【新教材】高中数学 新人教A版必修第二册 第七章 复数 章末复习提升课 课件
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新人教A版高中数学第二册(必修2)课件：7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.两个虚数的和或差可能是实数.( √ )
2.在进行复数的加法运算时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部
相加得虚部.( √ ) 3.复数与复数相加、减后结果只能是实数.( × ) 4.复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.( × )
反思 感悟
复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终 点的向量一一对应的. (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与 终点所对应的复数发生改变.
跟踪训练 2 (1)已知复平面内的向量O→A，A→B对应的复数分别是－2＋i, 3＋2i，则|O→B|＝___1_0__.
B.第二象限 D.第四象限
解析 复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i， 其对应的点为(9,1)，在第一象限.
二、复数加、减法的几何意义
例2 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A， C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.求： (1)A→O对应的复数；
解析 z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋(y－4x＋5x＋3y)i＝(5x－3y)＋(x ＋4y)i＝13－2i. ∴5x＋x－43y＝y＝－132， ， 解得xy＝ ＝－ 2，1. ∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解题.
内
知识梳理
容
题型探究
索
随堂演练
引
课时对点练
1
PART ONE
知识梳理
知识点一 复数加法与减法的运算法则
人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第七章 复数 复数的四则运算 复数的乘、除运算
（4）i的运算性质.
2.方法归纳:分母实数化、配方法、求根公式法.
3.常见误区:分母实数化时忽视i2 = −1造成运算错误.
−−+
=
+
−
=
+ +
− +
=
+++
−
=
−+
= − + .
规律方法 复数除法运算的技巧
（1）根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,
这个过程与“分母有理化”类似.
（2）复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部与虚部
− ± − 2 − 4 i
=
2 + + = 0 ≠ 0 的根的判别式 < 0时,其求根公式为__________________.
2
2.若复系数方程有实数根,通常将这个根设出,代入方程,利用复数的运算以及复数相等的
充要条件进行求解.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画√,错误的画×）
i
− i
2
2
2
2
分母都乘分母的共轭复数_______,化简可得(
+ i) ÷ + i =______+_______(,
+ +
,, ∈ ,且 + i ≠ 0).
过关自诊
1.判断正误.（正确的画√,错误的画×）
（1）复数的加、减、乘、除混合运算法则是先算乘、除,后算加、减.
子集.
探究点三 与复数有关的方程问题
【例4】在复数范围内解关于的方程 2 + 6 + 10 = 0.
2.方法归纳:分母实数化、配方法、求根公式法.
3.常见误区:分母实数化时忽视i2 = −1造成运算错误.
−−+
=
+
−
=
+ +
− +
=
+++
−
=
−+
= − + .
规律方法 复数除法运算的技巧
（1）根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,
这个过程与“分母有理化”类似.
（2）复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部与虚部
− ± − 2 − 4 i
=
2 + + = 0 ≠ 0 的根的判别式 < 0时,其求根公式为__________________.
2
2.若复系数方程有实数根,通常将这个根设出,代入方程,利用复数的运算以及复数相等的
充要条件进行求解.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画√,错误的画×）
i
− i
2
2
2
2
分母都乘分母的共轭复数_______,化简可得(
+ i) ÷ + i =______+_______(,
+ +
,, ∈ ,且 + i ≠ 0).
过关自诊
1.判断正误.（正确的画√,错误的画×）
（1）复数的加、减、乘、除混合运算法则是先算乘、除,后算加、减.
子集.
探究点三 与复数有关的方程问题
【例4】在复数范围内解关于的方程 2 + 6 + 10 = 0.
第7章 复数 章末知识梳理(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第二册
(1)求复数z；
(2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的 值.
[解析] (1)复平面内 A，B，C 对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)， 设 D 的坐标为(x，y)，由于A→D＝B→C， ∴(x－1，y－3)＝(2，－1)， ∴x－1＝2，y－3＝－1，解得 x＝3，y＝2，故 D(3,2)， 则点 D 对应的复数 z＝3＋2i. (2)∵3＋2i 是关于 x 的方程 2x2－px＋q＝0 的一个根， ∴3－2i 是关于 x 的方程 2x2－px＋q＝0 的另一个根， 则 3＋2i＋3－2i＝p2，(3＋2i)·(3－2i)＝q2，即 p＝12，q＝26．
要点二 复数相等
复数的代数形式z＝x＋yi(x，y∈R)，从实部、虚部来理解 一个复数，把复数z满足的条件转化为实数x，y应该满足的条 件，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处 理复数问题.
典例 2 已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i， 求x，y.
[解析] 设 x＝a＋bi(a，b∈R)，则 y＝a－bi.
解答有关复数模的问题时应重视以下结论的运用：z·－z ＝|z|2＝|－z |2，|z1·z2| ＝|z1|·|z2|，zz12＝||zz12||(z2≠0)等.
典例 3 复数 z 满足|z＋3－ 3i|＝ 3，求|z|的最大值和最小值. [解析] |z＋3－ 3i|＝ 3表示以－3＋ 3i 对应的点 P 为圆心， 以 3为半径的圆， 如图所示，则|OP|＝|－3＋ 3i|＝ 12＝2 3， 显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋ 3＝3 3， |z|min＝|OB|＝|OP|－ 3＝ 3.
所以 a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).
(2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的 值.
[解析] (1)复平面内 A，B，C 对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)， 设 D 的坐标为(x，y)，由于A→D＝B→C， ∴(x－1，y－3)＝(2，－1)， ∴x－1＝2，y－3＝－1，解得 x＝3，y＝2，故 D(3,2)， 则点 D 对应的复数 z＝3＋2i. (2)∵3＋2i 是关于 x 的方程 2x2－px＋q＝0 的一个根， ∴3－2i 是关于 x 的方程 2x2－px＋q＝0 的另一个根， 则 3＋2i＋3－2i＝p2，(3＋2i)·(3－2i)＝q2，即 p＝12，q＝26．
要点二 复数相等
复数的代数形式z＝x＋yi(x，y∈R)，从实部、虚部来理解 一个复数，把复数z满足的条件转化为实数x，y应该满足的条 件，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处 理复数问题.
典例 2 已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i， 求x，y.
[解析] 设 x＝a＋bi(a，b∈R)，则 y＝a－bi.
解答有关复数模的问题时应重视以下结论的运用：z·－z ＝|z|2＝|－z |2，|z1·z2| ＝|z1|·|z2|，zz12＝||zz12||(z2≠0)等.
典例 3 复数 z 满足|z＋3－ 3i|＝ 3，求|z|的最大值和最小值. [解析] |z＋3－ 3i|＝ 3表示以－3＋ 3i 对应的点 P 为圆心， 以 3为半径的圆， 如图所示，则|OP|＝|－3＋ 3i|＝ 12＝2 3， 显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋ 3＝3 3， |z|min＝|OB|＝|OP|－ 3＝ 3.
所以 a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).
人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第七章 复数 7.1.2 复数的几何意义
(2)对应的点在直线x+y+4=0上?
解(1)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5,所以当m<-3或m>5时,复数z对应的点
在x轴上方.
(2)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0,得m=1或m=所以当m=1或m=-
5
2
5
2
,
时,复数z对应的点在直线x+y+4=0上.
探究点二 复数与复平面内向量的对应
(1)由题意得m2-2m-8=0,解得m=-2或m=4.
2 -2-8 < 0,
(2)由题意, 2
+ 3-10 > 0,
∴2<m<4,即m的取值范围为(2,4).
(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2<m<4或-5<m<-2,
即m的取值范围为(2,4)∪(-5,-2).
限.
2.已知平行四边形OABC,O,A,C三点对应的复数分别为0,1+2i,3-2i,则向量
的模等于(
A.√5
)
B.2√5
C.4
D.√13
答案 D
解析 由于四边形 OABC 是平行四边形,故 = ,因此| |=| |
=|3-2i|=√13.
3.(多选题)(2022湖南长沙南雅中学高一期中)已知复数z=1+i(其中i为虚数
2
2
解由已知得 ( + 2) + (-2) = √5,即 5a +4a-1=0,解得
a
2
1
a=5或
a=-1,故实数
解(1)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5,所以当m<-3或m>5时,复数z对应的点
在x轴上方.
(2)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0,得m=1或m=所以当m=1或m=-
5
2
5
2
,
时,复数z对应的点在直线x+y+4=0上.
探究点二 复数与复平面内向量的对应
(1)由题意得m2-2m-8=0,解得m=-2或m=4.
2 -2-8 < 0,
(2)由题意, 2
+ 3-10 > 0,
∴2<m<4,即m的取值范围为(2,4).
(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2<m<4或-5<m<-2,
即m的取值范围为(2,4)∪(-5,-2).
限.
2.已知平行四边形OABC,O,A,C三点对应的复数分别为0,1+2i,3-2i,则向量
的模等于(
A.√5
)
B.2√5
C.4
D.√13
答案 D
解析 由于四边形 OABC 是平行四边形,故 = ,因此| |=| |
=|3-2i|=√13.
3.(多选题)(2022湖南长沙南雅中学高一期中)已知复数z=1+i(其中i为虚数
2
2
解由已知得 ( + 2) + (-2) = √5,即 5a +4a-1=0,解得
a
2
1
a=5或
a=-1,故实数
最新人教A版高一数学必修二课件：7.1.1数系的扩充和复数的概念
【答案】(1)－3
【解析】∵z<0，∴mm2＋－19＜＝00.， ∴m＝－3.
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第六章 平面向第量七及章其应复用数
(2)解：设 a 是原方程的实根，则 a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋ a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，所以 a2＋a＋3m＝0 且 2a＋1＝0.所以 a＝－12且 －122－12＋3m＝0.所以 m＝112.
z (2)表示方法：复数通常用字母___表示，即_z_＝__a_＋__b__i (a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形
式．
2．复数集 (1)定义：__全__体__复__数____所成的集合叫做复数集．
(2)表示：通常用大写字母_C__表示，即_C__＝__{_a_＋__b_i_|_a_，__b__∈__R_}．
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第六章 平面向第量七及章其应复用数
1．设a，b∈R时，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
故x22x＋＋x1＋＝30m，>0， 解得xm＝>1－12.12，
所以实数 m 的取值范围为112，＋∞.
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第六章 平面向第量七及章其应复用数
高中数学第七章复数7-3复数的三角表示课件新人教A版必修第二册
【 ＝(
2－12＋ 23i＝－1＋ 3i.
2 )2 cos32π
＋isin23π ＝
(2)12－12i＝
2
2
22－
22i＝
22cos74π＋isin47π，
所以 2 (cos 75°＋isin 75°)× 12－21i ＝ 2 cos152π＋isin152π ×
把下列复数的代数形式化成三角形式： (1) 3＋i； (2) 2－ 2i. 素养点睛：本题考查了数学运算的核心素养．
解：(1)r＝ 3＋1＝2，因为 3＋i对应的点在第一象限，所以cos θ
＝ 23，即θ＝π6 .所以 3＋i＝2cosπ6 ＋isinπ6 .
(2)r＝
2＋2 ＝2，cos
θ＝
2 2
π 4
＝
4cos－4π＋isin－π4＝2 2－2 2i.
(1)乘法法则：模相乘，辐角相加． (2)除法法则：模相除，辐角相减． (3)复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角的n倍．
2．计算：
(1)
2cosπ3 ＋isinπ32；
(2) 2(cos 75°＋isin 75°)×12－21i；
(3)－12＋ 23i÷2cosπ3＋isinπ3.
方向2 三角形式化为代数形式
分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代
数形式．
(1)4cosπ6 ＋isinπ6 ；
(2)
3 2 (cos
60°＋isin
60°)；
(3)2cosπ3 －isinπ3 .
素养点睛：本题考查了数学运算的核心素养．
解：(1)复数
4cosπ6 ＋isinπ6 的模
(2)2(cos 300°＋isin 300°)÷
新教材人教A版高中数学必修第二册7.2复数的四则运算 精品教学课件
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则 z1＋z2＝____(_a_＋__c_)_＋__(b_＋__d_)_i___， z1－z2＝__(_a_－__c_)_＋__(b_－__d_)_i__.
2.复数加法的运算律
(1)交换律：__z_1_＋__z_2＝__z_2_＋__z1__； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝_z_1_＋__(_z2_＋__z_3)__.
(1)―AO→表示的复数； (2)对角线―CA→表示的复数； (3)对角线―O→B 表示的复数.
[解] (1)因为―AO→＝－―O→A ，所以―AO→表示的复数为－3 －2i.
(2)因为―CA→＝―O→A －―O→C ，所以对角线―CA→表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线―O→B ＝―O→A ＋―O→C ，所以对角线―O→B 表示的 复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
A.8i
B.6
C.6＋8i
D.6－8i
解析：z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝6.
答案：B
2.设 z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则 z1－z2 在复平面内对应的点 位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：∵z1－z2＝5－7i，∴z1－z2 在复平面内对应的点位于 第四象限.
形状？ 提示：正方形.
[学透用活] [典例 3] 设 z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2， 求|z1－z2|. [解] 法一：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 由题设知 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2. 又∵(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2， ∴2ac＋2bd＝0. ∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd) ＝2，∴|z1－z2|＝ 2.
2.复数加法的运算律
(1)交换律：__z_1_＋__z_2＝__z_2_＋__z1__； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝_z_1_＋__(_z2_＋__z_3)__.
(1)―AO→表示的复数； (2)对角线―CA→表示的复数； (3)对角线―O→B 表示的复数.
[解] (1)因为―AO→＝－―O→A ，所以―AO→表示的复数为－3 －2i.
(2)因为―CA→＝―O→A －―O→C ，所以对角线―CA→表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线―O→B ＝―O→A ＋―O→C ，所以对角线―O→B 表示的 复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
A.8i
B.6
C.6＋8i
D.6－8i
解析：z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝6.
答案：B
2.设 z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则 z1－z2 在复平面内对应的点 位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：∵z1－z2＝5－7i，∴z1－z2 在复平面内对应的点位于 第四象限.
形状？ 提示：正方形.
[学透用活] [典例 3] 设 z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2， 求|z1－z2|. [解] 法一：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 由题设知 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2. 又∵(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2， ∴2ac＋2bd＝0. ∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd) ＝2，∴|z1－z2|＝ 2.
复数的几何意义 课件 高中数学新人教A版必修第二册
代入方程得 a＋bi＋ a2＋b2＝2＋8i，
∴a＋ a2＋b2＝2， b＝8，
解得ab＝ ＝8－. 15，∴z＝－15＋8i.
反思 感悟
复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算. 虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小. (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.
反思 感悟
复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向 量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原 点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一 一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
解 设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则|z|＝ x2＋y2. 由题意知 x2＋y2<3， x2＋y2<9. 所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆面，不包括边界.
(2)|z|＝2.
解 根据模的几何意义，|z|＝2表示复数z对应的点到原点的距离为2. 所以满足|z|＝2的点Z的集合为以原点为圆心，2为半径的圆.
√A.(1， 10 )
C.(1,3)
B.(1， 3 ) D.(1,10)
解析 0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)， 则|z|＝ a2＋1∈(1， 10).
核心素养之直观想象
HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG
复数模的几何意义
典例 设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？ (1)|z|<3；
第七章 7.1 复数的概念
2024春高中数学第7章复数7.2复数的四则运算7.2.2复数的乘除运算课件新人教A版必修第二册
即x＝－2＋ 2i或x＝－2－ 2i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2± 2i．
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2 ＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且
b≠0)，
则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
)
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
√
C．(1，＋∞)
D．(－1，＋∞)
B
z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，
因为对应的点在第二象限，
+ 1 < 0，
所以ቊ
解得a<－1，故选B．
1 − > 0，
13
(2)计算：①(2＋3i)(2－3i)＝______；
5－25i
②(－2－i)(3－2i)(－1＋3i) ＝________．
式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
(3)(1±i)2＝±2i．
[跟进训练]
1．(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a
的取值范围是(
；(3)
．
2i
2−3i
1−i
[解]
−1 −1× −i
(1) ＝
2i
2i× −i
1+2i
1+2i 2+3i
(2)
＝
2−3i
2−3i 2+3i
(3)
i
＝ ；
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2± 2i．
法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，
所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．
在复数范围内，设方程x2 ＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且
b≠0)，
则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0，
)
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
√
C．(1，＋∞)
D．(－1，＋∞)
B
z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，
因为对应的点在第二象限，
+ 1 < 0，
所以ቊ
解得a<－1，故选B．
1 − > 0，
13
(2)计算：①(2＋3i)(2－3i)＝______；
5－25i
②(－2－i)(3－2i)(－1＋3i) ＝________．
式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
(3)(1±i)2＝±2i．
[跟进训练]
1．(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a
的取值范围是(
；(3)
．
2i
2−3i
1−i
[解]
−1 −1× −i
(1) ＝
2i
2i× −i
1+2i
1+2i 2+3i
(2)
＝
2−3i
2−3i 2+3i
(3)
i
＝ ；
第七章复数章末总结提升课件高一下学期数学人教A版
∴z=1+i,故选 A.
(2)已知复数
3+2i
1
z1=2-3i,z2=
2 ,则 等于(
2(Biblioteka +i)A.-4+3i
B.3+4i
C.3-4i
D.4-3i
解析
1
2
=
(2-3i)(2+i)2
3+2i
-13i(3+4i)
=
=4-3i.
13
=
(2-3i)(3-2i)(2+i)2
(3+2i)(3-2i)
别为 A,B,C.若 =2 + ,则 a=
-3
,b=
解析 ∵ =2 + ,∴1-4i=2(2+3i)+(a+bi),
1 = 4 + ,
= -3,
即
∴
-4 = 6 + ,
= -10.
-10
.
规律方法
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.
2.通过复数几何意义的学习,培养直观想象素养.
【例 2】 (1)[2023 辽宁葫芦岛期末]复数 -2
π
π
cos5 +isin5
2 023
在复平面内
对应的点位于( D )
A.第一象限
B.第二象限 C.第三象限
解析 由题意得 -2
=(-2)
-2
2 023
π
π
cos5+isin5
3π
3π
· cos +isin
D )
变式探究本例(1)中已知条件不变,则 =
(2)已知复数
3+2i
1
z1=2-3i,z2=
2 ,则 等于(
2(Biblioteka +i)A.-4+3i
B.3+4i
C.3-4i
D.4-3i
解析
1
2
=
(2-3i)(2+i)2
3+2i
-13i(3+4i)
=
=4-3i.
13
=
(2-3i)(3-2i)(2+i)2
(3+2i)(3-2i)
别为 A,B,C.若 =2 + ,则 a=
-3
,b=
解析 ∵ =2 + ,∴1-4i=2(2+3i)+(a+bi),
1 = 4 + ,
= -3,
即
∴
-4 = 6 + ,
= -10.
-10
.
规律方法
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.
2.通过复数几何意义的学习,培养直观想象素养.
【例 2】 (1)[2023 辽宁葫芦岛期末]复数 -2
π
π
cos5 +isin5
2 023
在复平面内
对应的点位于( D )
A.第一象限
B.第二象限 C.第三象限
解析 由题意得 -2
=(-2)
-2
2 023
π
π
cos5+isin5
3π
3π
· cos +isin
D )
变式探究本例(1)中已知条件不变,则 =
2019_2020学年新教材高中数学第七章复数7.1.1数系的扩充和复数的概念课件新人教A版必修第二册
【解析】 (1)①错误，若 z＝i，则 z2＝－1<0；②错误，当 a ＝－1 时，(a＋1)i＝0∈R；③错误，两个虚数不能比较大小．
(2)①复数由实数和虚数组成，虚数中包含着纯虚数，故①错； ②形如 a＋bi 的数不一定是虚数，也可能是实数，故②错；③中两 个复数并非不可以比较大小，当两个复数都是实数时就可以比较大
ห้องสมุดไป่ตู้
① ④
由①②得x＝52， y＝4，
代入③④得ab＝＝12
确定实部与虚部，列方程组求解．
方法归纳
1．一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小． 2．复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复 数问题实数化的桥梁纽带． 3．必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用．若 a＋bi＝ c＋di 则 a＝c 且 b＝d
2．教材 P69 思考 复数集 C 与实数集 R 之间有什么关系？ 提示：
显然，实数集 R 是复数集 C 的真子集，即 R C. 这样，复数 z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下： 复数实 虚数 数bb＝ ≠00，当a＝0时为纯虚数. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示．
(2)复数的虚部是实数 b 而非 bi. (3)复数 z＝a＋bi 只有在 a，b∈R 时才是复数的代数形式，否 则不是代数形式．
2．复数代数形式的应用 (1)从代数形式可判定 z 是实数、虚数还是纯虚数，若 z 是纯虚 数，可设 z＝bi(b≠0，b∈R) 若 z 是虚数，可设 z＝a＋bi(b≠0，b∈R) 若 z 是复数，可设 z＝a＋bi(a，b∈R) (2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或 不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
[基础自测]
最新人教A版高一数学必修二课件：7.2.1复数的加、减运算及其几何意义
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第六章 平面向第量七及章其应复用数
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第六章 平面向第量七及章其应复用数
题型1 复数加减法的运算
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第六章 平面向第量七及章其应复用数
题型2 复数加减运算的几何意义
(1)复数 z1，z2 满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2，则|z1－z2|＝ ________.
(2)如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O，A，C 对应的复数分别为 0,3＋2i，－2＋4i，试求：
解：因为|z|＝1 且 z∈C，作图，如图所示， 所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点 M 到复 平面上的点 P(2,2)的距离．所以|z－2－2i|的最小值为 |OP|－1＝2 2－1.
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第六章 平面向第量七及章其应复用数
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第六章 平面向第量七及章其应复用数
题型3 复数模的最值问题
(1)如果复数 z 满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是
()
A．1
新教材高中数学第七章复数.数系的扩充和复数的概念课件新人教A版必修第二册
【解析】因为 x2－1＋(y＋1)i＞2x＋3＋(y2－1)i，
y＋1＝0，
所以
且 x2－1＞2x＋3，
y2－1＝＋ 5 ，
即实数 x，y 的取值范围是
x＜1－ 5 或 x＞1＋ 5 ，y＝－1.
复数中比较大小问题： 1．两个虚数不能比较大小． 2．若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数(即两个复数的虚部均为 0).
解得 x＝－2. 答案：－2
学情诊断·课堂测评
1．(2021·无锡高一检测)已知 a 是实数，则复数(a2－2a)＋(a2＋a－6)i 为纯虚数的 充要条件是( ) A．a＝0 或 a＝2 B．a＝0 C．a∈R 且 a≠2 且 a≠－3 D．a∈R，且 a≠2
【解析】选 B.因为 a 是实数，则复数(a2－2a)＋(a2＋a－6)i 为纯虚数需满足
a2－2a＝0
，解得 a＝0.
a2＋a－6≠0
2．以 3i－1 的虚部为实部，以－2＋i 的实部为虚部的复数是( ) A．－2＋3i B．－3＋i C．－2i＋3 D．1－3i 【解析】选 C.3i－1 的虚部为 3，－2＋i 的实部为－2，故以 3i－1 的虚部为实部， 以－2＋i 的实部为虚部的复数是 3－2i.
1．本质：复数是数系的扩充，复数集是对实数集的扩展． 2．混淆：复数与实数不一样，两个复数不能比较大小． 3．对复数概念的三点说明 (1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成 a＋bi(a，b∈R)的形式，其中 0 ＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数 b 而非 bi. (3)复数 z＝a＋bi 只有在 a，b∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
2．若 a∈R，i 为虚数单位，则“a＝1”是“复数(a－1)(a＋2)＋(a＋3)i 为纯虚数”的
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5，故选 B.
法二：|z|＝|（1|2－＋2ii|）2|＝ |12－2＋2i1|22＝|
12＋（－2）2|2＝ 5
5，故选
B.
【答案】 B
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第七章 复 数
化复为实 利用复数模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条 件，是一种复数问题实数化的思想．根据复数模的意义，可以 简化计算．
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第七章 复 数
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第七章 复 数
3．复数 z1＝3cosπ4＋isinπ4，z2＝1－i，则zz12的辐角的主值是(
)
A．－π2
B．π2
C．π
D．32π
解析：选 B.z2＝1－i＝ 2cos74π＋isin74π，
所以 argzz12＝π4－74π＋2π＝π2.
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第七章 复 数
4．定义运算ac db＝ad－bc，若复数 x＝11－ ＋ii，y＝42i xx＋i i，则 y＝________． 解析：依题意，y＝4i(x＋i)－2xi ＝4i2＋2xi＝－4＋（11－＋i）i 2i ＝－4＋21＋＋2ii＝－4＋2＝－2. 答案：－2
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第七章 复 数
复数的三角形式 把下列复数转化为三角形式． (1)－1；(2)2i；(3) 3－i.
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第七章 复 数
【解】 (1)r＝ （－1）2＋02＝1，辐角的主值为 θ＝arg(－1)＝π， 所以－1＝cos π＋isin π. (2)r＝ 02＋22＝2，辐角的主值为 θ＝arg(2i)＝π2 ，所以 2i＝ 2cosπ2＋isinπ2. (3)r＝ （ 3）2＋（－1）2＝2，由 tan θ＝－31＝－ 33和点( 3， －1)在第四象限，得 θ＝arg( 3－i)＝2π－π6＝116π， 所以 3－i＝2cos116π＋isin116π.
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第七章 复 数
5．已知复数 z 满足|3＋4i|＋z＝1＋3i. (1)求－z ； (2)求（1＋i）2z（3＋4i）的值． 解：(1)因为|3＋4i|＝5， 所以 z＝1＋3i－5＝－4＋3i，所以－z ＝－4－3i. (2)（1＋i）2z（3＋4i）＝2i（－34＋＋43ii）＝2.
第七章 复 数
1．已知复数 z1＝2＋ai(a∈R)，z2＝1－2i，若zz12为纯虚数，则|z1| ＝( )
A. 2
B. 3
C.2
D. 5
解析：选
D.
由
于
z1 z2
＝
2＋ai 1－2i
＝
（2＋ai）（1＋2i） 5
＝
2－2a＋（5 4＋a）i为纯虚数，则 a＝1，则|z1|＝ 5，故选 D.
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第七章 复 数
复数的代数形式化为三角形式的方法 (1)求复数的模 r＝ a2＋b2. (2)由 tan θ＝ba及点(a，b)所在象限求出复数的一个辐角(一般情况 下，只须求出复数的辐角的主值即可)． (3)根据公式写出复数的三角形式．
nπ4的辐角的主值是(
第七章 复 数
2．设|z|＝1，则|z2－z＋1|的最大值为________． 解析：因为|z|＝1，则可设 z＝cos θ＋isin θ，且 z·－z ＝1.故|z2－z ＋1|＝|z2－z＋z·－z | ＝|z|·|z＋－z －1| ＝1·|2cos θ－1|＝|2cos θ－1|， 当 cos θ＝－1 时，|2cos θ－1|＝3. 所以|z2－z＋1|的最大值为 3. 答案：3
第七章 复 数
章末复习提升课
第七章 复 数
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第七章 复 数
复数的概念 设 z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，求 m 取何 值时， (1)z 是纯虚数； (2)z 是实数．
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第七章 复 数
【解】 (1)若 z 为纯虚数，则lmg（ 2＋m32m－＋2m2≠－02.）＝0， 即mm22－ ＋23mm－ ＋22＝ ≠10， ， 解得mm＝ ≠3－或1m且＝m－ ≠1－，2. 所以当 m＝3 时，z 是纯虚数． (2)若 z 是实数，则mm22＋ －32mm＋ －22>＝00，， 解得mm＝<1－－1或3或mm＝>－1＋2，3. 所以当 m＝－1 或 m＝－2 时，z 是实数．
栏目 导引
第七章 复 数
(2)因为Z→1Z2＝O→Z2－O→Z1， 所以向量Z→1Z2对应的复数为 z2－z1＝[a－1＋(a2＋2a－1)i]－[a2－ 3＋(a＋5)i]＝－(a2－a－2)＋(a2＋a－6)i. 根据向量Z→1Z2对应的复数为纯虚数，可得－(a2－a－2)＝0 且 a2 ＋a－6≠0.解得 a＝－1.
D．1－i
(2)－z 是 z 的共轭复数，若 z＋－z ＝2，(z－－z )i＝2(i 为虚数单位)，
则 z＝( )
A．1＋i
B．－1－i
C．－1＋i
D．1－i
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第七章 复 数
【解析】 (1)由（1－z i）2＝1＋i， 得 z＝（11－＋ii）2＝－ 1＋2ii ＝（－ 1＋2ii（ ）1（－1－i）i）＝－1－i，故选 B. (2)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则－z ＝a－bi.由 z＋－z ＝2，可得 a＝ 1.由(z－－z )i＝2，得 b＝－1，所以 z＝1－i. 【答案】 (1)B (2)D
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第七章 复 数
1．复数12－＋2ii(i 为虚数单位)的共轭复数是(
)
A．－35i
B．35i
C．－i
D．i
解析：选 C.依题意得12－＋2ii＝（12－i－21i）i＝－1i ＝i，其共轭复数为 －i，故选 C.
栏目 导引
第七章 复 数
2．已知复数 z1＝12＋ 23i，z2＝－12＋ 23i，则 z＝zz21在复平面内对 应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
)
π
3π
A.4
B. 4
C.54π
D.74π
解析：选 B.z＝－2cosπ4－isinπ4＝
2－cosπ4＋isinπ4＝2cosπ－π4＋isinπ－π4
＝2cos34π＋isin34π，故复数 z 的辐角的主值为34π.
栏目 导引
第七章 复 数
2．把与复数 z＝1－i 对应的向量按逆时针方向旋转π2，则与所得
的向量对应的复数为( )
A．－1＋i
B．1＋i
C．－1－i
D．1－i
栏目 导引
第七章 复 数
解析：选 B.因为 z＝1－i＝ 2cos74π＋isin74π，所以 z 按逆时针方 向旋转π2得
2cos74π＋isin74πcosπ2＋isinπ2＝ 2cos74π＋π2＋isin74π＋π2＝ 2cos94π＋isin94π＝ 2cosπ4＋isinπ4 ＝1＋i.
)
A．2
B．－12
C．15
D．－25
解析：选 A.因为1a－＋2ii＝（（1a－＋2ii））（（11＋＋22ii））＝a－2＋（52a＋1）i
是纯虚数，所以 a＝2.
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第七章 复 数
复数的运算
(1)已知（1－z i）2＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z＝(
)
A．1＋i
B．－1－i
C．－1＋i
栏目 导引
第七章 复 数
复数相关概念的应用技巧 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实 数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提． (2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．
栏目 导引
第七章 复 数
若复数1a－＋2ii是纯虚数，则实数 a 的值为(
栏目 导引
第七章 复 数
解析：选 D.因为 z1＝12＋ 23i，z2＝－12＋ 23i，
所以
z＝－12＋12＋2323i i＝－1＋1＋
33i i＝（（－1＋1＋
3i）（－1－ 3i）（－1－
3i3）i）＝12－
23i，
所以复数
z
在复平面内对应的点为12，－
3， 2
在第四象限．故选 D.
栏目 导引
栏目 导引
第七章 复 数
共轭复数，复数的模
已知复数 z＝（12－＋2ii）2，则复数 z 的模为(
)
A.5
B. 5
C.130
D.
5 2
栏目 导引
第七章 复 数
【解析】 法一：由题意，知 z＝（12－＋2ii）2＝1－2＋4－i 4i＝－23＋－i4i
＝（－3－4i）5 （2－i）＝－6－54－5i＝－2－i，所以|z|＝ 4＋1＝
栏目 导引
第七章 复 数
6．已知复数 z1＝a2－3＋(a＋5)i，z2＝a－1＋(a2＋2a－1)i(a∈R) 分别对应向量O→Z1，O→Z2(O 为原点)． (1)若向量O→Z1表示的点在第四象限，求 a 的取值范围； (2)若向量Z→1Z2对应的复数为纯虚数，求 a 的值． 解：(1)因为复数 z1＝a2－3＋(a＋5)i，向量O→Z1表示的点在第四象 限，所以aa2＋－53<>00，， 解得 a<－5. 所以 a 的取值范围是 a<－5.
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第七章 复 数
利用复数的四则运算求复数的一般思路 (1)复数的加、减、乘法运算：满足多项式的加、减、乘法法则， 利用法则后将实部与虚部分别写出即可，注意多项式乘法公式的 运算． (2)复数的除法运算：主要是利用分子、分母同时乘以分母的共轭 复数进行运算化简．
栏目 导引
第七章 复 数
（3－4i）2－（i 1＋i）2＋(1－i)2＝________． 解析：（3－4i）2－（i 1＋i）2＋(1－i)2 ＝（3－2－4i）i ·2i＋(－2i)＝82＋－6ii－2i ＝（（82＋－6ii））（（88－－66ii））－2i＝101－0020i－2i＝110－151i. 答案：110－151i