求函数零点的方法-二分法

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2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法

当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根函数没有零点
例2：已知函数 y x3 2x 2x 2
（1）求此函数的零点，并画出它的图象；
所以已知函数的零点为-1，1，2
在这四个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：
x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 …
方程 f (x) 0的实数根
函数 y f (x) 的图象与 x 轴交点的横
坐标
对于二次函数 y ax2 bx c
当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根函数有两个零点当 b2 4ac 0时，方程有两个相等实数根函数有一个二重的零点或二阶零点
ห้องสมุดไป่ตู้C x=3
D -1和3
如何求函数的零点
求对应方程的根
例1 求函数 y x2 2x 3的零点，并画出其图象，分别指出y>0时，y<0时，x的取值范围。
（1）当函数图象通过且穿过x 轴时，函数值变号（2）两个零点把x轴分成三个区间，每个区间上的函数值保持同号
函数 y f (x) 的零点
2.4.1函数的零点
• 下面的二次函数，当x取何值时，函数值为零？
• 定义：一般地，如果函数 y f (x) 在实数
处的值等于零，即 f () 0 ，则叫做这个函
数的零点。在坐标系中表示图象与x轴的公共点
是 ,0
练习：函数y=x2-2x-3的零点是（ D ）
A （-1，0），（3，0） B x=-1
y … -4.38 0 1.88 2 1.13 0 -0.63 0 2.63 …
在直角坐标系内描点连线，画出此函数的图象。

高中数学二章函数2.4函数与方程2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法二分法

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法—二分法整体设计教学分析求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难．本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用．用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算．在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步．三维目标1．让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法．2．了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想．3．回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣．重点难点教学重点：用二分法求方程的近似解．教学难点：二分法．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价．生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价．如果低了，每隔50元上升报价；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活中我们也常常利用这种方法．譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障(相距大约3 500米)．电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生3那样来检测呢？生：(齐答)按照生3那样来检测．师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法)．思路2.(事例导入)有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好．(让同学们自由发言，找出最好的办法)解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球．第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球．第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球．其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？推进新课新知探究提出问题①解方程2x －16＝0.②解方程x 2－x －2＝0.③解方程x 3－2x 2－x ＋2＝0.④解方程x 2－2x 2－3x ＋2＝0.⑤我们知道，函数f x ＝lnx ＋2x －6在区间2，3内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？⑥“取中点”后，怎样判断所在零点的区间？ ⑦什么叫二分法？⑧试求函数f x ＝lnx ＋2x －6在区间2，3内零点的近似值.⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.,⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点. 讨论结果： ①x＝8.②x＝－1，x ＝2.③x＝－1，x ＝1，x ＝2 ④x＝－2，x ＝2，x ＝1，x ＝2.⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．〔“取中点”，一般地，我们把x ＝a ＋b 2称为区间(a ，b)的中点〕⑥比如取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)＜0，因为f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在区间(2.5,3)内．⑦对于在区间[a ，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y ＝f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值．像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．⑧因为函数f(x)＝lnx ＋2x －6，用计算器或计算机作出函数f(x)＝lnx ＋2x －6的对应值表． x 1 2 3 4 5 6 789f(x)－4－1.306 91.098 63.386 35.609 47.791 89.945 9 12.079 4 14.197 2由表可知，f(2)＜0，f(3)＞0，则f(2)·f(3)＜0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点x 0，取区间(2,3)的中点x 1＝2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084，因为f(2.5)·f(3)＜0，所以x 0∈(2.5,3)．同理，可得表(下表)与图象(如下图)．区间中点的值中点函数近似值(2,3) 2.5 －0.084 (2.5,3) 2.75 0.512 (2.5,2.75) 2.625 0.215 (2.5,2.625) 2.562 5 0.066 (2.5,2.562 5) 2.531 25 －0.009 (2.531 25,2.562 5)2.546 8750.029(2.531 25,2.546 875) 2.539 062 5 0.010 (2.531 25,2.539 062 5)2.535 156 250.001由于(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表)．这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5－2.531 25|＝0.007 812 5＜0.01，所以，我们可以将x ＝2.531 25作为函数f(x)＝lnx ＋2x －6零点的近似值．⑨用二分法求函数零点的一般步骤如下：第一步在D 内取一个闭区间[a 0，b 0] D ，使f(a 0)与f(b 0)异号，即f(a 0)·f(b 0)＜0.零点位于区间[a 0，b 0]中．第二步取区间[a 0，b 0]的中点(如下图)，则此中点对应的坐标为x 0＝a 0＋12(b 0－a 0)＝12(a 0＋b 0)．计算f(x 0)和f(a 0)，并判断：(1)如果f(x 0)＝0，则x 0就是f(x)的零点，计算终止；(2)如果f(a 0)·f(x 0)＜0，则零点位于区间[a 0，x 0]中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0； (3)如果f(a 0)·f(x 0)＞0，则零点位于区间[x 0，b 0]中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0. 第三步取区间[a 1，b 1]的中点，则此中点对应的坐标为x 1＝a 1＋12(b 1－a 1)＝12(a 1＋b 1)．计算f(x 1)和f(a 1)，并判断：(1)如果f(x 1)＝0，则x 1就是f(x)的零点，计算终止；(2)如果f(a 1)·f(x 1)＜0，则零点位于区间[a 1，x 1]上，令a 2＝a 1，b 2＝x 1； (3)如果f(a 1)·f(x 1)＞0，则零点位于区间[x 1，b 1]上，令a 2＝x 1，b 2＝b 1. ……继续实施上述步骤，直到区间[a n ，b n ]，函数的零点总位于区间[a n ，b n ]上，当a n 和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y ＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y ＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．应用示例思路1例1求函数f(x)＝x 3＋x 2－2x －2的一个正实数零点(精确到0.1)．解：由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝6＞0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间．用二法逐步计算，列表如下：端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间 a 0＝1，b 0＝2 f(1)＝－2，f(2)＝6 [1,2] x 0＝(1＋2)/2＝1.5 f(x 0)＝0.625＞0 [1,1.5] x 1＝(1＋1.5)/2＝1.25 f(x 1)＝－0.984＜0 [1.25,1.5] x 2＝(1.25＋1.5)/2＝1.375 f(x 2)＝－0.260＜0 [1.375,1.5] x 3＝(1.375＋1.5)/2＝1.437f(x 3)＝0.162＞0[1.375,1.437 5]1.4，因此1.4就是所求函数的一个正实数零点的近似值．函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的图象如下图．实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．点评：以上求函数零点的二分法，对函数图象是连续不间断的一类函数的零点都有效．如果一种计算方法对某一类问题(不是个别问题)都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法．算法是刻板的、机械的，有时要进行大量的重复计算，算法的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总会算出结果．算法更大的优点是，它可以让计算机来实现．例如，我们可以编写程序，快速地求出一个函数的零点．有兴趣的同学，可以在“Scilab”界面上调用二分法程序，对上例进行计算，求出精确度更高的近似值．本套书的一个重要特点是，引导同学们认识算法思想的重要性，并希望同学们在学习前人算法的基础上，去寻求解决各类问题的算法．在思路2例1求方程2x3＋3x－3＝0的一个实数解(精确到0.01)．解：考察函数f(x)＝2x3＋3x－3，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间．经试算，f(0)＝－3＜0，f(2)＝19＞0，所以函数f(x)＝2x3＋3x－3在[0,2]内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在[0,2]内有解．取[0,2]的中点1，经计算，f(1)＝2＞0，又f(0)＜0，所以方程2x3＋3x－3＝0在[0,1]内有解．3至此，可以看出，区间[0.742 187 5,0.744 140 625]内的所有值，若精确到0.01，都是0.74.所以0.74是方程2x3＋3x－3＝0精确到0.01的实数解．点评：利用二分法求方程近似解的步骤：①确定函数f(x)的零点所在区间(a，b)，通常令b－a＝1；②利用二分法求近似解.，发现x1∈(2,2.5)(如上图)，这样可以进一步缩小，先画出函数图象的简图，如上图．＝2＞0，x2－2x－1＝0有一解，记为x1.，因为f(2.5)＝0.25＞0，所以2＜x＜2.5.知能训练1．函数f(x)＝x3－2x2－x＋2的零点个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案：D2．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真币完全相同的假币(重量轻一点)，现在只有一台天平，请问：应用二分法的思想，最多称__________次就可以发现这枚假币？解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币在轻的那13枚金币里面；将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，放在天平上，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚就是假币，若不平衡，则轻的那一枚就是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．答案：43．求方程x 3－3x －1＝0的一个正的近似解(精确到0.1)．解：设f(x)＝x 3－3x －1，设x 1为函数的零点，即方程x 3－3x －1＝0的解．作出函数f(x)＝x 3－3x －1的图象如下图．因为f(1)＝－3＜0，f(2)＝1＞0，所以在区间(1,2)内方程x 3－3x －1＝0有一个解，记为x 1.取1与2的平均数1.5，因为f(1.5)＝－2.125＜0，所以1.5＜x 1＜2.再取2与1.5的平均数1.75，因为f(1.75)＝－0.890 625＜0，所以1.75＜x 1＜2. 如此继续下去，得f(1)＜0，f(2)＞0 ⇒x 1∈(1,2)， f(1.5)＜0，f(2)＞0 ⇒x 1∈(1.5,2)， f(1.75)＜0，f(2)＞0 ⇒x 1∈(1.75,2)， f(1.875)＜0，f(2)＞0 ⇒x 1∈(1.875,2)，f(1.875)＜0，f(1.937 5)＞0 ⇒x 1∈(1.875,1.937 5)，因为区间[1.875,1.937 5]内的所有值，如精确到0.1都是1.9，所以1.9是方程x 3－3x －1的实数解．拓展提升从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为多少？(此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识) 答案：至少需要检查接点的个数为4. 课堂小结①掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用． ②思想方法：函数方程思想、数形结合思想．作业课本习题2—4 A 7.设计感想 “猜价格”的游戏深受人们的喜欢，它是二分法的具体应用，用它引入拉近了数学与生活的距离．二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用．本节设计紧紧围绕这两个中心展开，充分借助现代教学手段，用多种角度处理问题，使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性．备课资料基本初等函数的零点个数结合基本初等函数的图象得：①正比例函数y ＝kx(k≠0)仅有一个零点0； ②反比例函数y ＝kx (k≠0)没有零点；③一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)仅有一个零点；④二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，当Δ＞0时，二次函数有两个零点－b ±Δ2a ；当Δ＝0时，二次函数仅有一个零点－b2a；当Δ＜0时，二次函数无零点．。

高中数学：2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法

2．4．2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法1．了解变号零点与不变号零点的概念．2．理解函数零点的性质．3．会用二分法求近似值．1．函数零点的性质如果函数y＝f(x) 在区间[a，b]上的图象是不间断的曲线，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)·f(b)<0，那么这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0，若函数图象通过零点时穿过x轴，这样的零点称为变号零点，如果没有穿过x轴，则称为不变号零点．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．3．用二分法求函数 f (x ) 零点近似值的步骤给定精确度(1)确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0； (2)求区间(a ，b )的中点 x 1；(3)计算 f (x 1)；①若f (x 1)＝0，则 x 1 就是函数的零点；②若f (a )·f (x 1)<0，则令 b ＝x 1 (此时零点 x 0∈(a ，x 1))；③若f (x 1)·f (b )<0，则令a ＝x 1(此时零点 x 0∈(x 1，b ))．(4)判断是否达到精确度，即若|a －b |<，则得到零点近似值 a (或 b )；否则重复 (2)～(4)．1．函数f (x )＝x 3－2x 2＋3x －6在区间[－2，4]上的零点必属于区间( ) A ．[－2，1] B ．⎣⎡⎦⎤52，4 C ．⎣⎡⎦⎤1，74 D ．⎣⎡⎦⎤74，52解析：选D ．由于f (－2)<0， f (4)>0，f (－2＋42)＝f (1)<0，f (1＋42)＝f (52)>0， f (1＋522)＝f (74)<0，所以零点在区间⎣⎡⎦⎤74，52内．2．用二分法研究函数f (x )＝x 2＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0．5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次计算________．以上横线应填的内容分别是( )A ．(0，0．5) f (0．25)B ．(0，1) f (0．25)C ．(0．5，1) f (0．75)D ．(0，0．5) f (0．125)解析：选A ．因为f (0)<0，f (0．5)>0，所以函数f (x )的一个零点x 0∈(0，0．5)，第二次计算f ⎝⎛⎭⎫0＋0.52＝f (0．25)．3．函数的零点都能用“二分法”求吗？解：不一定．例如：函数y ＝x 2的零点为x ＝0，但不能用二分法求解．判断函数在某个区间内是否有零点(1)指出方程 x 5－x －1＝0 的根所在的大致区间；(2)求证：方程x3－3x＋1＝0 的根一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(0，1)内，另一个在区间(1，2)内．【解】(1)方程x5－x－1＝0，即x5＝x＋1，令F(x)＝x5－x－1，y＝f(x)＝x5，y＝g(x)＝x＋1．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图象如图，显然它们只有1 个交点．两函数图象交点的横坐标就是方程的解．又F(1)＝－1<0，F(2)＝29>0，所以方程x5－x－1＝0 的根在区间(1，2)内．(2)证明：令F(x)＝x3－3x＋1，它的图象一定是不间断的，又F(－2)＝－8＋6＋1＝－1<0，F(－1)＝－1＋3＋1＝3>0，所以方程x3－3x＋1＝0 的一根在区间(－2，－1)内．同理可以验证F(0)·F(1)＝1×(－1)＝－1<0，F(1)·F(2)＝(－1)×3＝－3<0，所以方程的另两根分别在区间(0，1)和(1，2)内．本题考查的是如何判断方程的根所在的大致区间问题，它是用二分法求方程近似解的前提．对于连续的函数可以多次验证某些点处的函数值的符号是否异号；若异号，则方程的解在以这两数为端点的区间内，这种方法需多次尝试，比较麻烦．另外在这个区间内也不一定只有一个解．已知f(x) 为偶函数，且当x≥0 时，f(x)＝(x－1)2－1，求函数f(x)的零点，并判断哪些零点是变号零点，哪些零点是不变号零点．解：因为x≥0 时，f(x)＝(x－1)2－1，而当x<0 时，－x>0，所以f(－x)＝(－x－1)2－1，而f(x) 为偶函数，则f(－x)＝f(x)，所以 f (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2－1（x ≥0），（x ＋1）2－1（x <0）.解方程 (x －1)2－1＝0，得 x 1＝0，x 2＝2．解方程 (x ＋1)2－1＝0，得 x 1＝0，x 2＝－2，故函数 f (x ) 共有 3 个零点为－2，0，2，如图所示，可知函数 f (x )的变号零点为－2，2，不变号零点为 0．用二分法求方程近似解用二分法求函数f(x)＝x3－x－2的一个正实数零点(精确到0．1)．【解】由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，具体如表．1．5，所以1．5可作为所求函数的一个正实数零点的近似值．用二分法求函数零点的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使其长度尽量小，其次要依据条件给定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算．借助计算器，用二分法求方程(x＋1)(x －2)(x－3)＝1在区间(－1，0)内的近似解(精确到0．1)．解：令f(x)＝(x＋1)(x－2)(x－3)－1，由于f(－1)＝－1<0，f(0)＝5>0，可取区间[－1，0]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：5－0．9即为区间(－1，0)内的近似解．1．函数零点判定定理的应用判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x) 在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f(a)·f(b)<0，若存在，那么函数y＝f(x) 在区间(a，b)内必有零点．对于函数f(x)，若满足f(a)·f(b)<0，则f(x) 在区间[a，b]内不一定有零点，反之，f(x) 在区间[a，b]内有零点也不一定有f(a)·f(b)<0，如图所示．即此方法只适合变号零点的判断，不适合不变号零点．2．二分法的使用条件和范围(1)二分法的理论依据：如果函数y＝f(x)是连续的，且f(a)与f(b)的符号相反(a<b)，那么方程f(x)＝0至少存在一个根在(a，b)之间．(2)用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．(3)每一次二分有根区间(a，b)为两个小区间，区间的长度都是原来区间长度的一半．用零点存在性定理判断函数的零点时，两个条件是缺一不可的．因此，在判断已知函数在区间上的零点是否存在时，应首先确定图象是不间断的．1．下列函数中能用二分法求零点的是()解析：选C．由二分法的定义知．2．设f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内() A．至少有一实根B．至多有一实根C．没有实根D．必有唯一实根答案：D3．下面关于二分法的叙述，正确的是________．①用二分法可求所有函数零点的近似值；②用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；③二分法无规律可循，无法在计算机上完成；④只有在求函数零点时才用二分法．答案：②4．设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不间断曲线，且f (a )·f (b )<0，取x 0＝a ＋b2，若f (a )·f (x 0)<0，则利用二分法求方程根时取有根区间为________．解析：利用二分法求方程根时，根据求方程的近似解的一般步骤，由于f (a )·f (x 0)<0，则[a ，x 0]为新的区间．答案：[a ，x 0][A 基础达标]1．函数f (x )＝x 3－3x －3有零点的区间是( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2)D ．(2，3)解析：选D ．因为f (2)·f (3)＝(8－6－3)·(27－9－3)＝－15<0，所以f (x )有零点的区间是(2，3)．2．如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点，给出下列四个区间中，存在不能用二分法求出的零点，则该零点所在的区间是( )A ．[－2．1，－1]B ．[1．9，2．3]C ．[4．1，5]D ．[5，6．1]解析：选B ．由不变号零点的特征易判断该零点在[1．9，2．3]内． 3．方程2x 3－4x 2＋7x －9＝0在区间[－2，4]上的根必定属于区间( ) A ．(－2，1) B ．(52，4)C ．(π4，1)D ．(1，74)解析：选D ．设f (x )＝2x 3－4x 2＋7x －9，由f (1)·f (74)<0知选D ．4．已知函数f (x )与g (x )满足的关系为f (x )－g (x )＝－x －3，根据所给数表，判断f (x )的一个零点所在的区间为( )A ．(－1，0) C ．(1，2)D ．(2，3)解析：选C ．由列表可知f (1)＝g (1)－1－3＝2．72－4＝－1．28，f (2)＝g (2)－2－3＝7．39－5＝2．39，所以f (1)·f (2)<0．所以f (x )的一个零点所在的区间为(1，2)．5．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正整零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1．2B ．1．3C ．1．4D ．1．5解析：选C ．由零点的定义知，方程的根所在区间为[1．406 25，1．437 5]，故精确到0．1的近似根为1．4．6．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，则a ，b 的关系是________．解析：因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法，所以函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴相切，所以Δ＝a 2－4b ＝0，所以a 2＝4b ．答案：a 2＝4b7．方程x 3＝2x 精确到0．1的一个近似解是________．解析：令f (x )＝x 3－2x ，f (1)＝－1<0，f (2)＝4>0，所以在区间[1，2]上求函数f (x )的零点，即为方程x 3＝2x 的一个根，依照二分法求解得x ＝1．4．答案：1．48．某方程有一无理根在区间D ＝(1，3)内，若用二分法求此根的近似值，则将D 至少等分________次后，所得近似值的精确度为0．1．解析：由3－12n ≤0．1，得2n ≥20，n >4，故至少等分5次．答案：59．分别求出下列函数的零点，并指出是变号零点还是不变号零点． (1)f (x )＝3x －6； (2)f (x )＝x 2－x －12； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1； (4)f (x )＝(x －2)2(x ＋1)x ．解：(1)零点是2，是变号零点． (2)零点是－3和4，都是变号零点． (3)零点是1，是不变号零点．(4)零点是－1，0和2，其中变号零点是0和－1，不变号零点是2． 10．已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋1(1)证明方程f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f (x )＝0(x ∈[0，2])的实数解x 0在哪个较小的区间内．解：(1)证明：因为f (0)＝1>0，f (2)＝－13<0，所以f (0)·f (2)<0，由函数的零点存在性定理可得方程 f (x )＝0在区间(0，2)内有实数解． (2)取x 1＝12(0＋2)＝1，得f (1)＝13>0，由此可得f (1)·f (2)<0，下一个有解区间为(1，2)．再取x 2＝12(1＋2)＝32，得f ⎝⎛⎭⎫32＝－18<0，所以f (1)·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫1，32．再取x 3＝12⎝⎛⎭⎫1＋32＝54，得f ⎝⎛⎭⎫54＝17192>0，所以f ⎝⎛⎭⎫54·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫54，32．综上所述，得所求的实数解x 0在区间⎝⎛⎭⎫54，32内．[B 能力提升]11．若函数f (x )的图象在R 上连续不断，且满足f (0)<0，f (1)>0，f (2)>0，则下列说法正确的是()A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点解析：选C．根据零点存在性定理，由于f(0)·f(1)<0，f(1)·f(2)>0，所以f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上无法确定，可能有，也可能没有，如图所示：12．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：则f(x解析：由于f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，故f(x)的零点个数至少有3个．答案：313．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子．则：(1)维修线路的工人师傅怎样工作最合理？(2)算一算要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m 左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？解：(1)如图，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此只要7 次就够了．14．(选做题)求方程3x2－4x－1＝0的根的近似值．解：令f(x)＝3x2－4x－1，列出x，f(x)的一些对应值如下表：00若x0∈[－1，0]，取区间[－1，0]的中点x1＝－0．5，则f(－0．5)＝1．75，因为f(－0．5)·f(0)<0，所以x0∈[－0．5，0]．再取区间[－0．5，0]的中点x2＝－0．25，则f(－0．25)＝0．187 5，因为f(－0．25)·f(0)<0，所以x0∈[－0．25，0]．同理，可得x0∈[－0．25，－0．125]，x0∈[－0．25，－0．187 5]，x0∈[－0．218 75，－0．187 5]，区间[－0．218 75，－0．187 5]的左、右端点精确到0．1所取的近似值都是－0．2．所以把x0＝－0．2作为方程3x2－4x－1＝0的一个根的近似值．同理，若x0∈[1，2]时，方程的根的近似值为1．5．2±7综上，方程3x2－4x－1＝0的根的精确值为x1，2＝3，近似值为－0．2或1．5．。

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法

2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法【学习目标】1.了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在．2.会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤．【重点】了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在．【难点】会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤．【基础自测】1．零点存在的判定方法条件：y＝f(x)在[a，b]上的图象不间断，f(a)·f(b)<0.结论：y＝f(x)在[a，b]上至少有一个零点，即存在x0∈(a，b)使f(x0)＝0.2．零点的分类3．二分法(1)定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法．(2)求函数零点的一般步骤已知函数y＝f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．用二分法求此函数零点的一般步骤为：①在D内取一个闭区间[a0，b0]⊆D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)＜0，零点位于区间[a0，b0]中．②取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的坐标为x0＝a0＋b02.计算f(x0)和f(a0)，并判断：a．如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止．b．如果f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0. c．如果f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.③取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为x1＝a1＋b12.计算f(x1)和f(a1)，并判断：a．如果f(x1)＝0，则x1就是f(x)的零点，计算终止．b．如果f(a1)·f(x1)＜0，则零点位于区间[a1，x1]上，令a2＝a1，b2＝x1.c．如果f(a1)·f(x1)＞0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1.……继续实施上述步骤，直到区间[a n，b n]，函数的零点总位于区间[a n，b n]上，当区间的长度b n－a n不大于给定的精确度时，这个区间[a n，b n]中的任何一个数都可以作为函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．思考：二分法需要注意的问题有哪些？[提示]用二分法求方程近似解应注意的问题为：①看清题目的精确度，它决定着二分法步骤的结束．②在没有公式可用来求方程根时，可联系相关函数，用二分法求零点，用二分法求出的零点一般是零点的近似解，如求f(x)＝g(x)的根，实际上是求函数y＝f(x)－g(x)的零点，即求曲线y＝f(x)与y＝g(x)交点的横坐标．③并不是所有函数都可用二分法求零点，必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＜0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值．一、二分法的概念(1)已知函数f(x)的图象如图2-4-2所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4 D．4,3(2)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．图2-4-2[规律方法] 二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点，因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.[跟踪训练] 1．下面关于二分法的叙述，正确的是( ) A ．用二分法可求所有函数零点的近似值B ．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C ．二分法无规律可循D ．只有在求函数零点时才用二分法二、函数零点类型的判定判断下列函数是否有变号零点：(1)y ＝x 2－5x －14； (2)y ＝x 2＋x ＋1；(3)y ＝－x 4＋x 3＋10x 2－x ＋5； (4)y ＝x 4－18x 2＋81.[规律方法] 图象连续不间断的函数f （x ）在[a ，b]上，若f （a ）·f （b ）<0，则函数f （x ）在该区间上至少有一个变号零点，也就是可能有多个变号零点，还可能有不变号零点，但至少有一个变号零点是肯定的.这一结论可直接应用于函数变号零点判定之中提醒：1当fa ·f b＞0时，不要轻率地判定f x 在a ，b 上没有零点，如fx ＝x 2－2x ＋12，有f0·f 2＝14＞0，但x ＝1±22∈0，2是fx的两个变号零点2初始区间的选定一般在两个整数间，如3选的是0和5.[跟踪训练] 2．对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )>0，f (b )>0，则函数f (x )在区间(a ，b )内( )A ．一定有零点B ．一定没有零点C ．可能有两个零点D ．至多有一个零点三、用二分法求方程的近似解 [探究问题]1．函数y＝f(x)的零点与方程f(x)＝0的解有何关系？提示：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解．2．如何把求方程的近似解转化为求函数零点的近似解？提示：设方程为f(x)＝g(x)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求方程f(x)＝g(x)的近似解问题就可转化为求函数F(x)＝f(x)－g(x)零点的近似解问题．用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1)．[规律方法] 1.根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．2．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．[跟踪训练] 3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是() A．[－2,1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2]1．下列函数中能用二分法求零点的是()2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是()A．|a－b|<0.1B．|a－b|<0.001C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.0013．图象连续不间断的函数f(x)的部分对应值如表所示4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：5．指出方程x3－2x－1＝0的正根所在的大致区间；一、选择题1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是()A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关2．已知连续函数f(x)的部分对应值如下表：则函数f(x)在区间[1,9]上的零点至少有() 【导学号：60462178】A．2个B．3个C．4个D．5个3．函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2,4]上的零点必定属于()A．[－2,1] B．[2.5,4] C．[1,1.75] D．[1.75,2.5]4．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为() A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.65．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内二、填空题6．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号) 【导学号：60462179】①(－∞，1]②[1,2]③[2,3]④[3,4]⑤[4,5]⑥[5,6]⑦[6，＋∞)8．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表：①函数f(x)在区间(－1,0)内有零点；②函数f(x)在区间(2,3)内有零点；③函数f(x)在区间(5,6)内有零点；④函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．三、解答题9．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a＜0)在区间(0,1)上有零点，求实数a的取值范围.10．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解(精确度为0.1)[冲A挑战练]一、选择题1．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一实根0，则f(－1)·f(1)的值()A．大于0B．小于0 C．等于0 D．无法判断2．下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的叙述中，正确的个数为()①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．A．0 B．1 C．3 D．4二、填空题3．下面是连续函数f(x)在[1,2]上的一些函数值，如表：4．已知f(x)的一个零点x0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为________.三、解答题5．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．。

2.4.2求函数零点近似解的一种方法——二分法

bqr6401@
通高
它的两个端点处的函数值异号，即 f (a) • f (b) 0
中则，这个函数在这个区间上至少有一个零点，即
课程
存在一点 x0 (a,b) 使得 f (x0 ) 0 。不变号零点
标准如果函数图像通
y
过零点时没有穿
过x轴，则成这 a
样的零点叫不变 x0 b
x1
号零点。
bqr6401@
y=2x
y
4
y=4-x
1
x
012 4
提问：能否不画图确定根所在的区间？
bqr6401@
四、应用举例
例1：利用计算器，求方程2x=4-x的近似解（精确到0.1）
解：设函数f (x)=2x+x-4
普则f (x)在R上是增函数∵f (0)= -3<0, f (2)=2>0
通 ∴ f (x)在(0,2)内有惟一零点，
普通高中课程标准
良乡中学数学组任宝泉 bqr6401@
书少成天勤劳才功山小才的就=有艰孩是不在苦子百路展分学于的勤之望劳习勤一为未动，的来径奋+老灵,正，感确学来努但，的懒百海徒力方惰分无法的之伤才+孩崖九少悲能子十苦谈享九成空作受的话现汗舟功在水！!！!!
普通高中课程标准数学1(必修)
普
区间
通
高
(2,3)
中
课
(2.5,3)
程
(2.5,2.75)
标
准
(2.5,2.625)
中点的值
2.5 2.75 2.625 2.5625
中点函数近似值
-0.084 0.512 0.215 0.066
区间长度

2014.11.18函数零点、二分法、任意角题型全总结

函数零点、二分法、任意角题型全总结题型一：求零点或零点的个数方法1、解方程：根据零点的定义，)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的根，所以方程0)(=x f 根的个数就是函数)(x f y =零点的个数.练：方程 f(x)=96370x x-∙-=的零点是例1、求函数2223+--=x x x y 的零点. 例2：(2010年福建理科)函数()⎩⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20,322x x x x x x f 的零点个数为( )A0 B1 C2 D3方法2数形结合：函数)((x g x h y -=）的零点,也就是)(x h y =图象)(x g y =图象交点横坐标,所以函数)((x g x h y -=）的零点个数就是)(x h y =图象与)(x g y =图象交点个数.例：(2012年北京文科)函数xx x f )21()(21-=的零点个数为( )A0 B1 C2 D3练：1、方程223x x -+=的实数解的个数为 _______ 。

（2）2、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（） 3、若函数a x a x f x --=)( (0>a 且1≠a )有两个零点，则实数a 的取值范围是 }1|{>a a4、（10浙江）已知0x 是函数()xx f x-+=112的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则（）A ．()01<x f ，()02<x f B ．()01<x f ，()02>x f C ．()01>x f ，()02<x f D ．()01>x f ，()02>x f5、直线y ＝1与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是。

6、已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是_______方法3、零点存在性定理例1、求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数. f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。

如何用二分法确定函数的零点

如何用二分法确定函数的零点函数y=f(x)的零点就是方程f (x)=0的实数根，亦即函数y=f(x)的图像与x 轴交点的横坐标．因此求函数的零点有两种基本方法，一是求方程f(x)=0的实数根；二是方程的根不易求解时，将它与函数y=f (x)的图像联系起来，根据函数零点的性质并结合函数的性质找出零点，即数形结合的思想方法，此时，要构造合理的函数，利用函数的图像的交点来判断．函数的性质是问题获解的关键，奇偶性保证函数的对称性，换句话说，函数的零点（除原点）是成对出现的．二分法不适合不变号零点的情况．例1．已知函数f(x)=x 3-x-1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是（） A.（3,4) B.（2,3) C.（1,2） D. (0,1)解析利用零点存在的判定条件，判断零点存在的区间．由于f(0)＝-1<0，f(1)＝-1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23＞0, f(4)=59>0.根据选择之只有区间(1,2)满足．答案C.例2.函数f(x)=lnx-x2零点所在的大致区间是（） A.（1,2) B.（2,3) C.(1,e1)和(3,4) D.(e,+∞)解析：用验证法.从已知的区间(a,b)求f(a)、f(b),判断是否有f(a).f(b)＜0. ∵f(1)=-2＜0,f(2)=ln2-1＜0,∴在(1,2)内f(x)无零点,故排除A. ∵f(3)=ln3-32＞1-32＞0∴f(2).f(3)＜0,∴f(x)在(2,3)内至少有一个零点.故选B. 答案：B点评: 确定零点所在区间，只要判断区间[a,b]的端点值的乘积是否有f(a)f(b)<0，并且看函数y=f(x)在[a,b]上是否是连续曲线．这里说“若f(a).f(b) <0，则在区间(a ，b)内，方程f(x)=0至少有一个实数解”，指出了方程f(x)=0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解．例3.用二分法求函数32()33f x x x x =+--的正零点（精确到0.01）．解：32()33f x x x x =+--22(1)3(1)(1)(3)x x x x x =+-+=+-(1)(0x x x =+=，∴函数的零点为1-，x =，23x =，令2()3f x x =-2()3f x x =-的零点， ∵(1)20f =-<，(2)10f =>，∴可取初始区间[12]，用二分法逐次计算．由0012n b a ε+->，知12121000.01n +->=，经验证，n 取最小值为6时，即经过6次取中点就能取得符合精确度要求的近似零点，列表如下：∵区间[1.718751.734375]，的长度小于20.010.02⨯=．于是函数()f x 的正零点为7 1.7265625x =．点评: 二分法求零点的基本方法是：第一步取初始区间[]a b ，，使()()0f a f b <，且所给区间恰好能找到函数的一个零点；第二步是取区间[]a b ，的中点1x ，求1()f x 的值，并作出判断，若1()0f x =，1x 就是所求零点，计算结束；若1()0f x ≠，判定零点是在区间1[]a x ，还是在1[]x b ，上，即判断1()()0f a f x <，1()()0f x f b <哪一个成立，从而进入下一步计算；第三步对已确定的区间，重复第二步，直到达到规定的误差要求，计算结束．。

2.4.2计算机函数零点的二分法_教案-湘教版必修一

函数零点计算方法——二分法【教学目标】通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件；了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用。

能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备。

【教学重难点】重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系。

难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解。

【教学过程】材料一：二分查找某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索，在最坏的情况下，需检索（）个单元。

Ａ.1000 Ｂ.10 Ｃ.100 Ｄ.500材料二：高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数)(x f y =的零点（即0)(=x f 的根），对于)(x f 为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）。

在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel ）和伽罗瓦（Galois ）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解。

同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算。

因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题。

二分法及步骤：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下：1．确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε；2．求区间a (，)b 的中点1x ；3．计算)(1x f ：○1若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点； ○2若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ○3若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）； 4．判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4．例题解析：例1．求函数22)(3--+=x x x x f 的一个正数零点（精确到1.0）。

教学设计4：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法数零点求解三法我们知道，如果函数y ＝f (x )在x ＝a 处的函数值等于零，即f (a )＝0，则称a 为函数的零点．本文现介绍函数零点求解三法．一、代数法例1 求函数f (x )＝x 2＋2x －3的零点．解令x 2＋2x －3＝0，Δ＝22－4×(－3)＝16>0，方程有两个不相等实数根．方法一因式分解法或试根法x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)或由f (x )＝x 2＋2x －3，试一试f (1)＝12＋2×1－3＝0， f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)－3＝0. 所以f (x )的零点为x 1＝1，x 2＝－3. 方法二配方法x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4＝0，所以x ＋1＝±2.所以零点x 1＝1，x 2＝－3. 方法三公式法x 1,2＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－2±42.所以零点x 1＝1，x 2＝－3.点评本题用了由求函数f (x )的零点转化为求方程f (x )＝0的实数根的办法．运用因式分解法或试根法、配方法、公式法，以上统称为代数法．二、图象法求函数y ＝g (x )－h (x )的零点，实际上是求曲线y ＝g (x )与y ＝h (x )的交点的横坐标，即求方程g (x )－h (x )＝0的实数解．三、用二分法求函数近似零点例2 用二分法求函数f (x )＝x 3－3的一个正零点(精确到0.01)．解由于f (1)＝－2<0，f (2)＝5>0，因此区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，如下表：因为1.445 312 5－1.437 5＝0.007 812 5<0.01，所以x 8＝1.437 5＋1.445 312 52≈1.44为函数的一个近似解．点评首先确定正零点所在的大致区间，区间长度尽量小，否则会增加运算次数和运算量，应注意运算的准确性，也应注意对精确度的要求．分法在经济和科学技术中的应用应用问题1：市场的供需平衡问题．详释：市场经济价格自行调整，若供过于求，价格会跌落，若供不应求，价格会上涨，找一个价格平衡点，应怎样找？不妨试着求一下．例 3 某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表1 市场供给表表2 )应在区间()A．(2.3,2.4)内B．(2.4,2.6)内C．(2.6,2.8)内D．(2.8,2.9)内解析由图表分析比较知，市场供需平衡点应在中间某个值，又供给量与需求量均为70×1 000 kg时，供给单价和需求单价相差最小为0.2，其他的均大于0.2，所以价格在(2.6,2.8)时最有可能达到供需平衡．答案C点评充分阅读题目，理解题意，把两表中的信息与题目要求结合起来，可找到答案．分法在日常生活中的应用应用问题2：运用二分法查线路故障．详释：在日常生活中，经常遇到电线或电话线、网线等出现故障．我们不妨用二分法排查一下．例 4 在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，你能帮他找到一个简便易行的方法吗？解如图所示，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，即一两根电线杆附近，这样只需查7次就可以了．点评有步骤地缩小解所在的区间，是二分法的重要数学思想，本题的实际问题也体现着这种思想．函数的零点错例剖析一、忽略了概念例5 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上连续，且f(a)·f(b)>0，则有结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)上不存在零点．判断该命题是否正确．错解正确．剖析对区间(a，b)上的连续函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则必存在零点；反之，则不然．正解无法判断是否存在零点及零点个数问题．如函数f(x)＝x2，f(－1)＝f(1)＝1>0，而在区间(－1,1)上显然存在零点．故该命题不正确．点评 (1)函数y ＝f (x )的图象在区间(a ，b )上连续且有f (a )·f (b )<0，所得在(a ，b )上存在的零点叫做变号零点；有时曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点；(2)零点定理仅能判断当函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是连续曲线，并且f (a )·f (b )<0时，在(a ，b )上至少存在一个零点，而无法确定零点个数．二、忽略了分类讨论例6 若函数y ＝ax 2－2x ＋1只有一个零点，求实数a 的取值范围．错解由题意可得，实数a 所满足的条件为Δ＝4－4a ＝0，∴a ＝1.剖析没有对系数a 进行分类讨论，单从表象而误认为已知函数为二次函数．正解 (1)当a ＝0时，y ＝－2x ＋1，有唯一零点； (2)当a ≠0时，由题意可得Δ＝4－4a ＝0，解得a ＝1. 综上，实数a 的取值范围为a ＝0或a ＝1.点评对最高项字母系数分类讨论是重要且常见的题型，是分类讨论思想的主要体现之一．三、忽略了区间端点值例7 已知f (x )＝3mx －4，若在[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0，求实数m 的取值范围．错解因为在[－2,0]上存在x 0，使f (x 0)＝0，则f (－2)·f (0)<0，所以(－6m －4)·(－4)<0，解得m <－23.故实数m 的取值范围为(－∞，－23)．剖析本题的x 0在[－2,0]上可取到端点，即f (－2)·f (0)≤0.正解由f (－2)·f (0)≤0，解得m ≤－23.故实数m 的取值范围为(－∞，－23]．点评区间值要全部考虑到，做到不重不漏．四、图象应用例8 已知函数y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象如图所示，今考虑f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＋0.01，则方程f (x )＝0( )A．有三个实根B．当x<－1时恰有一实根C．当－1<x<0时恰有一实根D．当0<x<1时恰有一实根E．当x>1时恰有一实根错解将已知函数图象向上平移0．01个单位(如图所示)，即得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01的图象．故选B项．剖析肉眼观察无法替代严密的计算与推理，容易“走眼”．正解∵f(－2)<0，f(－1)>0，∴f(－2)·f(－1)<0，∴B项正确．又f(0)>0，∴C项错误．而f(0.5)<0，f(1)>0，∴f(x)＝0在区间(0,1)上有两个实根，则D项错误，E项也错，并且由此可知A项正确．故选A、B两项．点评应用数形结合思想处理方程问题，直观易懂，注意图象要力求精确；解答多项选择题，需逐项验证才可选出答案，解单选题时所用的排除法已无法奏效.函数与方程，唇齿相依函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程思想与函数思想密切相关，对于函数y＝f(x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f(x)的形式)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应牢牢掌握．下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例．一、判断方程解的存在性例1 已知函数f(x)＝3x3－2x2＋1，判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？分析可通过研究函数f(x)在[－1,0]上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解．解因为f(－1)＝3×(－1)3－2(－1)2＋1＝－4<0，f(0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.又因为函数f(x)＝3x3－2x2＋1的图象是连续的曲线，所以f(x)在[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．点评要判断f(x)＝0是否存在实根，即判断对应的连续函数y＝f(x)的图象是否与x轴有交点．因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．二、确定方程根的个数例2 若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个分析利用等价转化将方程根的问题化为函数的零点问题，再结合函数零点的性质进行判断．解析设g(x)＝f(x)－1，则由f(－6)>1，f(6)<1得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，即g(－6)g(6)<0.因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)有一个零点．由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，易知当a>0时g(x)单调递增；当a<0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点．因此方程f(x)＝1仅有一个根．故选A.答案A点评在区间[a，b]上单调且图象连续的函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)内有惟一的零点．三、求参数的取值范围例3 已知一次函数y＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．分析将方程解的问题，转化为一次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式求得m的范围．解析因为一次函数f(x)在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，即函数f(x)在[－2,0]内有一个零点，所以f(－2)f(0)≤0.即(－4m＋4)(0＋4)≤0，解得m≥1.答案m≥1点评本题对方程实根的研究转化为对一次函数f (x )在[－2,0]上有一个零点的研究，最后建立关于m 的不等式求出m 的取值范围．整个解题过程充满了对函数、方程、不等式的研究和转化，充分体现了函数与方程的相互作用．巧用零点与方程根的关系求系数范围例4 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则( )A ．b ∈(－∞，0)B ．b ∈(0,1)C ．b ∈(1,2)D ．b ∈(2，＋∞)分析本题主要考查函数的零点及待定系数法，解答时从图中获取正确信息是解答的关键．解析方法一从图中可以得f (0)＝0，∴d ＝0，由图可知f (x )有三个零点，故可设函数的解析式是f (x )＝ax (x －1)(x －2)＝ax 3－3ax 2＋2ax .当x >2时，f (x )>0，因此a >0， ∵b ＝－3a ，∴b <0.方法二由f (0)＝0，得d ＝0，又∵f (1)＝0， ∴a ＋b ＋c ＝0① 又∵f (－1)<0，即－a ＋b －c <0 ②①＋②得2b <0，∴b <0. 答案 A例5 已知关于x 的方程2kx 2－2x －3k －2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k 的取值范围．分析若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，则由根的分布，函数f (x )的图象只能如图所示．对应的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，f 1<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f 1>0，解出即可．解令f (x )＝2kx 2－2x －3k －2，为使方程f (x )＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，f 1<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，f 1>0，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，2k －2－3k －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，2k －2－3k －2>0，解得k >0或k <－4.故k 的取值范围是k >0或k <－4.点评本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例．一般的，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想解决，使问题得到巧妙解决．二分法思想的应用“逐步逼近”是重要的数学思想，同学们现在学习的求方程近似解的“二分法”就充分运用了这一思想．“考察极端”、“化整为零”、“无限分割”等都是这一数学思想的具体体现．作为研究和解决问题的思想方法，“逐步逼近”渗透在中学数学的许多内容中，比如初中学习的圆面积公式，就是由正多边形“逐步逼近”圆推导的；又如两个集合相等，就是由集合间的子集关系“逼近”的(即A ⊆B 且B ⊆A ⇔A ＝B )；再如，由“有理数逼近无理数”使我们认识了实数指数幂等，在以后的学习中，我们还会看到这一思想的运用(如球的表面积和体积公式的推导)．下面通过“两边夹法则”的应用来体会和领悟“逐步逼近”思想的奥妙．两边夹法则：如果实数a ，b 满足a ≥b ，且b ≥a ，则a ＝b .例6 已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝ax ＋b .当a >0，－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1且g (x )的最大值为2，求f (x )．解 ∵a >0，∴g (x )＝ax ＋b 在[－1,1]上是增函数．又g (x )在[－1,1]上的最大值为2， ∴g (1)＝2，即a ＋b ＝2.①于是f (1)－f (0)＝2.由题设有－1≤f (0)＝f (1)－2≤1－2＝－1， ∴f (0)＝－1，从而c ＝－1. 又由题设知f (x )≥－1＝f (0)， ∴二次函数f (x )的对称轴为x ＝0，于是－b2a ＝0，得b ＝0，将其代入①，得a ＝2.∴f (x )＝2x 2－1.山重水复疑无路，柳暗花明又一村探索解题方法对一个数学问题的分析与求解是有过程的，谁都无法保证“一顺百顺”，特别是面对一些综合题更是如此．分析时“条条是道”，求解时却“处处碰壁”这些都是正常的．当我们的思维受挫时，该怎样处置倒是十分关键的．本文告诉你：注意分析细节，就会柳暗花明的，请看：题目：已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x 1<x 2且f (x 1)≠f (x 2)，求证：方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等的实根，且必有一根属于(x 1，x 2)．分析一：数形结合，从图象分析入手，分别作出两函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 与y 2＝12[f (x 1)＋f (x 2)]的图象，直观上可以看出两函数有两个不同的交点．方法一由于f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是二次函数，不妨设a >0，则函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上．而y 2＝12[f (x 1)＋f (x 2)]的图象呢？是一条平行于x 轴的直线．此直线与二次函数图象有两个不同的交点吗？由于f (x 1)与f (x 2)不是具体数值，无法肯定啊！思维受挫！分析细节：f (x 1)与f (x 2)是函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 分别在x 1，x 2处的函数值，这两个值与最小值有什么关系，由于f (x 1)≠f (x 2)，说明12[f (x 1)＋f (x 2)]一定比最小值大；若y 2的值就是最小值，此时，直线与抛物线相切于顶点，而12[f (x 1)＋f (x 2)]大于最小值，则y 2＝12[f (x 1)＋f (x 2)]与二次函数图象一定有两个不同的交点．又因为min{f (x 1)，f (x 2)}≤12[f (x 1)＋f (x 2)]≤max{f (x 1)，f (x 2)}，故必有一根属于(x 1，x 2)．分析二：通过方程的系数进行分析，计算方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]的“b 2－4ac ”，然后，再结合函数零点的存在定理．方法二由f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]，得2ax 2＋2bx ＋2c －f (x 1)－f (x 2)＝0. 那么Δ＝(2b )2－4×(2a )·[2c －f (x 1)－f (x 2)] ＝4[b 2－4ac ＋2af (x 1)＋2af (x 2)]．此式大于零吗？不能判断它是否大于零，又如何产生根的范围呢？思维又受挫！分析细节在上式中存在f (x 1)与f (x 2)，可否将其替换呢？于是Δ＝4[b 2－4ac ＋2a (ax 21＋bx 1＋c )＋2a (ax 22＋bx 2＋c )] ＝2(4a 2x 21＋4abx 1＋b 2)＋2(4a 2x 22＋4abx 2＋b 2)＝2(2ax 1＋b )2＋2(2ax 2＋b )2≥0.又x 1<x 2，得Δ>0，因此方程有两个不等的实根．又设g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)g (x 2)＝{f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]}·{f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]}＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2<0.说明g(x1)与g(x2)异号，即12[f(x1)＋f(x2)]∈[f(x1)，f(x2)]．故方程必有一根属于(x1，x2)．通过本例，我们可以看出：当思维受挫时，仔细去分析细节，通过细节使问题获解是重要的思维策略，有必要真正掌握.高考中的函数与方程函数与方程是高中数学的重要内容，尤其是二次函数与二次方程，它们有着密切的关系，函数可以看作方程，某些方程也可以看作是函数关系．在解决有关问题时，函数、方程常相互转化．本文精选历年高考试题为例加以说明．考点一函数转化为方程1．(上海高考)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1 (a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．分析抓住函数f(x)的不动点概念列出方程，即可解决问题(1)；利用方程恒有一个实数解的条件可解决问题(2)．解(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3.由题意知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3.故当a＝1，b＝－2时，f(x)的两个不动点为－1和3.(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1 (a≠0)恒有两相异不动点，∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1，即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两个相异的实数根，∴Δ＝b2－4ab＋4a>0 (b∈R)恒成立．于是Δ＝(4a)2－16a<0，解得0<a<1.故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，a的取值范围为0<a<1.点评本题中的新情境——不动点，它的实质就是方程f(x)＝x的根．考点二方程转化为函数2．(聊城模拟)若关于x的方程x2－3x＋a＝0两根中有一根在(0,1)之间，求实数a的取值范围．分析本问题可转化为函数y＝x2－3x＋a有两个零点，其中有一个在(0,1)内．那么，我们就可以借助函数的图象，利用函数在(m，n)内有零点的条件f(m)·f(n)<0，求a的取值范围．解根据题意，函数y ＝x 2－3x ＋a 有两个零点，其中有一个在(0,1)内，作函数y ＝x 2－3x ＋a 的大致图象，如图所示，则可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4a >0，f 0>0，f 1<0.解得0<a <2.故a 的取值范围是(0,2)．点评利用二次方程的根的分布求参数取值范围常利用数形结合思想确定条件．需从三个方面考虑：①判别式；②对称轴直线x ＝－b 2a与区间端点的关系； ③区间端点函数值的正负．考点三函数与方程的循环转化3．(浙江高考)若f (x )和g (x )都是定义在实数集R 上的函数，且方程x －f [g (x )]＝0有实数解，则g [f (x )]不可能是( )A ．x 2＋x －15B ．x 2＋x ＋15C ．x 2－15D ．x 2＋15 分析由于本题未知函数f (x )、g (x )的类型，试图用待定系数法去解决比较困难．故可采用较灵活的方法——逐一验证法．解析若g [f (x )]＝x 2＋x －15，不妨设f (x )＝x 2＋x －15，g (x )＝x ，由方程x －f [g (x )]＝0即得x 2－15＝0，显然，x 2－15＝0有解．故函数g [f (x )]有可能为x 2＋x －15. 若g [f (x )]＝x 2＋x ＋15，不妨设f (x )＝x 2＋x ＋15，g (x )＝x ，由方程x －f [g (x )]＝0，即得x 2＋15＝0.显然，x 2＋15＝0无解．故函数g [f (x )]不可能为x 2＋x ＋15. 对于C 、D 两答案，同理可得可能为g [f (x )]．答案 B点评本例求解过程是先将函数分拆成两个具体的函数，再转化为具体的方程，然后，通过研究方程的根的存在性转化为判断函数的可能性．考点四创新题4．设函数y ＝f (x )的定义域为实数集R ，如果存在实数x 0，使得x 0＝f (x 0)，那么x 0为函数y ＝f (x )的不动点，下列图象表示有且只有两个不动点的函数图象是( )分析函数的零点即为函数值为0时对应方程的解．因此求函数的零点常常等价于求函数图象交点的横坐标来解决．所以解决此类问题时首先要善于将问题转化到熟悉的情景中去．解析使x 0＝f (x 0)的解即为y ＝f (x )的图象和y ＝x 的交点的个数问题．观察图象易得结论．答案 B5．关于x 的方程(x 2－1)2－|x 2－1|＋k ＝0，给出下列四个论断：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根其中正确的个数是( )A ．0B ．4C ．2D ．3分析本题的命制立足函数与方程之间的内在联系，同时考察分类讨论和数形结合思想，要求同学们具有较强的分析问题和解决问题的能力．解题的突破口是从条件中等式的形式入手采用换元法将方程化为熟悉的一元二次方程，从而结合相应函数的图象进行处理．解析据题意可令x 2－1＝t (t ≥－1)，则方程化为|t |2－|t |＋k ＝0，即k ＝|t |－|t |2.作出y 1＝|t |－|t |2的图象如右图，平移y 2＝k 这一直线，结合函数的图象可知： ①当0<k <14时，t 有4个值，相应的x 有8个值． ②当k ＝14时，t 有2个值，相应的x 有4个值． ③当k ＝0时，t 有3个值，相应的x 有5个值．④当k <0时，t 有1个值，相应的x 有2个值．答案 B6．对于函数y ＝f (x )(x ∈D )其中D 为函数的定义域，若同时满足下列2个条件： ①y ＝f (x )在定义域内是单调函数；②存在区间[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域是[a ，b ]，那么把y ＝f (x )(x ∈D )称为闭函数．(1)求闭函数y ＝－x 3符合条件②的区间[a ，b ]；(2)判断函数f (x )＝－34x ＋1x，x ∈(0，＋∞)是否为闭函数，说明理由．分析首先以定义形式给出函数的一项性质，然后围绕此性质进行命题，其实质是对函数单调性的应用考察，其次是函数与方程的转化，数形结合解决有关二次函数根的问题．解 (1)因为y ＝－x 3是R 上的单调递减函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝b ，f b ＝a 且a <b ，即a ＝－b 3<b ，所以b >0.又－a 3＝b 9＝b ，故b ＝1，a ＝－1.所以该区间为[－1,1]．(2)由函数单调性的定义知，该函数在x ∈(0，＋∞)为单调减函数，若为闭函数，则存在x ∈[a ，b ]，值域为[a ，b ]．于是⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝b ，f b ＝a ，即⎩⎨⎧ f a ＝－34a ＋1a ＝b ，f b ＝－34b ＋1b ＝a .所以ab ＝4，得－34a ＋1a ＝4a，所以a 2＝－4与任意实数的平方是非负数相矛盾，所以不存在满足性质②的区间，故该函数不是闭函数．。

二分法求零点的条件

二分法求零点的条件
二分法求零点是一种常见的数值计算方法，其基本思想是通过反复缩
小函数零点所在的区间范围，最终找到函数的零点。

但是，为了保证
二分法的有效性和正确性，我们需要满足一些条件。

下面就对二分法
求零点的条件进行详细的介绍。

一、函数单调性
在使用二分法求解函数零点时，需要保证函数在待搜索的区间内具有
单调性。

也就是说，函数在该区间内单调递增或单调递减。

这是二分
法求解零点的基础，只有满足这个条件，才能准确地判断函数零点所
在的区间。

二、函数连续性
在使用二分法求解函数零点时，需要保证函数在待搜索的区间内连续。

也就是说，函数在该区间内不存在间断点或者跳跃点。

只有函数具有
连续性，才能使用二分法求解函数的零点，否则二分法会产生错误结果。

三、区间完备性
区间完备性表示待搜索的区间的起点和终点都在函数的定义域内，也
就是说，这个区间是函数所有零点所在的区间的一个超集合。

如果区
间不完备，则有可能会漏掉函数的某些零点，从而导致结果不准确。

四、零点唯一性
使用二分法求解函数零点时，需要保证函数的零点是唯一的。

否则，
二分法仅仅只能找到一个零点而无法找到另一个零点，从而导致结果
不准确。

如果函数有多个零点，可以将待搜索的区间根据零点的位置
分成若干个子区间进行搜索，最终找到所有的零点。

综上所述，二分法求解函数零点的条件包括函数单调性、函数连续性、区间完备性和零点唯一性，这些条件缺一不可。

只有在满足所有条件
的情况下，才能准确地应用二分法求解函数的零点。

计算函数零点的二分法

问题 1:如果是你,你知道接下来该如何竞猜吗?
答案
应猜 400 与 800 的中间值 600.
问题 2:通过这种方法能猜到具体价格吗?
答案能.
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课堂导学
如上所述,工人首先从线路的中点 C 查起,如果 CB 段正常,就选择 CA 的中点
D 测试;如果 DA 段正常,就选择 DC 的中点 E 继续测试……像检修线路所用的这
解.故选 A.
课前预学
方法总结
课堂导学
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据:其图象在零点附近是连
续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函
数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适合.
课堂导学
课前预学
【巩固训练】
已知函数 f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解零点的个数
分别为(
D
A.4,4
解析
).
B.3,4
C.5,4
D.4,3
图象与 x 轴有 4 个交点,所以零点的个数为 4;左、右函数值异号的零点
有 3 个,所以可以用二分法求解零点的个数为 3,故选 D.
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课堂导学
任务 2: 用二分法求函数零点的近似值
我们已经知道 f(x)=ln x+2x-6 的零点在区间(2,3)内.
2
交点的横坐标在区间(0,1)内,另一个交点的横坐标大于 4.
故函数 f(x)=log 1 x+x-4 有两个零点.
2
课堂导学
课前预学
因为 f(6)=log1 6+6-4=log 1 6+2<log 1 4+2=0,
2
2

课件3：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法

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中央电视台曾有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间．选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了； 700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了； 851元，恭喜你，你猜中了，表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价的过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
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实施上述步骤，直到an，bn精确到规定的精确度的近似值 _相__等___时，那么这个值就是方程f(x)＝0的一个近似解，计算终止．
求函数零点的近似值，所选取的起始区间可以不同，最后结果也不尽相同，但相同精确度、取相同位数的近似值一定_相__同___．
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二分法的概念函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )
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[分析] 题目中给出了各个函数的图象，通过图象与x轴的交点，结合二分法的概念以及使用二分法求函数零点的条件，判断是否可以使用二分法．
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[错解] 选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880 元，高了；850元，低了；851元．恭喜你，猜中了！

求函数零点的方法_二分法

求函数零点的方法_二分法
一、零点及零点存在性定理
零点定义，对于函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)，使得
f(x)=0f(x)=0f(x)=0的实数xxx叫做函数f(x)f(x)f(x)的零点。

换句话说，函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)的零点就是方程
f(x)=0f(x)=0f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)的图像与xxx轴的交点。

零点存在性定理，如果函数f=f(x)f=f(x)f=f(x)在区间
[a,b][a,b][a,b]上的图像是连续的曲线，并且有f(a)⋅
f(b)<0f(a)\cdotf(b)\lt0f(a)⋅f(b)<0，我们就说函数
y=f(x)y=f(x)y=f(x)在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)c\in(a,b)c∈(a,b)使得f(c)=0f(c)=0f(c)=0。

注意：满足该定理是函数存在零点的充分不必要条件。

如果该函数是一个单调函数，那么零点有且仅有一个。

二、二分法求函数零点
利用零点存在定理，可以用来求取函数的零点的近似值。

二分法的基本思想是通过不断地将零点所在的区间一分为二，使得两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法叫做二分法。

函数的零点与二分法

函数的零点与二分法1、掌握函数的零点和二分法的定义．2、会用二分法求函数零点的近似值。

一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。

对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。

特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。

函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。

二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。

特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、三、四步。

类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点：解析：令y ＝x －1＝0，得x ＝1， ∴函数y ＝x －1的零点是1. 答案：1练习1：求函数y ＝x 3－x 2－4x ＋4的零点．答案：－2,1,2.练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72 C ．－72 D ．－7答案：C类型二零点个数的判断例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数解析：由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4， ∴函数f (x )有两个零点，分别是3,4. 答案：2个练习1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定答案：B练习2：已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－9且a ≠0 B ．a >－9 C ．a <－9 D ．a >0或a <0答案：A类型三函数零点的应用例3：若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．解析：设函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －2＋2k －1>0，解得，12<k <23，∴实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 练习1：已知方程x 2＋2px ＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p 的取值范围为__________．答案：(－∞，－1)练习2：函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________．答案：12类型四二分法的概念例4：函数图象与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．解析：选项B 中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解．答案：B练习1：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象不间断，并且f (a )·f (b )<0，则这个函数在这个区间上( )A ．只有一个变号零点B ．有一个不变号零点C ．至少有一个变号零点D ．不一定有零点答案：C练习2：用二分法求函数f (x )＝x 3－2的零点时，初始区间可选为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案：B类型五用二分法求函数零点的近似值例5: 求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个为正数的零点(精确到0.1)．解析：由于f (1)＝－6<0，f (2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：求函数精确到0.1的实数解．答案：1.7练习1: 试用计算器求出函数f (x )＝x 2，g (x )＝2x ＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)．答案：－0.7.练习2: (2014～2015学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x 3＋3x －7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f (x )＝x 3＋3x －7，算得f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，f (1.75)>0，则该方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,1.75)D ．(1.75,2)答案：B1、(2014·湖北文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案： D2、已知x ＝－1是函数f (x )＝ax＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( ) A ．－1或1 B ．0或－1 C ．1或0 D ．2或1答案: C3、三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0的根不可能所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案: C4、(2014～2015学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：0.1)为( )A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5答案:C5、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：B基础巩固1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断答案： B2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12答案： C3．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案： A4．下列命题中正确的是( )A ．方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B ．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数是1C ．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D ．利用二分法所得方程的近似解是惟一的答案： A5．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算， f (0.64)<0, f (0.72)>0, f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6答案： C能力提升6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46答案： (7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a 、b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．答案：98．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．答案： ②③9. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≤02 x >0，若f (－4)＝2, f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________．答案：310. 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．答案：（1）1<a <2.（2）若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0, f (0)＝2817>0, f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)，又f (12)＝0，1 2.∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为。

高中数学《求函数零点近似解的一种计算方法—二分法》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案

高中数学人教B版必修一第二章《2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》省级名师优质课教案比赛获奖
教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
通过具体实例理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方法,从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用;能借助计算器用二分法求方程的近似解,让学生能够初步了解逼近思想;体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一;通过具体实例的探究,归纳概括所发现的结论或规律,体会从具体到一般的认知过程.
2学情分析
学生已经学习了函数,理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想.但是对于求函数零点所在区间,只是比较熟悉求二次函数的零点,对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难.另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题. 3重点难点
1.教学重点:用“二分法”求方程的近似解,使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.
2.教学难点:方程近似解所在初始区间的确定,恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【活动】（一）创设情境，提出问题
问题1:在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10km长的线路,如何迅速查出故障所在? 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每。

探求函数零点取点方法

探求函数零点取点方法函数的零点，也被称为函数的根，是指函数在横坐标轴上与横坐标轴相交的点。

在数学中，求函数的零点是一项基础而重要的工作，因为它可以帮助我们解方程、优化函数以及研究函数的性质等。

本文将详细介绍几种常见的函数零点取点方法。

1.图像法图像法是一种通过观察函数的图像来确定零点的方法。

对于给定的函数，我们可以通过绘制函数的图像并观察图像与横坐标轴的交点来找到零点。

图像法的优点是直观，容易理解，适用于任何函数。

然而，它存在一定的局限性，特别是当函数图像过于复杂或不光滑时，可能很难准确找到零点。

2.试位法试位法是一种通过尝试不同的函数值来逼近零点的方法。

基本思路是在其中一区间内选择两个函数值，判断这两个函数值的符号，如果它们的符号不同，则零点必然存在于这个区间内，然后将这个区间分为更小的区间，重复以上步骤直至确定零点的位置。

试位法的优点是简单易行，适用于任何函数，特别适用于没有解析式的函数。

然而，它可能会产生一定的误差，特别是当函数在一些区间内变化很快时。

3.等间距法等间距法是一种在给定区间内等间距取点的方法。

基本思路是将给定区间等分为若干小区间，然后在每个小区间内选择一个点进行计算，判断该点的函数值是否接近于零。

如果是，则该点可能是零点附近的近似解。

等间距法的优点是简单易行，适用于任何函数。

然而，它可能会错过一些零点，特别是当函数变化较快或存在多个零点时。

4.牛顿法牛顿法是一种通过迭代逼近零点的方法。

基本思路是选择一个初始点，然后通过计算函数在该点处的斜率来确定下一个点的位置，直到找到函数的零点。

牛顿法的优点是收敛速度快，精度高，特别适用于连续可导的函数。

然而，它需要函数的导数信息，且对初值的选择比较敏感，可能导致收敛到局部极值点而不是全局零点。

5.二分法二分法是一种通过不断缩小区间范围来逼近零点的方法。

基本思路是选择一个初始区间，判断区间的中点与横坐标轴的交点与中点的符号，然后根据符号的不同缩小区间的范围，重复以上步骤直到找到函数的零点。

二分法求零点

求下列函数的零点：（1） f ( x) ax 1
（ 2） f (x ) x
5x 1 1 （ 3） f ( x ) x 2 x
2
（4） f ( x)
x 2x x 2
3 2
3
f ( x) x 2 x 8
3
4
f ( x) x 10x 8
用二分法求函数零点近似解
零点存在性定理
.
如果函数 y f ( x) 在闭区间 a, b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且在它的两个端点处的函数值异号，即 f (a) f (b) 0，则函数y f ( x)在区间(a, b) 内至少有一个零点，即存在一点 x0 (a, b)，使 f ( x0 ) 0.
3
5
二分法
对于区间[a，b]上连续不断，且 f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法．
6
秦九昭法
约在1247年南宋时代，我国数学家秦九韶提出了一种解决高次函数零点近似解的一种方法，他将区间十等分，算出各分点的函数值，缩小零点所在区间，
10
故障检索问题
步骤： 1.确定故障所在范围； 2.确定检测范围中点； 3.检测中点
（1）若中点为故障点，即可；（2）若中点不为故障点，判断故障所在范围（被中点所分两范围之一）；
4.判断故障范围是否符合精度，若符合，则得到故障点的近似处，否则重复上述2到4步.
11
二分法口诀
定区间，找中点，中值计算两边看；
但这种方法计算冗长，不便于精确度较高的运算，如
果精确度要求不高，例如要求到0.1，可以使用，另外这种方法在有的国家被称为霍耐法（Horner），英国数学家霍耐1819年才发现，迟于我国500多年.

求零点的方法

求零点的方法一、图像法。

图像法是一种直观的求零点方法，通过观察函数图像与x轴的交点来确定函数的零点。

首先，我们需要绘制函数的图像，然后找到图像与x轴相交的点，这些点的横坐标即为函数的零点。

图像法适用于简单的函数，可以直观地帮助我们理解函数的零点位置和数量。

二、试位法。

试位法是一种逐步逼近的求零点方法，通过不断地缩小零点的范围来确定函数的零点。

首先，我们需要选择一个区间，然后在该区间内选择一个试探点，计算函数在试探点处的取值，根据取值的正负关系来缩小零点的范围，然后再在新的范围内选择试探点，重复上述步骤，直到获得足够精确的零点。

试位法适用于一般的函数，可以通过有限次迭代来逼近函数的零点。

三、牛顿迭代法。

牛顿迭代法是一种快速收敛的求零点方法，通过不断地迭代来逼近函数的零点。

首先，我们需要选择一个初始点，然后利用函数的导数和函数值来计算下一个迭代点，重复这一过程，直到获得足够精确的零点。

牛顿迭代法适用于光滑的函数，可以在较少的迭代次数内获得较高精度的零点。

四、二分法。

二分法是一种简单而有效的求零点方法，通过不断地将零点范围二分来确定函数的零点。

首先，我们需要选择一个区间，然后计算区间的中点，根据中点处的函数值和零点的关系来确定新的区间，重复这一过程，直到获得足够精确的零点。

二分法适用于连续的函数，可以在有限次迭代内获得较高精度的零点。

综上所述，求零点是数学中常见的问题，我们可以通过图像法、试位法、牛顿迭代法和二分法等多种方法来确定函数的零点。

不同的方法适用于不同类型的函数，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解函数的零点，从而更好地理解和运用这一数学概念。

希望本文介绍的方法能够帮助大家更好地掌握求零点的技巧，提高数学问题的解决能力。