2018高中数学人教B版必修四1.2.3《同角三角函数的基本关系式》精选习题

合集下载

数学人教B必修4优化训练:3同角三角函数的基本关系式 含解析

数学人教B必修4优化训练:3同角三角函数的基本关系式 含解析

1.2.3 同角三角函数的基本关系式5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.已知sinα=53,α∈(0,π),则tanα的值等于( ) A.34 B.43 C.±43 D.±34 解析:由sin 2α+cos 2α=1,α∈(0,π), ∴cosα=±α2sin 1-=±54. ∴tanα=ααcos sin =±43. 答案:C2.已知cosθ=54,且23π<θ<2π,那么θtan 1的值为( ) A.43 B.43- C.35 D.34- 解析:由sin 2θ+cos 2θ=1,得sinθ=±θ2cos 1-. 因为23π<θ<2π,故sinθ<0,所以sinθ=2)54(1--=53-,tanθ=θθcos sin =34-.答案:D3.若tanα=t (t≠0),且sinα=21tt +-,则α是( )A.第一、二象限角B.第二、三象限角C.第三、四象限角D.第一、四象限角 解析:由tanα=ααcos sin 得cosα=ααtan sin ,所以cosα=211t+-<0,故α是第二、三象限角.答案:B4.若tanα=2,则(1)cos 2α=________________;(2)sin 2α-cos 2α=________________. 解析:(1)由题意和基本三角恒等式,列出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+,2cos sin ,1cos sin 22αααα 由②得sinα=2cosα,代入①,整理得5cos 2α=1,cos 2α=51. (2)由(1)得sin 2α=1-51=54, 所以sin 2α-cos 2α=54-51=53.答案:(1)51 (2) 5310分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.已知sinα=53,并且α是第二象限角,那么tanα的值等于( ) A.34- B.43- C.43 D.34解析:由sin 2α+cos 2α=1,α是第二象限角,得cosα=54)53(12-=--. ∴tanα=ααcos sin =43-. 答案:B2.如果角x 的终边位于第二象限,则函数y=xx xx 22sin 1cos cos 1sin -+-的值可化简为( )A.1B.2C.0D.-1解析:利用同角基本关系式sin 2x+cos 2x=1以及x 属于第二象限,有y=xxx x x x x cos cos sin sin |cos |cos |sin |sin -+=+=1-1=0.答案:C3.如果角α满足关系式αααα22tan 1cos cot 1sin +-+=1,则角α的终边位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由已知条件有sinα|sinα|-cosα|cosα|=1,故sinα>0且cosα<0.所以α属于第二象限. 答案:B 4.化简53sin12π-得到的结果是___________________. 解析:因为2π<53π<π,所以53π是第二象限角,cos 53π<0, 所以53cos 53sin122ππ=-=|cos 53π|=-cos 53π. 答案:-cos53π 5.已知2sinα-cosα=3sinα,那么cosα=_________________.解析:由2sin α-cosα=3sinα,得(2-3)sinα=cosα,sinα=(2+3)cosα,由sin 2α+cos 2α=1,得(2+3)2cos 2α+cos 2α=1,解之,得cosα=±426-. 答案:±426- 6.化简:)cos 1cos 1cos 1cos 1()sin 1sin 1sin 1sin 1(αααααααα+---+•+---+.解:原式=[αααα2222cos )sin 1(cos )sin 1(--+]·[αααα2222sin )cos 1(sin )cos 1(--+] =(|cos |sin 1|cos |sin 1αααα--+)·(|sin |cos 1|sin |cos 1αααα--+)=|sin |cos 2|cos |sin 2αααα•=⎩⎨⎧-.,,4,,,4四象限时在第二三象限时在第一αα30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.设sin 2α=54,且α是第二象限角,则tan 2α等于( ) A.34 B.43 C.±34 D.±43 解析:∵α是第二象限角,∴2kπ+2π<α<2kπ+π(k ∈Z ),kπ+4π<2α<kπ+2π(k ∈Z ).∴2α是第一、三象限角.而sin 2α=54>0,∴2α是第一象限角,由sin 22α+cos 22α=1,得cos 2α=532sin12=-α,∴tan 342cos 2sin 2==ααα. 答案:A 2.已知tanx=122-a a,其中0<a <1,x 是三角形的一个内角,则cosx 的值为( ) A.122+a aB.1122+-a aC.1122+-a aD.±1122+-a a解析:∵0<a <1,∴122-a a<0.∴x 是第二、四象限角.又x 是三角形的一个内角, ∴x 是第二象限角.由题意和基本三角恒等式,得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+,12cos sin ,1cos sin 222a ax x x x解得cos 2x=(1122+-a a )2,∴cosx=1122+-a a .答案:C3.如果tanθ=2,那么sin 2θ+sinθ·cosθ+cos 2θ的值是( ) A.37 B.57 C.45 D.35 解析:由题意和基本三角恒等式,得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=,1cos sin ,2cos sin 22θθθθ∴cos 2θ=51. ∴sin 2θ+sinθ·cosθ+cos 2θ=1+2cos 2θ=57. 答案:B4.如果sinα+cosα=1,则sin n x+cos n x (n ∈Z )的值为( )A.-1B.1C.1或-1D.2解析:由sinα+cosα=1,则(sinα+cosα)2=1,故sinαcosα=0.若sinα=0,则cosα=1.这时sin n α+cos n α=1;若cosα=0,则sinα=1,这时也有sin n α+cos n α=1. 答案:B 5.若|sinθ|=51,29π<θ<5π,则tanθ的值为( ) A.126B.62-C.126-D.62解析:因为29π<θ<5π,即4π+2π<θ<4π+π,所以θ是第二象限角,sinθ=51.所以cosθ=562sin 12-=--θ,tanθ=126cos sin -=θθ,应选C 项.答案:C 6.化简︒--︒︒•︒-10sin 110sin 10cos 10sin 212的值为( )A.1B.-1C.2D.-2 解析:原式=︒-︒︒-︒=︒-︒︒+︒︒-︒10cos 10sin )10cos 10(sin 10cos 10sin 10cos 10cos 10sin 210sin 2222︒-︒︒-︒-=10cos 10sin )10cos 10(sin =-1.答案:B7.已知1cos 4sin 2++θθ=2,则(cosθ+3)·(sinθ+1)的值为( )A.4B.0C.2D.0或4解析:由1cos 4sin 2++θθ=2得1-cos 2θ+4=2cosθ+2,整理得cos 2θ+2cosθ-3=0,解得cosθ=1或cosθ=-3(舍去),所以sinθ=±θ2cos 1-=0.所以(cosθ+3)·(sinθ+1)=4. 答案:A8.(2006高考重庆卷,文13)已知sinα=2,552π<α<π,则tanα=_______________. 解析:由sinα=552,2π<α<π可得cosα=55-,tanα=-2. 答案:-29.已知sinθ+cosθ=51,θ∈(0,π),则cotθ的值是_____________. 解析:因为sinθ+cosθ=51,两边平方,得1+2sinθ·cosθ=251,所以2sinθ·cosθ=2524-. ①因为θ∈(0,π),所以cosθ<0<sinθ.由于(sinθ-cosθ)2=1-2sinθ·cosθ=2549,所以sinθ-cosθ=57.② 联立①②,解得sinθ=54,cosθ=53-,所以cotθ=435453sin cos -=-=θθ. 答案:43-10.(1)已知sinθ=415-,求θθθθθθθθcos sin cos sin cos sin cos sin -+++-的值. (2)已知5sinθ+12cosθ=0,求θθθsin 32cos 9sin -+的值.解:(1)原式=1)415(221sin 2)cos (sin 2cos sin )cos (sin )cos (sin 22222222--⨯=-+=-++-θθθθθθθθθ=522-.(2)由5sinθ+12cosθ=0,得tanθ=512-<0,故θ角在第二或第四象限,当θ在第二象限时,cosθ=135tan 112-=+-θ,当θ在第四象限时,cosθ=135tan 112=+θ, ∴原式=62331033cos tan 32cos )9(tan 或=•-•+θθθθ.11.若tanα、tanβ是方程x 2-2(log 872+log 972)x-log 872·log 972=0的两个根, 求sinα·cosβ+cosα·sinβ+2sinα·sinβ的值. 解:由定理得⎩⎨⎧•-=•+=+,72log 72log tan tan ),72log 72(log 2tan tan 9898βαβα而log 872+log 972=9log 8log 72log 9log 8log 9log 8log 9log 18log 1727272727272727272•=•+=+ =log 872·log 972.所以tanα+tanβ=2log 872·log 972.所以sinα·cosβ+cosα·sinβ+2sinα·sinβ =cosα·sinβ(tanα+tanβ+2tanα·tanβ) =cosα·sinβ(2log 872·log 972-2log 872·log 972)=0.。

人教新课标版数学高一-人教B版必修4精练 1.2.3 同角三角函数的基本关系式

人教新课标版数学高一-人教B版必修4精练 1.2.3 同角三角函数的基本关系式

第一章 1.2 1.2.3一、选择题1.已知α是第四象限角,cos α=1213,则sin α=( )A .513B .-513C .512D .-512B∵α是第四象限角,cos α=1213,∴sin α=-1-cos 2α=-1-(1213)2=-513.2.下列说法中,可能成立的一个为( ) A .sin α=12且cos α=12B .sin α=0且cos α=-1C .tan α=1且cos α=-1D .α为第四象限角,tan α=-sin αcos αB∵sin 2α+cos 2α=1,∴选项A 一定不成立,选项B 可能成立.选项C 中,tan α=1,∴sin α=cos α,∴cos α≠-1.选项D 中,应有tan α=sin αcos α,故tan α=-sin αcos α不成立. 3.(2015·福建文,6)若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值等于( )A .125B .-125C .512D .-512D由sin α=-513,且α为第四象限角,则cos α=1-sin 2 α=1213,则tan α=sin αcos α=-512,故选D . 4.若2sin α=3cos α,则4sin α+cos α5sin α-2cos α的值等于( )A .1411B .2C .-109D .1411或1019A∵2sin α=3cos α, ∴tan α=32.∴4sin α+cos α5sin α-2cos α=4tan α+15tan α-2=4×32+15×32-2=1411. 5.(2015·河北行唐启明中学高一月考)若π2<α<π,化简1+sin α1-sin α-1-sin α1+sin α的结果是( )A .-2tan αB .2tan αC .-2cot αD .2cot αA∵π2<α<π,∴cos α<0.∴1+sin α1-sin α-1-sin α1+sin α=(1+sin α)2(1-sin α)(1+sin α)-(1-sin α)2(1+sin α)(1-sin α)=(1+sin α)2cos 2α-(1-sin α)2cos 2α=1+sin α-cos α-1-sin α-cos α=-2tan α. 6.设sin α+cos α=-2,则tan α+cot α的值为( ) A .1 B .2 C .-1 D .-2B(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=2,∴sin αcos α=12,tan α+cot α=sin αcos α+cos αsin α=sin 2α+cos 2αsin αcos α=112=2.二、填空题7.化简:1-cos 24=________. -sin4∵4=4×(180π)°≈229°12′,∴sin4<0, ∴1-cos 24=sin 24=-sin4.8.已知cos ⎝⎛⎭⎫α+π4=13,0<α<π2,则sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=________. 223∵0<α<π2,∴π4<α+π4<3π4,∴sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=1-⎝⎛⎭⎫132=223.三、解答题9.已知3sin α-2cos α=0,求下列各式的值. (1)cos α-sin αcos α+sin α+cos α+sin αcos α-sin α; (2)sin 2α-2sinαcos α+4cos 2α. (1)显然cos α≠0,∴tan α=23,cos α-sin αcos α+sin α+cos α+sin αcos α-sin α=1-tan α1+tan α+1+tan α1-tan α=1-231+23+1+231-23=265.(2)sin 2α-2sin αcos α+4cos 2α=sin 2α-2sin αcos α+4cos 2αsin 2α+cos 2α=tan 2α-2tan α+4tan 2α+1=49-43+449+1=2813.10.(2015·潍坊一中高一检测)已知sin x +cos x =15,且0<x <π,求sin x 、cos x 、tan x 的值.将sin x +cos x =15两边平方得,1+2sin x cos x =125,∴2sin x cos x =-2425<0,又∵0<x <π,∴sinx >0,cos x <0, ∴sin x -cos x >0. ∴sin x -cos x =(sin x -cos x )2=1-2sin x cos x =1+2425=75. 由⎩⎨⎧sin x +cos x =15sin x -cos x =75,得⎩⎨⎧sin x =45cos x =-35.∴tan x =sin x cos x =-43.故sin x =45,cos x =-35,tan x =-43.一、选择题1.已知sin α-cos α=2,α∈(0,π),则tan α=( ) A .-1 B .-22C .22D .1A由sin α-cos α=2两边平方,得1-2sin αcos α=2, ∴sin αcos α=-12.∴sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan αtan 2α+1=-12,∴tan 2α+2tan α+1=0, ∴(tan α+1)2=0,∴tan α=-1.2.已知α为第四象限角,则cos α·csc α·sec 2α-1的值为( ) A . 3 B .- 3 C .1 D .-1D原式=cos α·1sin α·|tan α|=cot α·(-tan α)=-1.3.若α∈0,π2)B .π2,ππ,3π2答案解析0,2π),∴α∈π2,π答案解析答案解析答案解析解析解析 ∵sin x +sin y =13,∴sin y =13-sin x .∴u =sin y -cos 2x =13-sin x -cos 2x=13-sin x -1+sin 2x =sin 2x -sin x -23=(sin x -12)2-1112,∵-1≤sin x ≤1,∴当sin x =12时,u min =-1112,当sin x =-1时,u max =43.。

2018-2019学年高一数学人教B版必修4课时作业:1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含解析

2018-2019学年高一数学人教B版必修4课时作业:1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含解析
答案:D
5.已知θ∈(0,2π),且sinθ,cosθ是方程x2-kx+k+1=0的两个实根,求k,θ的值.
解析:依题意有sinθ+cosθ=k,①
sinθcosθ=k+1,②
又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,
所以k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1,
显然|sinθcosθ|=|k+1|≤1,
因此k=-1,代入①②得
从而 或
又θ∈(0,2π),所以θ=π或 .
(限时:30分钟)
1.已知α是第四象限角,cosα= ,则sinα等于()
A. B.-
C. D.-
解析:∵α是第四象限角,
∴sinα=- =- =- .
答案:B
2.已知tanα=- ,则 的值是()
A. B.3
C.- D.-3
解析: = ,将tanα=- 代入得:
解析:因为α∈ ,所以sinα<0,则sinα=- =- ,所以tanα= = .
答案:
9.已知 =2,那么(cosθ+3)(sinθ+1)的值为__________.
解析:∵ =2,∴sin2θ+4=2cosθ+2,
∴cos2θ+2cosθ-3=0,解得cosθ=1或cosθ=-3(舍去).
由cosθ=1,得sinθ=0,∴(cosθ+3)(sinθ+1)=4.
= = ,故选A.
答案:A
3.化简 (1-cosα)的结果是()
A.sinαB.cosα
C.1+sinαD.1+cosα
解析:原式= (1-cosα)= = =sinα.
答案:A
4.已知sinαcosα= ,且π<α< ,则cosα-sinα的值为()
A. B.-
C. D.-

2018版高中数学人教B版必修四学案:第一单元 1-2-3 同角三角函数的基本关系式 含答案 精品

2018版高中数学人教B版必修四学案:第一单元 1-2-3 同角三角函数的基本关系式 含答案 精品

1.2.3同角三角函数的基本关系式学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.知识点同角三角函数的基本关系式思考1计算下列式子的值:(1)sin230°+cos230°;(2)sin245°+cos245°;(3)sin290°+cos290°.由此你能得出什么结论?尝试证明它.思考2由三角函数的定义知,tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系?梳理(1)同角三角函数的基本关系式①平方关系:________________________________.②商数关系:________________________________.(2)同角三角函数基本关系式的变形①sin2α+cos2α=1的变形公式sin2α=________;cos2α=________.②tan α=sin αcos α的变形公式sin α=____________;cos α=____________.类型一利用同角三角函数的关系式求值命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限,求角α的其余三角函数值 例1 若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值为( )A.125B.-125C.512D.-512反思与感悟 同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系,其常用的用途是“知一求二”,即在sin α,cos α,tan α三个值之间,知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限,从而判断三角函数值的正负.跟踪训练1 已知tan α=43,且α是第三象限角,求sin α,cos α的值.命题角度2 已知角α的某一三角函数值,未给出α所在象限,求角α的其余三角函数值 例2 已知cos α=-817,求sin α,tan α的值.反思与感悟 利用同角三角函数关系式求值时,若没有给出角α是第几象限角,则应分类讨论,先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限,再分类求解. 跟踪训练2 已知cos α=-513,求13sin α+5tan α的值.类型二 利用同角三角函数关系化简 例3 已知α是第三象限角,化简:1+sin α1-sin α-1-sin α1+sin α.反思与感悟 解答这类题目的关键在于公式的灵活运用,切实分析好同角三角函数间的关系,化简过程中常用的方法有:(1)化切为弦,即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号下化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin 2α+cos 2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.跟踪训练3 化简:(1)cos 36°-1-cos 236°1-2sin 36°cos 36°;(2)1cos 2α1+tan 2α-1+sin α1-sin α(α为第二象限角).类型三 利用同角三角函数关系证明 例4 求证:tan αsin αtan α-sin α=tan α+sin αtan αsin α.反思与感悟 证明三角恒等式的过程,实质上是化异为同的过程,证明恒等式常用以下方法: (1)证明一边等于另一边,一般是由繁到简. (2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一). (3)比较法:即证左边-右边=0或左边右边=1(右边≠0).(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立. 跟踪训练4 求证:cos x1-sin x =1+sin x cos x .类型四 齐次式求值问题例5 已知tan α=2,求下列代数式的值. (1)4sin α-2cos α5cos α+3sin α;(2)14sin 2α+13sin αcos α+12cos 2α.反思与感悟 (1)关于sin α、cos α的齐次式,可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值.(2)注意例5第(2)问的式子中不含分母,可以视分母为1,灵活地进行“1”的代换,由1=sin 2α+cos 2α代换后,再同除以cos 2α,构造出关于tan α的代数式. 跟踪训练5 已知sin α+cos αsin α-cos α=2,计算下列各式的值.(1)3sin α-cos α2sin α+3cos α; (2)sin 2α-2sin αcos α+1.1.若sin α=45,且α是第二象限角,则tan α的值等于( )A.-43B.34C.±34D.±432.已知sin α-cos α=-54,则sin αcos α等于( )A.74 B.-916 C.-932 D.9323.化简1-sin 23π5的结果是( )A.cos 3π5B.sin 3π5C.-cos 3π5D.-sin 3π54.若tan θ=-2,则sin θcos θ=________.5.已知sin α=15,求cos α,tan α.1.利用同角三角函数的基本关系式,可以由一个角的一个三角函数值,求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简,结果要求:(1)项数尽量少.(2)次数尽量低.(3)分母、根式中尽量不含三角函数.(4)能求值的尽可能求值. 3.在三角函数的变换求值中,已知sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α中的一个,可以利用方程思想,求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时,细心观察题目的特征,灵活、恰当地选用公式,统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数,要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时,注意方法的灵活运用,常用技巧:(1)“1”的代换.(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等).(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等).(4)对条件或结论的重新整理、变形,以便于应用同角三角函数关系求解.答案精析问题导学 知识点思考1 3个式子的值均为1.由此可猜想:对于任意角α,有sin 2α+cos 2α=1,下面用三角函数的定义证明: 设角α的终边与单位圆的交点为P (x ,y ),则由三角函数的定义, 得sin α=y ,cos α=x . 由勾股定理得sin 2α+cos 2α=x 2+y 2=|OP |2=1. 思考2 ∵tan α=y x ,∴tan α=sin αcos α.梳理 (1)①sin 2α+cos 2α=1 ②tan α=sin αcos α (α≠k π+π2,k ∈Z )(2)①1-cos 2α 1-sin 2α ②cos αtan α sin αtan α题型探究 例1 D跟踪训练1 cos α=-35,sin α=43cos α=-45.例2 解 ∵cos α=-817<0,且cos α≠-1,∴α是第二或第三象限角.(1)当α是第二象限角时,则 sin α=1-cos 2α=1-⎝⎛⎭⎫-8172=1517, tan α=sin αcos α=1517-817=-158.(2)当α是第三象限角时,则sin α=-1-cos 2α=-1517,tan α=158.跟踪训练2 解 ∵cos α=-513<0,∴α是第二或第三象限角. (1)若α是第二象限角, 则sin α=1-cos 2α =1-(-513)2=1213,tan α=sin αcos α=1213-513=-125,故13sin α+5tan α=13×1213+5×(-125)=0.(2)若α是第三象限角,则sin α=-1-cos 2α=-1-(-513)2=-1213,tan α=sin αcos α=-1213-513=125,故13sin α+5tan α=13×(-1213)+5×125=0. 综上可知,13sin α+5tan α=0. 例3 解 原式=(1+sin α)(1+sin α)(1+sin α)(1-sin α)-(1-sin α)(1-sin α)(1+sin α)(1-sin α)=(1+sin α)21-sin 2α-(1-sin α)21-sin 2α=1+sin α|cos α|-1-sin α|cos α|. ∵α是第三象限角,∴cos α<0.∴原式=1+sin α-cos α-1-sin α-cos α=-2tan α(注意象限、符号).跟踪训练3 (1)1 (2)tan α 例4 证明∵右边=tan 2α-sin 2α(tan α-sin α)tan αsin α=tan 2α-tan 2αcos 2α(tan α-sin α)tan αsin α =tan 2α(1-cos 2α)(tan α-sin α)tan αsin α =tan 2αsin 2α(tan α-sin α)tan αsin α =tan αsin αtan α-sin α=左边,∴原等式成立.跟踪训练4 证明 (比较法——作差) ∵cos x 1-sin x-1+sin x cos x=cos 2x -(1-sin 2x )(1-sin x )cos x=cos 2x -cos 2x (1-sin x )cos x =0, ∴cos x 1-sin x=1+sin x cos x .例5 解 (1)原式=4tan α-25+3tan α=611.(2)原式=14sin 2α+13sin αcos α+12cos 2αsin 2α+cos 2α=14tan 2α+13tan α+12tan 2α+1 =14×4+13×2+125=1330.跟踪训练5 (1)89 (2)1310当堂训练1.A 2.C 3.C 4.-255.解 ∵sin α=15>0,∴α是第一或第二象限角.当α为第一象限角时,cos α=1-sin 2α =1-125=265,tan α=sin αcos α=612;当α为第二象限角时,cos α=-265,tan α=-612.。

数学人教B版必修4:1.2.3 同角三角函数的基本关系式 作业 Word版含解析

数学人教B版必修4:1.2.3 同角三角函数的基本关系式 作业 Word版含解析

双基达标 (限时20分钟)1.化简 1-sin 2π5的结果是( ).A .sin π5 B .-sin π5 C .cos π5D .-cos π5解析 ∵0<π5<π2,∴cos π5>0. ∴1-sin 2π5=cos 2π5=cos π5.答案 C 2.已知sin θ+cos θsin θ-cos θ=2,则sin θcos θ的值是( ).A.34 B .±310 C.310 D .-310解析 由题意得sin θ+cos θ=2(sin θ-cos θ), ∴(sin θ+cos θ)2=4(sin θ-cos θ)2, 解得sin θcos θ=310. 答案 C3.如果tan θ=2,那么1+sin θcos θ的值是 ( ).A.73B.75C.54D.53解析 1+sin θcos θ=sin 2θ+cos 2θ+sin θcos θsin 2 θ+cos 2θ =1+tan 2θ+tan θ1+tan 2θ=1+22+21+22=75. 答案 B4.化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α+1tan α(1-cos α)=________.解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α+1tan α(1-cos α)=⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α+cos αsin α(1-cos α)=1-cos 2αsin α=sin α. 答案 sin α5.已知sin α+2cos αcos α=1,则α在第________象限.解析 由sin α+2cos αcos α=1⇒tan α=-1<0.∴α在第二或第四象限. 答案 二或四6.已知tan α=2,计算: (1)2sin α-cos αsin α+2cos α; (2)sin 2α+sin αcos α-2cos 2α. 解 (1)2sin α-cos αsin α+2cos α=2tan α-1tan α+2=34.(2)sin 2α+sin αcos α-2cos 2α =sin 2α+sin αcos α-2cos 2αsin 2α+cos 2α=tan 2α+tan α-2tan 2α+1=45.综合提高 (限时25分钟)7.如果α是第二象限的角,下列各式中成立的是 ( ).A .tan α=-sin αcos α B .cos α=-1-sin 2α C .sin α=-1-cos 2αD .tan α=cos αsin α解析 由同角三角函数的基本关系式,知tan α=sin αcos α,故A 、D 错误;又α是第二象限角,所以sin α>0,故C 错误.答案 B8.若sin θ=m-3m+5,cos θ=4-2mm+5,则m的值为().A.0 B.8 C.0或8 D.3<m<9解析由sin2θ+cos2θ=1,得(m-3)2(m+5)2+(4-2m)2(m+5)2=1,解得m=0或8.答案 C9.在△ABC中,2sin A=3cos A,则角A=________. 解析由题意知cos A>0,即A为锐角.将2sin A=3cos A两边平方得2sin2A=3cos A.∴2cos2A+3cos A-2=0,解得cos A=12或cos A=-2(舍去),∴A=π3.答案π310.化简sin α1+sin α-sin α1-sin α的结果为________.解析sin α1+sin α-sin α1-sin α=sin α(1-sin α)-sin α(1+sin α) (1+sin α)(1-sin α)=-2sin2α1-sin2α=-2sin2αcos2α=-2tan2α.答案-2tan2α11.已知关于x的方程2x2-(3+1)x+2m=0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0,π)),求:(1)m的值;(2)sin θ1-cot θ+cos θ1-tan θ的值(其中cot θ=1tan θ );(3)方程的两根及此时θ的值.解 (1)由根与系数的关系可知,sin θ+cos θ=3+12① sin θ·cos θ=m ②将①式平方得1+2sin θ·cos θ=2+32,所以sin θ·cos θ=34,代入②得m=34.(2)sin θ1-cot θ+cos θ1-tan θ=sin 2 θsin θ-cos θ+cos 2 θcos θ-sin θ=sin 2 θ-cos 2 θsin θ-cos θ=sin θ+cos θ=3+12.(3)因为已求得m =34,所以原方程化为2x 2-(3+1)x +32=0,解得x 1=32,x 2=12.所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ=32cos θ=12或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ=12cos θ=32.又因为θ∈(0,π),所以θ=π3或π6.12.(创新拓展)是否存在一个实数k ,使方程8x 2+6kx +2k +1=0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦.解 设这两个锐角为A ,B , ∵A +B =90°,∴sin B =cos A ,所以sin A ,cos A 为8x 2+6kx +2k +1=0的两个根. 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin A +cos A =-3k4 ①sin A cos A =2k +18 ②②代入①2,得9k 2-8k -20=0,解得k 1=2,k 2=-109,当k =2时,原方程变为8x2+12x+5=0,∵Δ<0∴方程无解;将k=-109代入②,得sin A cos A=-1172<0,所以A是钝角,与已知直角三角形矛盾.所以不存在满足已知条件的k.。

数学人教B版必修4课后训练:1.2.3同角三角函数的基本关系式 含解析 精品

数学人教B版必修4课后训练:1.2.3同角三角函数的基本关系式 含解析 精品

同角三角函数的基本关系式练习1.已知4cos 5θ=,且3π2<θ<2π,那么1tan θ的值为( ) A .34 B .34- C .53 D .43-2( )A ..-23.(2012·黑龙江哈尔滨期末)已知cos α=3sin α,则3223sin sin cos cos sin cos αααααα-+=( ) A .13 B .727 C .19 D .13274.设4sin 25α=,且α是第二象限的角,则tan 2α等于( ) A .43 B .34 C .43± D .34± 5.已知α∈3π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭,且12sin cos 25αα-=,则sin α+cos α的值是( ) A .15 B .15- C .15± D .75±6__________. 7.已知sin θ+cos θ=15,θ∈(0,π),则cot θ的值是__________. 8.若3cos 5α-=,且tan α>0,则3tan cos 1sin ααα=-__________.9.化简:⋅. 10.已知sin θ,cos θ是关于x 的方程x 2-ax +a =0的两个根(a ∈R ),求tan θ+1tan θ的值.参考答案1.解析:由sin 2θ+cos 2θ=1,得sin θ=因为3π2<θ<2π,故sin θ<0,所以3sin 5θ==-, 所以sin 3tan cos 4θθθ==-. 答案:B2.解析:原式===(sin10cos10)sin10cos10-︒-︒︒-︒=-1. 答案:B3.答案:B4.解析:∵α是第二象限的角,∴2k π+π2<α<2k π+π(k ∈Z ),∴k π+π4<2α<k π+π2(k ∈Z ),∴2α是第一或第三象限的角.而4sin 025α=>,∴2α是第一象限的角. 由22sin cos 122αα+=,得3cos 25α==, ∴sin 42tan 23cos 2ααα==. 答案:A 5.解析:因为(sin α+cos α)2=24112525-=,且sin α+cos α<0, 所以sin α+cos α=15-,故选B . 答案:B6.解析:因为π3ππ25<<,所以3π5是第二象限的角, 所以3πcos 05<,3π3πcos cos 55===-. 答案:3πcos 5- 7.解析:因为sin θ+cos θ=15,①两边平方,得1+2sin θcos θ=125, 所以2sin θcos θ=2425-. 因为θ∈(0,π),所以cos θ<0<sin θ. 由于(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=4925, 所以sin θ-cos θ=75.② 联立①②,解得4sin 5θ=,3cos 5θ-=, 所以31cos 35cot 4tan sin 45θθθθ-====-. 答案:34- 8.解析:33sin cos tan cos cos 1sin 1sin ααααααα⋅=-- =22sin cos sin (1sin )1sin 1sin αααααα-=-- =sin (1sin )(1sin )1sin αααα-+- =sin α(1+sin α). 又由3cos 5α-=,tan α>0,可知α为第三象限的角, 故4sin 5α-=, 因此sin α(1+sin α)=44415525⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭. 答案:425- 9.解:原式=·=1sin 1sin |cos ||cos |αααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭·1cos 1cos 2sin 2cos |sin ||sin ||cos ||sin |αααααααα⎛⎫+--=⋅ ⎪⎝⎭. 故当α为第一、三象限的角时,原式=4;当α为第二、四象限的角时,原式=-4.10.解:依题意,知Δ≥0,即(-a )2-4a ≥0,解得a ≤0或a ≥4,且sin cos ,sin cos .a a θθθθ+=⎧⎨=⎩①② 由①2-②×2,得a 2-2a -1=0,解得a =1a =1舍).故sin θ+cos θ=sin θcos θ=1tan θ+1tan θ=sin cos 11cos sin sin cos θθθθθθ+===,因此tan θ+1tan θ=1.。

数学人教b版必修4作业:1.2.3 同角三角函数的基本关系式 含解析

数学人教b版必修4作业:1.2.3 同角三角函数的基本关系式 含解析

一、选择题1.如果α是第二象限的角,下列各式中成立的是( )A .tan α=-sin αcos αB .cos α=-1-sin 2 αC .sin α=-1-cos 2 αD .tan α=cos αsin α【解析】 由商数关系可知A 、D 均不正确,当α为第二象限角时,cos α<0,sin α>0,故B 正确.【答案】 B2.已知α∈(π2,π),sin α=35,则cos α等于( ) A.45B .-45C .-17D.35 【解析】 ∵α∈(π2,π),∴cos α<0,∵sin 2α+cos 2α=1.∴cos α=-1-sin 2α=-45. 【答案】 B3.已知α是第四象限角,tan α=-512,则sin α=( )A.15 B .-15C.513 D .-513【解析】 ∵α是第四象限角,∴sin α<0.由tan α=-512得sin αcos α=-512,∴cos α=-125sin α,由sin 2α+cos 2α=1得sin 2α+(-125sin α)2=1,∴16925sin 2α=1,sin α=±513.∵sin α<0,∴sin α=-513.【答案】 D4.已知sin α-cos α=-52,则tan α+1tan α的值为() A .-4 B .4C .-8D .8【解析】 tan α+1tan α=sin αcos α+cos αsin α=sin 2α+cos 2αsin αcos α=1sin αcos α.∵sin α-cos α=-52,∴1-2sin αcos α=54, ∴sin αcos α=-18,∴1sin αcos α=-8. 【答案】 C5.若sin θ=m -3m +5,cos θ=4-2m m +5,则m 的值为( ) A .0B .8C .0或8D .3<m <9【解析】 由sin 2 θ+cos 2 θ=1得(m -3m +5)2+(4-2m m +5)2=1 解得m =0或8,故选C.【答案】 C二、填空题6.(2013·长沙高一检测)若α为第三象限角,则cos α1-sin 2 α+2sin α1-cos 2 α的值为________.【解析】 ∵α为第三象限角,∴sin α<0,cos α<0,∴原式=cos α|cos α|+2sin α|sin α|=cos α-cos α+2sin α-sin α=-1-2=-3. 【答案】 -3。

高二数学人教B版必修4学案:1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含解析

高二数学人教B版必修4学案:1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含解析

1.2.3同角三角函数的基本关系式明目标、知重点 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.(2)商数关系:tan α=sin αcos α(α≠kπ+π2,k∈Z).2.同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α+cos2α=1的变形公式:sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α;(2)tan α=sin αcos α的变形公式:sin α=cos αtan α;cos α=sin αtan α.[情境导学]大家都听过一句话:南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶,偶尔扇动几下翅膀,可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这就是著名的“蝴蝶效应”,他本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.两个似乎毫不相干的事物,却有着这样的联系.那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系!到底是什么关系呢?这就是本节课所研究的问题.探究点一同角三角函数的基本关系式思考1写出下列角的三角函数值,观察他们之间的关系,猜想之间的联系?你能发现什么一般规律?你能否用代数式表示这两个规律?sin 30°cos 30°=tan 30°,sin 45°cos 45°=tan 45°,sin 60°cos 60°=tan 60°,sin 150°cos 150°=tan 150°. 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切;sin 2α+cos 2α=1,tan α=sin αcos α.这就是同角三角函数的基本关系式.思考2 如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式?同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗?答 设点P (x ,y )为α终边上任意一点,P 与O 不重合.P 到原点的距离为r =x 2+y 2>0,则sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=y x.于是sin 2α+cos 2α=(y r )2+(x r )2=y 2+x2r2=1,sin αcos α=yr x r =yx=tan α. 即sin 2α+cos 2α=1,tan α=sin αcos α. 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义.所以sin 2α+cos 2α=1对于任意角α∈R 都成立,而sin αcos α=tan α并不是对任意角α∈R 都成立,这时α≠k π+π2,k ∈Z . 思考3 对于平方关系sin 2α+cos 2α=1可作哪些变形?对于商数关系sin αcos α=tan α可作哪些变形?答 sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α (sin α-cos α)2=1-2sin αcos α, (sin α+cos α)2=1+2sin αcos α, sin α=cos α·tan α,cos α=sin αtan α.例1 已知sin α=-35,求cos α,tan α的值.解 因为sin α<0,sin α≠-1, 所以α是第三或第四象限角.由sin 2α+cos 2α=1得cos 2α=1-sin 2α=1-⎝⎛⎭⎫-352=1625. 如果α是第三象限角,那么cos α<0. 于是cos α=-1625=-45, 从而tan α=sin αcos α=⎝⎛⎭⎫-35×⎝⎛⎭⎫-54=34.如果α是第四象限角,那么cos α=45,tan α=-34.反思与感悟 同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系,其最基本的应用是“知一求二”,要注意这个角所在的象限,由此来决定所求的是一解还是两解,同时应体会方程思想的应用.跟踪训练1 已知tan α=43,且α是第三象限角,求sin α,cos α的值.解 由tan α=sin αcos α=43,得sin α=43cos α.① 又sin 2α+cos 2α=1,②由①②得169cos 2α+cos 2α=1,即cos 2α=925.又α是第三象限角,∴cos α=-35,sin α=43cos α=-45.探究点二 三角函数式的化简 例2 已知α是第三象限角,化简:1+sin α1-sin α-1-sin α1+sin α.解 原式=(1+sin α)2(1-sin α)(1+sin α)-(1-sin α)2(1+sin α)(1-sin α)=(1+sin α)2cos 2α-(1-sin α)2cos 2α=1+sin α|cos α|-1-sin α|cos α|=2sin α|cos α|. ∵α是第三象限角,∴cos α<0.∴原式=2sin α-cos α=-2tan α.即1+sin α1-sin α-1-sin α1+sin α=-2tan α.反思与感悟 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用,切实分析好同角三角函数间的关系.化简过程中常用的方法有:(1)化切为弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号下化成完全平方式,然后去根号,达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解.(4)关于sin α,cos α的齐次式的求值方法:①sin α,cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α,cos α的式子且它们的次数之和相同,设为n 次,将分子,分母同除以cos α的n 次幂,其式子可化为关于tan α的式子,再代入求值.②若无分母时,把分母看作1,并将1用sin 2α+cos 2α来代换,将分子、分母同除以cos 2α,可化为关于tan α的式子,再代入求值. 跟踪训练2 已知tan α=3,则 (1)2sin α-3cos α4sin α-9cos α= ; (2)sin 2α-3sin αcos α+1= . 答案 (1)1 (2)1解析 (1)2sin α-3cos α4sin α-9cos α=2tan α-34tan α-9=2×3-34×3-9=1;(2)sin 2α-3sin αcos α+1=sin 2α-3sin αcos α+sin 2α+cos 2αsin 2α+cos 2α=2sin 2α-3sin αcos α+cos 2αsin 2α+cos 2α=2tan 2α-3tan α+1tan 2α+1 =2×32-3×3+132+1=1.探究点三 三角恒等式的证明 例3 求证:cos α1-sin α=1+sin αcos α.证明 方法一 左边=cos 2αcos α(1-sin α)=1-sin 2αcos α(1-sin α)=(1-sin α)(1+sin α)cos α(1-sin α)=1+sin αcos α=右边,∴原等式成立.方法二 ∵sin 2α+cos 2α=1,∴cos 2α=1-sin 2α. ∴cos 2α=(1-sin α)·(1+sin α). ∴cos α1-sin α=1+sin αcos α.方法三 右边=(1+sin α)(1-sin α)cos α(1-sin α)=1-sin 2αcos α(1-sin α)=cos 2αcos α(1-sin α)=cos α1-sin α=左边, ∴原等式成立.方法四 左边=cos 2αcos α(1-sin α),右边=(1+sin α)(1-sin α)cos α(1-sin α)=1-sin 2αcos α(1-sin α)=cos 2αcos α(1-sin α), ∵左边=右边,∴原等式成立. 方法五 ∵cos α1-sin α-1+sin αcos α=cos 2α-(1+sin α)(1-sin α)cos α(1-sin α)=cos 2α-(1-sin 2α)cos α(1-sin α)=cos 2α-cos 2αcos α(1-sin α)=0,∴cos α1-sin α=1+sin αcos α.反思与感悟 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异,有目的地进行化简.证明三角恒等式的基本原则:由繁到简.常用方法:从左向右证;从右向左证;左、右同时证.常用技巧:切化弦、整体代换.跟踪训练3 求证:2sin x cos x -1cos 2x -sin 2x =tan x -1tan x +1.证明 方法一 ∵左边=2sin x cos x -(sin 2x +cos 2x )cos 2x -sin 2x =-(sin 2x -2sin x cos x +cos 2x )cos 2x -sin 2x =(sin x -cos x )2sin 2x -cos 2x=(sin x -cos x )2(sin x -cos x )(sin x +cos x )=sin x -cos x sin x +cos x =tan x -1tan x +1=右边. ∴原式成立.方法二 ∵右边=sin xcos x-1sin x cos x +1=sin x -cos x sin x +cos x ;左边=1-2sin x cos x sin 2x -cos 2x =(sin x -cos x )2sin 2x -cos 2x =(sin x -cos x )2(sin x -cos x )·(sin x +cos x )=sin x -cos xsin x +cos x . ∴左边=右边,原等式成立.1.化简:1-2sin 40°cos 40°= . 答案 cos 40°-sin 40° 解析 原式=sin 240°+cos 240°-2sin 40°cos 40°=(sin 40°-cos 40°)2=|cos 40°-sin 40°|=cos 40°-sin 40°.2.已知α是第三象限角,sin α=-13,则tan α= .答案24解析 由α是第三象限的角,得到cos α<0, 又sin α=-13,所以cos α=-1-⎝⎛⎭⎫-132=-223, 则tan α=sin αcos α=24. 3.若α是第三象限角,化简:1+cos α1-cos α+1-cos α1+cos α.解 ∵α是第三象限角,∴sin α<0, 由三角函数线可知-1<cos α<0.∴1+cos α1-cos α+1-cos α1+cos α=(1+cos α)21-cos 2α+(1-cos α)21-cos 2α= (1+cos α)2sin 2α+(1-cos α)2sin 2α=⎪⎪⎪⎪⎪⎪1+cos αsin α+⎪⎪⎪⎪⎪⎪1-cos αsin α=-1+cos αsin α-1-cos αsin α=-2sin α.4.求证:tan θ·sin θtan θ-sin θ=1+cos θsin θ.证明 左边=sin θcos θ·sin θsin θcos θ-sin θ=sin 2θsin θ-sin θcos θ=1-cos 2θsin θ(1-cos θ) =(1-cos θ)·(1+cos θ)sin θ·(1-cos θ)=1+cos θsin θ=右边.∴原等式成立. [呈重点、现规律]1.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律,它的精髓在“同角”二字上,如sin 22α+cos 22α=1,sin 8αcos 8α=tan 8α等都成立,理由是式子中的角为“同角”.2.已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值时,要注意公式的合理选择.一般是先选用平方关系,再用商数关系.在应用平方关系求sin α或cos α时,其正负号是由角α所在象限来决定,切不可不加分析,凭想象乱写公式.3.在三角函数的变换求值中,已知sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α中的一个,可以利用方程思想,求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时,细心观察题目的特征,灵活、恰当地选用公式,统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系式主要是统一函数,要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时,注意方法的灵活运用,常用的技巧有:①“1”的代换;②减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等);③多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等);④对条件或结论的重新整理、变形,以便于应用同角三角函数关系来求解.一、基础过关1.已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α等于 ( )A.-1213B.-513C.513D.1213答案 A解析 因为α为第二象限角, 所以cos α=-1-sin 2α=-1213.2.已知sin α=55,则sin 4α-cos 4α的值为( ) A.-15 B.-35 C.15 D.35答案 B解析 sin 4α-cos 4α=sin 2α-cos 2α=2sin 2α-1 =2×15-1=-35.3.已知α是第二象限的角,tan α=-12,则cos α等于( )A.-55 B.-15 C.-255 D.-45答案 C解析 ∵α是第二象限角,∴cos α<0. 又sin 2α+cos 2α=1,tan α=sin αcos α=-12, ∴cos α=-255.4.若sin α+sin 2α=1,则cos 2α+cos 4α等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B解析 sin α+sin 2α=1得sin α=cos 2α, ∴cos 2α+cos 4α=sin α+sin 2α=1.5.化简:sin 2α+sin 2β-sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β= . 答案 1解析 原式=sin 2α+sin 2β(1-sin 2α)+cos 2αcos 2β =sin 2α+sin 2βcos 2α+cos 2αcos 2β =sin 2α+cos 2α(sin 2β+cos 2β) =sin 2α+cos 2α=1.6.已知直线l 的倾斜角是θ,且sin θ=513,则直线l 的斜率k = .答案 ±512解析 因为直线l 的倾斜角是θ,所以θ∈[0,π). 又因为sin θ=513,sin 2θ+cos 2θ=1,所以cos θ=±1-(513)2=±1213,于是直线l 的斜率k =sin θcos θ=±512.7.(1)化简1-sin 2100°;(2)用tan α表示sin α+cos α2sin α-cos α,sin 2α+sin αcos α+3cos 2α.解 (1)1-sin 2100°=cos 2100°=|cos 100°|=-cos 100°.(2)sin α+cos α2sin α-cos α=sin α+cos αcos α2sin α-cos αcos α=tan α+12tan α-1, sin 2α+sin αcos α+3cos 2α=sin 2α+sin αcos α+3cos 2αsin 2α+cos 2α=sin 2α+sin αcos α+3cos 2 αcos 2αsin 2α+cos 2αcos 2α=tan 2α+tan α+3tan 2α+1. 二、能力提升8.已知tan θ=2,则sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ等于( ) A.-43 B.54 C.-34 D.45答案 D解析 sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ=sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tan θ-2tan 2θ+1, 又tan θ=2,故原式=4+2-24+1=45.9.已知sin α-cos α=-52,则tan α+1tan α的值为( ) A.-4 B.4 C.-8 D.8 答案 C解析 tan α+1tan α=sin αcos α+cos αsin α=1sin αcos α.∵sin αcos α=1-(sin α-cos α)22=-18,∴tan α+1tan α=-8. 10.已知tan α=-12,则1+2sin αcos αsin 2α-cos 2α的值是 . 答案 -13解析 原式=(sin α+cos α)2sin 2α-cos 2α=sin α+cos αsin α-cos α=tan α+1tan α-1=-12+1-12-1=-13. 11.已知4sin θ-2cos θ3sin θ+5cos θ=611,求下列各式的值. (1)5cos 2θsin 2θ+2sin θcos θ-3cos 2θ; (2)1-4sin θcos θ+2cos 2θ.解 由已知4sin θ-2cos θ3sin θ+5cos θ=611, ∴4tan θ-23tan θ+5=611.解得:tan θ=2. (1)原式=5tan 2θ+2tan θ-3=55=1. (2)原式=sin 2θ-4sin θcos θ+3cos 2θ=sin 2θ-4sin θcos θ+3cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ-4tan θ+31+tan 2θ=-15. 12.求证:cos α1+sin α-sin α1+cos α=2(cos α-sin α)1+sin α+cos α. 证明 方法一 左边=cos α(1+cos α)-sin α(1+sin α)(1+sin α)(1+cos α)=cos 2α-sin 2α+cos α-sin α1+sin α+cos α+sin αcos α=(cos α-sin α)(cos α+sin α+1)12(cos α+sin α)2+sin α+cos α+12 =2(cos α-sin α)(cos α+sin α+1)(sin α+cos α+1)2=2(cos α-sin α)1+sin α+cos α=右边.∴原式成立. 方法二 ∵cos α1+sin α=1-sin αcos α=cos α+1-sin α1+sin α+cos α, sin α1+cos α=1-cos αsin α=sin α+1-cos α1+cos α+sin α, ∴cos α1+sin α-sin α1+cos α=2(cos α-sin α)1+cos α+sin α. ∴原式成立.三、探究与拓展13.已知sin α+cos α=-13,其中0<α<π,求sin α-cos α的值. 解 因为sin α+cos α=-13,所以(sin α+cos α)2=19, 所以1+2sin αcos α=19,所以sin αcos α=-49. 因为0<α<π且sin αcos α<0,所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0.又因为(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=179, 所以sin α-cos α=173.。

高中数学人教B版必修四讲义:第一章 1.2 1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含答案

高中数学人教B版必修四讲义:第一章 1.2 1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含答案

1.2.3同角三角函数的基本关系式(1)同角三角函数的基本关系式有哪两种?(2)已知sin α,cos α和tan α其中的一个值,如何求其余两个值?[新知初探]同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1. (2)商数关系:tan_α=sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π+π2,k ∈Z .这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切⎝⎛⎭⎫α≠k π+π2,k ∈Z .[点睛] (1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,即与角的表达形式无关,如sin 23α+cos 23α=1成立,但是sin 2α+cos 2β=1就不一定成立.(2)sin 2α是(sin α)2的简写,读作“sin α的平方”,不能将sin 2α写成sin α2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,两者是不同的,要弄清它们的区别,并能正确书写.(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,sin 2α+cos 2α=1对一切α∈R 恒成立,而tan α=sin αcos α仅对α≠π2+k π(k ∈Z)成立. [小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对任意角α,sin 2α3+cos 2α3=1都成立.( )(2)对任意角α,sin 2αcos 2α=tan 2α都成立.( ) (3)若cos α=0,则sin α=1.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)×2.已知α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,sin α=35,则cos α=( ) A.45 B .-45C .-17D.35答案:A3.已知α是第二象限角,且cos α=-817,则tan α的值是( )A.817 B .-817 C.158 D .-158 答案:D4.已知sin α=513,α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,则tan α=________. 答案:-512[典例] (1)已知tan α=2,则 ①sin α+cos αsin α-cos α=________;②2sin 2α-3cos 2α4sin 2α-9cos 2α=________; ③4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α=________. (2)已知sin α=15,求cos α,tan α的值.[解析] (1)①注意到分式的分子和分母均是关于sin α,cos α的一次齐次式,可将分子分母同除以cos α(∵cos α≠0),然后整体代入tan α=2的值.则sin α+cos αsin α-cos α=tan α+1tan α-1=2+12-1=3. ②注意到分式的分子和分母均是关于sin α,cos α的二次齐次式,分子分母同除以cos 2α(∵cos 2α≠0),则2sin 2α-3cos 2α4sin 2α-9cos 2α=2tan 2α-34tan 2α-9=2×4-34×4-9=57. ③似乎跟前两题没什么联系,但若能注意到sin 2α+cos 2α=1,则有4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α=4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α1=4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2αsin 2α+cos 2α, 这样便使得分子分母均为二次齐次式.同②有4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2αsin 2α+cos 2α=4tan 2α-3tan α-5tan 2α+1=4×4-3×2-54+1=1.答案:①3 ②57③1(2)∵sin α=15>0,∴α是第一或第二象限角.当α为第一象限角时,cos α=1-sin 2α=1-125=265,tan α=sin αcos α=612; 当α为第二象限角时,cos α=-265,tan α=-612.1.求三角函数值的方法(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解当角θ的范围不确定且涉及开方时,常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论.2.已知角α的正切求关于sin α,cos α的齐次式的方法(1)关于sin α,cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α,cos α的式子且它们的次数之和相同,设为n 次,将分子、分母同除以cos α的n 次幂,其式子可化为关于tan α的式子,再代入求值.(2)若无分母时,把分母看作1,并将1用sin 2α+cos 2α来代换,将分子、分母同除以cos 2α,可化为关于tan α的式子,再代入求值.[活学活用](1)已知cos α=-45,求sin α和tan α.(2)已知tan α=2,试求2sin α-3cos αcos α+sin α的值.解:(1)sin 2α=1-cos 2α=1-⎝⎛⎭⎫-452=⎝⎛⎭⎫352, 因为cos α=-45<0,所以α是第二或第三象限角,当α是第二象限角时,sin α=35,tan α=sin αcos α=-34;当α是第三象限角时,sin α=-35,tan α=sin αcos α=34.(2)由tan α=2可得sin α=2cos α,故2sin α-3cos αcos α+sin α=4cos α-3cos αcos α+2cos α=cos α3cos α=13.三角函数式的化简[典例](1)化简:1-2sin 130°cos 130°sin 130°+1-sin2130°.(2)若角α是第二象限角,化简:tan α1sin2α-1.[解](1)原式=sin2130°-2sin 130°cos 130°+cos2130°sin 130°+cos2130°=|sin 130°-cos 130°| sin 130°+|cos 130°|=sin 130°-cos 130°sin 130°-cos 130°=1.(2)原式=tan α1-sin2αsin2α=tan αcos2αsin2α=sin αcos α×|cos α||sin α|,因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以原式=sin αcos α×|cos α||sin α|=sin αcos α×-cos αsin α=-1.三角函数式的化简技巧(1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin 2α+cos 2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.[活学活用]化简:(1)sin α1-cos α·tan α-sin αtan α+sin α;(2)(1-tan θ)·cos 2θ+⎝⎛⎭⎫1+1tan θ·sin 2θ. 解:(1)原式=sin α1-cos α·1-cos α1+cos α=sin α1-cos α·(1-cos α)21-cos 2α=sin α1-cos α·1-cos α|sin α|=±1. (2)原式=cos θ-sin θcos θ·cos 2θ+sin θ+cos θsin θ·sin 2θ=cos 2θ-sin θcos θ+sin 2θ+sin θcos θ =cos 2θ+sin 2θ=1.证明简单的三角恒等式[典例] 求证:tan αsin αtan α-sin α=tan α+sin αtan αsin α.[证明] [法一 直接法] 左边=tan αsin α(tan α+sin α)tan 2α-sin 2α=tan αsin α(tan α+sin α)tan 2α-tan 2αcos 2α=tan αsin α(tan α+sin α)tan 2α(1-cos 2α)=tan αsin α(tan α+sin α)tan 2αsin 2α=tan α+sin αtan αsin α=右边, ∴原等式成立. [法二 左右归一法]左边=tan αsin αtan α-tan αcos α=sin α1-cos α,右边=tan α+tan αcos αtan αsin α=1+cos αsin α=1-cos 2αsin α(1-cos α)=sin 2αsin α(1-cos α)=sin α1-cos α,∴左边=右边,原等式成立. [法三 比较法]∵tan αsin αtan α-sin α-tan α+sin αtan αsin α =tan 2αsin 2α-(tan 2α-sin 2α)tan αsin α(tan α-sin α)=tan 2αsin 2α-tan 2α+sin 2αtan αsin α(tan α-sin α) =tan 2α(sin 2α-1)+sin 2αtan αsin α(tan α-sin α)=-tan 2αcos 2α+sin 2αtan αsin α(tan α-sin α)=-sin 2α+sin 2αtan αsin α(tan α-sin α)=0,∴tan αsin αtan α-sin α=tan α+sin αtan αsin α. [法四 综合法]∵(tan α-sin α)(tan α+sin α) =tan 2α-sin 2α=tan 2α-tan 2α·cos 2α =tan 2α(1-cos 2α) =tan 2α·sin 2α,∴tan αsin αtan α-sin α=tan α+sin αtan αsin α.证明三角恒等式常用的方法(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.(2)左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子,其依据是等于同一个量的两个量相等.(3)综合法:即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.(4)比较法:即证左边-右边=0或证左边右边=1.[活学活用]求证:2(1-sin α)(1+cos α)=(1-sin α+cos α)2. 证明:法一:左边=2-2sin α+2cos α-2sin αcos α =1+sin 2α+cos 2α-2sin αcos α+2(cos α-sin α) =1+2(cos α-sin α)+(cos α-sin α)2 =(1-sin α+cos α)2=右边.法二:∵左边=2-2sin α+2cos α-2sin αcos α,右边=1+sin 2α+cos 2α-2sin α+2cos α-2sin αcos α=2-2sin α+2cos α-2sin αcos α, ∴左边=右边.sin α±cos α与sin αcos α关系的应用[典例] 已知sin θ+cos θ=12(0<θ<π),求sin θcos θ和sin θ-cos θ的值.[解] 因为sin θ+cos θ=12(0<θ<π),所以(sin θ+cos θ)2=14,即sin 2θ+2sin θcos θ+cos 2θ=14,所以sin θcos θ=-38.由上知,θ为第二象限的角, 所以sin θ-cos θ>0, 所以sin θ-cos θ = (sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ=⎝⎛⎭⎫122-4×⎝⎛⎭⎫-38=72.已知sin α±cos α,sin αcos α求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有:①(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; ②(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α; ③(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2; ④(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin αcos α.上述三角恒等式告诉我们,已知sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α中的任何一个,则另两个式子的值均可求出.[活学活用]1.已知0<θ<π,且sin θ-cos θ=15,求sin θ+cos θ,tan θ的值.解:∵sin θ-cos θ=15,∴(sin θ-cos θ)2=125.解得sin θcos θ=1225. ∵0<θ<π,且sin θ·cos θ=1225>0,∴sin θ>0,cos θ>0. ∴sin θ+cos θ=(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=1+2425=75. 由⎩⎨⎧sin θ-cos θ=15,sin θ+cos θ=75,得⎩⎨⎧sin θ=45,cos θ=35,∴tan θ=sin θcos θ=43.2.若0<θ<π,sin θcos θ=-60169,求sin θ-cos θ. 解:∵0<θ<π,sin θcos θ=-60169<0,∴sin θ>0,cos θ<0.∴sin θ-cos θ>0. ∴sin θ-cos θ=(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-2×⎝⎛⎭⎫-60169= 289169=1713.层级一 学业水平达标1.若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值等于( )A.125 B .-125 C.512D .-512解析:选D 因为sin α=-513,且α为第四象限角, 所以cos α=1213,所以tan α=-512,故选D.2.若α为第三象限角,则cos α1-sin 2α+2sin α1-cos 2α的值为( )A .3B .-3C .1D .-1解析:选B ∵α为第三象限角, ∴原式=cos α-cos α+2sin α-sin α=-3.3.下列四个结论中可能成立的是( )A .sin α=12且cos α=12B .sin α=0且cos α=-1C .tan α=1且cos α=-1D .α是第二象限角时,tan α=-sin αcos α解析:选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证,因为当α=π时,sin α=0且cos α=-1,故B 成立,而A 、C 、D 都不成立.4.已知sin α=55,则sin 4α-cos 4α的值为( ) A .-35B .-15 C.15 D.35解析:选A sin 4α-cos 4α=(sin 2α+cos 2α)(sin 2α-cos 2α)=sin 2α-(1-sin 2α)=2sin 2α-1=2×⎝⎛⎭⎫552-1=-35. 5.若α是三角形的最大内角,且sin α-cos α=35,则三角形是( ) A .钝角三角形B .锐角三角形C .直角三角形D .等腰三角形解析:选B 将sin α-cos α=35两边平方,得1-2sin αcos α=925,即2sin αcos α=1625.又α是三角形的内角,∴sin α>0,cos α>0,∴α为锐角.6.若sin θ=-22,tan θ>0,则cos θ=________. 解析:由已知得θ是第三象限角,所以cos θ=-1-sin 2θ=- 1-⎝⎛⎭⎫-222=-22. 答案:-22 7.化简:1-2sin 40°cos 40°=________.解析:原式=sin 240°+cos 240°-2sin 40°cos 40° = (sin 40°-cos 40°)2=|cos 40°-sin 40°|=cos 40°-sin 40°.答案:cos 40°-sin 40°8.已知tan α=-12,则1+2sin αcos αsin 2α-cos 2α=________. 解析:1+2sin αcos αsin 2α-cos 2α=(sin α+cos α)2sin 2α-cos 2α=sin α+cos αsin α-cos α=tan α+1tan α-1=-12+1-12-1=12-32=-13. 答案:-139.化简:(1)cos 36°-1-cos 236°1-2sin 36°cos 36°; (2)sin θ-cos θtan θ-1. 解:(1)原式=cos 36°-sin 236°sin 236°+cos 236°-2sin 36°cos 36° =cos 36°-sin 36°(cos 36°-sin 36°)2=cos 36°-sin 36°|cos 36°-sin 36°|=cos 36°-sin 36°cos 36°-sin 36°=1. (2)原式=sin θ-cos θsin θcos θ-1=cos θ(sin θ-cos θ)sin θ-cos θ=cos θ. 10.已知sin α+cos α=33,求tan α+1tan α及sin α-cos α的值. 解:将sin α+cos α=33两边平方,得sin αcos α=-13. ∴tan α+1tan α=1sin αcos α=-3, (sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+23=53, ∴sin α-cos α=±153. 层级二 应试能力达标1.已知tan α=12,且α∈⎝⎛⎭⎫π,3π2,则sin α的值是( ) A .-55 B.55C.255 D .-255 解析:选A ∵α∈⎝⎛⎭⎫π,3π2,∴sin α<0. 由tan α=sin αcos α=12,sin 2α+cos 2α=1, 得sin α=-55. 2.化简⎝⎛⎭⎫1sin α+1tan α(1-cos α)的结果是( )A .sin αB .cos αC .1+sin αD .1+cos α解析:选A ⎝⎛⎭⎫1sin α+1tan α(1-cos α)=⎝⎛⎭⎫1sin α+cos αsin α·(1-cos α)=(1+cos α)sin α·(1-cos α)=1-cos 2αsin α=sin 2αsin α=sin α. 3.已知θ是第三象限角,且sin 4θ+cos 4θ=59,则sin θcos θ的值为( ) A.23 B .-23C.13 D .-13解析:选A 由sin 4θ+cos 4θ=59,得 (sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=59. ∴sin 2θcos 2θ=29.∵θ是第三象限角, ∴sin θ<0,cos θ<0,∴sin θcos θ=23. 4.已知sin θ+cos θsin θ-cos θ=2,则sin θcos θ的值是( ) A.34B .±310 C.310 D .-310解析:选C 由条件得sin θ+cos θ=2sin θ-2cos θ,即3cos θ=sin θ,tan θ=3,∴sin θcos θ=sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=tan θ1+tan 2θ=31+32=310. 5.已知sin αcos α=18,且π<α<5π4,则cos α-sin α=________. 解析:因为π<α<5π4,所以cos α<0,sin α<0.利用三角函数线,知cos α<sin α,所以cos α-sin α<0,所以cos α-sin α=-(cos α-sin α)2=-1-2×18=-32. 答案:-32 6.若sin α+cos α=1,则sin n α+cos n α(n ∈Z)的值为________.解析:∵sin α+cos α=1,∴(sin α+cos α)2=1,又sin 2α+cos 2α=1,∴sin αcos α=0,∴sin α=0或cos α=0,当sin α=0时,cos α=1,此时有sin n α+cos n α=1;当cos α=0时,sin α=1,也有sin n α+cos n α=1,∴sin n α+cos n α=1.答案:17.已知tan 2α1+2tan α=13,α∈⎝⎛⎭⎫π2,π. (1)求tan α的值;(2)求sin α+2cos α5cos α-sin α的值. 解:(1)由tan 2α1+2tan α=13, 得3tan 2α-2tan α-1=0,即(3tan α+1)(tan α-1)=0,解得tan α=-13或tan α=1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,所以tan α<0,所以tan α=-13. (2)由(1),得tan α=-13,所以sin α+2cos α5cos α-sin α=tan α+25-tan α=-13+25-⎝⎛⎭⎫-13=516.8.证明:(1)1-cos 2αsin α-cos α-sin α+cos αtan 2α-1=sin α+cos α; (2)(2-cos 2α)(2+tan 2α)=(1+2tan 2α)(2-sin 2α).证明:(1)左边=sin 2αsin α-cos α-sin α+cos αsin 2αcos 2α-1 =sin 2αsin α-cos α-sin α+cos αsin 2α-cos 2αcos 2α=sin 2αsin α-cos α-cos 2α(sin α+cos α)sin 2α-cos 2α=sin 2αsin α-cos α-cos 2αsin α-cos α=sin 2α-cos 2αsin α-cos α =sin α+cos α=右边,∴原式成立.(2)∵左边=4+2tan 2α-2cos 2α-sin 2α=2+2tan 2α+sin 2α, 右边=(1+2tan 2α)(1+cos 2α)=1+2tan 2α+cos 2α+2sin 2α=2+2tan 2α+sin 2α, ∴左边=右边,∴原式成立.。

2018版高中数学人教B版必修四学案:1.2.3 同角三角函数的基本关系式

2018版高中数学人教B版必修四学案:1.2.3 同角三角函数的基本关系式

1.2.3 同角三角函数的基本关系式[学习目标] 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.[知识链接]如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式?答 设点P (x ,y )为α终边上任意一点,P 与O 不重合.P 到原点的距离为r =x 2+y 2>0,则sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=y x. 于是sin 2α+cos 2α=⎝⎛⎭⎫y r 2+⎝⎛⎭⎫x r 2=y 2+x 2r 2=1, sin αcos α=y r x r=y x=tan α. 即sin 2α+cos 2α=1,tan α=sin αcos α. [预习导引]1.任意角三角函数的定义如图所示,以任意角α的顶点O 为坐标原点,以角α的始边的方向作为x 轴的正方向,建立直角坐标系.设P (x ,y )是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点. 其中,r =OP =x 2+y 2>0.则sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=y x. 2.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1.(2)商数关系:tan α=sin αcos α (α≠k π+π2,k ∈Z ). 3.同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α+cos 2α=1的变形公式:sin 2α=1-cos 2α;cos 2α=1-sin 2α;(2)tan α=sin αcos α的变形公式: sin α=cos_αtan_α;cos α=sin αtan α.要点一 利用同角基本关系式求值例1 已知cos α=-817,求sin α,tan α的值. 解 ∵cos α=-817<0,∴α是第二或第三象限的角,如果α是第二象限角,那么 sin α=1-cos 2α= 1-⎝⎛⎭⎫-8172=1517, tan α=sin αcos α=1517-817=-158. 如果α是第三象限角,同理可得sin α=-1-cos 2α=-1517,tan α=158. 规律方法 已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值时,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.另外也要注意“1”的代换,如“1=sin 2α+cos 2α”.本题没有指出α是第几象限的角,则必须由cos α的值推断出α所在的象限,再分类求解.跟踪演练1 已知tan α=43,且α是第三象限角,求sin α,cos α的值. 解 由tan α=sin αcos α=43,得sin α=43cos α① 又sin 2α+cos 2α=1②由①②得169cos 2α+cos 2α=1,即cos 2α=925. 又α是第三象限角,∴cos α=-35,sin α=43cos α=-45. 要点二 三角函数代数式的化简。

高中数学人教B版必修4作业:1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含解析

高中数学人教B版必修4作业:1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含解析

一、选择题1.如果α是第二象限的角,下列各式中成立的是( )A .tan α=-sin αcos αB .cos α=-1-sin 2 αC .sin α=-1-cos 2 αD .tan α=cos αsin α【解析】 由商数关系可知A 、D 均不正确,当α为第二象限角时,cos α<0,sin α>0,故B 正确.【答案】 B2.已知α∈(π2,π),sin α=35,则cos α等于( )A.45B .-45C .-17 D.35【解析】 ∵α∈(π2,π),∴cos α<0,∵sin 2α+cos 2α=1.∴cos α=-1-sin 2α=-45.【答案】 B3.已知α是第四象限角,tan α=-512,则sin α=( )A.15B .-15 C.513 D .-513【解析】 ∵α是第四象限角,∴sin α<0.由tan α=-512得sin αcos α=-512,∴cos α=-125sin α,由sin 2α+cos 2α=1得sin 2α+(-125sin α)2=1,∴16925sin 2α=1,sin α=±513.∵sin α<0,∴sin α=-513.【答案】 D4.已知sin α-cos α=-52,则tan α+1tan α的值为( )A .-4B .4C .-8D .8【解析】 tan α+1tan α=sin αcos α+cos αsin α=sin 2α+cos 2αsin αcos α=1sin αcos α.∵sin α-cos α=-52,∴1-2sin αcos α=54,∴sin αcos α=-18,∴1sin αcos α=-8.【答案】 C5.若sin θ=m -3m +5,cos θ=4-2m m +5,则m 的值为( ) A .0B .8C .0或8D .3<m <9【解析】 由sin 2 θ+cos 2 θ=1得(m -3m +5)2+(4-2m m +5)2=1 解得m =0或8,故选C.【答案】 C二、填空题6.(2019·长沙高一检测)若α为第三象限角,则cos α1-sin 2 α+2sin α1-cos 2 α的值为________.【解析】 ∵α为第三象限角,∴sin α<0,cos α<0,∴原式=cos α|cos α|+2sin α|sin α|=cos α-cos α+2sin α-sin α=-1-2=-3. 【答案】 -37.(2019·唐山高一检测)若4sin α-2cos α5cos α+3sin α=10,则tan α的值为________. 【解析】 ∵4sin α-2cos α5cos α+3sin α=10, ∴4sin α-2cos α=50cos α+30sin α,∴26sin α=-52cos α,即sin α=-2cos α.∴tan α=-2.【答案】 -28.(2019·德州高一检测)在△ABC 中,2sin A =3cos A ,则角A =________.【解析】 由题意知cos A >0,即A 为锐角. 将2sin A =3cos A 两边平方得2sin 2 A =3cos A .∴2cos 2 A +3cos A -2=0,解得cos A =12或cos A =-2(舍去), ∴A =π3.【答案】 π3三、解答题9.求证:sin θ(1+tan θ)+cos θ·(1+1tan θ)=1sin θ+1cos θ.【证明】 左边=sin θ(1+sin θcos θ)+cos θ·(1+cos θsin θ)=sin θ+sin 2θcos θ+cos θ+cos 2θsin θ=(sin θ+cos 2θsin θ)+(cos θ+sin 2θcos θ)=(sin 2θ+cos 2θsin θ)+(sin 2θ+cos 2θcos θ)=1sin θ+1cos θ=右边.∴原等式成立.10.若3π2<α<2π,化简1-cos α1+cos α+1+cos α1-cos α.【解】∵3π2<α<2π,∴sin α<0.∴原式=(1-cos α)2(1+cos α)(1-cos α)+(1+cos α)2(1-cos α)(1+cos α)=(1-cos α)2sin2α+(1+cos α)2sin2α=|1-cos α||sin α|+|1+cos α||sin α|.∵sin α<0,∴原式=-1-cos αsin α-1+cos αsin α=-2 sin α.11.已知tan α=3,求下列各式的值:(1)3cos α-sin α3cos α+sin α;(2)2sin2α-3sin αcos α;(3)5sin3α+cos α2 cos3α+sin2αcos α.【解】因为已知tan α=3,所以逆用公式把弦函数化成切函数.∵tan α=3,∴cos α≠0.(1)原式=3cos α-sin αcos α3cos α+sin αcos α=3-tan α3+tan α=3-33+3=1-31+3=-2+ 3.(2)原式=2sin2α-3sin αcos αsin2α+cos2α=2sin2α-3sinαcosαcos2αsin2α+cos2αcos2α=2tan2α-3tan αtan2α+1=2×32-3×332+1=910.(3)法一:原式=5sin3α+cos α(sin2α+cos2α) 2cos3α+sin2αcos α=5tan3α+tan2α+12+tan2α=14511.法二:原式=5tan3α+1cos2α2+tan2α=5tan3α+1+tan2α2+tan2α=14511.。

同角三角函数的基本关系-2017-2018学年高一数学人教版(必修4)同步检测卷含解析

同角三角函数的基本关系-2017-2018学年高一数学人教版(必修4)同步检测卷含解析

第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系一、选择题1.已知sin α=35,且α为第二象限角,则tan α的值为 A .–34 B .34 C .43 D .–43【答案】A【解析】∵sin α=35,且α为第二象限角,∴cos α=–45,则tan α=sin cos αα=–34,故选A .2.若sin α–2cos α=0,则21cos 2sin cos ααα+的值为 A .–2B .–1C .1D .2【答案】C 【解析】∵sin α–2cos α=0,∴tan α=2,则222221sin cos tan 1cos 2sin cos cos 2sin cos 12tan αααααααααα++==+++=1,故选C .3.已知α为三角形的一个内角,且cos α=45,则tan α的值为 A .–34 B .43 C .34 D .±43【答案】C【解析】∵α为三角形的一个内角,且cos α=45,∴sin α35,则tan α=sin 3cos 4αα=,故选C .4.如果sin 2cos 52sin 5cos αααα-=-+,则tan α的值为 A .–2B .2C .2316D .2311- 【答案】D 【解析】由题意,得sin 2cos tan 252sin 5cos 2tan 5αααααα--=-=++,解得tan α=–2311,故选D . 5.若sin α=–1213,且α为第四象限角,则tan α的值等于 A .125 B .–125 C .512 D .–512【答案】B【解析】∵sin α=–1213,且α为第四象限角,∴cos α513,则tan α=sin cos αα=–125,故选B .6.已知sin cos 3cos 3sin αααα-=+,则2sin 2α+sin αcos α= A .0 B .–15 C .25- D .25【答案】A 【解析】∵已知sin cos tan 13cos 3sin 13tan αααααα--==++,∴tan=–12,则2sin 2α+sin αcos α=2222sin sin cos sin cos ααααα+=+222tan tan tan 1ααα++=0,故选A .7A .sin4+cos4B .sin4–cos4C .cos4–sin4D .–sin4–cos4【答案】C8.已知2sin α–cos α=0,则sin 2α–2sin αcos α的值为A .35-B .125-C .35D .125【答案】A【解析】∵2sin α–cos α=0,∴tan α=12,则sin 2α–2sin αcos α=22222sin 2sin cos tan 2tan sin cos tan 1αααααααα--=++=–35,故选A . 9.已知4sin cos 3αα-=,则sin αcos α= A .718- B .79- C .218 D .79【答案】A 【解析】∵已知4sin cos 3αα-=,平方可得1–2sin αcos α=169,∴sin αcos α=–718,故选A . 10.已知cos θ=13,且θ是第四象限角,则sin θ的值是A .–13BCD . 【答案】B【解析】∵知cos θ=13,且θ是第四象限角,则sin θ==,故选B .二、填空题11.已知tan θ=cos sin cos sin θθθθ+-=___________. 【答案】–3–【解析】∵tan θcos sin 1tan cos sin 1tan θθθθθθ++==--=–3–3–12.α是第二象限角,且tan α=t ,则sin α=___________(用t 表示)13.已知θ是第一象限角,若2sin 2cos 5θθ-=-,则sin θ+cos θ=___________. 【答案】75【解析】∵sin θ–2cos θ=–25,则(2cos θ–25)2+cos 2θ=1,∴5cos 2θ–85cos θ–2125=0,即(cos θ–35)(5cos θ+75)=0,又∵θ为第一象限的角,∴cos θ=35,sin θ=45,从而sin θ+cos θ=75.故答案为:75. 14.已知tan 1tan 1αα=--,则sin 3cos sin cos αααα-+=___________. 【答案】53- 【解析】∵已知tan 1tan 1αα=--,∴tan α=12,则sin 3cos tan 3sin cos tan 1αααααα--=++=–53,故答案为:53-. 15.α是第一象限角,tan α=34,则sin α=___________. 【答案】35【解析】由22sin 3tan cos 4sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩,解得sin α=±35.∵α是第一象限角,∴sin α=35.故答案为:35. 16.已知sin 2cos 22sin cos θθθθ+=-,则tan θ=___________.【答案】43【解析】由sin 2cos tan 222sin cos 2tan 1θθθθθθ++==--,解得tan θ=43,故答案为:43. 三、解答题17.已知tan θ=2,求下列各式的值.(1)4sin 2cos 3sin 5cos θθθθ-+; (2)1–4sin θcos θ+2cos 2θ.【解析】(1)原式=4sin 2cos 4tan 263sin 5cos 3tan 511θθθθθθ--==++; (2)原式=sin 2θ–4sin θcos θ+3cos 2θ=222222sin 4sin cos 3cos tan 4tan 3sin cos 1tan θθθθθθθθθ-+-+=++=–15. 18.已知sin α=2cos α,计算:(1)2sin cos sin 2cos αααα-+; (2)sin 2α+sin αcos α–2cos 2α【解析】(1)由已知得,tan α=2, ∴2sin cos 2tan 12213sin 2cos tan 2224αααααα--⨯-===+++. (2)sin 2α+sin αcos α–2cos 2α=22sin sin cos 2cos 1αααα+- =222222sin sin cos 2cos tan tan 24224sin cos tan 1415ααααααααα+-+-+-===+++. 19.已知(tan α–3)(sin α+cos α+3)=0,求值:(1)4sin 2cos 5cos 3sin αααα++ (2)22212sin cos 34αα++.20.已知角α终边上一点P (2m ,1),且1sin 3α=. (1)求实数m 的值;(2)求tan α的值.【解析】(1)由角α终边上一点P (2m ,1),且1sin 3α=,13=,解得m =.(2)当m =tan α=12m ==;当m =tan α=12m .21.已知P (–2,y )是角θ终边上的一点,且sin θ=,求cos θ,tan θ的值.【解析】P (–2,y )是角θ终边上的一点,且sin θ=>0, ∴θ为第二象限角,∴cos θ==,tan θ=sin 1cos 2θθ=.。

高一数学人教B版必修4课时作业1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含解析

高一数学人教B版必修4课时作业1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含解析
答案:D
5.已知θ∈(0,2π),且sinθ,cosθ是方程x2-kx+k+1=0的两个实根,求k,θ的值.
解析:依题意有sinθ+cosθ=k,①
sinθcosθ=k+1,②
又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,
所以k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1,
显然|sinθcosθ|=|k+1|≤1,
= = ,故选A.
答案:A
3.化简 (1-cosα)的结果是()
A.sinαB.cosα
C.1+sinαD.1+cosα
解析:原式= (1-cosα)= = =sinα.
答案:A
4.已知sinαcosα= ,且π<α< ,则cosα-sinα的值为()
A. B.-
C. D.-
解析:∵(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-2× = ,且π<α< ,
答案:C
3.已知 =-5,那么tanα的值为()
A.-2B.2
C. D.-
解析:原式左边分子和分母同除以cosα,得 =-5,解得tanα=- .
答案:D
4.已知cosA+sinA= ,角A为第四象限角,则tanA等于()
A. B.
C.- D.-
解析:由已知条件及sin2A+cos2A=1,可解得cosA= ,sinA=- ,故tanA= =- ,选D.
答案:4
10.已知sinθ= ,cosθ= , <θ<π,求tanθ的值.
解析:∵sin2θ+cos2θ=1,∴ 2+ 2=1,
整理得m2-8m=0,∴m=0或m=8.
当m=0时,sinθ=- ,不符合 <θ<π,舍去,
当m=8时,sinθ= ,cosθ=- ,满足题意.

数学人教B版必修4同步训练:1.2.3同角三角函数的基本

数学人教B版必修4同步训练:1.2.3同角三角函数的基本

1.2.3 同角三角函数的基本关系式知识点一:平方关系1.若α是第四象限角,cosα=1213,则sinα等于A.513 B .-513 C.512 D .-512 2.化简1-2sin4cos4的结果为A .sin4+cos4B .sin4-cos4C .cos4-sin4D .-sin4-cos4 3.已知cosα=15,且tanα<0,则sinα的值为A .±265 B.612 C .- 265 D .±6124.化简sin 2α+cos 2αsin 2α+cos 4α=__________. 5.化简1-2sin10°·cos10°sin10°-1-sin 210°的值为__________.知识点二:商数关系6.已知sinα=35,α∈(0,π),则tanα的值为A.43B.34 C .±34 D .±43 7.已知cosθ=35且3π2<θ<2π,那么tanθ的值为A.43 B .-43 C.35 D .-34 8.若tanα=32,则4sinα+cosα5sinα-2cosα的值等于A.1411 B .2 C .-109 D.1411或1019 9.下列四个命题可能成立的是 A .sinα=12且cosα=12B .sinα=0且cosα=-1C .tanα=1且cosα=-1D .tanα=-1且sinα=3210.已知α是第四象限角,tanα=-512,求sinα.能力点一:利用基本关系式求值11.若角α的终边落在直线y =-x 上,则sinα1-sin 2α+1-cos 2αcosα的值等于 A .0 B .2 C .-2 D .2tanα 12.已知tanα=-12,则2sinαcosαsin 2α-cos 2α的值是A.43 B .3 C .-43 D .-3 13.若sinx +sin 2x =1,则cos 2x +cos 4x =__________.14.(2010全国高考Ⅱ,文13)已知α是第二象限的角,tanα=12,则cosα=__________.15.已知sinα+cosαsinα-cosα=2,求下列各式的值:(1)3sinα-cosα2sinα+3cosα; (2)sin 2α-2sinαcosα+1.16.已知sinα=45,求tanα的值.能力点二:利用基本关系式化简 17.使1-cosα1+cosα=cosα-1sinα成立的α的范围是A .{α|2kπ-π<α<2kπ,k ∈Z }B .{α|2kπ-π≤α≤2kπ,k ∈Z }C .{α|2kπ+π<α<2kπ+3π2,k ∈Z }D .只能是第三或第四象限的角18.已知sinθ+cosθ=-1,则sin 2 009θ+cos 2 009θ的值为__________. 19.化简下列各式. (1)1-2sin20°cos20°sin20°-1-sin 220°; (2)(1+sinα1-sinα-1-sinα1+sinα)·(1-cosα1+cosα-1+cosα1-cosα).能力点三:利用基本关系式证明 20.求证:(1)tanα-1tanα=1-2cos 2αsinαcosα;(2)(1+tanα)2+(1-tanα)2=2cos 2α.21.求证:3-sin 4α-cos 4α2cos 2α=1+tan 2α+sin 2α. 22.已知tan 2α=2tan 2β+1,求证:sin 2β=2sin 2α-1.23.已知在△ABC 中,sinA +cosA =15.(1)求sinAcosA ;(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求tanA 的值.答案与解析基础巩固1.B2.C 原式=|sin4-cos4|,而4>5π4,由单位圆中的三角函数线得:sin4<cos4<0,∴原式=cos4-sin4.3.C ∵cosα=15>0且tanα<0,∴角α为第四象限角. ∴sinα=-1-cos 2α=-265. 4.1 原式=sin 2α+cos 2α(sin 2α+cos 2α)=sin 2α+cos 2α=1. 5.-1 原式= (sin10°-cos10°)2sin10°-cos 210°=|sin10°-cos10°|sin10°-cos10°=cos10°-sin10°sin10°-cos10°=-1.6.C 由sin 2α+cos 2α=1,α∈(0,π), ∴cosα=±45.∴tanα=sinαcosα=±34.7.B8.A ∵tanα=32,∴cosα≠0.∴原式=4sinαcosα+15sinαcosα-2=4tanα+15tanα-2=4×32+15×32-2=1411.9.B10.解法一:由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α+cos 2α=1,sinαcosα=-512, 解得sinα=±513.又∵α为第四象限角,∴sinα<0. ∴sinα=-513.解法二:∵α是第四象限角, ∴sinα<0. 又∵tanα=-512,∴可设α终边上一点坐标为(12,-5), ∴sinα=-513.能力提升11.A 原式=sinα+|sinα|,当角α终边在y =-x(x ≥0)上时,cosα>0,sinα<0;当角α终边在y =-x(x<0)上时,cosα<0,sinα>0. 综上知,原式=0. 12.C 原式=2tan αtan 2α-1=2×(-12)(-12)2-1=-43.13.1 由sinx +sin 2x =1得sinx =1-sin 2x =cos 2x , ∴cos 2x +cos 4x =sinx +sin 2x =1. 14.-255 由1cos 2α=1+tan 2α得1cos 2α=1+14=54. ∴cos 2α=45.∵α是第二象限的角, ∴cosα<0. ∴cosα=-255.15.解:由sinα+cosαsinα-cosα=2,得sinα=3cosα.∴tanα=3.(1)解法一:原式=3×3cosα-cosα2×3cosα+3cosα=8cosα9cosα=89. 解法二:原式=3·sinαcosα-cosαcosα2·sinαcosα+3·cosαcosα=3tanα-12tanα+3=3×3-12×3+3=89.(2)原式=sin 2α-2sinαcosαsin 2α+cos 2α+1=tan 2α-2tanαtan 2α+1+1=32-2×332+1+1=1310.16.解:∵sinα=45>0,∴α是第一象限或第二象限的角. 若α是第一象限角, 则cosα>0,tanα>0. ∴cosα=1-sin 2α =1-(45)2=35,tanα=sinαcosα=4535=43.若α是第二象限角, 则cosα<0,tanα<0, ∴cosα=-1-sin 2α=-35,tanα=sinαcosα=45-35=-43.17.A ∵1-cosα1+cosα=(1-cosα)21-cos 2α=1-cosα|sinα|,∴sinα<0.故{α|2kπ-π<α<2kπ,k ∈Z }.18.-1 由sinθ+cosθ=-1,平方得:sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθ=1, 又∵sin 2θ+cos 2θ=1,∴sinθcosθ=0,sinθ=0或cosθ=0. 又∵sinθ+cosθ=-1,∴θ的终边在x 轴非正半轴或y 轴非正半轴上.当θ的终边在x 轴非正半轴上时,sin 2 009θ+cos 2 009θ=-1; 当θ的终边在y 轴非正半轴上时,sin 2 009θ+cos 2 009θ=-1. 综上所述:sin 2 009θ+cos 2 009θ=-1. 19.解:(1)∵1-2sin20°cos20°=sin 220°+cos 220°-2sin20°·cos20° =(sin20°-cos20°)2, ∴原式=|sin20°-cos20°|sin20°-|cos20°|=cos20°-sin20°sin20°-cos20°=-1.(2)原式=[(1+sinα)2cos 2α-(1-sinα)2cos 2α]·[(1-cosα)2sin 2α-(1+cosα)2sin 2α]=|1+sinα|-|1-sinα||cosα|·|1-cosα|-|1+cosα||sinα|=2sinα·(-2cosα)|cosα|·|sinα|=-4sinαcosα|sinαcosα|=⎩⎨⎧-4,α∈(kπ,kπ+π2),k ∈Z ,4,α∈(π2+kπ,kπ+π),k ∈Z .20.证明:(1)左边=sinαcosα-cosαsinα=sin 2α-cos 2αsinαcosα=1-cos 2α-cos 2αsinαcosα=1-2cos 2αsinαcosα=右边,∴原题得证.(2)左边=(1+sinαcosα)2+(1-sinαcosα)2=(sinα+cosα)2cos 2α+(cosα-sinα)2cos 2α=1+2sinαcosα+1-2sinαcosαcos 2α=2cos 2α=右边, ∴原题得证.21.证法一:作差:因为3-sin 4α-cos 4α2cos 2α-(1+tan 2α+sin 2α) =3-sin 4α-cos 4α2cos 2α-(1+sin 2αcos 2α+sin 2α)=3-sin 4α-cos 4α-2cos 2α-2sin 2α-2sin 2αcos 2α2cos 2α=3-(sin 2α+cos 2α)2-2(sin 2α+cos 2α)2cos 2α=2-22cos 2α=0. 所以3-sin 4α-cos 4α2cos 2α=1+tan 2α+sin 2α.证法二:左边=3-[(sin 2α+cos 2α)2-2sin 2αcos 2α]2cos 2α=2+2sin 2αcos 2α2cos 2α=1cos 2α+sin 2α =sin 2α+cos 2αcos 2α+sin 2α =1+tan 2α+sin 2α=右边, 所以原等式成立.22.证明:∵tan 2α=2tan 2β+1, ∴sin 2αcos 2α=2sin 2βcos 2β+1=2sin 2β+cos 2βcos 2β =1+sin 2βcos 2β,∴sin 2α1-sin 2α=1+sin 2β1-sin 2β, ∴sin 2α(1-sin 2β)=(1-sin 2α)(1+sin 2β) ∴sin 2β=2sin 2α-1.拓展探究23.解:(1)由sinA +cosA =15,可得(sinA +cosA)2=125,∴sinAcosA =-1225.(2)∵A ∈(0,π)且sinAcosA<0, ∴A ∈(π2,π).∴△ABC 是钝角三角形. (3)∵A ∈(π2,π),∴sinA -cosA>0.∴sinA -cosA =(sinA -cosA )2 =1-2sinAcosA =1-2×(-1225)=75.由⎩⎨⎧sinA -cosA =75,sinA +cosA =15,解得sinA =45,cosA =-35.∴tanA =sinA cosA =-43.。

数学人教B版必修4教案1.2.3 同角三角函数的基本关系式含答案

数学人教B版必修4教案1.2.3 同角三角函数的基本关系式含答案
强调本节内容难点。对例题适当归纳,从直观认识提升到理论的水平。




1、主要的知识点
2、数学思想和方法
3、你的困惑和收获
让学生自己总结本节课的重点、难点和学习内容,教师再补充.
通过小结使本节课的知识系统化,使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用,培养学生认真总结的学习习惯。




见课件
学生快速地完成这三道题目,并展示正确结果
思考:本题与例题1的主要区别在哪儿?如何解决这个问题?
学生可能因忽视条件“α是第二象限角”等,而不理解符号的确定。
借助学生对于刚学习的知识所拥有的探求心理,让他们学习使用两个公式来求三角函数值。
通过例题与变式使学生掌握基本关系式的应用:已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值,并在求三角函数值的过程中注意由函数值正、负号的选取而导致的角的范围的讨论,培养学生分类讨论思想。突破重难点。
20分
按时保质保量独立完成。
15分
基本能按时完成。
10分
有不交作业或抄袭等的现象。
5分或以下
小组
活动
40分
积极参加小组活动,有独立见解,动手、动口、动脑能力强,与同学合作愉快。40分
积极参加小组活动,爱动手、动口、动脑能力强,与同学合作愉快。
35分
能参加小组活动,与同学合作愉快。30分
达不到以上要求。
20分或以下
总评
80分以上评优,70-80评良,50-60评合格,50分以下评不合格。
总分:等级:
在探究过程后会出现许多预设或生成的问题,教师及时引导。
学生踊跃发言
培养学生自主、合作、探究的精神和自学能力。

2018版高中数学人教B版必修4课时作业:第一章 1-2-3

2018版高中数学人教B版必修4课时作业:第一章 1-2-3

1.2.3 同角三角函数的基本关系式【选题明细表】1.(2017·扬州一中12月月考)已知α是第二象限角,tan α=-,则cos α的值为( B )(A) (B)-(C) (D)-解析:因为α是第二象限角,所以cos α<0,由得解得cos α=-,故选B.2.化简的结果是( C )(A)sin 4+cos 4 (B)sin 4-cos 4(C)cos 4-sin 4 (D)-(sin 4+cos 4)解析:原式==.由于<4<,由三角函数线知cos 4>sin 4,所以原式=cos 4-sin 4,应选C.3.(2017·山西应县一中月考)若=2,则sin θcos θ的值是( B )(A)- (B)(C)±(D)解析:由=2得,tan θ=3,所以sin θcos θ===.4.(2017·湖北仙桃汉江中学期中)已知A为△ABC的一个内角,且sin A+cos A=,则△ABC的形状是( B )(A)锐角三角形 (B)钝角三角形(C)直角三角形 (D)不确定解析:因为△ABC中sin A+cos A=,所以平方可得(sin A+cos A)2=,所以2sin Acos A=-<0,由三角形内角范围可得sin A>0,所以cos A<0,A为钝角,故选B.5.已知tan α=,π<α<,那么cos α-sin α的值是. 解析:因为tan α=,π<α<,所以cos α<0,sin α<0,由解得sin α=-,cos α=-,所以cos α-sin α=-+=.答案:6.(2017·四川南充高中月考)已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ= .解析:因为tan θ=2,所以sin θ=2cos θ,又sin2θ+cos2θ=1,所以sin2θ=4cos2θ=,所以sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ=4cos2θ=.答案:7.已知tan α=m,且α为第四象限的角,则sin α等于( C )(A)m(B)-m(C) (D)-解析:因为tan α=m,所以=m2,所以cos2α=sin2α.又sin2α+cos2α=1,所以sin2α+sin2α=1,所以sin2α=.又α为第四象限的角,所以sin α<0,所以sin α=-=-.又tan α=m<0,所以sin α=.8.若=2,则(cos θ+3)(sin θ+1)的值为( D )(A)0 (B)2(C)3 (D)4解析:因为=2,所以sin2θ+4=2cos θ+2,所以cos2θ+2cos θ-3=0,解之得cos θ=1或cos θ=-3(舍去).由cos θ=1,所以sin θ=0,所以原式=4,应选D.9.(2017·临沂罗庄区期末统考)在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为,则cos α= .解析:设A(cos α,sin α),则cos2α+()2=1,解得cos α=±.答案:±10.求证:2(1-sin α)(1+cos α)=(1-sin α+cos α)2.证明:法一左边=1+1-2sin α+2cos α-2sin αcos α=1+sin2α+cos2α-2sin α+2cos α-2sin αcos α=(1-sin α+cos α)2=右边.法二右边=1+sin2α+cos2α-2sin α+2cos α-2sin αcos α=2(1-sin α+cos α-sin αcos α)=2(1-sin α)(1+cos α)=左边.法三右边-左边=(1-sin α)2+cos2α+2cos α(1-sin α)- 2(1-sin α)(1+cos α)=(1-sin α)2+(1-sin2α)-2(1-sin α)=(1-sin α)(1-sin α+1+sin α-2)=0.法四令1-sin α=x,cos α=y,消去α得:(x-1)2+y2=1, 即x2+y2=2x,左边=2x(1+y)=2x+2xy=x2+y2+2xy=(x+y)2=右边.11.是否存在一个实数k,使方程8x2+6kx+2k+1=0的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦.解:假设存在,设两个锐角为α,β,则sin α>0,sin β>0,且sin α,sin β是方程8x2+6kx+2k+1=0的两个根,因为α+β=90°,所以sin β=cos α.所以sin α+sin β=sin α+cos α=-,sin α·sin β=sin α·cos α=.又因为sin2α+cos2α=1,所以(sin α+cos α)2-2sin α·cos α=1.整理得9k2-8k-20=0,解得k=2,或k=-.又因为sin α>0,sin β>0,所以sin α+sin β>0,sin α·sin β>0.当k=2时,sin α+sin β=-=-<0,所以k=2不符合题意.当k=-时,sin α·sin β==-<0,所以k=-也不符合题意.所以不存在实数k,使方程8x2+6kx+2k+1=0的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦.。

高一数学人教b版必修4同步训练:1.2.3 同角三角函数的基本关系式(二) 含解析

高一数学人教b版必修4同步训练:1.2.3 同角三角函数的基本关系式(二) 含解析

1.2.3 同角三角函数的基本关系式(二)一、基础过关1.若sin α+sin 2α=1,则cos 2α+cos 4α等于( ) A .0 B .1 C .2 D .32.若sin 4θ+cos 4θ=1,则sin θ+cos θ的值为 ( )A .0B .1C .-1D .±1 3.已知1+sin x cos x =-12,那么cos x sin x -1的值是 ( )A.12 B .-12C .2D .-2 4.已知sin 2θ+4cos θ+1=2,那么(cos θ+3)(sin θ+1)的值为 ( )A .6B .4C .2D .0 5.已知tan α+sin α=a (a ≠0),tan α-sin α=b ,则cos α等于 ( )A.a +b 2B.a -b 2C.a +b a -bD.a -b a +b 6. 若sin θ=k +1k -3,cos θ=k -1k -3,且θ的终边不落在坐标轴上,则tan θ的值为________.7. 化简sin 2α+sin 2β-sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β=________.8.化简:1-(sin 4x -sin 2xcos 2x +cos 4x )sin 2x +3sin 2x. 二、能力提升9. 已知sin α-cos α=-52,则tan α+1tan α的值为 ( )A .-4B .4C .-8D .8 10.若0<α<π2,则1-2sin α2cos α2+1+2sin α2cos α2的化简结果是________. 11.已知sin αcos α=18,且α是第三象限角,求1-cos 2αsin α-cos α-sin α+cos αtan 2α-1的值.12.求证:cos α1+sin α-sin α1+cos α=2(cos α-sin α)1+sin α+cos α. 三、探究与拓展13.已知tan θ=1-a a (0<a<1),化简:sin 2θa +cos θ+sin 2θa -cos θ.答案1.B 2.D 3.A 4.B 5.D 6.34 7.1 8.3 9.C 10.2cos α2 11.-5212.证明 方法一左边=cos α(1+cos α)-sin α(1+sin α)(1+sin α)(1+cos α)=cos 2α-sin 2α+cos α-sin α1+sin α+cos α+sin αcos α= (cos α-sin α)(cos α+sin α+1)12(cos α+sin α)2+sin α+cos α+12=2(cos α-sin α)(cos α+sin α+1)(sin α+cos α+1)2 =2(cos α-sin α)1+sin α+cos α=右边. ∴原式成立.方法二 ∵cos α1+sin α=1-sin αcos α=cos α+1-sin α1+sin α+cos α, sin α1+cos α=1-cos αsin α=sin α+1-cos α1+cos α+sin α, ∴cos α1+sin α-sin α1+cos α=2(cos α-sin α)1+cos α+sin α. ∴原式成立.13.解 ∵tan θ=1-a a ,。

高中人教B版数学必修四同步过关提升特训:1.2.3同角三角函数的基本关系式含解析

高中人教B版数学必修四同步过关提升特训:1.2.3同角三角函数的基本关系式含解析

同角三角函数的基本关系式课时过关 ·能力提高1.若 cos α= ,则 (1+sin α)(1-sin α)等于 ()A. B. C. D.分析 :(1+ sin α)(1 -sin α)= 1-sin2α= cos2α=.答案 :B2.化简的值为()A.1B.-1C.2D. -2分析 :原式 ==- 1.答案 :B3.若角 x 的终边位于第二象限,则函数 y=的值可化简为()A .1B .2 C.0 D .-1分析 :原式 == 1-1= 0.答案 :C4.设 sin,且α是第二象限的角,则 tan 等于 ()A. B. C.± D.±分析 :∵α是第二象限的角,∴是第一、三象限的角.∵sin> 0,∴是第一象限的角.∴cos,∴tan.答案 :A5.假如 tan θ= 2,那么 sin2θ+ sin θcos θ+ cos2θ的值是()A. B. C. D.分析 :sin2θ+ sin θcos θ+cos2θ= 1+ sin θcos θ= 1+= 1+= 1+.答案 :B6.已知α∈,且 sin αcos α=- ,则 sin α+ cos α的值是 ()A. B.- C.± D.±分析 :因为α∈,所以 sin α> 0,cos α< 0,且 |sin α|<| cos α|,进而 sin α+cos α< 0.又 (sin α+ cosα)2= 1+ 2sin αcos α= 1+ 2×,进而 sin α+ cos α=- .答案 :B7.化简的结果是.分析 :原式 ==- cos.答案 :-cos8.已知 sin θ+ cos θ= ,θ∈ (0,π),则 cot θ的值是.分析 :因为 sin θ+ cos θ= ,①两边平方 ,得 1+2sin θcos θ=,所以 2sin θcos θ=-.因为θ∈ (0,π),所以 cos θ< 0< sin θ.因为 (sin θ-cos θ)2= 1-2sin θcos θ=,所以 sin θ-cos θ= .②联立①②,解得 sin θ= ,cos θ=- ,所以 cot θ==- .答案 :-9.已知 sin α-cos α=,则 tan α的值为.分析 :∵sin α-cos α=,∴(sin α-cos α)2= sin2α-2sin αcos α+ cos2α= 1-2sin αcos α= ,∴ sin αcos α=,于是,即,∴tan α= 或 tan α= 3.答案:3或10.若 sin α,cos α是对于 x 的方程 4x2+ 2mx+m= 0 的两根 ,则 m 的值为.分析 :由一元二次方程根与系数的关系得且Δ=(2m)2-16m≥ 0,即m≤0或m≥4.又 (sin α+ cos α)2= 1+2sin αcos α,∴= 1+ 2× ,∴m= 1±.又 m≤0或 m≥4,∴m= 1-.答案 :1-11.化简 :.解:原式 ===.所以当α是第一、三象限的角时,原式 = 4;当α是第二、四象限的角时,原式 =- 4.★12.已知 sin θ,cos θ是对于 x 的方程 x2-ax+a= 0(a∈ R)的两个根 .(1)求 sin3θ+ cos3θ的值 ;(2)求 tan θ+的值 .解 : 依题意 ,知Δ≥0,即 (-a)2- 4a≥ 0,得 a≤0或 a≥ 4,且由①2-②×2,得 a2-2a-1= 0,∴a= 1-或a= 1+(舍 ) .∴sin θ+ cos θ= sin θcos θ= 1-.(1)sin3θ+ cos3θ= (sin θ+ cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+ cos2θ)= (1-)[1 -(1- )] =-2.(2)tan θ+==- -1.★13.求证 :.证明左侧=====右侧 .故原等式建立.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

第一章 1.2 1.2.3一、选择题1.已知α是第四象限角,cos α=1213,则sin α=( )A .513B .-513C .512D .-512[答案] B[解析] ∵α是第四象限角,cos α=1213,∴sin α=-1-cos 2α=-1-(1213)2=-513.2.下列说法中,可能成立的一个为( ) A .sin α=12且cos α=12B .sin α=0且cos α=-1C .tan α=1且cos α=-1D .α为第四象限角,tan α=-sin αcos α[答案] B[解析] ∵sin 2α+cos 2α=1,∴选项A 一定不成立,选项B 可能成立.选项C 中,tan α=1,∴sin α=cos α,∴cos α≠-1.选项D 中,应有tan α=sin αcos α,故tan α=-sin αcos α不成立.3.(2018·福建文,6)若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值等于( )A .125B .-125C .512D .-512[答案] D[解析] 由sin α=-513,且α为第四象限角,则cos α=1-sin 2 α=1213,则tan α=sin αcos α=-512,故选D .4.若2sin α=3cos α,则4sin α+cos α5sin α-2cos α的值等于( )A .1411B .2C .-109D .1411或1019[答案] A[解析] ∵2sin α=3cos α, ∴tan α=32.∴4sin α+cos α5sin α-2cos α=4tan α+15tan α-2=4×32+15×32-2=1411. 5.(2018·河北行唐启明中学高一月考)若π2<α<π,化简1+sin α1-sin α-1-sin α1+sin α的结果是( )A .-2tan αB .2tan αC .-2cot αD .2cot α[答案] A[解析] ∵π2<α<π,∴cos α<0.∴1+sin α1-sin α-1-sin α1+sin α=(1+sin α)2(1-sin α)(1+sin α)-(1-sin α)2(1+sin α)(1-sin α)=(1+sin α)2cos 2α-(1-sin α)2cos 2α=1+sin α-cos α-1-sin α-cos α=-2tan α.6.设sin α+cos α=-2,则tan α+cot α的值为( ) A .1 B .2 C .-1 D .-2[答案] B[解析] (sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=2,∴sin αcos α=12,tan α+cot α=sin αcos α+cos αsin α=sin 2α+cos 2αsin αcos α=112=2.二、填空题7.化简:1-cos 24=________. [答案] -sin4[解析] ∵4=4×(180π)°≈229°12′,∴sin4<0, ∴1-cos 24=sin 24=-sin4.8.已知cos ⎝⎛⎭⎫α+π4=13,0<α<π2,则sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=________. [答案]223[解析] ∵0<α<π2,∴π4<α+π4<3π4,∴sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=1-⎝⎛⎭⎫132=223.三、解答题9.已知3sin α-2cos α=0,求下列各式的值. (1)cos α-sin αcos α+sin α+cos α+sin αcos α-sin α; (2)sin 2α-2sinαcos α+4cos 2α.[解析] (1)显然cos α≠0,∴tan α=23,cos α-sin αcos α+sin α+cos α+sin αcos α-sin α=1-tan α1+tan α+1+tan α1-tan α=1-231+23+1+231-23=265.(2)sin 2α-2sin αcos α+4cos 2α=sin 2α-2sin αcos α+4cos 2αsin 2α+cos 2α=tan 2α-2tan α+4tan 2α+1=49-43+449+1=2813.10.(2018·潍坊一中高一检测)已知sin x +cos x =15,且0<x <π,求sin x 、cos x 、tan x 的值.[解析] 将sin x +cos x =15两边平方得,1+2sin x cos x =125,∴2sin x cos x =-2425<0,又∵0<x <π,∴sin x >0,cos x <0, ∴sin x -cos x >0. ∴sin x -cos x =(sin x -cos x )2=1-2sin x cos x =1+2425=75. 由⎩⎨⎧sin x +cos x =15sin x -cos x =75,得⎩⎨⎧sin x =45cos x =-35.∴tan x =sin x cos x =-43.故sin x =45,cos x =-35,tan x =-43.一、选择题1.已知sin α-cos α=2,α∈(0,π),则tan α=( ) A .-1 B .-22C .22D .1[答案] A[解析] 由sin α-cos α=2两边平方,得1-2sin αcos α=2, ∴sin αcos α=-12.∴sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan αtan 2α+1=-12, ∴tan 2α+2tan α+1=0, ∴(tan α+1)2=0,∴tan α=-1.2.已知α为第四象限角,则cos α·csc α·sec 2α-1的值为( )A . 3B .- 3C .1D .-1[答案] D[解析] 原式=cos α·1sin α·|tan α|=cot α·(-tan α)=-1.3.若α∈[0,2π),且有1-cos 2α+1-sin 2α=sin α-cos α,则角α的取值范围为( ) A .[0,π2)B .[π2,π]C .(π2,π)D .[π,3π2][答案] B [解析] ∵1-cos 2α+1-sin 2α=sin 2α+cos 2α=sin α-cos α, ∴sin α≥0,cos α≤0, 又∵α∈[0,2π),∴α∈[π2,π].4.已知θ是第三象限角,且sin 4θ+cos 4θ=59,则sin θcos θ的值为( )A .23B .-23C .13D .-13[答案] A[解析] sin 4θ+cos 4θ=(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=1-2sin 2θcos 2θ=59,∴sin 2θcos 2θ=29,∵是第三象限角,∴sin θcos θ=23. 二、填空题5.已知sin αcos α=18,且π4<α<π2,则cos α-sin α=________.[答案] -32[解析] ∵π4<α<π2,∴sin α>cos α,∴cos α-sin α=-(cos α-sin α)2=-1-2sin αcos α=-1-2×18=-32.6.若sin α=m -3m +5,cos α=4-2m m +5,π2<α<π,则m =________.[答案] 8[解析] 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧m -3m +5>04-2mm +5<0(m -3m +5)2+(4-2m m +5)2=1,解得m =8,∴m =8. 三、解答题7.已知tan α=2,求下列各式的值: (1)2cos α-2sin α2cos α+2sin α; (2)3sin 2α-4sin αcos α+cos 2α. [解析] ∵tan α=2,∴cos α≠0.(1)原式=2-2tan α2+2tan α=2-222+22=22-3.(2)原式=3sin 2α-4sin αcos α+cos 2αsin 2α+cos 2α=3tan 2α-4tan α+1tan 2α+1=3×22-4×2+122+1=1. 8. 已知sin x +sin y =13,求u =sin y -cos 2x 的最值.[解析] ∵sin x +sin y =13,∴sin y =13-sin x .∴u =sin y -cos 2x =13-sin x -cos 2x=13-sin x -1+sin 2x =sin 2x -sin x -23=(sin x -12)2-1112,∵-1≤sin x ≤1,∴当sin x =12时,u min =-1112,当sin x =-1时,u max =43.。

相关文档
最新文档