八年级数学下册 16 二次根式小结与复习学案 (新版)新人教版

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第16章二次根式小结与复习(教案)八年级数学下册(人教版)

第16章二次根式小结与复习

教学目标：

1、了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和混合运算法则；

2、用二次根式的意义和性质进行求取值范围化简和运算；

3、会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题。

教学重难点：

重点：二次根式的性质和运算.

难点：整式的运算性质及公式在二次根式运算中的灵活运用

教学过程：

一、回顾与思考

本章在数的开方知识的基础上，学习了二次根式的概念、运算法则和加减乘除运算.

对于二次根式，要注意被开方数必须是非负数.在二次根式的运算和化简中，要利用运算法则.二次根式的加减法与整式的加减法类似，只要将根式化为最简二次根式后，去括号与合并被开方数相同的二次根式就可以了。二次根式的乘法与整式的乘法类似，以往学过的乘法公式等都可以运用，二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子分母中含有相同的因式，可以直接约去。

至此，我们已经学习了整式(单项式、多项式)、分式、二次根式等代数式的概念和运算，因为字母表示数，所以代数式的运算也就是含有字母符号的算式之间的运算，实际上就是用实数的运算律对这些符号进行运算.

请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。

1.什么是二次根式？二次根式有意义的条件是什么？

2.二次根式运算的结果必须是最简二次根式.什么是最简二次根式？试举两例.

3.二次根式的乘、除法法则是什么？

4.积的算术平方根、商的算术平方根等于什么？

5.怎样进行二次根式的加减法？

6.怎样进行二次根式的混合运算？

二、本章知识结构图

三、知识点梳理

1、二次根式的概念：一般地，形如√a (a ≥0)的式子叫做二次根式。对于二次根式的理解： ①带有二次根号；②被开方数是非负数，即a ≥0.

人教版数学八年级下册第16章二次根式全章复习教学设计

课题：二次根式全章复习

教材：人教版数学八年级下册第16章教学目标知识技能使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；

熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．

较熟练的用本章所涉及的思考策略解决一些难度较高的问题．

数学思考综合运用二次根式的性质及运算法则计算含二次根式的式子．

问题解决含二次根式的式子的混合运算．

体会解决问题能力，发展实践能力与创新意识．

情感态度

积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲．

形成合作交流、独立思考的学习习惯．教学重点二次根式的加减乘除乘方混合运算.

教学难点熟练的用本章所涉及的思考策略解决一些难度较高的含二次根式的问题．教学方法限时讲授，合作学习，踊跃展示．

1、定义：

2、性质：

⎪⎩

⎪⎨⎧==2.2a

3、运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧混合运算加减运算

乘除运算（先，再；）

)

0( ).(12≥=a a )0 0( ≥≥=b a ab )0 0( >≥=b a b a

二、本章涉及的思考策略

1．转化

二次根式被开方数中字母的取值范围问题转化为解不等式(组)或方程问题例1 x 取何值，下列各式在实数范围内有意义

⑴ 21-+x x

注：学生独立完成，每组代表展示练习：求使式子a

a a ---++61415有意义的a 的取值范围

注：小组讨论，合作展示

练习：

自主归纳：求二次根式中字母的取值范围的基本依据是

2．类比

⑴在有理数范围内成立的运算律同意适用于二次根式的运算

⑵整式的加减法则,乘除法则,乘法公式同样适用于二次根式的运算

新人教版八年级数学下册《十六章二次根式 16.1 二次根式章前引言及二次根式》教案_27

16.1.1二次根式

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

知识与技能目标：

a ≥0）的意义解答具体题目．过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重难点

1．重点：理解二次根式的概念；

2．难点：确定二次根式中字母的取值范围

教法：讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。

2、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。

媒体设计：PPT 课件，展台。

学习过程

一、展示学习目标：

1. 二次根式的概念

2.二次根式有意义的条件

3二次根式的双重非负性

二．设置问题情境，引入新课：

1求下列各数的平方根和算术平方根

（1）9（2）0.64（3）0

总结：a （a ≥0）的平方根是

a （a ≥0

2．解决问题

（1）面积为 S 的正方形边长为________。

（2）．面积为 b －5 的正方形边长为________。

（3）．圆桌的面积为 S ，则半径为________

（4）．若圆桌的面积为 S ＋3，则半径为________

（5）关系式 h = 5t 2 （t > 0）中，用含有 h 的式子表示 t ，则 t = ________。总结以上式子有何特征

二次根式的概念：

人教版八年级下册数学第十六章章末复习教案与教学反思

第十六章二次根式

章末复习

【知识与技能】

进一步加深对二次根式定义、性质及运算法则的理解，能用它们解决具体问题.

【过程与方法】

经历对本章知识的梳理和利用相关知识解决具体问题的过程，进一步锻炼学生的解题能力，加深对本章知识的理解和应用.

【情感态度】

在运用二次根式的有关知识解决具体问题过程中，进一步增强学生的数学应用意识和能力，培养科学的态度，激发学习兴趣.

【教学重点】

回顾知识要点及解题思路方法.

【教学难点】

灵活运用乘法公式解决二次根式的化简计算问题.

一、知识框图,整体把握

【教学说明】教学时，教师与学生一起复习回顾本章主要知识，按教学前自己所设计的思路展示本章知识结构图，加深学生对本章知识的系统掌握.

二、释疑解惑，加深理解

1.a，只有当a≥0时才有意义.利用这一特点，我们可以解决某些未知数的值，如若

y=21x - +12x -+3，则x=1/2，y=3.

2.最简二次根式是指：

（1）被开方数中不含分母；

（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式.只有将二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同时，才能合并，如若最简二次根式2x - 与310x - 能合并，则x 的值为4.

3.二次根式的运算与有理数的运算顺序和方法完全相同.同样地，多项式乘法法则和乘法公式也仍然适用于二次根式.

【教学说明】在对上述知识回顾过程中，教师应边回顾边举例说明，促进学生对知识的深化理解.

三、典例精析，复习新知

例1 若1x - -1x -=（x+y ）2，则代数式x-y 的值为（）

A.-1

B.1

C.2

D.3

分析：可利用二次根式的意义，得出x 的值，从而求出y 值，得出结论.由题意有∴x=1.因此，（x+y ）2=0，∴y=-1，故x-y=2，应选C.

2023-2024学年人教版数学八年级下册第十六章二次根式——五大题型总结训练(含解析)

第十六章二次根式——五大题型总结

题型一判断二次根式及求二次根式的值1．下列各式中是二次根式的是（）A

2．已知

是整数，则的值可以是（）

A ．5

B ．7

C ．9

D ．10

3．已知，则）

A ．2 x - 5

．—2

C ．5 - 2 x

．24．a 是任意实数，下列各式中：；

；

A ．1

B ．2

C ．3

D ．

5．已知当的值是（）

A ．

B ．

C ．

D ．题型二求二次根式的参数

m 为（）A ．

-10B ．-40

C ．-90

D ．-160

7，则x

的取值范围是（）

A ．

x≥3

B ．x ＜3

C ．x≤3

D ．x ＞3

8．若

a 、

b ，则直线y ＝

ax b 不经过的象限是（　）A ．第一象限B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

9．已知，那么a 应满足什么条件（）

A ．a ＞0

B ．a≥0

C ．a ＝0

D ．a 任何实数

10．已知，则x+y 的值为（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．5

n n 12x <≤x -12a <<1a --3

-12a

-32a

-23a -3x =-5b -=-2

2(1)0x -=

的最大值为（）A ．B ．C ．D ．12．已知

n n 的最小值是（）A ．3

B ．5

C ．15

D ．45

13．若、为实数，且，则的值 ( )

A ．-2

B ．1

C ．2

D ．-1

题型三二次根式有意义的条件

14x 的取值范围是(

)A ．x

＞

B ．x≥

C ．x≤

D ．x≤5

15．已知，则的值为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

成立的x 的取值范围在数轴上可表示为（）

八年级数学下册第十六章二次根式知识点总结(新版)新人教版

八年级数学下册：

第十六章二次根式

【知识回顾】

1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：

（1）（a）2=a（a≥0）；（2）=

5.二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

a≥0，b≥0）；

=b≥0，a>0）．

a（a＞0）

-（a＜0）

0 （a=0）；

（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

A. a>b

B. a<b

C. a ≥b

D. a ≤b

4、比较数值

（1）、根式变形法

当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<。

例1、比较与的大小。

（2）、平方法

当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。

人教版数学八年级下册16.1《二次根式的概念》(第1课时)教学设计

人教版数学八年级下册16.1《二次根式的概念》（第1课时）教学设计

一. 教材分析

人教版数学八年级下册16.1《二次根式的概念》是本册教材中的重要内容，它

为学生进一步学习二次根式的运算、性质等知识打下基础。本节课主要让学生掌握二次根式的定义，理解二次根式与整数、分数、小数之间的关系，以及会进行二次根式的化简。

二. 学情分析

学生在七年级时已经学习了实数和分数，对实数和分数的概念有了初步的了解。但在实际操作中，部分学生对二次根式的理解仍存在困难，特别是对二次根式与整数、分数、小数之间的转换。因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，引导学生通过观察、思考、探究，从而深入理解二次根式的概念。

三. 教学目标

1.理解二次根式的定义，掌握二次根式的基本性质。

2.学会将整数、分数、小数转换为二次根式，并能进行简单的化简。

3.培养学生的观察能力、思考能力、动手能力，提高学生解决实际问题

的能力。

四. 教学重难点

1.二次根式的定义及其与整数、分数、小数之间的关系。

2.二次根式的化简方法。

五. 教学方法

采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等多种教学方法，引导学生观察、

思考、探究，从而深入理解二次根式的概念。

六. 教学准备

1.教师准备相关案例、图片等教学资源。

2.学生准备笔记本、文具等学习用品。

七. 教学过程

1.导入（5分钟）

利用PPT展示一些生活中的实例，如车轮半径、物体高度等，引导学生观察这些实例中是否存在二次根式。通过观察，让学生感受二次根式在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）

人教版数学八年级下册教学设计：第16章二次根式小结复习(二)

一. 教材分析

人教版数学八年级下册第16章二次根式小结复习(二)的内容主要包括：二次根式的性质、运算规则、化简方法以及应用。本章是学生在学习了二次根式的基本概念和性质后，进一步深化对二次根式的理解和运用的过程。通过对本章内容的复习，使学生能够巩固和提高二次根式的运算能力，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析

学生在学习本章内容前，已经掌握了二次根式的基本概念、性质和运算规则，具备了一定的运算能力和解决问题的能力。但部分学生对二次根式的化简方法和应用仍存在一定的困难，需要通过本节课的复习和训练来进一步提高。

三. 教学目标

1.理解二次根式的性质和运算规则，提高运算能力。

2.学会二次根式的化简方法，提高解决问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

四. 教学重难点

1.二次根式的性质和运算规则。

2.二次根式的化简方法。

3.二次根式在实际问题中的应用。

五. 教学方法

采用讲练结合、分组讨论、案例分析等教学方法，引导学生主动探究，培养学生的运算能力、解决问题的能力和团队协作能力。

六. 教学准备

1.教学PPT。

2.相关练习题。

3.案例分析材料。

七. 教学过程

1.导入（5分钟）

通过复习二次根式的基本概念和性质，引导学生回忆起已学的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）

讲解二次根式的运算规则，并通过例题展示运算过程，让学生理解并掌握运算方法。

3.操练（10分钟）

让学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，及时发现和纠正学生的错误。

人教版八年级下册数学：第16章二次根式(复习课)

加法：合并同类二次根式
减法：
类似整式加减法的合并同类
项
乘法： a. b ab(a 0,b 0)
除法： a
b
a b
(a
0,b
0)
方法指导：判断是否是二次根式，只看形式，不看结果；
四、挑战自我（1）、根号的次数是二次；（2）、根号下的数（或式子）是非负的；
c 1、下面哪个式子是二次根式（）
a a 8、(
2
a21)
2（11）、利用性质开方
化简后的结果是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2a
（2）、判断式子与0的大小，展开绝对值，化简。
9、 (x2)2 化简后的第一步是＿＿x＿＿2＿＿＿＿＿＿
10、如果2<x<5,那么化简 (x1)2 (x5)2 2x-4 的结果是＿＿＿＿＿＿＿＿＿第二类：判断字母的取值范围 x 4 （1）、利用性质开方
A、
34x(x
4) 3
B 5x (x 0)
A 2、下列式子，一定是二次根式的是（）
C x2
D x (x 0)
A a2 2
B a4
C a
a3
D
x 0 3、已知 5x 是二次根式，则x的取值为＿＿＿＿＿。
4、已知n是一个正整数，且 45n 是整数，则n的最小值是＿n＿=＿5 ＿＿
a a 5(1、)＿x代＿数＿2式且＿（＿x1）＿1、＿x,2(2)1＿x ＿2b＿c（＿2＿0）,、(3)＿ba＿2＿02＿bc

第16章二次根式复习-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案(含详解)

第十六章二次根式复习

学习目标：

1.会熟练判断二次根式，知道二次根式有意义的条件.

2.能熟练运用二次根式的性质进行计算或化简.

3.能熟练进行二次根式的加减乘除法混合运算. 学习重点：同上

一、课前检测

二、温故知新

1．若a ＞0，a 的平方根可表示为________，a 的算术平方根可表示________. 2．当a ______时，12a -有意义，当a ______时，35a +没有意义. 3．2(3)________π-=，2(32)______-=. 4．________1872_______;4814=÷=⨯. 5．_______20125_______;2712=-=+.

三、独立画出本章知识结构图

四、我的疑惑（反思）

一、要点回顾

在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：（1）22()(0)()(0)a a a a a a =≥=≥与.

（2）⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>==00002a a a a a a a . 自主研习

探究点拨

（3）(0,0)(0,0)a b ab a b ab a b a b •=≥≥=•≥≥与. （4）

(0,0)(0,0)a a a a a b a b b b b b

=≥>=≥>与.

二、精讲点拨

考点一二次根式有意义的条件

1.（济宁中考）若12-x +x 21-+1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是（）

A.x 21≥

B.x 21

≤ C.x=21 D.x ≠21

2.（黄石中考）若式子

--x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（） A.x 1≥且x ≠2 B.x 1≤ C.x ＞1且x ≠2 D.x ＜1

人教版八年级数学下册第十六章二次根式(全章)教案

16．1 二次根式

[学习目标]

理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．

教学重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念

教学难点：利用“（a≥0）”解决具体问题．

教法：1、引导发现法: 2、讲练结合法:

学法：1、类比的方法、2、阅读的方法、3、分组讨论法4、练习法

[学习过程]

一、板书课题

（一）讲述：同学们，我们来学习 16．1 二次根式

二、出示目标

（一）过渡语：要达到什么教学目标呢？请看投影：

（二）屏幕显示

学习目标

理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．

三、指导自学

（一）过渡语：怎样才能当堂达到学习目标呢？请同学们按照指导认真自学.

（二）出示自学自导

自学指导

认真看课本P2全部内容：

1.思考“思考1、2”中的问题，完成思考1中的问题，理解二次根式的概念及二次根式有无意义的条件。

2.注意例题1的格式和步骤。

3.讨论回答思考2中的问题。.

如有疑问，可请教同桌或举手问老师.

5分钟后，比谁能做对与例题类似的题.

四、先学

（一）学生看书，教师巡视，师督促每一位学生认真、紧张的自学，鼓励学生质疑问难.

（二）过渡语：同学们，看完的请举手？懂了的请举手？好，下面就比一比，看谁能正确做出检测题.

（三）检测 : P.3 练习1、2题。

学生练习，教师巡视。（收集错误进行二次备课）

五、后教

教师引导学生评议、订正。

归纳小结：

1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

五、当堂训练：

一、选择题

1．下列各式中①；②；③；④；⑤；

【最新】人教版八年级数学下册第十六章《二次根式复习专题》导学案

新人教版八年级数学下册第十六章《二次根式复习专题》导学案

一、基本知识点

1、二次根式的有关概念：

①形如_______________的式子叫做二次根式。

（即一个_____________的算术平方根叫做二次根式。

②二次根式有意义的条件：被开方数_________________零。【例题讲解】

例1

有意义的x 的取值范围：__________________。

例2：若2

)(11y x x x +=-+-，则y x -=_____________。

例3：一个自然数的算术平方根为

()

0a a >，则与这个自然数相邻的两个自然数的算

术平方根为（）__________________。【小试牛刀】

1. ①面积为a 的正方形的边长为________。

②已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是________。 2.负数________平方根。

3. 下列式子中，不是二次根式的是（）

4.下列式子中，是二次根式的个数有________个。

31；3-；12+-x ；38；23

1)(-；)(11>-x x ；322++x x ；2

2)-(x

；

5. 数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是________。

6.当x 是_____________

在实数范围内有意义。

。

x 有（）个。

A.0

B.1

C.2

D.无数

x+1是一个_______数。

10. 若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是_________。【实战演练】

1. 使下列式子有意义的x 的取值范围。

x x +； 31-x ； 42

人教版八年级下册数学(新)第十六章-《二次根式》复习教案

二次根式复习课

教学目标

1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；

2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．

教学重点和难点

重点：含二次根式的式子的混合运算．

难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．

教学过程设计

一、复习

1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．

指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．

2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．

指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，

计算结果要把分母有理化．

3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：

4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：

二、例题

例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：

分析：

(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；

(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；

(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．

x≥-2且x≠0．

解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以

例3

分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0．

解：因为1-a＞0，3-a≥0，所以a＜1，|a-2|＝2-a．

部编人教版八年级数学下册第16章二次根式【创新教案】二次根式的混合运算

二次根式的混合运算

一、教学目标

知识与技能：二次根式的加减乘除混合运算．

过程与方法：复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的加减乘除混合运算．

情感态度与价值观：学会知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性。二、教学重、难点

重点：二次根式的加减乘除混合运算；

难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．

三、教学过程

（一）、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题:

1．计算

（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy

2．计算

（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2

老师点评：这些内容是对整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．

（二）、探索新知

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:

（1）（2）（

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．

解：（1）

解：（

-3 2

例2．计算：

（1）+6）（）（2）

分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．

解：（1）+6）（）

-）2

（2）=2- 2

=10-7=3

（三）、巩固练习

课本P 练习1、2．

（四）、应用拓展

例3．已知x b a

-=2-x a b -，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，

八年级数学下册 16 二次根式小结与复习学案 (新版)新人教版

第16章 二次根式小结与复习(教案)八年级数学下册(人教版)

人教版数学八年级下册 第16章二次根式全章复习教学设计

新人教版八年级数学下册《十六章 二次根式 16.1 二次根式 章前引言及二次根式》教案_27