数学模型-自控原理
自动控制原理 控制系统的数学模型
式中
s s 1 s 2
Y
(s)
s2 s 5 s(s2 3s 2)
5 A Y (s)s |s0 2 B Y (s)(s 1) |s1 5
3 C Y (s)(s 2) |s2 2
Y s 5 2 5 3 2
s s 1 s 2
s
单位速度 t
1
s2
指数
e at
1 sa
单位加速度 1 t 2
2
1 s3
正弦函数 sint
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
16
32
2 12
4.线性微分方程的求解
拉普拉斯变换法求解微分方程基本步骤：
（1）考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉式变换，变成 变量s的代数方程。
f (t) F (s)
（2）由变量s的代数方程求出系统输出量的拉式变换式。 F(s) Y (s)
（3）对输出量的拉式变换式进行拉式反变换，得到系统微分
b0
dm dt m
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
自动控制原理公式
自动控制原理公式自动控制系统最常用的数学描述是利用控制工程中的数学模型。
数学模型是通过分析和建立系统的动态行为方程、传输函数或状态空间方程来描述系统的数学形式。
以下是一些常用的控制原理公式：1.闭环系统传递函数公式闭环系统传递函数是表示控制器输出信号C(s)与参考输入信号R(s)之间的关系的函数。
通常表示为T(s)或G(s)。
2.开环传递函数公式开环传递函数是表示控制器输出信号和系统输入信号之间的关系的函数。
通常表示为G(s)。
3.比例控制器公式比例控制器是最简单的控制器之一，其输出信号与误差信号之间的关系为：C(t)=Kp*e(t)，其中Kp为比例增益，e(t)为误差信号。
4.积分控制器公式积分控制器输出信号与误差信号的时间积分之间的关系为：C(t) = Ki * ∫e(t)dt，其中Ki为积分增益。
5.微分控制器公式微分控制器输出信号与误差信号的时间微分之间的关系为：C(t) = Kd * de(t)/dt，其中Kd为微分增益。
6.传递函数的极点和零点公式传递函数的极点和零点是指传递函数的分母和分子中令传递函数等于零的根。
传递函数的极点和零点对系统的稳定性、阻尼比、过渡特性等有重要影响。
7.控制系统稳定性判据公式控制系统稳定性判据是通过判断传递函数的极点位置来评估系统的稳定性。
例如，对于一阶系统，系统稳定的条件是极点实部小于零；对于二阶系统，系统稳定的条件是极点实部均小于零。
8.级联控制系统公式级联控制系统是由两个或多个控制回路组成的系统。
级联控制系统的传递函数可以通过将各个回路的传递函数相乘来获得。
9.PID控制器公式PID控制器是包含了比例控制器、积分控制器和微分控制器的三个组成部分的控制器。
PID控制器的输出信号与误差信号的线性组合关系为：C(t) = Kp*e(t) + Ki∫e(t)dt + Kd *de(t)/dt。
以上是一些常见的自动控制原理公式，用于描述和分析控制系统的特性和行为。
自控原理课件 第2章-自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
2．2．2 传递函数 建立数学模型的目的是为了对系统进行性能分析。分析 自动控制系统最直接的方法是求解微分方程，求得被控 量在动态过程中的时间函数，然后根据时间函数的曲线 对系统性能进行分析。求解的方法有经典法、拉氏变换 法等。 拉氏变换法是求解微分方程的简便方法，当采用这一方 法时。微分方程的求解就成为象函数的代数方程和查表 求解，使计算大为简化。更重要的是，采用拉氏变换法 能把以线性微分方程描述的数学模型转换成复数域中代 数形式的数学模型——传递函数。传递函数不仅可以表 征系统的性能，而且可以用来分析系统的结构和参数变 化对系统性能的影响。经典控制理论中应用最广泛的频 率特性法和根轨迹法就是以传递函数为基础建立起来的， 传递函数是经典控制理论中最基本最重要的概念。
解：(1)确定输入和输出量。网络的输入量为 电压ur(t)，输出量为电压uc(t) (2)根据电路理论，列出原始微分方程。
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
1．信号线 信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标 记信号的象函数，如图2．20(a)所示。 2．引出点 引出点表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在 数值和性质上完全相同， 图2．20(b)所示。 3．比较点 比较点表示多个信号在此处叠加，输出量等于输入量的代数和。 因此在信号输入处要标明信号的极性，如图2．20(c)所示。 4．功能框 功能框表示一个相对独立的环节对信号的影响。框左边的箭头 处标以输人量的象函数，框右边的箭头处标以输出量的象函数， 框内为这一单元的传递函数。输出量等于输入量与传递函数的 乘积，即
自控原理知识点总结同济
自控原理知识点总结同济1. 系统建模系统建模是自控原理中的重要内容，它是指将具体的控制对象抽象成数学模型的过程。
系统建模的目的是为了方便后续的分析和设计工作。
通常可以采用状态空间法或传递函数法对系统进行建模。
状态空间法适用于描述动态系统的动态响应，而传递函数法则适用于描述系统的输入输出关系。
系统建模的关键是确定系统的结构和参数，建立准确的系统模型是进行自控原理分析和设计的前提。
2. 传递函数传递函数是描述线性时不变系统的重要工具，它用来描述输入与输出之间的关系。
传递函数可以通过系统的微分方程求解得到，通常表示为H(s)，其中s为复频域变量。
传递函数包括零点和极点两个重要概念，零点是使传递函数为0的频率点，极点是使传递函数为无穷大的频率点。
传递函数的性质可以通过其零点和极点来分析，从而确定系统的稳定性和动态特性。
3. 稳定性分析系统的稳定性是自控原理中非常重要的概念，它是指系统在受到一定扰动后，是否能够回到平衡状态或者永远保持在某个状态下。
常见的稳定性分析方法包括极点位置判据、Nyquist稳定性判据、Routh-Hurwitz稳定性判据等。
极点位置判据通过判断传递函数的极点位置来确定系统的稳定性，Nyquist稳定性判据通过绘制系统的 Nyquist 图来判断系统的稳定性，Routh-Hurwitz稳定性判据通过构造判别式矩阵来判断系统的稳定性。
稳定性分析是自控原理中的基础，它为后续的控制器设计和系统优化提供了重要的依据。
4. 根轨迹法根轨迹法是自控原理中常用的一种分析和设计方法，它通过画出系统传递函数的极点轨迹图来分析系统的稳定性和动态特性。
根轨迹图中，极点的位置随着控制器参数的变化而变化，通过调节控制器参数可以使系统的极点达到期望的位置，从而实现对系统的控制。
根轨迹法是一种直观的分析方法，它可以有效地帮助工程师快速理解系统的动态特性，为控制系统的设计提供了重要的参考。
5. 频域分析频域分析是自控原理中用来分析系统动态特性的重要方法，它通过分析系统在频域下的响应特性来确定系统的稳定性和性能。
自动控制原理的数学模型
自动控制原理的数学模型
自动控制原理是现代控制理论的基础，其重要性不言而喻。
而控制系统中的数学模型则是实现控制的关键之一。
数学模型是指将实际控制系统转化为数学方程组的过程，通过数学模型可以分析控制系统的特性和性能，并设计控制器以达到期望的控制效果。
数学模型一般分为时域模型和频域模型。
时域模型是指根据系统的微分方程或差分方程来描述系统的动态特性，从而得到系统的时域响应；频域模型则是通过系统的传递函数或频率响应函数来描述系统的频域特性，从而得到系统的频域响应。
控制系统中的数学模型可以基于物理原理、实验数据或经验公式等多种方法进行建立。
在建立数学模型时需要考虑系统的非线性特性、时变特性、耦合特性等因素，并选择合适的建模方法和工具进行建模和仿真。
总之，数学模型是自动控制原理的重要组成部分，对于掌握自动控制原理及其应用具有重要意义。
- 1 -。
自动控制原理(胡寿松)第六版-第二章-控制系统的数学模型--2
if=常数
dia La Ra ia Ea ua dt
ua
ia
Ra Ea La
M
电动机轴上机械运动方程：
d J MD ML dt
J — 负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD — 电枢电流产生的电磁转矩; ML — 合到电动机轴上的总负载转矩。 （4）列写辅助方程 Ea = ke
Ra J Tm 令机电时间常数Tm : ke k m 二阶系统 La 令电磁时间常数Ta : Ta Ra 2 Tm TaTm dML d d 1 TaTm 2 Tm ua ML dt dt ke J J dt
1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：
Ta 0
第二章 控制系统的数学模型
前言 数学模型基础
2.1 控制系统的时域数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图与信号流图
2.4 控制系统建模实例
End
前言 数学模型基础
2.2 2.3 2.4 2.5
1.定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态 关系的表达式。 2.建立数学模型的目的
d nc d n1c dc d mr d m 1r dr a0 n a1 n1 an1 an c b0 m b1 m 1 bm 1 bm r dt dt dt dt dt dt
式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：
统 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合 理
3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析
4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数
自控原理
1、自动控制是指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置（称控制装置或控制器），使机器、设备、或生产过程（统称被控对象）的某个工作状态或参数（即被控量）自动地按照预定的规律运行。
2、扰动破坏系统输入量和输出量的规律和信号。
3、自动控制系统为了实现各种复杂的控制任务，首先要将被控对象和控制装置按照一定的方式连接起来，组成一个有机总体，这就是自动控制系统。
4、反馈及负反馈通常我们把取出输出量送回到输入端，并与输入信号相比较产生偏差信号的过程，成为反馈。
若反馈的信号是与输入信号相减，使产生的偏差越来越小，则称为负反馈。
5、自动控制系统基本控制方式反馈控制方式、开环控制方式、复合控制方式。
6、反馈控制是自动控制系统最基本的控制方式，也是应用最广泛的一种控制方式。
除此之外，还有开环控制方式和复合控制方式，他们都有各自的特点和不同的使用场合，近几十年来，以现代数学为基础，引入电子计算机的新的控制方式也有了很大发展，如最优控制、自适应控制、模糊控制等。
7、开环控制方式是指控制装置与被控对象之间只有顺向作用而没有反向联系的控制过程，按这种方式组成的系统称为开环控制系统。
9、按扰动控制方式在技术上较按偏差控制方式简单，但它只适用于扰动是可测量的场合，而且一个补偿装置只能补偿一种扰动因素，对其余扰动均不起补偿作用。
10、自动控制系统有多种分类方法按控制方式可分为开环控制、反馈控制、复合控制等；按元件类型可分为机械系统、电器系统、机电系统、液压系统、气动系统、生物系统等；按系统功用可分为温度控制系统、压力控制系统、位置控制系统等；按系统特性可分为线性系统和非线性系统、连续系统和离散系统、定常系统和时变系统、确定性系统和不确定性系统等；按输入量变化规律可分为恒值控制系统、随动系统和程序控制系统等。
为了全面反应自动控制系统的特点，常常将上述各种分类方法组合应用。
11、离散系统是指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式，因而信号在时间上是离散的，连续信号经过采样开关的采样就可以转换成离散信号。
自控原理要点与技巧
自控原理要点与技巧-绪论1，手动控制的规则是看误差改控制量。
（负反馈）2，自动控制是由误差计算出控制量，必须有可以实现的算法。
（可实现）3，误差=理想值-实际值理想值通过给定环节产生，称为给定。
实际值通过检测环节获得，从输出端回到输入端，因此称为反馈。
输入r ->（前向环节）-> 输出 c ->（反馈环节）-> 输入，成为闭环。
（闭环系统）4，经过反馈，可以大幅降低前向环节误差以及扰动的影响，因此闭环系统精度高。
（高精度、抗扰动）5，精度和稳定性有矛盾，通常要权衡折衷处理。
（稳定性问题，贯穿于自控课程的始终）6，反馈系统构成：给定器（产生r），控制器（产生u），执行器（产生x，大功率），被控对象（实际值c），传感器（产生f）7，没有反馈的系统为开环系统。
自控原理要点与技巧-非线性系统1，非线性系统<->不适用叠加原理2，非线性系统可能不收敛不发散，例如模电中的多谐振荡器3，非线性系统分析中缺乏线性系统中的通用方法和通用结论4，非线性系统分析中的方法和结论有限制条件5，非线性1串线性1串非线性2串线性2 类型的系统一般不能化简为非线性总串线性总系统6，非线性并、串线性 => 非线性7，但非线性并、串非线性可能成为线性，例如非线性1 并 -非线性1、非线性1 串 1/非线性1 得到线性8，常见折线非线性：继电器，死区，饱和，间隙，变增益等9，描述函数法常用于非线性串线性= 原点对称折线非线性环节串低通线性环节的系统10，相平面法适用于含1~2阶导数的非线性系统描述函数法，求有无自激振荡，自激振荡的ω、A、稳定性1，闭环特征方程 1+NG = 0，G = -1/N，-1/N相当于线性系统的 -1 2，由非线性求得描述函数N(A)，A为N输入端的正弦信号的幅值3，画G(jω)，画 -1/N(A)，A从小到大4，G 顺围 -1/N，不稳定G 不围 -1/N，稳定G 与 -1/N 相交，有自激振荡5，求 G(jω)、-1/N(A) 的交点6，交点处的ω为自激振荡角频率，A 为自激振荡幅值7，自激振荡稳定性：在交点处画箭头G包围内，A趋于增大，箭头同-1/N(A)方向G包围外，A趋于减小，箭头与-1/N(A)反方向箭头指向交点，自激振荡稳定箭头背离交点，自激振荡不稳定相平面法，画相轨迹1，相平面，横轴X，纵轴X’，方程X”= f(X’,X)2，口诀1：上右下左不相交，始终奇点无穷远，一阶单线二阶族3，奇点：令X”=0，X’=0，解出奇点4，奇点附近线性化得：aX”+bX’+c=0，其特征根为P1，P25，口诀2：双负24正13，负实收敛正发散，纯虚椭圆正负X自控原理要点与技巧-根轨迹1，根轨迹是Kg=0->∞时闭环极点形成的轨迹，通常用开环传函推断闭环极点2，闭环特征方程 1+G=0 （负反馈）3，基本方程 G=KgM/N，系数全1；M/N=-1/Kg4，相角方程Σθz-Σθp =-1805，幅值方程Πρz/Πρp =1/KgP 极点， Z，零点6，口诀161对称、连续、n62始终、实轴、渐63出入、走势和64分合、虚轴交61关于实轴对称；连续，有头有尾；n阶系统恰有n条根轨迹；62始于P，终于Z或无穷远；实轴上轨右P、Z总数必奇渐近线条数 = n-m，交点 = （ΣP-ΣZ）/（n-m），夹角θ1= π/（n-m），平分360度63出入射角：用Σθz-Σθp =-180计算走势和：ΣP=ΣS闭环根，条件n-m>=264根轨迹相交处为分合点，即闭环重根点，必有d(/N)/ds=0，但此式阶次较高，不易手解分合点处各条根轨迹平分360度根轨迹与虚轴交点用劳斯表求解7，正反馈根轨迹方程：1-G=0；Σθz-Σθp =-180；Πρz/Πρp =1/Kg8，口诀2，偶、0、0，用于正反馈根轨迹的实轴、渐、出入计算，其余同负反馈根轨迹81 偶，实轴上轨右PZ总数为偶82 渐θ1=083 0，出入射角用Σθz-Σθp =0计算9，正反馈根轨迹有时非渐近线可沿实轴连接无穷远10，正负反馈根轨迹构成互补图形，若将S平面拓扑成S球面，则根轨迹全部由圈组成11，参数根轨迹：从闭环特征方程开始重组，得1+Kg’M’/N’=0的形式，其余同常规根轨迹自控原理要点与技巧-控制系统校正1，加环节，改结构，改参数，提性能，是校正2，按结构图校正，加减抵消，乘除对消3，按根轨迹校正，配偶极子等4，整定，在过程控制中讲授和使用5，按伯德图校正按指定图形、工程最佳图形校正，按性能指标校正（多归结于按γ校正）6，超调量Mp = 0.16+0.4(1/sinγ - 1)调节时间t s = kπ/ωck = 2+1.5(1/sinγ - 1)+2.5 (1/sinγ - 1)27，伯德图三段式中频段，ωc段，决定系统稳定性和动态指标，斜率必须是-1中频段较宽则γ大，Mp小低频段，起始段，决定系统的稳态误差，希望幅值越高越好，通常斜率为-1，-2 高频段，最右段，决定系统的抗噪能力，斜率越负越好三段之间为过渡段。
自动控制原理第二章 控制系统的数学模型1
控制系统的数学模型的方法。
教学重点与教学学时
1、复域模型－－传递函数(Transfer function) 2、传递函数的零、极点对系统性能的影响 3、三种数学模型的相互转换 5、教学学时：三次课共6个学时。
教学内容
1、时域模型：本节分别通过从简单的电学电路和力学系统讲解 如何建立数学模型。 由于有关电机拖动的课还未讲到电机模型内容，故本章中有关 电动机模型只介绍结论，不详细推导。 2、时域模型－－微分方程求解，简单讲解复习微分方程求解方 法 3、非线性系统的线性化，重点讲清楚线性化的条件，以及如何 线性化（泰勒展开式）
如何建立数学模型
建立数学模型用二种方法：1.分析法 2.实验法
分析法：根据系统运动本身的物理、化学规律，列出相应的运
动方程。 如：电工学中的克希霍夫定律；力学中的牛顿定律等。 实验法：对于运动规律很复杂的系统或一个未知的系统无法用 一个准确的数学关系式来描述时，可用实验法。
数学模型有多种形式
1.以时间为变量所建立的模型称为时域模型——微分方程。 2.在复平面内建立的模型称为复域模型——传递函数。 3.以频率为变量所建立的模型称为频域模型——频率特性。
第二章第五次课内容
一、闭环系统传递函数三种形式(a)输入信号作用下的闭环传递函 数、(b)扰动作用下的闭环传递函数、(c)闭环系统的误差传递函数。
要求：能熟练地写出闭环系统的传递函数和传递函数的特征式。
注意：在各种信号作用下，输出量c(s)或误差量e(s)可以应用叠加 原理，但闭环传递函数不适用叠加原理。 二、 三、有关本章习题中出现的问题讨论
ur ( s) 0.1s 0.2 uc ( s ) 2 2 s s 1 s s 1
自控原理第二章自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型控制系统微分方程的建立非线性微分方程的线性化拉普拉斯变换传递函数动态结构图系统的脉冲响应函数典型反馈系统的几种传递函数关于系统数学模型的几个基本概念系统相互联系又相互作用着的对象之间的有机组合。
静态系统(static systems)/稳态系统当前输出仅由当前的输入所决定的系统。
(静态方程或方程组)动态系统(dynamic systems) 当前输出不仅由当前输入决定，而且还受到过去输入的影响的系统(系统内部有储能或/和耗能元件，所以输出对输入表现出一定的运动惯性)。
本课程研究的主要对象。
(微分方程或微分方程组)数学模型(mathematical models) 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。
描述系统运动规律的数学表达式。
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。
一旦系统的数学模型被推导出来，就可以采用各种分析方法和计算机工具对系统进行分析和综合。
•建模modeling建立系统数学模型的过程，即用数学模型来表示系统的输入与输出之间的因果关系的过程。
也是寻求系统数学模型的过程。
•建立数学模型的方法分为解析(analytical)法和实验(experimental)法解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号，单位脉冲信号，正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识(identify)出系统的数学模型。
线性定常系统(linear time-invariant systems)系统参数是集中、定常(时不变)、描述系统的动力学模型是线性的(方程中各变量之间是代数相加关系，包含变量的每一项的系数均与其它变量无关)，这种系统就是线性定常系统。
对线性定常系统的分析可以采用叠加原理。
非线性系统(nonlinear systems)时变系统(time-variant systems)线性定常动态系统是经典控制理论研究的主要对象。
《自动控制原理》控制系统的数学模型 ppt课件
= Kg
m i 1
(s
zi
)
n (s
j 1
pj)
2)
G(s)
c(s) r(s)
bm (dmsm an (cnsn
dm1sm1 1) cn1sn1 1)
=
K
(T1s (T1s
1)(T2 s 1)(T2s
1)(Tms 1) 1)(Tms 1)
（2-5） （2-6）
9
将（2-5）,（2-6）带入（2-1）得
La GD2 Ra d 2n GD2ra dn n ua
Ra 375 CmCe dt2 375CmCe dt
ce
（2-7）
令：
Ta
La ra
--电动机电磁时间常数
Tm
GD2 375
ra CeCm
--电动机机电时间常数
FK ky
－阻尼器的粘性摩擦力 －弹簧的弹力
（3）消去中间变量，得到输入与输出的关系方程
将以上各式代入（1）式得
m
d2y dt 2
F
ppt课件ddyt
ky
6
（4）整理且标准化
m d 2 y(t) dy(t)
1
k
dt 2
k
y(t) F (t)
dt
k
令 T m/k
- 时间常数；
TaTm
d 3
dt 3
Tm
d 2
dt 2
d
dt
pp0t课.1件05 ua Ce
（2-1210）
例2-4 下图所示为闭环调速控制系统，编写控制系统 微分方程。
自动控制原理控制系统的数学模型
自动控制原理控制系统的数学模型自动控制原理是现代控制工程学的基础，在控制系统的设计中起着至关重要的作用。
控制系统的数学模型是指通过数学方法对控制系统进行建模和描述，以便分析和设计控制系统的性能和稳定性。
控制系统的数学模型可以分为时域模型和频域模型两种形式。
一、时域模型时域模型是描述控制系统在时间域上动态行为的数学表达式。
时域模型是基于系统的差分方程或微分方程的。
1.线性时不变系统的时域模型对于线性时不变系统，可以通过系统的微分方程或差分方程来建立时域模型。
常见的时域模型包括：-一阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*u(t)-二阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*(1+t/Td)*u(t)2.非线性系统的时域模型对于非线性系统，时域模型可以通过系统的状态空间方程来建立。
常见的非线性系统时域模型包括：- Van der Pol方程： d^2x/dt^2 - μ(1 - x^2) * dx/dt + x = 0 - Lorenz方程：dx/dt = σ * (y - x), dy/dt = rx - y - xz, dz/dt = xy - βz二、频域模型频域模型是描述控制系统在频域上动态行为的数学表达式。
频域模型是基于系统的传递函数或频率响应函数的。
1.传递函数模型传递函数是系统的输入和输出之间的关系，是频域模型的核心。
传递函数可以通过系统的拉普拉斯变换或Z变换得到。
常见的传递函数模型包括：-一阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T*s+1)-二阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T^2*s^2+2ξ*T*s+1)2.频率响应模型频率响应函数是系统在不同频率下的输出和输入之间的关系。
频率响应函数可以通过系统的传递函数模型进行计算。
常见的频率响应模型包括：-幅频特性：描述系统在不同频率下的增益变化-相频特性：描述系统在不同频率下的相位变化控制系统的数学模型是对系统动态行为的数学描述，通过对控制系统进行数学建模和分析，可以有效地设计和优化控制系统，提高系统的性能和稳定性。
自动控制理论第二章 控制系统的数学模型
总结
多变量非线性 方程如何线性 化？
• 本质非线性系统不可以作线性化 •不同的工作点，不同的线性化系数，有 不同的线性化方程。 •工作点邻域的线性化方程是增量方程
y f ( x1 , x2 ) 为连续可导的非线性函数
( x10 , x20 , y0 ) 为预定工作点，则其在预定工作
点附近的线性化方程为
（三阶线性定常微分方程）
17
例 水箱水位系统如图，建立系统的微分方程；
1、确定输入、输出
输入：流入水箱的流量 Qs 输出： H (m) 2、原始方程组 假设①水箱截面积S为常数 干扰是流出水箱的流量 Q f
②设流量系数(调节阀开度系数) α为常数
③水是不可以被压缩的 c —密度 由物质守恒定律存在： 又因为 Q f 为非常数，有：
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 2.2
系统微分方程的建立 非线性微分方程的线性化
2.3
2.4
传递函数
动态结构图
2.5
信号流图
目的
建立控制系统的数学模型，为课程的后续内 容提供必备的工具
内容
掌握建立物理系统数学模型的方法 掌握数学模型的相互转换 掌握数学模型的图解形式
• 数学模型：
例：单摆系统的运动方程为
试列写其线性化方程。 解：运动方程中的非线性项为
预定工作点为 [q 0 , 0 ]
d K dq
q q 0
cos q 0
线性化方程为
0 K (q q0 ) cos q0 (q q0 )
当预定工作点为 [0,0]
q
当预定工作点为 [ ,0] 0 K (q q0 ) cos q0 (q q0 ) (q )
821自控原理考试范围
821自控原理考试范围
821自控原理考试范围涵盖了控制系统的基本概念、数学模型、时域分析、频域分析、控制系统的设计与校正以及现代控制理论基础等方面。
其中，具体内容如下：
1. 自动控制系统的基本概念：包括熟练掌握自动控制系统的一般术语，自动控制系统的基本结构与基本性能要求，以及反馈控制的基本原理。
2. 控制系统的数学描述方法：包括控制系统微分方程的概念以及电学系统微分方程的建立，非线性微分方程线性化的方法，传递函数的概念以及电学系统传递函数模型的建立，拉式变换、拉式反变换的基本方法等。
3. 时域分析法：包括时域分析的一般方法以及基本实验信号的作用，控制系统性能指标的概念，一阶系统分析，二阶系统的分析以及二阶系统性能的改善等。
4. 根轨迹法：包括根轨迹的概念与根轨迹方程，利用根轨迹的基本法则绘制根轨迹图，参量根轨迹及正反馈系统根轨迹图的绘制等。
5. 频率分析法：包括频率特性的概念，频率特性的数学表示，极坐标图的绘制以及伯德图的绘制等。
6. 控制系统的校正方法：包括系统校正基础及校正系统的结构，根轨迹法校正，频率法校正，参考模型法校正等。
7. 非线性系统分析：包括控制系统的非线性特性，相平面分析法等。
8. 采样控制系统分析基础：包括信号的采样与采样定理，信号复现与零阶保持器等。
此外，考试大纲适用于北京工业大学信息学部人工智能与自动化学院（0811）控制科学与工程、（0854）电子信息（专业学位）的硕士研究生招生考试，主要考查考生对经典控制理论部分的理解和掌握程度。
如需更多关于“821自控原理考试范围”的信息，可以查看北京工业大学研究生招生官网或其他相关论坛。
自控第二章
Fi 0
式中：Fi是作用于质量块上
f
的主动力，约束力以及惯性
力。
将各力代入上等式，则得
K M y(t)
d2 y(t) dy(t) m dt2 f dt Ky(t) F (t)
(2 1 6)
式中：y——质量块m的位移（m）；
f——阻尼系数（N·s/m)；
K ——弹簧刚度（N/m)。
将式(2-1-6)的微分方程标准化
加若干倍，这就是叠加原理。
2－3 传递函数
传递函数的定义：
线性定常系统在零初始条件下，输出
的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。
•传递函数是在拉氏变换基础上引申出来的复数域数 学模型。传递函数不仅可以表征系统的动态特性， 而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性 能的影响。经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和 频域法，就是以传递函数为基础建立起来的。因此 ，传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的 数学模型.
自动控制原理
第二章 自动控制系统的数学模型
第二章 自动控制系统的数学模型
主要内容 2-1 控制系统微分方程的建立 2-2 非线性微分方程的线性化 2-3 传递函数 2-4 动态结构图 2-5 系统的脉冲响应函数 2-6 典型反馈系统传递函数
基本要求 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉 氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。
K s
1 Ts
K——比例系数 T——积分时间常数
可以应用在一些信号转换电路上，比如关于X轴对称的方波 经过积分电路处理后，输出三角波。
3.微分环节
• 理想的微分环节，其输出与输入量的导数成比例。
自动控制原理数学模型分析知识点总结
自动控制原理数学模型分析知识点总结自动控制原理是电子信息工程、自动化技术、机械、电气等相关专业中的重要课程。
它是研究自动化系统中的控制原理和相关数学模型的学科。
以下是对自动控制原理数学模型分析的知识点总结。
一、数学基础在学习自动控制原理之前，必须具备一定的数学基础。
包括微积分、线性代数、概率论与数理统计等知识。
这些数学基础将在后续的分析中起到重要的作用。
二、传递函数传递函数是自动控制原理中最基本和最常用的数学模型之一。
它描述了被控对象和控制器之间输入和输出之间的关系。
传递函数具有标准的形式，通常用有理多项式表达。
三、拉普拉斯变换拉普拉斯变换是将微分方程转化为代数方程的重要工具。
在自动控制原理中，拉普拉斯变换被广泛应用于建立系统的传递函数模型。
掌握拉普拉斯变换的性质和运算规则对于分析和设计控制系统至关重要。
四、系统稳定性分析系统稳定性是自动控制原理中的核心概念之一。
稳定的控制系统能够在受到不同干扰或输入条件变化的情况下保持稳定。
常见的稳定性分析方法包括根轨迹法、Nyquist法、Bode图法等，它们通过评估系统极点的位置和包络曲线的特性来判断系统的稳定性。
五、系统响应分析系统响应分析常用于评估系统的性能。
主要包括时间域响应和频率域响应两种分析方法。
时间域响应分析关注系统的稳定性、过渡过程和超调量等参数，而频率域响应分析则关注系统的频率特性和频响曲线等。
六、PID控制器PID控制器是自动控制原理中最常用的控制器之一。
PID控制器包含比例、积分和微分三个控制项，可以通过调整这三个参数来实现对系统的控制。
掌握PID控制器的设计和参数调节方法对于设计稳定、快速响应的控制系统至关重要。
七、状态空间分析状态空间分析是一种现代控制理论中常用的分析方法。
它将控制系统表示为多个状态变量和输入、输出之间的关系。
状态空间模型更直观地描述了系统的动态特性，并且可以方便地进行系统特性分析和控制器设计。
总结：自动控制原理数学模型分析是自动控制领域中的基础知识之一。
自动控制原理(数学模型)精选全文完整版
t 0
s
证明：由微分定理 df (t) estdt s F (s) f (0)
0 dt
lim df (t) estdt lim s F (s) f (0)
s 0 dt
s
左 df (t) limestdt 0 0 dt s
lim
s
s F(s)
f (0 )
0
f
二、非线性系统微分方程的线性化
例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
y( x ) E0 cos[x(t )]
解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数
y( x)
y(x0)
y( x0 )( x
x0 )
1 2!
y( x0 )( x
x0 )2
取一次近似，且令
y(x) y(x) y(x0) E 0 sin x0 ( x x0 )
1
s(s a)( s b)
f
lim
s0
s
ss
1
as
b
1 ab
例12
Fs
s2
ω ω2
f sinωt t
lim s
s0
s2
ω ω2
0
3 用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y(t) a1 y(t) a2 y(t) 1(t)
y(0) y(0) 0
L变换
(s2
a1s
a2 )Y (s)
0
1 1
1 1 2 j
2j
s
j
s
j
2j
s2
2
s2
2
2 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 La f1(t) b f2(t) a F1(s) b F2(s)
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G2 ( s)
C (s)
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23
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《自动控制原理》 自动控制原理》
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讨论( 讨论(一)
G3 ( s )
讨论( 讨论(二)
3
讨论( 讨论(三)
R( s)
G1
−H
-1
G2
Hale Waihona Puke C (s)根据信号流图求C(s)/R(s) C(s)/R(s)
传递函数总结
典型环节传递函数
P21
建立数学模型一般方法
一阶RC 网络数学模型 一阶RC网络数学模型 RLC网络 RLC网络 P15 弹簧弹簧-质量质量-阻尼机器机械位移系统
步骤： （1）确定输入输出变量 （2）根据相应的物理定律列写方程 （3）消除中间变量 （4）增量化、线性化处理 （5）写成标准形式
《自动控制原理》 自动控制原理》
微分环节? 微分环节?
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《自动控制原理》 自动控制原理》
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《自动控制原理》 自动控制原理》
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线性化
系统结构图
系统结构图
《自动控制原理》 自动控制原理》
20132013-9-2
《自动控制原理》 自动控制原理》
信号流图思考例1 信号流图思考例1
信号流图思考例2 信号流图思考例2
《自动控制原理》 自动控制原理》
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信号流图例子
误差传递函数
误差传递函数
小 结
讨论( 讨论(一)
(1) 画出系统信号流图； (2) 求系统的闭环传递函数 C(s)/R(s)
G3 ( s )
讨论
R( s)
G1 ( s )
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《自动控制原理》 自动控制原理》
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系统结构图
信号流图与梅森公式
信号流图与梅森公式
例
《自动控制原理》 自动控制原理》
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信号流图与梅森公式
3
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快速浏览找出
微分方程的建立（P15,例2-2）
自动控制原理
楼旭阳
传递函数定义
二、数学模型
典型环节的传递函数 串联、并联、反馈三种基本等效变换 何为梅森增益公式 ?
重点
9专业：自动化1102 9地点：周二/周四(1-2节) 1A216
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z 建立微分方程模型 z 信号流图及梅森公式应用
数学模型 数学模型是分析、设计控制系统的基础
微分方程 传递函数 结构图 信号流图 根轨迹
引例
传递函数定义？ 传递函数性质？
P19 P20
关键一条：只取决于系统结构和参数
如何建立？分析法、实验法(辨识法)
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G1G2 + G1 + G3G2 C (s) = R ( s ) 1 + G1G2 + G1 H + G3G2 + G1
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讨论( 讨论(三)续