数学课件函数与方程高考总复习
2025年高考数学总复习课件16第二章第八节函数与方程
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点：令f (x)＝0，有几个解就有几个零点． (2)函数零点存在定理：要求函数f (x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f (a)·f (b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数的零点个数． (3)利用函数图象：作出两函数的图象，观察其交点个数即得零点个数．
A．(0，1)
B．(1，2)
√C．(2，3)
D．(3，4)
C 解析：(方法一)因为函数f (x)是增函数，且f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3>0， 所以由函数零点存在定理，得函数f (x)的零点位于区间(2，3)上．故选C． (方法二)函数f (x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的 图象的交点横坐标所在的范围．如图所示，可知函数f (x)的零点在(2，3)内．
b]上一定有实根
D．“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效
BC 解析：由结论知A错误，B正确，由函数零点存在定理可得C正确．由于
“二分法”是针对连续不断的函数的变号零点而言的，所以D错误．故选BC．
第八节 函数与方程
核心考点
提升“四能”
判断函数零点所在的区间
1．函数f (x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( )
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
自查自测 知识点二 函数零点存在定理 1．(教材改编题)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数 零点的是( C )
第八节 函数与方程
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
高考数学总复习第一讲：函数与方程
高考数学总复习第一讲：函数与方程函数描述了自然界中量的依存关系,反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律．函数思想的实质是剔除问题的非数学特征,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立函数关系．在解决某些数字问题时,先设定一些未知数,然后把它们当作数,根据题设本身各量间的制约,列出等式,所设未知数沟通了变量之间的关系,这就是方程的思想．函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,一个函数假设有解析表达式,那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程,两个变量存在着对应关系,如果这个对应关系是函数,那么这个方程可以看成是一个函数,一个一元方程,它的两端可以分别看成函数,方程的解即为两个函数图象交点的横坐标,因此,许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之,许多有关函数的问题那么可以用方程的方法解决．总之,在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想,用它来指导解题．在解题中,同时要注意从不同的角度去观察探索,寻求多种方法,从而得到最正确解题方案．一、例题分析例1．F(x)=xα-xβ在x∈(0,1)时函数值为正数,试比拟α,β的大小．分析：一般情况下,F〔x〕可以看成两个幂函数的差．函数值为正数,即f1(x)=xα的图象在x∈(0,1)上位于f2(x)=xβ的图象的上方,这时为了判断幂指数α,β的大小,就需要讨论α,β的值在〔1,+∞〕上,或是在〔0,1〕上,或是在〔0,1〕内的常数,于是F〔x〕成为两个同底数指数函数之差,由于指数函数y=a t(0<α<1)是减函数,又由于xα-xβ>0,所以得α<β．例2．0<a<1,试比拟的大小．分析：为比拟aα与(aα) α的大小,将它们看成指数相同的两个幂,由于幂函数在区间[0,+∞]上是增函数,因此只须比拟底数a与aα的大小,由于指数函数y=a x(0<a<1)为减函数,且1>a,所以a＜aα,从而aα<(aα) α．比拟aα与(aα) α的大小,也可以将它们看成底数相同〔都是aα〕的两个幂,于是可以利用指数函数是减函数,由于1>a,得到aα<(aα) α．由于a＜aα,函数y=a x(0<a<1)是减函数,因此aα>(aα) α．综上, ．解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数,函数选得恰当,解决问题简单．例3．关于x的方程有实根,且根大于3,求实数a的范围．分析：先将原方程化简为a x=3,但要注意0<x<3且x≠1．现将a x看成以a为底的指数函数,考虑底数a为何值时,函数值为3．如图〔1〕,过〔3,3〕点的指数函数的底,现要求0<x<3时,a x=3,所以,又由于x≠1,在图〔1〕中,过〔1,3〕点的指数函数的底a=3,所以．假设将a x=3变形为,令,现研究指数函数a=3t,由0<x<1且x≠1,得,如图〔2〕,很容易得到：．通过本例,说明有些问题可借助函数来解决,函数选择得当,解决就便利．例4．函数f(x)是定义在实数集上的周期函数,且是偶函数,当x∈[2,3]时,f(x)=x,那么当x∈[-2,0]时,f(x)的解析式是〔〕．〔A〕f(x)=x+4 〔B〕f(x)=2-x〔C〕f(x)=3-|x+1| 〔D〕f(x)=3+|x+1|解法一、∵f(-2)=f(2)=2 f(-1)=f(3)=3,∴只有〔A〕、〔C〕可能正确．又∵f(0)=f(2)=2,∴〔A〕错,〔C〕对,选〔C〕．解法二、依题意,在区间［2,3］上,函数的图象是线段AB, ∵函数周期是2, ∴线段AB左移两个单位得［0,1］上的图象线段CD；再左移两个单位得［–2,1］上的图象线段EF ．∵函数是偶函数, ∴把线段CD沿y轴翻折到左边,得［–1,0］上的图象线段FC．于是由直线的点斜式方程,得函数在［–2,0］上的解析式：即由于x∈[-2,-1]时,x+1≤0,x∈(-1,0)时,x+1>0, 所以y=3-|x+1|, x∈[-2,0]．解法三、当x∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3],∵函数周期是2,∴f(x+4)=f(x)．而f(x+4)=x+4, ∴x∈[-2,-1]时,f(x)=x+4=3+(x+1)．当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1], 且-x+2∈[2,3]．∵函数是偶函数,周期又是2,∴ ,于是在［–2,0］上, ．由于x∈[-2,-1]时,x+1≤0,x∈(-1,0)时,x+1>0, 根据绝对值定义有x∈[-2,0]时,f(x)=3-|x+1|．此题应抓住“偶函数〞“周期性〞这两个概念的实质去解决问题．例5．y=log a(2-ax)在［0,1］上是x的减函数,那么a的取值范围是〔〕．〔A〕〔0,1〕〔B〕〔1,2〕〔C〕〔0,2〕〔D〕［2,+∞］分析：设t=2-ax,那么y=log a t, 因此,函数是上面这两个函数的复合函数,其增减性要考查这两个函数的单调性,另外,还要考虑零和负数无对数以及参数a对底数和真数的制约作用．解法一、由于a≠1,所以〔C〕是错误的．又a=2时,真数为2–2x,于是x≠1,这和矛盾,所以〔D〕是错的．当0<a<1时,t=2-ax是减函数,而y=log a t也是减函数, 故y=log a(2-ax)是x的增函数,所以〔A〕是错的．于是应选〔B〕．解法二、设t=2-ax,y=log a t 由于a>0,所以t=2-ax是x的减函数, 因此,只有当a>1,y=log a t是增函数时,y=log a(2-ax)在［0,1］上才是减函数；又x=1时,y=log a(2-a), 依题意,此时,函数有定义,故2–a>0 综上可知：1<a<2, 故应选〔B〕．例6． ,函数y=g(x)的图象与函数y=f-1(x+1)的图象关于y’=x对称,那么g(5)=_____________-解法一、由去分母,得 ,解出x,得 , 故 ,于是 , 设 ,去分母得, ,解出x,得 ,∴的反函数．∴．解法二、由 ,那么 , ∴ ,∴．即的反函数为 ,根据：∴．解法三、如图,f(x)和f-1(x)互为反函数,当f-1(x)的图象沿x轴负方向平移一个单位时,做为“镜面〞的另一侧的“象〞f(x)的图象一定向下平移1个单位,因此f-1(x+1)的图象与f(x)-1的图象关于y=x对称．故f-1(x+1)的反函数是g(x)=f(x)-1,∴．本解法从图象的运动变化中,探求出f-1(x+1)的反函数,表达了数形结合的优势出二、稳固练习（1）函数在区间上的最大值为1,求实数a的值．〔1〕解：f(x)在区间上最大值可能在端点外取得,也可能在顶点外取得, , ,而顶点横坐标 ,最大值在顶点外取得,故此解舍去．当最大值为f(2)时,f(2)=1, ,顶点在应在区间右端点取得最大值,此解合理．当最大值在顶点处取得时,由 ,解得 ,当,此时,顶点不在区间内,应舍去．综上,．〔2〕函数的定义域是［a,b］,值域也是［a,b］,求a.b的值．2〕解：y=f(x)的图象如图,分三种情况讨论．当a<b≤0时,f(x)为递增函数,有 ,解得, ,由于b>0,应舍去．当0≤a<b时,f(x)为递减函数,有 ,解得：a=1,b=2．当a<0<b时,f(x)最大值在顶点处取得,故 , ,所以最小值应在a处取得．〔2〕解：y=f(x)的图象如图,分三种情况讨论．当a<b≤0时,f(x)为递增函数,有 ,解得, ,由于b>0,应舍去．当0≤a<b时,f(x)为递减函数,有 ,解得：a=1,b=2．当a<0<b时,f(x)最大值在顶点处取得,故 , ,所以最小值应在a处取得．,解得： ,综上,或〔3〕求函数的最小值．解〔3〕分析：由于对数的底已明确是2,所以只须求的最小值．〔3〕解法一：∵ ,∴x>2．设 ,那么 ,由于该方程有实根,且实根大于2,∴解之,μ≥8．当μ=8时,x=4,故等号能成立．于是log2≥0且x=4时,等号成立,因此的最小值是3．解法二：∵ ,∴x>2设 ,那么 =∴μ≥8且 ,即x=4时,等号成立,∴log2μ≥3且x=4时,等号成立．故的最小值是3．〔4〕a>0,a≠1,试求方程有解时k的取值范围． 4〕解法一：原方程由②可得：③,当k=0时,③无解,原方程无解；当k≠0时,③解为 ,代入①式,．解法二：原方程 ,原方程有解,应方程组,即两曲线有交点,那么ak<-a或0<ak<a(a>0)∴k<-1或0<k<1．〔5〕设函数〔Ⅰ〕解不等式f(x)≤1〔Ⅱ〕求a的取值范围,使f(x)在[0,+∞]上是单调函数．5〕解〔Ⅰ〕,不等式f(x≤1),即由此得：1≤1+ax即ax≥0,其中常数a>0, ∴原不等式即∴当0<a<1时,所给不等式解集为 ,当a≥1时,所给不等式解集为{x|x≥0}．〔Ⅱ〕在区间[0,+∞)上任取x1,x2,使得x1<x2,〔ⅰ〕当a≥1时,∵∴又∴所以,当a≥1时,函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递减函数．〔ⅱ〕当0<a<1时,在[0,+∞)上存在两点满足f(x1)=1,f(x2)=1 ,即f(x1)=f(x2),∴函数f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数．。
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第三章 函数与基本初等函数-第八节 函数与方程
2.用二分法求方程 + lg − 3 = 0的近似解，以下区间可以作为初始区间的是() B
A.[1,2]B.[2,3]C.[3,4]D.[4,5]
[解析]设 = + − ，显然函数图象是连续的，且 = − < ，
= − < ， = > ， = + > ， = + > ，
[解析]因为函数 =
−
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
− 在区间 , 上单调递增，又函数
= − − 的一个零点在区间 , 内，则有 ⋅ < ，所以
− − − < ，即 − < ，所以 < < .故选C.
4.已知函数 = e − e− + 4，若方程 = + 4 > 0 有三个不同的实根1 ，
= 或 = ，作出 的图象，如图所示：
观察图象可知, = − 无解, = 有3个解, = 有1个解.综上所述,函数
的零点个数为4.故答案为4.
［对点训练3］（1）已知函数 =
实根个数为() A
A.3
2 +1
൞ 2
−1
B.4
定理得函数 的零点位于区间 , 内.故选C.
法二（数形结合）：
函数 = + − 的零点所在区间转化为 = ，
= − + 的图象的交点横坐标所在范围.如图所示，可知
的零点在 , 内.故选C.
［对点训练1］ （多选题）下列函数中，在区间[−1,3]上存在唯一零点的有() BCD
人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第2章一元二次函数、方程和不等式 第2节均值不等式
s2
(2)如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 4 (简记:和定积
最大).
微点拨应用均值不等式求最值时,要注意:“一正,二定,三相等”,忽略某个条
件,就有可能导致错误.
常用结论
1.当
1
x>0 时,x+ ≥2(当且仅当
x=1 时,等号成立);当
1
x<0 时,x+ ≤-2(当且仅当-
x=1,即 x=-1 时,等号成立).
2.若
2
a,b>0,则+
≤ ≤
+
2
3.三个正数的均值不等式:若
号成立.
≤
2 + 2
,当且仅当
2
++c
a,b,c>0,则 3
≥
3
a=b 时,等号成立.
c,当且仅当 a=b=c 时,等
自主诊断
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”)
为 1.
≥
1
可得=2-y,则
1
+2-
)
2
(
2
2
1.
1
x= (y≠2),由
2-
> 0,
=
=1,当且仅当 y=2-y,即当 y=1
1
2-
可得 0<y<2,所以
>0
时,等号成立,故的最小值
(3)(2024·河南洛阳模拟)已知x>0,y>0,且 +2 =4,则xy的最大值
是
解析
4
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第8讲函数与方程课件
解法二：(图象法)函数 f(x)的图象如图所示，
由图象知函数 f(x)共有 2 个零点．
2．已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1]时，f(x)
＝2|x|－1，则函数g(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( B )
A．9
B．10
C．11
D．18
[解析] 由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再
考向 2 函数零点个数的确定——师生共研
x2＋x－2，x≤0， 1.函数 f(x)＝－1＋ln x，x>0 的零点个数为( B )
A．3
B．2
C．7
D．0
[解析] 解法一：(直接法)由 f(x)＝0 得
x≤0，
x>0，
x2＋x－2＝0 或－1＋ln x＝0，
解得 x＝－2 或 x＝e.
因此函数 f(x)共有 2 个零点．
2．几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x_轴__有交点⇔函数y＝ f(x)有__零__点____.
3．函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并 且有___f_(_a_)f_(_b_)＜__0_____，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存 在c∈(a，b)，使得___f_(c_)_＝__0__，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
点所在的大致区间是( C )
1
A．e，1
C．(2，e)
B．(1,2) D．(e，＋∞)
2 [解析] y＝f(x)＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)，因为 y＝ln x 与 y＝
2
2
－x在(0，＋∞)上单调递增，所以 f(x)＝ln x－x在(0，＋∞)上单调递增，
函数与方程-高考数学复习课件
内无零点，在(1，e)内有零点.
2. (2024·山东滨州模拟)[ x ]表示不超过 x 的最大整数，例如[3.5]＝3，[－
0.5]＝－1.已知 x 0是方程ln x ＋3 x －15＝0的根，则[ x 0]＝(
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
C )
设 f ( x )＝ln x ＋3 x －15，显然 f ( x )在定义域(0，＋∞)上单调递增，
上存在零点，则实数 a 的取值范围是(
B. (－e，＋∞)
D. (－∞，e)
D
)
由题意知，函数 y ＝e－ x 与 g ( x )＝ln( x ＋ a )的图象在(0，＋∞)上有交点.
当 a ＞0时， g ( x )＝ln( x ＋ a )的图象是由函数 y ＝ln x 的图象向左平移 a
个单位长度得到的，
解得 x ＝0或 x ＝1或 x ＝2，
所以函数 f ( x )＝( x 2－ x )ln｜2 x －3｜在区间[－2，2]上的零点个数为3.
(2)设函数 f ( x )是定义在R上的奇函数，当 x ＞0时， f ( x )＝e x ＋ x －3，
则 f ( x )的零点个数为( C )
A. 1
B. 2
－ x ＋1的零点所在的区间是(－2，－1).
4. 函数 f ( x )＝e x ＋3 x 零点的个数为(
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
B )
关键能力的区间
(1)(2024·陕西咸阳模拟)函数 f ＝log4 x －
C )
−
1
2
的零点所在的区间
过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼
数学 必修1 函数与方程 总复习
高中数学 必修1 数学———函数与方程一．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。
零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。
既存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根。
2.二分法二分法及步骤：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε； （2）求区间a (，)b 的中点1x ； （3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）； （4）判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4。
注：函数零点的性质从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点。
人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第3章函数与基本初等函数 第9节函数与方程
作出两函数图象如图所示,可知f(x)的零点所在的区
间为(1,2).故选B.
(2)(2024·北大附中模拟)已知f(x)=22x+x-2,若f(x0)=0,则x0所在区间为( B )
1
A.(0, )
4
1 1
B.( , )
4 2
1
C.( ,1)
(1)函数零点的定义
实数α 处的函数值等于零,即
一般地,如果函数y=f(x)在
称 α 为函数y=f(x)的零点.
f(α)=0 ,则
误区警示求函数的零点不能忽视函数的定义域,零点必须是定义域中的实
数,例如,不能说0是函数f(x)= -1 的零点,事实上该函数不存在零点.
(2)等价关系
方程f(x)=0的实数根⇔函数f(x)图象与x轴交点的横坐标⇔函数f(x)的零点.
− 1 的图象(如图所示),由图象知,函数 y=log2x 与 y=
有唯一的公共点,所以函数 f(x)=
1
(2)
1
(2)
− 1 的图象
− 1 -log2x 的零点个数为 1,故选 B.
(3)(2024·广东肇庆模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),当x∈[0,2)时,
3 1 2
图象法
否有交点来判断
考点二 判断函数零点的个数
例2(1)(2024·山东潍坊模拟)函数f(x)=(x2-x)ln|2x-3|在区间[-2,2]上的零点个
数是( A )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 令f(x)=(x2-x)ln|2x-3|=0,得x2-x=0或ln|2x-3|=0,解得x=0或x=1或x=2,所
第07讲函数与方程(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
【答案】 −∞, −1
2
当 < 0时，令′ = 0，解得 = 0或 = − ，
【解析】因为 = 3 + 3 2 − 4，所以′ = 3 2 + 6 = 3 + 2
当 = 0时，有 = 3 2 − 4 = 0，解得 = ± 2 3，
公共点.
N
Q
Z
R
N
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
2
−∞, −
=
2
2
2
−∞, −
2
当 ∈ 0, − ，′ > 0， 在区间 0, − 上单调递增；
当 > 0时，由′ = 0，解得 = 0或 = − ，
2
且有 0 = −4， −
> 0，
， 存在一个正数零点，所以不符合题意；
2 3
,0
3
2
2 3
3
2024
高考一轮复习
第07讲 函数与方程
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
高考总复习数学精品课件 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第三节 二次函数与一元二次方程、不等式
2.研究不等式ax2+bx+c>0(<0,≥0,≤0)的恒成立问题时,注意对a=0这一情
形的讨论.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( √ )
(2)若方程ax2+bx+c=0没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( × )
()
()() ≥ 0,
()
(2)
≥0⇔
()
() ≠ 0;
()
()
()-()
(3)
>m(m≠0)⇔
-m>0⇔
>0⇔[f(x)-mg(x)]g(x)>0;
()
()
()
()
()
()-()
[()-()]() ≥ 0,
(4)
的实数根
x1,x2(x1<x2)
ax2+bx+c>0(a>0) {x|x<x ,或x>x }
1
2
的解集
ax2+bx+c<0(a>0)
的解集
{x|x1<x<x2}
Δ=0
Δ<0
有两个相等的实数
根x1=x2= ≠
⌀
b
2a
−
2
没有实数根
R
⌀
微点拨1.简单分式不等式的解法
()
(1)
>0⇔f(x)g(x)>0;
考点一
一元二次不等式的解法(多考向探究)
高考数学复习知识点讲解教案第13讲 函数与方程
[解析] 令 = 2 − − 4，则 2 = 4 − 2 − 4 = −2 < 0，
3 = 8 − 3 − 4 = 1 > 0，
由 3
5
2
5
2
5
2
5
2
= 2 − − 4 < 0，
< 0知该解所在的区间为
5
,3
2
.
题组二 常错题
◆ 索引：误解函数零点的定义;忽略限制条件致误.
= 的零点.
（2）
等价关系
零点
方程 = 0有实数解⇔ 函数 = 有_______⇔
函数 = 的图象与
_______有公共点.
轴
（3）
函数零点存在定理
如果函数 = 在区间[, ]上的图象是一条连续不断的曲线,且有
至少有一个
<0
________________,那么,函数
4.函数
2
= 9 − 3 ln − 1 的零点为___.
[解析] 由题知 的定义域为 1, +∞ ，由 = 0，得
即9
− 3 = 0或ln − 1 = 0，解得 =
所以函数 =
9
1
（舍）或
2
− 3 ln − 1 的零点为2.
9
= 2，
− 3 ln − 1 = 0，
1
2
1
2
1
2
= 2 − 1 > 0，
< 0，所以 的零点在区间
1
0,
2
上，故选A．
)
D. 2,3
（2）
函数概念与基本初等函数Ⅰ 第六讲 函数与方程课件 高考理科数学复习讲义 考情解读 考点通关
函数与方程
继续学习
高考复习讲义
考点全通关 2
方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的个数 函数y=ax2+bx+c (a≠0)的零点个数
Δ>0
有两个不相 等的实数根
有两个 零点
Δ=0
Δ<0
有两个相等 的实数根
无实数根
有一个二重 零点
无零点
函数与方程
继续学习
高考复习讲义
考点全通关 3
a>0 函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象
函数与方程
继续学习
高考复习讲义
考点全通关 8
【通关秘籍】
二分法求函数零点近似值的口诀 定区间,找中点,中值计算两边看. 同号去,异号算,零点落在异号间. 周而复始怎么办?精确度上来判断.
函数与方程
返回目录
a<0
函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与x轴的交点个数
Δ>0 有两个交点
续表
Δ=0
Δ<0
有一个交点
无交点
函数与方程
继续学习
高考复习讲义
考点全通关 4
4.零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那 么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程 f(x)=0的根. 【注意】在上述定理的条件下,只能判断出零点存在,不能确定零点的个数.
考情精解读 2
考纲解读
命题规律
命题趋势
函数与方程
考查内容 函数的零点
考查频次 考查题型
第8节 函数与方程--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第八节函数与方程课标解读考向预测1.理解函数的零点与方程解的联系，掌握函数的零点、方程的根、图象交点(横坐标)三者之间的灵活转化.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.会用二分法求方程的近似解.从近三年高考情况来看，函数零点(方程的根)个数的判断、由零点存在定理判断零点(方程的根)是否存在、利用函数零点(方程的根)确定参数的取值范围等是考查的热点．本节内容也可与导数结合考查，难度较大．预计2025年高考函数与方程仍会出题，可能以选择题或填空题考查三种形式的灵活转化，也可能与导数结合考查，难度较大.必备知识——强基础1．函数的零点对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．2．方程的根与函数零点的关系方程f (x )＝0有实数解⇔函数y ＝f (x )有零点⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有公共点．3．函数零点存在定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且有01f (a )f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，c 也就是方程f (x )＝0的解．4．二分法对于在区间[a ，b ]上连续不断且02f (a )f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．求方程f (x )＝0的近似解就是求函数y ＝f (x )零点的近似值．函数零点的相关技巧：(1)若连续函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点．(2)连续不断的函数f (x )，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号．(3)连续不断的函数f (x )通过零点时，函数值不一定变号．(4)连续不断的函数f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点，不一定能推出f (a )f (b )<0.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.()(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)(人教A必修第一册4.5.1例1改编)已知函数f(x)＝23x＋1＋a的零点为1，则实数a的值为()A．－2B．－12D．2C.12答案B(2)下列函数图象与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是()答案A解析根据题意，利用二分法求函数零点的条件是函数在零点的左、右两侧的函数值符号相反，即图象穿过x轴，据此分析，知选项A中的函数不能用二分法求零点．故选A. (3)(人教A必修第一册习题4.5T2改编)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为()x123456y126.115.15－3.9216.78－45.6－232.64A.2B．3C．4D．5解析由表可知，f (2)f (3)<0，f (3)f (4)<0，f (4)f (5)<0，所以函数f (x )在区间[1，6]上至少有3个零点．故选B.(4)若函数f (x )＝kx ＋1在[1，2]上有零点，则实数k 的取值范围是________．答案－1，－12考点探究——提素养考点一函数零点所在区间的判断例1(1)(2024·湖南长沙长郡中学高三月考)函数f (x )＝5－2x －lg (2x ＋1)的零点所在的区间是()A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)答案C解析因为函数f (x )＝5－2x －lg (2x ＋1)－12，＋，所以函数f (x )最多只有一个零点，因为f (0)f (1)＝5(3－lg 3)>0，f (1)f (2)＝(3－lg 3)(1－lg 5)>0，f (2)f (3)＝(1－lg 5)(－1－lg 7)<0，f (3)f (4)＝(－1－lg 7)×(－3－lg 9)>0，所以函数f (x )＝5－2x －lg (2x ＋1)的零点所在的区间是(2，3)．故选C.(2)用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下：f (1.6000)≈0.200f (1.5875)≈0.133f (1.5750)≈0.067f (1.5625)≈0.003f (1.5562)≈－0.029f (1.5500)≈－0.060据此数据，可得方程3x －x －4＝0的一个近似解为________(精确度为0.01)．答案 1.56(答案不唯一，在[1.5562，1.5625]上即可)解析注意到f (1.5562)≈－0.029和f (1.5625)≈0.003，显然f (1.5562)f (1.5625)＜0，又|1.5562－1.5625|＝0.0063<0.01，所以近似解可取1.56.【通性通法】确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．【巩固迁移】1．(2023·广东梅州高三二模)用二分法求方程log 4x －12x＝0的近似解时，所取的第一个区间可A．(0，1)B．(1，2) C．(2，3)D．(3，4)答案B解析令f(x)＝log4x－12x，因为函数y＝log4x，y＝－12x在(0，＋∞)上都是增函数，所以函数f(x)＝log4x－12x在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝－12<0，f(2)＝log42－14＝12－14＝14>0，所以函数f(x)＝log4x－12x在区间(1，2)上有唯一零点，所以用二分法求方程log4x－12x＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(1，2)．故选B.2．已知2<a<3<b<4，函数y＝log a x与y＝－x＋b的交点为(x0，y0)，且x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．答案2解析依题意，x0为方程log a x＝－x＋b的解，即为函数f(x)＝log a x＋x－b的零点，∵2<a<3<b<4，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝log a2＋2－b<0，f(3)＝log a3＋3－b>0，∴x0∈(2，3)，即n＝2.考点二函数零点个数的判断例2(1)已知函数f(x)2－4，x≤1，2(x－1)，x>1，则函数y＝f(x)零点的个数为________．答案2解析当x≤1时，由f(x)＝x2－4＝0，可得x＝2(舍去)或x＝－2；当x>1时，由f(x)＝log2(x －1)＝0，可得x＝2.综上所述，函数y＝f(x)零点的个数为2.(2)方程ln x＋cos x＝13在(0，1)上的实数根的个数为________．答案1解析解法一：ln x＋cos x＝13，即cos x－13＝－ln x，在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y＝cos x－13和y＝－ln x的大致图象，如图所示，在(0，1)上两函数的图象只有一个交点，即方程ln x＋cos x＝13在(0，1)上的实数根的个数为1.解法二：令f(x)＝ln x＋cos x－13，则f′(x)＝1x－sin x，显然在(0，1)上f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，1)上单调递增，又ln 1e ＋cos 1e －13＝－1－13＋cos 1e <0，f (1)＝ln 1＋cos1－13＝0＋cos1－13>cos π3－13＝12－13>0，所以在(0，1)上函数f (x )的图象和x 轴有且只有一个交点，即方程ln x ＋cos x ＝13在(0，1)上的实数根的个数为1.【通性通法】求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点．(2)构造函数法：判断函数的性质，并结合零点存在定理判断．(3)图象法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍．【巩固迁移】3．(2024·江苏无锡模拟)函数f (x )2－2，x ≤0，x －6＋lg x ，x >0的零点的个数为________．答案2解析当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，根据二次函数的性质可知，此时f (x )单调递减，零点为x ＝－2；当x >0时，f (x )＝2x －6＋lg x ，∵y ＝2x －6单调递增，y ＝lg x 单调递增，∴f (x )＝2x －6＋lg x 单调递增．f (1)＝－4<0，f (3)＝lg 3>0，由零点存在定理知，在区间(1，3)必有唯一零点．综上所述，函数f (x )的零点的个数为2.4．函数f (x )|－|log 2x |的零点有________个．答案2解析f (x )|－|log 2x ||＝|log 2x |的根的个数，即为y |与y ＝|log 2x |图象交点的个数，画出大致图象如图所示，则由图象可知交点有2个，即函数f (x )的零点有2个．考点三函数零点的应用(多考向探究)考向1利用零点比较大小例3已知函数f (x )＝3x ＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝x 3＋x 的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为()A ．a <c <bB ．a <b <cC．b<a<c D．b<c<a答案A解析解法一：因为函数y＝3x，y＝x均为R上的增函数，故函数f(x)＝3x＋x为R上的增函数，因为f(－1)＝13－1<0，f(0)＝1>0，所以－1<a<0.因为函数y＝log2x，y＝x在(0，＋∞)上均为增函数，故函数g(x)＝log2x＋x在(0，＋∞)上为增函数，因为1＋12<0，g(1)＝1>0，所以12<b<1.由h(c)＝c(c2＋1)＝0可得c＝0，因此a<c<b.故选A.解法二：由题设，3a＝－a，log2b＝－b，c3＝－c，所以问题可转化为直线y＝－x与y＝3x，y＝log2x，y＝x3的图象的交点问题，函数图象如图所示，由图可知a<c＝0<b.故选A.【通性通法】(1)直接利用方程研究零点．(2)利用图象交点研究零点．(3)利用零点存在定理研究零点．【巩固迁移】5．(2023·江西南昌模拟预测)已知函数f(x)＝2x＋x－4，g(x)＝e x＋x－4，h(x)＝ln x＋x－4的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是()A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．c<a<b答案C解析由已知条件得f(x)的零点可以看成y＝2x的图象与直线y＝4－x的交点的横坐标，g(x)的零点可以看成y＝e x的图象与直线y＝4－x的交点的横坐标，h(x)的零点可以看成y＝ln x 的图象与直线y＝4－x的交点的横坐标，在同一坐标系内分别画出函数y＝2x，y＝e x，y＝ln x，y＝4－x的图象，如图所示，由图可知b<a<c.故选C.考向2根据零点个数求参数例4(2023·山东济南高三三模)已知函数f (x )x ＋1)2，x ≤0，x |，x >0，若函数g (x )＝f (x )－b 有四个不同的零点，则实数b 的取值范围为()A ．(0，1]B ．[0，1]C ．(0，1)D ．(1，＋∞)答案A解析依题意，函数g (x )＝f (x )－b 有四个不同的零点，即f (x )＝b 有四个解，转化为函数y ＝f (x )与y ＝b 的图象有四个交点，由函数y ＝f (x )可知，当x ∈(－∞，－1]时，函数单调递减，y ∈[0，＋∞)；当x ∈(－1，0]时，函数单调递增，y ∈(0，1]；当x ∈(0，1)时，函数单调递减，y ∈(0，＋∞)；当x ∈[1，＋∞)时，函数单调递增，y ∈[0，＋∞)．结合图象，可知实数b 的取值范围为(0，1]．故选A.【通性通法】根据零点个数求参数的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y ＝g (x )，y ＝h (x )的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y ＝a ，y ＝g (x )的图象的交点个数问题．【巩固迁移】6．(2024·安徽蚌埠高三摸底)已知函数f (x )＝2|x |＋x 2＋a 有唯一的零点，则实数a 的值为()A ．1B ．－1C ．0D ．－2答案B解析函数f (x )＝2|x |＋x 2＋a 的定义域为R ，f (－x )＝2|－x |＋(－x )2＋a ＝f (x )，即函数f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋x 2＋a ，则f (x )在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，则当x ＝0时，f (x )min ＝a ＋1，由函数f (x )＝2|x |＋x 2＋a 有唯一的零点，得a ＋1＝0，解得a ＝－1，所以实数a 的值为－1.故选B.7．设a ∈R ，对任意实数x ，记f (x )＝min{|x |－2，x 2－ax ＋3a －5}．若f (x )至少有3个零点，则实数a 的取值范围为________．答案[10，＋∞)解析设g (x )＝x 2－ax ＋3a －5，h (x )＝|x |－2，由|x |－2＝0可得x ＝±2.要使得函数f (x )至少有3个零点，则函数g (x )至少有一个零点，则Δ＝a 2－12a ＋20≥0，解得a ≤2或a ≥10.①当a ＝2时，g (x )＝x 2－2x ＋1，作出函数g (x )，h (x )的图象如图所示，此时函数f (x )只有2个零点，不符合题意；②当a <2时，设函数g (x )的2个零点分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，要使得函数f (x )至少有3个零点，则x 2≤－2，－2，－2)＝4＋5a －5≥0，无解；③当a ＝10时，g (x )＝x 2－10x ＋25，作出函数g (x )，h (x )的图象如图所示，由图可知，函数f (x )的零点个数为3，符合题意；④当a >10时，设函数g (x )的2个零点分别为x 3，x 4(x 3<x 4)，要使得函数f (x )至少有3个零点，则x 3≥2，，＝4＋a －5≥0，解得a >4，所以a >10.综上所述，实数a 的取值范围是[10，＋∞)．考向3根据零点范围求参数例5已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1，3]上有零点，则实数m 的取值范围为________．答案－53，解析由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x在区间(1，3]上单调递增，所以函数f (x )在(1，3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1，3]上有零点，，≥0，<0，＋53≥0，解得－53≤m <0.因此实数m 的取值范围是－53，【通性通法】根据零点范围求参数的方法(1)利用零点存在定理构建不等式(组)求解．(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两个熟悉的函数图象的上下关系问题，从而构建不等式(组)求解．【巩固迁移】8．(2024·湖北荆州中学高三月考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|，若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．答案解析作出函数f (x )＝|x 2－2x ＋12|，x ∈[0，3)的图象，可见f (0)＝12，当x ＝1时，f (x )极大值＝12，方程f (x )－a ＝0在[－3，4]上有10个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 在[－3，4]上有10个交点，由于函数f (x )的周期为3，因此直线y ＝a 与函数f (x )＝|x 2－2x ＋12|，x ∈[0，3)的图象有4个交点，则有a课时作业一、单项选择题1．(2024·江苏扬中第二高级中学高三期初检测)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是()A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)答案B解析因为函数f (x )＝2x ＋3x 在定义域内单调递增，f (－1)＝12－3＝－52<0，f (0)＝1＋0＝1>0，所以由函数零点存在定理可知，函数f (x )的零点所在的区间为(－1，0)．故选B.2．已知函数f (x )x －1，x ≤1，＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为()A ．2B ．－2，0C.12D ．0答案D解析当x ≤1时，令f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，令f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x＝12(舍去)．综上所述，函数f (x )的零点为0.故选D.3．函数f (x )＝e x |ln x |－1的零点个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析令f (x )＝e x |ln x |－1＝0，即|ln x |＝e －x ，则函数f (x )＝e x |ln x |－1的零点个数等价于两个函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |图象的交点个数，y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图象如图所示，由图可知，两个函数的图象有2个交点，故函数f (x )＝e x |ln x |－1的零点个数是2.故选B.4．(2023·河南扶沟期末)若关于x 的方程log 12x ＝m1－m在区间m 的取值范围是()(1，＋∞)答案B解析y ＝log 12x，则1<y <2，即1<m 1－m<2，解得12<m <23.故选B.5．已知三个函数f (x )＝2x －1＋x －1，g (x )＝e x －1－1，h (x )＝log 2(x －1)＋x －1的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a答案D解析∵函数f (x )＝2x －1＋x －1为增函数，又f (0)＝2－1－1＝－12<0，f (1)＝1>0，∴a ∈(0，1)，由g (x )＝e x －1－1＝0，得x ＝1，即b ＝1，∵h (x )＝log 2(x －1)＋x －1在(1，＋∞)上单调递增，又log ＋32－1＝－12<0，h (2)＝log 2(2－1)＋2－1＝1>0，∴32<c <2，∴c >b >a .故选D.6．若方程m x －x －m ＝0(m >0，且m ≠1)有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围是()A ．(0，1)B ．(2，＋∞)C ．(0，1)∪(2，＋∞)D ．(1，＋∞)答案D解析方程m x －x －m ＝0有两个不同的实数根等价于函数y ＝m x 与y ＝x ＋m 的图象有两个不同的交点，当m >1时，如图1所示，由图可知，当m >1时，函数y ＝m x 与y ＝x ＋m 的图象有两个不同的交点，满足题意；当0<m <1时，如图2所示，由图可知，当0<m <1时，函数y ＝m x 与y ＝x ＋m 的图象有且仅有一个交点，不满足题意．综上所述，实数m的取值范围为(1，＋∞)．故选D.7．已知函数f (x )x ，x ≤0，x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )＋x －m 恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是()A ．[0，1]B ．(－1，1)C ．[0，1)D ．(－∞，1]答案D解析由题意，函数f (x )x ，x ≤0，x ，x >0，当x ≤0时，函数f (x )＝e x 为增函数，其中f (0)＝1，当x >0时，函数f (x )＝ln x 为增函数，且f (1)＝0，又由函数g (x )＝f (x )＋x －m 恰有两个不同的零点，即为g (x )＝0有两个不等的实数根，即y ＝f (x )与y ＝－x ＋m 的图象有两个不同的交点，如图所示，当y ＝－x ＋m 恰好过点(1，0)，(0，1)时，两函数的图象有两个不同的交点，结合图象，要使得函数g (x )＝f (x )＋x －m 恰有两个不同的零点，实数m 的取值范围是(－∞，1]．故选D.8．已知函数f (x )x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 均不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是()A ．(1，10)B ．(5，6)C ．(10，12)D ．(20，24)答案C解析函数f (x )的图象如图所示，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6∈(0，1)，所以ab＝1，0<－12c ＋6<1，所以ab ＝1，10<c <12，所以10<abc <12.故选C.二、多项选择题9．下列说法正确的是()A ．函数y ＝x 2－3x －4的零点是(4，0)，(－1，0)B ．方程e x ＝3＋x 有两个解C ．函数y ＝3x ，y ＝log 3x 的图象关于直线y ＝x 对称D ．用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1，2)内的近似解的过程中得到f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间(1.25，1.5)上答案BCD解析对于A ，令y ＝x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1或x ＝4，所以函数y ＝x 2－3x －4的零点是－1和4，故A错误；对于B，分别作出y＝e x，y＝3＋x的图象，y＝e x与y＝3＋x的图象有两个交点，即方程e x＝3＋x有两个解，故B正确；对于C，因为同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线y＝x对称，所以函数y＝3x，y＝log3x的图象关于直线y＝x对称，故C正确；对于D，因为y＝3x＋3x－8单调递增，由零点存在定理知，因为f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，所以方程的根落在区间(1.25，1.5)上，故D正确．故选BCD.10．若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是()A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3B．m>－14C．当m>0时，2<x1<x2<3D．二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零点为2和3答案ABD解析对于A，易知当m＝0时，(x－2)(x－3)＝0的根为2，3，故A正确；对于B，设y＝(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6－14≥－14，因为y＝(x－2)(x－3)的图象与直线y＝m有两个交点，所以m>－14，故B正确；对于C，当m>0时，y＝(x－2)(x－3)－m的图象由y＝(x－2)(x－3)的图象向下平移m个单位长度得到，x1<2<3<x2，故C错误；对于D，由(x－2)(x－3)＝m 展开得，x2－5x＋6－m＝0，利用根与系数的关系求出x1＋x2＝5，x1x2＝6－m，代入y＝(x－x1)(x－x2)＋m可得y＝(x－x1)(x－x2)＋m＝(x－2)(x－3)－m＋m＝(x－2)(x－3)，所以二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零点为2和3，故D正确．故选ABD.11．已知函数f(x)x－1|，x<1，4x2＋16x－13，x≥1，函数g(x)＝f(x)－a，则下列结论正确的是()A．若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1，2)B．若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0，1)C．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，则x3＋x4＝4D．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，则x3x4答案BCD解析令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，所以g(x)的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝a图象的交点个数，故作出函数y ＝f (x )的图象如图，由图可知，若g (x )有3个不同的零点，则a 的取值范围是[1，2)∪{0}，故A 错误；若g (x )有4个不同的零点，则a 的取值范围是(0，1)，故B 正确；若g (x )有4个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)，此时x 3，x 4关于直线x ＝2对称，所以x 3＋x 4＝4，故C 正确；由C 项可知x 3＝4－x 4，所以x 3x 4＝(4－x 4)x 4＝－x 24＋4x 4，由于g (x )有4个不同的零点，a 的取值范围是(0，1)，故0<－4x 24＋16x 4－13<1，所以134<－x 24＋4x 4<72，故D 正确．故选BCD.三、填空题12．已知函数f (x )＝log 2(x －1)＋a 在区间(2，3)上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为________．答案(－1，0)解析由对数函数的性质，可得f (x )为增函数，又函数f (x )在(2，3)上有且仅有一个零点，所以f (2)f (3)<0，即a (a ＋1)<0，解得－1<a <0，所以实数a 的取值范围是(－1，0)．13．已知函数f (x )x －1|＋1，x >0，x 2－2x ，x ≤0，若函数y ＝f (x )－kx －1有m 个零点，函数y ＝f (x )－1k x－1有n 个零点，且m ＋n ＝7，则非零实数k 的取值范围是________．答案，13∪[3，＋∞)解析f (x )的图象与直线y ＝kx ＋1和y ＝1kx ＋1共7个交点，f (x )的图象如图所示，所以①k <3，3，解得0<k ≤13；0<1k <3，≥3，解得k ≥3.综上，非零实数k ，13∪[3，＋∞)．14．(2024·河北衡水中学高三月考)已知函数f (x )＝x －1x －2与g (x )＝1－sinπx ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在区间[－2，6]内所有零点的和为________．答案16解析令F (x )＝f (x )－g (x )＝0，得f (x )＝g (x )，在同一平面直角坐标系中分别画出函数f (x )＝1＋1x －2与g (x )＝1－sinπx 的图象，如图所示，又f (x )，g (x )的图象都关于点(2，1)对称，结合图象可知f (x )与g (x )的图象在[－2，6]上共有8个交点，交点的横坐标即F (x )＝f (x )－g (x )的零点，由对称性可得，所有零点的和为4×2×2＝16.15．已知函数f (x )＋1x ，x <0，x ，x >0，则方程f (f (x ))＋3＝0的解的个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6答案C解析已知函数f (x )＋1x ，x <0，x ，x >0，∴令f (x )＝－3，则当x >0时，ln x ＝－3，解得x ＝1e 3；当x <0时，x ＋1x ＝－3，解得x ＝－3±52.∵f (f (x ))＋3＝0，即f (f (x ))＝－3，则f (x )＝1e 3或f (x )＝－3±52.由f (x )＝1e 3，得ln x ＝1e 3，此方程只有一个根，∵当x <0时，f (x )＝x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，∴f (x )＝－3＋52仅在x >0时有一个根，f (x )＝－3－52在x <0时有两个根，在x >0时有一个根．综上，方程f (f (x ))＋3＝0的解的个数为5.故选C.16．(多选)(2024·湖北荆州模拟)已知函数f (x )|log 12x |，0<x<4，4≤x ≤14，若方程f (x )＝m 有四个不等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则下列结论正确的是()A ．0<m <2B ．x 1x 2＝12C ．x 3x 4∈(48，55)D ．x 1x 3∈(1，5)答案ACD解析对于A ，当0<x <1时，log 12x >0，则f (x )＝log 12x ，易得f (x )在(0，1)上单调递减，且f (x )>f (1)＝0，当1≤x <4时，log 12x ≤0，则f (x )＝－log 1x ，易得f (x )在[1，4)上单调递增，且f (1)≤f (x )<f (4)，即0≤f (x )<2，当4≤x ≤14时，f (x )＝则由f (x )＝x ∈[4，14]的图象，可知f (x )在[4，8)上单调递减，在[8，14]上单调递增，且f (4)＝2，f (5)＝0，f (8)＝4，f (11)＝0，f (14)＝＝4，从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出f (x )的图象，如图所示，因为方程f (x )＝m 有四个不等实根，所以f (x )与y ＝m 的图象有四个交点，所以0<m <2，故A 正确；对于B ，结合A 项分析可得log 12x 1＝－log 12x 2，所以log 12(x 1x 2)＝0，则x 1x 2＝1，故B 错误；对于C ，D ，由正弦函数的性质及结合图象可知(x 3，m )与(x 4，m )关于直线x ＝8对称，所以x 3＋x 4＝16，又当0<x <1时，f (x )＝log 12x ，令f (x )＝2，得x ＝14，所以14<x 1<1，4<x 3<5，所以x 1x 3∈(1，5)，x3x 4＝x 3(16－x 3)＝－x 23＋16x 3＝－(x 3－8)2＋64，因为x 3∈(4，5)，所以x 3x 4∈(48，55)，故C ，D 正确．故选ACD.17．已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x <0时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＋12＝0在[－2，6]内的所有根之和为________．答案12解析因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又函数y ＝f (x )在R 上为奇函数，且当－1≤x <0时，f (x )＝x 2，由此画出f (x )在区间[－2，6]上的图象如图所示．f (x )＋12＝0⇒f (x )＝－12，由图可知，y ＝－12与f (x )的图象有4个交点，其中两个关于直线x ＝1对称，两个关于直线x ＝5对称，所以方程f (x )＋12＝0在[－2，6]内的所有根之和为2×1＋2×5＝12.18．(2024·山东泰安高三期末)已知函数f (x )2(x ＋1)，x >3，x ＋3|，－9≤x ≤3，若x 1<x 2，x 1<x 3，且f (x 1)＝f (x 2)，f (x 1)＋f (x 3)＝4，则x 3x 1＋x 2的取值范围是________．答案－52，－12解析对于f (x )2(x ＋1)，x >3，＋3|，－9≤x ≤3，当x >3时，f (x )>2，当－9≤x ≤3时，0≤f (x )≤2，并且图象关于直线x ＝－3对称，函数f (x )的图象如下图所示，如果x 1>3，则f (x 1)＝f (x 2)不成立，∴x 1∈[－9，3]，x 2∈[－9，3]，并且有x 1＋x 2＝－6，0<f (x 1)≤2.由f (x 1)＋f (x 3)＝4可知，2≤f (x 3)<4，∴2≤log 2(x 3＋1)<4，3≤x 3<15.∴x 3x 1＋x 2＝－16x 3－52，－12.。
2020届高三数学复习 函数与方程、不等式 讲座 课件(共20张PPT)
借助于二次函数的图像特征来求解
尝试分离参数的方法，来回避分类讨论
总结
01 函数思想是一种思维习惯，要用变量和函数的
观点来思考问题
02 求 y f (x) 的零点和解 f (x) 0 求根是一致的，但方法是多样的，
特别要注意数形结合的使用。
如果要判断函数有几个零点，则必须结合其图像与性质（单调性、奇偶性）。
02 函数 f (x) 在[a,b]上是连续不断的曲线，且 f (a) f (b) 0 ，满足这些条件一定有零点。 但不满足这些条件也不能说一定没有零点。
产品介绍 Product introduction
关于零点存在性定理
如图：
已知 x, y 0 ，则有： x y 2 xy （当且仅当 x y 等号成立）
若 x y S (和为定值)，
则当 x y 时，积 xy 取得最大值 S 2 ； 4
即： xy （ x+y）2 = S 2 24
若 xy P (积为定值)
则当 x y 时，和 x y 取得最小值 2 P
则 f (x) a fmin (x) a
因为 x 0 ，由平均值不等式： x+ 1 2（当且仅当 x 1 ，即： x 1时等号成立），
x
x
所以： f (x)min 2 故： a 2
产品介绍 Product
introduction 函数与不等式
【例 3.】变式：关于 x 的不等式 x+ 1 a 0 对 x [2, ) 恒成立， x
【例 1】关于 x 的一元二次方程 x2 ax 3 a 0 ，求当 a 为何值时，分别有以下的结论：