【志鸿优化】2015届高三数学(文)一轮课时作业：8.2 空间几何体的表面积和体积]

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高考数学一轮复习学案：空间几何体的表面积与体积(含答案)

高考数学一轮复习学案：空间几何体的表面积与体积（含答案）8.2空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积最新考纲考情考向分析了解球.棱柱.棱锥.棱台的表面积和体积的计算公式.本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算命题形式以选择题与填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征.三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想.1多面体的表面积.侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱.圆锥.圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧r1r2l3.柱.锥.台.球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体棱柱和圆柱S表面积S侧2S底VSh锥体棱锥和圆锥S表面积S侧S 底V13Sh台体棱台和圆台S表面积S侧S上S下V13S上S下S上S下h球S4R2V43R3知识拓展1与体积有关的几个结论1一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差2底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等2几个与球有关的切.接常用结论1正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2R3a；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2R2a.2若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2Ra2b2c2.3正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1多面体的表面积等于各个面的面积之和2锥体的体积等于底面积与高之积3球的体积之比等于半径比的平方4简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差5长方体既有外接球又有内切球6圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.题组二教材改编2P27T1已知圆锥的表面积等于12cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为A1cmB2cmC3cmD.32cm答案B解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2.3P28A组T3如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________答案147解析设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1131212a12b12c148abc，剩下的几何体的体积V2abc148abc4748abc，所以V1V2147.题组三易错自纠4xx西安一中月考一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A3B4C24D34答案D解析由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示表面积为22212121243.5xx全国体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A12B.323C8D4答案A解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径，所以球的表面积为4R22R212，故选A.6xx大连调研如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________答案11解析由三视图可知半球的半径为2，圆锥底面圆的半径为2，高为2，所以V圆锥132383，V半球124323163，所以V剩余V半球V圆锥83，故剩余部分与挖去部分的体积之比为11.题型一求空间几何体的表面积1xx全国如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是283，则它的表面积是A17B18C20D28答案A解析由题意知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球被过球心O 且互相垂直的三个平面切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和由43R31843R3283，得球的半径R2.则得S784223142217，故选A.2xx黑龙江哈师大附中一模已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.73B.172C13D.173102答案C解析由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示则CC平面ABC，上.下底均为等腰直角三角形，ACBC，ACBC1，ACBCCC2，AB2，AB22.棱台的上底面面积为121112，下底面面积为12222，梯形ACCA的面积为121223，梯形BCCB的面积为121223，过A作ADAC 于点D，过D作DEAB，则ADCC2，DE为ABC斜边高的12，DE22，AEAD2DE232，梯形ABBA的面积为122223292，几何体的表面积S122339213，故选C.思维升华空间几何体表面积的求法1以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量2多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理3旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用题型二求空间几何体的体积命题点1以三视图为背景的几何体的体积典例xx浙江某几何体的三视图如图所示单位cm，则该几何体的体积单位cm3是A.21B.23C.321D.323答案A解析由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，该几何体体积为V1312123131222321.命题点2求简单几何体的体积典例xx广州调研已知E，F 分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四棱锥C1B1EDF的体积为________答案16a3解析方法一如图所示，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，EF，过点O1作O1HB1D于点H.因为EFA1C1，且A1C1平面B1EDF，EF平面B1EDF，所以A1C1平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离易知平面B1D1D平面B1EDF，又平面B1D1D平面B1EDFB1D，所以O1H平面B1EDF，所以O1H等于四棱锥C1B1EDF的高因为B1O1HB1DD1，所以O1HB1O1DD1B1D66a.所以11CBEDFV131BEDFS四边形O1H1312EFB1DO1H13122a3a66a16a3.方法二连接EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1h2B1D12a.由题意得，11111CBEDFBCEFDCEFVVV四棱锥三棱锥三棱锥131CEFSh1h216a3.思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略1若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体.锥体或台体，则可直接利用公式进行求解2若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法.分割法.补形法等方法进行求解3若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解跟踪训练1xx新乡二模已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.323B.163C.83D.43答案C解析该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示，VV柱V锥1211121312111283，故选C.2如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为A.23B.33C.43D.32答案A解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EGHF12，AGGDBHHC32，取AD 的中点O，连接GO，易得GO22，SAGDSBHC1222124，多面体的体积VV三棱锥EADGV三棱锥FBCHV三棱柱AGDBHC2V三棱锥EADGV三棱柱AGDBHC132412224123.故选A.题型三与球有关的切.接问题典例xx全国在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V 的最大值是A4D.323答案B解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为92.引申探究1若将本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积解将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1，则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球体对角线BC1的长为球O的直径因此2R324212213.故S球4R2169.2若将本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积解如图，设球心为O，半径为r，则在RtAOF中，4r222r2，解得r94，则球O的体积V球43r34394324316.思维升华空间几何体与球接.切问题的求解方法1求解球与棱柱.棱锥的接.切问题时，一般过球心及接.切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接.切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解2若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解跟踪训练xx深圳调研如图所示，在平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD2，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为C.23D2答案A解析如图，取BD的中点为E，BC的中点为O，连接AE，OD，EO，AO.因为ABAD，所以AEBD.由于平面ABD平面BCD，所以AE平面BCD.因为ABADCD1，BD2，所以AE22，EO12.所以OA32.在RtBDC中，OBOCOD12BC32，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O，半径为32.所以该球的体积V4332332.三视图基本的.和球联系的考点分析三视图是高考重点考查的一个知识点，主要考查由几何体的三视图还原几何体的形状，进而求解表面积.体积等知识，所涉及的几何体既包括柱.锥.台.球等简单几何体，也包括一些组合体，处理此类题目的关键是通过三视图准确还原几何体典例1已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于A.1603B160C64322D60解析由题意知该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，如图所示，其中直三棱柱的高为844，故V直三棱柱8432，四棱锥的底面为边长为4的正方形，高为4，故V四棱锥13164643，故该几何体的体积VV直三棱柱V四棱锥326431603，故选A.答案A典例2某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为________解析如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，上底为2，下底为1，高为32，所以该组合体的体积V131221321144313343.答案343。

2015高考数学配套课件：8-2 空间几何体的表面积、体积

柱＝ 2πr2＋2πrl 、S 锥＝ πr2＋πrl
.
(4)若圆台的上下底面半径为 r1、r2，母线长为 l，则圆台的表面积为 S＝ π(r21＋r22)＋π(r1＋r2)l .
(5)球的表面积为 4πR2 .
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的球面上，△ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，
且 SC＝2，则此棱锥的体积为( )
2 A. 6
3 B. 6
2 C. 3
2 D. 2
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【解析】 ∵SC 是球 O 的直径，
∴∠CAS＝∠CBS＝90°.
为
2，则其体积为16(
2)3＝
2 3.
(若一个三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且侧棱长分别为 a、
b、c，则其体积为16abc)．
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3. (2012·浙江)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于________．
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2015高考数学一轮导学案：空间几何体的表面积和体积

第二节空间几何体的表面积和体积【考纲下载】了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．2．多面体的侧面积和表面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．将圆柱、圆锥、圆台的侧面沿任意一条母线剪开铺平，分别得到什么图形？提示：分别得到矩形、扇形、扇环．1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是 ( ) A ．8π B ．6π C ．4π D ．π解析：选C 设正方体的棱长为a ，则a 3＝8，即a ＝2. 故该正方体的内切球的半径r ＝1，所以该正方体的内切球的表面积S ＝4πr 2＝4π.2．直角三角形两直角边AB ＝3，AC ＝4，以AB 为轴旋转一周所得的几何体的体积为( )A ．12πB ．16πC ．9πD ．24π解析：选B 以AB 为轴旋转一周所得到的几何体为圆锥，且底面圆的半径为4，圆锥的高为3.故体积V ＝13×π×42×3＝16π.3. (2013·山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是 ( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83. 4．(2013·陕西高考)某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．解析：该几何体是底面圆半经为1，高为2的圆锥体的一半，故所求体积为V ＝12×13×(π×12)×2＝π3.答案：π35．(2013·辽宁高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析：由三视图可知该几何体是一个底面半径为2，高为4的圆柱中间挖去一个底面边长为2，高为4的正四棱柱后剩下的部分，所以其体积为π×22×4－22×4＝16π－16.答案：16π－16[典例] (2013·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.5603B.5803 C ．200 D ．240[解题指导] 将三视图还原为几何体，然后再选用相关公式求解．[解析] 由三视图可得该几何体是直四棱柱，其底面为上底为2，下底为8，高为4的等腰梯形，棱柱高为10，如图所示，故体积V ＝12×(2＋8)×4×10＝200.[答案] C某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π解析：选A 该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋12π×22×4＝16＋8π.考点一空间几何体的表面积[例1] (1)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 5(2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．[自主解答] (1)该三棱锥的直观图如图所示．据俯视图知，顶点P 在底面上的投影D 在棱AB 上，且∠ABC ＝90°，据正、俯视图知，AD ＝2，BD ＝3，PD ＝4，据侧视图知，BC ＝4.综上所述，可知BC ⊥平面P AB ， PB ＝PD 2＋BD 2＝5，PC ＝BC 2＋PB 2＝16＋25＝41， AC ＝AB 2＋BC 2＝41， P A ＝PD 2＋AD 2＝2 5. ∵PC ＝AC ＝41，∴△P AC 的边P A 上的高为h ＝ PC 2－⎝⎛⎭⎫P A 22＝6.∴S △P AB ＝12AB ·PD ＝10，S △ABC ＝12AB ·BC ＝10，S △PBC ＝12PB ·BC ＝10，S △APC ＝12P A ·h ＝6 5.故三棱锥的表面积为S △P AB ＋S △ABC ＋S △PBC ＋S △APC ＝30＋6 5. (2)该几何体的直观图如图所示：该几何体为长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱．∴S 表＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38. [答案] (1)B (2)38 【方法规律】空间几何体的表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是( )A ．372B ．360C ．292D ．280解析：选B 由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，1．空间几何体的体积是每年高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度偏小，属容易题．2．高考对空间几何体的体积的考查常有以下几个命题角度： (1)求简单几何体的体积； (2)求组合体的体积；(3)求以三视图为背景的几何体的体积． [例2]（1）(2013·浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 3 (2)(2012·江苏高考)如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A -BB 1D 1D 的体积为________cm 3.[自主解答] (1)根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，则几何体的体积V ＝6×6×3－13×12×4×4×3＝100 cm 3.(2)由题意，四边形ABCD 为正方形，连接AC ，交BD 于O ，则AC ⊥BD .由面面垂直的性质定理，可证AO ⊥平面BB 1D 1D .四棱锥底面BB 1D 1D 的面积为32×2＝62，从而VA -BB 1D 1D ＝13×OA ×S 长方形BB 1D 1D ＝6.[答案] (1)B (2)6空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．1．(2013·广东高考)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4 B.143 C.163D ．6解析：选B 由四棱台的三视图可知，台体上底面积S 1＝1×1＝1，下底面积S 2＝2×2＝4，高h ＝2，代入台体的体积公式V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h ＝13×(1＋1×4＋4)×2＝143.2．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．200＋9πB ．200＋18πC ．140＋9πD ．140＋18π解析：选A 这个几何体由上、下两部分组成，下半部分是一个长方体，其中长、宽、高分别为6＋2＋2＝10,1＋2＋1＝4,5；上半部分是一个横放的半圆柱，其中底面半径为62＝3，母线长为2，故V ＝10×4×5＋1π×32×2＝200＋9π.[例3] (2014·沈阳模拟)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310[自主解答] 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝ ⎝⎛⎭⎫522＋62＝132. [答案] C 【互动探究】侧棱和底面边长都是32的正四棱锥的外接球半径是多少？解：依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为(32)2－⎝⎛⎭⎫12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.【方法规律】与球有关的组合体的类型及解法(1)球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题．(2)球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3解析：选A 设球半径为R cm ，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm ，球心到截面的距离为(R －2)cm ，所以由42＋(R －2)2＝R 2，得R ＝5，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π×53＝500π3cm 3.——————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1种思想——转化与化归思想计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．2种方法——割补法与等积法(1)割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．2个注意点——求空间几何体的表面积应注意两点(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.[全盘巩固]1．设一个球的表面积为S 1，它的内接正方体的表面积为S 2，则S 1S 2的值等于( )A.2πB.6πC.π6D.π2解析：选D 设球的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则易知R 2＝34a 2，即a ＝233R ，则S 1S 2＝4πR 26×⎝⎛⎭⎫233R 2＝π2.2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.16B.13C.23D ．1 解析：选B 根据该三视图可知，该几何体是三棱锥，V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×2＝13. 3．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( )A ．24－3π2B ．24－π3C ．24－πD ．24－π2解析：选A 据三视图可得该几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V ＝2×3×4－12×π×12×3＝24－3π2.4．某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.⎝⎛⎭⎫95－π2cm 2B.⎝⎛⎭⎫94－π2cm 2 C.⎝⎛⎭⎫94＋π2cm 2 D.⎝⎛⎭⎫95＋π2cm 2 解析：选C 该几何体的上下部分为长方体，中间部分为圆柱．S 表面积＝S 下长方体＋S 上长方体＋S 圆柱侧－2S 圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×12×1－2×π⎝⎛⎭⎫122＝94＋π2. 5．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是32π3，那么这个三棱柱的体积是( )A ．96 3B ．163C ．24 3D ．48 3 解析：选D 如图设球的半径R ，由43πR 3＝323π，得R ＝2. ∴正三棱柱的高h ＝4.设其底面边长为a ，则13·32a ＝2，∴a ＝4 3.∴V ＝34×(43)2×4＝48 3.6．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据(单位：cm)，可知此几何体的表面积是( )A ．24 cm 2 B.643cm 2C ．(6＋25＋22)cm 2D ．(24＋85＋82)cm 2 解析：选D 如图所示，依题意可知四棱锥P -ABCD 是此几何体的直观图，在四棱锥P - ABCD 中，平面P AB 与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是正方形，△P AD ≌△PBC ，△P AB 是等腰三角形，设M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，连接PM 、PN 、MN ，由题知PM ＝AB ＝4，MN ＝4，则PN ＝42，故此几何体的表面积为S ＝S 正方形ABCD ＋S △P AB ＋2S △PBC ＋S △PCD ＝4×4＋12×4×4＋2×12×4×25＋12×4×42＝(24＋85＋82)cm 2. 7．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．解析：如图所示，设截面小圆的半径为r ，球的半径为R ，因为AH ∶HB ＝1∶2，所以OH ＝13R .由勾股定理，有R 2＝r 2＋OH 2，又由题意得πr 2＝π，则r ＝1，故R 2＝1＋⎝⎛⎭⎫13R 2，即R 2＝98. 由球的表面积公式，得S ＝4πR 2＝9π2.答案：9π28．(2014·杭州模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____________．解析：据三视图可知该几何体为四棱锥，其中底面为正方形，对角线长为10，四棱锥的高为5，故侧面高为h ′＝52＋⎝⎛⎭⎫5222＝562，因此表面积S ＝12×4×52×562＋12×10×10＝50(1＋3)．答案：50(1＋3)9．一个几何体的三视图如图所示，其中的长度单位为cm ，则该几何体的体积为________cm 3.解析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，底面直角梯形的上底为4 cm ，下底为5 cm ，高为3 cm ，四棱柱的高为4 cm ，所以该几何体的体积为4＋52×3×4＝54 cm 3.答案：5410.如图所示，已知E 、F 分别是棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱A 1A 、CC 1的中点，求四棱锥C 1-B 1EDF 的体积．解：连接EF ，B 1D .设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a . 由题意得，VC 1-B 1EDF ＝VB 1-C 1EF ＋VD -C 1EF ＝13·S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝16a 3. 11．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的表面积S .解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为 3.所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1B 1，所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形，所以S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.12.如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD .记CD ＝x ，V (x )表示四棱锥F -ABCD 的体积．(1)求V (x )的表达式．(2)求V (x )的最大值．解：(1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且F A ⊥AD ，∴F A ⊥平面ABCD .∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x ，∴F A ＝2，BD ＝4－x 2(0<x <2)，S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2，∴V (x )＝13S ▱ABCD ·F A ＝23x 4－x 2(0<x <2)． (2)V (x )＝23x 4－x 2＝23－x 4＋4x 2＝23－(x 2－2)2＋4. ∵0<x <2，∴0<x 2<4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43. [冲击名校]1．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22解析：选A 由于三棱锥S -ABC 与三棱锥O -ABC 的底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S -ABC 的高是三棱锥O -ABC 高的2倍．所以三棱锥S -ABC 的体积也是三棱锥O -ABC 体积的2倍．在三棱锥O -ABC 中，其棱长都是1，如图所示，S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝12－⎝⎛⎭⎫332＝63，故V S -ABC ＝2V O -ABC ＝2×13×34×63＝26. [高频滚动]1．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )解析：选C侧视图是从图形的左边向右边看，看到一个矩形的面，在面上有一条对角线，对角线是左下角与右上角的连线，故选C.2．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PC与底面垂直．若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为()A．1 B. 2 C. 3 D．2解析：选C在四棱锥P-ABCD中，连接AC，由正视图和侧视图可得PC＝BC＝CD＝1，故AC＝2，最长的棱为P A＝PC2＋AC2＝ 3.。

高三数学一轮复习课时作业第2讲空间几何体的表面积和体积

§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第2讲空间几何体的表面积和体积A 级基础达标1.如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )A ．1∶1B ．2∶1 C.2∶3D ．3∶22.《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为( ) A.1丈3尺 B.5丈4尺 C.9丈2尺D.48丈6尺3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.16B.12C.23D.134．正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.4π B ．8π C ．12π D ．16π5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．60B ．30C ．20D ．106.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )A.3＋ 6B.3＋ 5C.2＋ 6D.2＋5 7.某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )A.207B.216－9π2C.216－36πD.216－18π8．如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．9.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．B 级知能提升1.如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是( )A.113B.83C.163D.2232.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A.2＋ 5B.4＋5C.2＋2 5D.53.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________．4.如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.求此几何体的体积．5.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于两底面面积之和，求棱台的体积．——★参考答案★——A级基础达标1.『答案』A『解析』根据题意，三棱锥P －BCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.故选A. 2. 『答案』 B『解析』设圆柱底面圆半径为r 尺，高为h 尺，依题意，圆柱体积为V ＝πr 2h ＝2000×1.62≈3×r 2×13.33，所以r 2≈81，即r ≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr ≈54,54尺＝5丈4尺，则圆柱底面圆周长约为5丈4尺．故选B. 3.『答案』 D『解析』由三视图，可得原图如图所示，即为底面是平行四边形的四棱锥，∴V ＝13×1×1×1＝13.故选D.4．『答案』 B『解析』由正弦定理得3sin60°＝2r (其中r 为正三棱柱底面三角形外接圆的半径)，∴r ＝1，∴外接球的半径R ＝12＋12＝2，∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝8π.故选B. 5.『答案』 D『解析』由三视图画出如图所示的三棱锥P －ACD ，过点P 作PB ⊥平面ACD 于点B ，连接BA ，BD ，BC ，根据三视图可知底面ABCD 是矩形，AD ＝5，CD ＝3，PB ＝4，所以V 三棱锥P －ACD＝13×12×3×5×4＝10.故选D.6.『答案』 C『解析』由三视图还原为空间几何体，如图所示，则有OA ＝OB ＝1，AB ＝ 2.又PB ⊥平面ABCD ， ∴PB ⊥BD ，PB ⊥AB ，∴PD ＝22＋1＝5，P A ＝2＋12＝3，从而有P A 2＋DA 2＝PD 2，∴P A ⊥DA ，∴该几何体的侧面积S ＝2×12×2×1＋2×12×2×3＝2＋ 6.故选C.7.『答案』 B『解析』由已知三视图知该几何体为一个棱长为6的正方体，切去一个底面半径为3，高为6的14圆锥．其体积V ＝63－13×14×π×32×6＝216－9π2.故选B.8．『答案』 32『解析』设球O 的半径为R ，∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O 1O 2的高为2R ，圆柱O 1O 2的底面半径为R . ∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32. 9.『答案』 2(π＋3)『解析』由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为23；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋3). 10.『答案』1603『解析』由三视图可知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥，如图所示，故该几何体的体积为12×4×4×8－13×12×4×4×4＝64－323＝1603.B 级知能提升1.『答案』 D『解析』根据三视图知此几何体是边长为2的正方体截去一个三棱锥P －ABC 剩下的部分(如图所示)，所以此几何体的体积为2×2×2－13×12×1×2×2＝223.故选D.2.『答案』 C『解析』由三视图分析知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA ⊥平面ABC )，如图，由三视图中的数据可计算得S △ABC ＝12×2×2＝2，S △SAC ＝12×5×1＝52，S △SAB ＝12×5×1＝52，S △SBC ＝12×2×5＝5，所以S 表面积＝2＋2 5.故选C. 3.『答案』 36π『解析』如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则 OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，∴三棱锥S －ABC 的体积V ＝13×⎝⎛⎭⎫12SC ·OB ·OA ＝r 33，即r 33＝9，∴r ＝3，∴S 球表＝4πr 2＝36π. 4.解：解法一：如图，取CM ＝AN ＝BD ，连接DM ，MN ，DN ，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．则V 几何体＝V 三棱柱＋V 四棱锥．由题知三棱柱ABC －NDM 的体积为V 1＝12×8×6×3＝72.四棱锥D －MNEF 的体积为：V 2＝13×S 梯形MNEF ×DN ＝13×12×(1＋2)×6×8＝24，则几何体的体积为：V ＝V 1＋V 2＝72＋24＝96.解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ×AA ′＝12×24×8＝96.5. 解：如图所示，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中点，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333cm ，又因为O ′D ′＝36×20＝1033(cm)， OD ＝36×30＝53(cm)，所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2＝⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h 3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×⎝⎛⎭⎫3253＋34×20×30＝1900(cm 3)．故棱台的体积为1900 cm 3.。

2015届高三数学(文)一轮课件：8.2 空间几何体的表面积和体积

1
4
PB1= A1B1,则多面体 P-BB1C1C 的体积为
答案:
.
16
3
解析:∵四棱锥 P-BB1C1C 的底面积为 16,高 PB1=1,
1
3
16
3
∴-1 1 C = ×16×1= .
基础梳理
自我检测
第十三页，编辑于星期五：九点四十一分。
第2讲空间几何体的表面积和体积
题型一
考纲考向
1
6
方法三:1 -1 EDF = 多面体1 1 E-1 1 FD − -1 1 1 1 − -1 1 D = a3.
题型一
题型二
题型三
解题策略
第二十页，编辑于星期五：九点四十一分。
第2讲空间几何体的表面积和体积
题型二
几何体的体积
21
考纲考向
例2
考点基础
点拨提示
侧面展开图
第四页，编辑于星期五：九点四十一分。
第2讲空间几何体的表面积和体积
基础梳理
基础梳理
1
考点基础
考点基础
重点难点
随堂演练
2
名称
侧面展开图形状
正n
n 个全等的
棱锥
等腰三角形
正n
棱台
n 个全等的
等腰梯形
自我检测
考纲考向
侧面展开图
第五页，编辑于星期五：九点四十一分。
第2讲空间几何体的表面积和体积
3
直棱柱
基础梳理
S 侧=Ch
V=Sh
自我检测
第六页，编辑于星期五：九点四十一分。
第2讲空间几何体的表面积和体积
基础梳理
1
考纲考向
正棱台

【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 8.2 空间几何体的表面积与体积课件

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1 2 3 4 5
2π 3
2.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 3cm,圆心角为的扇形,则此圆锥的高为 cm.
关闭
设圆锥的底面半径为 r cm, 则 2πr= ×3,所以 r=1(cm),此圆锥的高为 32 -12 =2√2(cm). 3 2√2
8.2
空间几何体的表面积与体积
-2-
考纲要求
1.了解球体、柱体、锥体、台体的表面积的计算公式. 2.了解球体、柱体、锥体、台体的体积计算公式.
题型选择题填空题解答题
五年考题统计 2010 全国,文 7 2010 全国,文 18 2012 全国,文 7 2012 全国,文 19 2013 全国Ⅰ,文 15 2013 全国Ⅱ,文 15 2014 全国Ⅱ,文 6 2014 全国Ⅱ,文 18
-3知识梳理双击自测
1.柱、锥、台和球的侧面积和体积
圆柱圆锥圆台直棱柱正棱锥正棱台球面积 S 侧=2πrh S 侧= πrl S 侧=π(r1+r2)l S 侧= Ch S 侧= Ch' S 侧= (C+ 2 C')h' 2 S 球面=4πR
2 1 1
体积 V= Sh =πr2h V= Sh= πr2h
-5知识梳理双击自测
1 2 3 4 5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)圆柱的一个底面积为 S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是 2πS.( ) (2)设长方体的长、宽、高分别为 2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 3πa2.( ) (3)若一个球的体积为 4√3π,则它的表面积为 12π.( ) (4)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于 24cm3.( )

2015届高三数学(文)湘教版一轮复习配套课件：第7章第2节空间几何体的表面积与体积

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第二十八页，编辑于星期五：九点四十三分。
结束
第二节空间几何体的表面积与体积
解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；∴2R＝2 3(R为球的半径)，∴R＝ 3，∴球的体积V＝43πR3＝4 3π. 答案：4 3π
数学
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第二节空间几何体的表面积与体积
第二节
空间几何体的表面积与体积
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
数学
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第二节空间几何体的表面积与体积
圆柱
圆锥
圆台
侧面
展开图
侧面
积公式
S圆柱侧＝ 2πrl
S圆锥侧＝ πrl
S圆台侧＝ π(r＋r′)l
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第二节空间几何体的表面积与体积
角度一直三棱柱的外接球
1．(2013·辽宁高考)已知直三棱柱ABC -A1B1C1的6个顶点都在
球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，
则球O的半径为
()
3 17 A. 2
答案：137
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第二节空间几何体的表面积与体积
与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、
易失分点.命题角度多变，归纳起来常见的命题角度有： 1直三棱柱的外接球； 2正长方体的外接球； 3正四面体的内切球； 4四棱锥的外接球.

2015高考数学一轮精品课件：8.2 空间几何体的表面积与体积

巩固提升
)
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2,高为 2 的圆柱体和半径为
28由三视图可知,该几何体为底面半径是
16
4
4
28
2
A. π
B. π
C. π+8
D.12π
的球体的组合体,分别计算其体积,相加得
3
3
3 π×2 ×2+ π= π.
A
3
3
解析
1
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答案
答案
第十一页，编辑于星期五：十三点五分。
8.2
第八章
空间几何体的表面积与体积
1
1
1
3
3
3
r.∴VP-ABC=VO-PAB+VO-PBC+VO-PAC+VO-ABC= S 侧·r+ S△ABC·r= S
·r=(3 2+2 3)r.
表
考点一
考点二
第二十四页，编辑于星期五：十三点五分。
8.2
第八章
空间几何体的表面积与体积
考纲要求
1
1
3
2
又 VP-ABC= × ×
得 r=
2 3
第八章
8.2
空间几何体的表面积与体积
考纲要求
梳理自测
探究突破
探究突破
巩固提升
方法提炼
解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析,弄清相
关元素的关系和数量关系,选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多
地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系),达到空间问
题平面化的目的.
考点一
考点二
第二十六页，编辑于星期五：十三点五分。
第八章

【解密高考】2015届高考数学(人教)大一轮课件：8-2空间几何体的表面积与体积

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高考中三视图的识别和应用、几何体表面积、体积问题多以选择题、填空题的形式出现，分值为4～5分，求体积问题也常出现在解答题中．
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解密高考名称图形
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表面积
侧面积
圆台
S＝π(r′2＋r2 ＋r′l＋rl)
S侧＝π(r＋r′)l
球
S＝4πR2
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第二节
空间几何体的表面积与体积
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归纳拓展：对于不规则的几何体或简单的组合体的表面积和体积的求解通常用割补法，转化为简单规则几何体进行解决．
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课前自测 1.(2014· 济南调研)若一个底面是正三角形基础夯实

【志鸿优化设计】(湖北专用)高考数学一轮复习第八章立体几何8.2空间几何体的表面积与体积练习

课时作业37 空间几何体的表面积与体积一、选择题1．(2012湖北荆州高中毕业班质量检查)如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为( )．A.3π2B ．2πC ．3πD ．4π 2．(2012大连模拟)矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折起，使面BAC ⊥面DAC ，则四面体A BCD 的外接球的体积为( )．A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π 3．(2012课标全国高考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )．A ．6B ．9C ．12D ．184．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )．A ．7B ．6C ．5D ．35．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )．A ．32πB ．π＋ 3C ．32π＋ 3D ．52π＋ 3 6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．A ．πa 2B ．73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 27．(2012课标全国高考)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )．A ．6πB ．43πC ．46πD ．63π 二、填空题8．(2012浙江金华模拟)四棱锥P ABCD 的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图，则四棱锥P ABCD 的体积为__________．9．(2012上海高考)一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为__________． 10．(2013湖北部分重点中学高三起点考试)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________m 3.三、解答题11．(2012辽宁盘锦模拟)如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．12．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示．墩的上半部分是正四棱锥PEFGH(底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心)，下半部分是长方体ABCDEFGH.图(2)、图(3)分别是该标识墩的正视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积；(3)证明：直线BD⊥平面PEG.参考答案一、选择题1．A 解析：由三视图知，该几何体是一个圆柱体，S 圆柱全＝2S 底＋S 侧＝2×π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2π×12×1＝3π2.2．C 解析：外接球直径为BD ，∴半径为52.∴V ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝1256π.3．B 解析：由三视图可推知，几何体的直观图如下图所示，可知AB ＝6，CD ＝3，PC＝3，CD 垂直平分AB ，且PC ⊥平面ACB ，故所求几何体的体积为13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×3×3＝9.4．A 解析：设圆台较小底面半径为r ，则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.5．C 解析：由三视图可知该几何体为一个半圆锥，即由一个圆锥沿中轴线切去一半而得．∴S ＝12×2×3＋12×π＋12×2π×1＝32π＋ 3.6．B 解析：如图，O 1，O 分别为上、下底面的中心，D 为O 1O 的中点，则DB 为球的半径，有r ＝DB ＝OD 2＋OB 2＝a 24＋a 23＝7a 212， ∴S 表＝4πr 2＝4π×7a 212＝73πa 2.7．B 解析：设球O 的半径为R ，则R ＝12＋（2）2＝3，故V 球＝43πR 3＝43π.二、填空题 8.13a 3解析：易知该四棱锥中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝a ，底面是边长为a 的正方形，故体积V ＝13a 2×a ＝13a 3.9．6π 解析：由底面周长为2π可得底面半径为1. S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝S 底＋S 侧＝6π.10．6＋π 解析：该几何体是一个四棱柱和一个底面半径为1的圆锥的组合体．V ＝V 棱柱＋V 圆锥＝3×2×1＋13π×12×3＝(6＋π)m 3.三、解答题11．解：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧l ＋r ＋2r ＝（5＋2）×2，2πr l ＝π2，解得r ＝2，l ＝42，S 全面积＝πrl ＋πr 2＝10π，h ＝l 2－r 2＝30，V ＝πr 2h ＝230π.12．解：(1)侧视图如图所示．(2)该安全标识墩的体积：V ＝V P EFGH ＋V ABCD EFGH ＝13×402×60＋402×20 ＝32 000＋32 000＝64 000(cm 3)．(3)证明：如图，连接EG ，HF 及BD ，EG 与HF 相交于点O ，连接PO .由正四棱锥的性质可知，PO ⊥平面EFGH ， ∴PO ⊥HF .又∵EG ⊥HF ，PO ∩EG ＝O ， ∴HF ⊥平面PEG .又∵BD ∥HF ，∴BD ⊥平面PEG .。

【志鸿优化设计】高考数学一轮复习第8章立体几何8.4空间几何体的结构及空间几何体的表面积与体

课时作业39 空间几何体的结构及空间几何体的表面积与体积一、填空题1．若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是__________．2．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为__________．3．一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是__________．4．(2012辽宁高考)已知正三棱锥P ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为__________．5．(2012上海高考)一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为__________． 6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________．7．某型号冰淇淋上半部分是半球，下半部分是圆锥，其正视图如图所示，则该型号冰淇淋的体积等于__________．8．(2012江苏南京高三二模)一块边长为10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x ＝6 cm 时，该容器的容积为________ cm 3.9．(2012江苏高考)如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A BB 1D 1D 的体积为__________cm 3.二、解答题10.(2012陕西高考)直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，∠CAB ＝π2.(1)证明：CB1⊥BA1；(2)已知AB＝2，BC＝5，求三棱锥C1ABA1的体积．11．在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，四边形ABDC是菱形．(1)求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；(2)求该多面体的体积．12．(2012江苏扬州安宜高中调研)在棱长均为4的三棱柱ABCA1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点．(1)求证：A1D1∥平面AB1D；(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱锥B1ABC的体积．参考答案一、填空题 1.8π3解析：以等腰直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体是圆锥，该圆锥的底面半径和高均为2，其体积为 V ＝π3×22×2＝8π3.2.324πR 3 解析：圆锥的母线长为R ，底面半径为R 2，高为32R ，则V ＝13Sh ＝324πR 3. 3．8 解析：设球的半径为R ，则4πR 2＝12π，从而R ＝3，所以正方体的体对角线为23，故正方体的棱长为2，体积为23＝8.4.33解析：正三棱锥P ABC 可看作由正方体PADC BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P ABC 的外接球的直径，且PF ⊥平面ABC .设正方体棱长为a ，则3a 2＝12，a ＝2，AB ＝AC ＝BC ＝2 2.S △ABC ＝12×22×22×32＝2 3. 由V P ABC ＝V B PAC ，得13·h ·S △ABC ＝13×12×2×2×2，所以h ＝233，因此球心到平面ABC 的距离为33.5．6π 解析：由底面周长为2π可得底面半径为1. S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝S 底＋S 侧＝6π. 6.7π3a 2解析：如图，设O 1，O 分别为三棱柱上、下底面的中心，D 为O 1O 的中点，则DB 为球的半径，有 r ＝DB ＝OD 2＋OB 2＝a 24＋a 23＝7a212，∴S 表＝4πr 2＝4π×7a 212＝7π3a 2.7．54π 解析：冰淇淋上半部分是半球，下半部分是圆锥V ＝23π×33＋13π×32×12＝54π.8．48 解析：由题意可知道，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm 为边长的正方形，侧高为5 cm ，高为4 cm ，所以所求容积为48 cm 3.9．6 解析：由已知可得，VA BB 1D 1D ＝23VA 1D 1B 1ADB ＝23×12VA 1B 1C 1D 1ABCD ＝23×12×3×3×2＝6(cm 3)．二、解答题10．解：(1)证明：如图，连结AB 1，∵ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，∠CAB ＝π2，∴AC ⊥平面ABB 1A 1. 故AC ⊥BA 1.又∵AB ＝AA 1，∴四边形ABB 1A 1是正方形． ∴BA 1⊥AB 1.又CA ∩AB 1＝A ， ∴BA 1⊥平面CAB 1.故CB 1⊥BA 1. (2)∵AB ＝AA 1＝2，BC ＝5， ∴AC ＝A 1C 1＝1.由(1)知，A 1C 1⊥平面ABA 1，∴11ABA VC -＝131ABA S ∆·A 1C 1＝13×2×1＝23.11．(1)证明：由正三棱柱ABCA 1B 1C 1，得BB 1⊥AD ，而四边形ABDC 是菱形，所以AD ⊥BC . 又BB 1，BC ⊂平面BB 1C 1C ，且BC ∩BB 1＝B ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.又由AD ⊂平面ADC 1，得平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1.(2)解：因为正三棱柱ABCA 1B 1C 1的体积为V 1＝S △ABC ·A 1A ＝23，四棱锥DB 1C 1CB 的体积为V 2＝1311BCC B S 四形边×⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD ＝433，所以该多面体的体积为V ＝1033. 12．(1)证明：如图，连结DD 1.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，因为D ，D 1分别是BC 与B 1C 1的中点，所以B 1D 1∥BD ，且B 1D 1＝BD .所以四边形B 1BDD 1为平行四边形，所以BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1. 又因为AA 1∥BB 1，AA 1＝BB 1，所以AA 1∥DD 1，AA 1＝DD 1，所以四边形AA 1D 1D 为平行四边形，所以A 1D 1∥AD .又A 1D 1平面AB 1D ，AD ⊂平面AB 1D ，故A 1D 1∥平面AB 1D .(2)解：在△ABC 中，因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC .因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ，交线为BC ，AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面B 1C 1CB ，即AD 是三棱锥AB 1BC 的高．在△ABC 中，由AB ＝AC ＝BC ＝4，得AD ＝2 3.在△B 1BC 中，B 1B ＝BC ＝4，∠B 1BC ＝60°，所以△B 1BC 的面积S △B 1BC ＝34×42＝4 3.所以三棱锥B 1ABC 的体积，即三棱锥AB 1BC 的体积V ＝13×S △B 1BC ·AD ＝13×43×23＝8.。

2015年高考数学(文)一轮课件：9-2空间几何体的表面积和体积

通关训练3
如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，
E、F分别为线段AA1、B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为 __________．
解析：∵B1C∥平面ADD1A1， ∴F到平面ADD1A1的距离d为定值1，
1 答案：6
考点四
几何体的展开与折叠问题
【例4】 (1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中， AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使 OA、OB重合，则以A、B、C、D、O为顶点的四面体的体积为 __________．
错解：该几何体为三棱锥，底面为腰为4，底为3的等腰三角形，高为2. 1 1 55 55 3 ∴V＝ ×2× ×3× ＝ (m )． 3 2 2 2
错因分析：把正视图看成三棱锥的一个面造成误解．三视图中的每一个视图都是整个几何体在某一屏幕上的投影，不一定是某个面留下的投影．这类问题不能孤立的分析某一视图．
解析：由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积，为2 3 ；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋ 3)．
答案：2(π＋ 3)
核心考点
引领通关
考点研析变式通关
考点一
由三视图求空间几何体的表面积
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1 1 2 2 ∴S△BNC＝2· BC· NH＝2×1× 2 ＝ 4 . 1 2 ∴VF－BNC＝ · S · NF＝， 3 △BNC 24 2 VE－AMD＝VF－BNC＝， 24 2 VAMD－BNC＝S△BNC· MN＝ . 4 2 ∴VABCDEF＝ 3 .

2015高考数学第一轮复习空间几何体的表面积与体积

【规律方法】 1.多面体的表面积的求法求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系 . 2.旋转体的表面积的求法圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和 .
(B)16π
【解析】选B.由题意知，该几何体是底面半径为4，高为3的圆锥，故其体积V= π×42×3=16π.
1 3
4.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积为＿＿＿＿cm2.
【解析】由三视图可知该几何体是圆锥，其底面圆半径为 3，母线长l=5, ∴S侧= 1 ×2π×3×5=15π(cm2).
(2)由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P－ABCD，其中PD⊥平面ABCD，
因此该四棱锥的体积V= ×6×6×6=72，而棱长
为6的正方体的体积V=6×6×6=216，故需要 216 3个这样的几
72
1 3
何体，才能拼成一个棱长为6的正方体.
答案：3
【互动探究】保持本例题(1)条件不变，则一只蚂蚁从B点出
4 π R2 ④若球的半径为R，则它的表面积S=_____.
2.几何体的体积公式
几何体名称棱( 圆) 柱
棱( 圆) 锥
体积
Sh V=___(S为底面面积，h为高)
1 Sh (S为底面面积，h为高) V= ____ 3 1 V= (S SS S)h (S′,S为上、下底 ______________ 3
2.解决折叠问题的技巧 (1)解决折叠问题时，要分清折叠前后两图形中 (折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化，哪些没有发生变化． (2)折叠问题中的前后两个图形，在折线同侧的元素的位置关

备战高考数学第一轮复习配套课时作业 8.2 空间几何体

第2讲空间几何体的表面积和体积随堂演练巩固1.一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( ) A.3πB.4πC.33πD.6π【答案】 A【解析】正四面体外接球半径等于正四面体高的34,正四面体内切球半径等于正四面体高的14.6623AD AO AD =,==,22233SO SA AO =-=.∴2222(3)33R R =-+.∴3R =. ∴球的表面积为3π.2.已知一圆锥的母线长为4,若过该圆锥顶点的所有截面面积分布范围是(043],,则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于( ) A.2πB. π或3πC.3 πD. π【答案】 B【解析】假设圆锥的轴截面为锐角三角形,且在过顶点截面的三角形中面积最大,则221432(2l r r =-⋅其中r 为圆锥底面半径,l 为母线长),解得r =2或23,所以侧面展开图扇形圆心角2r l θ=⋅π224=⨯π=π或2r l θ=⋅π2324=⋅π3=π.3.正方体内切球和外接球半径的比为( )A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.1∶2【答案】B【解析】过正方体的中截面作与内切球的截面图如图甲,设正方体棱长为a ,则有2r =a (r 为内切球半径). ①过正方体的对角面作与外接球的截面如图乙,则有2R 3(a R 为外接球半径), ② ①÷②,得r ∶R =134.将圆心角为23π,面积为3π的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积等于 .【答案】4π【解析】设扇形的半径为r ,弧长为l ,则22113223rl r π=⋅⋅=π, ∴r =3,l =2π.∴圆锥的母线长为3,底面半径为1.故圆锥的表面积为S =π13⋅⋅+π214⋅=π.5.三棱柱ABC 111A B C 中,若E 、F 分别为AB 、AC 的中点,平面11EB C F 将三棱柱分成体积为1V 、2V 的两部分,那么1V ∶2V = . 【答案】7∶5或5∶7【解析】如图,设该三棱柱高为h ,底面面积为S ,由题意知EF 1//2BC ,∴4AEF S S =V .∴1111-AEF A B C V V =棱台71()34412S S h S S Sh ==. 又111-ABC A B C V Sh =,棱柱∴21512V V V Sh =-=棱柱.∴1V ∶27V =∶5.课后作业夯基基础巩固1.正三棱锥的底面边长为6,3,则这个三棱锥的全面积为( ) A.3 B.183C.36) 93【答案】C【解析】因为底面边长a =6,高3h =,所以底面高133h =,则侧面高2333()363h =+=所以1166333696939(36)22S =⨯+⨯==.2.下面不是正方体表面展开图的是( )【答案】C【解析】根据正方体的结构特征可知,C 不是正方体的表面展开图.3.圆柱的侧面展开图是一个边长为6π和4π的矩形,则圆柱的全面积为( ) A.6(43)ππ+ B.8(31)ππ+C.6(43)ππ+或8(31)ππ+D.6(41)ππ+或8(32)ππ+ 【答案】C【解析】设圆柱的底面半径为r ,母线为l ,则24l 6r π=π,⎧⎨=π⎩ 或 26l 4r π=π,⎧⎨=π.⎩ ∴ 26r l =,⎧⎨=π⎩ 或 34r l =,⎧⎨=π.⎩∴圆柱的全面积为24π28+π或24π218+π, 即8π(3π+1)或6π(4π+3).4.如图,半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF ,则此正六棱锥的体积为( )A.23B.43C.83D.123【答案】B【解析】球心即为正六边形ABCDEF 的中心,故正六边形的边长即为半径2,正六边形的面积3S =又正六棱锥的高h 为2,所以体积116324333V Sh ==⨯=5.(2011辽宁高考,文10)已知球的直径SC =4,A,B 是该球球面上的两点，245AB ASC BSC =,∠=∠=o ,则棱锥S -ABC 的体积为( )323 43 53 【答案】C【解析】如图所示,连接OA 、OB (O 为球心).∵AB =2,∴△OAB 为正三角形.又∵45BSC ASC ∠=∠=o ,且SC 为直径,∴△ASC 与△BSC 均为等腰直角三角形. ∴BO SC AO SC ⊥,⊥.又AO BO O ⋂=,∴SC ⊥平面ABO .∴---11()33S ABC C OAB S OAB OAB V V V S SO OC =+=⋅⋅+=⨯V 34344⨯=故选C. 6.在一个锥体中,作平行于底面的截面,若这个截面面积与底面面积之比为1∶3,则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为( ) A.13B.1∶9C.1∶33D.1∶(331) 【答案】D【解析】利用一个锥体被平行于底面的截面所截得的小锥体与原锥体体积之比等于相似比的立方,而这个截面面积与底面面积之比等于相似比的平方处理.7.正棱锥的高缩小为原来的12,底面外接圆半径扩大为原来的3倍,则它的体积是原来体积的( ) A.32B.92C.34D.94【答案】B【解析】设原棱锥高为h ,底面面积为S ,则13V Sh =,新棱锥的高为2h ,底面面积为9S .∴V ′1932h S =⋅⋅.∴92V V'=.8.将边长为a 的正方形ABC D 沿对角线AC 折起,使BD =a ,则三棱锥D-ABC 的体积为( ) A.36aB.312a3332 【答案】 D【解析】设正方形ABC D 的对角线AC 、BD 相交于点E ,沿AC 折起后,依题意得: 当BD =a 时BE DE ,⊥, ∴DE ⊥平面ABC . ∴三棱锥D-ABC 的高为2DE =. ∴23-221132D ABCV a =⋅=. 9.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.65π 3cmB.3π 3cmC.23π 3cmD.73π 3cm【答案】D【解析】由三视图可知,此几何体为底面半径为1 cm 、高为3 cm 的圆柱上部去掉一个半径为1 cm的半球,所以其体积为V =π223r h -π33r =π23-π73=π(cm 3).10.如图,已知正三棱柱ABC -111A B C 的底面边长为2 cm,高为5 cm,则一质点自点A 出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点1A 的最短路线的长为 cm.【答案】13【解析】根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱,然后将其展开为如图所示的实线部分,则可知所求最短路线的长为2251213+= cm.11.一块边长为10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x 的函数关系式为 .【答案】221125(010)34V x x x =-<<【解析】如图.在Rt △EOF 中,EF =5 cm 12OF x ,= cm,∴21254EO x =-.于是22112534V x x =-,依题意函数的定义域为{x |0<x <10}.12.以圆柱的下底面为底面,并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥,则该圆锥与圆柱等底等高.若圆锥的轴截面是一个正三角形,求圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比. 【解】设圆锥底面半径为r ,则母线为2r ,高为3r . ∴圆柱的底面半径为r ,高为3r ,∴2332S r rS r rπ⋅==π⋅圆柱侧圆锥侧. 13.一直三棱柱高为6 cm,底面三角形的边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,将该棱柱削成圆柱,求削去部分体积的最小值.【解】如图所示,只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时,圆柱的体积最大,削去部分体积才能最小,设此时圆柱的底面半径为R ,圆柱的高即为直三棱柱的高. ∵在△ABC 中,AB =3,BC =4,AC =5, ∴△ABC 为直角三角形.根据直角三角形内切圆的性质可得7-2R =5,∴R =1.∴V =棱柱π26R h ⋅=π.而三棱柱的体积为1346362V =⨯⨯⨯=,三棱柱∴削去部分的体积为36-6π=6(6-π)(cm 3),即削去部分的体积的最小值为6(6-π) cm 3.14.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m):(1)试画出它的直观图; (2)求它的表面积和体积. 【解】(1)直观图如图所示:(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角,且该几何体的体积是以11111A A A D A B ,,为棱的长方体的体积的34,在直角梯形11AA B B 中,作11BE A B ⊥于点E , 则四边形1AA EB 是正方形, ∴11AA BE ==.在Rt △1BEB 中111BE EB ,=,=, ∴12BB =.∴几何体的表面积11111111112AA D D BB C C ABCD A B C D AA B B S S S S S S =++++正方形矩形正方形矩形梯形112(12)1121122=+⨯⨯+⨯+⨯++⨯72(=+m 2).∴几何体的体积33121(42V =⨯⨯⨯=m 3).∴该几何体的表面积为(72)+ m 2,体积为32m 3.拓展延伸15.有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为65π的扇形,在这个圆锥中内接一个高为x 的圆柱.(1)求圆锥的体积;(2)当x 为何值时,圆柱的侧面积最大?【解】(1)因为圆锥侧面展开图的半径为5,所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r ,则2π655r π=⨯,解得r =3.所以圆锥的高为4.从而圆锥的体积13V =π2412r ⨯=π.(2)如图为轴截面图,这个图为等腰三角形中内接一个矩形.设圆柱的底面半径为a ,则334a x -=,从而334a x =-.圆柱的侧面积S (x )=2π33(3)42x x -=π2(4)x x -=32π[42(2)](04)x x --<<.当x =2时,S (x )有最大值6π.所以当圆柱的高为2时,圆柱有最大侧面积为6π.。

2015届高考数学一轮复习课时作业：34 空间几何体的表面积与体积

课时提升作业(三十四)空间几何体的表面积与体积(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知某球的体积大小等于其表面积大小,则此球的半径是( )A. B.3 C.4 D.5【解析】选B.设球的半径为R,则πR3=4πR2,所以R=3.2.(2013·湖州模拟)轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( )A.1∶2B.2∶3C.1∶3D.1∶4【解析】选B.设圆柱的底面半径为r,则圆柱的侧面积S侧=2πr·2r=4πr2,圆柱的全面积S全=2πr·2r+2πr2=6πr2,所以S侧∶S全=2∶3.3.(2013·山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,该四棱锥侧面积和体积分别是( )A.4,8B.4,C.4(+1),D.8,8【解析】选B.由题干图知,此棱锥高为2,底面正方形的边长为2,V=×2×2×2=,侧面积需要计算侧面三角形的高h==,S侧=4×=4.4.(2013·湖南高考)已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( )A. B.1 C. D.【解析】选D.根据条件得知正视图和侧视图一样,是正方体的一个对角面,故面积相等.5.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm,瓶里所装的水深为8cm,将一个钢球完全浸入水中,瓶中水的高度上升到8.5cm,则钢球的半径为( )A.1 cmB.1.2 cmC.1.5 cmD.2 cm【解析】选C.因为V球=πR3=π×32×8.5-π×32×8=4.5π,所以R==1.5(cm).【加固训练】圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是cm.【解析】设球半径为r,则由3V球+V水=V柱,可得3×πr3+πr2×8=πr2×6r,解得r=4.答案:46.(2014·温州模拟)已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.8B.C. D.【解析】选C.由三视图可知,该几何体如图,即一个正方体由一个平面截去了一个三棱台,所以其体积V=V正方体-=23-×2=8-=.7.设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )A.3πa2B.6πa2C.12πa2D.24πa2【解析】选 B.由于长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,则长方体的体对角线长为= a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线,所以2R= a.所以S球=4πR2=6πa2.【加固训练】(2013·广州模拟)设一个球的表面积为S1,它的内接正方体的表面积为S2,则的值等于( )A. B. C. D.【解析】选D.设正方体的棱长为a,则球的半径为R=a,所以===.8.(能力挑战题)某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为( )A. B. C. D.【思路点拨】由三视图画出相应的直观图,然后构造出关于a,b的关系式,利用基本不等式求最值.【解析】选D.由题意知,该几何体的直观图如图所示,且AC=,BD=1,BC=b,AB=a.设CD=x,AD=y,则x2+y2=6,x2+1=b2,y2+1=a2,消去x2,y2得a2+b2=8≥,所以a+b≤4,当且仅当a=b=2时等号成立,此时x=,y=,所以V=××1××=.【误区警示】解答本题常见的错误是忽视a+b取最大值这一条件.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2014·宁波模拟)三棱柱的三视图(正视图和俯视图是正方形,侧视图是等腰直角三角形)如图所示,则这个三棱柱的全面积等于.【解析】由三视图可知:该三棱柱的形状如图,其S全=S△ABC++++=×2×2+×2×2+2×2+2×2+2×2=12+4.答案:12+410.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使BD=a,则三棱锥D -ABC的体积为. 【解析】设正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,沿AC折起后依题意得,当BD=a时,BE⊥DE,所以DE⊥平面ABC,于是三棱锥 D -ABC的高为DE=a,所以三棱锥 D -ABC的体积V=·a2·a=a3.答案:a311.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.【解析】由三视图可知,此几何体的上面是圆锥,其底面半径为1,高是3,此几何体的下面是长方体,其长、宽、高分别是3,2,1,因此该几何体的体积V=3×2×1+π×12×3=6+π(m3).答案:(6+π)12.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为cm3.【解析】关键是求出四棱锥A -BB1D1D的高.连接AC交BD于O,在长方体中,因为AB=AD=3,所以BD=3且AC⊥BD.又因为BB1⊥底面ABCD,所以BB1⊥AC.又DB∩BB1=B,所以AC⊥平面BB1D1D,所以AO为四棱锥A -BB1D1D的高且AO=BD=.因为=BD×BB1=3×2=6,所以=·AO=×6×=6(cm3).答案:6三、解答题(13题12分,14～15题各14分)13.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6,高为4的等腰三角形,(1)求该几何体的体积V.(2)求该几何体侧面积S.【解析】由已知可得,该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD,如图所示.(1)V=×(8×6)×4=64.(2)该四棱锥有两个侧面VAD,VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为h1==4,另两个侧面VAB,VCD也是全等的等腰三角形,AB边上的高为h2==5,因此S=2=40+24.14.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为ABC,已知A1B1=B1C1=2,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=3,CC1=2,求:(1)该几何体的体积.(2)截面ABC的面积.【解析】(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C,交AA1,BB1分别于A2,B2. 由直三棱柱性质及∠A1B1C1=90°可知B2C⊥平面ABB2A2,则V==×2×2×2+××(1+2)×2×2=6.(2)在△ABC中,AB==,BC==,AC==2.则S△ABC=×2×=.【一题多解】本题(1)问还可以用以下方法解答:延长B1B,C1C到B3,C3,使得B3B1=C3C1=AA1.则V==×2×2×4-××(1+2)×2×2=6.15.(能力挑战题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB>1,点E在棱AB上移动,小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1,所爬的最短路程为2.(1)求AB的长度.(2)求该长方体外接球的表面积.【解析】(1)设AB=x,点A到点C1可能有两种途径,如图甲的最短路程为|AC1|=.如图乙的最短路程为|AC1|==,因为x>1,所以x2+2x+2>x2+2+2=x2+4,故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为.由题意得=2,解得x=2.即AB的长度为2.(2)设长方体外接球的半径为R,则(2R)2=12+12+22=6,所以R2=,所以S表=4πR2=6π.即该长方体外接球的表面积为6π.【加固训练】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1,这个几何体的体积为.(1)求棱A1A的长.(2)求经过A1,C1,B,D四点的球的表面积.【解析】(1)设A1A=h,因为几何体ABCD-A1C1D1的体积为,所以即S四边形ABCD×h-××h=,即2×2×h-××2×2×h=,解得h=4.所以A1A的长为4.(2)如图,连接D1B,设D1B的中点为O,连接OA1,OC1,OD.因为ABCD-A1B1C1D1是长方体,所以A1D1⊥平面A1AB.因为A1B⊂平面A1AB,所以A1D1⊥A1B.所以OA1=D1B.同理OD=OC1=D1B.所以OA1=OD=OC1=OB.所以经过A1,C1,B,D四点的球的球心为点O.因为D1B2=A1+A1A2+AB2=22+42+22=24.所以S球=4π×(OD1)2=4π×=π×D1B2=24π.故经过A1,C1,B,D四点的球的表面积为24π.。

【高考调研】2015高考数学(人教新课标文科)课时作业：8-2 空间几何体的表面积、体积]

课时作业(四十七)1．(2013·广东)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16 B.13 C.23 D ．1答案 B解析由俯视图知底面为直角三角形，又由正视图及侧视图知底面两直角边长都是1，且三棱锥的高为2，故V 三棱锥＝13×12×1×1×2＝13.2.(2011·广东)如图所示，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A ．4 3B ．4C ．2 3D ．2答案 C 解析由题意知该几何体为如图所示的四棱锥，底面为菱形，且AC ＝23，BD ＝2，高OP ＝3，其体积为V ＝13×(12×23×2)×3＝2 3. 3.如图所示，E 、F 分别是边长为1的正方形ABCD 边BC 、CD 的中点，沿线AF ，AE ，EF 折起来，则所围成的三棱锥的体积为( )A.13 B ．16 C.112 D ．124答案 D解析设B 、D 、C 重合于G ，则V A －EFG ＝13×1×12×12×12＝124. 4．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( ) A ．2 2 B ．233 C.423 D ．433 答案 D解析由题意知V ＝43πR 3＝32π3，∴R ＝2，外接球直径为4.即正方体的体对角线，设棱长为a ，则体对角线l ＝3a ＝4，a ＝433.5．(2012·北京)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A．28＋6 5 B．30＋6 5 C．56＋12 5 D．60＋12 5 答案 B解析根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图(如图所示)，此几何体为一个底面为直角三角形，高为4的三棱锥，因此表面积为S＝1 2×(2＋3)×4＋12×4×5＋12×4×(2＋3)＋12×25×41－5＝30＋6 5.6．(2014·湖北八校联考)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()A．8 B．6 2C．10 D．8 2答案 C解析由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,62，8,10，所以面积最大的是10，故选C.7．(2014·合肥一检)一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积和表面积分别为( )A ．64,48＋162B ．32,48＋16 2 C.643，32＋16 2 D ．323，48＋16 2答案 B解析由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，其直观图如图所示．体积V ＝12×4×4×4＝32，表面积S ＝2×12×42＋4×(4＋4＋42)＝48＋16 2.8．(2014·海淀区期末)已知四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P －ABCD 的四个侧面中面积最大的是( )A ．3B ．2 5C ．6D ．8答案 C解析由三视图知四棱锥如图所示，N 为CD 的中点，M 为AB 的中点，连接PN 、NM 、PM ，易知PM ＝3，PN ＝5，S △PDC ＝12×4×5＝25，S △PBC ＝S △P AD＝12×2×3＝3，S △P AB ＝12×4×3＝6，故选C.9．(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16＋16 2C ．48D ．16＋32 2答案 B解析该空间几何体是底面边长为4、高为2的正四棱锥，这个四棱锥的斜高为22，故其表面积是4×4＋4×12×4×22＝16＋16 2.10．(2011·广东)如图所示，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )A ．6 3B ．9 3C ．12 3D ．18 3答案 B解析由几何体的三视图知直观图如图所示．原几何体为底面ABCD 为矩形的四棱柱，且AB ＝3，侧面A 1ABB 1⊥底面ABCD ，A 1A ＝2.过A 1作A 1G ⊥AB 于G ，由三视图知AG ＝1，A 1D 1＝3，A 1G ＝A 1A 2－AG 2＝ 3.底面ABCD 的面积S ＝3×3＝9， VABCD －A 1B 1C 1D 1＝S ·h ＝9×3＝9 3. 11.(2014·济宁一模)一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )A.73 m 3B.92 m 3C.72 m 3D.94 m 3 答案 C解析结合三视图可知，该几何体是由三个棱长为1 m 的正方体和半个棱长为1 m 的正方体组成的，所以该几何体的体积V ＝3×1×1×1＋12×1×1×1＝72(m 3)．12.(2012·山东)如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1—EDF 的体积为________．答案 16解析三棱锥D 1—EDF 的体积即为三棱锥F —DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以VF －DD 1E ＝13×12×1＝16.13.如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为________．答案 1∶5解析方法一：设AB ＝a ，AD ＝b ，DD ′＝c ，则长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的体积V ＝abc . 又S △A ′DD ′＝12bc ，且三棱锥C －A ′DD ′的高为CD ＝a . ∴V 三棱锥C －A ′DD ′＝13S △A ′DD ′·CD ＝16abc . 则剩余部分的几何体积V 剩＝abc －16abc ＝56abc . 故V 棱锥C －A ′D ′D ∶V 剩＝16abc ∶56abc ＝1∶5.方法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD ′A ′－BCC ′B ′，设它的底面ADD ′A ′面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh .而棱锥C －A ′DD ′的底面面积为12S ，高是h ，因此，棱锥C －A ′DD ′的体积 V C －A ′DD ′＝13×12Sh ＝16Sh . 余下的体积是Sh －16Sh ＝56Sh .所以棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为16Sh ∶56Sh ＝1∶5.14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案 32解析由三视图可知，该几何体是一个棱长为4的正方体被一个平面截去一部分后余下的一部分，如图所示，连接AC ，NC ，则这个几何体的体积是四棱锥C －ABEN 体积的2倍，则该几何体的体积为V ＝2×13×12×(2＋4)×4×4＝32.15．(2014·衡水调研卷)在一个棱长为6厘米的密封的正方体盒子中，放一个半径为1厘米的小球，任意摇动盒子，小球在盒子中不能到达的空间为G ，则这个正方体盒子中的一点属于G 的概率为________.答案21－5π81解析在正方体盒子中，不能到达的八个角的空间即为图一中的内切于正方体的小球不能到达的空间，其体积为23－43π＝8－43π.小球沿每条棱运动不能到达的空间(除去两端的两个角)的体积，即为高为4的一个正四棱柱的体积减去其内切圆柱体积的四分之一(如图二)，即14(22×4－π×12×4)＝4－π，正方体有12条棱，所以在盒子中小球不能到达的空间G 的体积为8－43π＋12×(4－π)＝56－403π，又正方体盒子的体积为63＝216，所以这个正方体盒子中的一点属于G 的概率为56－403π216＝21－5π81.16.如图所示，在四面体ABCD 中，已知DA ＝DB ＝DC ＝1，且DA 、DB 、DC 两两互相垂直，在该四面体表面上与点A 距离为233的点形成一条曲线，则这条曲线的长度是________．答案 32π解析在Rt △ADH 中，由于AD ＝1，AH ＝233，所以DH ＝33.所以∠DAH ＝π6，∠BAH ＝π4－π6＝π12，所以在面DAB 中，曲线段EH 的长为π12×233＝318π.同理，曲线段FG 的长也为318π.在面ABC 中，曲线段EF 的长为π3×233＝239π.在面DBC 中，曲线段GH 的长为π2×33＝36π.所以这条曲线的总长度为2318π×239π＋36π＝32π.17.(2012·辽宁)如图所示，直三棱柱ABC —A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)求三棱锥A′—MNC的体积．(锥体体积公式V＝13Sh，其中S为底面面积，h为高)答案(1)略(2)1 6解析(1)方法一：连接AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC—A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′的中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.方法二：取A′B′中点P，连接MP，NP，AB′.因为M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′.所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.又因MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′.(2)方法一：连接BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.又A′N＝12B′C′＝1，故V A′－MNC ＝V N－A′MC＝12V N－A′BC＝12V A′－NBC＝16.方法二：V A′－MNC ＝V A′－NBC－V M－NBC＝12V A′－NBC＝16.。