢＡＢＤ（2）证明你所写出的结论．答案：（1）解：图中的相似三角形有三对，它们分别是AOD BOC AOBDOC △∽△，△∽△， ABD EBC △∽△ （2）证明：12AOD BOC ∠=∠∠=∠，，AOD BOC ∴△∽△，AO OD OB OC =，即AO OBOD OC=，又DOC AOB ∠=∠，AOB DOC ∴△∽△又34∠=∠，43EBD EBO ∴∠+∠=∠+∠即ABD EBC ∠=∠ABD EBC ∴△∽△．知识点：三角形相似的条件试题类型：运算题试题难度：中等考查目标：双基简单应用第20题. 如图12，P 是y 轴上一动点，是否存在平行于y 轴的直线x t =，使它与直线y x =和直线122y x =-+分别交于点D E 、（E 在D 的上方），且PDE △为等腰直角三角形．若存在，求t 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明原因．答案：解：存在．方法一：当x t =时，y x t ==；当t =时，112222y x t =-+=-+． E ∴点坐标为1(2)2t t -+，，D 点坐标为(t t ，． E 在D 的上方，132222DE t t t ∴=-+-=-+，且43t <．3分PDE △为等腰直角三角形，PE DE PD DE PE PD ∴===或或．若022t PE DE t t >=-+=3，时，， 4182.525t t ∴=-+=，P ∴点坐标为805⎛⎫ ⎪⎝⎭，．若3022t PD DE t t >=-+=，时，，ＤＡＣＢＯＥ1 234图12O122y x =-+y x = y x4.5t P ∴=∴点坐标为405⎛⎫ ⎪⎝⎭，．若0t PE PD >=，时，即DE 为斜边，322.2t t ∴-+= 47t DE ∴=，的中点坐标为114t t P ⎛⎫+∴ ⎪⎝⎭，，点坐标为807⎛⎫⎪⎝⎭，．若0t PE DE PD DE <==，和时，由已知得32402DE t t t t =--+=-=>，，（不符合题意，舍去），此时直线x t =不存在．若0t <，PE PD =时，即DE 为斜边，由已知得32222DE t t t =--+=-，， 14104t t P ∴=-+=∴，，点坐标为(00)，．综上所述：当45t =时，PDE △为等腰直角三角形，此时Ｐ点坐标为805⎛⎫ ⎪⎝⎭，或 405⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当47t =时，PDE △为等腰直角三角形，此时Ｐ点坐标为807⎛⎫⎪⎝⎭，；当4t =-时，PDE △为等腰直角三角形，此时Ｐ点坐标为(00)，．方法二：设直线122y x =-+交y 轴于点A ，交直线y x =于点B ，过B 点作BM 垂直于y 轴，垂足为M ，交DE 于点N ．x t =平行于y 轴，MN t ∴=．43142..23y x x y x y ⎧==⎧⎪⎪⎪⎨⎨=-+⎪⎪=⎩⎪⎩，，解得B ∴点坐标为444.333BM ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，， 2分当0x =时，1222y x A =-+=∴，点坐标为(02) 2.OA ∴=，，3分PDE △为等腰直角三角形，.PE DE PD DE PE PD ∴===或或如图４，若0t PE DE >=，和PD DE =时，PE t PD t DE OA ∴==，，∥，BDE BOA ∴△∽△，DE BNOA BM∴=．443.4253t t t -∴=∴=，当45t =时，1842.255y x y x =-+===，P ∴点坐标为805⎛⎫ ⎪⎝⎭，或405⎛⎫ ⎪⎝⎭，．若0t PD PE >=，时，即DE 为斜边，22DE MN t ∴==．.DE BNDE OA BDE BOA OA BM∴∴∴=∥，△∽△， 42434273MNMN MN t DE -∴=∴==，，中点的纵坐标为181.47t P +=∴点坐标为807⎛⎫⎪⎝⎭，如图5，若0t PE DE PD DE <==，或时，DE OA ∥，.DE BNBDE BOA OA BM∴∴=△∽△， 4DE =-（不符合题意，舍去），此时直线x t =存在． 10分若0t PE PD <=，时，即DE 为斜边，22DE MN t ∴==-..DE BNDE OA BDE BOA OA BM∴∴=∥，△∽△4213 4.4104243MNMN MN t t +∴=∴=∴=-+=，，P ∴点坐标为（０，０）．综上述所述：当45t =时，PDE △为等腰直角三角形，此时P 点坐标为805⎛⎫ ⎪⎝⎭，或 405⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当47t =时，PDE △为等腰直角三角形，此时P 点坐标为807⎛⎫⎪⎝⎭，；当 4t =-时，PDE △为等腰直角三角形，此时P 点坐标为（０，０）．知识点：6 探索三角形相似的条件综合知识点试题类型：合情推理题试题难度：较难考查目标：数学思考图5OyxDNMEABx 图4OyD N MEAB………………………………………………最新资料推荐……………………………………… 第21题.如图，P 是Rt ABC △的斜边BC 上异于B 、C P 点作直线截ABC △，使截得的三角形与ABC △相似，满足这样条件的直线共有（）条Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：C知识点：三角形相似的条件试题类型：选择题试题难度：中等考查目标：数学思考第22题. ．如图５，ABCD 是平行四边形，则图中与DEF △相似的三角形共有（） (A)１个 (B)２分(C)３个(D)4个答案：B知识点：三角形相似的条件试题类型：选择题试题难度：容易考查目标：基础知识第23题. 如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，BD 为对角线，中位线EF 交BD 于O 点，若FO －EO =3，则BC －AD 等于A ．4B ．6C ．8D ．10答案：B试题号：13094 知识点：三角形相似的条件试题类型：选择题试题难度：中等考查目标：双基简单应用录入时间：2005-9-15(13134)第24题. 如图，AF CE ⊥，垂足为点21O AO CO EO FO ====，，．（1）求证：点F BC 为的中点；（2）求四边形BEOF 的面积．答案：解：（1）连结EF AC ， ∵21AO CO EO FO ====，， 12EO FO OCOA==∴． EF AC ∴∥．BＡＢCDE F图５第12题 OCFEBAOFEB………………………………………………最新资料推荐………………………………………12BF EF EO BC AC OC ===∴． F BC ∴为的中点．（2）由（1）知，F BC 为的中点．113(21)1222BEF CEFSSCE OF ===⨯+⨯=∴．又11111222OEF S OE OF ==⨯⨯=，∴31222BEF OEF BEOF S S S =+=+=四边形知识点：三角形相似的条件试题类型：运算题试题难度：中等考查目标：双基简单应用第25题. 小胖和小瘦去公园玩标准的．．．跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到1米25，甚至更高！”（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明；（2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明．解：答案：解：（1）小胖的话不对．小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1 米高”，情形如图（1）所示，OP 是标准跷跷板支架的高度，AC 是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，BC 是地面．.OP BC AC BC OBP ABC OBP ABC ∠=∠∴⊥，⊥，，△∽△.BO OPBA AC∴= 又此跷跷板是标准跷跷板，BO OA =，12BO BA ∴=，而1AC =米，得0.5OP =米．若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a 米(0)a >．如图（2）所示，BD a =米，AE a =米BO OA BO a OA a =∴+=+，，即DO OE =．地面Ｐ第23题图ＯＡＢＥ………………………………………………最新资料推荐………………………………………11 / 1112DO DE ∴=，同理可得DOP DEF △∽△． DO OPDE EF ∴=，由0.5OP =米，得1EF =米．综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP 高度的两倍，所以不可能翘得更高．（2）方案一：如图（3）所示，保持BO 长度不变．将 OA 延长一半至E ，即只将小瘦一边伸长一半．使12AE OA =，则25BO BE =．由BOP BEF △∽△，得.BO OPBE EF= 1.25EF ∴=米．方案二：如图（4）所示，只将支架升高0.125米．12B O B O P B AC B A ''''''''=''，△∽△，又0.50.1250.625O P ''=+=米．B O O P B A A C''''∴=''''． 1.25A C ''∴=米．（注：其它方案正确，可参照上述方案评分！）知识点：6 探索三角形相似的条件综合知识点试题类型：运算题试题难度：中等考查目标：双基简单应用第26题. 在△ABC 中，DE BC ∥，2AD =，3AE =，4BD =，则AC =．答案：9知识点：6 探索三角形相似的条件综合知识点试题类型：填空题试题难度：容易考查目标：基础知识ＯＣＡ（3）FＥA '（4）CP 'B 'O '。

相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)

相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)1.在三角形ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠XXX∠BAD。

证明：=。

当GC⊥BC时，证明：∠BAC=90°。

2.在三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足。

证明：AC^2=AF•AD。

联结EF，证明：AE•DB=AD•EF。

3.在三角形ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC。

证明：△APC∽△ACB。

若AP=2，PC=6，求AC的长。

4.在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠XXX∠C。

证明：△ABF∽△EAD。

若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长。

5.在三角形ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。

证明：AB•BC=AC•CD。

6.在直角三角形ABC中，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S。

说明AF•BE=2S的理由。

7.在等边三角形ABC中，边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P。

若AE=CF，证明：AF=BE，并求∠APB的度数。

若AE=2，试求AP•AF的值。

若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长。

8.在钝角三角形ABC中，AD，BE是边BC上的高。

证明。

9.在三角形ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC 上，DF与BE相交于点G，且∠XXX∠ABE。

证明：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF。

10.在等边三角形ABC、△DEF中，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2.问E在何处时CH的长度最大？11.在AB和CD交于点O的图形中，当∠A=∠C时，证明：OA•OB=OC•OD。

12.在等边三角形△AEC中，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。

上海市初三数学相似三角形经典题型(完整资料)

此文档下载后即可编辑相似三角形的判定练习例题分析：例1：已知如图，在△ABC 中，D 是AB 上的一点，连结CD ，∠ACD=∠B,求证：2 AE AD AC =例2：如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，(1)求证：△ACD ∽△ABC ∽△CBD(2)求证：222(1) (2) (3)AC AD AB CD AD DB BC BD AB ===例3：已知如图，点D 是AB 上的一点，CA ⊥AB,EB ⊥AB,CD ⊥DE,求证：△ACD ∽△BDE例4：在△ABC 中，AB=6，AC=9，D 为AC 上的一点，AD=3，在AB 上找一点E ，使得△ADE 与△ABC 相似？并求出AE 的长。

两个三角形相似的六种图形：1. 如图在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，交AB于点E，EC交AD于点F．求证：△ABC∽△FCD；2、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。

求证：CD2=DE·DF3. 如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．4.如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。

求证：BP2=PE·PF。

AEB D CF5.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB6.如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．求证：AB DF AC AF．7.已知如图，在平行四边形ABCD中，AC=2AB,求证：△AOB∽△ABC8. 已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:(1)△AEC∽△AFB (2) △AEF∽△ACB6.如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．求证：CD2＝DF·DG．7.如图，△ABC中，点DE在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC=120°求证：（1）△ADB∽△CEA;（2）DE²=BD·CE;(3)AB·AC=AD·BC.8．如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点，∠D=∠ECA.求证：AD·EC=AC·EB9.如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F,求证：FC²=FG·EF.10.如图，ABCD 为直角梯形，AB ∥CD,AB ⊥BC,AC ⊥BD 。

《相似三角形》中考复习题专题及答案

《相似三角形》复习题及答案一.选择题(1)△ABC 中，D 、E 、F 分别是在AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，那么下列各式正确的是( ) A.DB AD =EC BF B.AC AB =FCEF C.DB AD =FC BF D.EC AE =BF AD (2)在△ABC 中，BC=5,CA=45,AB=46,另一个与它相似的三角形的最短边是15，则最长边是( ) A.138 B.346 C.135 D.不确定(3)在△ABC 中，AB=AC,∠A=36°，∠ABC 的平分线交AC 于D ，则构成的三个三角形中，相似的是( )A.△ABD ∽△BCDB.△ABC ∽△BDCC.△ABC ∽△ABDD.不存在(4)将三角形高分为四等分，过每个分点作底边的平行线，将三角形分四个部分，则四个部分面积之比是（）A.1∶3∶5∶7B.1∶2∶3∶4C.1∶2∶4∶5D.1∶2∶3∶5(5)下列命题中，真命题是( )A.有一个角为30°的两个等腰三角形相似B.邻边之比都等于2的两个平行四边形相似C.底角为40°的两个等腰梯形相似D.有一个角为120°的两个等腰三角形相似(6)直角梯形ABCD 中，AD 为上底，∠D=Rt ∠，AC ⊥AB ，AD=4，BC=9，则AC 等于( )A.5B.6C.7D.8 (7)已知CD 为Rt △ABC 斜边上的中线，E 、F 分别是AC 、BC 中点，则CD 与EF 关系是( )A.EF ＞CDB.EF=CDC.EF ＜CDD.不能确定(8)下列命题①相似三角形一定不是全等三角形 ②相似三角形对应中线的比等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O 是△ABC 内任意一点.OA 、OB 、OC 的中点连成的三角形△A′B′C′∽△ABC 。

其中正确的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个(9)D 为△ABC 的AB 边上一点，若△ACD ∽△ABC ，应满足条件有下列三种可能①∠ACD=∠B ②∠ADC=∠ACB ③AC 2=AB·AD ，其中正确的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个(10)下列命题错误的是( )A.如果一个菱形的一个角等于另一个菱形的一个角，则它们相似B.如果一个矩形的两邻边之比等于另一个矩形的两邻边之比，则它们相似C.如果两个平行四边形相似，则它们对应高的比等于相似比D.对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似二、填空题(1)比例的基本性质是________________________________________(2)若线段a=3cm,b=12cm,a、b的比例中项c=________,a、b、c的第四比例线段d=________(3)如下图，EF∥BC，若AE∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM∶AN=________,BN∶NC=________(4)有同一三角形地块的甲乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，则甲地图与乙地图的相似比为________，面积比为________(5)若两个相似三角形的面积之比为1∶2，则它们对应边上的高之比为________(6)已知CD是Rt△ABC斜边AB上的高，则CD2=________(7)把一个三角形改成和它相似的三角形，如果边长扩大为原来的10倍，那么面积扩大为原来的____倍，周长扩大为原来的______倍.(8)Rt△ABC中，∠C=90°,CD为斜边上的高。

完整版相似三角形性质与判定专项练习30题有答案

相似三角形性质和判定专项练习30题(有答案) 1 已知：如图，在△ ABC中，点D在边BC上，且/ BAC= / DAG , / CDG= / BAD2.如图，已知在△ ABC中，/ ACB=90 °点D在边BC上，CE丄AB , CF丄AD , E、 (1)求证：AC2=AF?AD；F分别是垂足.(1)求证：丄丄厶；AB AC(2)当GC丄BC 时，求证：/ BAC=90 °4. 如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE丄CD，垂足为点E,连接AE , F为AE上一点，且 / BFE= / C.(1)求证：△ ABF EAD ;(2)若AB=4 , / BAE=30 ° 求AE 的长.E5. 已知：如图，△ ABC 中，/ ABC=2 / C, BD 平分/ABC . 求证：AB?BC=AC?CD .6. 已知△ ABC , / ACB=90 ° AC=BC，点E、F 在AB 上，/ ECF=45 ° 设厶ABC 的面积为S,说明AF?BE=2S7 •等边三角形 ABC 的边长为6,在AC , BC 边上各取一点 E , F ,连接AF ,BE 相交于点P . (1) 若 AE=CF ;① 求证：AF=BE ，并求/ APB 的度数； ② 若AE=2，试求 AP?AF 的值；(2) 若AF=BE ，当点E 从点A 运动到点C 时，试求点P 经过的路径长.9. 已知：如图，在 △ ABC 中，AB=AC , DE // BC ,点F 在边AC 上, DF 与BE 相交于点 G ,且/ EDF= / ABE . 求证：(1) △ DEFBDE ； (2) DG?DF=DB?EF .&如图所示，AD , BE 是钝角△ ABC 的边BC , AC 上的高，求证:AD =AC BE =BC3 C10. 如图，△ ABC 、△ DEF 都是等边三角形，点 D 为AB 的中点，E 在BC 上运动，DF 和EF 分别交AC 于G 、H 两点，BC=2，问E 在何处时CH 的长度最大？12 .如图，已知等边三角形 △ AEC ，以AC 为对角线做正方形 ABCD (点B 在厶AEC 内，点D 在厶AEC 夕卜).连接 EB ,过E 作EF 丄AB ，交AB 的延长线为 F .(1) 猜测直线BE 和直线AC 的位置关系，并证明你的猜想. (2) 证明：△ BEF ABC ，并求出相似比.OA?OB=OC?OD .13. 已知：如图， △ ABC 中，点D 、E 是边AB 上的点,(1)求证：△ CEDACD ; 2CD 平分 / ECB ，且 BC =BD ?BA .O ,当/ A= / C 时，求证: A D14. 如图，△ ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且 / BAD= / BGD= / C,联结AG .(1)求证：BD?BC=BG ?BE ;(2)求证：/ BGA= / BAC .15. 已知：如图，在△ ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD丄BC, BE丄AC , BE, AD相交于点G , 过点B 作BF // AC交AD的延长线于点F, DF=6 .(1)求AE的长；(2)求邑匹的值.^AFBG16 .如图，△ ABC 中，/ ACB=90 ° D 是AB 上一点，M 是CD 中点，且/ AMD= / BMD , AP // CD 交BC 延长线于P 点，延长BM交PA于N点，且PN=AN .(1)求证：MN=MA ;(2)求证：/ CDA=2 / ACD .连接AE ，若AB=6 , AE=5时，求线段 AG 的长.17. 已知：如图，在 △ ABC 中，已知点 D 在BC 上，联结 AD ，使得/ CAD= / B , DC=3且S A ACD : S A ADB = 1 : 2. (1)求AC 的值；(2) 若将△ ADC 沿着直线AD 翻折，使点 C 落点E 处，AE 交边BC 于点F ，且AB // DE ，求18. 在△ ABC 中，D 是BC 的中点，且 AD=AC , DE 丄BC ,与AB 相交于点E , EC 与AD 相交于点F . (1)求证：△ ABC FCD ;(2) 若 DE=3 , BC=8，求△ FCD 的面积.19 .如图，△ ABC 为等边三角形， D 为BC 边上一点，以 AD 为边作/ ADE=60 ° DE 与厶ABC 的外角平分线交于点E . (1)求证：/ BAD= / FDE ;CE的20. 如图所示，△ ABC 中，/ B=90 °点P 从点A 开始沿AB 边向B 以1cm/s 的速度移动，点 Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.(1)如果P , Q 分别从A , B 同时出发，经几秒，使 △ PBQ 的面积等于8cm 2?21. 已知：如图，△ ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的点，将 DB 绕点D 顺时针旋转60。

2015年上海中考数学专题-等腰相似直角三角形存在性问题试题一和参考答案

2015年上海中考数学专题-等腰相似直角三角形存在性问题试题一和参考答案研究创造才智，知识成就未来。

以下是上海市初中数学考试的几道题目。

题目一：等腰相似直角三角形存在性问题给定顶点为P(4,-4)的二次函数图像，经过原点，并且点A在该图像上。

连接OA与对称轴l的交点为M，点M和N 关于点P对称，连接AN和ON。

1) 求该二次函数的关系式。

2) 若点A的坐标是(6,-3)，求△ANO的面积。

3) 当点A在对称轴l右侧的二次函数图像上运动时，请回答以下问题：①证明：∠ANM=∠XXX。

②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由。

题目二：等腰三角形的存在性问题在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△XXX与△XXX重合在一起，△XXX不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点。

1) 求证：△ABE∽△ECM。

2) 探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，请求出BE的长；若不能，请说明理由。

3) 当线段AM最短时，求重叠部分的面积。

题目三：抛物线问题已知抛物线y=3/2x^2+bx+63经过A(2,0)。

设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B。

1) 求b的值，求出点P、点B的坐标。

2) 如图，在直线y=3x上是否存在点D，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

3) 在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由。

题目四：三角形问题在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=1.把△XXX的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC=AC与y轴交于点E。

1) 求AC所在直线的函数解析式。

2) 过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积。

沪教版九年级数学同步练习：第二十四章相似三角形第三节相似三角形的判定

相似三角形相似三角形的判定（1）一、选择题1．下列语句不正确的是（）A ．两个等边三角形是相似三角形B ．有一个角为40°的两个等腰三角形相似C ．有一个角为100°的两个等腰三角形相似D ．两个等腰直角三角形是相似三角形2．下列条件不能判定ABC ∆∽'''C B A ∆的是（）A ．︒=∠30A ，︒=∠50B ，︒=∠30'A ，∠C=100°B ．B A ∠=∠，''C B ∠=∠，'A C ∠=∠C ．'A A ∠=∠，''C B C B -∠∠=∠-∠D ．'A A ∠=∠，''C B C B +∠∠=∠+∠3．如图1，已知：点D 在ABC ∆的边AB 上，且B ACD ∠=∠，则下列各式中一定成立的是（）A ．AB AD AC ⋅=2 B ．AC CD AB AD = C ．BC CD DB AD = D ．BC AC AC CD = 二、填空题1．如图2，已知：BC AD 、相交于点O ，C A ∠=∠，若4=AO ，6=OB ，8=OC ，则OD =_______．2．如图3，已知：BE AD 、是ABC ∆的两条高，BE AD 、相较于点O ，则图中共有______对相似三角形．3．如图4，已知：CD 是ABC Rt ∆斜边上的高，则_________==CDAD ． 4.如图5，已知：点D 在ABC ∆的边AB 上，B ACD ∠=∠，6=AC ，4=AD ，BD =_______． 5.如图6，已知：点D 在ABC ∆的边上，2=AD ，9=AB ，6=AC .过点D 的直线交AC 于点E ，使以点A 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则AE =________．三、简答题1.求证：顶角对应相等的两个等腰三角形相似．2.如图，已知：等腰三角形ABC 中，点D 在BC 边上，B EDF ∠=∠，求证：BD DC FC BE ⋅=⋅．3.如图，已知：21∠=∠，ABC ADE ∠=∠，求证：AE AB AC AD ⋅=⋅．4.如图，已知：等腰ABC ∆中，AC AB =，︒=∠108BAC ，AB BD =，求:BC BD 的值．5.如图，已知：ABC ∆中，点E 是AB 上一点，AC CE =，点D 在BC 上，DB DE =，DE 的延长线与CA 的延长线相交于点F ，连接CE ，求证：DF DE CD ⋅=2．相似三角形的判定（2）一、选择题1.如图，已知：点E D 、分别在ABC ∆的边AC AB 、上，若AC AE AB AD ⋅=⋅，则下列各式中不能成立的是（）A ．ADE ∆∽ACB ∆ B ．B AED ∠=∠C ．AB AE BC DE = D ．ABAD BC DE = 2. ABC ∆与'''C B A ∆中，由下列条件能推出ABC ∆∽'''C B A ∆的是（） A ．''''C A AC B A AB =，'B B ∠=∠ B ．''''C A AC B A AB =，'A A ∠=∠ C ．AC AB =，''''C A B A =，'B B ∠=∠ D ．AC AB =，''''C A B A =，'C C ∠=∠ 3.如图，已知：在ABC ∆中，CD 是高，由下列条件不一定能得出ABC ∆是直角三角形的是（）A ．CD AD BC AC =B ．B ACD ∠=∠C ．BCBD AB BC = D ．AB AD AC ⋅=2 二、填空题1.如图1，已知ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，3=AC ，4=BC ，点D 为AB 的中点，当BE =______时，AB DE ⊥．2.如图2，已知：BD 平分ABC ∠，2=AB ，6=BC ，当BD =________时，ABD ∆∽BDC ∆.3.如图3，添加一个条件___________，则以点E D A 、、为顶点的三角形与ABC ∆相似．4. ABC ∆与'''C B A ∆中，若''''B A BC C A AB =，又∠_____=∠______时，能推出ABC ∆与'''C B A ∆．三、简答题1.如图，已知OD BO OC AO ⋅=⋅，求证：AE DE EB CE ⋅=⋅．2.已知ABC ∆与'''C B A ∆中，AC AB =，''''C A B A =，'B B ∠=∠，求证：ABC ∆∽'''C B A ∆．3.如图，已知4=AD ，5=DC ，6=AB ，求证：ADB ABC ∠=∠．4.如图，在ABC ∆中，点E D 、在BC 边上，ADE ∆是等边三角形，EC BD DE ⋅=2，求证：︒=∠120BAC ．5.如图，正方形ABCD 中，点F E 、分别在BC DC 、上，EC DE 21=，2:7:=FC BF ，求证：︒=∠90AEF ． 6.如图，在ABC ∆中，AE BD 、分别是BC AC 、上的高，AE BD 、相交于点O ，连接DE ，求证（1）CDE ∆∽CBA ∆，（2）DOE ∆∽AOB ∆．7.如图，已知：在ABC ∆中，AE 是BC 上的高，CD BD ⊥，AE 的延长线交BD 于F ，BD BF AB ⋅=2，求证: ︒=∠90BAC ．相似三角形的判定（3）一、选择题1.下列四组条件中，不能判定ABC ∆∽DEF ∆的是（）A. 2=AB ，22=BC ，4=AC ，3=DE ，33=EF ，6=DFB. ︒=∠36A ，︒=∠64B ，︒=∠36E ，︒=∠80FC. ED AC EF AB ::=，且E A ∠=∠D. ︒=∠=∠60E A ，AC BC =，FD DE =2.给出四个命题:①三边对应成比例的两个三角形相似②一个锐角对应相等的两个直角三角形相似③两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形相似④有一个角对应相等的两个等腰三角形相似其中不正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.已知ABC ∆的三边长为2、3、4，DEF ∆的一边长为6，若ABC ∆∽DEF ∆，则DEF ∆的另两边不可能是下列（）组A. 12，9B.29，3 C. 8，4 D. 18，24 二、填空题1.ABC ∆与DEF ∆中，6=AB ，8=BC ，12=AC ，6=EF ，9=DE ，DF =_______时，ABC∆∽DEF ∆．2.ABC ∆中，6=AB ，8=BC ，7=CA ，延长CA 至点P ，使PBC ∆∽PAB ∆，则AP = ____．3.已知两个三角形三边长分别为32、6、34与6，33，3时，这两个三角形_____相似三角形（填“是”或“不是”）．4. ABC ∆与DEF ∆中，AC AB =，DF DE =，添加一个条件：_______________________时，ABC ∆∽DEF ∆．三、简答题1.如图，已知AC AE BC DE AB AD ==，求证：ADB ∆∽AEC ∆．2.求证：腰及腰上中线对应成比例的两个等腰三角形相似．3.如图，画一个与ABC ∆相似的三角形，并证明．4.如图，已知：正方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且DF CF 3=，BF EG ⊥，垂足为G ，求证：BF BG BE ⋅=2． 5.如图，已知：ABC ∆与'''C B A ∆中，︒=∠=∠90'''C A B BAC ，AD 、''D A 分别是BC 、''C B 上的中线，''''B A AB D A AD =，求证：ABC ∆∽'''C B A ∆．相似三角形的判定（4）一、选择题1. ABC Rt ∆和MNP Rt ∆中，︒=∠=∠90P B ，依据下列各组条件不能判定这两个三角形相似的是（）A ．︒=∠46A ，︒=∠44MB ．9,6,6,4====PN MP BC ABC ．9,6,6,4====MN PN AC ABD ．9,6,6,4====MN MP BC AB2. ABC ∆中，︒=∠90C ，CD 是斜边上的高，下列结论不一定成立的是（）A.222111CDBC AC =+ B. AD BC DB AC ⋅=⋅ C.BD AD BCAC =22 D. AD BC CD AC ⋅=⋅ 3. ABC ∆中，CD 是AB 上的高，由下列条件不一定能推出︒=∠90ACB 的是（）A. ︒=∠+∠90ACD BB. DB AD CD ⋅=2C. DBCD BC AC = D. DCB A ∠=∠ 二、填空题1.如题1，已知：ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，CD 是AB 上的高，∥MN AB 且与CD 相交于点O ，则图中与ABC ∆相似的三角形有________个．2.如图2，已知: ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AD ⊥AC ，则图中与ABC ∆相似的三角形是_______________________．3.如图3，已知：矩形ABCD 中，点P 是BC 上不与B 、C 重合的点，2=AB ，8=BC ，BP =____时，PD AP ⊥．三、简答题1.如图，已知：四边形ABCD 中，︒=∠90A ，DC BD ⊥，4=AD ，6=BD ，9=BC ，求证：AD ∥BC ．“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。

15《相似三角形判定定理的证明》知识讲解(提高)及其练习含答案

相似三角形判定定理的证明(提高)【学习目标】1.熟记三个判定定理的内容.2.三个判定定理的证明过程.3.学选会用适当的方法证明结论的成立性. 【要点梳理】要点一、两角分别相等的两个三角形相似已知：如图,在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′.求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A ′D ′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E,则∠ADE=∠B ，∠AED=∠C,(.AD AEAB AC=平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F,则(AD CFAB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CFAC CB= ∵DE ∥BC,DF ∥AC,∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AD AE DEAB AC BC==. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED==∠C, ∴△ADE ∽△ABC.∵∠A=∠A ′,∠ADE=∠B=∠B ′,AD=A ′B ′, ∴△ADE ∽△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时辅助线的做法.要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似已知，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A=∠A ′,''''AB ACA B A C =,求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A ′B ′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E,则∠B=∠ADE,∠C=∠AED,∴△ABC ∽△ADE(两个分别相等的两个三角形相似).∴AB ACAD AE =. ∵''''AB ACA B A C = ,AD=A ′B ′, ∴''AB ACAD A C = ∴''AC ACAE A C = ∴AE=A ′C ′ 而∠A=∠A ′∴△ADE ≌△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的. 要点三、三边成比例的两个三角形相似已知：在在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A=∠A ′, ''''''AB BC ACA B B C A C ==. 求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A ′B ′,AD=A ′B ′,连接DE.∵''''AB ACA B A C =，AD=A ′B ′,AE=A ′C ′, ∴AB ACAD AE= 而∠BAC=∠DAE,∴△ABC ∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴AB BCAD DE = 又''''AB BCA B B C =，AD= A ′B ′, ∴ ''AB BCAD B C = ∴''BC BCDE B C = ∴DE=B ′C ′,∴△ADE ≌△A ′B ′C ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.【典型例题】类型一、两角分别相等的两个三角形相似1、（2015•合肥校级四模）如图，己知：Rt △ABC 中，∠BAC=9O °，AD ⊥BC 于D ，E 是AC 的中点，ED 交AB 延长线于F ，求证： ①△ABD ∽△CAD ； ②AB ：AC=DF ：AF ．【思路点拨】（1）由Rt △ABC 中，∠BAC=9O °，AD ⊥BC ，易得∠BAD=∠ACD ，又由∠ADB=∠ADC ，即可证得△ABD ∽△CAD ；（2）由△ABD ∽△CAD ，即可得，易证得△AFD ∽△DFB ，可得，继而证得结论．【答案与解析】证明：（1）∵AD ⊥BC ， ∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠ACD=90°， ∴∠BAD=∠ACD ， ∵∠ADB=∠ADC ，∴△ABD∽△CAD；（2）∵△ABD∽△CAD，∴，∵E是AC中点，∠ADC=90°，∴ED=EC，∴∠ACD=∠EDC，∵∠EDC=∠BDF，∠ACD=∠BAD，∴∠BAD=∠BDF，∵∠AFD=∠DFB，∴△AFD∽△DFB，∴，∴,∴AB：AC=DF：AF．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，难度适中．类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似2、如图，在△ABC中，M、N分别为AB、AC边上的中点．D、E为BC边上的两点，且DE=BD+EC，ME与ND交于点O，请你写出图中一对全等的三角形，并加以证明．【思路点拨】因为M、N分别为AB、AC边上的中点，∠A=∠A，可证明△AMN∽△ABC，则MN∥BC，又因为DE=BD+EC，所以有△MON≌△EOD．【答案与解析】解：△MON≌△EOD．证明：∵M、N分别为AB、AC边上的中点，∴AM：AB=1：2，AN：AC=1：2．∵∠A=∠A，∴△AMN∽△ABC．∴∠AMN=∠ABC，MN=BC．∴MN∥BC．∴∠OMN=∠OED，∠ONM=∠ODE．∵DE=BD+EC，∴DE=BC．∴MN=DE．∴△MON≌△DOE．【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．举一反三【变式】如图，点O是△ABC的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），连接AO交CB 的延长线于点D，连接CO交AB的延长线于点E，连接DE．求证：△ODE∽△OCA．【答案】证明：∵O是垂心，∴AO⊥CD，∴∠CDO=90°，同理∠AEO=90°，∴∠AEO=∠CDO，在△AEO和△CDO中，∴△AEO∽△CDO，∴，∴，在△ODE和△OCA中，∴△ODE∽△OCA．3、（2015•大庆模拟）如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE的长是多少？【答案与解析】解：∵D为AB的中点，∴BD=AB=，∵∠DBE=∠ABC，∴当∠DEB=∠ACB时，△BDE∽△BAC时，如图1，则=，即=，解得DE=2；当∠BDE=∠ACB时，如图2，DE交AC于F，∵∠DAF=∠CAB，∴△ADF∽△ACB，∴△BDE∽△BCA，∴=，即=，解得DE=，综上所述，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE=2或．【总结升华】本题考查了相似三角形判定和性质，其次要注意分类讨论思想的运用．举一反三【变式】如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）【答案】解：在射线BF上截取线段，连接M1C，⇒，⇒∠ABP=∠CBM1，∴△M1BC∽△ABP．在射线BF上截取线段BM2=BP=3，连接M2C，⇒△CBM2≌△ABP．（全等必相似）∴在射线BF 上取或BM2=3时，M1，M2都为符合条件的M．类型三、三边成比例的两个三角形相似4、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【思路点拨】首先求得△ABC三边的长，然后分别求得A，B，C，D各三角形的三边的长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．【答案与解析】解：如图：AB==，AC==，BC=2，A 、∵DE==，DF==，EF=1，∴，∴△DEF∽△BAC，故A选项正确；B、∵MN==，MK==，NK=3，∴，=1，，∴△MNK与△ABC不相似，故B选项错误；C、∵PQ==2，PR==，QR=1，∴==，=，=，∴△PQR与△ABC不相似，故C选项错误；D、∵GH==，GL==，HL=2，∴=，=，=，∴△GHL与△ABC不相似，故D选项错误．故选：A．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，三组对应边的比相等的两个三角形相似定理的应用是解此题的关键．5、如图，若A、B、C、D、E，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC与△DEF 相似，则点F应是甲、乙、丙、丁四点中的（）【思路点拨】令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点F对应的位置．【答案与解析】解：根据题意，△ABC的三边之比为 1：：，要使△ABC∽△DEF，则△DEF的三边之比也应为1：：，经计算只有甲点合适，故选A．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．举一反三【变式】如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M【答案】C.解：设小正方形的边长为1，则△ABC的各边分别为3、13、10，只能F是M 或N时，其各边是6、2 13，2 10．与△ABC各边对应成比例，故选C．【巩固练习】一、选择题1. （2015•深圳校级模拟）若△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，则S△ABC：S△DEF=（）A．1：3 B．1：9 C．1：D．1：1.52．已知如图：（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于0点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）A．都相似B．都不相似 C．只有（1）相似D．只有（2）相似3．如图，G是平行四边形ABCD的边CD延长线上一点，BG交AC于E，交AD于F，则图中与△FGD相似的三角形有（）A． 0对B． 1对C． 2对D． 3对4．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定能得到△AOB∽△COD的是（）A．∠BAC=∠BDC B．∠ABD=∠ACD C AO DOCO BO= DAO ODOB CO=5．如果一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形，我们把这样的三角形称为孪生三角形，那么孪生三角形是（）A．不存在B．等腰三角形 C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4二、填空题7．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件（只需写一个）．8．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．则图中相似三角形（相似比为1除外）有．9．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与△ABC相似，写出所有符合条件的三角形．10．如图，∠1=∠2=∠3，有几对三角形相似，请写出其中的两对．11．如图，在3×4的方格上，每个方格的边长为1个单位，△ABC的顶点都在方格的格点位置．若点D在格点位置上（与点A不重合），且使△DBC与△ABC相似，则符合条件的点D 共有个．12.（2015•六合区一模）如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC=．三、解答题13. 如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG 的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．14.（2015春•成武县期末）如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．15．如图，在△ABC和△ADE中，==，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.【解析】∵△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，∴S△ABC ：S△DEF=1：9．故选B．2.【答案】A;【解析】如图（1）∵∠A=35°，∠B=75°，∴∠C=180°-∠A-∠B=70°，∵∠E=75°，∠F=70°，∴∠B=∠E，∠C=∠F，∴△ABC∽△DEF；如图（2）∵OA=4，OD=3，OC=8，OB=6，∴OA OC OD OB，∵∠AOC=∠DOB，∴△AOC∽△DOB．故选A．3.【答案】C；【解析】∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△GFD∽△GBC，△GFD∽△BFA，∴图中与△FGD相似的三角形有2对，故选C．4.【答案】C；【解析】A、若∠BAC=∠BDC，结合∠AOB=∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项错误；B、若∠ABD=∠ACD，结合∠AOB=∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项错误；C、若=，因为只知道∠AOB=∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能得到△AOB∽△COD，故本选项正确．D、若=，结合∠AOB=∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△COD，故本选项错误；故选C．5.【答案】C；【解析】∵△ABD∽△CBD，∴∠ADB=∠BDC又∵∠ADB+∠BDC=180°，∴∠ADB=∠BDC=×180°=90°，∵△ADB∽△ABC，ABC△∽△BDC，∴∠ABC=∠ADB=∠BDC=90°，∴△ABC为直角三角形．故选：C．6.【答案】C；【解析】能判断△ABC∽△A′B′C′的有：（1）（2），（2）（4），（3）（4），∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组．故选C．二、填空题7．【答案】如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等；【解析】∵∠A是公共角，∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时，△ADE∽△ACB（有两角对应相等的三角形相似），当AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC时，△ADE∽△ACB（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），∴要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件：答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等．故答案为：此题答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等．8．【答案】△PCQ∽△RDQ∽△PAB；【解析】∵CP∥ER，∴△BCP∽△BER；∵CP∥DR，∴△PCQ∽△RDQ；∵CQ∥AB，∴△PCQ∽△PAB；∴△PCQ∽△RDQ∽△PAB．9．【答案】△DP2P5、△DP2P4、△DP4P5；【解析】设网格的边长为1．则AC=，AB=，BC=．连接DP2P5，DP5=，DP2=，P2P5=．∵==，∴△ACB∽△DP5P2．同理可找到△DP2P4，DP4P5和△ACB相似．故答案为：△DP2P5，DP2P4，DP4P5．10．【答案】△CDE∽△CAB；△EDA∽△AEB;【解析】∵∠2=∠3，∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，∵∠2=∠3，∴∠DEA=∠EAB，∵∠1=∠3，∴△EDA∽△AEB，故答案为：△CDE∽△CAB；△EDA∽△AEB．11．【答案】4;【解析】∵方格中小正方形的边长为1，∴AB=1、BC=、AC=，∵△DBC与△ABC相似，∴BC=、CD=2、BD=，如图可知这样的点D如图：故答案为：4．12.【答案】4.8或.【解析】∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∴AB==10，当△ABC∽△PCA时，则AB：PC=BC：AC，即10：PC=6：8，解得：PC=，当△ABC∽△ACP时，则AB：AC=BC：PC，即10：8=6：PC，解得：PC=4.8．综上可知若△ABC与△PAC相似，则PC=4.8或．三、解答题13.【解析】解：（1）如图1，当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2 由S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG=×﹣=×（10+2）×8﹣×10×4﹣=24.（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，此时AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2tS=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG=×（EB+CG）•BC﹣EB•BF﹣FC•CG=×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）=8t2﹣32t+48．②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF=4t﹣8，CG=2t FG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2tS=FG•BC=（8﹣2t）•8=﹣8t+32．即S=﹣8t+32（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，0≤t≤2在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°1若=，即=，解得t=．又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△FCG2若=即=，解得t=．又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△GCF综上所述，当t=或t=时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．14.【解析】解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，有，∵M为AB中点，AB=，∴AM=，∵BC=6，∴MN=3；②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC，有，∵M为AB中点，AB=，∴AM=，∵BC=6，AC=，∴MN=，∴MN的长为3或．15.【解析】证明：∵在△ABC和△ADE中，==，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵，∴，∴△ABD∽△ACE．。

中考数学复习之相似三角形的性质与判定,考点过关与基础练习题

AD是Rt△ABC 斜边上的高 29. 相似三角形➢ 知识过关1. 相似三角形的概念：如果两个三角形的对应角_________,对应边_______,那么这两个三角形叫做相似三角形. 2. 相似三角形的性质：对应角________,对应边________;周长之比等于_______;面积之比等于_______.3. 相似三角形的判定(1)两_______对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例，且______相等的两个三角形相似； (3)_______边对应成比例的两个三角形相似；(4)若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应______,那这两个直角三角形相似. 4.相似三角形的几种基本图形DE △BC △B =△AED △B △ACDA 型➢ 考点分类考点1相似三角形的判定例1如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD ．若∠BF A =90°，给出以下三对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABO ．其中相似的有_____________（填写序号）．CB BCD E ADAEDAAD B CODBACCAO D BX 型母子型∠B ∠CAC ∥BD CB D AOFE DCBA考点2相似三角形的性质例2如图1所示，AB △BD ，CD △BD ，垂足分别为B ，D ．AD ，BC 交于点E ，过E 作EF △BD于点F ，则可以得到111AB CD EF+=．若将图1中的垂直改为斜交，如图2所示，AB △CD ，AD ，BC 交于点E ，过E 作EF △AB 交BD 于点F ，试问：111AB CD EF+=还成立吗？请说明理由．考点3相似三角形的判定和性质综合例3如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AC 上（1）已知：AC ＝4，BC ＝2，∠CBD ＝∠A ，求BD 的长；（2）取AB ，BD 的中点E ，F ，连接CE ，EF ，FC ，求证：△CEF ∽△BAD ．➢ 真题演练1.如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，AB AD=AE CE=3，且∠AED ＝∠B ，那么AD AC的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．23F EDCBA图1F EDCBA图22．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，下列结论中，错误的是（）A ．AD AC=AC ABB ．AD AC=CD BCC ．AD AC=BD BCD ．AD CD=CD BD3．如图，边长为a 的正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 在BD 上，作EF ⊥CE 交AB 于点F ，连结CF 交BD 于H ，则下列结论：①EF ＝EC ；②△FCG ∽△ACF ；③BE •DH ＝a 2；④若BF ：AF ＝1：3，则tan ∠ECG =14，正确的是（）A ．①②④B ．②③④C ．①②③D ．①②③④4．如图，在▱ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，CE 分别与AD ，BD 交于点G ，F ．下列结论：①EG GC=AG GD；②EF FC=BF DF；③FC GF=BF DF；④EAEB=AG AD；⑤CF 2＝GF •EF ，其中正确的个数是（）A ．5B ．4C ．3D ．25．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE ＝45°，将△ADC 绕点A 顺时针90°旋转后，得到△AFB ，连接EF ．下列结论中正确的个数有（） ①∠EAF ＝45°； ②△ABE ∽△ACD ； ③EA 平分∠CEF ； ④BE 2+DC 2＝DE 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在矩形ABCD中，过点A作对角线BD的垂线并延长，与DC的延长线交于点E，与BC交于点F，垂足为点G，连接CG，且CD＝CF，则下列结论正确的有（）个①CE＝AD②∠DGC＝∠BFG③CF2＝BF•BC④BG＝GE−√2CGA．1B．2C．3D．47.如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以BC为边向外作正方形BCDE，连接AD，则AD＝．8．如图，已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AC＝2√2cm，点E在DC 边的延长线上，若∠CAE＝15°，则AE＝cm．9．如图，点E在正方形ABCD边CD上，以CE为边向正方形ABCD外部作正方形CEFG，连接AF，P、Q分别是AF、AB的中点，连接PQ．若AB＝7，CE＝5，则PQ＝．10．如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD =12，线段PQ 在边BA 上运动，若PQ =12，当AQ ＝时，△AQD 与△BCP 相似．11．如图，AB ＝16cm ，AC ＝12cm ，动点P ，Q 分别以每秒2cm 和1cm 的速度同时开始运动，其中点P 从点A 出发，沿AC 边一直移到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移到点A 为止（点P 到达点C 后，点Q 继续运动），当t ＝时，△APQ 与△ABC 相似．12.某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC 中，其中AB ＝AC ，如图Ⅰ，进行了如下操作：第一步，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA 的延长线和AC 于点E ，F ，如图Ⅱ；第二步，分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，作射线AD ；第三步，以D 为圆心，DA 的长为半径画弧，交射线AE 于点G ；（1）填空；写出∠CAD 与∠GAD 的大小关系为；（2）△请判断AD 与BC 的位置关系，并说明理由． △当AB ＝AC ＝6，BC ＝2时，连接DG ，请直接写出AD AG= ；（3）如图△，根据以上条件，点P 为AB 的中点，点M 为射线AD 上的一个动点，连接PM ，PC ，当△CPM ＝△B 时，求AM 的长．13.如图：在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒（0＜t＜5）．（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？（2）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．课后练习1．如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F在另一条直线上．以下结论正确的是（）A．△COF∽△CEG B．OC＝3OF C．AB：AD＝4：3D．GE=√6DF 2．如图，在△ABC中，P为AB上一点，下列四个条件中：①AC2＝AP•AB；②AB•CP＝AP •CB；③∠APC＝∠ACB；④∠ACP＝∠B能满足△APC与△ACB相似的条件是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④3．如图，△ABC∽△DBE，延长AD，交CE于点P，若∠DEB＝45°，AC＝2√2，DE=√2，BE＝1.5，则tan∠DPC＝（）A ．√2B ．2C ．3+√22D ．124．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上的一点，AE ⊥EF ，则下列结论：（1）sin ∠BAE =12；（2）BE 2＝AB •CF ；（3）CD ＝3CF ；（4）△ABE ∽△AEF ，其中结论正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在四边形ABCD 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，E 是BC 的中点，AD ∥BC ，AE ∥DC ，EF ⊥CD 于点F ．下列结论错误的是（）A ．四边形AECD 的周长是20B ．△ABC ∽△FEC C ．∠B +∠ACD ＝90°D ．EF 的长为2456．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点P ，F 是CD 上一点，连接AF 分别交BD ，DE 于点M ，N ，且AF ⊥DE ，连接PN ，则以下结论中：①S△ABM＝4S △FDM ；②PN =2√6515；③tan ∠EAF =34；④△PMN ∽△DPE ，正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④7．如图，正方形ABCD 中，AB ＝2√5，点N 为AD 边上一点，连接BN ，作AP ⊥BN 于点P ，点M 为AB 边上一点，且∠PMA ＝∠PCB ，连接CM ．下列结论正确的个数有（）（1）△P AM ∽△PBC （2）PM ⊥PC ；（3）∠MPB ＝∠MCB ；（4）若点N 为AD 中点，则S △PCN ＝6 （5）AN ＝AMA．5个B．4个C．3个D．2个8．如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下列结论：①tan∠CDF=12；②S△EBH：S△DHF＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正确的是.（填序号即可）．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，动点D，E分别在AB，CB边上，且BE=√2AD．连接CD，AE相交于点P，连接BP，则△CAD∽△，BP的最小值为．10．在△ABC中，AB＝8，BC＝16，AP＝BP，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝时，△BPQ与△BAC相似．11．如图，四边形ABCD，CDEF，EFHG是三个正方形，∠2+∠3＝．12．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，BE⊥EF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，则EF的长是．13．如图，小明想测量一棵大树AB的高度，他发现树的影子落在地面和墙上，测得地面上的影子BC的长为5m，墙上的影子CD的长为2m．同一时刻，一根长为1m垂直与地面标杆的影长为0.5m，则大树的高度AB为m．14．小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB 为1.6米，凉亭的高度CD为6.6米，小明到凉亭的距离BD为12米，凉亭与观景台底部的距离DF为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为米．15如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．（1）求证：△DAE≌△DCF；（2）求证：△ABG∽△CFG．16．如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4．（1）如图①，在AB 上取一点D ，将纸片沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标；（2）如图②，若OE 上有一动点P （不与O ，E 重合），从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OE 方向向点E 匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ＜5），过点P 作PM ⊥OE 交OD 于点M ，连接ME ，求当t 为何值时，以点P 、M 、E 为顶点的三角形与△ODA 相似？➢ 冲击A+在正方形ABCD 中，点G 是边AB 上的一个动点，点F 、E 在边BC 上，BF ＝FE ＝AG ，且AG ≤12AB ，GF 、DE 的延长线相交于点P ．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求∠P 的度数；（2）如图2，当点E 与点C 不重合时，问：（1）中∠P 的度数是否发生变化，若有改变，请求出∠P 的度数，若不变，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作DN ⊥GP 于点N ，连接CN 、BP ，取BP 的中点M ，连接MN ，在点G 的运动过程中，求证：MN NC为定值．。

2015年上海市中考数学试卷(含详细答案)

数学试卷第1页（共24页）数学试卷第2页（共24页）绝密★启用前上海市2016年初中毕业统一学业考试数学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共24分)一、选择题(本大题共6题,每题4分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果a 与3互为倒数,那么a 是( ) A .3-B .3C .13-D .132.下列单项式中,与2a b 是同类项的是( ) A .22a b B .22a b C .2ab D .3ab 3.如果将抛物线22y x =+向下平移1个单位,那么所得新抛物线的表达式是( )A .2(1)2y x =-+B .2(1)2y x =++C .21y x =+D .23y x =+4.某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数,调查结果如表所示,那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是( )A .3次B .3.5次C .4次D .4.5次 5.已知在ABC △中,AB AC =,AD 是角平分线,点D 在边BC 上,设BC =a ,AD =b ,那么向量AC 用向量a 、b 表示为( )A .12a +b B .12a -bC .12-a +bD .12-a -b6.如图,在Rt ABC △中,90C =∠,4AC =,7BC =,点D 在边BC 上,3CD =,A 的半径长为3,D 与A 相交,且点B 在D 外,那么D 的半径长r 的取值范围是( )A .14r ＜＜B .24r ＜＜C .18r ＜＜D .28r ＜＜第Ⅱ卷(非选择题共126分)二、填空题(本大题共12题,每小题4分,共48分.把答案填写在题中的横线上) 7.计算：3a a ÷= .8.函数32y x =-的定义域是 .9.2的解是 .10.如果12a =,3b =-,那么代数式2a b +的值为 .11.不等式组25,10x x ⎧⎨-⎩＜＜的解集是 .12.如果关于x 的方程230x x k -+=有两个相等的实数根,那么实数k 的值是 .13.已知反比例函数ky x =(0k ≠),如果在这个函数图象所在的每一个象限内,y 的值随着x 的值增大而减小,那么k 的取值范围是 .14.有一枚材质均匀的正方体骰子,它的六个面上分别有1点,2点,⋅⋅⋅,6点的标记.掷一次骰子,向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是.15.在ABC △中,点D ,E 分别是AB ,AC 的中点,那么ADE △的面积与ABC △的面积的比是 .16.2016年5月份有关部门对计划去上海迪士尼乐园的部分市民的前往方式进行调查,图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图.根据图中提供的信息,那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共24页）数学试卷第4页（共24页）17.如图,航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为30,测得底部C 的俯角为60,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90米,那么该建筑物的高度BC 约为米.(精确到1米,1.73)18.如图,矩形ABCD 中,2BC =.将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90,点A ,C 分别落在点A ',C '处,如果点A ',C ',B 在同一条直线上,那么tan ABA '∠的值为 .三、解答题(本大题共7题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本题满分10分)计算：12211|4()3-.20.(本题满分10分)解方程：214124x x -=--.21.(本题满分10分,每小题满分各5分)如图,在Rt ABC △中,90ACB =∠,3AC BC ==,点D 在边AC 上,且2AD CD =,DE AB ⊥,垂足为点E ,连接CE .求：(1)线段BE 的长； (2)ECB ∠的余切值.22.(本题满分10分)某物流公司引进A ,B 两种机器人用来搬运某种货物,这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时.A 种机器人于某日0时开始搬运,过了1小时,B 种机器人也开始搬运.如图,线段OG 表示A 种机器人的搬运量A y (千克)与时间x (时)的函数图象,线段EF 表示B 种机器人的搬运量B y (千克)与时间x (时)的函数图象.根据图象提供的信息,解答下列问题： (1)求B y 关于x 的函数解析式；(2)如果A ,B 两种机器人各连续搬运5个小时,那么B 种机器人比A 种机器人多搬运了多少千克？23.(本题满分12分) 已知：如图,O 是ABC △的外接圆,AB AC =,点D 在边BC 上,AE BC ∥,AE BD =.(1)求证：AD CE =；(2)如果点G 在线段DC 上(不与点D 重合),且AG AD =.求证：四边形AGCE 是平行四边形.24.(本题满分12分)如图,抛物线25y ax bx =+-(0)a ≠经过点(4,5)A -,与x 轴的负半轴交于点B ,与y 轴交于点C ,且5OC OB =,抛物线的顶点为点D .(1)求这条抛物线的表达式；(2)连接AB ,BC ,CD ,DA ,求四边形ABCD 的面积；(3)如果点E 在y 轴的正半轴上,且BEO ABC ∠=∠,求点E 的坐标.25.(本题满分14分)如图,梯形ABCD 中,AB DC ∥,90B ∠=,15AD =,16AB =,12BC =,点E 是边AB 上的动点,点F 是射线CD 上一点,射线ED 和射线AF 交于点G ,且AGE DAB ∠=∠.数学试卷第5页（共24页）数学试卷第6页（共24页）(1)求线段CD 的长；(2)如果AEG △是以EG 为腰的等腰三角形,求线段AE 的长；(3)如果点F 在边CD 上(不与点C ,D 重合),设AE x =,DF y =,求y 关于x 的函数解析式,并写出x 的取值范围.数学试卷第7页（共24页）数学试卷第8页（共24页）上海市2016年初中毕业统一学业考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1．【答案】D【解析】由a 与3互为倒数，得a 是13，故选：D ．【提示】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．【考点】倒数的概念 2．【答案】A【解析】与2a b 是同类项的为22a b ，故选A ．【提示】根据同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合选项解答即可．【考点】同类项的概念 3．【答案】C【解析】∵抛物线22y x =+向下平移1个单位， ∴抛物线的解析式为221y x =+-，即21y x =+．【提示】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【考点】抛物线的平移 4．【答案】C【解析】(223241056)20⨯+⨯+⨯+⨯÷(464030)2080204=+++÷=÷=．【考点】平均数的概念 5．【答案】A【解析】如图所示：在ABC △中，A B A C =，AD 是角平分线，BD DC ∴=，111,,,,222AB AC DC BC AC AD DC BC AD a b =∴=∴=+=+=+【考点】平面向量 6．【答案】B5 / 12【解析】连接AD ，∴5AD =，∵A 的半径长为3，D 与A 相交，∴532r -=＞，∵7BC =，∴4BD =，∵点B 在D 外，∴4r ＜，∴D 的半径r 的取值范围是2＜r ＜4．【考点】圆与圆的位置关系第Ⅱ卷二、填空题 7．【答案】2a 【解析】32a a a ÷=【提示】根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算即可求解．【考点】同底数幂的除法 8．【答案】2x ≠ 【解析】函数32y x =-的定义域是：2x ≠．【提示】直接利用分式有意义的条件得出答案．【考点】函数定义域的确定 9．【答案】5x =【解析】方程两边平方得，14x -=，解得：5x =，把5x =代入方程，则5x =是原方程的解．【提示】利用两边平方的方法解出方程，检验即可．【考点】无理方程的解法 10．【答案】2- 【解析】原式=12(3)1322⨯+-=-=-．【提示】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【考点】代数式求值 11．【答案】1x ＜【解析】2510x x ⎧⎨-⎩＜＜，解①得52x ＜，解②得1x ＜，则不等式组的解集是1x ＜．【考点】解一元一次不等式组 12．【答案】94【解析】因为意愿二次方程有两个相等的实数根，2=(3)41940k k ∆--⨯⨯=-=．【考点】一元一次方程中待定系数取值范围的确定 13．【答案】0k ＞数学试卷第11页（共24页）数学试卷第12页（共24页）【解析】∵反比例函数(0)ky k x=≠，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值增大而减小．∴k 的取值范围是：0k ＞．【提示】直接利用当0k ＞，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当0k ＞，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大，进而得出答案．【考点】反比例函数的性质 14．【答案】13【解析】掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率2163==．【提示】共有6种等可能的结果数，其中点数是3的倍数有3和6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是3的倍数的概率．【考点】概率公式 15．【答案】14【解析】如图所示：2111,,,,,()224ADE ABC AD DB AE EC DE BC DE BC ADE ABC S S ==∴=∴∴==△△∥△△：．【考点】三角形中位线定理及相似三角形 16．【答案】6000【解析】所有的调查对象为4800÷40%=12000，公交前往的人数为12000×50%=6000．【提示】根据自驾车人数除以百分比，可得答案．【考点】统计图的意义的运用 17．【答案】208【解析】由题意可得：90AD =，30BAD ∠=︒，9051.9BD ∴=，60DAC ∠=︒，90155.7CD ∴=≈，208BCBD CD ∴=+≈．【考点】直角三角形的应用 18．7 / 12【解析】设AB x =，则C D x =，2A C x '=+，AD BC ∥，C D A D BC A C ''∴='，即22x =，解得：121,1x x =（舍去），,,tan tan 'BC AB CD ABA BA C BA CABA A C∴∠'=∠'∴∠'==∴∠'∥=．三、解答题 19．【答案】6【解析】原式1296--=-【提示】利用绝对值的求法、分数指数幂、负整数指数幂分别化简后再加减即可求解．【考点】实数的运算 20．【答案】1x =-【解析】去分母得2244x x +-=-，移项、合并同类项得220x x --=，解得：122,1x x ==-，经检验12x =是增根，舍去；21x =-是原方程的根，所以原方程的根是1x =-．【提示】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行计算即可．【考点】分式方程 21．【答案】（1）（2）12【解析】（1）2,3,2,90,3,45,AD CD AC AD Rt ABC ACB AC BC A AB ==∴=∠=︒==∴∠=︒=在△中,,90,45,cos452,DE AB AED ADE A AE AD BE AB=⊥∴∠=︒∠=∠=︒∴=︒=∴=AE -=（2）过点E 作，E H B C⊥垂足为点H ，如图所示：90,45,Rt BEH EHB B ∠=︒∠=︒在△中,•cos452,EH BH BE ∴==︒==3BC =，1CH ∴=，1,cot 2CH Rt CHE ECB EH ∠==在△中，即ECB ∠的余切值为12．数学试卷第15页（共24页）数学试卷第16页（共24页）【考点】三角函数，勾股定理及利用三角函数解决数学问题 22.【答案】（1）9090(16)B y x x =-≤≤ （2）150（千克）【解析】解：（1）设B y 关于x 的函数解析式为(0)B y kx b k =+≠，将点(1,0),(3,180)代入得：03180k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：90,90k b ==-．所以函数解析式为909016B y x x =-≤≤（）．（2）设A y 关于x 的解析式为1A y k x =，根据题意得：13180k =，解得：160k =，所以60A y x =．当5x =时，605300A y =⨯=（千克）；6x =时，90690450B y =⨯-=（千克）．450300150-=（千克）【考点】一次函数的应用 23．【答案】（1）证明：O AB AC AB AC B ACBAE BCEAC ACB B EAC BD AEABD ABD AD CE=∴=∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠=∴≅=在中，∥△△，（2）连接AO 并延长，交边BC 于点H ，,,,,,,,,,AB AC r OAAH BC BH CH AD AG DH HG BH DH CH GH BD CG BD AE CG AE CG AE ==∴⊥∴==∴=∴===∴=﹣﹣，即∥∴四边形AGCE 是平行四边形．9 / 12【考点】圆的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定 24．【答案】（1）245y x x -=- （2）18 （3）3(0,)2【解析】（1）抛物线25y ax bx =+-与y 轴交于点C ，(0,5)551C OC OC OB OB ∴∴==∴=- 又点B 在x 轴的负半轴上，(1,0)B ∴-，抛物线经过点(4,5)A -和点(1,0)B -，1645550a b a b +-=-⎧⎨--+⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩，∴这条抛物线的表达式为245y x x -=-．（2）由245y x x -=-，得顶点D 的坐标为(2,9)-，连接AC ，数学试卷第19页（共24页）数学试卷第20页（共24页）点A 的坐标是(4,5)-，点C 的坐标是(0,5)-，114510448,2218ABC ACD ABC ACD ABCD S S S S S =⨯⨯==⨯⨯=∴=+=四△△△形△又，边（3）过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ，110,2ABC S AB CH AB CH =⨯⨯==∴=△,90,2tan 3,90,23,,,32Rt BCH BHC BC BH CH CBH BH BORt BOE BOE tan BEO EOBO BEO ABC EO EO ∠=︒===∴∠==∠=︒∠=∠=∠∴==在△中．在△中，得∴点E 的坐标为3(0,)2．【考点】二次函数，勾股定理，三角函数的综合应用 25．【答案】（1）过点D 作D H AB ⊥于H ，如图1，12DH BC CD BH ∴===，，在Rt ADH △中，9AH ， 16977BH AB AH CD ∴=-=-=∴=（2）当EA EG =时，则AGE GAE ∠=∠，AGE DAB ∠=∠， GAE DAB ∴∠=∠，∴G 点与D 点重合，即ED EA =，作EM AD ⊥于M ，如图1，则11522AM AD ==，11 / 12M AE HAD ∴∠=∠，Rt AME Rt AHD ∴△△，::AE AD AM AH ∴=，即15:1592AE =：，解得252AE =；当GA GE =时，则AGE AEG ∠=∠，AGE DAB ∠=∠，而AGE ADG DAG ∠=∠+∠，DAB GAE DAG ∠=∠+∠，GAE ADG ∴∠=∠，AEG ADG ∴∠=∠，15AE AD ∴==．综上所述，AEC △是以EG 为腰的等腰三角形时，线段AE 的长为252或15；（3）作D H AB ⊥于H ，如图2，则9AH =，9HE AE AH x =-=-，在Rt ADE △中，DE =， AGE DAB ∠=∠，AEG DEA ∠=∠，EAG EDA ∴=△△，::EG AE AE ED ∴=，即:EG x x =2EG∴=，数学试卷第23页（共24页）数学试卷第24页（共24页）2DG DE EG ∴=-=，DF AE ∴∥，DGF EGA ∴△△，::F AE DG EG ∴=，即22:y x ⎫=⎝ 2251825(9)2x y x x -∴=<<．【考点】梯形的性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的分类讨论，勾股定理，三角函数。

沪教版九年级数学同步练习：第二十四章相似三角形第三节相似三角形的判定

相似三角形相似三角形的断定〔1〕一、选择题1．以下语句不正确的选项是〔〕A ．两个等边三角形是相似三角形B ．有一个角为40°的两个等腰三角形相似C ．有一个角为100°的两个等腰三角形相似D ．两个等腰直角三角形是相似三角形2．以下条件不能断定ABC ∆∽'''C B A ∆的是〔〕A ．︒=∠30A ，︒=∠50B ，︒=∠30'A ，∠C=100°B ．B A ∠=∠，''C B ∠=∠，'A C ∠=∠C ．'A A ∠=∠，''C B C B -∠∠=∠-∠D ．'A A ∠=∠，''C B C B +∠∠=∠+∠3．如图1，：点D 在ABC ∆的边AB 上，且B ACD ∠=∠，那么以下各式中一定成立的是〔〕A ．AB AD AC ⋅=2 B ．AC CD AB AD = C ．BC CD DB AD = D ．BC AC AC CD = 二、填空题1．如图2，：BC AD 、相交于点O ，C A ∠=∠，假设4=AO ，6=OB ，8=OC ，那么OD =_______．2．如图3，：BE AD 、是ABC ∆的两条高，BE AD 、相较于点O ，那么图中共有______对相似三角形．3．如图4，：CD 是ABC Rt ∆斜边上的高，那么_________==CDAD ． 4.如图5，：点D 在ABC ∆的边AB 上，B ACD ∠=∠，6=AC ，4=AD ，BD =_______．5.如图6，：点D 在ABC ∆的边上，2=AD ，9=AB ，6=AC .过点D 的直线交AC 于点E ，使以点A 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似，那么AE =________．三、简答题1.求证：顶角对应相等的两个等腰三角形相似．2.如图，：等腰三角形ABC 中，点D 在BC 边上，B EDF ∠=∠，求证：BD DC FC BE ⋅=⋅．3.如图，：21∠=∠，ABC ADE ∠=∠，求证：AE AB AC AD ⋅=⋅．4.如图，：等腰ABC ∆中，AC AB =，︒=∠108BAC ，AB BD =，求:BC BD 的值．5.如图，：ABC ∆中，点E 是AB 上一点，AC CE =，点D 在BC 上，DB DE =，DE 的延长线与CA 的延长线相交于点F ，连接CE ，求证：DF DE CD ⋅=2．相似三角形的断定〔2〕一、选择题1.如图，：点E D 、分别在ABC ∆的边AC AB 、上，假设AC AE AB AD ⋅=⋅，那么以下各式中不能成立的是〔〕A ．ADE ∆∽ACB ∆ B ．B AED ∠=∠C ．AB AE BC DE =D ．ABAD BC DE = 2. ABC ∆与'''C B A ∆中，由以下条件能推出ABC ∆∽'''C B A ∆的是〔〕A ．''''C A ACB A AB =，'B B ∠=∠ B ．''''C A AC B A AB =，'A A ∠=∠ C ．AC AB =，''''C A B A =，'B B ∠=∠ D ．AC AB =，''''C A B A =，'C C ∠=∠3.如图，：在ABC ∆中，CD 是高，由以下条件不一定能得出ABC ∆是直角三角形的是〔〕A ．CD AD BC AC =B ．B ACD ∠=∠C ．BCBD AB BC = D ．AB AD AC ⋅=2 二、填空题1.如图1，ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，3=AC ，4=BC ，点D 为AB 的中点，当BE =______时，AB DE ⊥．2.如图2，：BD 平分ABC ∠，2=AB ，6=BC ，当BD =________时，ABD ∆∽BDC ∆.3.如图3，添加一个条件___________，那么以点E D A 、、为顶点的三角形与ABC ∆相似．4. ABC ∆与'''C B A ∆中，假设''''B A BC C A AB =，又∠_____=∠______时，能推出ABC ∆与'''C B A ∆．三、简答题1.如图，OD BO OC AO ⋅=⋅，求证：AE DE EB CE ⋅=⋅．2.ABC ∆与'''C B A ∆中，AC AB =，''''C A B A =，'B B ∠=∠，求证：ABC ∆∽'''C B A ∆．3.如图，4=AD ，5=DC ，6=AB ，求证：ADB ABC ∠=∠．4.如图，在ABC ∆中，点E D 、在BC 边上，ADE ∆是等边三角形，EC BD DE ⋅=2，求证：︒=∠120BAC ．5.如图，正方形ABCD 中，点F E 、分别在BC DC 、上，EC DE 21=，2:7:=FC BF ，求证：︒=∠90AEF ． 6.如图，在ABC ∆中，AE BD 、分别是BC AC 、上的高，AE BD 、相交于点O ，连接DE ，求证〔1〕CDE ∆∽CBA ∆，〔2〕DOE ∆∽AOB ∆．7.如图，：在ABC ∆中，AE 是BC 上的高，CD BD ⊥，AE 的延长线交BD 于F ，BD BF AB ⋅=2，求证: ︒=∠90BAC ．相似三角形的断定〔3〕一、选择题1.以下四组条件中，不能断定ABC ∆∽DEF ∆的是〔〕A. 2=AB ，22=BC ，4=AC ，3=DE ，33=EF ，6=DFB. ︒=∠36A ，︒=∠64B ，︒=∠36E ，︒=∠80FC. ED AC EF AB ::=，且E A ∠=∠D. ︒=∠=∠60E A ，AC BC =，FD DE =2.给出四个命题:①三边对应成比例的两个三角形相似②一个锐角对应相等的两个直角三角形相似③两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形相似④有一个角对应相等的两个等腰三角形相似其中不正确的有〔〕A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.ABC ∆的三边长为2、3、4，DEF ∆的一边长为6，假设ABC ∆∽DEF ∆，那么DEF ∆的另两边不可能是以下〔〕组A. 12，9B.29，3 C. 8，4 D. 18，24 二、填空题 1.ABC ∆与DEF ∆中，6=AB ，8=BC ，12=AC ，6=EF ，9=DE ，DF =_______时，ABC ∆∽DEF ∆．2.ABC ∆中，6=AB ，8=BC ，7=CA ，延长CA 至点P ，使PBC ∆∽PAB ∆，那么AP = ____．32、6、34与6，33，3时，这两个三角形_____相似三角形〔填“是〞或“不是〞〕．4. ABC ∆与DEF ∆中，AC AB =，DF DE =，添加一个条件：_______________________时，ABC ∆∽DEF ∆．三、简答题1.如图，AC AE BC DE AB AD ==，求证：ADB ∆∽AEC ∆．2.求证：腰及腰上中线对应成比例的两个等腰三角形相似．3.如图，画一个与ABC ∆相似的三角形，并证明．4.如图，：正方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且DF CF 3=，BF EG ⊥，垂足为G ，求证：BF BG BE ⋅=2．5.如图，：ABC ∆与'''C B A ∆中，︒=∠=∠90'''C A B BAC ，AD 、''D A 分别是BC 、''C B 上的中线，''''B A AB D A AD =，求证：ABC ∆∽'''C B A ∆．相似三角形的断定〔4〕一、选择题1. ABC Rt ∆和MNP Rt ∆中，︒=∠=∠90P B ，根据以下各组条件不能断定这两个三角形相似的是〔〕A ．︒=∠46A ，︒=∠44MB ．9,6,6,4====PN MP BC ABC ．9,6,6,4====MN PN AC ABD ．9,6,6,4====MN MP BC AB2. ABC ∆中，︒=∠90C ，CD 是斜边上的高，以下结论不一定成立的是〔〕A.222111CDBC AC =+ B. AD BC DB AC ⋅=⋅ C.BD AD BCAC =22 D. AD BC CD AC ⋅=⋅ 3. ABC ∆中，CD 是AB 上的高，由以下条件不一定能推出︒=∠90ACB 的是〔〕A. ︒=∠+∠90ACD BB. DB AD CD ⋅=2C. DBCD BC AC = D. DCB A ∠=∠ 二、填空题1.如题1，：ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，CD 是AB 上的高，∥MN AB 且与CD 相交于点O ，那么图中与ABC ∆相似的三角形有________个．2.如图2，: ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AD ⊥AC ，那么图中与ABC ∆相似的三角形是_______________________．3.如图3，：矩形ABCD 中，点P 是BC 上不与B 、C 重合的点，2=AB ，8=BC ，BP =____时，PD AP ⊥．三、简答题1.如图，：四边形ABCD 中，︒=∠90A ，DC BD ⊥，4=AD ，6=BD ，9=BC ，求证：AD ∥BC ．2.如图，：ABC ∆与'''C B A ∆中，AC AB =，''''C A B A =，BD 、''D B 分别是AC 、''C A 上的高，''''D B BD C A AC =求证：ABC ∆∽'''C B A ∆．3.如图，：ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，点D 是AB 上一点，CD AE ⊥，CE AB AC ⋅=2，求证：点D 是AB 的中点．4.如图，：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是CD 的中点，DC AD ⊥，BC DE BE AE =，求证：AE 平分BAD ∠．5.如图，：在平面直角坐标系中，点A 〔0,4〕、B 〔0,3-〕在x 轴上找点P ，使以点P 、O 、A 为顶点组成的三角形与ABO ∆相似，求点P 的坐标．相似三角形的断定〔5〕一、选择题1.如图，：ABC ∆中，BE 平分ABC ∠、∠BAD =∠C ，那么以下结论不一定成立的是〔〕A.△AFE ∽△ACEB.△ABD ∽△CBAC.△ABF ∽△BECD.△ABE ∽△BFD2. ABC ∆与'''C B A ∆中，43''''==C B BC B A AB ，添加以下条件仍不一定能得到ABC ∆∽'''C B A ∆的是〔〕A. 43''=C A AC B.A A ∠=∠' C. 'B B ∠=∠ D.︒=∠=∠90'D D 3. ABC ∆中，直线DE 分别与AC AB 、相交于点E D 、，以下条件不能推出ABC ∆与ADE ∆相似的是〔〕 A. EC AE BD AD = B. ∠ADE =∠ACB C. AD AB AC AE ⋅=⋅ D. BCDE AB AD = 二、填空题1. ABC ∆中，E D 、分别是AC AB 、上的点，假如2=AD ，3=DB ，4=EC ，那么AE =___时，ADE ∆与ABC ∆相似．2. ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，3=AC ，4=BC ，DEF ∆中，∠D =90°，DEF ∆∽ABC ∆，且6=DE ，那么EF =________．3.如图1，：∠A =∠E ，∠C =∠D ，那么△_____∽△______，其中对应边成比例的比例式为______=______=________．4. ABC Rt ∆中，点D 是斜边AB 上一点，过点D 作直线DE ，交三角形的另一边于点E ，使截得的三角形与原三角形相似，那么满足这样条件的直线有_______条．5.如图2，ABC Rt ∆中，∠C =90°，矩形CDEF 内接于ABC ∆，3=AC ，4=BC ，设DE =x ，那么矩形CDEF 的周长y =________，x 的取值范围_________________．三、简答题1.如图，: ABC ∆中，21∠=∠=∠B ，求证：EBD ∆∽DAC ∆．2.如图，：四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，21∠=∠．求证：△AOD ∽△BOC ．3.如图，：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，点E 在BC 上，∠AEF =∠B ．〔1〕求证：△ABE ∽△ECF ；〔2〕当点E 在BC 上的什么位置时，△ABE 与△AEF 相似，并证明．4.如图，：等边△ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD=CE ，直线CD 与AE 相交于点F ，求证：△DCA ∽△DAF ．。

2015年中考经典相似三角形练习题

经典练习题相似三角形(附答案)一.解答题(共30小题)1.如图，在△ /ABC DE // BC , EF // AB ，求证：△ ADE EFC .2 .如图，梯形 ABCD 中，AB // CD ,点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点 G .(1 )求证：△ CDFBGF ;(2)当点F 是BC 的中点时，过 F 作EF // CD 交AD 于点E ,若AB=6cm , EF=4cm ，求CD 的长.3 .如图，点 D , E 在 BC 上，且 FD // AB , FE // AC .5 .已知：如图①所示，在△ 和△ABCD 中, AB=AC , AD=AE ，/ BAC= / DAE ,且点3, A , D 在一条直线上，连接 BE , CD , M , N 分别为BE , CD 的中点.(1 )求证：① BE=CD •、②△ AM 等腰三角形；(2 )在图①的基础上，将△绕点DE 按顺时针方向旋转180。

，其他条件不变，得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立；(3 )在(2 )的条件下，请你在图②中延长 ED 交线段BC 于点P .求证：△ PBDAMN.BF 丄AE F ,试说明：△ ABF EAD .的边CD 上一点,6 .如图，E是？ ABCD的边BA延长线上一点，连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明.7 .如图，在4 X3的正方形方格中，△和A B CDE的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.8 .如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm , BC=6cm .某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问：(1 )经过多少时间，△AM积等于矩形ABCD面积的g?9(2 )是否存在时刻t，使以A , M , N为顶点的三角形与△相似D若存在，求t的值；若不存在，请说9 .如图，在梯形ABCD中，若AB // DC, AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1 )列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；(注意：全等看成相似的特例)(2 )请你任选一组相似三角形，并给出证明.10 .如图△ ABC, D 为AC 上一点，CD=2DA，/ BAC=45。

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