《空间直线、平面的平行》立体几何初步PPT(直线与平面平行)
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空间直线、平面的平行_课件
线线平行
面面平行判定定理: 线面平行 面面平行
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行那么这两 个平面平行．
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平 面内的两条直线，那么这两个平面平行
面面平行判定定理: 面面平行 线面平行
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线 平行。
几个重要结论
1.平行于同一平面的两平面平行 ； 2.过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行 ； 3.夹在两平行平面间的平行线段相等 。 4、如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与 另一个平面平行
5.求证：夹在两个平行平面间的平行线段相 等
重要思想方法
直线与平面平行
判定
性质
性质 直线与直线平行
判定 性质
判定 平面与平面平行
× √ × √ √
空间中的平行关 系
理解并掌握空间中线面平行、面面平行的判定方法
理解并掌握空间中线面平行、面面平行的性 质
已知：ab在平面α外，a∥α.求证： b∥α.
(1)(2)(4)(5)
(1)
(2)
(3)
总 结
线线平行
线面平行
线面平行
精品 课件
高中数学必修2
第八章 立体几何初步
空间直线、平面的平行
新人教版
特级教师优秀课件精选
教学目标
理解并掌握直线与直线平行的判定方 法理解并掌握直线与平面的判定方 法理解并掌握直线与平面平行的性质定 理理解并掌握平面与平面平行的判定方 法理解并掌握平面与平面平行的性质定 理能够根据定理写证明过 程
四边形的两条邻边相等。
在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两 边分别平行，那么这两个角相等或互补”。 在空间中,结论是否仍然成立呢?
8.5.2.直线与平面平行的判定课件(人教版)
抽象概括
直线与平面平行的判定定理：
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，
则该直线与此平面平行.
a
仔细分析下，判定定 理告知我们，判定直线 与平面平行的条件有几 个，是什么？
b a//
定理中必须的条件有三个，分别为：
a在平面外，即a (面外)
a
b在平面内，即b (面内)
a与b平行，即a∥b(平行)
证明：设A1C1中点为F,连结NF，FC．
∵N为A1B1中点，
∴NF
＝∥
1 2
B1C1
B
又∵BC
＝∥
，
B1C1
M是BC的中点，
∴MC ＝∥ 1/2B1C1 即MC＝∥ NF
∴NFCM为平行四边形, 故MN∥CF
而CF 平面AA1C1C, MN平面AA1C1C,
∴ MN∥平面AA1C1C,
A
M
C
A1
N B1
b
用符号语言可概括为：
a
a//
b
a∥
a ∥ b
简述为：线线平行线面平行
课堂典例
例.空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的 中点，证明:直线EF与平面BCD平行
证明：如右图，连接BD，
A
在△ABD中，E,F分别为AB，
AD的中点，即EF为中位线
∴EF ∥BD,
又EF平面BCD，
BD 平面BCD,
高一数学第二册第八章： 立体几何初步
空间点、线、面之间的位置关系 8.5.2直线与平面平行的判定
一、学习目标
1.掌握直线与平面平行的判定定理；
2.能够利用直线与平面平行的判定定理证明线面平 行。
二、问题导学
空间直线、平面的平行课件-2025届高三数学一轮复习
典例2 如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，, ，, 底面，过的平面交于点与不重合，交 于点.求证： .
解析 如图，在梯形中，， 平面， 平面 ，所以平面 ，
又 平面，平面 平面，所以 .
1. 判断或证明线面平行的常用方法（1）利用线面平行的定义（无公共点）.（2）利用线面平行的判定定理 .（3）利用面面平行的性质 .（4）利用面面平行的性质 .2. 应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅 助平面确定交线.
符号语言
， ，⑨__________， ，
， ，⑩__________
图形语言
相交
平行
1. 平行关系中的四个重要结论（1）若 ， ，则 .（2）若 ， ，则 .（3）若 ， ，则 .（4）若 ， ,则 .2. 三种平行关系的转化
题组1 走出误区
1. 判一判.（对的打“√”，错的打“×”）
（1）求证：平面 .
解析 如图1，连接并延长与的延长线交于点，连接 ，
因为四边形为正方形，所以，所以 ， 所以 ， 又因为，所以，所以 . 又 平面， 平面 ， 所以平面 .
（2）若是上的点，当为何值时，能使平面平面 ？请说明理由.
解析 当的值为时，平面平面 ，如图2所示.
理由如下：因为，所以，所以.所以 . 又 平面， 平面，所以平面 ， 又，平面，所以平面平面 .
4.（多选题）（人教A版必修②P143 · T4改编）如图，在长方体的六个面所在的平面中，与 平行的平面是( ).平面
解析 由于， 平面， 平面，所以 平面.同理，平面， 平面， 平面 .故选 .
5.（2023 · 天津卷改编）如图，在三棱台 中，若,,,分别是, 的中点,则与平面 的位置关系是______.（填“平行”或“相交”）
解析 如图，在梯形中，， 平面， 平面 ，所以平面 ，
又 平面，平面 平面，所以 .
1. 判断或证明线面平行的常用方法（1）利用线面平行的定义（无公共点）.（2）利用线面平行的判定定理 .（3）利用面面平行的性质 .（4）利用面面平行的性质 .2. 应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅 助平面确定交线.
符号语言
， ，⑨__________， ，
， ，⑩__________
图形语言
相交
平行
1. 平行关系中的四个重要结论（1）若 ， ，则 .（2）若 ， ，则 .（3）若 ， ，则 .（4）若 ， ,则 .2. 三种平行关系的转化
题组1 走出误区
1. 判一判.（对的打“√”，错的打“×”）
（1）求证：平面 .
解析 如图1，连接并延长与的延长线交于点，连接 ，
因为四边形为正方形，所以，所以 ， 所以 ， 又因为，所以，所以 . 又 平面， 平面 ， 所以平面 .
（2）若是上的点，当为何值时，能使平面平面 ？请说明理由.
解析 当的值为时，平面平面 ，如图2所示.
理由如下：因为，所以，所以.所以 . 又 平面， 平面，所以平面 ， 又，平面，所以平面平面 .
4.（多选题）（人教A版必修②P143 · T4改编）如图，在长方体的六个面所在的平面中，与 平行的平面是( ).平面
解析 由于， 平面， 平面，所以 平面.同理，平面， 平面， 平面 .故选 .
5.（2023 · 天津卷改编）如图，在三棱台 中，若,,,分别是, 的中点,则与平面 的位置关系是______.（填“平行”或“相交”）
8.5 空间直线、平面的平行 课件【共17张PPT】
再回到点B1,这只蚂蚁在行走过程中与平面A1BE的距离保持不变,
则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为 2 6 .
[解析] 根据题意蚂蚁在正方体ABCD-A1B1C1D表面上行走一周的轨迹所在平面
与平面A1BE平行.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1D1,BC的中点分别为F,G,连
接DF,FB1,B1G,GD,FG,DB1.易知FD∥B1G,且FD=B1G,∴四边形DFB1G是平行四
当点P位于平面α,β之间时,如图(2),
8
3
24
则PB=3, =,∴=9,∴CD=24.故CD= 5 或CD=24.
小结
应用平面与平面平行的性质定理的一般步骤
变式 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AD的中点,现有
一只蚂蚁从点B1出发,在正方体ABCD-A1B1C1D1表面上行走一周后
边形.∵FD=DG,∴四边形DFB1G是菱形.∵DG∥BE,DG⊄平面A1EB,BE⊂平面A1
EB,∴DG∥平面A1EB.同理可知FD∥平面A1EB.∵FD∩DG=D,∴平面DFB1G
与平面A1BE平行.故得蚂蚁在行走过程中与平面A1BE的距离保持不变的轨迹
所围成的图形为菱形DFB1G.由正方体的棱长为2,可得B1D= 22 + 22 + 22 =2
求证：AB＝CD.
证明：过平行线 AB，CD 作平面 γ，与平面 α 和 β 分别相交于 AC 和 BD.
因为 α∥β，所以 BD∥AC.
又 AB∥CD，
所以四边形 ABDC 是平行四边形．
所以 AB＝CD.
解析
变式 已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,B,过
则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为 2 6 .
[解析] 根据题意蚂蚁在正方体ABCD-A1B1C1D表面上行走一周的轨迹所在平面
与平面A1BE平行.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1D1,BC的中点分别为F,G,连
接DF,FB1,B1G,GD,FG,DB1.易知FD∥B1G,且FD=B1G,∴四边形DFB1G是平行四
当点P位于平面α,β之间时,如图(2),
8
3
24
则PB=3, =,∴=9,∴CD=24.故CD= 5 或CD=24.
小结
应用平面与平面平行的性质定理的一般步骤
变式 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AD的中点,现有
一只蚂蚁从点B1出发,在正方体ABCD-A1B1C1D1表面上行走一周后
边形.∵FD=DG,∴四边形DFB1G是菱形.∵DG∥BE,DG⊄平面A1EB,BE⊂平面A1
EB,∴DG∥平面A1EB.同理可知FD∥平面A1EB.∵FD∩DG=D,∴平面DFB1G
与平面A1BE平行.故得蚂蚁在行走过程中与平面A1BE的距离保持不变的轨迹
所围成的图形为菱形DFB1G.由正方体的棱长为2,可得B1D= 22 + 22 + 22 =2
求证：AB＝CD.
证明：过平行线 AB，CD 作平面 γ，与平面 α 和 β 分别相交于 AC 和 BD.
因为 α∥β，所以 BD∥AC.
又 AB∥CD，
所以四边形 ABDC 是平行四边形．
所以 AB＝CD.
解析
变式 已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,B,过
《空间直线、平面的平行》课件及练习
AC,BD分别与α相交于M,N两点。求证AM/MC=BN/ND
证明：如图所示，连接AD,交平面α于点P,连接PM,PN.
因为CD//α，平面ACD∩α=PM.所以CD//PM,所以在
△ACD中，有
所以 =
.
=
.同理，在△DAB中，有
=
,
总结 利用线面平行的性质定理解题的步骤：
又OE在平面AEC内，PB不在平面AEC内，
∴PB//平面AEC
用判定定理证明直线与平面平行的步骤
（1）找：在平面内找到一条直线或作出一条直线与已知直线平行
（2）证：证明已知直线与该直线平行
（3）结论：由判定定理得出结论
注：第一步“找”是证题关键，其常用方法由：①利用三角形中位线，梯形中位
线性质②利用平行四边形的性质
二、判断下列命题是否正确，正确的在括号内画√，错误的画×
（1）如果直线a//b,那么a平行于经过b的任何平面（×）
（2）如果直线a和平面α满足a//α，那么a与α内的任何直线平行（ × ）
（3）如果直线a,b和平面α满足a//α，b//α，那么a//b.( × )
（4）如果直线a,b和平面α满足a//b,a//α，b
和∠B’A’C”的两边上截取AD,AE和A’D’,A’E’使得
AD=A’D’,AE=A’E’。连接AA’,DD’,EE’,DE,D’E’
∵AD//A’D’且AD=A’D’∴四边形ADD’A’是平行四边形
∴AA’//DD’且AA’=DD’同理可证AA’//EE’且AA’=EE’
∴DD’//EE’且DD’=EE’∴四边形DD’E’E是平行四边形
交于B’C’,所以BC//B’C’.由（1）知，EF//B’C’,所以
证明：如图所示，连接AD,交平面α于点P,连接PM,PN.
因为CD//α，平面ACD∩α=PM.所以CD//PM,所以在
△ACD中，有
所以 =
.
=
.同理，在△DAB中，有
=
,
总结 利用线面平行的性质定理解题的步骤：
又OE在平面AEC内，PB不在平面AEC内，
∴PB//平面AEC
用判定定理证明直线与平面平行的步骤
（1）找：在平面内找到一条直线或作出一条直线与已知直线平行
（2）证：证明已知直线与该直线平行
（3）结论：由判定定理得出结论
注：第一步“找”是证题关键，其常用方法由：①利用三角形中位线，梯形中位
线性质②利用平行四边形的性质
二、判断下列命题是否正确，正确的在括号内画√，错误的画×
（1）如果直线a//b,那么a平行于经过b的任何平面（×）
（2）如果直线a和平面α满足a//α，那么a与α内的任何直线平行（ × ）
（3）如果直线a,b和平面α满足a//α，b//α，那么a//b.( × )
（4）如果直线a,b和平面α满足a//b,a//α，b
和∠B’A’C”的两边上截取AD,AE和A’D’,A’E’使得
AD=A’D’,AE=A’E’。连接AA’,DD’,EE’,DE,D’E’
∵AD//A’D’且AD=A’D’∴四边形ADD’A’是平行四边形
∴AA’//DD’且AA’=DD’同理可证AA’//EE’且AA’=EE’
∴DD’//EE’且DD’=EE’∴四边形DD’E’E是平行四边形
交于B’C’,所以BC//B’C’.由（1）知，EF//B’C’,所以
1.4.1.2空间中直线、平面的平行 课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
的中心.求证: //平面1.
解2 : 如图示,以D为原点建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为2, 则有
A(2, 0, 0), C (0, 2, 0), D1 (0, 0, 2), E (2,1,1), F (1,1, 2).
z
∴AC (2, 2,0), AD1 (2,0, 2), EF (1,0,1).
归纳总结——平行的判定
2、判段直线与平面平行的方法：
①判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线
与此平面平行.(几何法、基底法、坐标法)
直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面.
②面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一
个平面.
③如果两个平面相互垂直，如果一条直线垂直于两个平面中的一个，则该直
则 A(a,0,0),C1(0,b,c),E
2
2
, 3 ,
3
,F
Ԧ
所以 = - , , , 1Ԧ=(-a,b,c).
3 3 3
1
Ԧ
∵ = 3 1Ԧ,且 FE 与 AC1 不重合,
∴直线 EF∥AC1.
2
, 3 , 3
,
练习巩固 课本P31 T2
题型一：利用空间向量证明线线平行
A1
/ 平面EFDB，
BE 平面EFDB，∴ AN//平面EFDB.
同理 AM//平面EFDB.
又 AM∩AN=A,
∴ 面AMN∥面EFDB.
A
M
B1
D
C
B
练习巩固
题型二：利用空间向量证明线面平行、面面平行
练习5:如图，正方体 − 1111中, , , , 分别为棱11, 11, 11,
解2 : 如图示,以D为原点建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为2, 则有
A(2, 0, 0), C (0, 2, 0), D1 (0, 0, 2), E (2,1,1), F (1,1, 2).
z
∴AC (2, 2,0), AD1 (2,0, 2), EF (1,0,1).
归纳总结——平行的判定
2、判段直线与平面平行的方法：
①判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线
与此平面平行.(几何法、基底法、坐标法)
直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面.
②面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一
个平面.
③如果两个平面相互垂直，如果一条直线垂直于两个平面中的一个，则该直
则 A(a,0,0),C1(0,b,c),E
2
2
, 3 ,
3
,F
Ԧ
所以 = - , , , 1Ԧ=(-a,b,c).
3 3 3
1
Ԧ
∵ = 3 1Ԧ,且 FE 与 AC1 不重合,
∴直线 EF∥AC1.
2
, 3 , 3
,
练习巩固 课本P31 T2
题型一：利用空间向量证明线线平行
A1
/ 平面EFDB，
BE 平面EFDB，∴ AN//平面EFDB.
同理 AM//平面EFDB.
又 AM∩AN=A,
∴ 面AMN∥面EFDB.
A
M
B1
D
C
B
练习巩固
题型二：利用空间向量证明线面平行、面面平行
练习5:如图，正方体 − 1111中, , , , 分别为棱11, 11, 11,
课件1：1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行
法二：M→N＝C→1N－C→1M＝12C→1B1－12C→1C＝12(D→1A1－D→1D)＝12D→A1， ∴M→N∥D→A1，∴MN∥平面 A1BD. 法三：M→N＝C→1N－C→1M＝12C→1B1－12C→1C ＝12D→A－21A→1A＝21D→B＋B→A－21A→1B＋B→A＝21D→B－12A→1B. 即M→N可用A→1B与D→B线性表示，故M→N与A→1B，D→B是共面向量， 故 MN∥平面 A1BD.
3．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？ [提示] 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该 平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂 直于该平面内的任意一条直线，因此，求法向量的坐标只 要满足两个方程就可以了．
【例 3】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别是 CC1，B1C1 的中点．求证：MN∥平面 A1BD. [证明] 法一：如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分 别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1， 则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M0，1，21，N12，1，1，
2．已知向量 a＝(2,3,5)，b＝(3，x，y)分别是直线 l1，l2 的
方向向量，若 l1∥l2 则( )
A．x＝29，y＝15
B．x＝3，y＝125
C．x＝3，y＝15
D．x＝92，y＝125
D [由 l1∥l2，得 a∥b，即23＝3x＝5y.
解得 x＝92，y＝125，故选 D.]
3．若直线 l 的方向向量 a＝(2,2，－1)，平面 α 的法向量 μ＝(－6,8,4)，则直线 l 与平面 α 的位置关系是________． l⊂α 或 l∥α [∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α 或 l∥α.] 4．设平面 α 的法向量为(1,2，－2)，平面 β 的法向量为 (－2，－4，k)，若 α∥β，则 k＝________. 4 [由 α∥β 得－12＝－24＝－k2，解得 k＝4.]
空间向量研究直线、平面的平行(18张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
所以AEl/FG.
∴AE//FG
Ax
例2 证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面 内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.已知：如图，acβ,bcβ,a∩b=P,alla,blla,求证： α/lβ.分析：设平面α的法向量为n,直线a,b的方向向量分别为u,v,则由已知条件可得n·u=n·v=0, 由此可以证明n 与平面β内的任意一个向量垂直，即n 也是β的法向量.
归纳小结 设直线l,m 的方向向量分别为a , b 平面a,β的法向量分别为ū ,v; 则a —l m (1)I//m⇔ a//b⇔a=λb ;(2)l//a→ (1) a//AC→(2)alü⇔a·ü=0
设平面a,β 的 法 向 量 分 别 为 ū , ; 则
(3)α//β⇔ ū //v⇔u=λv;
1、已知直线a,b和平面a,其中aaα,bcα,且al/b,求证： a//a.解：设直线a,b的方向向,k∈R.又因为u 是平面α的法向量，bcα, 所以 u ⊥b,所以ū·b=0,u·a=ū·kb=0.所以a lla.
例3如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4,BC=3,CC₁=2.B₁C 上是否存在点P,使得A₁P// 平面ACD₁?解：以D为原点，DA,DC,DD₁ 所在直线分别为x轴、
C(0,4,0),D₁(0,0,2),∴AC=(-3,4,0),AD₁=(-3,0,2).设n=(x,y,z) 是平面ACD₁的法
面AEF// 面BDG.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
解 令z₂=2,得y₂=-1,所以n₂=(0,-1,2).因为n₁=n2,即n₁//n2,所以平面ADE//平面B₁C₁F.
∴AE//FG
Ax
例2 证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面 内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.已知：如图，acβ,bcβ,a∩b=P,alla,blla,求证： α/lβ.分析：设平面α的法向量为n,直线a,b的方向向量分别为u,v,则由已知条件可得n·u=n·v=0, 由此可以证明n 与平面β内的任意一个向量垂直，即n 也是β的法向量.
归纳小结 设直线l,m 的方向向量分别为a , b 平面a,β的法向量分别为ū ,v; 则a —l m (1)I//m⇔ a//b⇔a=λb ;(2)l//a→ (1) a//AC→(2)alü⇔a·ü=0
设平面a,β 的 法 向 量 分 别 为 ū , ; 则
(3)α//β⇔ ū //v⇔u=λv;
1、已知直线a,b和平面a,其中aaα,bcα,且al/b,求证： a//a.解：设直线a,b的方向向,k∈R.又因为u 是平面α的法向量，bcα, 所以 u ⊥b,所以ū·b=0,u·a=ū·kb=0.所以a lla.
例3如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4,BC=3,CC₁=2.B₁C 上是否存在点P,使得A₁P// 平面ACD₁?解：以D为原点，DA,DC,DD₁ 所在直线分别为x轴、
C(0,4,0),D₁(0,0,2),∴AC=(-3,4,0),AD₁=(-3,0,2).设n=(x,y,z) 是平面ACD₁的法
面AEF// 面BDG.
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2024课件
同学们再见！
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解 令z₂=2,得y₂=-1,所以n₂=(0,-1,2).因为n₁=n2,即n₁//n2,所以平面ADE//平面B₁C₁F.
8.5.1空间直线、平面的平行课件(人教版)
那么该直线与交线平行.
符号表示 // , ⊂ ， ∩ = //.
简记：线面平行，则线线平行.
作用：判定线线平行的重要依据.
关键：寻找面面交线.
β
α
a
b
应用举例
如图所示的一块木料中，棱平行于面A′C′.
（1）要经过面A′C′内的一点 和棱 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？
动.在转动的过程中（ 离开桌面）， 的对边与桌面有公共点吗？
边与桌面平行吗？
无论门扇转动到什么位置，因为
转动的一边与固定的一边总是平
行的，所以它与墙面是平行的；
（1）
（2）
硬纸板的边与 平行，只要
边 紧贴着桌面，边转动时
就不可能与桌面有公共点，所以
它与桌面平行.
新知探究
直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与
a
此平面平行.
符号表示
⊄α， ⸦，且//
//.
处理空间位置关系常用方法：
直线间的平行
空间几何问题
转
化
转
化
直线与平面的平行
平面几何问题
α
b
新知探究
求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.
求证：过直线的平面与平面相交于 ，则//.
已知： // , ⊂ ， ∩ = .
求证： //.
证明：∵ ∩ = ，
β
a
∴ ⊂ .
又//，
∴ 与无公共点.
又 ⊂ ， ⊂ ，
∴//.
α
b
新知探究
直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，
符号表示 // , ⊂ ， ∩ = //.
简记：线面平行，则线线平行.
作用：判定线线平行的重要依据.
关键：寻找面面交线.
β
α
a
b
应用举例
如图所示的一块木料中，棱平行于面A′C′.
（1）要经过面A′C′内的一点 和棱 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？
动.在转动的过程中（ 离开桌面）， 的对边与桌面有公共点吗？
边与桌面平行吗？
无论门扇转动到什么位置，因为
转动的一边与固定的一边总是平
行的，所以它与墙面是平行的；
（1）
（2）
硬纸板的边与 平行，只要
边 紧贴着桌面，边转动时
就不可能与桌面有公共点，所以
它与桌面平行.
新知探究
直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与
a
此平面平行.
符号表示
⊄α， ⸦，且//
//.
处理空间位置关系常用方法：
直线间的平行
空间几何问题
转
化
转
化
直线与平面的平行
平面几何问题
α
b
新知探究
求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.
求证：过直线的平面与平面相交于 ，则//.
已知： // , ⊂ ， ∩ = .
求证： //.
证明：∵ ∩ = ，
β
a
∴ ⊂ .
又//，
∴ 与无公共点.
又 ⊂ ， ⊂ ，
∴//.
α
b
新知探究
直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，
人教A版高中数学必修第二册教学课件PPT-第八章 -8-5-2直线与平面平行
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D解析 由题图知正方体的前、后、左、右四个面都与EF平行.
高中数学 必修第二册 RJ·A
4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，
DA上的点(不与端点重合)，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
A解析 ∵EH∥FG，EH⊄平面BDC，FG⊂平面BDC， ∴EH∥平面BDC， 又EH⊂平面ABD且平面ABD∩平面BDC＝BD， ∴EH∥BD.
高中数学 必修第二册 RJ·A
反思感悟
利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与 已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等.
高中数学 必修第二册 RJ·A
跟踪训练
如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分 别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD.
所以 a∥EG，即 BD∥EG，所以AACF＝AAEB.
又EBGD＝AAEB，所以AACF＝EBGD， 于是 EG＝AFA·CBD＝55×＋44＝290.
高中数学 必修第二册 RJ·A
反思感悟
(1)利用线面平行的性质定理找线线平行，利用线线平行得对应线段成比例即 可求线段长度. (2)通过定理的运用和平行的性质，提升直观想象和逻辑推理素养.
高中数学 必修第二册 RJ·A
典例剖析
一、直线与平面平行的判定定理的应用
例1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点， 求证：EF∥平面AD1G.
高中数学 必修第二册 RJ·A
用空间向量研究空间中直线、平面的平行(第2课时)(课件)高二数学选择性必修第一册(人教A版2019)
n
应用新知
例 1： 如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, E, F 分别为 DD1 和 BB1 的中点.
求证:四边形 AEC1 F 是平行四边形.
分析：要证明四边形 AEC1F 是平行四边形，只需证明对边
平行要证明四边形 AEC1F 的对边平行，只需证明其
对边的方向向量共线即可.
【详解】如下图，以点 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
(2)在建立空间直角坐标系后,主要问题是求出空间两直线的方向向量的
坐标.
应用新知
规律小结
利用空间向量证明线线平行的方法步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标.
(2)求出直线的方向向量.
(3)证明两向量共线.
(4)证明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,
即表示方向向量的有向线段不共线,从而得证.
1
1
不妨设正方体的棱长为 1，则 A 1, 0, 0 , E 0, 0, , C1 0,1,1 , F 1,1, ,
2
2
1
1
1
1
所以 AE 1, 0, , FC1 1, 0, , EC1 0,1, , AF 0,1, ,
个法向量平行.
(2)转化的思路:根据两个平面平行的判定定理,把证明两个平面平行转化
为证明线面平行或线线平行,再利用空间向量证明.
应用新知
变式训练：
2. 如 图 , 在 直 四 棱 柱 ABCD A1B1C1D1 中 , 底 面 ABCD为 等 腰 梯 形 , AB / /CD ，
空间中点、直线和平面的向量表示及线面平行课件
z
A1 B1
A (O) B
x
D1 C1
Dy
C
(2)∵DD1∥AA1，AA1＝(0，0，1)， ∴直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)； ∵BC1∥AD1，AD1＝(0，1，1)， ∴直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)．
(3)．从点 A(2，－1，7)沿向量 a＝(8，9，－12)的方向取线段长|AB|＝34，则 B 点
OP=xa+yb
P αO
点O与向量a，b不仅可以确定平面α，还可以表示出α内的任意一点，
如图，取定空间任意一点O，空间一点P位 于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y， 使OP＝OA＋xAB+yAC．
C
a
P
α A bB
上式称为空间平面 ABC 的向量表示式. 由此可知，空 O 间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
()
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
1．空间中给定一个点A和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？ 能
2．一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？
不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向 量不共线能确定．
3．若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线l上，则直线l的一个的法向量 n2＝(x2，y2，z2)，
由A→1B1＝(1,0,0)，A→1D＝(0,1，－1)，
而
n 2⊥A→1B1，n 2⊥A→1D，所以
x2＝0， y2－z2＝0，
x2＝0， 令 z2＝1，则 y2＝1，
z2＝1，
∴n2＝(0,1,1)．
A1 z E B1
A B
x
D1
F D
我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形 等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问 题，首先要用向量向量表示空间中的点、直线和平面.
空间直线、平面的平行(2)
面面平行的性质定理：//, ∩ = , ∩ = , //
线面垂直的性质定理： ⊥ , ⊥ ⇒ //
反证法
三种平行关系
空间中的平行关系是一种重要的特殊关系，一般以证明题的形式出现，总结
如下：
【2】直线与平面平行的判定方法
线面平行的定义：直线与平面没有公共点
//, = , ∴ //, = ,
∴ 四边形是平行四边形，∴ //, �� =
又
①∵, 分别是1 和1 的中点，∴1//, 1 =
∴ 四边形1是平行四边形，∴1//, 1 = ②
平面平行的这种相互转化关系，体现
了知识间相互依赖的关系
正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，
BD上各有一点P，Q.且AP=DQ，求证：PQ//平面BCE.
如图，在平面内，过点作//，交于点
，连接，∴ //平面
∵ //, ∴ = .又∵ = , = , ∴ =
又∵点//, ∴四边形为平行四边形.
∴ //. ∵ ⊈ 平面, ⊆ 平面
∴ 直线//平面
证明平行四边形时忘记四点共面
坑②
如图，已知, 分别是正方体 − 的棱1, 的中点，
求证：四边形1是平行四边形.
判定定理条件罗列不全而出错
坑①
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，
PA=AD=1，E，F分别是AB和PD的中点.求证：直线AF//平面PEC.
如图，过点作//, 交于点,连接.
线面垂直的性质定理： ⊥ , ⊥ ⇒ //
反证法
三种平行关系
空间中的平行关系是一种重要的特殊关系，一般以证明题的形式出现，总结
如下：
【2】直线与平面平行的判定方法
线面平行的定义：直线与平面没有公共点
//, = , ∴ //, = ,
∴ 四边形是平行四边形，∴ //, �� =
又
①∵, 分别是1 和1 的中点，∴1//, 1 =
∴ 四边形1是平行四边形，∴1//, 1 = ②
平面平行的这种相互转化关系，体现
了知识间相互依赖的关系
正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，
BD上各有一点P，Q.且AP=DQ，求证：PQ//平面BCE.
如图，在平面内，过点作//，交于点
，连接，∴ //平面
∵ //, ∴ = .又∵ = , = , ∴ =
又∵点//, ∴四边形为平行四边形.
∴ //. ∵ ⊈ 平面, ⊆ 平面
∴ 直线//平面
证明平行四边形时忘记四点共面
坑②
如图，已知, 分别是正方体 − 的棱1, 的中点，
求证：四边形1是平行四边形.
判定定理条件罗列不全而出错
坑①
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，
PA=AD=1，E，F分别是AB和PD的中点.求证：直线AF//平面PEC.
如图，过点作//, 交于点,连接.
《空间直线、平面的平行》PPT教学课件人教A版高中数学
二、平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交 文字语言 线_平__行__
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒__a_∥__b__
图形语言
注意 空间三种平行的关系 1.由直线与直线平行可以判定直线与平面平行； 2.由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行； 3.由直线与平面平行可以判定平面与平面平行； 4.由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、直线与 直线平行. 5.这种直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想 方法.
二 面面平行性质的应用 例2 ［2019·河南郑州高一检测］如图，两条异面直线AB，CD与三个平行
平面α，β，γ分别相交于A，E，B及C，F，D，又AD，BC与平面β的 交点为H，G.
平面ABC ＝AC
【证明】 平面ABC ∥
＝EG
AC
∥
EG
.
同理AC∥HF.
AC ∥ EG
AC
∥
HF
EG∥HF.
常考题型 一 平面与平面平行的判定 例1 ［2019·安徽芜湖高一检测］如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点.
求证：（1）E，F，D，B四点共面； （2）平面MAN∥平面EFDB.
【证明】（1）如图，连接B1D1， ∵ E，F分别是边B1C1，C1D1的中点， ∴ EF∥B1D1. 而BD∥B1D1，∴ BD∥EF， ∴ E，F，D，B四点共面. （2）易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴ MN∥BD. 又MN 平面EFDB，BD 平面EFDB，∴ MN∥平面EFDB. 连接MF.∵ M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴ MF∥A1D1，MF＝A1D1， ∴ MF∥AD，MF＝AD，∴ 四边形ADFM是平行四边形，∴ AM∥DF. 又AM 平面BDFE，DF 平面BDFE，∴ AM∥平面BDFE. 又∵ AM∩MN＝M，∴ 平面MAN∥平面EFDB.
人教版 空间直线、平面的平行 立体几何初步PPT(直线与平面平行)
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1．直线与平面平行的判定定理
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
地理课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/dili/
8.5.2 直线与平面平行
第八章 立体几何初步
考点
学习目标
核心素养
理解直线与平面平行的定义，会用图形
语言、文字语言、符号
直线与平面
直观想象、
语言准确描述直线与平面平行的判定
平行的判定
逻辑推理
定理，会用直线与平面平行的判定定理
证明一些空间线面位置关系
理解并能证明直线与平面平行的性质
直线与平面 定理，明确定理的条件，
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问题导学 预习教材 P135－P138 的内容，思考以下问题： 1．直线与平面平行的判定定理是什么？ 2．直线与平面平行的性质定理是什么？
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第八章 立体几何初步
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符号语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与
此平面相交，那么_该__直__线___与__交__线____平行 a∥α，___a_⊂_β_，__α__∩_β_＝__b__________ ⇒a∥b
图形语言
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■名师点拨
(1)线面平行的性质定理成立的条件有三个：
①直线 a 与平面 α 平行，即 a∥α；
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用该定理判断直线 a 和平面 α 平行时，必须同时具备三个条件：
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英语课件：/kejian/y ingy u/ 美术课件：/kejian/meishu/
直观想象、
平行的性质 能利用直线与平面平行的性质定理解 逻辑推理
决有关的平行问题
第八章 立体几何初步
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文字语言
如果_平__面__外___一条直线与___此__平__面__内_______的 一条直线__平__行____，那么该直线与此平面平行
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符号语言 _a_⊄_α_，__b_⊂__α_，__且__a_∥__b__ ⇒a∥α
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第八章 立体几何初步
■名师点拨 PPT模板：/moban/
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语文课件：/kejian/y uwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/
2．直线与平面平行的性质定理是什么？
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第八章 立体几何初步
1．直线与平面平行的判定定理
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②平面 PPT模板：/moban/
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历史课件：/ke j ia n/lishi/
预习教材
P135－P138
的内容，思考以下问题：
1．直线与平面平行的判定定理是什么？
8.5.2 直线与平面平行
第八章 立体几何初步
考点
学习目标
核心素养
理解直线与平面平行的定义，会用图形
语言、文字语言、符号
直线与平面
直观想象、
语言准确描述直线与平面平行的判定
平行的判定
逻辑推理
定理，会用直线与平面平行的判定定理
证明一些空间线面位置关系
理解并能证明直线与平面平行的性质
直线与平面 定理，明确定理的条件，
(1)直线 a 在平面 α 外，即 a⊄α.
(2)直线 b 在平面 α 内，即 b⊂α.
(3)两直线 a，b 平行，即 a∥b.
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第八章 立体几何初步
2．直线与平面平行的性质定理
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