【最新】九年级数学冀教版河北专用下册课件：河北常考点专题(九) 二次函数的图像与字母系数的关系(共10张
2024 河北数学中考备考重难专题：二次函数图象与性质 (讲义)
2024河北数学中考备考重难专题：二次函数图象与性质(讲义）考情分析年份题号题型分值考查内容设问形式探究问题202223解答题10（1）抛物线对称轴、最值、图象上点的坐标；（2）函数图象平移特点：点坐标的平移、两点间最短距离定抛物线性质探究：(1)求抛物线对称轴，最值，另一点横坐标；(2)求平移的最短距离点移动最小距离20212510（1）已知抛物线与x轴交点、与直线y=a的交点问题；（2）二次项系数a决定抛物线形状，最大值决定a＜0，顶点式中k的值，顶点式求抛物线解析式；（3）抛物线与动线段交点问题定抛物线性质探究：(1)求点横坐标，画y轴，指出点所落的台阶(2)求抛物线解析式，求对称轴(3)求横坐标最大值与最小值的差点横坐标最大值与最小值的差20192612（1）平行于坐标轴的直线、抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线对称轴与x轴交点坐标的关系；（2）直线下方的图象的函数值小于直线对应的函数值，二次函数性质求最大值；（3）平均数→中点，函数图象上点的性质；（4）直线与抛物线交点个数问题含参抛物线（y=-x2+bx）性质探究：(1)求直线、对称轴、交点坐标(2)求点与直线距离最大值(3)求两点间距离(4)求“美点”的个数美点的个数20162612（1）反比例函数k的几何意义；（2）抛物线与x轴交点坐标，对称轴；（3）二次函数性质求最值，分类讨论思想；（4）反比例函数图象与抛物线交点问题含参抛物线（y=-12(x-t)(x-t+4)）性质探究：(1)求反比例函数k的值(2)求两点间距离，两直线间距离(3)求最高点坐标(4)求参数取值范围抛物线与双曲线交点问题20152511（1）求抛物线解析式、对称轴、顶点坐标；（2）抛物线与y轴交点坐标，二次函数性质求最值，二次函数增减性；（3）抛物线与线段交点问题（x轴），分类讨论思想含参抛物线（y=-(x-h)2+1）性质探究：(1)求抛物线解析式、对称轴、顶点坐标(2)求点纵坐标最大值，比较两点纵坐标大小(3)求参数h值抛物线与线段交点问题典例精讲例(2022河北定制卷改编)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋2交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B的横坐标是4，点P为抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴交AB于点C，设点P的横坐标为m.例题图(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在直线AB下方的抛物线上，求出线段PC的最大值及此时点P的坐标；(3)若将原抛物线沿x轴平移，得到新抛物线y＝(x＋n)2＋b(x＋n)＋c，要使新抛物线与线段AB 恰好有一个交点，求n的取值范围．(4)若原抛物线沿y轴平移，平移后的抛物线顶点恰好落在直线AB上，且交另一点为F，求平移的距离，点F的坐标.选题依据：此题考查学生对二次函数图象、对称轴、顶点坐标，平移，抛物线与直线交点问题，同时考查学生分类讨论和数形结合思想方法总结知识点：待定系数法求解析式、二次函数取值范围、图象开口、增减性、对称轴、顶点坐标、平移后的二次函数解析式解题方法：对称轴：①解析式已知，直接代入x=－2；②已知抛物线与x轴两交点，直接代入x=x+y2顶点坐标：①一般式：代入顶点坐标公式；②顶点式：直接得到顶点坐标；③交点式：化为顶点式求点与点、点与直线、直线与直线之间距离，先求得点坐标或直线解析式，通过横坐标或纵坐标间距离求得1.平移的特点：①二次函数图象的平移不改变开口大小（形状）；②实质是图象上点的平移，可根据图象上任意一对对应点，即可确定平移方式，通常通过顶点来确定；2.抛物线中交点问题通常有：判断交点个数，通过交点个数求参数，抛物线与线段交点问题等，通常都是联立函数关系式，求二元一次方程组的解得以解决，在此类问题中通常会融合“整点”问题，选择满足“整点”的点即可；3.判断点是否在抛物线内问题：主要是利用极限思想，分类讨论思想，选择取值范围的两端点的x值分别代入求解即可.练习(2022河北预测卷)如图，抛物线y＝－12x2＋kx＋4(k为常数)与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B.练习题图(1)当k＝－1时．①直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标；②当－2≤x≤1时，求抛物线的最大值与最小值的差；(2)直线L：y＝6交y轴于点C，交抛物线于点M，N(M在N的左侧).当x≤12k时，抛物线的最高点到直线L的距离为2，请直接写出此时k的值．练习1(2022河北原创卷)如图所示为从游乐场的过山车抽象出来的函数图象，线段AB是一段平行于x轴的水平滑道，OA＝3，滑道B－C－D可以看作一段抛物线，最低点为C(4，2)，且D(6，3).滑道D－E－F是与滑道B－C－D的形状完全相同，开口方向相反的一段抛物线，其最高点为E，点F在x轴上，FO＝12.练习题图(1)求抛物线B－C－D的解析式及线段AB的长；(2)求抛物线D－E－F的解析式，当小车(看成点)沿滑道从A运动到F的过程中，小车距离x 轴的垂直距离为2.5时，它到出发点A的水平距离是多少？(3)现在需要对滑道E－F部分进行加固，过E作支架EK⊥x轴于点K，然后建造如图所示的水平支架PS和竖直支架PM.求所有支架(虚线部分)长度之和L的最大值及此时点M的坐标．练习2(2022河北逆袭诊断卷)如图，在平面直角坐标系中，直线l1∶y＝－12x＋2与坐标轴交于A，B两点，与抛物线l2∶y＝x2－2mx＋m2－2交于C，D，过抛物线的顶点P向x轴作垂线，交直线l1于点Q.(1)当m＝1时，求抛物线的解析式及点P的坐标；(2)若点Q的横、纵坐标都不小于0，当线段PQ取得最小值时，求△PCD的面积；(3)当抛物线与线段AB只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．练习2题图答案典例精讲例解：(1)∵直线y＝x＋2经过点A，且点A在y轴上，∴点A横坐标为0，将x＝0代入解析式y＝x＋2中，解得y＝2，∴点A的坐标为(0，2)，∵直线y＝x＋2经过点B，点B的横坐标是4，∴将x＝4代入解析式y＝x＋2中，得y＝6，∴点B的坐标为(4，6).∴将点A(0，2)，点B(4，6)代入抛物线y＝x2＋bx＋c中，得＝2，16＋4＋＝6，得＝－3，＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2；(2)由(1)得抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2，∴点P坐标为(m，m2－3m＋2)，∵PC⊥x轴交AB于点C，∴点C的坐标为(m，m＋2)，∴PC＝m＋2－(m2－3m＋2)＝－m2＋4m＝－(m－2)2＋4，∵－1＜0，0＜m＜4，∴当m＝2时，PC有最大值，最大值为4，此时点P坐标为(2，0)；(3)由(1)得，抛物线解析式为y＝x2－3x＋2＝(x－32)2－14，∵将抛物线沿x轴平移n个单位长度，得到抛物线y＝(x＋n)2＋b(x＋n)＋c，∴可设抛物线解析式为y＝(x＋n)2－3(x＋n)＋2＝(x－32＋n)2－14，通过图象可知，①当抛物线经过点A时，与线段AB恰有一个交点，将点A(0，2)代入抛物线解析式，得(－32＋n)2－14＝2，解得n1＝3，n2＝0(舍去)，∴n的取值范围为0＜n≤3；②当抛物线恰好经过点B时，与线段AB恰有一个交点，将B (4，6)代入抛物线解析式，得(52＋n )2－14＝6，解得n 1＝－5，n 2＝0(舍去)，∴n 的取值范围为－5≤n ＜0.∴n 的取值范围为－5≤n ＜0或0＜n ≤3.(4)由(1)得，抛物线解析式为y ＝x 2－3x ＋2＝(x －32)2－14∵顶点坐标为(32，-14)，32代入直线解析式y ＝32＋2=72，顶点坐标为(32，72)，∴平移距离=14+72=154，∴平移后抛物线y ＝(x －32)2+72，联立＝(－32)2+72＝+2，解得x ＝52x ＝32当＝32时，交点为平移后抛物线顶点坐标(32，72)当＝52时，交点F 坐标为(32，92).课堂练兵解：(1)①对称轴为直线x ＝－1，顶点坐标为(－1，92)；【解法提示】∵k ＝－1，∴y ＝－12x 2－x ＋4＝－12(x ＋1)2＋92x ＝－1，顶点坐标为(－1，92).②由①得，抛物线y ＝－12x 2－x ＋4的对称轴为直线x ＝－1，12＜0，∴当－2≤x ≤－1时，y 随x 的增大而增大，当－1＜x ≤1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝－1时，抛物线有最大值为92，∵－1－(－2)＝1，1－(－1)＝2，∴当x ＝1时，抛物线有最小值，最小值为52，∴当－2≤x ≤1时，抛物线的最大值为92，最小值为52，9－5＝2；(2)k的值为－22或436.【解法提示】设直线x＝12k交抛物线于点P，抛物线的顶点为R，∵y＝－12x2＋kx＋4＝－12(x－k)2＋12k2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝k，顶点R的坐标为(k，12k2＋4)，当x＝12k时，y＝－12×(12k)2＋k×12k＋4＝38k2＋4，∴P(12k，38k2＋4).当k＜0时，如解图①，当x≤12k时，最高点为R(k，12k2＋4)，∵抛物线的最高点到直线L的距离为2，12k2＋4－6＝2，解得k＝－22或k＝22(舍去)；当k≥0时，如解图②，当x≤12k时，抛物线的最高点为P(12k，38k2＋4)，∵抛物线的最高点到直线L的距离为2，38k2＋4－6＝2，解得k＝436或k＝－436(不符合题意，舍去).综上所述，k的值为－22或436.解图②解图①课堂小练练习1解：(1)∵抛物线B－C－D的顶点为C(4，2)，∴设抛物线B－C－D的解析式为y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，代入点D(6，3)得3＝a(6－4)2＋2，解得a＝14，∴抛物线B－C－D的解析式为y＝14(x－4)2＋2.∵AB∥x轴，且OA＝3，∴点B的纵坐标为3，令1(x－4)2＋2＝3，解得x1＝2，x2＝6，∵点D(6，3)，∴点B的坐标为(2，3)，∵点A在y轴上，∴AB＝2；(2)∵抛物线D－E－F与抛物线B－C－D的形状完全相同，由(1)得抛物线B－C－D的解析式为y＝14(x－4)2＋2，∴设抛物线D－E－F的解析式为y＝－14(x－h)2＋k，∵FO＝12，∴F(12，0)，－14（6－ℎ）2＋＝3ℎ＝8＝4.将点D(6，3)，F(12，0)代入，可得－14（12－ℎ）2＋＝0，解得∴抛物线D－E－F的解析式为y＝－14(x－8)2＋4.当小车距离x轴的垂直距离是2.5时，则2.5＝14(x－4)2＋2，解得x＝4±2，或2.5＝－14(x－8)2＋4，解得x1＝8＋6，x2＝8－6(不合题意，舍去)，∴小车到出发点A的水平距离为4＋2或4－2或8＋6；(3)由抛物线y＝－14(x－8)2＋4，可得E(8，4)，∴EK＝4，K(8，0)，设M(d，0)(8＜d＜12)，∴点P(d，－14(d－8)2＋4)，则S P＝d－8，PM＝－14(d－8)2＋4，∴所有支架的长度和L＝d－8＋[－14(d－8)2＋4]＋4，化简得L＝－14(d－10)2＋9，∵8＜d＜1214＜0，∴当d＝10时，L有最大值，最大值为9.此时点M的坐标为(10，0)练习2解：(1)∵m＝1，y＝x2－2mx＋m2－2，∴将m＝1代入y＝x2－2mx＋m2－2，得到抛物线的解析式为y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，∵点P为抛物线的顶点，∴点P的坐标为(1，－2)；(2)∵抛物线y＝x2－2mx＋m2－2＝(x－m)2－2，∴顶点P在直线y＝－2上，∵点Q 的横、纵坐标都不小于0，∴点Q 在线段AB 上，如解图，当点Q 与点B 重合时，线段PQ 的值最小，过点C ，D 分别作PQ 所在直线的垂线，垂足分别为E ，F ，∵点B 的坐标为(4，0)，∴x ＝－－2m 2＝m ＝4，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－8x ＋14，＝x 2－8x ＋14＝－12x ＋2，可得x 2－8x ＋14＝－12x ＋2，解得x 1＝15＋334，x 2＝15－334，∴CE ＋DF ＝x 1－x 2＝332，∴S △PCD ＝S △PBC ＋S △PBD＝12PB ·CE ＋12PB ·DF ＝12PB ·(CE ＋DF )＝12×2×332＝332；解图(3)m 的取值范围为－2≤m ＜2或4－2＜m ≤4＋2.【解法提示】分两种情况讨论：①当抛物线过点A时，可得m2－2＝2，解得m＝2或m＝－2，当m＝2时，抛物线的解析式为y＝x2－4x＋2，＝x2－4x＋2＝－12x＋2，可得x2－4x＋2＝－12x＋2，解得x1＝0或x2＝72，∵x2＝72＜4，∴两交点都在线段AB上，∴－2≤m＜2；②当抛物线过点B时，可得(4－m)2－2＝0，解得m＝4＋2或m＝4－2，∴4－2＜m≤4＋ 2.。
冀教版九年级下册数学《二次函数》PPT教学课件
解：由题意得：
m2 2m 1 2 m 1 0
m的取值范围是m 3
【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概 念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
例3 一个二次函数 y (k 1)xk23k4 2x 1 . （1）求k的值. （2）当x=0.5时，y的值是多少？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？ 这时平均每棵树结多少个橙子？ 果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子
(3)如果要使得果园橙子的总产量为60320个,那么应该 增种多少棵橙子树？
(100+x)(600-5x)=60320 解得， x1 4, x2 16
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数
3．下列函数是二次函数的是 ( C )
A．y＝2x＋1 C．y＝3x2＋1
B．y 2
x
D．y
1 x2
1
4. 已知函数 y=3x2m-1－5
① 当m=＿1＿时，y是关于x的一次函数； ② 当m=＿0＿时，y是关于x的反比例函数；
第三十章 二次函数
二次函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点） 2.会利用二次函数的概念解决问题. 3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）
导入新课
情境引入
雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等 都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系 式表示？
知识要点
一般地,如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有 两个交点(x1,0)、(x2,0 )那么一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根x=x1、x=x2.
冀教版九年级下册数学《二次函数的图像和性质》PPT(第3课时)
知1－练
1 如图，PA为⊙O的切线，切点为A，OP = 2， ∠APO=30°求⊙O的半径.
解: 连接OA，则OA为⊙O的半 径，因为PA是⊙O的切线， 所以OA⊥AP，又∠APO＝ 30°，OP＝2，所以OA＝ 1 OP＝1，即⊙O的半径为1. 2
知1－练
2 如图，CD为⊙O的直径，点A在DC的延长线上， 直线AE与⊙O相切于点B，∠A=28°.求∠DBE的 度数.
y -4 -2
0 -2 -4 -6 -8
24
由图像可知，这个函数具有 x 如下性质：
当x＜1时，函数值y随x的增 大而增大； 当x＞1时，函数值y随x的增 大而减小； 当x=1时，函数取得最大值， 最大值y=-2.
练一练
求二次函数y=2x2-8x+7图像的对称轴和顶点坐标.
解： y 2x2 8x 7
直线x=
0.5
1 2
,
9 4
课堂小结
配方法
y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式)
y a(x b )2 4ac b2
2a
4a
(顶点式)
公式法
顶点： ( b , 4ac b2 ) 2a 4a
对称轴： x b 2a
第二十九章 直线与圆的位置关系
切线的性质和判定
第1课时
1 课堂讲解 切线的性质定理
知1－练
2
2
怎样平移得到的？
答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
问题4 如何用描点法画二次函数 y 1 x2 6x 21 的图像？
解: 先利用图形的对称性列表
九年级数学下册第三十章二次函数30.1《二次函数》教学课件(新版)冀教版
设纵向瓷砖每排块数为n.
1、设灰瓷砖的总数为y. （1）用含n的代数式表示y，则y=＿4＿n+＿6 . （2）y与n具有怎样的函数关系？
一次函数关系
2、设白瓷砖的总数为z，用含n的代数式表示z，则 z=＿n＿2+＿n-＿② .
6
问题3：
某企业今年第一季度的产值为80万元，预计产值 的季平均增长率为x. 1、设第二季度的产值为y万元，则 y=＿8＿0（＿1+x） .
常数项: 0
2、若函数 y m2 1 xm2m为二次函数，求m的值.
解：∵该函数为二次函数，则
{ m2-m = 2， m2-1 ≠0.
① ②
解①得 m=2 或 m=-1. 解②得 m≠1且 m≠-1.
∴ m=2.
自主练习 课本P27 练习题
课堂小结
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数. 其中,是x自变量,a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常 数项.
设第三季度的产值为z万元，则 z=＿80（1+x）2＿， 即 80x2+160x+80 ③ .
2、y、z都是x的函数吗？它们的表达式有什么不同？
是. 第一个是一次函数，第二个是二次函数.
探究观察
函数①②③有什么共同点? y=6x2 ①
②
z 80 x2 160 x 80 ③
y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？ 在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的.
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数来自a≠0) 的函数叫做x的二次函数.
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式.
冀教版九年级下册数学《二次函数的图像和性质》说课教学课件
b²-4ac﹤0，没有交点
➢ 求出二次函数y=10x-5x²图象的顶点坐标，与x轴的
交点坐标，并画出函数的大致图象
探究:计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁 性物质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫做 磁道，如图，现有一张半径为45mm的磁盘．
与y轴交点：（0，c） 与x轴交点（：-b± b2-4ac
2a
，0）
开口 增减性
最值
向 a>0 上
x<-
b 2a
x>-
b 2a
a>0
向 下
x<-
b 2a
x>-
b 2a
当x=
-
b 2a
时，
y有最小值：4a4ca-b2
当x=
-
b 2a
时，
y有最大值：4a4ca-b2
二次函数的应用
复习思考
? 二次函数的图象与x轴有没有交点，由什么决定
解 设矩形窗框的宽为xm，则高为 6 3x m.
2
这里应有x>0，且 6 3x＞0．故0<x<2.
2
矩形窗框的透光面积y与x之间的函数 关系式是
y x 6 3x . 2即ຫໍສະໝຸດ y 3 x2 3x.2
配方得 y 3 ( x 1)2 3 .
2
2
所以当x=1时，函数取得最大值，最大值y=1.5.
二次函数的图像和性质
1、抛物线y=a(x-
1.当a﹥0时，开口 向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ， 2.对称轴是 直线x= ； 3.顶点坐标是 ( .
2、一般地，抛物线y=a(x-
冀教版九年级数学下册课件30.2二次函数的图像和性质 (共15张PPT)
式的右边配方，确定抛物线的顶点和对称轴，再像
小亮那样合理选取x的值并列表描点.
一般地，二次函数 y a2 x b x c a 0 的表达式可以通
过配方化为yaxh2k的形式.配方过程如下：
y ax 2 bx c
a x 2 b x c
a
ax2
b
x
b
2试着做做：
我们已经能够画出二次函数y=ax2的图像， 由于y=（x-2）2+1=x2 -4x+5，所以y=（x-2）2+1 是 二次函数．下面我们探索怎样画y=（x-2）2+1的图 像．
画出二次函数y=（x-2）2+1的图像． ⑴ 完成下表
-1 0 1 2 3 4 5 10 5 2 1 2 5 10
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/262021/8/262021/8/262021/8/268/26/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月26日星期四2021/8/262021/8/262021/8/26 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/262021/8/262021/8/268/26/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/262021/8/26August 26, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/262021/8/262021/8/262021/8/26
1、画出二次函数 y1x12 1 的图像，并指出它的
冀教版九年级下册数学课件二次函数的图象和性质
住x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线
的开口向_下________，对称轴是_x__=__1___________，顶 点是__(__1_,__0_)_________．
抛物线 有什么关系？
可以发现，把抛物线 ；把抛物线 ．
与抛物线
向左平移1个单位，就得到抛物线 向右平移1个单位，就得到抛物线
－4 －2 －2 －4
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, 0).
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
• 抛物线
•与 关系？
有什么
函数
的
图象可以看成是将函数
移一个单 位得到的。
•直线x=－y 1 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
－6
24
顶点从(0,0)移 到了(–2,0)， 即x= –2时，y 取最大值0 对称轴是
直线x=-2
y
顶点从(0,0)移
5
到了(2,0)，即
4
x=2时， y取最
3
大值0
2
对称轴是
1
直线x=2
x
–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1
–2
–3
–4
–5
y
5
4
3
2
1
x
–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1
x … –1 –0.6 –0.3 0 0.3 0.6 1 …
y=3x2 … 3 1.08 0.27 0 0.27 1.08 3 …
冀教版初中九年级下册数学课件 《二次函数的图像和性质》PPT(第1课时)
与a的大小有什么关系？
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
-4 -2
2
4
···
练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2的图像．
2
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 2
··· -8
-4.5 -2 -0.5
0 -0.5 -2 -4.5 -8
对称轴 顶点坐标
增减性
方法总结
二次函数y＝ax2的图像关于y轴对称，因此左右 两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中， 我们根据图像中点具有的对称性转变到同一变化 区域中(全部为升或全部为降)，根据图像中函数 值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用 等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以 方便求解．
当堂练习
1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图像开口向下; 3.图像关于y轴对称; 4.顶点（0，0）; 5.图像有最高点．
y
o
x
y=-x2
知识要点
二次函数y=ax2的图像性质： 1. 顶点都在原点; 2. 图像关于y轴对称; 3.当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下．
交流讨论
观察下列图像，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图像上，则 <
y1_____y2；
(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图像经过点(0，0)，长方形ABCD的顶
点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图像上，B点的横坐标
为分2，析求：图(1中)把阴两影点部的分横的坐面标积代之入和二．次函数 表达式求出纵坐标，再比较大小即可得解；
冀教版九年级下册数学课件 二次函数
30.1 二次函数
学习目标
1.掌握二次函数的概念；（重点） 2.能识别一个函数是不是二次函数； (重点) 3.能根据实际情况建立二次函数模型.（难点）
回顾旧知
1.什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并
且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那 么我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.什么是一次函数？正比例函数？
2
2
课堂小结
★定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函 数叫做x的二次函数.
★ y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的几种不同表示形式： (1)y=ax²(a≠0，b=0，c=0). (2)y=ax²+c(a≠0，b=0，c≠0). (3)y=ax²+bx(a≠0，b≠0，c=0).
注意:二次函数 的二次项系数 不能为零. 解：根据题意，得m+1≠0且 m²-m=2， 解得m=2.
练一练：
1. 函数 y =（ m - 2）x 2 + mx - 3（m 为常数）． （1）当 m ___≠_2__时，这个函数为二次函数； （2）当 m ___=__2_时，这个函数为一次函数．
2.请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子.
★定义的实质：ax²+bx+c是整式，自变量x的最高次数是二次，自变
量x的取值范围是全体实数.
不是
2.把下列函数化成二次函数的一般式. (1) y=(x-2)(x-3)； (2) y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2； (3) y=-2(x+3)2. 解：(1) y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6； (2) y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6； (3) y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18.
冀教版九年级下册数学名师培训课例30.2_二次函数的图像和性质 (共16张PPT)
x=h时, y最小=k
x=h时, y最大=k
课内练习:
1、填表
表达式
开口 对称 顶点 方向 轴 坐标
y随x的变化情况
最大（或 最小）值
y(x2)22 向下
3
y1(x3)2 3 向上
2
y(x1)25 向下
x=2
(2, 2 ) 3
x=-3 (-3,3)
x=-1 (-1,5)
当x<2时，y随x的增大而增大；
2、填空
①由抛物线y=2x²向
平移 个单位可得到y=2(x+1)2 。
②函数y=-5(x-4)2 的图像。可以由抛物线
向
平移4个单位而得到的。
抛（物1线）画 开y 口(方x 向3 )2对 1 称,y 轴 (x 顶 点3 )2 坐 标1的图像，并增观减察性 它们与
yy==(x(-x3-)32)+21y(向x上3)2的关x=系3 ；
2.
1.
x
-3. -2 -1 0.
1. 2. 3.
y=2(x-1)2+1
二次函数y=2x²、 y=2(x-1)²+1
y=2x2
y
的图像的关系？
y=2x2 +1
5
4.
y=2(x-1)2+1
y=2x2
3.
y=2x2 +1
2.
1.
y=2(x-1)2+1
-2 -1 0. -1
1.
2.
3. x
二次函数y=ax²与y=a(x-h)²+k 的关系
A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
3、将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函数 y2(x3)2 的
九年级数学下册 30.2 二次函数的图像和性质课件 (新版)冀教版
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2022/2/172022/2/17Februar y 17, 2022
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2022/2/172022/2/172022/2/172022/2/17
谢谢收看
拓展:如果给我们的函数形式是: y2x24x1
图像如何画?
相应练习:
一条抛物线的形状与抛物线 y 3x2
相同,其对称轴与抛物线 y(x2)2
相同,且顶点的纵坐标是4,写出这条抛物 线的解析式.
小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对
函数图象的讨论,分析归纳出 ya(xh)2k
的性质: (1)a的符号决定抛物线的开口方向
y 1 x2 1 2
y1(x1)2 1 2
的图像.
指导:(1) 列表时,要合理取值,首先考虑对称性,其次尽量取整
(2)描点时,一般先定顶点,然后根据对称性,描出对称点
(3)连线时,注意顶点附近的大致走向,画出的抛物线应 平滑,对称,且符合抛物线的特点
(4)对描点,连线中出现的误差,要适当修正,或修正不合 适的选值.
(-1,2) (h,k)
例题分析:
一条抛物线的形状与抛物线 y2(x2)2
相同,其顶点坐标是(-1,3),写出这个抛物线的解析式.
解:设函数解析式为 ya(xh)2k
因为所求抛物线的形状与 y2(x2)2
相同,所以a=-2.
又因为所求抛物线顶点坐标是(-1,3),所以h=-1,k=3
所以这个函数的解析式为: y2(x1)23 即: y2x24x1
开口向上
开口向上
对称轴 顶点坐标
直线x=0 直线x=0