第三章 3.1 3.1.3 概率的基本性质

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[提示] 根据概率的加法公式及对立事件的概率来求．
[解] 法一：由于事件A，B，C，D彼此为互斥事件，所以
(1)“取出1球为红或黑”的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝ 5 1 3 ＋ ＝ . 12 3 4 (2)“取出1球为红或黑或白”的概率为 5 1 1 11 P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝ ＋ ＋ ＝ . 12 3 6 12
发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件， 当然不可能是对立事件． 返回
1．判断下列各对事件是否是互斥事件，是否是对立事件， 并说明理由．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生去参加
演讲比赛． (1)恰有1名男生和恰有2名男生； (2)至少有1名男生和至少有1名女生； (3)至少有1名男生和全是男生；
表示法 若 A∩B＝∅ 则 A与B互斥 若 A∩B＝∅， 且A∪B＝Ω， 则A与B对立 返回
的
关 系
对 事 立 件
A∪B是 必然事件 ，那
么称事件A与事件B互为对 立事件
定义 事
件 的 算 并事 件
表示法
A∪B(或A＋B)
若某事件发生当且仅当 事件A或
事件B发生 ，则称此事件为事 件A与事件B的并事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当 事件A发 A∩B(或AB)
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[提示] 根据运算的定义． [解] (1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球， 或2个红球1个白球，故D＝A∪B. (2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红 球1个白球，3个均为红球，故C∩A＝A.
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在本例中A与D是什么关系？事件A与B的交事件是什么？ 解：由本例的解答，可知A⊆D.
(4)至少有1名男生和全是女生．
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解：(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：在所选的2名学生中，“恰有1名男生”实质是选出的
是“1名男生1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，
所以是一对互斥事件，但其并事件不是必然事件，所以不是
对立事件．
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(2)既不是互斥事件，也不是对立事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生1名女生”和“2名 都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生1名 男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可同时发生． (3)既不是互斥事件，也不是对立事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生1名女生”和“2名 都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1.
[错因] 由于事件A与事件B不是互斥事件，更不是对立事
件，因此P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立．因此解答此题应
从“A∪B”这一事件出发求解．
[正解] 因为A∪B这一事件包含4种结果即出现1、2、3和 4 2 5，所以P(A∪B)＝ ＝ . 6 3
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(4)既是互斥事件，又是对立事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生1名女生”和“2名 都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生， 且其并事件是必然事件，所以是对立事件．
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盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，
设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球 中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球 }，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}． 问：(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？ (2)事件C与A的交事件是什么事件？
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思考2：如果事件A与事件B互斥，那么 P（A）＋P（B）与1的大小关系如何？ P（A）＋P（B）≤1.
思考3：如果事件A1，A2，„，An中任何 两个都互斥，那么事件（A1+A2+„+An） 的含义如何？ P（A1+A2+„+An）与P（A1）， P（A2），„，P（An）有什么关系？ 事件（A1+A2+„+An）表示事件A1，A2， „，An中有一个发生； P（A1+A2+„+An）= P（A1）+P（A2）+ „ +P（An）.
P(A∪B)＝ 1 ，P(A∩B)＝ 0 . 返回
思考1：在同一试验中，设A、B是两个随机事件，“若
A∩B＝∅，则称A与B是两个对立事件”，对吗？ 提示：这种说法不正确．对立事件是互斥事件的特殊情况，
除了满足A∩B＝∅外，A∪B还必须为必然事件．从数值上
看，若A、B为对立事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1.
思考4：对于任意两个事件A、B， P（A∪B）一定比P（A）或P（B）大吗？ P（A∩B）一定比P（A）或P（B）小吗？
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅
花，点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数
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2．经统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下：
排队人数
概率
0
1
2
3
0.3
4
0.1
5人及5人以上
0.04
0.1 0.16 0.3
(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少3人排队等候的概率是多少？
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解：记在窗口等候的人数为0,1,2分别为事件A、B、C，则A、 B、C彼此互斥． (1)至多2人排队等候的概率是：
大于9”．
判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是
否为对立事件，并说明理由．
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[提示]
直接利用互斥事件、对立事件的概念进行判断． [解] (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“
抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同 时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出 “方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
因为A、B是互斥事件，所以A∩B＝∅.
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玻璃盒子中装有各色球12只，其中5红、4黑、2 白、1绿，从中任取1球．设事件A为“取出1只红球”，事 件B为“取出1只黑球”，事件C为“取出1只白球”，事件 5 1 D为“取出1只绿球”．已知P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(C)＝ 12 3 1 1 ，P(D)＝ . 6 12 求：(1)“取出1球为红或黑”的概率； (2)“取出1球为红或黑或白”的概率．
P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)至少3人排队等候的概率是： 1－P(A∪B∪C)＝1－0.56＝0.44.
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抛一枚骰子，事件A：“朝上一面的数是奇数”， 事件B：“朝上一面的数不超过3”，求P(A∪B)．
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[错解]
3 1 3 1 因为P(A)＝ ＝ ，P(B)＝ ＝ . 6 2 6 2
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(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”
与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必 有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件． (3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件． 理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数
为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时
3．1.3
概率的基本性质
一、事件的关系与运算 定义 一般地，对于事件A与事件B， 事件 包 如果事件A发生，则事件B 表示定发生 含 含事件A(或称事件A包含于事件 系 B)
，这时称事件B包
B⊇A(或A ⊆B)
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定义 互 事 事 件 斥 件 若A∩B为 不可能事件 ， 则称事件A与事件B互斥 若A∩B为 不可能事件 ，
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法二：(1)“取出1球为红或黑”的对立事件为“取出1 球为白或绿”，即A∪B的对立事件为C∪D，所以P 1 1 3 (A∪B)＝1－P(C∪D)＝1－P(C)－P(D)＝1－ － ＝ . 6 12 4 (2)A∪B∪C的对立事件为D， 1 11 所以P(A∪B∪C)＝1－P(D)＝1－ ＝ . 12 12
运 交事 生且事件B发生 ，则称此事件 件 为事件A与事件B的交事件(或积 事件)
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二、概率的几个基本性质
1．概率的取值范围 [0,1] ． 2． 必然事件 的概率为1， 不可能事件 的概率为0. 3．概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则 P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ．
特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝ 1－P(B) ．