高二数学抛物线练习题

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高中数学抛物线基础练习题

以下是一些基础的高中数学抛物线练题，帮助学生巩固对抛物线的理解和应用。

题目一

已知抛物线的顶点为(-3, 5)，焦点为(-3, 9)，求抛物线的方程。

题目二

根据已知的抛物线方程y = -2(x - 1)^2 + 4，回答以下问题：

1. 抛物线的对称轴方程是什么？

2. 焦点的坐标是多少？

3. 顶点的坐标是多少？

4. 抛物线开口向上还是向下？

5. 抛物线的最高点和最低点的纵坐标分别是多少？

题目三

已知抛物线通过点(1, 3)和点(4, -2)，求抛物线的方程。

题目四

已知抛物线的焦点为(0, 2)，直线y = 4是抛物线的切线，求抛

物线的方程。

题目五

已知一只足球被踢出后形成的航迹是一个抛物线，其方程为y

= -0.1x^2 + 2x + 1，其中x表示时间（秒），y表示高度（米）。求：

1. 足球的最大高度和达到最大高度的时间点。

3. 抛物线的顶点坐标。

4. 当x = 5 时，足球的高度是多少？

以上是一些高中数学抛物线的基础练习题，希望能帮助学生们

进一步理解和掌握这个重要的数学概念。练习抛物线的题目可以培

养学生的逻辑思维和解决实际问题的能力。

高二数学抛物线典型试题(学生)

高二数学抛物线典型试题

一：选择题

1.若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆

的右焦点重合，则p 的值为（） A ． ﹣2

B ． 2

C ． ﹣4

D ． 4 2．已知圆x 2+y 2﹣6x ﹣7=0与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线相切，则p=（）

A ． 4

B ． 3

C ． 2

D ．

3.一个动圆与定圆F ：（x+2）2+y 2=1相外切，且与定直线L ：x=1相切，则此动圆的圆心M 的轨迹方程是（ D ）

A ． y 2=4x

B ． y 2=﹣2x

C ． y 2=﹣4x

D ． y 2=﹣8x

4．已知点（x ，y ）在抛物线y 2=4x 上，则

（） A ．

2 B ．

3 C ．

4 D ．

5.设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若

=﹣4则点A 的坐标是（）

A ．（2，±2）

B ．（1，±2）

C ．（1，2）

D ．（2，2）

6．设P 为抛物线y 2=2px （p ＞0）上任意一点，F 为抛物线焦点，定点A （1，3），且|PA|+|PF|

的最小值为，则抛物线方程为（）

A ． y 2=2（）x

B ． y 2=4x

C ． y 2=8x

D ． y 2=4（）x

7．已知点P 是抛物线22x y =上的一动点,焦点为F ,若定点(1,2)M ,则当P 点在抛

物线上移动时,||||PM PF +的最小值等于

（） A ．52 B ．2 C ．32 D ．3

8.已知抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P （2，2）为AB 的中点，则抛物线C 的方程为（）

高二数学抛物线试题答案及解析

1.设抛物线焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为4，则|PF|等于

【答案】6

【解析】因为抛物线焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为4，所以由抛物线焦半径公

式得|PF|=x+=4+2=6.

【考点】本题主要考查抛物线的定义及几何性质。

点评：简单题，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等。

2.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，线段的中点的纵坐标为2，则线

段长为．

【答案】

【解析】解：抛物线，∴p=．

设A、B、M到准线y=-的距离分别为A′、B′、M′，则由抛物线的定义可得AB=AA′+BB′．

再由线段AB的中点M的纵坐标为2可得2MM′=AA′+BB′，即 2（2+1 32 ）=AA′+BB′=AB，

∴AB=，

故答案为．

3.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,则它被抛物线截得的弦长为 .

【答案】16

【解析】解：因为设直线方程为y=(x-2)与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理，得到弦长公式

求解得到为16.或者利用抛物线的定义可知弦长为两个的和加上4得到。

4.抛物线的焦点坐标是（）

A．（2，0）B．（0，2）C．（1，0）D．（0，1）

【答案】D

【解析】解：因为根据题意2p=4,焦点在y轴上，因此焦点坐标为（0，1），选D

5.抛物线的准线方程为,顶点在原点,抛物线与直线相交所得弦长为

, 则的值为 .

【答案】1

【解析】解：因为抛物线的准线方程为,顶点在原点,抛物线与直线

相交所得弦长为,联立方程组得到

，所以p=1

6.设不在轴下方的动点到的距离比到轴的距离大

求的轨迹的方程；

高二数学抛物线试题答案及解析

1.抛物线截直线所得弦长等于（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】设直线与抛物线交点坐标分别为，将直线方程代入抛物线方程并化简的，由根与系数的关系可知，由弦长公式可知弦长

，答案选A.

【考点】直线与抛物线相交弦长公式

2.设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，分别过

、两点作抛物线的两条切线交于点，则有（）

A．B．C．D．

【答案】A．

【解析】设出过点F的直线方程即，联立方程组，化简整理得

，设，，则由韦达定理得，

．

，．由可得，

，所以，所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为，．

所以在点A处的切线方程为，即．

同理在点B处的切线方程为．

于是解方程组可得，，所以点C的坐标为．

所以

故答案应选A．

【考点】直线与抛物线的位置关系；向量的数量积．

3.抛物线（）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足

.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）

A．B．1C．D．2

【答案】A.

【解析】设，连接AF、BF，由抛物线的定义知，，在梯形ABPQ中，

；应用余弦定理得，配方得

，又因为，所以，得到.所以，即的最大值为，故选A.

【考点】抛物线的简单性质.

4.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为3，则=（）

A．B．C．4D．

【答案】B．

【解析】由题意可设抛物线方程为，因为点到该抛物线焦点的距离为3，所以，即，即抛物线方程为，又因为点在抛物线上，所以，所以，故选B．

【考点】抛物线的简单性质．

5.设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点且点恰为

高二数学抛物线试题

1.已知直线与抛物线交于两点，为抛物线的

焦点，若，则的值是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】∵直线y=k（x-2）（k＞0）恒过定点（2，0）即为抛物线y2=8x的焦点F过A，B两点分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，再过B作AC的垂线，垂足为E，设|BF|=m，

∵|FA|=2|FB|，∴|AF|=2m

∴AC=AF=2m，|BD|=|BF|=m

如图，在直角三角形ABE中，AE=AC-BD=2m-m=m，AB=3m，

∴cos∠BAE=

∴直线AB的斜率为：k=tan∠BAE=2,

故选 D.

【考点】直线与圆锥曲线的关系.

2.若点A的坐标为（3，2），F为抛物线的焦点，点P是抛物线上的一动点，则

取得最小值时，点P的坐标是。

【答案】（2，2）

【解析】由抛物线的定义可知，|PF|等于P点到准线的距离，因此当|PA|+|PF|取得最小值时，直线AP与抛物线的准线垂直，求得P点的坐标为（2，2）.

【考点】抛物线的定义与性质

3.准线为的抛物线的标准方程是（）

A．y2=﹣4x B．y2=﹣8x C．y2=4x D．y2=8x

【答案】B

【解析】设抛物线方程为，准线方程，解得，抛物线方程

【考点】抛物线方程的应用.

4.如图，已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分，光源安装在焦点上，且灯的深度

等于灯口直径，且为64 ，则光源安装的位置到灯的顶端的距离为____________

．

【答案】.

【解析】先以反射镜定点为原点，以顶点和焦点所在直线为轴，

建立直角坐标系．设抛物线方程为，依题意可点

高二数学抛物线练习题

高二(2)部数学《抛物线》同步训练一

班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿

1．抛物线y 2=ax(a ≠0)的准线方程是 ( ) (A)x= -4a (B)x=4a (C)x= -4|a | (D)x=4

|a | 2．已知M(m,4)是抛物线x 2=ay 上的点，F 是抛物线的焦点，若|MF|=5，则此抛物线的焦点

坐标是 ( )

(A)(0,-1) (B)(0,1) (C)(0,-2) (D)(0,2)

3．抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，此抛物线的方程是

( )

(A)y 2=16x (B)y 2=12x (C)y 2= -16x (D)y 2= -12x

4．抛物线2y 2＋x 的焦点坐标是 ( )

0) (B)(0，

0) (D)(0，5．过点(0，1)且与抛物线y 2=x 只有一个公共点的直线有 ( )

(A)一条 (B)两条 (C)三条 (D)无数条

6．若直线3x ＋4y ＋24=0和点F （1，－1）分别是抛物线的准线和焦点，则此抛物线的顶点坐标是 ( ) (A)(1,2) (B)(4,3) (C))25

71,5019(-- (D)(－2,－5)

7．过抛物线y 2=4x 的焦点F A 、B 两点，则AB

的长是 ( )

8．根据下列条件写出抛物线的标准方程

（1）焦点是F （－2，0）

（2）准线方程是31=y （3）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上

（4）经过点A （6，－2）

9．抛物线x2＝4y 上的点p 到焦点的距离是10，求p 点坐标

高二(2)部数学《抛物线》同步训练二

高二数学抛物线试题

1.抛物线上的点到直线的距离最小值为

A．B．C．D．3

【答案】A

【解析】在抛物线上任设一点，则该点到直线的距离为

，所以最小值为.

【考点】点到直线的距离.

2.斜率为2的直线L经过抛物线的焦点F，且交抛物线与A、B两点，若AB的中

点到抛物线准线的距离1，则P的值为（）.

A.1

【答案】B

【解析】设斜率为2且经过抛物线的焦点F的直线L的方程为，

联立，得，即；设，中点；则；因为AB的中点到抛物线准线的距离为1，所以，

【考点】直线与抛物线的位置关系.

3.已知圆C：的圆心为抛物线的焦点，直线3x＋4y＋2＝0与圆C相切，则该圆的方程为（）.

A．B．

C．D．

【答案】C.

【解析】因为抛物线的焦点为，即为圆C的圆心，又直线3x＋4y＋2＝0与圆C相切，所以圆心到直线的距离即为半径，则有，故选C.

【考点】点到直线的距离公式，圆的切线的性质，抛物线的焦点坐标公式，圆的标准方程.

4.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线焦

点的距离为3，则=（）

A．B．C．4D．

【答案】B.

【解析】由题意可设抛物线方程为，因为点到该抛物线焦点的距离为3，

所以，即，即抛物线方程为，又因为点在抛物线上，所以

，所以，故选B．

【考点】抛物线的简单性质．

5.已知点M是抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C:上，则

的最小值为__________．

【答案】4

【解析】抛物线的准线方程为：x=-1

过点M作MN⊥准线，垂足为N∵点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点

∵A在圆C：，圆心C（4，1），半径r=1

高二数学抛物线试题答案及解析

1.抛物线（）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足

.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）

A．B．1C．D．2

【答案】A.

【解析】设，连接AF、BF，由抛物线的定义知，，在梯形ABPQ中，

；应用余弦定理得，配方得

，又因为，所以，得到.所以，即的最大值为，故选A.

【考点】抛物线的简单性质.

2.准线为的抛物线的标准方程是（）

A．y2=﹣4x B．y2=﹣8x C．y2=4x D．y2=8x

【答案】B

【解析】设抛物线方程为，准线方程，解得，抛物线方程

【考点】抛物线方程的应用.

3.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于，则抛物线的方程为

A．y2=4x B．y2=8x C．x2=4y D．x2=8y

【答案】B

【解析】抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上排除C、D，设抛物线的方程为

，则抛物线的准线方程为，双曲线的渐进线方程为，由面积为

可得，所以，答案选B。

【考点】圆锥曲线的基本性质

4.已知抛物线.

（1）若直线与抛物线相交于两点，求弦长；

（2）已知△的三个顶点在抛物线上运动.若点在坐标原点，边过定点，点在上且，求点的轨迹方程.

【答案】（1）；（2）（）.

【解析】（1）这是解析几何中的常规问题，注意设而不求思想方法的使用；（2）求轨迹方程的方法有：直接法、定义法、代入转移法、几何法、参数法等，这里使用的是直接法，直接法的步骤是：建系、设点、列式、坐标化、化简整理、最后是多退少补，特别要注意多退少补.

高二数学抛物线试题答案及解析

1.已知定点在抛物线的内部，为抛物线的焦点，点在抛物线上，

的最小值为4，则= ．

【答案】4

【解析】由下图可知：当点Q移动到点M时最小，又因为点所以抛物线的准线

方程为,所以即．

【考点】抛物线的定义及性质．

2.如图，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点，，均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；

（Ⅱ）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线的斜

率．

【答案】(1)抛物线的方程是, 准线方程是．；（2）1．

【解析】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在

方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线

的标准方程；（2）在解决与抛物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特

点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此；(3)求双曲线的标准方程的基本方法是

待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，求出的值．

试题解析：

（I）由已知条件，可设抛物线的方程为

因为点在抛物线上,所以，得．

故所求抛物线的方程是, 准线方程是．

（II）设直线的方程为，

即：，代入，消去得：

．

设，由韦达定理得：，即：．

将换成，得，从而得：，

直线的斜率．

【考点】(1)抛物线的方程；（2）直线与抛物线的综合问题．

3.设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，分别过

、两点作抛物线的两条切线交于点，则有（）

A．B．C．D．

【答案】A．

【解析】设出过点F的直线方程即，联立方程组，化简整理得

高二上学期数学练习题(抛物线及其标准方程)

高二上学期数学练习题（10）（抛物线及其标准方程）

班级姓名学号

一．选择填空题

1. 抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是 ( )． A ．(2，0) B ．(－2，0) C ．(4，0) D ．(－4，0)

2. 若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为 ( )． A ．(8，8) B ．(8，－8) C ．(8，±8) D ．(－8，±8)

3. 以双曲线x 216－y 2

9＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 ( )．

A ．y 2＝16x

B ．y 2＝－16x

C ．y 2＝8x

D ．y 2＝－8x 4. 动点到点(3，0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则动点的轨迹是 ( )． A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支 D ．抛物线

5. 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1直线l 2的距离之和的最小值是 ( )．

A ．2

B ．3 C.115 D.37

6. 在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3的距离相等的点的轨迹是( )

A ．直线

B ．抛物线

C ．圆

D ．双曲线

7. 已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )

A ．(－1,0)

B ．(1,0)

C ．(0，－1)

D ．(0,1)

8. 抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2,22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为 ( ) A ．1 B.32 C ．2 D.5

高二下学期数学人教A版选择性必修第二册：抛物线专题练习

抛物线

题型一抛物线的定义与方程

1.已知点(2,3)A -在抛物线C ：2

2y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为（） A ．12 B ．23 C ．34 D ．43

2.如图,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b <,原点O 为AD 的中点,抛物线)0(22

>=p px y 经过F C ,两点,则

_____=a

3.已知抛物线C ：x y 82

=的焦点为F,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 得一个焦点,若FQ PF 4=,则=QF （） A. 27 B. 3 C. 2

D. 2

4.设F 为抛物线C:23y x =的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为（） A. 33 B.

938 C. 6332 D. 94

题型二抛物线的性质

1. 抛物线2

6y x =,过点()4,1P 引一条弦,使它恰好被P 点平分,则该弦所在的直线方程为

______．

2.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,准线为l ,A ,B 是抛物线上的两个动点,且满足

23AFB π

∠=

,设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ,则||||MN AB 的最大值是（） A 33 C 3 D 3

3.直线l 过抛物线C:y 2

=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C 交于A,B 两点,则

p= ,+= .

4.设F 1,F 2分别为椭圆C 1：22

高二数学抛物线试题答案及解析

1.过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为的直线，它与抛物线交于A、B两点，求这两点间的

距离．

【答案】8

【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），则过焦点的直线的参数方程可设为（t为

参数），将其代入抛物线方程并化简得t2＋4t－8＝0，由参数t的几何意义可知|AB|=|t

1－t

|=8.

试题解析：抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），

设过焦点F（1,0），倾斜角为π的直线的参数方程为（t为参数），将此代入y2＝4x，

得t2＋4t－8＝0，

设这个方程的两个根为t

1，t

，由根与系数的关系，有

t 1＋t

＝－4，t

·t

＝－8，

∴|AB|＝|t

1－t

|＝

＝＝＝8.

∴A、B两点间的距离是8.

【考点】参数方程的应用

2.准线为的抛物线的标准方程是（）

A．y2=﹣4x B．y2=﹣8x C．y2=4x D．y2=8x

【答案】B

【解析】设抛物线方程为，准线方程，解得，抛物线方程

【考点】抛物线方程的应用.

3.已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为___________.

【答案】

【解析】设抛物线上的动点的坐标为，它到到直线和的距离之和为，则

=，当时，

【考点】直线与抛物线的位置关系及二次函数的最值.

4.已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k．当k为何值时，直线l与该抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

【答案】当，或，此时直线l与该抛物线只有一个公共点；当，此时直线l 与该抛物线有两个公共点；当或，此时直线l与该抛物线没有公共点．

高二数学抛物线试题

1.抛物线的焦点在轴正半轴上，过斜率为的直线和轴交于点，且(为坐标原

点)的面积为,求抛物线的标准方程．

【答案】．

【解析】先根据抛物线方程表示出F的坐标，进而根据点斜式表示出直线l的方程，求得A的坐标，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得a，则抛物线的方程可得．

解：设抛物线方程为

则焦点坐标为，直线的方程为，

它与轴的交点为，

所以的面积为，

解得，所以抛物线方程为．

【考点】抛物线的简单性质．

2.抛物线上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】D

【解析】抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为

点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等

于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.

【考点】本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查

学生的运算求解能力.

点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.

3.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标为（）

A．B．C．D．0

【答案】B

【解析】因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，而抛物线的准线方程为

，设点的纵坐标为，则

【考点】本小题主要考查抛物线上点的性质的应用和抛物线准线方程的求解.

点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这个性质特别好用，要灵活应用.

4.(本题满分13分)已知抛物线过点。

（1）求抛物线的标准方程，并求其准线方程；

高二数学抛物线

一、选择题

1．抛物线y 2＝ax(a ≠0)的焦点到其准线的距离是( )

A .|a|4

B .|a|2

C ．|a|

D ．－a 2

2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22

＝1上，则抛物线方程为( )

A ．y 2＝8x

B ．y 2＝4x

C ．y 2＝2x

D ．y 2＝±8x

3．抛物线y 2＝2px(p>0)上一点M 到焦点的距离是a(a>p 2

)，则点M 的横坐标是( ) A ．a ＋p 2 B ．a －p 2

C ．a ＋p

D ．a －p 4．过点M(2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有( )

A ．0条

B ．1条

C ．2条

D ．3条

5．已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )

A ．x ＝1

B ．x ＝－1

C ．x ＝2

D ．x ＝－2

6．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，

与抛物线的准线相交于点C ，|BF|＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF

等于( ) A .45 B .23 C .47 D .12

二、填空题

7．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________．

8．若动点P 在y ＝2x 2＋1上，则点P 与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．

9．已知抛物线x 2＝y ＋1上一定点A(－1,0)和两动点P ，Q ，当PA ⊥PQ 时，点Q 的横

高二数学抛物线及标准方程测试卷

典型例题一

例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．（1）y x 42= （2）)0(2≠=a ay x

分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种；求出p ；再写出焦点坐标和准线方程．

（2）先把方程化为标准方程形式；再对a 进行讨论；确定是哪一种后；求p 及焦点坐标与准线方程．

解：（1）2=p ；∴焦点坐标是（0；1）；准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x a y 12

；a

p 1

2=∴ ①当0>a 时；

a p 41

2=；抛物线开口向右； ∴焦点坐标是)0,41(a ；准线方程是：a x 41-=． ②当0<a 时；a p 41

2-=；抛物线开口向左；

∴焦点坐标是)0,41(a ；准线方程是：a

x 41-=．综合上述；当0≠a 时；抛物线2

ay x =的焦点坐标为)0,41(

a ；准线方程是：a

x 41

-=．典型例题二

例2 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82

=交于A 、B 两点；且AB 中点的横坐标为2；求此直线方程．

分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关；故也可利用“作差法”求k ．

解法一：设),(11y x A 、),(22y x B ；则由：⎩⎨

⎧=-=x

y kx y 82

可得：04)84(22=++-x k x k ．

∵直线与抛物线相交；0≠∴k 且0>∆；则1->k ． ∵AB 中点横坐标为：28

422

21=+=+∴

k x x ；解得：2=k 或1-=k （舍去）．故所求直线方程为：22-=x y ．

高二数学抛物线试题答案及解析

1.若点A的坐标为（3，2），F为抛物线的焦点，点P是抛物线上的一动点，则

取得最小值时，点P的坐标是。

【答案】（2，2）

【解析】由抛物线的定义可知，|PF|等于P点到准线的距离，因此当|PA|+|PF|取得最小值时，直

线AP与抛物线的准线垂直，求得P点的坐标为（2，2）.

【考点】抛物线的定义与性质

2.抛物线的焦点到准线的距离是．

【答案】4

【解析】因为抛物线，所以由抛物线的性质可得焦点到准线的距离是P=4.

【考点】抛物线的性质.

3.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点.若线段的中点到轴的距离为，则（）

A．2B．C．3D．4

【答案】C

【解析】抛物线的准线方程：，线段的中点到准线的距离为，

由抛物线的性质得

【考点】抛物线的性质的应用.

4.已知抛物线方程为，过点作直线与抛物线交于两点,，过分

别作抛物线的切线，两切线的交点为.

（1）求的值；

（2）求点的纵坐标；

（3）求△面积的最小值.

【答案】（1）-8；（2）-2：（3）．

【解析】

解题思路：（1）联立直线与抛物线方程，整理得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系

求两根之积即可；（2）由导数的几何意义求切线方程，联立方程，解方程组即得P点纵坐标；（3）求弦长和面积，再利用基本不等式求最值.

规律总结：直线与抛物线的位置关系，是高考数学的重要题型，其一般思路是联立直线与抛物线

的方程，整理得到关于或的一元二次方程，采用“设而不求”的方法进行解答，综合型较强.

试题解析：（1）由已知直线的方程为，代入得，

，∴，.

（2）由导数的几何意义知过点的切线斜率为，