2017-2018学年北京石油附中第一学期高二数学期中考试(理)试题(解析版)

2017-2018学年北京石油附中第一学期高二数学期中考试（理）试题一、单选题1．垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能【答案】D【解析】分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选D2．已知直线的倾斜角为，则为（）．A．B．C．D．不存在【答案】A【解析】【分析】利用斜率与倾斜角的关系解题即可.【详解】∵直线的斜率为，∴直线的倾斜角为．故选．【点睛】本题考查斜率与倾斜角的关系，属基础题.3．圆的圆心横坐标为，则等于（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据题意可求出圆心坐标，由圆心横坐标为，可求值.圆的圆心坐标为，∴，解得．故选．【点睛】本题考查利用圆的方程求圆心坐标，属基础题.4．在空间四边形的边，，，上分别取，，，四点，如果，，交于一点，则（）A．一定在直线上B．一定在直线上C．一定在直线或上D．既不在直线上，也不在直线上【答案】B【解析】【分析】由题意，，相交于点，则点，且，而平面，平面，又由此可得结论.【详解】由题意，，相交于点，则点，且，又平面，平面，则平面，且平面，则点必在平面与平面的交线上，即点一定在直线上．故选．【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．已知直线不经过第一象限，且，，均不为零，则有（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】由直线不经过第一象限，且，，均不为零，∴，，即可得出．【详解】∵直线不经过第一象限，且，，均不为零，∴，，即，．故选．【点睛】本题考查了直线的斜率与截距的意义，属于基础题．6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为，下底长为，高为，棱锥的一条侧棱垂直底面高为，所以这个几何体的体积：，故选．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.7．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一点侧棱和高做截面，正确的截面图形是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题意作出图形，如图所示；SO ⊥底面BPM ，过侧棱SB 与高的平面ABCD 截得圆柱与圆柱内接正三棱锥S ﹣BPM ， 截面图形为D 选项． 故选：D ．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】C【解析】【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．分析：A选项可由线面平行的判定定理进行判断；B选项可由线面垂直的位置关系进行判断；C选项可由面面垂直的判定定理进行判断．D选项可由面面垂直的性质定理进行判断；解答：解：A选项不正确，因为m∥n，n⊂α时，m⊂α也有可能，故m∥α不成立．B选项不正确，因为m⊥α，n⊥α，只能得出n∥m；C选项正确，因为m⊥α，m∥β，则α⊥β是面面垂直的判定定理．D选项不正确，因为α⊥β，m⊂α时，m⊥β不一定成立，有可能是m∥β；故选C．点评：本题考查空间中线面垂直的判断及线面平行、面面垂直的判断．主要考查答题者空间想像能力及组织条件证明的能力．9．过点且被圆截得弦长最长的直线的方程为（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】题意可知过点和圆心的直线被圆截得的弦长最长，求出圆心坐标，即可得到线的方程.【详解】依题意可知过点和圆心的直线被圆截得的弦长最长，整理圆的方程得，圆心坐标为，此时直线的斜率为，∴过点和圆心的直线方程为，即．故选．【点睛】本题考查圆的标准方程，直线方程的求法，属基础题.10．如图，在正方体中，为对角线的三等分点，到各顶点的距离的不同取值有（）．A．个B．个C．个D．个【答案】B【解析】设正方体的棱长为，计算得，，，，所以到各顶点的距离的不同取值有个，故选．二、填空题11．如果直线与直线平行，那么系数等于__________．【答案】【解析】【分析】根据它们的斜率相等，可得﹣=3，解方程求a的值【详解】∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y=0平行，∴它们的斜率相等，∴﹣=3，∴a=﹣6．故答案为：-6．本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．12．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是__________．【答案】【解析】设等边三角形边长为，则，∴，即圆锥底面的圆半径为，圆锥的高，母线长为，侧面积．13．圆的圆心到直线的距离为，则__________．【答案】【解析】【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标，代入点到直线距离公式即可求出.【详解】圆可化为，圆心坐标为，半径，圆心，到直线的距离，解得．即答案为.【点睛】本题考查圆的标准方程，点到直线距离公式，属基础题.14．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件__________时．有．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）【答案】【解析】【分析】根据题意，由，结合直棱柱的性质，分析底面四边形，只要，进而验证即可．【详解】∵四棱柱是直棱柱，∴，若，则平面，∴，又由，则有，反之，由亦可得到．即答案为..【点睛】题主要考查了棱柱的几何特征以及空间线线，线面，面面垂直关系的转化与应用．15．已知从球的以内接长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为，，，则此球的表面积为__________．【答案】【解析】【分析】求出长方体的体对角线长，即可得到球的半径，进而得到球的表面积.【详解】长方体从一个顶点出发的三条棱分别是，，，∴长方体的体对角线长为：，∴内接于该长方体的球的半径为，故此球的表面积．【点睛】本题考查球的接长方体的有关性质，属基础题.16．直线与曲线的位置是__________．【答案】相交【解析】【分析】化简得，，故直线恒过定点，可判断点在圆内，即直线与圆相交.【详解】化简得，，故直线恒过定点，将代入得，所以点在圆内，故直线与曲线的位置关系是相交．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属基础题.三、解答题17．已知三个顶点是，，．（）求边高线所在直线方程．（）求外接圆方程．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先求出边所在直线的斜率，进而求出边上的高所在直线的斜率，用斜截式求直线方程并化为一般式．（）设外接圆的方程为，将，，代入圆的方程求出，，即可.【详解】（）∵，，∴，∴，∴所在直线方程为．（）设外接圆的方程为，将，，代入圆的方程得：，解得，，，故外接圆的方程为．【点睛】本题考查两直线垂直，斜率之积等于-1，以及利用待定系数法求圆的一般方程，属基础题.18．如图，在正四棱柱中，是的中点，若，．（）求证：平面．（）求证：平面平面．（）求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）设，由三角形的中位线的性质可得，从而证明直线平面．（2）证明，可证平面，进而证得平面平面平面．（3）利用可求三棱锥的体积．【详解】（）证明：设，则是中点，又∵是的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面．（）证明：∵是正四棱柱，∴是正方形，∴，又∵底面，平面，∴，∴平面，∵平面，∴平面平面．（），∵，，∴，，∴，，∴．【点睛】本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所成的角是解题的难点．同时开出利用等体积法求三棱锥的体积，属基础题.19．如图，等腰梯形中，，，，，为的中点，矩形所在的平面和平面互相垂直．（）求证：平面．（）设的中点为，求证：平面．（）求三棱锥的体积．（只写出结果，不要求计算过程）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）欲证平面，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证与平面内两相交直线垂直，而A，满足定理条件；（2）欲证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行，设的中点为，又平面，平面，满足定理条件．（3）先计算底面三角形的面积，在等腰梯形中，可得此三角形的高，底为1，再计算三棱锥的高，即为，最后由三棱锥体积计算公式计算即可.（只写出结果，不要求计算过程）【详解】（）∵是矩形，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴，又，且，平面，平面，∴平面．（）证明：设的中点为，∵是的中点，∴，且，又∵是矩形，是的中点，∴，且，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面．（）．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．。